LIS GERL DE MRIZES OPERÇÕES E DEERMINNES - GBRIO Dds s mtries [ ij ] tl que j ij i e [ ij ] B tl que ij j i, determine: c Solução Não é necessário construir tods s mtries Bst identificr os elementos indicdos c - FGV- s menins drin; Brun e Crl flm muito o telefone entre si mtri M mostr cd elemento ij representndo o número de telefonems que i deu pr j no mês de setemro: M Quem mis telefonou e quem mis receeu ligções? Solução Oserve que digonl nul inform que ninguém ligou pr si mesmo e, ovimente, não receeu ligção de si mesmo Decodificndo os vlores ds posições: drin fe ligções: pr Brun e pr Crl Brun fe ligções: pr drin e pr Crl c Crl fe ligções: pr drin e pr Brun d Brun foi quem mis telefonou E receeu ligções e drin foi ª menin que mis ligou E receeu ligções f Crl foi quem menos ligou E receeu ligções respost pedid é: Mis telefonou foi Brun e receeu mis ligções foi drin Um mtri é do tipo, outr mtri B é do tipo e mtri C é do tipo m Qul o vlor de m pr que eist o produto BC? Solução Pr que eist o produto B é necessário que o número de coluns de sej o mesmo de linhs de B Isso já contece e o produto é do tipo Isto é B possui linhs e coluns Pr que sej possível o produto por C m o número de linhs de C deve ser o mesmo de coluns de B Logo, m - Dds s mtries e [ ] B otenh tl que B Solução é do tipo e B é do tipo Logo é do tipo Sej [ ] emos:
[ ] [ ] Igulndo B, vem: Logo, - FGV- Um mtri possui elementos cuj som vle Se ] [ onde é trnspost de, clcule o produto dos elementos de Solução Se mtri deve ser do tipo p, onde p vle o número de linhs O produto R é d form p Como é d form p e o produto R é, conclui-se que: i possui colun Logo p Logo é d form ii é d form Sej [ ], com iii [ ] [ ] iv [ ] [ ] [ ] Igulndo o produto o resultdo indicdo no enuncido, temos: [ ] [ ] [ ] Lemrndo que, temos: i ou ii Em mos os csos, o produto Determine e n iguldde Solução Somndo s mtries e igulndo o resultdo, temos: Dds s mtries e B, determine B
Solução Eiindo trnspost de B, temos: B Efetundo epressão, vem: B Justifique em cd cso o motivo do determinnte ser nulo c Solução Identificndo s proprieddes dos determinntes que se nulm, vem: O determinnte é nulo, pois ª linh é doro d ª linh O determinnte é nulo, pois ª colun inteir é formd por eros c ª colun é som do doro d ª linh com ª linh: ; e - Encontre o determinnte de cd mtri c Solução plicndo Lplce é interessnte escolher linh ou colun que possui mis eros ssim elimin-se lguns coftores ª colun ou ª linh presentm dois elementos nulos Escolhendo ª colun, vem:
] [ ] [ ] [ ] [ OBS: Repre que no determinnte form escolhidos ns ª coluns os elementos e ª linh possui somente um elemento não nulo ] [ ] [ OBS: Repre que no determinnte form escolhidos n ª colun os elementos e c O determinnte de um mtri tringulr é o produto dos elementos d digonl Como um desses elementos é ero, o determinnte é nulo Determine o conjunto verdde ds equções Solução plicndo Lplce n linh, temos: ] [ ] [ plicndo Lplce n colun, temos:
[ ] Sendo que, clcule os determinntes ds seguintes mtries Solução Oservndo que os elementos se ssemelhm à mtri originl, é possível plicr s proprieddes dos determinntes c ª linh foi trocd com ª linh Logo o determinnte fic com o sinl trocdo Isto é, vle ª colun é o doro d ª colun Logo, o determinnte se nul Vle ero c ª colun é o doro d ª colun d mtri originl Logo o determinnte dor Vle - c I Se det p q r, clcule o vlor do c det p q r Solução Um determinnte não se lter se um linh for sustituíd pel som de seus elementos com outr previmente multiplicd por um número O determinnte fic multiplicdo pelo número que for multiplicdo um linh ou colun Oservndo o segundo determinnte, temos: ª linh foi multiplicd por - ª linh foi multiplicd por som com ª linh não há interfere c ª linh foi multiplicd por Conclusão O determinnte d mtri é o produto do determinnte originl por - resultndo no vlor: -- Resolv s equções:
c Solução O procedimento será encontrr determinntes por qulquer método e igulr o vlor do º memro Nos csos cim de, será utilido o método de Lplce Lplce n ª linh Det nturl c Lplce n ª linh ] [ ] [ c - I- Sejm s mtries / / e / / B Determine o elemento c d mtri B C Solução Repre que não é preciso resolver tod som dos elementos informção que interess é somente reltivo o elemento c Como som relcion elemento elemento correspondente su posição, temos que: c
- Unicmp- Sejm ddos: mtri, encontre o conjunto solução d equção det Solução plicndo Lplce n ª colun, temos: ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ Como ess epressão deve ser nul, temos: ] [ OBS Repre que pr, ª colun seri tod nul, logo nulri o determinnte Se, ª colun seri igul à primeir, nulndo tmém o determinnte UEL-PR Um mtri qudrd é simétric se ssim se mtri é simétric, clcule Solução mtri é simétric Igulndo s mtries e, temos: