Análise de Correlação Canônica

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1 MAE 0330 ANÁLISE MULTIVARIAA E AOS Análise de Correlção Cnônic Júli M Pvn Soler vn@ime.us.r Sem/07

2 Análise Multivrid de dos Vriáveis Uniddes Amostris j Ojetivo: j j i i i ij i n n n nj n Estudr o relcionmento ENTRE dois conjuntos de vriáveis Note ue Comonentes Princiis e Análise Ftoril considerm correlção ENTRO de um conjunto de vriáveis. ANÁLISE E CORRELAÇÃO CANÔNICA Oter Vriáveis Cnônics de cd suconjunto de vriáveis originis

3 Correlção entre Conjuntos de Vriáveis Morfometri cefálic r os dois rimeiros filhos de 5 fmílis (Everitt, 007) Filho Filho Fmíli Comrimento Perímetro Comrimento Perímetro Como relcionr os irmãos com se em ms medids cefálics? Como definir um medid de correlção (esclr) r o cso multidimensionl? iscut estrutur dos ddos. Neste cso, tem-se s mesms vriáveis vlids em cd nível de um ftor de estrtificção. As fmílis definem o remento ou deendênci entre os dois conjuntos. Podemos ter situções de dois conjuntos de vriáveis diferentes!

4 Correlção entre Conjuntos de Vriáveis Coeficientes de Correlção Liner de Person r os ddos de erímetro cefálico: r C_C_ P_C_ C_C_ P_C_ 0,735 C_C_ 0,7 0,693 P_C_ 0,704 0,709 0,839 Correlções de menor interesse C_C_P_C_ C_C_P_C_ Correlção entre s vriáveis ENTRO do gruo C_C_C_C_ P_C_P_C_ Correlção ENTRE os gruos, r cd vriável

5 C_C_ P_C_ Correlção entre Conjuntos de Vriáveis Coeficiente de Correlção Múltil correlção liner de Person entre cd vriável de um conjunto e seu reditor liner, função ds vriáveis do outro conjunto. M C _ C _, C _ C _, P _ C _ M P _ C _, C _ C _, P _ C _ C _ C _ Fit(C_C_) P ˆ 0, 738 C _ C _, C _ C _ 0 C _ C _ P _ C _ 00 e P_ C _ P Fit(P_C_) ˆ 0, 73 P _ C _, P _ C _ 0 C _ C _ P _ C _ e

6 Correlção entre Conjuntos de Vriáveis Coeficiente de Correlção Prcil Considere distriuição condicionl de vetores de vriáveis letóris E ; E ; E ) ( ) ( ; ; E. Correlção entre j e, eliminndo o efeito ds vriáveis =(,, ): ;,... jj j j j. é csel j d mtriz.

7 Correlção Cnônic Considere os ddos de nots de rovs em discilins ue ermitirm e uels ue não ermitirm consult livros durnte rov. Sem Consult Com Consult Aluno Mecânic Vetores Alger Análise Esttístic Como relcionr s nots dos dois tios de rovs?

8 Correlção Cnônic Se-se ue ordem gestcionl d mãe está correlciond com o eso do recém-nscido. Como relcionr diferentes vriáveis mterns com diferentes vriáveis do recém-nscido? Recém-Nscido Mãe Prontuário Peso Perím. Cefálico Comrimento Peso Ordem Gest Idde Altur 3, ,73, ,53 00, ,68

9 Correlção Cnônic Relcionr vriáveis d olític governmentl com vriáveis econômics o longo de vários meses Relcionr vriáveis de desemenho escolr no ensino fundmentl com vriáveis de desemenho escolr no ensino médio Relcionr vriáveis do sedimento com vriáveis d colun de águ de um rio, considerndo vários ontos de colet Os.: Greencre (003; J. Al. Sttist. 30(0):0-3) consider situções de mtrizes reds de ddos (euivlente um mesmo conjunto de vriáveis vlids so diferentes situções com estrutur de remento de oservções) e roõe um nálise lterntiv de otenção ds vriáveis cnônics.

10 Correlção Cnônic Notção ) ( dos de um vetor de vriáveis letóris rticiondo em ois Conjuntos de Vriáveis: (+) = x E E, ) ( E ) ( ) ( ) ( Mede ssocição entre os dois conjuntos de vriáveis

11 Correlção Cnônic Como Resumir Associções entre ois Conjuntos de Vriáveis?, covriâncis dus dus. Como resumir? Cominções lineres de vriáveis reresentm um resumo simles e, em gerl, útil, de ddos multidimensionis O ojetivo d nálise de correlção cnônic é oter cominções lineres ds vriáveis ue resumem o melhor ossível ssocição entre s vriáveis Considere s seguintes cominções lineres ds vriáveis originis: U V Vr U V Vr U, V,

12 Correlção Cnônic Como Resumir Associções entre ois Conjuntos de Vriáveis? U V U V Vr U, V Vr Oter vetores de coeficientes, e, tl ue: Corr U, V Vr U, V U VrV sej máxim. Encontrr o rimeiro r de cominções lineres, U e V, dronizds (vriâncis unitáris) ue mximizm correlção cim Cso sej de interesse, encontrr o segundo r de vriáveis dronizds, U e V, ue mximizem correlção cim entre tods s escolhs não correlcionds com o rimeiro r e ssim or dinte.

13 U V Correlção Cnônic mxcorr U, V, mx, mx ' mx ' ' Solução: O mx, Corr, U V cominções lineres, ddo or (Mrdi, 979) é tingido elo rimeiro r de U / e V / f / / e / / f e são o mior utovlor e o utovetor de e são o mior utovlor e o utovetor de

14 Correlção Cnônic O -ésimo r de vriáveis cnônics (com =,,,min(,)) ddo or / U e / f V CorrU, V e, mximiz entre tods s cominções lineres não correlcionds com s recedentes vriáveis cnônics. Suondo min(,)= tem-se:... e, e,..., e... f, f,..., fi mx f, Corr, é roorcionl U V são utovlores de / são os corresondentes utovetores (x) são tmém os utovlores não nulos de são os corresondentes utovetores (x) / / ei U V / e / f / / /

15 Solução: mx vriáveis cnônics, ddo or Correlção Cnônic, Corr, U V é tingido elo rimeiro r de / / U e V f / / e / / f e são o mior utovlor e o utovetor de e são o mior utovlor e o utovetor de As demis vriáveis cnônics U V,..., U, V,..., U, V, Vr U Vr V U, Ul CorrU, Ul 0 l V, V CorrV, V 0 l l l stisfzem: U, V CorrU, V 0 l l l

16 Correlção Cnônic Considere s vriáveis dronizds: ( ) ( ) ( ) / / U V As vriáveis cnônics são d form: ' ', e f e ' ρ ' ρ / / Corr : -ésimo utovlor e utovetor de : -ésimo utovlor e utovetor de ' ρ U, V ρ / ρ ρ ρ / / /, f ρ ρρρ ' ρ As correlções cnônics são invrintes or dronizção ' ρ Como veremos seguir!

17 Correlção Cnônic Relção entre s Vriáveis Cnônics otids ds Vriáveis Originis e ds Vriáveis Pdronizds / / ) ( ) ( / ' ' ρ e U / ' ' ρ f V / e U / f V ' / /

18 / / ) ( ) ( / ' U / ' V U V Corr V U / /, ' ' ' ', ρ ρ ρ ρ Corr / / / /, V U Corr Corr,,, Os coeficientes cnônicos ds vriáveis dronizds odem ser otidos diretmente dos coeficientes ds vriáveis originis O coeficiente de correlção cnônico ds vriáveis originis e ds vriáveis dronizds é o mesmo

19 Correlção Cnônic Relção entre s Vriáveis Cnônics otids ds Vriáveis Originis e ds Vriáveis Pdronizds Os coeficientes cnônicos, em gerl, não têm interretção físic Os coeficientes cnônicos ds vriáveis originis (U,V) têm uniddes de medid roorcionis àuels ds vriáveis originis nos dois gruos Os coeficientes cnônicos ds vriáveis dronizds (U,V) não têm uniddes de medid e devem ser interretdos em função ds vriáveis dronizds (médi zero e vriânci unitári) Os coeficientes cnônicos ds vriáveis dronizds odem ser otidos diretmente dos coeficientes ds vriáveis originis O coeficiente de correlção cnônico ds vriáveis originis e ds vriáveis dronizds é o mesmo o coeficiente de correlção cnônico é invrinte so dronizção ds vriáveis

20 mx Correlção Cnônic, Corr, Interretção Geométric U V U V / e / f U / / e e P P ' P / P ' Comonente Princil de Ftor Comum de (CP dronizdo) A vriável cnônic U result de um rotção orthogonl (vi P e determind or ) do CP dronizdo seguid or outr rotção orthogonl (vi e e / / determind or )

21 Correlção Cnônic Fórmul Oercionl de otenção ds vriáveis e coeficientes cnônicos (Exercício 0.4, g.487, Johnson nd Whichern, 99) / / Se é utovlor de com o corresondente utovetor, então é tmém utovlor de com o corresondente utovetor. e / e Assim, s vriáveis e coeficientes cnônicos odem ser otidos diretmente d decomosição em vlores singulres de

22 Correlção Cnônic Morfometri cefálic r os dois rimeiros filhos de 5 fmílis Filho Filho Fmíli Comrimento Perímetro Comrimento Perímetro Médi 85,7 5, 83,84 49,4 Vr. 95,9 54,36 00,8 45,0 Otenh s vriáveis cnônics ds vriáveis dronizds. Interrete os resultdos.

23 Correlção Cnônic Morfometri cefálic r os dois rimeiros filhos de 5 fmílis Considere nálise de Correlção Cnônic ds Vriáveis Pdronizds: R 0, ,73456 R 0,8395 0,8395 R 0,708 0,704 0,693 0,7086 Tods s correlções são lts 0 Autovlores: 0,68 0,009 ˆ 0,68 0,7886 ˆ 0, 0539 Coeficientes ds Vriáveis cnônics: 0,55 0,5 0,505 0,538,367 -,378,767 -,757

24 Correlção Cnônic Morfometri cefálic r os dois rimeiros filhos de 5 fmílis Se somente rimeir vriável cnônic (ds vriáveis dronizds) é usd, temos: U 0,55 C _ C _ 0, 5 P _ C _ V 0,505 C _ C _ 0, 538 P _ C _ Ests são resonsáveis el mior correlção (r=0,79) entre s vriáveis cefálics dos dois rimeiros filhos ds fmílis estudds. As vriáveis individuis contriuem com esos muito róximos. A segund vriável cnônic exlic muito ouco (r=0,05) d correlção entre os dois rimeiros filhos, sendo definid or: U,367 C _ C _, 378 P _ C _ V,767 C _ C _, 757 P _ C _

25 Correlção Cnônic Morfometri cefálic r os dois rimeiros filhos de 5 fmílis Análise de Correlção Cnônic ds Vriáveis Pdronizds: U 5 V 0,55 C _ C _ 0, P _ C _ 0,505 C _ C _ 0, 538 P _ C _ U, V 0, 79 ˆ Corr Análise de Correlção Cnônic ds Vriáveis Originis: / 95,9 0 54,36 0,55 0,5 0,057 0,07 / / 0 00,8 / 0 45,0 0,505 0,538 0,050 0,080 / U ,057 C _ C _ 0, P _ C _ V 080 0,050 C _ C _ 0, P _ C _ / U, V 0, 79 ˆ Corr

26 Correlção Cnônic _CC _PC _CC _PC _CC _PC _CC _PC U V U V ,54 0,56-0,48-0,63 0,573-0,583,89 0, ,95-0,88,709 0,4 0,375,084,694, ,484-0,43 0,6-0,036-0,488 0,039 0,85, ,79 0,55 0,44-0,036-0,0 0,90,94, ,996-0,966 -,79 -,079 -,054 -,6 0,56 9, ,8 0,798 0,83 0,4,676 0,63 3,003, ,336-0,5 0,64-0,036 0,06 0,9,43, ,56,069 0,54 0,4,96 0,48,58, ,34 0,9,3,455 0,9,444,508, ,643-0,5 0,35 0,6 0,76 0,300,594, ,688 0,933 0,5-0,85 0,07 0,009,4, ,79-0,559-0,980-0,334-0,446-0,675 0,868 0, ,0-0,5 0,6 0,4-0,74 0,80 0,568, ,438,069,,56 0,800,84,9, ,34-0,06 0,35,306 0,0 0,86,437, ,37 -,95 -,75 -,867 -,84 -,69 9,08 8, ,95 0,56-0,084,306 0,799 0,660,0, ,09 0,55 -,080-0,85 0,49-0,645,465 0, ,484-0,830-0,83-0,483-0,700-0,35 0,6 0, ,098 -,508 -,876 -,84 -,393 -,99 9,95 9, ,643 0,39 0,6 0,4 0,559 0,80,878, ,0 -,0-0,58-0,334 -,38-0,473 0,07 0, ,996 -,644-0,78-0,930 -,408-0,895 9,90 0, ,56,54,60,306,76,55 3,086, ,438,6 0,35 0,3,083 0,0,403,350 r(u,v) = 0,789 r(u,v) = 0,789

27 Correlção Cnônic Prorieddes ds Vriáveis Cnônics (min(,)) Vriâncis Unitáris: Vr U Vr V Não Correlcionds (Entre res): CorrU, U CorrV, V CorrU, V 0 Correlção Máxim (entro do r): Corr U, V l l l Correlção entre s Vriáveis Cnônics e s Vriáveis Originis: Corr,? Corr,? U V

28 Correlção Cnônic Prorieddes ds Vriáveis Cnônics U e f / U, V / / / / / / / e f U A min(,)= A... U ; A Corr V B... / / V B Corr / / U; U; A A ;

29 Correlção Cnônic Prorieddes ds Vriáveis Cnônics U A V B Corr U ; A / / U; A A ; Corr Corr Corr / U ; A / V ; B / V ; B Clculr os coeficientes de correlção liner de Person r s vriáveis dus dus!

30 Correlção Cnônic Prorieddes ds Vriáveis Cnônics U A V B Corr U ; A / / U; A A ; / / / / U; A A A ρ Corr U Corr, / U; A A ρ Corr U Corr, / V; B B ρ Corr V Corr, / V; B B ρ Corr V Corr, As correlções NÃO são fetds el dronizção!

31 A Correlção Cnônic Morfometri cefálic r os dois rimeiros filhos de 5 fmílis 0,55,367 Corr( U, ) A R Corr( U, ) A R Corr( V, ) B R Corr( V, ) B R 0,5,378 0,9354 0,3548 0,754 0,064 0,7377 0,09 0,9565 0,94 B 0,975-0,3737 0,7585-0,04 0,733-0,00 0,968-0,740 0,505,767 0,538,757 U, U, Correlções ds vriáveis cnônics com s vriáveis do rimeiro filho Note ue s rimeirs vriáveis cnônics, U e V, têm s miores correlções com s vriáveis originis. V, V,

32 Correlção Cnônic Morfometri cefálic r os dois rimeiros filhos de 5 fmílis A 0,55,367 0,5,378 B 0,505,767 0,538,757 Note ue: U A, U A U, U A A U V B, V B V, V B B V A 0,55,367 0,5,378 0,9347 0,973 0,354-0,374 B 0,0,505,767 0,538,757 0,9560 0,964 0,97-0,748 U, U V, V,,

33 Correlção Cnônic _CC _PC _CC _PC _CC _PC _CC _PC U V U V ,54 0,56-0,48-0,63 0,573-0,583,89 0, ,95-0,88,709 0,4 0,375,084,694, ,484-0,43 0,6-0,036-0,488 0,039 0,85, ,79 0,55 0,44-0,036-0,0 0,90,94, ,996-0,966 -,79 -,079 -,054 -,6 0,56 9, ,8 0,798 0,83 0,4,676 0,63 3,003, ,336-0,5 0,64-0,036 0,06 0,9,43, ,56,069 0,54 0,4,96 0,48,58, ,34 0,9,3,455 0,9,444,508, ,643-0,5 0,35 0,6 0,76 0,300,594, ,688 0,933 0,5-0,85 0,07 0,009,4, ,79-0,559-0,980-0,334-0,446-0,675 0,868 0, ,0-0,5 0,6 0,4-0,74 0,80 0,568, ,438,069,,56 0,800,84,9, ,34-0,06 0,35,306 0,0 0,86,437, ,37 -,95 -,75 -,867 -,84 -,69 9,08 8, ,95 0,56-0,084,306 0,799 0,660,0, ,09 0,55 -,080-0,85 0,49-0,645,465 0, ,484-0,830-0,83-0,483-0,700-0,35 0,6 0, ,098 -,508 -,876 -,84 -,393 -,99 9,95 9, ,643 0,39 0,6 0,4 0,559 0,80,878, ,0 -,0-0,58-0,334 -,38-0,473 0,07 0, ,996 -,644-0,78-0,930 -,408-0,895 9,90 0, ,56,54,60,306,76,55 3,086, ,438,6 0,35 0,3,083 0,0,403,350 Clculr s correlções entre s vriáveis dus dus de interesse! (mesmos resultdos, menos fórmuls, mis intuição)

34 Erro de Aroximção: Correlção Cnônic Medids d Qulidde ds Vriáveis Cnônics U A V B A e e e / P / Mtriz de utovetores B... f f... f / P / Mtriz de utovetores / / U U V V A P B P / S Uˆ / S Vˆ P P

35 Correlção Cnônic Erro de Aroximção. Outr lterntiv: / U A U U V B A P P / B V V / / U; V A B A B U A A I A A V B B I B B Com r vriáveis cnônics, define-se s Mtrizes de Resíduos: E Ar S ~ ~... ~ r ~ r ~ r ~ r... ~ ( ) ( ) ~ ~ ~ Br r r ( ) ( ) / r Br r ~ ~ / ˆ / r r ˆ ~ ( ) ( ) ( )... E S A ~ r ~ S Br ~ S Ar E Não entrrm n nálise!

36 Erro de Aroximção: Correlção Cnônic E S Ar tre E S Br Br trs tr Br Br tre E S A r B r r Medids d Qulidde ds Vriáveis Cnônics Ar trs tr Ar Ar % d Vriânci totl exlicd els vriáveis cnônics r cd gruo de vriáveis originis: R tre U, U,..., U r de % U Exl U r trs R Vriânci totl tre V, V,..., Vr de % V Exl V r trs

37 Correlção Cnônic Morfometri cefálic r os dois rimeiros filhos de 5 fmílis Se somente rimeir vriável cnônic é usd, clcule o erro de roximção. U 0,55 C _ C _ 0, 5P _ C _ V 0,505 C _ C _ 0, 538 P _ C _ E E E 0,354 0,0539-0,374 0,354-0,374 0,97-0,748 0,0056-0,005-0,0059 0,0055 0,97 0,748 0,54-0,34-0,34 0,399 0,354 0,374 0,0857-0,0804-0,0804 0,0755 0,97 0,748 É mtriz mis esrs! As V.C. reroduzem melhor s correlções intrclsse (R). Note ue não está em reresentd or U ( mtriz de resíduos E é menos esrs). Note ue V reresent um ouco melhor.

38 Correlção Cnônic Morfometri cefálic r os dois rimeiros filhos de 5 fmílis Se somente rimeir vriável cnônic é usd, clcule o erro de roximção. U 5 0,55 C _ C _ 0, P_ C _ V 0,505 C _ C _ 0, 538 P_ C _ E R 0,54-0,34-0,34 0,399 0, ,73456 R E 0,0857-0,0804-0,0804 0,0755 0,8395 0,8395 % % Exl Exl U de Ζ 00 86,74% trr tre V de 00 9,94% trr tre

39 Correlção Cnônic ois testes de leitur (vriáveis e ) form licdos em 40 crinçs, juntmente com dois testes de ritmétic (vriáveis X e X). A mtriz de correlção mostrl otid foi: R 0,638 0,638 R 0,448 0,448 R 0,4 0,0553 0,0586 0,0655 ) Otenh tods s vriáveis cnônics mostris e s corresondentes correlções cnônics. Interrete. ) Estime s mtrizes de erro, E, E e E, r o rimeiro r de vriáveis cnônics (r=). c) etermine roorção d vriânci exlicd elo rimeiro r de vriáveis cnônics nos dois gruos. d) Clcule correlção mostrl entre s vriáveis originis e s vr. cnônics. e) Comente: A correlção cnônic é mior ue uluer dos coeficientes de correlção de Person (r res de vr.) e os de correlção múltil.