Plano de Trabalho. Matemática 2º Ano 1º Bimestre/2013. Função Logarítmica

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1 Mtemátic 2º Ano 1º Bimestre/2013 Plno de Trblho Função Logrítmic com e Tref 1 Cursist: Arli Mri Corrê de Mirnd Tutor: An Pul S. Muniz Grupo: 1

2 S u m á r i o INTRODUÇÃO DESENVOLVIMENTO AVALIAÇÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

3 INTRODUÇÃO Este plno de trblho tem por objetivo permitir que os lunos percebm plicbilidde do conteúdo denomindo Função Logrítmic pr resolução de problems, ssim como, preprção pr profundmento do mesmo. O plno foi elbordo visndo trnsmissão do conhecimento trvés d construção feit pelos lunos com resoluções de situções problem. Gerlmente o luno present dificulddes em interpretr os enuncidos lém d flt de interesse, por isso, é etremmente importnte contetulizção trzendo pr o seu cotidino de form que o ssunto se torne mis trente. Como o ssunto eige operções com potencição e função eponencil, foi necessário relembrr esss operções, pois gerlmente os lunos trzem est deficiênci. Pr totlizção do plno, serão necessários dez tempos pr desenvolvimento dos conteúdos, resolução de tividdes e correção, e mis dois tempos pr vlição escrit d prendizgem. 3

4 Desenvolvimento Atividde 1 TEMPO DE DURAÇÃO: 100 minutos ÁREA DE CONHECIMENTO: Mtemátic ASSUNTO: Logritmo OBJETIVOS: Apresentção do conceito de ritmo. PRÉ-REQUISITOS: Potencição RECURSOS EDUCACIONAIS UTILIZADOS: Folh de tividdes, régu, tesour, lápis, borrch, lápis de cor ou cnet hidrográfic. Dt show, computdor e qudro brnco. ORGANIZAÇÃO DA TURMA: Individul ou em dupl. DESCRITORES ASSOCIADOS: H34 Efetur operções utilizndo s proprieddes opertóris do ritmo. 4

5 Desenvolvimento Iniciremos conhecendo um pouco dos frctis com o uso do dt show. Frctis e os Logritmos O que poderi hver em comum entre um smmbi, um árvore, nuvens, cristis, forms geométrics, ou ind, computção gráfic? O mtemático Benoit Mndelbrot percebeu que vários objetos presentes n nturez possuem crcterístics bstnte especiis e que podem ser ssocidos com forms geométrics bstrts. Benoit Mndelbrot ( ) nsceu em Vársóvi, ms pssou grnde prte d su vid n Frnç e nos Estdos Unidos. A prtir do seu trblho Les objects frctls: form, chnce nd dimension, de 1975, introduziu noção de frctl, tendo ssim ddo o pontpé inicil pr su grnde relizção, crição d Geometri Frctl. Fonte: A principl crcterístic de um frctl é utos semelhnç, ou sej, cd prte de um objeto crreg em si mesm estrutur do objeto inteiro, de mneir que podemos obter o objeto inteiro prtir d mplição de um de sus prtes. Um belo eemplo que poderi epressr idei de utos semelhnç é o de um smmbi. Observe estrutur de um folh de smmbi n figur bio. Fonte: Observe gor bel imgem seguir. El é chmd Conjunto de Mndelbrot. Repre que, o olhrmos pr um pequen prte d figur, temos nítid impressão de que estmos olhndo pr figur inteir. 5

6 Fonte: Podemos tmbém crir frctis por meio d repetição de procedimentos. A Curv de Koch, por eemplo, é obtid prtir de um segmento de ret que deve ser dividido em três prtes iguis, de mneir que, o segmento centrl sej substituído por um triângulo equilátero sem bse. Repetindo esse processo com os segmentos restntes, produzimos, então, Curv de Koch. Fonte: 6

7 Aluno (): Professor: Arli Mri Corrê de Mirnd Disciplin: Mtemátic Ano: 2º Turm: 2004 Dt: Colocndo mão n mss. Um frctl bstnte conhecido é o Triângulo de Sierpinsky. Ele é obtido prtir de um triângulo equilátero e pós sucessivs repetições dos pssos descritos bio. 1) Obtenh o ponto médio de cd um dos ldos do triângulo equilátero disponibilizdo pelo seu professor. 2) Trce segmentos de ret unindo os pontos médios, obtendo qutro triângulos equiláteros. 3) Com o uílio d tesour, recorte o triângulo centrl. 4) Note que, o retirrmos o triângulo centrl, temos gor três novos triângulos. Repit os pssos nteriores com os triângulos restntes e obtenh o Triângulo de Sierpinsky em vários estágios, conforme podemos ver n figur bio. (Folh em neo) Fonte: 1) Agor é com você! Vmos fzer um pequen investigção e descobrir o número de triângulos no Triângulo de Sierpinsky cd iterção. Pr tl, preench tbel bio: Iterção Número de triângulos 1 3 2) Você seri cpz de escrever um fórmul que relcione o número de triângulos n n-ésim iterção? Cso os lunos tenhm dificulddes em preencher tbel, intervir de form que o luno perceb que o número de triângulos é epresso por um sequênci de potêncis de 3 e esper-se que o luno relcione o número de triângulos com interção n por meio d epressão número de triângulo = 3 n. 7

8 No século XVI, o mtemático lemão Michel Stifel utilizou um tbel como ess pr efetur multiplicções. Ness époc, ds grndes nvegções e do pleno desenvolvimento d Astronomi, o uso d trigonometri pr o estudo d Astronomi eigi um necessidde de precisão de cálculo com números bstnte grndes com oito ou mis css decimis. Isso certmente dv muito trblho, pois er preciso multiplicr, dividir e etrir riz qudrd desses números. Fonte: A brilhnte idei de Stifel consiste n orgnizção de um tbel que ssoci dus sequêncis numérics. Vmos utilizr tbel, que construímos juntos, pr entender melhor como podemos obter o resultdo ds multiplicções Efetue s seguintes operções e vej se você percebe lgum pdrão, observndo tbel: ) X 27 = b) X 243 = c) = É importnte verificr se os lunos identificm os números d primeir linh d tbel como os epoentes, qundo os números correspondentes n segund linh são escritos como potênci de 3. Os lunos deverão encontrr como produto de por 27 e observr, n tbel, que os números d 1ª linh correspondentes e 27são, respectivmente 7 e 3 e que o número correspondente é 10 e, ind, que = 10. Repre que n multiplicção, por eemplo, entre 27 e 2187 o produto é Note ind que os números correspondentes n tbel de 27 e 2187 são, respectivmente, 3 e 7, ssim como = 10 que é o número correspondente n tbel. Repre que pr encontrrmos o resultdo do produto de 243 e 6561, bst somr os números d primeir sequênci correspondentes 243 e 6561 (5 + 8 = 13). O resultdo esperdo será o número correspondente 13 n segund sequênci. De form similr, os lunos deverão encontrr o resultdo d divisão entre os dois números. Por eemplo, o dividir por 6 561, deverão encontrr 27. Observndo tbel, deverão perceber que os números d 1ª linh correspondentes e são, respectivmente 11 e 8 e que o número correspondente 27 é 3 e, ind, que 11 8 = 3. Resumindo, deverão perceber que: = = = 3 3 3) Agor, lembrndo do que você prendeu, utilize tbel pr efetur s seguintes multiplicções e divisões: ) = b) = c) = d) = Lembrete: m. n = m + n m : n = m n 8

9 Como você deve ter percebido, segund sequênci de noss tbel é formd pels potêncis de 3 e primeir sequênci formd pelos respectivos epoentes As ideis de Stifel certmente influencirm o mtemático e teóo escocês John Npier ( ) n crição dos ritmos. O termo ritmos tmbém foi inventdo por Npier e é combinção de dus plvrs gregs os e rithmos primeir signific rzão e segund signific número. A grnde percepção de Stifel e Npier foi observção de que o trblho com o epoente dos números, qundo escritos n form de potênci, se torn bstnte simples. Assim, dizemos que: 2 é o ritmo de 9 n bse 3, ou sej, = 2 5 é o ritmo de 243 n bse 3, ou sej, = 5 10 é o ritmo de n bse 3, ou sej, = é o ritmo de n bse 3, ou sej, = 13 4) A prtir desss informções, preench seguinte tbel: = O ritmo de 81 n bse 3 é O ritmo de n bse 3 é = = O ritmo de 3 n bse 3 é 5) Complete tbel rítmic bio com s potêncis de bse 2 e respond às seguintes questões: ) O ritmo de 256 n bse 2 é b) = c) = 9

10 d) = e) O ritmo de n bse 2 é f) = g) = 6) E se fizermos um tbel rítmic com s potêncis de bse 1? Complete tbel bio e vej o que contece: ) Qul é o vlor de?o que você conclui? Converse com seu coleg. Concluímos que não há, pois não é possível escrever como potênci de 1, e que isso se plic qulquer número diferente de 1, pois 1 elevdo qulquer epoente é igul 1. E, ssim, conclu que, dentro d construção do conceito de ritmo relizd, não fz sentido trblhr com ritmo n bse 1. Definição forml do ritmo de um número rel positivo. Ddos dois números reis positivos e b, com 1 se b = c, então o epoente chm-se ritmo de b n bse. = b, com e b positivos e 1. De posse dess definição, podemos clculr ritmos de qulquer número rel positivo em qulquer bse rel positiv diferente de um. Temos, por eemplo, que pois 5 2 = 25, ou o ritmo de 64 n bse 4 é 3 pois 4 3 =

11 ANEXO 1 Agor é com você, sig s instruções. Triângulo Equilátero 11

12 Atividde 2 TEMPO DE DURAÇÃO: 200 minutos ÁREA DE CONHECIMENTO: Mtemátic ASSUNTO: Logritmo OBJETIVOS: Rever o conceito de ritmo; Mostrr lgums plicções e utiliddes do ritmo; Efetur cálculos usndo ritmo PRÉ-REQUISITOS: Potencição RECURSOS EDUCACIONAIS UTILIZADOS: dtshow e Folh de tividdes, ORGANIZAÇÃO DA TURMA: Individul. DESCRITORES ASSOCIADOS: H34 Efetur operções utilizndo s proprieddes opertóris do ritmo. 12

13 Desenvolvimento 1ª Prte A prição V Í D E O Série: Mtemátic n Escol Durção: 10:09 O progrm trt de ritmos, do seu cálculo e plicções. O estudo de ritmos, historicmente, foi motivdo pel solução de lguns problems que envolvim muits multiplicções e divisões, e cálculos com funções eponenciis que usulmente resultvm em números muito grndes. Deste modo, o ritmo é introduzido no vídeo do ponto de vist histórico. Qundo John Npier inventou o ritmo, no século XVI,simplificr grndes conts de multiplicção er estritmente necessário pr fcilitr cálculos do comércio e nvegção, já que não eistim clculdors como nos tempos de hoje. Deste modo, er necessári um função que permitisse fzer cálculos com números grndes, de mneir que surgiu o ritmo. Os ritmos possuem diverss proprieddes que fcilitm otrtmento de números grndes. Três dels são: c (b) = c + c b c (/b) = c - c b c ( b ) = b c Portnto, pr clculr o ritmo do produto de dois números, bst somr os ritmos deles. Cd um destes vlores pode ser encontrdo em um tbel de ritmos, entretnto, nos dis de hoje, s clculdors científics já possuem função de cálculo de ritmo. Por possuir diverss plicções em váris áres, o ssunto de ritmo tem cráter essencilmente interdisciplinr, dindo com váris áres, eemplo d geogrfi, d físic e d químic. Este cráter interdisciplinr pode ser utilizdo pr fzer tividdes juntmente com outros professores de outros cursos. N geoi, os ritmos permitem medir mplitude (ou forç ) de lgum blo sísmico trvés d Escl Richter. A bse utilizd, neste cso, é 10, de modo que um blo sísmico com 6 pontos nest escl é 10 vezes mis forte do que um blo com 5 pontos. Há tmbém Escl de Merclli, que não utiliz conceitos de ritmos e é um pouco menos precis, sendo pouco utilizd n prátic. N físic, escl rítmic é utilizd em diverss plicções. Um dels é escl de decibéis, que mede intensidde de sons. El é um escl rítmic tmbém n bse 10. N químic, por su vez, os ritmos são plicdos pr clculr o PH (potencil hidrogeniônico) de um solução. N computção, é utilizdo o ritmo n bse 2 pr representr dígitos de informção (bits). Um ds bses rítmics mis mplmente utilizds é bse 10 e, portnto, s primeirs tbels de ritmo crids form tbels de ritmo deciml, que permitim multiplicr quisquer dois números utilizndo s sus epnsões em ritmos. Além ess bse, 13

14 são utilizds normlmente bse 2 (principlmente em computção) e bse e (2,7182..) que surge nturlmente do estudo de fenômenos nturis, e por isso é chmdo de ritmo nturl. Aluno (): Professor: Arli Mri Corrê de Mirnd Disciplin: Mtemátic Ano: 2º Turm: 2004 Dt: Definição de ritmo b b sendo b>0,>0 e 1 N iguldde b obtemos : = bse do ritmo b= ritmndo ou ntiritmo = ritmo Consequêncis d definição Sendo b>0,>0 e 1 e m um número rel qulquer, temos seguir lgums consequêncis d definição de ritmo: m m b b b c b c Proprieddes opertóris dos ritmos 1) Logritmo do produto: y>0) (. y) y (>0, 1, >0 e 2) Logritmo do quociente: y y (>0, 1, >0 e y>0) 3) Logritmo d potênci: m m. (>0, 1, >0 e m ) Cso prticulr: como, temos: n m m n n m m n m. n 14

15 Coritmo Chmmos de coritmo de um número positivo b num bse (>0, 1) e indicmos co b o ritmo inverso desse número b n bse co b 1 b (>0, 1 e b>0) Como 1 b 1 b 0 b b, podemos tmbém escrever : co b b Mudnç de bse Em lgums situções podemos encontrr no cálculo vários ritmos em bses diferentes. Como s proprieddes rítmics só vlem pr ritmos num mesm bse, é necessário fzer, ntes, conversão dos ritmos de bses diferentes pr um únic bse conveniente. Ess conversão chm-se mudnç de bse. Pr fzer mudnç de um bse pr um outr bse b us-se: Eemplos : 1) 2) 3) pois pois pois b b 2ª Prte EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Utilizr eercícios do livro didático pr fição d prendizgem e desenvolvimento d cpcidde de interpretção de enuncidos e do rciocínio lógico. 15

16 Atividde 3 TEMPO DE DURAÇÃO: 100 minutos ÁREA DE CONHECIMENTO: Mtemátic ASSUNTO: Função Logrítmic OBJETIVOS: Apresentr Função Logrítmic como invers d Função Eponencil. PRÉ-REQUISITOS: Mrcção de Pontos no Plno Crtesino, Definição de Logritmo, Função Eponencil. RECURSOS EDUCACIONAIS UTILIZADOS: Folh de tividdes, régu, lápis de cor ou cnet hidrográfic, computdor com softwre Geogebr instldo. ORGANIZAÇÃO DA TURMA: Turm dispost em dupls, de form propicir um trblho colbortivo. 16

17 Aluno (): Professor: Arli Mri Corrê de Mirnd Disciplin: Mtemátic Ano: 2º Turm: 2004 Dt: 1) Observe os gráficos ds funções e n figur bio. 2) Preench s tbels bio com s coordends de lguns pontos ds funções f e g. y = f() y = g() ) Compre s coordends dos pontos ds funções f e g. O que você percebe com relção f(2) e g(1)? E com relção f(3) e g(2)? De form gerl, se f() = b, qul seri o vlor de g(b)? 17

18 Espermos que o luno perceb relção invers entre s coordends desss funções. Assim, se (, b) pertence o gráfico de f então (b,) pertence o gráfico de g. Su intermedição é fundmentl nesse processo e é importnte que você nlise outros pontos em f e g pr judr seus lunos. Dess form, espermos que o estudnte preench tbel como bio e conclu que, no cso de dus funções inverss, se f() = b então g(b)=. y = f() y = g() Você deve ter percebido que, em nosso eemplo, se (b,c) pertence o gráfico de f, então (c,b) pertence o gráfico de g. Sbemos que, se isso contece sempre dentro de determinds condições, s funções f e g são chmds funções inverss. Assim, se f(b) = c, então g(c) = b. b c 4) Agor, preench s tbels com s coordends ds funções f() = 2 e g() = 2. y = f()= y = g() =

19 64 5) Observe os resultdos ns tbels. O que você percebe em relção s coordends dos pontos de f()= 2 e g() = 2? A tividde nterior tem por objetivo deir bstnte evidente relção invers d qul potencição e o ritmo desfrutm. Desse modo espermos que, de posse ds tividdes e intervenções feits té qui, o luno poss perceber tl relção. Você deve ter observdo, por eemplo, que f(3) = 2 3 = 8 e g (8) = 2 = 8 = 3, f(4) = 2 4 = 16 e g (16) = 2 16 = 4. 6) Considere, b e c números reis positivos, com 1. Com bse no que você respondeu no item 5, tente escrever um relção entre f e g. De form gerl, se e b são números reis positivos com 1 então: f (b) = b e g ( b ) = b = b Assim, visto que f (b) = b e g ( b ) = b = b e g(f(b)) = b pr qulquer número rel positivo b, fic evidente que s funções f() = e g() = são funções inverss. Vmos construir o gráfico d função rítmic prtir do gráfico d função eponencil? 7) Observe Figur 2 seguir. Nel estão plotdos os gráficos ds funções f() = 2 e y =. 19

20 Qul é função invers de f() = 2? 8) Lembrndo d simetri eistente entre o gráfico de dus funções inverss, fç um esboço do gráfico d função invers de, no plno crtesino bio. 9) Abr o rquivo do Geogebr Grficos e_ep.ggb, disponibilizdo pelo seu professor. Nele estão plotdos os gráficos de f() = (zul) e f -1 () = (vermelho). 10) Qundo o seletor está n posição = 2, temos respost pr o item 8. Você obteve o mesmo resultdo o trçr o gráfico no plno crtesino? 11) Agor é com você! Movimente o seletor e verifique estrutur dos gráficos de f -1 () =. 20

21 ATIVIDADES DE MATEMÁTICA - 1º BIMESTRE 2013 PROFESSORA: Arli Mri Corrê de Mirnd DATA: Vlor: 2,0 Not: ALUNO (A): ANO/ SÉRIE: Pedrs no cminho? Gurdo tods, um di vou construir um cstelo... Fernndo Pesso 1) (E.U.Londrin) Supondo que eist, o ritmo de n bse b, é: ) potênci de bse b e epoente. b) potênci de bse e epoente b. c) o número o qul se elev pr se obter b. d) potênci de bse 10 e epoente. e) o número o qul se elev b pr se obter. 2) Assinle lterntiv fls: ) = 6 b) = 0 c) = 1 d) = e) = 3) A som + é igul : ) 7 b) 3 c) 4 d) -4 e) 6 4) Determine o vlor numérico d epressão : + - ) - b) c) - d) e) - 5) Determine o domínio d função y = : ) D = { R / 2 } b) D = { R / - 2 } c) D = { R / 2 } 21

22 d) D = { R / - 2 } e) D = { R / - 2 } 6) Clssifique s epressões em verddeirs ou flss: ) = b) = c) =. 7) O gráfico que represent função f() = ) b) c) d) Lembre-se: Você nsceu pr brilhr!!! 22

23 AVALIAÇÃO A vlição envolve luno e professor e deve ser relizd de mneir que mbos possm vlir o qunto se desenvolveu cd um ds competêncis relcionds os tems estuddos. Este plno de Trblho será bstnte produtivo. Foi montdo procurndo fortlecer conceitos que já tinhm sido trblhdos em nos nteriores e que erm fundmentis pr o profundmento deste conteúdo, não ficndo preso somente cálculos lgébricos, ms fzendo um bordgem mpl deste conteúdo n su plicbilidde em nosso di--di. Ele será vlido trvés dos eercícios, prticipção ns uls, lém de tividde escrit e individul (100 minutos) pr investigção d cpcidde de utilizção de conhecimentos dquiridos. É proprido verificr os certos dos lunos ns questões relcionds com o tem que constrão no SAERJINHO. Este será outro método de vlição. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES SOBRE ESTE PLANO DE TRABALHO Este plno foi preprdo pensndo n relidde do 2º no noturno, onde os lunos não estudm em cs devido à flt de tempo e ind crregm o cnsço do seu di (gerlmente trblhm). Por isso preciso trblhr de form simples e clr e vlindo-os em tods s tividdes. 23

24 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ROTEIROS DE AÇÃO 1 Frctis e os Logritmos - referente o 2º no do Ensino Médio 1º Cmpo conceitul - 1º bimestre/ cessdo em 02/2013. ROTEIROS DE AÇÃO 3 Construindo Função Logrítmic com jud Função Eponencil referente o 2º no do Ensino Médio 1º Cmpo conceitul - 1º bimestre/ cessdo em 02/2013. Auilir do Roteiro 3 - AR3 - referente o 2º no 1º Bimestre 1º Cmpo conceitul. cessdo em 02/2013. NOVO BEZERRA MATEMÁTICA - Volume Único/Bezerr, Mnoel Jiro e Putnoki, José Crlos Editor Scipione MATEMÁTICA 2ª série / Dnte, Luiz Roberto 1ª Edição Editor Átic Endereços eletrônicos cessdos 02/2013, citdos o longo do trblho: