Análise de eventos hidrológicos extremos, usando-se a distribuição GEV e momentos LH

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1 Revista Brasileira de Egeharia Agrícola e Ambietal v.,., p.8 89, 6 Campia Grade, PB, DEAg/UFCG Protocolo 87. 6/6/ Aprovado em 6//5 Aálise de evetos hidrológicos extremos, usado-se a distribuição GEV e mometos LH Maoel M. F. de Queiroz & Fazal H. Chaudhry RESUMO A distribuição de probabilidade geeralizada de valores extremos (GEV), tem facilitado muitas aplicações em hidrologia, utilizada a modelação de evetos extremos aturais. Estudos sobre o assuto mostram que estimadores de máxima verossimilhaça dos parâmetros da GEV são istáveis em pequeas amostras, podedo forecer valores absurdos do parâmetro de forma, quado etão são recomedados estimadores de mometos LH, baseados a combiação liear de estatísticas de altas ordes, itroduzidas para caracterizar a parte mais alta da distribuição e os valores extremos dos dados; cotudo, ão se dispõe de programas computacioais para PC, que modelem evetos extremos via mometos LH. Objetivou-se, com este trabalho, apresetar a modelação de evetos hidrológicos extremos através da distribuição GEV, utilizado-se mometos LH para estimar seus parâmetros e o teste estatístico proposto por Wag (998) para verificação da qualidade dos ajustes desevolvidos o ambiete Matlab. Como resultados, são apresetados as estimativas dos parâmetros da GEV, os valores das taxas de mometos LH: coeficietes de variação, assimetria e curtose, e os valores do teste de qualidade de ajuste, em aplicações com dados de vazão de rios do Paraá. Palavras-chave: aálise de freqüêcia, estimação, teste de hipótese, evetos extremos Aalysis of extreme hydrological evets usig GEV distributio ad LH momets ABSTRACT The geeralized extreme-value (GEV) distributio has facilitated may applicatios i hydrology, used to model a wide variety of atural extreme evets. Previous studies show that small-sample maximum-likelihood estimators parameters are ustable ad demostrates that absurd values of the GEV shape parameter ca be geerated. It is recommeded that LH momets estimators, based o liear combiatios of higher-order statistics, should be itroduced for characterizig the upper part of distributios ad larger evets i data. However, there have bee o computer packages for PC that model extreme evets by LH momets. The objective of this paper was to preset the modelig of hydrological extreme evets by GEV distributio, usig LH momets to estimate its parameters ad the goodess-of-fit test proposed by Wag (998) to evaluate the goodess-of-fit, both developed i Matlab. The results are preseted for the estimatio of the parameters of the GEV, the values coefficiet of variatio, skewess, kurtosis ad goodess-of-fit test values, ad fittig extreme flow observed i Paraá Rivers by GEV distributio. Key words: frequecy aalysis, estimatio, hypothesis testig, extreme evets Cetro de Ciêcias Exatas e Tecológicas/UNIOESTE. Rua Uiversitária 69, Jardim Uiversitário, CEP 8589-, Cascavel, PR. Foe: (5)-6. mfqueiroz@uioeste.br. Departameto de Hidráulica e Saeameto/EESC/USP. CP 59, CEP , São Carlos, SP. Foe (6)7-966, Fax (6) fazal@sc.usp.br

2 8 Maoel M. F. de Queiroz & Fazal H. Chaudhry INTRODUÇÃO A distribuição de probabilidade geeralizada de valores extremos (GEV), itroduzida por Jekiso (955), que combia os três possíveis tipos de distribuição de valores extremos em uma úica forma, vem sedo utilizada para represetar a distribuição de valores extremos em diferetes campos, pricipalmete em aálise de freqüêcia de cheias, com cosiderável aceitação para descrever fluxo máximo de cheias auais. Na prática, a distribuição GEV é usada para modelar uma extesa variedade de extremos aturais, como cheias, chuvas, velocidade do veto, temperaturas e outros extremos (Martis & Stediger, ; Queiroz, ). Procedimetos computacioais para estimação dos parâmetros da GEV, utilizado-se estimadores de máxima verossimilhaça, foram propostos por Otte & va Motfort (98), Prescott & Walde (98) e Hoskig (985), porém esses estimadores são muito istáveis quado aplicados em pequeas amostras (Hoskig et al., 985) e podem gerar valores absurdos do parâmetro de forma (k) da GEV (Martis & Stediger, ). Recomedam-se estimadores de mometos LH, uma geeralização de mometos de combiações lieares de estatísticas de ordes mometos L (Hoskig, 99), baseados a combiação liear de estatísticas de altas ordes, itroduzidas para caracterizar, também, a parte mais alta da distribuição e os valores extremos dos dados, através das ordes LH mais altas, com vistas à estimação de evetos com grades períodos de retoro (Wag, 997). A ordem LH igual a zero é similar a mometos L; assim, a utilização de mometos LH possibilita o ajuste da distribuição GEV aos dados amostrais, desde a sua forma descritiva feita por mometos L até a caracterização dos valores mais altos, para uma aálise preditiva. Desta forma, e se cosiderado a performace e versatilidade do Matlab, desevolveu-se um algoritmo que realiza o ajuste da distribuição GEV a dados amostrais de valores extremos, através de 5 íveis de combiação lieares das estatísticas de ordes LH (,,, e ) sobre os mesmos. Aplicou-se o referido procedimeto para modelar séries de cheias auais e de vazões míimas de sete dias de 88 estações fluviométricas, localizadas em rios do Paraá. MATERIAL E MÉTODOS Distribuição GEV A fução de distribuição geeralizada de valores extremos GEV, que egloba as três formas assitóticas de distribuição de valores extremos cohecidas como valor extremo do tipo I (VEI), valor extremo do tipo II (VEII) e valor extremo do tipo III (VEIII) (Fisher & Tippett, 98; Gumbel, 958), é defiida, segudo Jekiso (955), como segue: x u α k F ( x) P( X x) exp k () sedo < x <+, k distribuição VEI (Distribuição Gumbel), k < distribuição VEII, k > distribuição VEIII ode u é um parâmetro de posicioameto com, α é um parâmetro de escala com e k é um parâmetro de forma com ; desta forma, quado k >, o limite superior da distribuição assitótica VEIII se tora ω u + α/k e, quado k <, o limite iferior da distribuição assitótica VEII se tora ε u + α/k. O p-ésimo quatil da distribuição GEV é dado pela seguite relação, decorrete da Eq. : x p k [ ( l( p) ) ] α u +, < p < k Combiado a distribuição de Gumbel com a sua variável reduzida (z): z (x u)/α, obtém-se F(x) exp[-exp(-z)] que resulta em: [ l( F(x) )] z l () A variável reduzida de Gumbel também se relacioa com o período de retoro (T), T/F(x); logo, a Eq. pode ser usada para defiir z com respeito às distribuições VEI, VEII e VEIII; assim, em um gráfico x versus z, defie-se o comportameto das três formas de distribuição de valores extremos, com relação à posição de plotagem de x, como mostra a Figura. Cheia Aual 6 5 VEII - k < VEI - k VEIII - k > Variável Reduzida de Gumbel Figura. Distribuição das três formas de valores extremos represetados pela GEV Mometos LH Seja X, X,...,X uma amostra aleatória de uma população com fução desidade de probabilidade f(x) e fução distribuição F(x), e x: x : L x : as estatísticas de ordem obtidos da amostra acima, o valor esperado do i-ésimo meor valor da variável é dado através da seguite expressão (Hoskig, 99). () R. Bras. Eg. Agríc. Ambietal, v.,., p.8 89, 6.

3 Aálise de evetos hidrológicos extremos, usado-se a distribuição GEV e mometos LH 8 Dada uma amostra de tamaho, retirada de uma distribuição F(x) P(X x) e com base a combiação liear das mais elevadas estatísticas de ordem e a Eq., os mometos LH são defiidos como: em que, maior valor esperado a amostra de tamaho +, correspode a uma medida de posicioameto da distribuição;, metade da difereça etre os maior e segudo maior valores esperados a amostra de tamaho +, caracteriza a expasão da parte superior da distribuição;, reflete como está a assimetria da parte superior da distribuição, através dos três maiores valores esperados a amostra de tamaho + e provê uma medida da potiagudez da parte superior da distribuição, através dos quatros maiores valores esperados a amostra de tamaho +. Quado, mometos LH se toram iguais aos mometos L; quado aumeta, os mometos LH refletem mais e mais as características da parte superior da distribuição e dos valores extremos máximos dos dados. Mometos LH são chamados mometos L, mometos L,... para,,... respectivamete. Normalizado os mometos LH, obtém-se o coeficiete de variação LH ( ), assimetria ( ) e curtose ( ), respectivamete, como: ordeado a amostra em x () x ( )... x ( ), a estimativa dos mometos LH é feita como segue: em que [ ( + )( : ) ] E [ X ( + )( : + ) ( + )( : + ) ] E [ X( + )( : + ) X ( + )( : + ) + ( + )( : + ) ] [ ] E X + λ (5) X λ (6) X λ (7) E X ( + )( : + ) X( + )( : + ) + X( + )( : + ) X( + )( : + ) λ (8) τ i i [ ] x[ F( x) ] [ F( x) ] df( x) E X λ λ λ ; τ τ ; λ λ λ λ i Cx () i C+ i ˆ () i i i i i i i ( C+ C+ C + C+ C C C ). () i λˆ x () C i + ( i i C+ C C ). () i ˆ λ () x C+ i ( i i i i i C+ C+ C + C C ). () i ˆ λ () x C+ i m C j i:! ( i)!(i )! m m! e j j! ( m C j quado j > m m j)! () (9) Estimativas dos parâmetros da distribuição GEV Dada uma amostra, os três parâmetros k, α e u da distribuição GEV podem ser estimados cosiderado-se a estimativa dos mometos LH amostrais, através das Eqs.,, e, para um valor selecioado de e κ, como segue (Wag, 997): α k λ u+ [ Γ( + k)( + ) ] () ( + ) αγ ( +κ) ( + ) + ( + ) (5) ( + ) αγ ( +κ) ( + )( + ) + ( + )( + ) + + (6) λ ( + ) αγ ( +κ) [ ( + 6)( + 5)( + ) + ( + 5)( + )( + ) )! κ ( ( + )( + )( + ) + ( + )( + )( + ) ] κ [ ] λ! κ [ )( ( )( ) ] λ! κ (7) assim, os parâmetros u, α e k da distribuição GEV podem etão ser estimados substituido-se os três primeiros mometos LH as Eqs., 5 e 6 pelos seus respectivos estimadores amostrais as Eqs., e, para cada valor de h selecioado (Wag, 997). Para facilitar o procedimeto computacioal, Wag (997) propôs uma equação aproximada para o cálculo de k, tomado como base as Eqs. 5 e 6 e a Eq. 9 que defiem, a qual correspode a, dode os coeficietes α, α e α variam em fução de (Tabela ). Uma vez obtido o valor de k, as Eqs. 5 e forecem, respectivamete α e u. Tabela. Valores dos coeficietes α, α e α * *Wag (997) α α α α,89 -,8,8 -,85,8 -,9,769 -,59 -,5,6 -,66,668 -,58,57 -,7 -,58,5 -,7 Aálises de dados observados e dados obtidos via simulação Mote Carlo, mostraram que mometos LH reduzem as ifluêcias idesejáveis que os meores evetos amostrais podem exercer a estimação de evetos com grades períodos de retoro, comparado ao uso de mometos L (Wag, 997; Queiroz, ). Razões de mometos e coeficiete de variação LH As razões de mometos e coeficiete de variação LH da distribuição GEV são calculadas combiado-se as relações em 9 com as Eqs., 5, 6 e 7; já as razões de mometos LH e coeficiete de variação LH amostrais são obtidos relacioado-se os mometos LH amostrais, idicados através das Eqs.,, e, seguido-se as fórmulas em 9, cujos mometos LH da distribuição GEV são substituídos por seus respectivos estimadores. R. Bras. Eg. Agríc. Ambietal, v.,., p.8 89, 6.

4 8 Maoel M. F. de Queiroz & Fazal H. Chaudhry Teste de qualidade de ajuste da distribuição GEV via mometos LH A distribuição GEV pode ser ajustada para uma série de dados, igualado-se os seus três primeiros mometos LH aos respectivos mometos LH amostrais, como já idicado (Wag, 997). A curtose LH da população ( τ ) é uma fução da assimetria LH populacioal ( τ ), em que ambos de- pedem apeas do parâmetro de forma k. Como o valor estimado da curtose LH amostral ( τˆ ) ão é usado o ajuste da distribuição GEV, Wag (998) cosiderou este parâmetro para desevolver a estatística do teste de qualidade de ajuste; deste modo e dado um particular estimador amostral τˆ, precisa-se cohecer p ( τˆ τˆ ) porém ão é tão simples ecotrar ( τˆ ) p quado a mesma depede de τˆ τ da população; cotudo, dado τˆ, é possível iferir τ populacioal, usado-se o teorema de Bayes, mostrado a seguir: ( τˆ ) p( τˆ τ ) ( τ ) p (8) τ p dode p( τ ) é uma distribuição a priori que pode ser iformativa ou ão iformativa. etão, dado ( τ τ ˆ ) ( ˆ τˆ ) P( τˆ τ, τˆ ) P( τ τˆ ) τ sedo ( τ ˆ p τ ) em Eq. 8 e ( τˆ τ, τˆ ) ser derivadas de p ( ˆ, τˆ τ ) p ecotra-se: p τ d (9) p em Eq. 9 podem τ, pricipalmete utilizado-se simulação Mote Carlo; portato, teoricamete é possível se comparar τˆ com p ( τˆ τˆ ) para iferir se a distribuição subjacete é sigificativamete diferete da distribuição GEV; apesar disso, proceder por tal iferêcia requer esforço computacioal que, em geral, ão é prático (Wag, 998). Wag (998) desevolveu um teste de qualidade de ajuste da GEV com base em ( τˆ τ τˆ ) de p ( ˆ τ, τ ) p como uma aproximação τ ˆ, além de assumir que as distribuições de τˆ e de τˆ da GEV, seguem uma distribuição cojuta ormal. Para descrição completa da distribuição cojuta ormal, precisa-se cohecer a média, o desvio padrão e o coeficiete de correlação dos estimadores amostrais τˆ e τˆ ; suas médias são assumidas para represetar os valores populacioais de τ e τ, respectivamete, em que é egligeciado algum erro de estimação. Os desvios padrão e coeficiete de correlação, deotados como σ( τˆ ), σ( τˆ ) e ρ( τˆ, τˆ ), respectivamete, são fuções de τ e do tamaho da amostra e podem ser ecotrados através de simulação Mote Carlo. A distribuição codicioal amostral de ˆ, quado τ τˆ τ é ormalmete distribuída com média τ e com desvio padrão, dado como segue (Wag, 998): Um teste de hipótese de que uma série de dados vem da distribuição ajustada, pode ser coduzido a base da estimativa amostral τˆ através da comparação da seguite estatística (Wag, 998): com valores críticos de uma distribuição ormal padrão. O desvio padrão em Eq., σ( τˆ τˆ τ ), é fução de τ e do tamaho da amostra e pode ser calculado com σ( τˆ ) e ρ( τˆ, τˆ ) através da Eq., usado-se simulação Mote Carlo. Para evitar o eorme esforço computacioal evolvido as várias fases do teste, Wag (998) propôs a seguite aproximação: dode: b [ ˆ ] ( τˆ τˆ τ ) σ( τˆ ) ρ ( τˆ, τ ) σ () τˆ τ Z W () σ τ σ ( ˆ τˆ τ ) b + b [ τ ] + b [ τ ] + b [ τ ] + [ τ ] e c c + c [ τ ] + c [ τ ] + c [ τ ] + [ τ ] b b c ( τˆ τˆ τ ) + () c os coeficietes b, b, b, b, b, c, c, c e c variam com os valores de e estão apresetados a Tabela. A Eq. tem a mesma forma daquela utilizada por Chowdhury et al. (99) para coeficiete de variação L e assimetria L e assegura que a variâcia é assitótica e iversamete proporcioal ao tamaho da amostra, equato o segudo termo assegura tal efeito em amostras pequeas. O diagrama de mometos LH também permite avaliar-se, graficamete, a qualidade dos ajustes da distribuição GEV, comparado-se os coeficietes teóricos e amostrais de assimetria e curtose. O diagrama de mometos LH tem a vatagem de possibilitar a comparação dos ajustes de diversas séries de dados, em um mesmo gráfico. Rotia em Matlab para mometos LH e teste de Wag (998) Os procedimetos de ajuste da distribuição GEV através de mometos LH (Wag, 997) e do teste de qualidade de ajuste para a mesma, proposto por Wag (998), estão sistematizados através da seguite rotia em Matlab, que procede ao ajuste para qualquer tamaho de amostra. Tabela. Valores dos coeficietes b i e c i ( i,,, e ) das expressões de b e c da Eq * *Wag (998) b b b b b c o c c c c 5,555,67 -,, -,8 -,96,8 -,87,579 -,8,5 -,,67, -,89 -,8777 9,57-5, ,57,6 -,856,566,88 -, -,585,5-7,887 -,9,5 -, 78,678 -,88,555,76 -,76,, - -,,779-8,85,57-7,995,959 R. Bras. Eg. Agríc. Ambietal, v.,., p.8 89, 6.

5 Aálise de evetos hidrológicos extremos, usado-se a distribuição GEV e mometos LH 85 fuctio [k,α,u,cv,ca,cc,z w ]fmomlh(x) % %Calcula os primeiros mometos-lh % determia os parâmetros (k,α,u) da GEV para h,,, e % determia as razões de mometos LH (cv,ca,cc ) para,,, e % determia os valores do Teste de WaG z w para,,, e % xsort(x); Nlegth(x); for j:5 j-; if kn; kk*(n-)/; kk*(n-)/; kk*(n-)/; elseif kn*(n-)/; kk*(n-)/; kk*(n-)/; kk*(n-)/5; elseif kn*(n-)*(n-)/6; kk*(n-)/; kk*(n-)/5; kk*(n-5)/6; elseif kn*(n-)*(n-)*(n-)/; kk*(n-)/5; kk*(n-5)/6; kk*(n-6)/7; else kn*(n-)*(n-)*(n-)*(n-)/; kk*(n-5)/6; kk*(n-6)/7; kk*(n-7)/8; ed sigma; sigma; sigma; sigma; for i:n if Fi-; F; FF*(i-)/; F6F*(i-)/; elseif Fi-; FF*(i-)/; FF*(i-)/; F6F*(i-)/; elseif F(i-)*(i-)/; FF*(i-)/; FF*(i-)/; F6F*(i-5)/5; elseif F(i-)*(i-)*(i-)/6; FF*(i-)/; FF*(i-5)/5; F6F*(i-6)/6; else F(i-)*(i-)*(i-)*(i-)/; FF*(i-5)/5; FF*(i-6)/6; F6F*(i-7)/7; ed FN-i; F5F*(N-i-)/; F7F5*(N-i-)/; coeff; coeff-f.*f; coeff-*f*f+f*f5; coeff6-*f*f+*f*f5-f*f7; sigmasigma+coef*x(i); sigmasigma+coef*x(i); sigmasigma+coef*x(i); sigmasigma+coef*x(i); ed LH(j)sigma./k; LH(j)sigma./(*k); LH(j)sigma./(*k); LH(j)sigma./(*k); cv(j)lh(j)./lh(j); % coeficiete de variação ca(j)lh(j)./lh(j); % Coeficiete de assimetria cc(j)lh(j)./lh(j); % Coeficiete de curtose ed %Cálculo dos parâmetros da GEV %coeficietes para o cálculo de k (Wag,997) Ao[,89,8,59,668,7]; A[-,8 -,9 -,5 -,58 -,58]; A[,8,769,6,57,5]; A[-,85 - -,66 - -,7]; for i:5 ii-; k(i)ao(i)+a(i)*cs(i)+a(i)*cs(i)^+a(i)*cs(i)^; α (i)(lh(i)**k(i))/((i+)*(-(i+)^(-k(i))+(i+)^(-k(i)))*gamma(+k(i))); u(i)lh(i)-a (i)*(-gamma(+k(i))*(i+)^(-k(i)))/k(i); ed % teste de hipótese proposto por Wag (998) b[5,555,67 -,,579 -,8,5 -,,67 8 -,57,6 -,856,566 -,9,5 -, 78,, - -,]; c[, -,8 -,96,8 -,87, -,89 -,8777 9,57-5,7866,88 -, -,585,5-7,887,678 -,88,555,76 -,76,779-8,85,57-7,995,959]; for j:5 bo(j)b(j,)+b(j,)*ca(j)+b(j,)*ca(j)^+b(j,)*ca(j)^+b(j,5)*ca(j)^; co(j)c(j,)+c(j,)*ca(j)+c(j,)*ca(j)^+c(j,)*ca(j)^+c(j,5)*ca(j)^; sig(j)bo(j)/+co(j)/^; t(j)(j+)*α(j)*gamma(+k(j))*(-(j+)^(-k(j))+(j)^(-k(j)))/(*k(j)); t(j)(j+)*α(j)*gamma(+k(j))*(-(j+5)*(j+)*(j+)^(-k(j))+*(j+)*(j+)* (j+)^(-k(j))-*(j+)*(j+)*(j+)^(-k(j))+(j+)*(j+)*(j)^(-k(j)))/(***k(j)); cct(j)t(j)/t(j); R. Bras. Eg. Agríc. Ambietal, v.,., p.8 89, 6.

6 86 Maoel M. F. de Queiroz & Fazal H. Chaudhry z(j)abs(cc(j)-cct(j))/(sig(j))^.5; ed % Ajustes de cheias aual e vazões míima de 7 dias, observadas em rios do Paraá Séries de cheia aual e vazão míima de 7 dias observadas em estações fluviométricas istaladas em rios da subbacia 6, da Bacia hidrográfica do Paraá, estado do Paraá, foram ajustadas através da distribuição GEV e mometos LH, aplicado-se a rotia em matlab proposta. A aálise de aderêcia foi feita utilizado-se os testes de Wag (998) e de Kolmogorov-Smirov, com 5% de sigificâcia para os ajustes das séries de cheia aual e o teste de Kolmogorov- Smirov, com sigificâcia de 5%, para os ajustes de vazão míima de 7 dias. A qualidade dos ajustes foi também avaliada através do diagrama de mometos LH, para os dois casos de séries de dados observados. - Cheia aual - m s A. B. N aos cheia observada GEV - mlh GEV - mlh GEV - mlh GEV - mlh GEV - mlh RESULTADOS E DISCUSSÃO O algoritmo proposto realiza a estimação dos três parâmetros da distribuição GEV através de mometos LH, calcula as taxas de mometos LH e coeficiete de variação e os valores do teste de qualidade de ajuste, segudo Wag (998). Os resultados do processo de ajuste da GEV a uma série de dados de cheias auais ou de vazões míimas, podem ser apresetados para os diferetes valores de h, em uma tabela desehada uma jaela de figura do matlab, como apresetado a Tabela. Os ajustes da distribuição GEV referetes aos cico valores de (LH, LH, LH, LH e LH) são plotados em um gráfico, jutamete com os dados observados de vazões (Figura ). O melhor ajuste determiado a partir do meor valor do teste de Wag é exibido com os valores de cheias em outro gráfico (Figura ); o mesmo procedimeto pode ser aplicado para ajustar vazões míimas. Na Figura apreseta-se, aida, um gráfico de vazões míimas de sete dias, obtidos da mesma série de vazões diária observadas a estação fluviométrica sob o código 6685, localizada o Paraá. As Tabelas e 5 apresetam os resultados dos ajustes da distribuição GEV as séries de cheia aual e de vazão míima de 7 dias estudadas, as quais são mostrados os valores dos três parâmetros da GEV, das taxas de mometos e dos testes de aderêcias aplicados, com os respectivos valores teóricos. - Cheia aual - m s - Vazão míima de 7 dias - m s 5 5 C. Naos cheia observada GEV - mlh N aos vazão observada GEV - mlh Variável Reduzida de Gumbel Figura. (A) Ajustes da distribuição GEV à série de cheia aual, aplicadose os cico íveis de mometos LH; (B) Melhor ajuste da distribuição GEV à série de cheia aual e (C) Melhor ajuste da distribuição GEV à série de vazão míima de sete dias Tabela. Resultados do ajuste da distribuição GEV, forecidos pela rotia em Matlab LH Parâmetros da distribuição GEV Taxas de mometos LH Testes estatísticos k α u cv ca cc Zw KS,6 997, 5, 8,675 8, ,, 5,7 96,687 8, 5, 8 8, 8 9,7,9,868 8,69 6, 5 9, 5 66,57,658 9,95 9, 5 998, , k - parâmetro de forma; α- parâmetro de escala; u - parâmetro de Kolmogoroc-Smirov, com Ks(,5) teórico de posição; cv - coeficiete de variação; ca - coeficiete de assimetria; cc - coeficiete de curtose; Zw - teste de Wag, com Zw(,5) teórico,96; Ks - teste R. Bras. Eg. Agríc. Ambietal, v.,., p.8 89, 6.

7 Aálise de evetos hidrológicos extremos, usado-se a distribuição GEV e mometos LH 87 Tabela. Ajustes da distribuição GEV às séries de cheia aual Código da Estação N Parâmetros da GEV k α u cv Taxas de mometos ca cc LH W ajuste χ χ ajuste teórico 6 -, 57,7,,9,,5,,8,5,6 6 -,, 8,,9,,,5,6,8, , 96,8 8,,,,8,8 7,8,, 66,,9 68,,5,,,8,7,8,, ,9 5,,,9 7, , 9,,,,,8,65,67,8,, 69 58, 5, 5,,,6,9,9 7,8, 6 5 -, 9,5 95,,9,,8,5,5,,6 68 7, 5, 85,,,,,97,8, 67,5 9, 6,, -,,9,8, , 5,6,,,7,9,,8,5 66 7,,8 6,,,5,,7,5 66 -, 9,9 9,,7,8,5,,7,8, ,6 98,,,,89,7 7,8, , 9,5 79,,,9,,8,5,, ,5 89,9,, -,,9,,8,8, 65,5 7,6 5,, -,,86,, ,6,,,5,,8, 7,8, 6585,5 55,7 86,,7 -,,,58,7,8 655,8 9, 655,,,8,,6,, , 95,,,,7,5, , 96,8 5,,,,,8, , 55,5 55,,,5,9,67 7,8 665, 78,,,,,,6, 6655,56 7,7 87,,,,,8, 6659,56 7,7 87,,,,,8, 667 -,,,,,8,6,8,7, ,,,,,,89,67,8, 6685, 9,5 998,,,5, 6689, 578, 9,,,5,,,8,,6 669,6 9,7 78,,5,79,8, 6775,7,6 6,,,9,8, 677 8, 8,,,,,7,8,8, ,8 5, 697,,,9,97,, ,,5 9,,,8,,7,7, 679, 8,7 75,,,6,,,, , 6,5 59,,,5,,58,, , 8,7 75,,,6,,,, 68 -, 5,9 6,,5,,6,,, 685 -, 5,9 6,,5,,6,,, 68 8,8 75, 66,,8,5,8,, ,6 5,9 779,,,5,,,95 7,8,5,9 Ks ajuste Ks teórico K - parâmetro de forma;, α- parâmetro de escala; u - parâmetro de posição; cv - coeficiete de variação; ca - coeficiete de assimetria; cc - coeficiete de curtose; Zw - teste de Wag, com Zw(,5) teórico,96; Ks - teste de Kolmogoroc-Smirov, com Ks teórico de,5 de sigificâcia Os ajustes da distribuição GEV aos dados de evetos hidrológicos extremos, referetes aos 5 íveis de combiações lieares (), depededo do comportameto dos dados, podem resultar em valores de k > ou k < para os diferetes valores de h, defiido o tipo de valor extremo (VEI, VEII ou VEIII); a prática, quado, < k <,, o ajuste se aproxima cosideravelmete da distribuição Gumbel; Para, o ajuste de mometos LH correspode aos mometos L que atribui o mesmo peso para os dados durate o processo de ajuste; à medida que o valor de aumeta, os valores amostrais mais altos recebem maiores poderações. Na Figura são apresetados os diagramas de mometos LH referetes ao ajuste da distribuição GEV às séries de cheias auais e de vazões míimas de sete dias observadas as estações fluviométricas cosideradas, como forma de mostrar a utilidade desta ferrameta para avaliar a qualidade dos ajustes obtidos através da distribuição GEV e mometos LH, a qual é possibilitada com o uso do algoritmo proposto. Os testes de Wag e de Kolmogorov-Smiriv aplicados idicam que os ajustes da distribuição GEV às séries de cheia aual e de vazão míima, foram aceitos com 5% de sigificâcia, ocorredo as três formas de valores extremos. O teste proposto por Wag (998) mostrou-se eficiete como teste de aderêcia aplicado às séries de cheia aual, em que os melhores ajustes ocorreram com os mometos LH, variado de a ; o mesmo ão foi aplicado às séries de vazão R. Bras. Eg. Agríc. Ambietal, v.,., p.8 89, 6.

8 88 Maoel M. F. de Queiroz & Fazal H. Chaudhry Tabela 5. Ajustes da distribuição GEV às séries de vazão míima de 7 dias Estação N Parâmetros da GEV Taxas de mometos LH Teste Kolmogorov k α u cv ca cc Ajuste Teórico 6,6,9 9,7,9,966,6 6 -,896,,878,55,86, ,, 7,99,69,955,55,9 66,5 5,875,5,5,, ,,8 6,8,55,5, ,85 7,6,57,9,96,5, ,9,55 5,6 5,669,6,8 6 5,5,6,5,95, 8, ,7,,8,85,5,875,8 67 9,6,5,56 9,58,,8 66 7,,6,69,568,7,, , 5,,7,7,65,8, ,,5,5 8,68,55, ,8,69 5,66,6, 65, 8,7,8 78,9, ,5 6,78 8,9 9,5,5,7 6585,96,66,68,65,7, ,8 59,6 59,97,6,5, ,5,6,6, ,7,97,,57,5 -, ,5,58,55,59,69 5, ,8 8,56,86, ,76,66,88,8 6,8 667,55,58,87,95,6,6,8, ,9,76 8,76,77,9 95, ,56,5,85,8, ,7,765 97,9 9,667,8,5, ,68 9,7,97,568, ,8,787,9, 8, ,655 9,6,8, ,8 5,,7, ,6,5 5,69,5,8, ,769 8,956,85,87,58,6 68,5 6,,95,9 55,5 68 8,56 5,678,79,,9, , 5, 7,,6, 6, ,,,99,6 8,,6 K - parâmetro de forma; α- parâmetro de escala; u - parâmetro de posição; cv - coeficiete de variação; ca - coeficiete de assimetria; cc - coeficiete de curtose; teste de Kolmogoroc-Smirov, com Ks teórico de,5 de sigificâcia. A. B..8 GEV-LH GEV-LH cheia aual GEV-LH GEV-LH vazão míima Curtose Assimetria Figura. A. Diagrama de mometos LH para as cheias auais e B. Diagrama de mometos LH para as vazões míimas de 7 dias R. Bras. Eg. Agríc. Ambietal, v.,., p.8 89, 6.

9 Aálise de evetos hidrológicos extremos, usado-se a distribuição GEV e mometos LH 89 míimas visto que os coeficietes apresetados a Tabela se referem a valores extremos máximos. CONCLUSÕES. A distribuição GEV e os mometos LH foreceram ajustes adequados das cheias auais e das vazões míimas, coforme os testes de aderêcia de Wag e de Kolmogorov- Smirov, com 5% de sigificâcia, aplicados através da rotia proposta em matlab.. O programa forece, como resultados, os três parâmetros da distribuição GEV, às razões de mometos LH que permitem traçar o diagrama de mometos LH, além dos valores do teste de Wag (998) que avalia a qualidade do ajuste para cada ível LH.. O teste de qualidade de ajuste proposto por Wag (998) idicou os melhores ajustes, seguido os resultados forecidos pelo teste de Kolmogorov-Smirov, referetes às séries de cheia aual modeladas. LITERATURA CITADA Chowdhury, J. U.; Stediger, J. R.; Lu, L. Goodess-of-fit test for regioal geeralized extreme value flood distributios. Water Resources Research, Washigto, v.7,.7, p , 99. Fisher, R. A.; Tippett, L. H. C. Limitig forms of the frequecy distributio of the largest or smallest member of a sample. Proceedigs of the Cambridge Philosophical Society, Cambridge, v.,., p.8-9, 98. Gumbel, E. J. Statistics of extreme. New York: Columbia Uiversity Press, 958, 96p. Hoskig, J. R. M.; Algorithm AS5: maximum-likelihood estimatio of the parameter of the geeralized extrem-value distributio. Joural of the Royal Statistical Society: Series C (Applied statistics), Lodo, v.,., p.-, 985. Hoskig, J. R. M. L-momets: aalysis ad estimatio of distributio usig liear combiatios of order statistics, Joural of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical methodology), Lodo, v.5,. p.5-, 99. Hoskig, J. R. M.; Wallis, J. R.; Wood, E. F. Estimatio of the geeralized extreme value distributio by the method of probability weighted momets. Techometrics, Alexadria, v.7,., p.5-6, 985. Jekiso, A. F. The frequecy distributio of the aual maximum (or miimum) of meteorological elemets, Quarterly Joural of the Royal Meteorological Society, Lodo, v.8, , p.58-7, 955. Martis, E. S.; Stediger, J. R. Geeralized maximum-likelihood geeralized extreme-value quatile estimators for hydrologic data. Water Resources, Research, Washigto, v.6,., p.77-7,. Otte, A.; va Mofort, M. A. J. Maximum-likelihood estimatio of the geeral extreme-value distributio parameters. Joural of Hydrology, Amsterdam, v.7, p.87-9, 98. Prescott, P.; Walde, A. T. Maximum likelihood estimatio of the parameters of the geeralized extreme value distributio. Biometrika, Oxford, v.67, p.7-7, 98. Queiroz, M. M. F. de Aálise de cheias auais segudo distribuição geeralizada: EESC/USP,. 5p. Tese Doutorado Wag, Q. J. LH momets for statistical aalysis of extreme evets, Water Resources Research, Washigto, v.,., p.8-88, 997. Wag, Q. J. Approximate goodess-of-fit test of fitted geeralized extreme value distributio usig LH momets, Water Resources Research, Washigto, v.,., p.97-5, 998. R. Bras. Eg. Agríc. Ambietal, v.,., p.8 89, 6.