CONTRIBUIÇÃO AO MÉTODO DA MODELAGEM POR LINHAS DE TRANSMISSÃO (TLM) E SUA APLICAÇÃO AOS ESTUDOS EM BIOELETROMAGNETISMO

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1 HUGO ARMANDO DOMÍNGUEZ ALMAGUER CONTRIBUIÇÃO AO MÉTODO DA MODELAGEM POR LINHAS DE TRANSMISSÃO (TLM) E SUA APLICAÇÃO AOS ESTUDOS EM BIOELETROMAGNETISMO FLORIANÓPOLIS 003

2 UNIERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA CONTRIBUIÇÃO AO MÉTODO DA MODELAGEM POR LINHAS DE TRANSMISSÃO (TLM) E SUA APLICAÇÃO AOS ESTUDOS EM BIOELETROMAGNETISMO Tese submetda à Unversdade Federal de Santa Catarna como parte dos requstos para a obtenção do grau de Doutor em Engenhara Elétrca. HUGO ARMANDO DOMÍNGUEZ ALMAGUER Floranópols, Março de 003

3 Resumo da Tese apresentada à UFSC como parte dos requstos necessáros para a obtenção do grau de Doutor em Engenhara Elétrca. CONTRIBUIÇÃO AO MÉTODO DA MODELAGEM POR LINHAS DE TRANSMISSÃO E SUA APLICAÇÃO AOS ESTUDOS EM BIOELETROMAGNETISMO Hugo Armando Domíngue Almaguer Março/003 Orentador: Adroaldo Raer, Dr. Área de Concentração: Eletromagnetsmo e Dspostvos Eletromagnétcos. Palavras-chave: TLM, Modelagem numérca de campos eletromagnétcos, Boeletromagnetsmo. Número de págnas: 160. RESUMO: O foco prncpal dos estudos do presente trabalho está drgdo ao desenvolvmento e mplementação do método da modelagem numérca por Lnhas de Transmssão (TLM) e à aplcação do mesmo em problemas de nteração dos campos de radofreqüênca (RF) com os meos bológcos. São apresentados em detalhes os aspectos fundamentas das versões b e trdmensonas do método TLM tradconal. É realada a mplementação de malhas rregulares (do tpo graded mesh) para as duas topologas TLM-D, contornando assm as lmtações mpostas pelo aspecto geométrco da malha tradconal. Os algortmos são adaptados para o tratamento de meos com perdas, obtendo-se um equaconamento que garante a smulação de números problemas de propagação de ondas eletromagnétcas em estruturas de geometra arbtrára, sempre que os meos sejam lneares, sotrópcos e não dspersvos. São abordados também os prncpas aspectos teórcos do fenômeno da nteração dos campos de RF com os meos bológcos. Para a modelagem no domíno do tempo de fenômenos envolvendo meos dspersvos, é estudada a formulação TLM modfcada (D e 3D), utlando técncas de Transformada Z. O método assm reformulado permte a manpulação dreta no domíno do tempo das equações com parâmetros dependentes da freqüênca. O equaconamento do TLM dspersvo é condconado para o tratamento de meos delétrcos de prmera ordem (materas de Debe), que é o caso dos meos bológcos. Três eemplos de aplcações em boeletromagnetsmo são estudadas para testar as potencaldades do TLM. Os resultados das smulações foram altamente satsfatóros, mostrando assm a efcáca do método como ferramenta de cálculo para a modelagem deste tpo de problema. v

4 Abstract of Thess presented to UFSC as a partal fulfllment of the requrements for the degree of Doctor n Electrcal Engneerng. CONTRIBUTION TO THE TRANSMISSION LINE MODELING METHOD (TLM) AND ITS APPLICATION IN BIOELECTROMAGNETIC STUDIES Hugo Armando Domíngue Almaguer March /003 Advsor: Adroaldo Raer, Dr. Area of Concentraton: Electromagnetsm and Electromagnetc Devces. Kewords: TLM, Numercal Modelng of Electromagnetc Felds, Boelectromagnetsm. Number of pages: 160. ABSTRACT: Ths thess deals wth the development and mplementaton of numercal models based on the Transmsson Lne Modelng Method (TLM) and ts applcaton n problems related wth the nteracton between rado frequenc (RF) felds and bologcal sstems. The whole tradtonal TLM method s descrbed n ts two and three-dmensonal versons. The rregular mesh formulaton (called graded mesh) s presented for the two-dmensonal cases, outlnng the lmtatons mposed b the regular geometrc aspect of the tradtonal TLM meshes. The rregular algorthms are mproved to etend the capabltes of the TLM to model electrc and magnetc loss materals. The man theoretcal aspects of the nteracton between RF felds and bologcal tssues are also studed. Z-transform technques are used n the development of D and 3D TLM teraton procedures for modelng of electromagnetc wave propagaton n lnear frequenc-dependent materals. The formulaton s adapted to the descrpton of frst-order (Debe) delectrc materals, because bologcal tssues can be modeled n ths wa. Three applcatons nvolvng bologcal tssue radaton feld nteractons are modeled applng the TLM codes developed. The results confrm that the TLM method s a valuable technque for modelng of boelectromagnetc problems. v

5 SUMÁRIO RESUMO ABSTRACT SUMÁRIO LISTA DE SÍMBOLOS v v INTRODUÇÃO GERAL 01 1 O MÉTODO TLM O método TLM D O nó TLM D Paralelo Processo de propagação da energa na malha com nó Paralelo Computação dos campos para o nó Paralelo O nó TLM D Sére Processo de propagação da energa na malha com nó Sére Computação dos campos para o nó Sére O método TLM 3D Formulação de Nalor para o nó SCN Computação dos campos para o nó SCN Procedmento para o cálculo do espalhamento da energa no nó SCN Processo de coneão com o momento segunte para o nó SCN Condções de contorno Ectação da malha TLM Eploração de resultados no domíno da freqüênca Fontes de erros no método TLM Erro de truncamento Erro de velocdade (dspersão) Erro de dscretação pobre (malha esparsa) Conclusões do capítulo 37 MALHA TLM-D IRREGULAR 38.1 Introdução 38. O nó Paralelo para malha rregular 40.3 O nó Sére para malha rregular 4.4 Seleção dos parâmetros dos nós para garantr o sncronsmo da propagação na malha rregular 43.5 Propagação de energa na malha TLM D rregular e computação de campos 48.6 Modelagem de nterfaces entre nós de regões dferentes. Coneão dos pulsos 50.7 Modfcação do nó Sére para a análse do modo TE em materas delétrcos com perdas 51.8 aldação das mplementações TLM-D para malha rregular 57

6 .8.1 Aplcação a casos de nteresse prátco em mcroondas: Estrutura fne lne unlateral Aplcação a casos de nteresse prátco em mcroondas: Gua de onda de crsta (rdged wavegude) 6.9 Conclusões do capítulo 66 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS Introdução Faa das radofreqüêncas Propredades elétrcas da matéra bológca Transferênca de energa Permssvdade delétrca complea Influênca da freqüênca, temperatura e conteúdo de água na permssvdade delétrca dos tecdos bológcos Permeabldade magnétca dos meos bológcos Equações de Mawell e suas relações consttutvas para os meos bológcos Tangente de perdas e profunddade de penetração nos tecdos Equação de Debe Taa de Absorção Especfca dos tecdos Conclusões do capítulo 88 4 FORMULAÇÃO TLM PARA MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS Introdução Consderações ncas Nó TLM D Paralelo para a modelagem de meos delétrcos dspersvos Aplcação da formulação no domíno para meos a parâmetros constantes Aplcação da formulação no domíno para meos delétrcos dspersvos de prmera ordem Processos de espalhamento e coneão com o momento segunte Nó TLM D Sére para a modelagem de meos delétrcos dspersvos Aplcação da formulação no domíno para meos a parâmetros constantes Aplcação da formulação no domíno para meos delétrcos dspersvos de prmera ordem Processos de espalhamento e coneão com o momento segunte Nó TLM 3D SCN para a modelagem de meos delétrcos dspersvos aldação das mplementações TLM para a modelagem de materas delétrcos dspersvos casos testes para meos bológcos Caso teste 1: Cálculo do coefcente de refleão na nterface ar-água devdo à ncdênca normal de uma onda plana unforme Caso teste : Cálculo do coefcente de refleão na nterface ar /3 músculo devdo à ncdênca normal de uma onda plana unforme Caso teste 3: Cálculo da dstrbução do campo elétrco no nteror de uma esfera preenchda por um meo delétrco dspersvo homogêneo Caso teste 4: Cálculo da dstrbução do campo elétrco no nteror de uma esfera preenchda por duas camadas de meos delétrcos dspersvos Conclusões do capítulo APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 10

7 5.1 Introdução Estudo de um tpo de aplcador elétrco para a terapa não nvasva de tumores ntramusculares por hperterma Modelo D Aplcador RF Tecdo humano Resultados e dscussão Modelagem da nteração de antenas prómas à cabeça humana (estudo baseado em modelos canôncos) Modelagem D de modelos multcamadas da nteração de antenas prómas à cabeça humana Estudo de ressonânca eletromagnétca para o corpo humano eposto à campos dstantes Conclusões do capítulo 147 CONCLUSÕES GERAIS 148 ANEXO 1 Matr de espalhamento [S], correspondente ao nó TLM-D Sére modfcado para a análse do modo TE em problemas delétrcos com perdas 151 ANEXO Referêncas bblográfcas pessoas 15 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 154

8 LISTA DE SÍMBOLOS E ABREIATURAS Símbolo Descrção Undade ANATEL Agênca Naconal de Telecomuncações ABC Â Condção de Frontera Absorvente (Absorbng Boundar Condton) alor compleo resultante da DFT a, a 0 Dmensões geométrcas dos guas de onda m B v etor ndução magnétca Wb/m b, b 0 Dmensões geométrcas dos guas de onda m CG FFT Conjugate Gradent Fast Fourer Transform C, C, C, C Capactânca das lnhas de transmssão F C s Capactânca dos tocos capactvos F C T Capactânca total do nó F C d, C sd, C d, C d Capactânca por undade de comprmento F/m c elocdade da lu m/s c Capacdade específca de calor J/g C DFT Transformada Dscreta de Fourer (Dscreet Fourer Transform) D v etor ndução elétrca C/m d Profunddade de penetração m d Dstânca antena cabeça m

9 E v, Ê v etor e vetor fasor campo elétrco /m E, E, E Componentes do campo elétrco /m Ê Campo elétrco total (valor compleo) /m t Ê Campo elétrco ncdente (valor compleo) /m Ê Campo elétrco refletdo (valor compleo) /m r E 0 Ampltude máma do campo elétrco /m E t Componente tangencal do campo elétrco /m E n Componente normal do campo elétrco /m Ew Dstânca antena parede condutora m FDTD FEM Método das Dferencas Fntas no domíno do Tempo (Fnte Dfference Tme Doman Method) Método dos Elementos Fntos (Fnte Element Method) F(s) Função no domíno s f(t) Função no domíno do tempo f Freqüênca H f c Freqüênca de corte H G(s) Função no domíno s G s, G, G, G e Condutânca dos tocos dsspatvos S G s Condutânca normalada dos tocos dsspatvos para as malhas convenconas G sd, G ed Condutânca por undade de comprmento S/m g e Condutânca normalada dos tocos dsspatvos para as malhas dspersvas

10 g(t) Função no domíno do tempo H v, Ĥ v etor e vetor fasor campo magnétco A/m H, H,, H Componentes do campo magnétco A/m IFT Transformada Inversa de Fourer (Inverse Fourer Transform) I, I, I Componentes da corrente elétrca no nó para cada dreção A I 1, I,,I 1 Correntes dos ramos dos nós A,, Componentes normaladas da corrente elétrca no nó para cada dreção Quantdade ncdente (sufo sobrescrto) J v c, Ĵ v etor e vetor fasor da densdade superfcal de corrente A/m c Ĵ v ce Ĵ v de etor fasor da densdade superfcal de corrente de condução efetva etor fasor da densdade superfcal de corrente de deslocamento efetva A/m A/m j 1 Número da teração no tempo (prefo subscrto) e Coefcente de ganho L Comprmento do corpo m L, L, L, L Indutânca das lnhas de transmssão H L s Indutânca dos tocos ndutvos H L T Indutânca total do nó H L d,l sd,l d,l d Indutânca por undade de comprmento H/m MoM Método dos Momentos (Moments Method) v

11 N Número de regões de dspersão NterT Número de terações no tempo n Indcador do eo, ou (sufo subscrto) n OMS Indcador do número da regão de dspersão (sufo subscrto) Organação Mundal da Saúde P rad Potênca radada pela antena W P m Taa de aquecmento metabólco W/g P c P b p Taa de perda de calor por undade de volume devdo à condução térmca Taa de perda de calor por undade de volume devdo ao fluo sanguíneo Número dos ramos do nó W/g W/g RNI Radação Não Ionante R alor real no domíno do tempo para o cálculo da DFT R s Resstênca dos tocos dsspatvos Ω R sd Resstênca por undade de comprmento Ω/m R s RF Resstênca normalada dos tocos dsspatvos para as malhas convenconas Radofreqüênca r Quantdade refletda (sufo sobrescrto) rms alor efca (root mean square) S Densdade de potênca W/m SAR Taa de Absorção Específca (Specfc Absorpton Rate) W/g v

12 SCN Nó Smétrco Condensado (Smmetrc Condensed Node) [S] Matr de espalhamento S e, S e, S e Funções no domíno dscreto S edn, S edn, S edn Funções aulares no domíno dscreto s Operador de Laplace (domíno s) s -1 s Operador de Laplace normalado T Coefcente de transmssão T Temperatura C T e Coefcente de ganho TE Polaração Transversal Elétrca TM Polaração Transversal Magnétca t Tempo s tanδ Tangente de perdas,, Componentes de tensão do nó para cada dreção 1,,, 1 Tensão total nas portas do nó 1,..., 1, Tensão ncdente nos ramos do nó r r r 1,..., 1, Tensão refletda nos ramos do nó sc sc sc,, Tensão ncdente nos tocos capactvos sl, sl, sl Tensão ncdente nos tocos ndutvos r r r sc, sc, sc Tensão refletda nos tocos capactvos v

13 r r r sl, sl, Tensão refletda nos tocos ndutvos sl etor das tensões ncdentes r etor das tensões refletdas,, Coordenadas espacas cartesanas m Y LT, Y LT, Y LT Admtâncas das lnhas de transmssão Ω -1 Y 0 Admtânca característca do espaço lvre Ω -1 Y s, Y sc Admtâncas dos tocos capactvos Ω -1 Yˆ, Y s Admtâncas normaladas Z LT, Z LT, Z LT Impedâncas das lnhas de transmssão Ω Z 0 Impedânca característca do espaço lvre Ω Z s, Z sc Impedâncas dos tocos capactvos Ω Ẑ, Z s Impedâncas normaladas Z t Impedânca de termnação da malha Ω Z eq Impedânca equvalente Ω Z gap Impedânca no gap da antena Ω Ẑ Impedânca da água (valor compleo) Ω agua Operador do domíno dscreto α, β, δ, γ Regões de dspersão delétrca α en β en Coefcente de ganho para materas delétrcos de Debe com n termos de relaação Coefcente resultante da dscretação eponencal para materas delétrcos de Debe com n termos de relaação v

14 ,, Comprmento dscretado do nó para cada dreção m l Comprmento dscretado do nó para malha regular m t Passo de tempo dscretado s χ en Contraste da susceptbldade elétrca para materas delétrcos de Debe com n termos de relaação ε Permssvdade elétrca F/m ε r Permssvdade elétrca relatva (constante delétrca) ε 0 Permssvdade elétrca do espaço lvre F/m εˆ Permssvdade elétrca complea F/m ' ε Parte real da permssvdade elétrca complea F/m '' ε Parte magnára da permssvdade elétrca complea F/m εˆ r Permssvdade elétrca relatva complea ' ε Parte real da permssvdade elétrca relatva complea r (constante delétrca) '' ε Parte magnára da permssvdade elétrca relatva r complea ε Constante delétrca no nfnto ε sn Γ Constante delétrca estátca para a regão de dspersão delétrca n Coefcente de refleão λ Comprmento de onda m v LT, v LT, v LT elocdade de propagação nas lnhas de transmssão m/s v m elocdade de propagação da onda num meo qualquer m/s v

15 µ Permeabldade magnétca H/m µ r Permeabldade magnétca relatva µ 0 Permeabldade magnétca do espaço lvre H/m π Constante p ρ Densdade de massa específca do tecdo g/m 3 σ Condutvdade elétrca total S/m σ a Condutvdade elétrca alternada (dspersva) S/m σ s Condutvdade elétrca estátca (ônca) S/m σ m Resstvdade magnétca Ω/m τ en χ e Constante de tempo de relaação delétrca para a regão de dspersão delétrca n Susceptbldade elétrca s χ e0, χ e1, χ e Componentes de χ ) epandda em frações parcas e( χ e Susceptbldade elétrca no nfnto ω Freqüênca angular rad/s Operador Nabla (vetor) * Operação de produto de convolução Operação de produto vetoral 1D Undmensonal D Bdmensonal 3D Trdmensonal

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17 INTRODUÇÃO GERAL A necessdade da modelagem o mas realsta possível dos problemas que envolvem a análse e o cálculo de campos eletromagnétcos em aplcações prátcas, lgada ao vertgnoso e constante aumento da capacdade de processamento dos computadores modernos conduu, nas últmas décadas, a um rápdo desenvolvmento das técncas de cálculo numérco. Para o caso específco de problemas com propagação de ondas eletromagnétcas, dentre os prncpas métodos de modelagem numérca empregados encontram-se o das Dferenças Fntas no Domíno do Tempo (FDTD Fnte Dfference Tme Doman), o dos Elementos Fntos (FEM -- Fnte Element Method), o dos Momentos (MoM Moments Method) e o de Modelagem por Lnhas de Transmssão (TLM Transmsson Lne Matr Method). De todos eles, o TLM é provavelmente o método que mas evoluu nos últmos anos. Proposto pelo pesqusador Peter B. Johns e colaboradores em 1971 [1], o TLM é um método dferencal utlado para a resolução no domíno do tempo das equações de Mawell para os casos mas geras de propagação de ondas eletromagnétcas, sto é, permte a modelagem de problemas com estruturas de geometras compleas, meos não homogêneos e com perdas, além de comportar nas suas formulações mas avançadas materas com parâmetros varáves (não lneares, dspersvos e ansotrópcos). O TLM epermentou um grande desenvolvmento na últma década do século XX, nas suas versões de formulação b (D) e trdmensonal (3D), assm como em aplcações não só nas áreas vnculadas ao eletromagnetsmo, para o qual fo crado, como também naquelas nas quas as equações que governam os fenômenos físcos são equvalentes às equações de dfusão e propagação das ondas (fenômenos óptcos, acústcos e térmcos, por eemplo). No entanto, apesar do método na atualdade estar bem estabelecdo, anda epermenta uma franca evolução. Esta evolução se dá no aspecto da sua mplementação computaconal, na elaboração de novas formulações e na epansão da sua aplcação à problemas prátcos pouco estudados, como por eemplo, nas áreas de compatbldade eletromagnétca e mcroeletrônca. Tudo sto, com o ntuto de aumentar a sua efcênca e precsão, para torná-lo uma ferramenta de modelagem numérca anda mas atraente e poderosa. Neste sentdo, o presente trabalho de doutorado tem, como objetvos prncpas, faer contrbuções no equaconamento e na mplementação do método TLM (D e 3D), assm como também aplcar o mesmo aos estudos de nteração dos campos eletromagnétcos de

18 INTRODUÇÃO GERAL radofreqüênca (RF) com os sstemas bológcos, tema de grande nteresse atual, porém pouco eplorado pelos pesqusadores do método. A nfluênca da ação do campo elétrco, do campo magnétco e dos campos eletromagnétcos sobre os organsmos vvos vem sendo observada há mutos séculos. Recentemente, na década de 1940, após a Segunda Guerra Mundal, começaram a aparecer na lteratura técnca os prmeros trabalhos com rgor centífco sobre o tema []. Mas fo apenas no níco da década de 1980 que centstas e a socedade em geral começaram verdaderamente a se preocupar com o fato. Este nteresse pelo estudo dos fenômenos da nteração dos campos com os seres vvos (fundamentalmente com o homem) na procura de possíves efetos bológcos adversos à saúde é devdo, sobretudo, ao vertgnoso desenvolvmento tecnológco dos últmos anos, que propcou a massfcação dos dspostvos eletroeletrôncos, geradores de emssões eletromagnétcas (computadores, telefones celulares, torres antenas de comuncação, etc.) e que estão nserdos pratcamente em todos os ambentes em que também o ser humano está presente. Paralelamente, a aplcação dos campos eletromagnétcos tem desempenhado um mportante papel na prátca médca, tanto nos métodos de dagnóstco, como por eemplo, na obtenção de magens do corpo humano por Ressonânca Magnétca Nuclear (RMN), que permte a detecção de tumores, quanto nas técncas de terapa dreta para númeras doenças, que ntroduem novas possbldades e epectatvas de cura. Em relação ao câncer, por eemplo, tem-se demonstrado que os tratamentos terapêutcos por hperterma (elevação da temperatura dos tecdos por eposção aos campos de RF) reduem e ajudam na elmnação das células cancerígenas, eercendo um efeto anttumoral [3]. Para compreender os fenômenos boeletromagnétcos é fundamental eplcar os mecansmos báscos que controlam a ação dos campos sobre as células e tecdos bológcos. Assm, é precso caracterar e quantfcar a dstrbução do campo elétrco, do campo magnétco, das correntes ndudas e dos níves de energa absorvda no nteror dos tecdos envolvdos. Porém, na atualdade, uma das prncpas dfculdades enfrentadas pelos pesqusadores é a mpossbldade da medção dreta dessas grandeas no nteror do corpo humano, precsando-se, portanto, do auílo de modelos computaconas e epermentas que smulem os fenômenos da nteração. É neste últmo aspecto que os métodos de cálculo numérco desempenham um mportante papel como ferramentas de modelagem, pos devdo à naturea e geometra complea dos tecdos torna-se pratcamente nvável o tratamento analítco dos problemas. As smulações numércas provêem aos pesqusadores e projetstas de valosas nformações sobre as característcas fundamentas da propagação dos campos no domíno de estudo e podem, também, permtr a avalação da efetvdade de um determnado tratamento médco, de manera mas rápda e com menor custo do que podera ser feto epermentalmente.

19 INTRODUÇÃO GERAL 3 O método TLM, com sua grande versatldade para a modelagem dos fenômenos de propagação de ondas em númeras stuações prátcas, surge como atraente alternatva para ser utlado neste tpo de problema. Sua possbldade de aplcação é ampla e anda pouco eplorada nesta área, sendo este um desafo do presente estudo: demonstrar suas potencaldades. Assm, o trabalho de doutorado aqu apresentado abrange tanto as áreas de desenvolvmento e mplementação quanto a de aplcação do método TLM, como será vsto no decorrer da presente tese. Prmeramente, os fundamentos báscos do método TLM são epostos no Capítulo 1, onde serão apresentadas as formulações tradconas das topologas dos nós empregados na modelagem D e 3D, para o caso de malha regular. Dscute-se anda, a representação das condções de contorno e as prncpas fontes de erros nerentes ao método. A formulação para malhas rregulares D é descrta no Capítulo, contornando-se assm a lmtação mposta pelo aspecto geométrco da malha tradconal. Anda, os algortmos TLM foram adaptados para o tratamento de meos delétrcos e magnétcos com perdas. No fnal do capítulo, é feta a valdação das mplementações computaconas no estudo da propagação de ondas eletromagnétcas em estruturas guadas de geometra arbtrára, sendo algumas delas casos de nteresse prátco nas aplcações de mcroondas. No Capítulo 3 são tratados os aspectos teórcos da nteração dos campos eletromagnétcos de RF com os meos bológcos. As propredades elétrcas da matéra bológca, consderada como um meo delétrco com perdas e altamente dspersvo (dependente da freqüênca), são abordadas a partr do ponto de vsta macroscópco, através do equaconamento da permssvdade delétrca complea do meo. No fnal do capítulo, são fetas algumas consderações sobre a Taa de Absorção Específca (SAR), grandea amplamente utlada como medda dosmétrca da parcela de energa eletromagnétca radada que é absorvda pelo tecdo bológco eposto. No Capítulo 4 é ntrodudo o equaconamento do TLM (D e 3D) para o tratamento de meos lneares com parâmetros dspersvos, utlando técncas de Transformada Z. O método, assm reformulado, permte a manpulação dreta no domíno do tempo das equações com parâmetros dependentes da freqüênca. Assm, com apenas uma rodada do códgo computaconal, utlando uma ectação transente (um mpulso, por eemplo), é possível obter com boa precsão resultados para múltplas freqüêncas. Sendo o presente trabalho enfocado para os estudos de meos bológcos, o equaconamento é condconado para o tratamento de meos delétrcos de prmera ordem com múltplos termos (materas de Debe), devdo a ser esta o tpo de apromação comumente empregada para representar a naturea dspersva dos tecdos bológcos. No fnal do capítulo, os programas computaconas são valdados utlando casos testes, relatados na lteratura.

20 INTRODUÇÃO GERAL 4 No Capítulo 5 são mostrados os resultados obtdos da aplcação do método TLM em problemas de nteração dos campos de RF com o organsmo humano. Três casos foram avalados: a) o estudo D de um tpo de aplcador elétrco para terapa não nvasva de tumores ntramusculares por hperterma; b) a nteração dos campos radados por telefones celulares com a cabeça humana (estudo baseado em modelos canôncos) e c) estudo de ressonânca eletromagnétca para o corpo humano eposto à ação de uma onda plana unforme. Estes eemplos de aplcações boeletromagnétcas foram escolhdos para testar as potencaldades do TLM na modelagem destes tpos de problemas. Fnalmente, são fetas as Conclusões Geras do trabalho, bem como as propostas de pesqusas futuras partndo do camnho eplorado pela presente tese.

21 CAPÍTULO 1 O MÉTODO TLM Neste capítulo serão apresentados os prncípos teórcos e a formulação do método TLM nas suas versões b e trdmensonal. 1.1 O Método TLM D Em 1971, Peter B. Johns ntrodu uma versão moderna do uso de redes de crcutos elétrcos para solução de problemas de espalhamento bdmensonas, nsprada na teora ondulatóra da lu, proposta pelo físco holandês Chrstan Hugens no fnal do século XII. Este novo método numérco fo denomnado TLM-D (Two-dmensonal Transmsson-Lne Matr Method) [1]. O Prncípo de Hugens [4 6] afrma que a lu tera um comportamento ondulatóro e sera possível preder onde se posconara a frente de onda em um certo nstante de tempo futuro, se fosse conhecda sua posção no nstante atual. A frente de onda (fgura 1.1a) pode ser vsta como o resultado da superposção de nfntas fontes secundáras, pontformes, rradando ondas esfércas. Neste caso, a posção da frente de onda sera a superfíce tangente às superfíces destas ondas secundáras. Fgura 1.1 Representação bdmensonal da propagação da onda. a) Modelo de propagação da lu proposto por Hugens; b) Modelo de lnhas de transmssão proposto por Johns. Com a fnaldade de se mplementar o modelo de Hugens, o espaço bdmensonal é modelado de forma dscretada medante lnhas de transmssão hpotétcas, nterconectadas entre s, gerando uma malha cartesana de pontos separados por uma dstânca l (fgura 1.1b). Os

22 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 6 mpulsos de energa se propagam por estas lnhas de transmssão, sendo para os mesmos se deslocarem entre dos pontos adjacentes. t o tempo necessáro No modelo de lnhas, a energa é espalhada sotropcamente por toda a malha, da mesma forma que ocorre na representação da onda propagando-se no meo. Esta malha representa o meo físco em duas dmensões e os mpulsos representam as fontes secundáras, formadoras da onda que se desloca neste meo. A relação entre as undades elementares fntas do espaço ( l ) e do tempo ( t ) fornece a epressão para o cálculo da velocdade de propagação dos mpulsos ao longo dos ramos da malha [4, 6,7]: ν LT l t (1.1) O mecansmo de propagação da energa na malha TLM está formado pelo processo de espalhamento da energa em um nó, segudo do processo de coneão desta energa com os ramos dos outros nós adjacentes. A fgura 1. mostra de forma esquemátca este processo de espalhamento e de coneão da energa na malha. Fgura 1. Processo de propagação de energa na malha. a) Incdênca de um mpulso de tensão; b) Espalhamento do mpulso nos ramos do nó; c) Coneão dos mpulsos com os ramos dos nós adjacentes. A cada passo de tempo dscretado t, os mpulsos vajam de um nó até os nós adjacentes, através dos ramos que os conectam. Quando um mpulso atnge um nó é dto mpulso ncdente, sendo que uma parcela da sua energa é transmtda para os outros ramos deste nó, enquanto a outra parcela restante é refletda de volta para o ramo de onde partu o mpulso ncdente. Os mpulsos espalhados no nó se tornam, no ntervalo dscretado de tempo segunte, novos mpulsos ncdentes nos ramos dos nós vnhos (fgura 1.). Este mecansmo de propagação da energa na malha va se repetndo durante todo o ntervalo de tempo defndo para a smulação.

23 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 7 Na modelagem TLM é necessáro o estabelecmento da equvalênca entre as equações de Mawell, que descrevem a propagação das ondas nteragndo com o meo físco, e as equações de crcutos elétrcos, que descrevem as relações entre correntes e tensões no modelo de lnhas de transmssão. No caso bdmensonal, é possível abordar os problemas de propagação para duas formas de polaração [5,7] (fgura 1.3): - TE (transversal elétrca): com uma componente de campo magnétco na dreção de propagação, normal ao plano da malha onde se encontram as duas componentes de campo elétrco; - TM (transversal magnétca): com uma componente de campo elétrco na dreção de propagação, normal ao plano da malha onde se encontram as duas componentes de campo magnétco. (a) (b) Fgura 1.3 Polarações dos campos na modelagem bdmensonal (consderando como a dreção de propagação da onda). a) Modo TE; b) Modo TM. Para cada uma destas polarações é desenvolvda uma topologa dferente de nó para a montagem da malha, a fm de se manter a analoga campo elétrco - tensão e campo magnétco - corrente. Isto será mostrado a segur O nó TLM D Paralelo A prmera versão surgda do método TLM fo o nó Paralelo, utlado na época para o cálculo das freqüêncas de corte dos modos de propagação TM em guas de onda preenchdos por meos homogêneos e sem perdas [1,8]. Estudos subseqüentes de P. Johns e Ahtarad [9,10] ncorporaram, medante alterações na topologa da célula básca, a análse de problemas contendo materas delétrcos dferentes e com perdas (onde a permssvdade e condutvdade elétrca varam na regão de estudo). O modelo básco deste tpo de nó, como mostram as fguras 1.4a e 1.4b, é formado pela ntersecção ortogonal de duas lnhas de transmssão dêntcas sem perdas. A junção das lnhas no

24 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 8 centro do nó dá lugar à formação de quatro novas lnhas, denomnadas ramos, com mpedânca característca Z LT. As tensões 1,..., 4 dentfcam os termnas de cada ramo, chamados de portas, por onde é feta a nterlgação com os nós vnhos e com os contornos eternos para a formação da malha. A modelagem de meos delétrcos não homogêneos e com perdas é possível ntrodundo elementos reatvos e dsspatvos, chamados de tocos ou stubs, na topologa do nó. Se dferentes materas estão sendo modelados pela malha, esta é dvdda em partes ou regões homogêneas onde, em função dos parâmetros físcos da regão, dmensonam-se adequadamente os tocos para a modelagem do meo presente. O toco reatvo (que modela o aumento da permssvdade elétrca do meo) é um segmento de lnha de transmssão termnada em aberto, representado pela mpedânca característca Z s (ver fgura 1.4a). No crcuto equvalente do nó (fgura 1.4b), o toco é representado por uma capactânca C s nserda no ponto central do crcuto. O toco dsspatvo (que modela as perdas elétrcas do meo) é representado por uma condutânca G s, como também mostram as fguras 1.4a e 1.4b. (a) (b) Fgura 1.4 Nó TLM - D Paralelo. a) Modelo de lnhas de transmssão; b) Crcuto elétrco equvalente do nó. Nos modelos da fgura 1.4, o comprmento do nó é defndo por l (raão pela qual o nó é denomnado quadrado). Os parâmetros dos ramos serão L L d l, e C Cd l, onde L d e C d são, respectvamente, a ndutânca e a capactânca por undade de comprmento da lnha. Percebe-se que a capactânca total do nó é o resultado das contrbuções das capactâncas dos ramos em coneão paralela e da capactânca do toco reatvo: C T C C S. Consderando cada nó da malha como um elemento nfntesmal, sto é, que o comprmento l é muto menor do que os comprmentos de onda dos snas a serem estudados, então, aplcando-se as les de Krchhoff para crcutos elétrcos, pode-se determnar as equações dferencas de corrente e tensão do crcuto da fgura 1.4b, obtendo-se [7,11,1,13]:

25 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 9 t I L d l l (1.a) t I L d l l (1.b) l l l l sd sd d G t C C I I (1.c) Para mostrar a equvalênca com a teora de campos, partmos das equações de Mawell (le de Farada e Ampère) sob a forma local, para meos delétrcos lneares e sotrópcos: t H E v v 0 µ (1.3a) E t E H v v v σ ε (1.3b) onde: µ 0 e a permeabldade magnétca, ε a permssvdade elétrca e σ a condutvdade elétrca do meo. Admtndo polaração TM (H 0) da onda em relação ao plano, e que não este varação das componentes de campo na dreção de propagação ( 0 ), a epansão das equações (1.3) no sstema cartesano fca: t H E 0 µ (1.4a) t H E 0 µ (1.4b) E t E H H ε σ (1.4c)

26 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 10 Comparando as equações (1.) e (1.4), verfca-se a segunte equvalênca entre as grandeas de campo e da malha TLM com nós paralelos: E (1.5a) l I H (1.5b) l I H (1.5c) l e, os parâmetros do meo modelado se relaconam com os do crcuto: µ 0 L d (1.6a) Csd ε (C d ) (1.6b) σ G sd (1.6c) Anda, da epressão 1.6b pode se obter: Csd ε 0 Cd e ε r (1 ) ε 0. Portanto, a caracteração delétrca do meo modelado é concentrada no toco reatvo lgado ao nó. por: A velocdade de propagação dos pulsos nas lnhas de transmssão dos ramos é epressa vlt l 1 c t Ld Cd µ 0 ε 0 (1.7) onde: c é a velocdade de propagação da lu no vácuo ou espaço lvre. A mpedânca característca das lnhas é epressa por: Z LT Ld Cd µ 0 Z0 ε 0 (1.8) onde: Z 0 é a mpedânca característca do espaço lvre.

27 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 11 O passo dscretado de tempo t, segundo a epressão (1.7) será calculado como: t l c (1.9) Processo de propagação da energa na malha com nó Paralelo A análse do processo de espalhamento dos mpulsos na malha e a quantfcação dos valores de tensões e correntes são fetos a partr da substtução dos ramos de lnhas que formam o nó pelo seu crcuto equvalente de Thévenn, segundo a teora de lnhas de transmssão [7, 11,1 ], como mostra a fgura 1.5. Fgura 1.5 Crcuto equvalente de Thévenn para o Nó TLM - D Paralelo. 1 3 No crcuto,,, são as tensões ncdentes nos ramos, a tensão ncdente no toco reatvo e é a tensão no ponto central do nó, epressa por: 4 ( ) Y Y ) LT 5 4YLT Ys Gs s 5 (1.10) Y s -1 Na fgura 1.5 e na epressão (1.10), Y LT Z LT é a admtânca das lnhas, 4( ε 1) Y a admtânca do toco reatvo e G S a condutânca do toco de perdas. r LT A tensão total para cada porta do nó será, conforme a teora de lnhas de transmssão (para melhor entendmento vde fgura 1.4): p p r p (1.11) onde: a tensão ncdente é aquela que ncde no núcleo do nó a partr de uma determnada porta, a tensão refletda r é aquela que reflete do núcleo do nó em dreção a uma determnada porta, é o nstante de tempo analsado e p o número da porta do nó.

28 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 1 Consderando, a tensão refletda (ou espalhada) para cada porta do nó pode ser obtda partndo-se da epressão (1.11): p (1.1) p r p De forma geral, o processo de espalhamento, onde se relaconam as tensões refletdas para cada porta com as tensões ncdentes em todas as portas, pode ser representado na forma matrcal: [ ] r S (1.13) onde r, são os vetores das tensões refletdas e ncdentes, respetvamente, e, a matr de espalhamento. [ ] S De forma eplícta, o sstema fca: s s s s s r r r r r Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 (1.14) onde: s s G 4 Y ˆ Y, com s Y e s G representando Y s e G s normaladas em relação à admtânca das lnhas de transmssão da malha, respectvamente. No momento segunte 1, qualquer mpulso refletdo de um nó na posção (, ) se torna automatcamente um mpulso ncdente no nó adjacente, como mostram as fguras 1. e 1.6. Este processo de coneão é descrto pelas equações: (1.15a) ), ( 1), ( r (1.15b) ), ( ) 1, ( 4 1 r (1.15c) ), ( 1), 3 ( 1 1 r (1.15d) ), ( ) 1, 4 ( 1 r e para o toco reatvo: (1.15e) ), ( ), 5 ( 5 1 r

29 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 13 Fgura 1.6 Coneão com o momento segunte para a malha formada por nós paralelos. Como as lnhas de transmssão que formam a malha possuem as mesmas dmensões e mpedâncas característcas, o tempo gasto por um mpulso para percorrer um ramo em qualquer dreção é o mesmo, assegurando o sncronsmo dos pulsos da malha. Não estndo uma mudança do valor de mpedânca na passagem de um mpulso de um ramo para o ramo do nó vnho, não acontecem então refleões espúras no processo de coneão dos pulsos. É nteressante observar que a ntrodução do toco de perdas não é responsável pelo aumento do número de lnhas e colunas na matr de espalhamento. O mpulso espalhado pelo toco de perdas não é refletdo de volta ao nó, ao ser este perddo (dsspado) no toco. Não havendo refleão, não há necessdade de se realar um processo de coneão deste mpulso no prómo nstante de tempo Computação dos campos para o nó Paralelo Da solução do crcuto equvalente de Thévenn e das equvalêncas obtdas entre as grandeas de campo e da malha TLM em (1.5) são estabelecdas as epressões para o cálculo dos campos eletromagnétcos, segundo a polaração TM. O campo elétrco na dreção será dado por: E l ( ) Y Y ) LT 5 ( 4Y Y G ) l LT s s s (1.16)

30 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 14 As relações entre as componentes de campo magnétco e as correntes do nó nas dreções e podem ser epressas como: H I 1 l Z l LT 3 (1.17a) H I 4 l Z l LT (1.17b) O nó TLM D Sére A outra topologa TLM utlada na modelagem bdmensonal é o nó Sére [6,7,10,11,1, 14,15]. Fo desenvolvdo em 1974 pelo própro crador do método, Peter Johns [14], para o tratamento de problemas de propagação da onda com polaração TE em meos magnétcos. A metodologa para o estabelecmento das equvalêncas entre as equações e os parâmetros do modelo e os do meo físco é análoga ao caso da modelagem do nó Paralelo, como será vsto nas prómas seções. A célula ou elemento básco para este tpo de malha é representado nas fguras 1.7a e 1.7b. Percebe-se que, enquanto o nó Paralelo era assm chamado devdo à lgação de duas lnhas de transmssão em paralelo, onde no ponto de encontro hava a somatóra das capactâncas, neste caso a nterlgação dos elementos das lnhas é feta em sére, havendo então a somatóra de suas ndutâncas. (a) (b) Fgura 1.7 Nó TLM - D Sére. a) Modelo de lnhas de transmssão; b) Crcuto elétrco equvalente do nó.

31 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 15 No modelo, smlarmente ao caso Paralelo para malha regular, o espaço dscretado é defndo por l e as mpedâncas característcas ZLT dos ramos nas dreções e são dêntcas. Com o nó Sére é possível a modelagem de problemas contendo materas com parâmetros magnétcos dferentes (onde a permeabldade µ e a resstvdade magnétca σ m varam de acordo com a regão). Com o ntuto de modelar o aumento da permeabldade magnétca do meo, o toco reatvo ntrodudo é um segmento de lnha de transmssão de mpedânca Z s com a sua etremdade em curto-crcuto (ver fgura 1.7a). O valor de ndutânca no nó necessáro para modelar a mudança da permeabldade é representado pela adção, em sére no crcuto, de uma ndutânca L s (ver fgura 1.7b). No caso da modelagem de perdas de orgem magnétca, o toco dsspatvo é representado por uma resstênca R s, como também é mostrado nas fguras 1.7a e 1.7b. LL s. Uma ve que as lnhas dos ramos são conectadas em sére, a ndutânca total do nó será Aplcando as les de Krchhoff para crcutos elétrcos, pode-se determnar as equações dferencas de corrente e tensão do crcuto da fgura 1.7, obtendo-se [7,11 13]: I l Cd l t (1.18a) I l C d l t (1.18b) l l I Lsd l I ( Ld ) Rsd (1.18c) t l Para mostrar a equvalênca com a teora de campos, partmos da epansão das equações de Mawell no sstema cartesano, admtndo polaração TE (E 0) da onda em relação ao plano, e que não este varação das componentes de campo na dreção de propagação ( 0 ). Assm, obtemos:

32 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 16 H H E ε 0 (1.19a) t E ε 0 (1.19b) t E E H µ σ t m H (1.19c) O elemento σ m representa a resstvdade lgada às perdas de orgem magnétca. Apesar deste parâmetro não ser encontrado nas equações de Mawell, o mesmo é ntrodudo em (1.19c) para o estabelecmento da analoga entre as equações dervadas do modelo do crcuto Sére e as equações dos campos [9,1,13]. Comparando as equações (1.18) e (1.19), verfca-se a segunte equvalênca entre as grandeas de campo e da malha TLM com nós Sére: I H (1.0a) l E (1.0b) l E (1.0c) l Os parâmetros do meo modelado se relaconam com os do crcuto por: Lsd µ (L d ) (1.1a) ε 0 C d (1.1b) σ m R sd (1.1c) Anda, da epressão 1.1a pode se obter que: Lsd µ 0 Ld e µ r (1 ) µ 0. Portanto, a caracteração magnétca do meo modelado é concentrada no toco reatvo lgado ao nó. A velocdade de propagação e a mpedânca característca nas lnhas de transmssão que conformam o nó Sére são determnadas segundo os parâmetros do espaço lvre, de forma smlar ao procedmento desenvolvdo para o nó Paralelo. Neste caso, as epressões fcam:

33 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 17 v LT 1 c Ld Cd µ 0 ε 0 (1.) Ld µ 0 Z0 Z LT Cd ε 0 (1.3) Processo de propagação da energa na malha Sére Cada um dos segmentos das lnhas de transmssão que formam o nó Sére pode ser representado pelo seu crcuto equvalente de Thévenn [7,11,1,13], como mostra a fgura 1.8. Neste caso, o toco ndutvo deverá aparecer como uma qunta fonte de tensão, em sére com as quatro fontes naturas do nó. Fgura 1.10 Crcuto equvalente de Thévenn para o Nó TLM D Sére. Do crcuto acma é obtda a epressão para a corrente do nó I : I Z ( ) Z LT Z s R s (1.4) Na fgura 1.10 e na epressão (1.4), e R S a resstênca do toco de perdas. Z s 4 ( µ 1) Z é a mpedânca do toco reatvo r LT A tensão total para cada ramo do nó será: p ± p I Z Z LT p 1,...,4 (1.5) no caso de p 5 (toco ndutvo), a epressão (1.5) fca:

34 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 18 (1.6) s Z Z I 5 5 Lembrando, a tensão refletda no ramo pode ser calculada como: (1.7) p p r p substtundo (1.5) ou (1.6), segundo o caso, em (1.7), tem-se: (1.8) LT Z p r p Z I ± (1.9) s Z r Z I 5 5 E substtundo então a epressão de corrente (14) em (1.8) e (1.9) obtêm-se as epressões fnas para o cálculo das tensões refletdas no processo de espalhamento, que pode ser apresentado na forma matrcal [ ] r S : s s s s s r r r r r Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 (1.30) onde: s Z s R Z 4 ˆ, com s Z e s R representando Z s e R s normaladas em relação à mpedânca das lnhas de transmssão da malha, respectvamente. O processo de coneão dos mpulsos com o momento segunte é dêntco ao caso da malha de nós paralelos, descrto pelas equações (1.15a)-(1.15d), sendo que agora a epressão para a tensão ncdente do toco ndutvo fca: (1.31) ), ( ), 5 ( 5 1 r Observa-se que, sendo o toco termnado em curto-crcuto, o coefcente de refleão é Γ - 1, sendo esta uma dferença com o toco capactvo do nó Paralelo, que é termnado em aberto e, portanto, tem coefcente de refleão Γ 1.

35 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM Computação dos campos para o nó Sére Da solução do crcuto equvalente de Thévenn do nó Sére da fgura 1.10 e das equvalêncas obtdas entre as grandeas de campo e da malha TLM em (1.0), são estabelecdas as epressões para o cálculo dos campos eletromagnétcos, de acordo com a polaração TE. O campo magnétco na dreção será dado por: H ( ) I Z l ( 4Z LT Z s Rs ) l (1.3) As componentes do campo elétrco nas dreções e do nó são epressas por: E l 1 3 l (1.33a) E 4 (1.33b) l l onde: e são as médas das tensões segundo e, relatvas aos ramos 1 e 3, e, e 4, respectvamente. 1. O Método TLM 3D Nesta seção serão apresentados os fundamentos do Nó Smétrco Condensado (SCN Smetrcal Condensed Node), célula TLM trdmensonal sobre a qual estão baseados todos os desenvolvmentos 3D hoje em uso. Como fo vsto nas seções anterores, o TLM teve níco com uma proposção bdmensonal em 1971, sendo que váras proposções de células trdmensonas foram colocadas desde então [4 7,13,14,15], até que em 1987 Peter Johns, o própro crador do método, propôs um novo modelo de célula condensada, o SCN [16], cujo desenvolvmento fo fundamental para que o método TLM se estabelecesse como uma mportante ferramenta para a análse de fenômenos de eletromagnetsmo, e tvesse potencal sufcente para concorrer com as outras técncas numércas estentes. Para a elaboração desta seção, foram estudadas prncpalmente as referêncas [7,17 0], nas quas é feta uma abordagem detalhada e abrangente do nó SCN e do método TLM-3D em geral. Percebemos que váras metodologas de cálculo foram desenvolvdas (por város autores)

36 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 0 para a mplementação do processo de espalhamento e o do cálculo das componentes de campo no nó SCN. Na formulação orgnal de Johns [7,16,17,18] o processo de espalhamento, onde se relaconam as tensões refletdas para cada porta com as tensões ncdentes em todas as portas do nó (representado pela equação 1.13), fo dedudo partndo dos prncípos físcos da conservação da carga e da energa, dferentemente de como é feto nos casos bdmensonas, onde se parte da resolução de crcutos equvalentes de Thévenn. Obteve-se desta manera uma matr de espalhamento [S] quadrada que, nos casos mas geras (modelagem de meos não homogêneos), comportara 18 lnhas 18 colunas, como pode ser observado na fgura j f f f f j f f f f j f f f f h e e e e h e e e e h e e e e g a d b d b c g d a b b c d g a d b c b d g b d a d c b g b a d d c b g b d a b c d g c d b a b d g b d c b a d g b c d d a b g d c b b a d g b d c d a b g c d b d b a S ] [ Fgura 1.11 Matr de espalhamento utlada na formulação orgnal do nó 3D-SCN. Para a obtenção dos coefcentes desta matr, é precso resolver um sstema de equações não lneares (de segundo grau) que fornece múltplas soluções. A escolha da únca solução correta não é smples, sendo necessáro a utlação de equações aulares (determnadas pelas les de Krchhoff) para este fm [7,17,18]. Anda, a matr assm obtda é altamente especalada ou lmtada, sto é, ante qualquer modfcação ou contrbução que venha ser feta no nó SCN, a matr de espalhamento precsara ser re-calculada.

37 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 1 Dos esforços posterores aos de Johns para contornar as dfculdades aqu epostas na formulação do nó SCN, será apresentada nas seções seguntes a metodologa desenvolvda por Nalor e At-Sad, publcada em 199 [19]. Segundo a mesma, não será mas necessára a obtenção da matr de espalhamento para o cálculo das tensões refletdas nos nós. Entre outras vantagens, a metodologa de Nalor fornece um algortmo muto mas efcente e elegante para a mplementação computaconal do nó. O vínculo com as equações de Mawell e as topologas TLM - D é eplícto (vínculo não muto bem defndo na formulação orgnal de Johns), o que faclta a compreensão do modelo 3D. Anda, o equaconamento do processo de espalhamento é genérco, sto é, pode ser utlado da mesma manera, sem modfcações, em qualquer algortmo TLM-3D baseado no SCN. Na atualdade, pratcamente todos os desenvolvmentos TLM-3D faem uso desta vantajosa formulação Formulação de Nalor para o nó SCN O nó SCN, orgnalmente, fo consttuído por 3 nós Sére D desacoplados entre eles, defnndo 1 portas, como mostra a fgura 1.1. Assm defndo, o nó trdmensonal delmta um volume heaédrco, apresentando em cada uma das ses faces duas portas de nós Sére dferentes. Fgura 1.1 Nó TLM 3D Smétrco Condensado (SCN) [7, 17]. Segundo Nalor, o nó pode ser representado, de manera abstrata, por um conjunto de 3 nós Séres e por um outro de 3 nós Paralelos, como mostra esquematcamente as fguras 1.13 e Estão aí colocados no plano, no plano e no plano, com os números das portas respectvas e com as correntes e tensões correspondentes a cada dreção.

38 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM Fgura 1.13 Representação medante três nós Sére do nó SCN. Fgura 1.14 Representação medante três nós Paralelo do nó SCN. Nota-se que este tpo de análse não leva a uma nterpretação físca do problema, pos os 6 nós D não podem convver smultaneamente. Um detalhe mportante é que sempre estrá uma lnha de transmssão em cada dreção, comum às duas topologas de nó D. Cada nó terá assocado o cálculo de uma componente de campo, como será vsto a segur: - Nó Sére no plano : componente H ; - Nó Sére no plano : componente H ; - Nó Sére no plano : componente H ; - Nó Paralelo no plano : componente E ; - Nó Paralelo no plano : componente E ; - Nó Paralelo no plano : componente E. A modelagem de materas não homogêneos e com perdas é feta de manera análoga aos casos D, ntrodundo tocos reatvos (capactvos nos nós Paralelos e ndutvos nos nós Séres) e dsspatvos (representando as perdas elétrcas nos nós Paralelos e as perdas de orgem magnétca nos nós Séres), no nteror dos nós. Como eemplo, a fgura 1.15 mostra, detalhadamente, a representação do nó Paralelo correspondente ao plano, e do nó Sére correspondente ao plano.

39 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 3 (a) (b) Fgura 1.15 Representação: a) Nó Paralelo no plano ; b) Nó Sére no plano. Consderando o nó SCN cúbco, teremos: l. Os parâmetros das lnhas dos ramos serão, L L d l, e C C d l. Os tocos reatvos capactvos serão representados por uma capactânca C s C sd ndutânca Ls L sd l /. Os tocos reatvos ndutvos serão representados por uma l /. Os tocos dsspatvos que modelam as perdas elétrcas do meo serão representados por uma condutânca G s G sd magnétcas do meo serão representados por uma resstênca R s R sd l. Os tocos dsspatvos que modelam as perdas Percebe-se que a capactânca total dos nós Paralelos é o resultado das contrbuções das capactâncas das lnhas em coneão paralela e da capactânca do toco reatvo: C T C C S. Da mesma forma, para os nós Séres, a ndutânca total será LL s, uma ve que as lnhas estão conectadas em sére. Para mostrar a equvalênca com a teora de campos, partmos das equações de Mawell l. (equações 1.3a 1.3b) sob a forma local, para meos lneares e sotrópcos: v v H v E µ 0 σ m H (1.34a) t v v E v H ε σ E (1.34b) t Lembrando que a resstvdade magnétca σ m é ntroduda em (1.34a) para o estabelecmento da analoga entre as equações dervadas do modelo e as equações de Mawell. A epansão das equações (1.34a e 1.34b) no sstema cartesano fca:

40 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 4 t H H E E m µ σ (1.35a) t H H E E m µ σ (1.35b) t H H E E m µ σ (1.35c) t E E H H ε σ (1.35d) t E E H H ε σ (1.35e) t E E H H ε σ (1.35f) Aplcando a le de Krchhoff de laços de tensão para os crcutos elétrcos da fgura 1.13 e a le de Krchhoff de nós de correntes para os crcutos elétrcos da fgura 1.14, podem-se determnar as seguntes equações dferencas: - Da fgura 1.13 (Nó Sére no plano ): t I L L I R sd d sd l l l l ) ( (1.36a) - Da fgura 1.13 (Nó Sére no plano ): t I L L I R sd d sd l l l l ) ( (1.36b) - Da fgura 1.13 (Nó Sére no plano ): t I L L I R sd d sd l l l l ) ( (1.36c)

41 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 5 - Da fgura 1.14 (Nó Paralelo no plano ): t C C G I I sd d sd l l l l (1.36d) - Da fgura 1.14 (Nó Paralelo no plano ): t C C G I I sd d sd l l l l (1.36e) - Da fgura 1.14 (Nó Paralelo no plano ): t C C G I I sd d sd l l l l (1.36f) Comparando as equações (1.35a 1.35f) e (1.36a f), verfca-se a segunte equvalênca entre as grandeas de campo e do nó SCN: l I H (1.37a) l I H (1.37b) l I H (1.37c) l E (1.37d) l E (1.37e) l E (1.37f) Os parâmetros do meo modelado se relaconam com os do nó: ) ( sd d L L µ (1.38a) da epressão (1.38a) pode-se obter: d 0 L µ e ) (1 µ 0 µ sd r L.

42 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 6 Csd da epressão 1.38b pode-se obter: ε 0 Cd e ε r (1 ). Csd ε (C d ) (1.38b) ε 0 σ m R sd (1.38c) σ G sd (1.38d) A velocdade de propagação dos mpulsos nos ramos do nó é epressa por: v LT l 1 c t L C µ 0 ε d d 0 (1.39) A mpedânca característca das lnhas é epressa por: Ld µ 0 Z LT Z0 Cd ε 0 (1.40) O passo dscretado de tempo t, segundo a epressão (1.39) será calculado como: l t (1.41) c 1.. Computação dos campos para o nó SCN A quantfcação dos valores de tensões e correntes presentes nas epressões (1.37a f ) é feta a partr da representação dos nós D (que modelam o nó SCN) pelos seus crcutos equvalentes de Thévenn. Como eemplo, serão obtdas as epressões para o cálculo da tensão e da corrente I. A fgura 1.16 mostra o crcuto equvalente de Thévenn correspondente ao nó Paralelo da fgura 1.15a.

43 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 7 Fgura 1.16 Crcuto equvalente de Thévenn para o Nó Paralelo da fgura 1.15a. Na fgura acma, e sc sc 4Y 0 ( r 1) Y ε, são a tensão ncdente e a admtânca no toco capactvo, respectvamente. G S é a condutânca do toco de perdas elétrcas. A epressão da tensão será: ( ) Y Y ) 3 4 4Y 0 8 Y sc 11 G s 0 sc sc (1.4) A fgura 1.17 mostra o crcuto equvalente de Thévenn correspondente ao nó Sére da fgura 1.15b. Fgura 1.17 Crcuto equvalente de Thévenn para o Nó Sére da fgura 1.15b. Na fgura acma, e sl sl 4Z 0 ( r 1) Z µ, são a tensão ncdente e a mpedânca no toco ndutvo, respectvamente. R S é a resstênca do toco de perdas magnétcas. A epressão da corrente I será: I Z ( ) Z0 Z sl Rs sl (1.43)

44 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 8 Segundo o mesmo procedmento, podem ser obtdas as epressões para as tensões e correntes restantes Procedmento para o cálculo do espalhamento da energa no nó SCN A determnação das tensões refletdas r nos ramos do nó SCN é feta aplcando o prncípo de superposção nas lnhas comuns às duas topologas de nó D, presentes na mesma dreção. Para eemplfcar, aulemo-nos das fguras 1.15a e 1.15 b, e, 1.16 e Para os ramos dentfcados pelas tensões 3 e 11, correspondentes à lnha na dreção, as seguntes epressões são váldas [19]: r 3 I Z0 11 (1.44) r 11 I Z0 3 (1.45) Segundo o mesmo procedmento para os outros ramos, obtém-se o conjunto de equações que dentfcam o processo de espalhamento no nó: r 1 I Z0 1 (1.46a) r 1 I Z0 1 (1.46b) r I Z0 9 (1.46c) r 9 I Z0 (1.46d) r 3 I Z0 11 (1.46e) r 11 I Z0 3 (1.46f) r 4 I Z0 8 (1.46g) r 8 I Z0 4 (1.46h) r 5 I Z0 7 (1.46) r 7 I Z0 5 (1.46j) r 6 I Z0 10 (1.46) r 10 I Z0 6 (1.46l)

45 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 9 As tensões refletdas nos tocos reatvos podem ser obtdas dretamente, partndo da epressão (1.1) para o toco capactvo e da (1.8) para o toco ndutvo, fcando: r scn n scn (1.46m) onde: n,,. r sln sln I Z (1.46n) n sl 1..4 Processo de coneão com o momento segunte no nó SCN A propagação dos mpulsos de um nó para os nós adjacentes, no nstante de tempo segunte, é tratada de manera dêntca aos casos bdmensonas, descrta na seção Para lustrar, observando a fgura 1.18, a tensão refletda pela porta 4 do nó localado na posção (,,), no nstante de tempo, deverá corresponder à tensão ncdente na porta 8 do nó adjacente que fca em (,,-1), no nstante de tempo 1. Da mesma forma, a tensão refletda pela porta 8 do nó em (,,-1), no nstante, corresponde à tensão ncdente na porta 4 do nó em (,,), no nstante 1. Fgura 1.18 Coneão com o momento segunte para o nó SCN [17].

46 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 30 Assm, pode-se escrever: r 1 8 (,, 1) 4 (,, ) 4 ( r 1,, ) 8 (,, 1) (1.47) (1.48) O mesmo ocorre para todas as outras portas do SCN, sendo possível determnar epressões smlares a (1.47) e (1.48) para cada face de coneão. No caso dos tocos capactvos teremos: e para os tocos ndutvos: r 1 scn (,, ) scn (,, ) (1.49) 1 sln (,, ) sln (,, ) r (1.50) onde: n,,. Resumndo, o algortmo TLM-3D para o cálculo das componentes de campo em cada ponto (,,) da malha, para cada nstante de tempo, é consttuído por três etapas. Prmeramente, as tensões (,, ) e as correntes (I, I, I ) são calculadas segundo as epressões (1.4) e (1.43), respectvamente. Na seqüênca, as tensões refletdas nos ramos do nó são obtdas pelas epressões (1.46a n). Fnalmente, as tensões ncdentes no nstante de tempo segunte 1, nos nós adjacentes, são determnadas segundo eemplfcam as epressões ( ). 1.3 Condções de Contorno Compreende-se que, quando as técncas de smulação numérca são utladas, torna-se necessáro descrever os contornos (fronteras) do espaço físco que está sendo modelado. No TLM as fronteras têm que, na medda do possível, reprodur para os mpulsos as mesmas condções de contorno que o problema físco mpõe para as ondas eletromagnétcas. O procedmento para a modelagem das fronteras ou contornos é o mesmo, tanto para os casos bdmensonas quanto para os trdmensonas [6,7]. Os contornos são mplementados com o uso de mpedâncas de termnação Z t, conectadas nas etremdades dos ramos, nos nós posconados no lmte da malha, segundo mostra a fgura As fronteras são posconadas na malha a uma dstânca dos nós de tal forma que seja gasto o tempo t entre o nstante em que se orgna o mpulso que ncdrá na frontera e o nstante em que o mpulso refletdo nesta frontera atnja o nó que orgnou o mpulso ncdente. Isto garante o sncronsmo dos mpulsos da malha durante os processos de espalhamento e de coneão.

47 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 31 Fgura 1.19 Representação de fronteras nos lmtes da malha TLM através da ntrodução de mpedâncas de termnação. A modelagem de fronteras é realada, geralmente, por meo de coefcentes de refleão calculados utlando a mpedânca de termnação Z t e a mpedânca da lnha de transmssão Z LT, segundo a epressão: Zt Z LT Γ (1.51) Z Z t LT epresso por: Para os ramos dos nós de contorno, o processo de coneão com o momento segunte será 1 p Γ r p (1.5) ejamos então os casos mas comuns de contornos empregados na smulação TLM. Se as fronteras fossem consderadas deas, sto é, sem perdas, as mpedâncas Z t poderam assumr valores tas como Z t 0 (curto-crcuto), modelando uma parede elétrca (condutor perfeto) ou, no outro etremo, o de uma mpedânca nfnta, Z t (crcuto aberto), no caso de contorno conhecdo como parede magnétca. Paredes elétrcas e magnétcas são então modeladas pelos coefcentes de refleão Γ e 1 e Γ m 1, respectvamente. Um problema que apresenta maor compledade é a descrção da propagação dos campos no espaço aberto, ou seja, a modelagem dos campos que teorcamente deam de estr apenas no nfnto. As condções de frontera devem ser usadas convenentemente para smular a etensão da solução no nfnto. Para este propósto é utlada no TLM a técnca de Condção de Frontera Absorvente (ABC Absorbng Boundar Condton) [7], segundo a qual a mpedânca Z t assume o valor da mpedânca característca do meo. Por eemplo, no caso da modelagem do espaço lvre

48 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 3 (ar) Z t Z 0 então, da equação (1.51), os coefcentes de refleão para os ramos dos nós lmítrofes das malhas regulares estudadas serão: Nó D Paralelo: Z0 Γ Z0 Z0 Z0 0, (1.53a) Nó D Sére: Z0 Z0 Γ Z0 Z0 0, (1.53b) Nó 3D-SCN: Z0 Z0 Γ 0,0 (1.53c) Z Z 0 0 Ė mportante esclarecer neste ponto que o tratamento dos contornos como fo colocado até agora será apenas váldo quando esta ncdênca normal da onda nas fronteras eternas e, anda, quando os meos das fronteras sejam não dspersvos. Para uma modelagem mas completa dos efetos da varação do ângulo com o qual a onda ncde na frontera e do fenômeno da nteração com paredes dspersvas, faem-se necessáros maores esforços matemátcos e computaconas. Progressos na representação de fronteras dspersvas foram reportados nos últmos anos, sendo que na atualdade é quase consenso, entre os pesqusadores do método, que a técnca PML (Perfectl Matched Laer) [13,] é sgnfcatvamente superor às outras empregadas, oferecendo melhor desempenho. 1.4 Ectação da malha TLM O procedmento para a ectação das malhas TLM também é o mesmo, tanto para os casos bdmensonas quanto para os trdmensonas. No TLM, a precsão dos resultados depende não somente da formulação do método, mas também de como a ectação da malha é feta. Embora a mplementação das fontes de ectação no TLM seja relatvamente smples, a escolha das característcas destas requer, geralmente, certa eperênca nos estudos de propagação de ondas eletromagnétcas em estruturas. Em função do problema e do tpo de saída desejada, a ectação deve ser apropradamente modelada, atendendo

49 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 33 ao tpo de componente de campo a ser utlado, forma de onda, polaração, regão da malha a ser ectada, entre outros parâmetros. A ectação consste na aplcação de mpulsos de tensão (ou correntes) nos ramos de um ou város nós da malha, referdos como nós de ectação. Para ectar qualquer componente de campo elétrco ou magnétco, é necessáro dentfcar os ramos que são responsáves por determnar tal grandea e njetar tensões nestes pontos. A forma da ectação a ser aplcada depende do caso em questão. Pode-se aplcar uma forma de onda cuja equação no domíno do tempo é conhecda, como funções mpulsvas (empregada com maor freqüênca), funções gaussanas, cosenodas, pulsos smulando descargas atmosfércas ou eletrostátcas, ondas quadradas, etc. Para maor clarea vejamos alguns eemplos: Eemplo 1: Ectação mpulsva no Ar da componente de campo E 1 /m em uma malha D com nós Paralelos. Segundo a equação (1.16), a componente E Z é calculada como: ( ) Y Y ) LT 5 E l ( 4YLT Ys Gs ) l s Como a ectação é feta no Ar (não sendo necessáros tocos para sua modelagem, Y s G s 0), a equação fca: E ( ) 1 3 l 4 Para garantr a gualdade da epressão acma, mantendo a smetra, as tensões ncdentes deverão assumr a forma: l substtundo E 1 /m temos que ectação no nstante ncal da smulação (t 0 ). le (1.54) é o valor de tensão à ser njetado nos ramos dos nós de Eemplo : O caso anteror para uma ectação senodal E E0 senωt /m, onde E 0 é a ampltude máma do campo e ω πf, sendo f o valor de freqüênca do snal.

50 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 34 Agora a epressão (1.54) fca: 1 le0 3 4 senωt (1.55) Neste caso, os mpulsos de tensão serão adconados aos nós de ectação durante todo o processo teratvo da smulação, njetando energa na malha a cada passo de tempo dscretado t. 1.5 Eploração de resultados no domíno da freqüênca Para mutas aplcações é necessáro conhecer a resposta dos snas no domíno da freqüênca. Nestes casos, pode-se aplcar um pulso rápdo com duração de apenas um passo de teração, que sera correspondente a um mpulso. Este mpulso tem a capacdade de gerar nfntas harmôncas, ectando todos os modos possíves de osclação [17]. Porém, como tem sdo vsto até agora, as saídas de um programa baseado no TLM serão grandeas no domíno tempo, sendo necessáro aplcar uma transformada tempo-freqüênca. Para obter nformações no domíno da freqüênca é feto o uso da Transformada Dscreta de Fourer (Dscret Fourer Transform DFT). Assm, a uma dada seqüênca (sére) de valores temporas reas de campo num determnado nó de coordenadas (,,), corresponde no domíno da freqüênca um valor compleo, para uma freqüênca determnada, de acordo com a epressão [17]: onde: NterT 1 jπft Aˆ( f,,, ) R(,,, ). e 0 (1.56) NterT é o número total de terações no domíno do tempo; dentfca o número da teração no domíno do tempo, que va de ero até NterT-1; R(,,,) é o valor real calculado da grandea de campo em cada passo de teração no domíno do tempo, no nó com coordenadas (,,); A ˆ( f,,, ) é o valor compleo calculado da grandea de campo no domíno da freqüênca, correspondente à freqüênca f, no nó com coordenadas (,,). Para realar a análse numa determnada faa de freqüênca, defnem-se as freqüêncas ncal e fnal e o passo de freqüênca, repetndo-se então o cálculo de (1.56) para todas as freqüêncas da faa seleconada, para assm compor a dstrbução em freqüênca do snal obtdo no domíno temporal pela smulação TLM [17].

51 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 35 Ė mportante ressaltar que o uso da DFT é a escolha mas comum para a transformação de dados do domíno do tempo ao domíno da freqüênca no TLM, mas não é a únca. Outras técncas de estmação espectral também podem ser empregadas. 1.6 Fontes de erros no método TLM O TLM, semelhante a todas as técncas de cálculo numérco, oferece uma solução apromada para o problema, modelando de forma dscretada os fenômenos que, na realdade, têm um comportamento contínuo. Por esta raão, o método fca sujeto a váras fontes de erros e deve ser aplcado com precaução para obter resultados seguros e precsos. A compreensão das lmtações do método é fundamental para o entendmento das fontes de erros e é o camnho para a mnmação ou até mesmo a elmnação completa destas. Na presente seção, serão descrtas brevemente as prncpas fontes de erros nerentes ao método e algumas das vas para mnmá-los [4,7,13]. Os erros mas relevantes no TLM são conhecdos como: - Erro de truncamento; - Erro de velocdade (dspersão); - Erro de dscretação pobre (malha esparsa) Erro de truncamento Por raões de ordem prátca, a sére temporal de mpulsos resultante da smulação TLM deve ser truncada, com o estabelecmento de um número fnto de terações. Este procedmento pode causar, ao transportar a solução obtda no domíno do tempo para o da freqüênca medante o uso da DFT, a perda da resolução espectral. Isto porque a resposta em freqüênca da sére temporal em ve de estar composta por lnhas espectras (o que acontecera para uma sére nfnta), passa a ser formada por uma superposção de funções do tpo sen(), onde os lóbulos lateras de cada uma destas funções podem causar nterferênca naqueles posconados na sua vnhança, causando a dstorção dos snas e o deslocamento dos pcos de ressonânca (fenômeno de Gbbs) [4,7,13]. O erro de truncamento pode ser redudo drastcamente com o aumento do número de terações, o que mplca no nconvenente aumento do tempo de processamento e do volume de memóra necessáro para armaenar o arquvo de resultados. Uma outra manera de se mnmar o efeto do erro de truncamento é o de se ectar a malha de forma a realçar (quando possível) o modo de propagação desejado e mnmar ou suprmr os modos vnhos. Outra proposta é o uso de fltros na transformada de Fourer, conhecdos como funções janelas, que atenuam sensvelmente o efeto de nterferênca entre os modos. As janelas mas utladas são as de

52 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 36 Hannng e Bartlett [0]. Técncas alternatvas à transformada de Fourer para realar a análse espectral estão sendo estudadas, como fo comentado no tem anteror. No entanto, na atualdade, para a maora das aplcações prátcas a serem modeladas pelo TLM, o erro de truncamento não consttu um problema sgnfcatvo. Isto é devdo às potencaldades de processamento cada ve maores dos computadores modernos, o que permte a utlação de um número de terações no tempo sufcentemente grande, o que garante mnmação do erro, que assume valores despreíves, sem o comprometmento dos recursos das máqunas Erro de velocdade (dspersão) O erro de velocdade é um resultado da dscretação espacal do problema. Num meo físco não dspersvo, como por eemplo, o ar, as ondas eletromagnétcas se propagam sotropcamente (à mesma velocdade) em todas as dreções e para todas as freqüêncas. Quando o meo passa a ser modelado pelo TLM, a dscretação do espaço provoca a dependênca da velocdade de propagação das ondas na malha com a freqüênca. Como conseqüênca desta dspersão numérca, erros são ntrodudos nos resultados das smulações. Para que se possa conhecer a magntude destes erros e estabelecer lmtações na aplcação do método de forma a manter sob controle este efeto, é quantfcada a relação do comprmento ou tamanho físco do nó ( l ) com o comprmento de onda propagando-se sobre a malha (λ). Percebese então que o efeto de dspersão é um dos fatores determnantes na escolha dos comprmentos dos nós. Os fenômenos de propagação das ondas eletromagnétcas nos meos reas (contínuos) só serão corretamente modelados pelo TLM para a faa de freqüênca onde os comprmentos das ondas sejam muto maores do que o tamanho do nó ( λ >> l ). Nestes casos, o erro de dspersão é despreível, e pode-se assumr que os campos se propagam pela malha sotropcamente, ndependentemente da freqüênca, cumprndo-se que: v LT const. (1.57) vm onde vlt e v m são, respectvamente, as velocdades de propagação nas lnhas de transmssão da malha e no meo físco. Na prátca, para a maor parte das aplcações onde o TLM pode ser utlado, a segunte condção é válda para a obtenção de bons resultados: λ 10l (1.58)

53 CAPÍTULO 1 - O MÉTODO TLM 37 No lmte ( λ 10l ), o erro de dspersão é consderado menor do que % [7] Erro de dscretação pobre (malha esparsa) Este tpo de erro, de manera semelhante ao erro de velocdade, é resultado da dscretação espacal do problema. Ele se torna evdente quando a densdade da malha (numero de nós) vem a ser nsufcente para a modelagem de estruturas que apresentam regões onde os campos eletromagnétcos varam drastcamente. É o caso das onas prómas aos cantos, cunhas, bfurcações e contornos curvos, por eemplo, onde as componentes de campos podem ter um comportamento altamente não unforme. Obvamente, a prmera solução à vsta do problema sera o uso de uma malha muto mas densa, mas na maora dos casos esta opção se apresenta nvável, pos mplca em uma probtva necessdade computaconal, devdo ao mpacto dreto nos requermentos de memóra e tempo de processamento para as smulações. Para a solução deste problema foram propostas mudanças na topologa dos modelos TLM- D e 3D tradconas, no que se refere à ntrodução de nós com comprmentos varáves, quebrando o aspecto quadrado dos elementos da malha [7,1,1,3,4,5]. Faendo um refnamento da malha apenas nas regões de nteresse, obtém-se um aumento de resolução dos valores de campos, sem causar um aumento sgnfcatvo dos recursos computaconas. A dfculdade neste caso se destaca no aumento da compledade da formulação e mplementação do método. Precsamente, no prómo capítulo, serão tratados com profunddade os aspectos relaconados às malhas TLM rregulares bdmensonas. Fnalmente, vale chamar a atenção para o fato de que se mnmar os erros devdo à dscretação pobre, ao mesmo tempo estará sendo redudo também o erro de dspersão, descrto no tem anteror. 1.7 Conclusões do capítulo Uma revsão dos fundamentos báscos do método TLM bdmensonal e trdmensonal fo o tema do Capítulo 1. Foram apresentados os prncípos teórcos que levaram à orgem do método, assm como as formulações para as topologas empregadas na modelagem em duas e três dmensões, para o caso de malha regular, abrangendo a análse de meos não homogêneos e com perdas. Fo dscutda, anda, a representação das condções de contorno, a ectação e as prncpas fontes de erros nerentes ao método. No prómo capítulo, o estudo será estenddo às malhas D rregulares.

54 CAPÍTULO MALHA TLM-D IRREGULAR.1 Introdução Como fo abordado no capítulo anteror, a geometra dos nós TLM-D orgnas apresenta um aspecto quadrado ( l ), com o objetvo de garantr o sncronsmo na propagação dos pulsos na malha. No entanto, esta mposção lmta a etensão da aplcação do método para um grande número de problemas prátcos (ver fgura.1), como por eemplo, a modelagem de estruturas formadas por dferentes materas que apresentam uma grande desproporconaldade entre as suas dmensões, ou também, nos casos de estruturas que apresentam regões onde as componentes de campo sofrem rápdas varações dos seus valores dada a presença de bfurcações, cantos afados e/ou curvos etc.. Estes casos precsam de uma dscretação muto refnada da malha nessas regões para a obtenção de resultados precsos. O uso de uma malha quadrada regular se torna então nefcente, pos sera necessáro um passo de dscretação espacal muto pequeno, desnecessáro para toda a malha, mplcando no aumento (na maora das vees probtvo) dos recursos computaconas. Fgura.1 A dstrbução não unforme do campo elétrco nas regões prómas às etremdades de um Mcrostrp Transmsson Lne mostra a necessdade de uma dscretação muto refnada da malha nessas regões da estrutura.

55 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 39 A necessdade de contornar este problema motvou alguns pesqusadores a proporem mudanças no modelo TLM-D tradconal. A prmera ruptura com a rgde do aspecto quadrado regular dos nós fo apresentada em 1981 pelos pesqusadores Al-Muhtar e J. Stch [3]. Este novo modelo de malha fo nomeado de matr híbrda (hbrd matr). Baseada no nó Paralelo para problemas sem perdas, esta formulação permte a varação dos comprmentos dos nós ( ), passando então os parâmetros das lnhas (L, C) a depender destes comprmentos, precsando-se de tocos para manter o passo de tempo constante e garantr assm o sncronsmo da propagação. Este tpo de malha TLM rregular é conhecdo como de comprmentos varáves ou graded mesh. Recentemente, em 1998, M. A. Mathas [1] estendeu o equaconamento de Al-Muhtar e J. Stch para o caso do nó Sére, anda sem a consderação das perdas. Estes modelos são estudados em detalhe no presente capítulo. Em 1994, W. J. R. Hoefer e P. Sauter [4] apresentaram um novo modelo de malha retangular para o nó Paralelo e, posterormente, em 1996, o própro Hoefer e Q. Zhang estenderam a formulação para o caso Sére [5]. Esta proposta consttu, como a versão da malha quadrada tradconal, um caso partcular da formulação mas geral desenvolvda por Al-Muhtar e J. Stch para malhas D rregulares. O destaque fundamental das malhas do Hoefer é que a modelagem de estruturas com dferentes materas (meos não homogêneos) é feta sem a necessdade da ntrodução de tocos reatvos, o que as torna menos sensível ao problema de erro de dspersão do que os modelos com tocos. No entanto, as malhas retangulares se lmtam a problemas onde este uma grande assmetra dmensonal nas estruturas a serem modeladas, sto é, a dmensão dos objetos ou dos materas em uma dreção é muto menor quando comparada com a outra (por eemplo: mcrostrp lnes). As alternatvas ao TLM-D orgnal, descrtas brevemente acma, consttuem as mas relevantes, melhor fundamentadas e de maor aplcabldade prátca das reportadas na lteratura no que d respeto às malhas rregulares do tpo graded mesh. No presente trabalho, como já fo dto, serão apresentadas as topologas das malhas desenvolvdas em [1] e [3]. No entanto, contrburemos para a formulação das mesmas com a nclusão da análse de perdas (elétrcas e magnétcas). No fnal do capítulo, valdando as mplementações computaconas fetas, será apresentado um conjunto de smulações para o estudo da propagação de ondas eletromagnétcas em estruturas de guas de onda, sendo algumas delas casos de nteresse prátco nas aplcações de mcroondas.

56 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 40. O nó Paralelo para malha rregular O procedmento para a determnação do equaconamento do nó é dêntco ao caso da malha quadrada regular que, como fo menconado, consttu um caso partcular da formulação mas geral que será mostrada a segur. A fgura. mostra o crcuto elétrco equvalente do nó, sendo que agora os comprmentos espacas nas dreções, e podem assumr valores dferentes. Fgura. Representação do crcuto elétrco equvalente do nó Paralelo para malha rregular. Aplcando as les de Krchhoff, as equações dferencas de corrente e tensão do crcuto da fgura. fcam: t I L (.1a) t I L (.1b) G t C I I s T (.1c) Lembrando que este tpo de nó é utlado para a modelagem de problemas com polaração TM, as equações de Mawell no sstema cartesano (1.4a, 1.4b e 1.4c) são:

57 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 41 t H E µ t H E µ E t E H H ε σ erfca-se a segunte equvalênca entre as grandeas de campo e as da malha TLM rregular com nós Paralelos: E (.a) I H (.b) I H (.c) Os parâmetros do crcuto se relaconam com os do meo modelado: L µ (.3a) L µ (.3b) T C ε (.3c) s σ G (.3d) As epressões (.3a.3d) mostram a dependênca dos parâmetros do crcuto em relação às dmensões do nó.

58 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 4.3 O nó Sére para malha rregular A fgura.3 mostra o crcuto elétrco equvalente para o nó Sére. Fgura.3 Representação do crcuto elétrco equvalente do nó Sére para malha rregular. As equações dferencas de corrente e tensão do crcuto da fgura.3 serão: t C I (.4a) t C I (.4b) I R t I L s T (.4c) Lembrando que este tpo de nó é utlado para a modelagem de problemas com polaração TE, as equações de Mawell no sstema cartesano (equações 1.39a, 1.39b, 1.39c) são:

59 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 43 t E H ε t E H ε m H t H E E µ σ erfca-se a segunte equvalênca entre as grandeas de campo e as da malha TLM rregular com nós Sére: I H (.5a) E (.5b) E (.5c) Fnalmente, os parâmetros do crcuto se relaconam com os do meo modelado: ε C (.6a) ε C (.6b) L T µ (.6c) R m s σ (.6d) onde: L T L L L s é a ndutânca total do nó..4 Seleção dos parâmetros dos nós para garantr o sncronsmo da propagação na malha rregular Na malha rregular, como fo vsto nos tens anterores, os elementos do espaço dscretado podem assumr valores dferentes ( ). Esta assmetra entre os ramos horontas

60 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 44 e vertcas mplca em que, se não forem fetas modfcações na formulação dos parâmetros das lnhas de transmssão, não será possível garantr o sncronsmo de tempo na malha, sto é, os pulsos propagados pelos ramos não atngrão os nós e os contornos num mesmo nstante de tempo, deando o modelo de ser uma representação dscreta do prncípo de Hugens. Esta dfculdade pode ser vsta com maor clarea partndo da epressão da velocdade de propagação nas lnhas, que agora para cada dreção será: v LT 1 (.7a) L C d d v LT 1 (.7b) LdCd Lembrando do capítulo 1 que a velocdade também pode ser epressa como epressão do passo dscretado de tempo t será: v LT l, a t t (.8a) v LT t (.8b) vlt No entanto, deve-se garantr que o passo de tempo seja únco para toda a malha, para a manutenção do sncronsmo, devendo-se cumprr: t L C L C d d d d (.9) Da epressão acma se percebe que, se as lnhas que conformam os ramos dos nós tverem seus parâmetros por undade de comprmento dêntcos (L d L d ; C d C d ), ocorrerá a quebra do sncronsmo. Uma manera de se manter o sncronsmo dos pulsos é mpondo que a velocdade de propagação dos mesmos seja nversamente proporconal ao comprmento do ramo. Através da seleção adequada dos parâmetros das lnhas do nó, pode-se faer com que a velocdade de propagação sobre estas lnhas seja tanto maor quanto maor for o seu comprmento físco, mantendo desta forma a sotropa na propagação sobre a malha. eja-se então o procedmento de cálculo para cada tpo de topologa.

61 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 45 No caso do nó Paralelo, as ndutâncas dstrbuídas nas lnhas podem ser obtdas das relações (.3a -.3b): L d µ (.10a) L d µ (.10b) Substtundo (.10a -.10b) em (.9), pode-se obter as epressões das capactâncas dstrbuídas das lnhas nas dreções e : 1 t C d (.11a) µ 1 t C d (.11b) µ A capactânca total para o nó (ver fgura.) será, então, a soma das capactâncas das lnhas (desconsderando-se, por enquanto, a capactânca do toco C s, cuja necessdade de ntrodução será vsta adante): t C T Cd Cd (.1) µ Por outro lado, da equvalênca estabelecda entre as equações de campos e crcutos, fo obtda a epressão (.3c) da capactânca necessára para a modelagem do meo, portanto, (.1) e (.3c) também devem ser equvalentes: t µ ε (.13) Da gualdade acma pode ser vsto que o passo de tempo dependerá dos comprmentos dos nós em ambas dreções e dos parâmetros do meo modelado: t µε (.14) Nos casos mas geras de modelagem de problemas, a malha TLM pode apresentar regões com nós de comprmentos dferentes em uma mesma dreção ( 1... n ; 1... n ) e/ou, anda, meos dferentes, como é lustrado na fgura.4. Isto mplca que, em cada uma das

62 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 46 regões modeladas, poderá resultar um valor de passo de tempo dferente das demas regões do problema. Entretanto, no método TLM só pode estr um únco passo de tempo para toda a malha. Fgura.4 Eemplo de malha TLM D rregular. a) Dscretação da seção transversal de uma estrutura tpo Fn lne unlateral; b) Amplação da regão de nterface entre quatro regões dferentes da malha. Assm, uma ve calculados os valores de passo de tempo correspondentes a cada regão, aquele que apresentar o menor valor dentre todos, será adotado como o passo de tempo t TLM, únco para toda a malha. Desta forma, a regão que possu o menor passo de tempo é, automatcamente, modelada corretamente, sendo que as demas regões apresentarão um valor de capactânca no nó nferor ao prevsto na relação (.1). Então, torna-se necessáro mplementar uma correção no valor da capactânca do nó, através da ntrodução de um toco, capa de modelar este défct capactvo. Este toco capactvo terá um valor de capactânca: C C C C ), então: s T ( t TLM C s ε (.15) µ No caso das admtâncas das lnhas de transmssão, estas serão obtdas substtundo na epressão de admtânca obtendo-se: Cd Y os valores de L d (.10a), C d (.11a) e L d (.10b), C d (.11b), L d

63 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 47 Y LT ttlm (.16a) µ Y LT ttlm (.16b) µ e a admtânca do toco capactvo será epressa como: C s Y s (.17) ttlm No caso da malha de topologa Sére, o procedmento para a determnação das epressões dos parâmetros das lnhas e para a escolha do passo de tempo únco, t TLM,, é totalmente análogo ao desenvolvdo acma para o nó Paralelo, só que agora baseados nas epressões das ndutâncas. As capactâncas dstrbuídas nas lnhas podem ser obtdas das relações (.6a e.6b): C d ε (.18a) C d ε (.18b) Substtundo (.18a.18b) em (.9), pode-se obter as epressões das ndutâncas dstrbuídas das lnhas nas dreções e : L d 1 t ε (.19a) L d 1 t ε (.19b) A ndutânca total para o nó (ver fgura.3) será a soma das ndutâncas das lnhas: L T L d L d t ε (.0) Por outro lado, da equvalênca estabelecda entre as equações de campos e crcutos, fo obtda a epressão (.6c) da ndutânca necessára para a modelagem do meo, portanto, (.0) e (.6c) também devem ser equvalentes. Do estabelecmento desta gualdade, da mesma forma que para o nó Paralelo, a epressão para o cálculo do passo de tempo é defnda por (.14).

64 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 48 A escolha do passo de tempo únco para toda a malha é dêntco ao já apresentado para o nó Paralelo. Nas regões onde o passo de tempo local é superor ao passo da malha, t TLM, é ntrodudo um toco para modelar o défct de ndutânca no nó, causado pela mudança do passo. Este toco ndutvo terá um valor de ndutânca: L s LT ( L L ), então: L s t TLM µ (.1) ε No caso das mpedâncas das lnhas de transmssão, estas são obtdas substtundo na epressão de mpedânca obtendo-se: L d Z os valores de L d (.0a), C d (.19a) e L d (.0b), C d (.19b), Cd Z LT Z LT ttlm (.a) ε ttlm (.b) ε e a mpedânca do toco ndutvo será epressa como: Z s L s (.3) ttlm.5 Propagação de energa na malha TLM-D rregular e computação dos campos A análse do processo de espalhamento dos mpulsos na malha é feto de manera análoga ao caso da malha quadrada regular. Por eemplo, para o nó Paralelo, o crcuto equvalente de Thévenn fca como lustra a fgura.5. Fgura.5 Crcuto equvalente de Thévenn para o nó TLM-D Paralelo malha rregular.

65 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 49 A dferença agora está no fato de que os valores de admtânca característca nos ramos em dreções dferentes poderão não ser guas, segundo as equações (.16a e.16b). Do crcuto equvalente de Thévenn pode-se obter a epressão para a tensão no ponto central do nó: ( ) ( ) s s LT LT s LT LT G Y Y Y Y Y Y ) ( (.4) Segundo o mesmo procedmento do tem , a matr de espalhamento calculada será: (.5) onde: Y. s s LT LT G Y Y Y ) ( ˆ O campo elétrco na dreção será dado por: ( ) ( ) Y Y Y Y E s LT LT ˆ (.6) As relações entre as componentes de campo magnétco e as correntes do nó nas dreções e poderão ser epressas como: Z I H LT 3 1 (.7a) Z I H LT 4 (.7b) Da mesma manera, repetndo os procedmentos dos tens e , a matr de espalhamento para o nó Sére rregular será:

66 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 50 [ ] s s s s s LT LT LT LT LT LT LT LT LT LT LT LT LT LT LT LT LT LT LT LT Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z S ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 (.8) onde : s s LT LT R Z Z Z Z ) ( ˆ O campo magnétco na dreção será dado por: ( ) ( ) R Z Z Z I H s s LT LT Z (.9) As componentes do campo elétrco nas dreções e do nó serão epressas por: E 3 1 (.30a) E 4 (.30b).6 Modelagem de nterfaces entre nós de regões dferentes. Coneão dos pulsos Os pulsos que vajam entre nós adjacentes, porém pertencentes a regões dstntas da malha (cujos retculados e/ou meo são dferentes), encontram, na passagem de um ramo a outro, uma mudança de mpedânca que deve ser consderada. Como lustra a fgura.6, só uma parte da energa provenente do nó, trafegando pelo ramo 4, será transmtda ao nó adjacente 1, pos uma outra parcela será refletda de volta ao nó. Smultaneamente, um processo smlar acontece com o pulso que vaja pelo ramo do nó 1. Fgura.6 Representação da nterface entre nós de regões dferentes.

67 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 51 Nestes casos, as nterfaces são modeladas através da ntrodução de coefcentes de refleão e transmssão durante o processo de coneão dos pulsos. O cálculo destes coefcentes é baseado no valor das mpedâncas dos ramos. Para o caso do eemplo da fgura.6, teríamos: Z LT Z LT1 44 Z LT Z LT1 Γ (.31a) T Γ 1 (.31b) 4 44 Z LT1 Z LT Γ (.3a) Z Z LT1 LT T Γ 1 (.3b) 4 Os mpulsos de tensão ncdentes nos ramos, para o nstante de tempo segunte 1, podem ser calculados como: r r 1 4 Γ44 4 T4 (.33a) r r 1 Γ T4 4 (.33b) A ntrodução de nterfaces é válda para ambos os tpos de nós: Paralelo e Sére..7 Modfcação do nó Sére para a análse do modo TE em materas delétrcos com perdas No decorrer da presente pesqusa, uma lmtação do método TLM D fo dentfcada quando se desejava a sua aplcação em problemas contendo meos com perdas. Como fo estudado, com o nó Paralelo é possível modelar problemas de propagação TM em estruturas delétrcas com perdas e, com o nó Sére, problemas de propagação TE em estruturas com perdas de orgem magnétca. Porém, a formulação convenconal do TLM-D (tanto para malha quadrada quanto rregular) não permte o tratamento do caso contráro, ou seja, com o nó Paralelo não é possível a modelagem TM de meos com perdas magnétcas, assm como com o nó Sére é mpossível smular casos de propagação TE em meos delétrcos com perdas. Esta dfculdade encontrada lmta as possbldades de aplcação do método em números problemas de nteresse prátco, como, por eemplo, a modelagem de meos bológcos, nos quas a condutvdade elétrca dos tecdos não pode ser despreada.

68 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 5 Neste sentdo, no presente trabalho serão apresentadas modfcações na topologa do nó Sére convenconal, com o ntuto de possbltar o tratamento de casos de polaração TE em estruturas delétrcas com perdas. Para tornar evdente o problema a ser tratado, parte-se das equações de Mawell no sstema cartesano, admtndo polaração TE da onda em relação ao plano, para um meo com perdas elétrcas: H E ε t σe (.34a) H E ε t σe (.34b) E E H t µ σ m H (.34b) Comparando o sstema de equações (.34a,.34b e.34c) com os obtdos anterormente para o crcuto elétrco equvalente do nó Sére, para o caso de malha quadrada regular (1.19a, 1.19b e 1.19c) e para malha rregular (.4a,.4b e.4c), nota-se que não é possível estabelecer uma equvalênca total entre as grandeas de campo e as das malhas TLM Sére, pelo fato destas últmas não levar em consderação, em suas topologas, elementos que modelem as perdas elétrcas do meo, representadas no segundo termo do lado dreto de (.34a) e (.34b). Na procura de uma solução smples e efcente para este problema, que não mplcasse em um aumento ecessvo na compledade da formulação e na mplementação computaconal do nó, foram fetas as modfcações mostradas na fgura.7.

69 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 53 Fgura.7 Representação do nó TLM-D Sére modfcado pela ntrodução de elementos dsspatvos para a modelagem de meos delétrcos com perdas. Foram adconados tocos dsspatvos, representados no crcuto pelas condutâncas G e G, em paralelo com as etremdades de cada um dos ramos do nó, smulando desta forma as perdas elétrcas. Agora, as equações das tensões e correntes para o crcuto modfcado do nó Sére fcam: t C I G (.35a) t C I G (.35b) I R t I L s T (.35c) Comparando as equações acma com as do sstema (.34a,.34b e.34c), verfcam-se as mesmas equvalêncas entre as grandeas de campo e as da malha TLM Sére, já obtdas em (.5a,.5b e.5c). Às epressões que relaconam os parâmetros do crcuto e do meo modelado (.6a.6d), adconam-se:

70 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 54 G σ (.36a) G σ (.36b) De manera análoga ao nó Sére convenconal, a análse do processo de espalhamento dos mpulsos na malha e o cálculo dos valores das tensões e correntes, serão fetos a partr do crcuto equvalente de Thévenn. A dferença fundamental no atual modelo de nó Sére está dada no fato das correntes dos ramos serem agora dferentes da corrente total do nó, I, devdo à presença das condutâncas em paralelo com os ramos, como mostra a fgura.8. Fgura.8 Crcuto equvalente de Thévenn do nó Sére modfcado. A determnação das correntes nos ramos é um passo necessáro para a obtenção das epressões das tensões refletdas que ntervêm no processo de espalhamento na malha, como fo vsto no tem Agora, a epressão da tensão refletda em cada ramo (1.8) fca: r p p ± I p Z LTn p 1,...,4 n, (.37) onde é a corrente no ramo p no nstante de tempo e Z é a mpedânca característca na I p LTn dreção n. Para o caso do toco ndutvo, I 5 I Z. O procedmento a ser segudo para o cálculo destas correntes será obter, para cada ramo (nclundo o toco ndutvo), um crcuto equvalente do restante do nó (aplcando o teorema de Thévenn e transformações de fontes de tensão em fontes de corrente). Este procedmento é

71 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 55 mostrado na fgura.9 e na epressão (.38), para o caso partcular do ramo 4 do crcuto da fgura.8. Fgura.9 Transformação do crcuto equvalente de Thévenn para o cálculo das correntes nos ramos: eemplo para o ramo 4. I 4 Z eq eq Z 4 LT (.38) Repetndo-se este processo para cada ramo do crcuto e, substtundo-se (.38) em (.37) para cada caso, é possível representar o processo de espalhamento na sua forma matrcal, de forma smlar ao nó convenconal. Os coefcentes da matr de espalhamento [S] que, no caso convenconal, são dependentes smplesmente dos valores das mpedâncas nos ramos, agora serão combnações de mpedâncas equvalentes resultantes do processo descrto anterormente, o que torna a matr mas chea, embora o número de lnhas e colunas (5 5) seja mantdo gual ao caso orgnal. No Aneo 1 é mostrada, de forma eplícta, como fca a matr [S], assm como as epressões de cada um dos seus coefcentes. A modelagem das nterfaces entre nós de regões dferentes, durante o processo de coneão com o momento segunte, também será afetada pela presença dos tocos dsspatvos. Como lustra a fgura.10, além da parcela de energa provenente do nó, que será transmtda ao nó adjacente 1 e, da parte que será refletda de volta ao nó, uma outra parcela será absorvda pelas condutâncas lgadas aos ramos. Smultaneamente, um processo smlar acontece com o pulso que vaja pelo ramo do nó 1.

72 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 56 Fgura.10 Interface entre ramos de regões com característcas dferentes na malha modfcada. O cálculo dos coefcentes de refleão no eemplo da fgura.10 será: Z eq Z LT1 Γ 44 (.39a) Z Z eq LT1 Z eq1 Z LT Γ (.39b) Z Z eq1 LT onde: Z eq é a combnação paralela da mpedânca característca da lnha vnha com as condutâncas de perdas: Z Z // eq LT // G 1 G (.40a) Z Z // eq1 LT1 // G 1 G (.40b) Os mpulsos de tensão ncdentes nos ramos para o nstante de tempo segunte 1 podem ser calculados pelas mesmas epressões (.33a e.33b) usadas no caso da malha Sére convenconal. As mplementações do método TLM-D modfcado foram valdadas para casos de propagação em estruturas de guas de onda e em aplcações boeletromagnétcas, onde fo estudada a nteração das ondas de radofreqüênca com os meos bológcos. Os resultados obtdos foram altamente satsfatóros, como poderá ser conferdo no prómo tem e no capítulo 5.

73 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 57.8 aldação das mplementações TLM-D para malha rregular Neste tem será realada a aplcação do TLM-D na solução de problemas com resultados conhecdos (analítca e/ou numercamente), procurando assm valdar a efcênca e desempenho dos códgos computaconas desenvolvdos como parte do trabalho de tese. É mportante destacar que para todas as smulações mostradas neste trabalho, a escolha das dmensões dos nós, densdade da malha e número de terações no tempo foram fetas levando em consderação os seguntes fatores: - Mnmação do efeto nos resultados dos erros nerentes ao método: de truncamento, dspersão e dscretação pobre; - A capacdade de processamento dos computadores dsponíves, consderando fundamentalmente o tempo dspensado na smulação e o tamanho dos arquvos gerados..8.1 Aplcação a casos de nteresse prátco em mcroondas: Estrutura fn lne unlateral As fn lnes [6] são estruturas de nteresse prátco na área de crcutos ntegrados, sendo utladas com sucesso como meo de transmssão de mcroondas em projetos de conversores e fltros. Consstem num gua de onda retangular preenchdo por ar, contendo em seu nteror duas fnas trlhas condutoras montadas sobre um substrato delétrco e nserdas na regão central do gua. As fn lnes podem ser do tpo unlateral (fgura.11), blateral ou solada. Pela compledade da geometra e do comportamento não unforme dos campos nas regões prómas às trlhas condutoras, torna-se pratcamente nvável a resolução analítca das mesmas. Fgura.11 Estrutura fn lne unlateral. O eemplo de fn lne que será estudado a segur, fo encontrado em [6]. Nesse trabalho foram obtdas as freqüêncas de corte do modo de propagação fundamental TE 10 e do prmero modo superor TE 0, para os três varantes de fn lne (unlateral, blateral e solada), em função das dmensões do gap entre as trlhas condutoras, b 0, e da largura do substrato delétrco, a 0 (ver fgura

74 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 58.11). Aplcou-se naquele caso o Método de Ressonânca Transversa (TRM - Transverse Resonance Method) [7]. No presente trabalho, com o ntuto de valdar as nossas mplementações de malha rregular, será modelado apenas o fn lne tpo unlateral, para as seguntes restrções de geometra: b/a 1/, a 0 /a 1/8, b 0 /b 1/4 e permssvdade relatva do delétrco, ε r,. Fo avalado o desempenho de quatro malhas com topologa Sére: duas regulares e duas rregulares, como será mostrado a segur. Dados da geometra do fn lne: a 3, cm ; b 1,6 cm; a 0 0,4 cm; b 0 0,4 cm Dados da modelagem TLM D: Para todas as malhas, a ectação ncal fo feta aplcando mpulsos ao longo da parede vertcal esquerda do gua, correspondentes à componente de campo H Z. Foram realadas 3000 terações no tempo. As saídas de resultados foram etraídas no mesmo ponto da estrutura para todos os casos. A espessura das trlhas condutoras não fo consderada, sendo smuladas como condções de contorno nterores (paredes elétrcas). Dados da malha regular I: l 0,05 cm; a 64 l ; b 3 l ; a 0 8 l ; b 0 8 l Dados da malha regular II: Número total de nós: l 0,05 cm; a 18 l ; b 64 l ; a 0 16 l ; b 0 16 l Número total de nós: Note-se que a malha II é mas densa, apresentando o dobro da quantdade de nós da malha I e a metade do comprmento l da mesma. Dados das malhas rregulares: As malhas rregulares foram dvddas em 4 e 1 regões homogêneas, respectvamente, procurando uma maor dscretação nas regões prómas às trlhas e ao gap entre elas, como mostram as fguras.1a e.1b, e a tabela.1.

75 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 59 (a) (b) Fgura.1 Modelagem do fn lne unlateral utlando malha rregular: a) Malha rregular I (4 regões homogêneas); b) Malha rregular II (1 regões homogêneas). TABELA.1 Dados por regões homogêneas das malhas rregulares empregadas na modelagem do fn lne unlateral. Malha Irregular I Malha Irregular II Regão X * Y Nós X Nós Y ε r X Y Nós X Nós Y ε r 1 0,05 0, ,0 0,075 0, ,0 0,05 0, ,0 0,05 0, ,0 3 0,05 0, , 0,05 0, , 4 0,05 0, ,0 0,075 0, ,0 5 0,075 0, ,0 6 0,05 0, ,0 7 0,05 0, , 8 0,075 0, ,0 9 0,075 0, ,0 10 0,05 0, ,0 11 0,05 0, , 1 0,075 0, ,0 No. Total de nós na malha * Dmensões dos nós em cm.

76 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 60 Na tabela. são apresentados os resultados obtdos nas smulações, para as freqüêncas de corte dos modos TE estudados, ao mesmo tempo em que são comparados com os valores apresentados em [6]. TABELA. alores de freqüênca de corte obtdos para o modo de propagação fundamental TE 10 e para o prmero modo superor TE 0 no fn lne unlateral modelado. Tempo de MALHA fc 10 (GH) Dferença (%) 1 fc 10 (GH) Dferença (%) processamento Referênca 3,04 0,0 9,0903 0,0 --- [6] Regular I 3,10 6,14 9,376 3, Regular II,994-0,99 9,097 0, Irregular I 3,031 0, 9,033-0, Irregular II,99-1,06 9,09 0, A dferença é calculada pela comparação com os valores obtdos em [6] pelo método TRM; Dados do computador utlado: Processador AMD 6- II 450, Placa Mãe PC 100 on board, 18 MB RAM, Sstema Operaconal: Wndows 98, Lnguagem de programação: Fortran 90, Complador: MS Fortran Power Staton v Como se pode ver na tabela acma, as soluções obtdas pelo TLM mostram boa concordânca em relação à solução apresentada em [6] pelo TRM. O por caso corresponde à malha regular I, o qual já era esperado por ser a de dscretação mas pobre. A malha regular II fornece bons resultados (dferenças menores de 1,0 %), entretanto, o tempo despenddo na smulação fo o maor, por ser das malhas avaladas a que apresenta maor quantdade de nós. Em contraposção, as malhas rregulares apresentam a melhor relação precsão nos resultados tempo de smulação, fcando assm demonstrada a mportânca de utlar malha rregular em problemas onde a compledade da geometra nfluenca no comportamento das grandeas eletromagnétcas. A fgura.13 mostra a resposta em freqüênca para a componente de campo H Z no ponto (,3), obtda na smulação do fn lne para o caso da malha regular II.

77 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR TE 10 TE H (A/m) GH Fgura.13 Modos TE 10 e TE 0 obtdos no fn lne unlateral para a componente de campo H. As confgurações do campo elétrco e do campo magnétco na seção transversal do fn lne, para o modo de propagação fundamental TE 10, podem ser observadas nas fguras.14 e.15, respectvamente. Fgura.14 Dstrbução do campo elétrco transversal E(,) para o modo fundamental TE 10 no fn lne unlateral (malha regular I).

78 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 6 Fgura.15 Dstrbução do módulo do campo magnétco longtudnal H para o modo fundamental TE 10 no fn lne unlateral (malha regular I)..8. Aplcação a casos de nteresse prátco em mcroondas: Gua de onda de crsta (rdged wavegude) Como fo apresentado na seção.7, foram realadas modfcações na topologa do nó Sére, com o ntuto de possbltar o tratamento de casos de polaração TE em estruturas delétrcas com perdas, o que não é possível utlando a formulação para a malha Sére convenconal. Para valdar as modfcações propostas será consderada, como eemplo, a modelagem de um gua de ondas de crsta smples (sngle rdged wavegude). Este tpo de estrutura é utlado em projetos de mcroondas com o objetvo de aumentar a largura de banda em freqüênca dos modos TE propagados nos guas de onda retangulares [7]. Para esse fm, possuem reentrâncas em seu nteror, como lustra a fgura.16a.

79 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 63 Fgura.16 Gua de ondas de crsta smples (sngle rdged wavegude): a) Representação convenconal; b) Substtução das paredes condutoras nterores por um bloco delétrco de condutvdade elevada. Nota-se que, gual às paredes eterores, as dobras ou paredes nterores do gua também são representadas por contornos metálcos (condutores). Para testar as mplementações desenvolvdas, estas paredes nterores condutoras foram substtuídas por um bloco de materal delétrco com condutvdade elevada, como lustra a fgura.16b. Espera-se, então, que os resultados dos cálculos numércos para ambas as confgurações sejam os mesmos. Dados da geometra do gua: a 1,0 cm; a 0 0,5 cm; b 0,6 cm; b 0 0, cm. Dados da modelagem TLM-D: Para a smulação fo escolhda uma malha Sére regular, contendo nós, onde cada elemento possu l 0,015 cm. Foram realadas 3000 terações no tempo. A fgura.17 mostra a resposta em freqüênca da componente de campo H, nas estruturas das fguras.16a e.16b, para uma ectação mpulsva na parede vertcal esquerda do gua. Observa-se que as curvas fcam pratcamente superpostas. O valor de freqüênca de corte obtdo para o modo de propagação fundamental TE 10 fo de 8,56 GH, para ambas as estruturas.

80 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR TE 10 H (A/m) GH Fgura.1 Espectro de freqüênca para a componente de campo H (lnha chea: gua de ondas de crsta da fgura.16a; lnha tracejada: gua modfcado no seu nteror com um bloco delétrco (ε r,0) de condutvdade elevada, fgura.16b). Este resultado de freqüênca de corte para o modo TE 10, obtdo das smulações, fo comparado com o cálculo analítco feto em [7], fc 10 10,94 GH. Nesse caso, fo utlada uma equvalênca do gua de crsta com um crcuto ressonante LC, método consderado pelo própro autor como uma apromação muto grossera, raão pela qual acredtamos que os resultados aqu obtdos, aplcando o TLM, sejam mas precsos. A dstrbução espacal do módulo do campo magnétco longtudnal H, para toda a seção transversal das estruturas, correspondente ao modo TE 10, pode ser vsta nas fguras.18,.19a e.19b.

81 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 65 Fgura.18 Dstrbução espacal do módulo do campo magnétco longtudnal H na seção transversal do gua de ondas de crsta da fgura.16a. Fgura.19 Dstrbução espacal do módulo do campo magnétco longtudnal H na seção transversal do gua de ondas de crsta modfcado da fgura.16b: a) Para o bloco delétrco sem perdas (ε r,0, σ 0); b) Para o bloco delétrco com condutvdade elevada. O padrão de campo da fgura.18, correspondente ao gua de crsta da fgura.16a, concde tanto em forma quanto em magntude com o mostrado na fgura.19b, correspondente ao gua preenchdo parcalmente pelo bloco delétrco com condutvdade elevada, mostrado na fgura.16b. No prmero caso, as smulações foram fetas com a mplementação orgnal do nó TLM-D Sére, sto é, consderando todos os contornos como fronteras elétrcas (coefcente de refleão 1) e a estênca de um só meo (o Ar). Já no caso dos resultados da fgura.19b, fo utlada a formulação do nó modfcado: as fronteras elétrcas só foram empregadas nos contornos eterores da estrutura, modelando-se no nteror do gua um bloco delétrco com condutvdade elétrca elevada. A concordânca dos resultados confrma a valdade das mplementações fetas. O caso smulado da fgura.19a corresponde à estrutura da fgura.16b, quando a condutvdade é nula (σ 0). Neste caso, o valor da freqüênca de corte para o modo fundamental

82 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 66 TE 10 é um pouco maor, 1,46 GH, valor lógco e conferdo na lteratura (1,43 GH em [9]). Percebe-se também que o campo penetra no bloco delétrco, ao ser agora um meo sem perdas..9 Conclusões do capítulo Neste capítulo fo desenvolvda a formulação matemátca das malhas rregulares bdmensonas para as duas topologas empregadas na modelagem TLM, contornado assm a lmtação mposta pelo aspecto geométrco da malha tradconal (malha quadrada regular), a qual pode ser vsta como um caso partcular do equaconamento mas geral do método aqu fornecdo. Além das possbldades de modfcações nas dmensões dos ramos que compõem os nós, a formulação para malha rregular oferece outra grande vantagem quando comparada com a tradconal no tratamento de problemas não homogêneos: no caso da formulação tradconal, com o nó Paralelo (utlado para problemas de polaração TM), somente é possível o estudo de problemas contendo regões com parâmetros delétrcos dferentes. Da mesma forma, para o nó Sére (utlado para problemas de polaração TE), somente é possível o estudo de problemas contendo regões com parâmetros magnétcos dferentes. Agora, para a formulação da malha rregular, é possível o tratamento de problemas não homogêneos apresentando regões com dferentes permssvdades e permeabldades, ndependentemente da topologa de nó utlada. Em relação às perdas (elétrcas e magnétcas), estas foram ncluídas na formulação do método no presente trabalho, mas uma lmtação fo encontrada: com o nó Paralelo é possível modelar problemas de propagação TM em estruturas delétrcas com perdas e, com o nó Sére, problemas de propagação TE em estruturas com perdas magnétcas. Porém, a formulação convenconal não permte o tratamento do caso contráro, ou seja, com o nó Paralelo não é possível a modelagem TM de meos com perdas magnétcas, da mesma forma que com o nó Sére é mpossível smular casos de propagação TE em meos delétrcos com perdas. Neste sentdo, no presente capítulo foram apresentadas modfcações na topologa do nó Sére convenconal, com o ntuto de possbltar o tratamento de casos de polaração TE em estruturas delétrcas com perdas. A partr destas formulações para a malha rregular, foram mplementados programas computaconas para a smulação bdmensonal de problemas de propagação de ondas eletromagnétcas. Para avalar as potencaldades do método e valdar a efcênca e desempenho dos códgos computaconas desenvolvdos, no tem.8 foram realadas smulações para um conjunto de casos

83 CAPÍTULO - MALHA TLM -D IRREGULAR 67 de propagação em estruturas de guas de onda. Os resultados obtdos foram satsfatóros, tendo boa apromação com aqueles apresentados na lteratura consultada, obtdos analítca e/ou numercamente. No capítulo 5, a aplcação dos programas será estendda para a modelagem de problemas em boeletromagnetsmo. Precsamente, no prómo capítulo, para entender melhor estes tpos de aplcações, serão estudados os fundamentos da nteração das ondas de RF com os meos bológcos.

84 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 3.1 Introdução No presente capítulo serão abordados, de manera geral, os prncpas aspectos teórcos da nteração dos campos eletromagnétcos de RF com os meos bológcos. A dscussão será feta do ponto de vsta macroscópco, a partr das equações de Mawell e do estudo dos parâmetros consttutvos (ε, µ, σ) que caracteram as propredades elétrcas do materal bológco. O fenômeno da nteração depende de numerosos fatores, o que torna seu estudo um problema de alta compledade. As característcas dos campos que penetram no nteror dos tecdos dependem, fundamentalmente, da [, 8,9,30]: - Intensdade, freqüênca e polaração dos campos eternos ncdentes que os orgnam; - Forma geométrca e propredades elétrcas dos tecdos que conformam o corpo radado; - Relação entre o comprmento da onda ncdente e tamanho físco do corpo radado; - Presença de objetos prómos (efetos reflevos). Nota-se que a quantfcação dos campos dstrbuídos no nteror dos tecdos e, até mesmo, o seu equaconamento, podem resultar numa tarefa de alta compledade. 3. Faa das radofreqüêncas Antes de começar com o estudo das propredades elétrcas da matéra bológca, é mportante dear claro qual a faa de freqüênca, dentro do espectro eletromagnétco, consderada como Radofreqüênca (RF). Na fgura 3.1 é apresentado, de forma pctórca, o espectro eletromagnétco. Observe-se que no dagrama estão localadas as dferentes regões de freqüênca, assocadas aos prncpas fenômenos eletromagnétcos com os quas convve-se.

85 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 69 Fgura 3.1 Espectro Eletromagnétco. As Radofreqüêncas abrangem dos 3 H até os 300 GH, sendo que as Mcroondas, categora específca das RF, stuam-se no fnal da faa, dos 300 MH até os 300 GH [9,31]. Nestes grupos de freqüênca se localam todos os sstemas de comuncação va rádo, sto é, todos os sstemas que transmtem nformação através de radação eletromagnétca: as estações de rádo, T, telefona celular, comuncações va satélte e outras atualmente nestentes, mas que poderão operar no futuro. Observa-se anda na fgura 3.1 duas regões dstntas do espectro: a das radações não onantes (RNI) e a das onantes. É mportante ressaltar que os termos onante e não-onante não devem ser confunddos quando se dscute o efeto bológco da radação eletromagnétca, uma ve que os mecansmos de nteração sobre o corpo humano são completamente dferentes. Radação onante é consttuída por fótons com energa sufcente para produr íons em sua passagem pela matéra, ou seja, capaes de arrancar elétrons de átomos e moléculas (quebra de lgações químcas). No tocante ao materal bológco que forma o corpo humano, para haver efeto onante, o fóton deve ter energa gual ou superor a 10 e [8,9,3]. Esse nível de energa é alcançado somente pelas radações eletromagnétcas com freqüênca maor (comprmento de onda menor) do que o ultravoleta longo (ou seja, somente se f >, H, ou λ < 1, 10-7 m, apromadamente) [8,9,3]. Ultravoleta curto, raos X e raos gama, são radações onantes, cujas conseqüêncas nocvas para a saúde são conhecdas (danos ao DNA das células e efetos cancerígenos). Por outro lado, lu vsível, nfravermelho, radofreqüêncas e baas freqüêncas, não têm efeto onante, pos a energa do fóton nessas faas de freqüêncas não é grande o sufcente para causar a onação de átomos e moléculas. Conclu-se então que a eposção do corpo humano às

86 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 70 radofreqüêncas, nosso prncpal foco de estudo, só pode provocar efetos que não resultam da onação. Conforme será vsto mas adante, o efeto predomnante das radações não onantes de radofreqüêncas é o efeto térmco. A energa que atnge o corpo humano dsspa-se sob a forma de calor. Se a ntensdade da radação for elevada, o aumento de temperatura pode ser ecessvo, levando a danos na saúde, mas, o efeto do ponto de vsta macroscópco sempre será térmco, sem qualquer possbldade de provocar onação, como ocorre com os raos X e outras radações onantes, mesmo de baa ntensdade. 3.3 Propredades elétrcas da matéra bológca Como fo apresentado, os mecansmos da nteração dos campos de RF com a matéra são determnados pelas propredades elétrcas do meo e as característcas dos campos ncdentes. De manera geral, os meos bológcos podem ser tratados como materas delétrcos com perdas, apresentando característcas lneares, sotrópcas, não homogêneas e dspersvas [8,9,30,33]. A prncpal qualdade dos materas delétrcos com perdas é a capacdade de absorção de energa eletromagnétca e a transformação desta energa em calor. Para lustrar, de manera smples, o comportamento da matéra bológca na presença de campos de RF e compará-la com outros tpos de materas (condutores e delétrcos (soladores)), observe-se o processo de cocção de almentos num forno doméstco de mcroondas. Fgura 3. Ilustração das propredades elétrcas dos materas medante o eemplo do forno de mcroondas [34]. Na representação do forno de mcroondas da fgura 3., o snal de mcroondas (comumente são ondas que osclam a,45 GH, com potênca de entre 650 e 1400 W) é gerado pelo

87 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 71 magnetron, sendo transmtdo para o nteror da cavdade de cocção por um gua de ondas. Antes do snal chegar na cavdade, o mesmo nterage com o strrer, dspostvo rotatóro que faclta a homogeneação do ambente eletromagnétco no nteror da cavdade. Uma ve na cavdade, as mcroondas nteragem com os objetos no nteror da mesma. O gua de ondas, o strrer e as paredes da cavdade são fetos de metal (materal bom condutor), refletndo quase toda a energa eletromagnétca ncdente neles. No caso do recpente ou prato que contem o almento, o mesmo é feto de materal delétrco de perdas muto baas (condutvdade elétrca muto pequena), podendo ser consderado como um solador. Isto sgnfca que a maor parte da energa ncdente será transmtda, absorvendo uma quantdade tão pequena que o aumento da temperatura é despreível. Eemplos de materas delétrcos utlados como recpentes são o vdro e a cerâmca. Fnalmente, o almento, ao ser um meo delétrco com perdas, absorve a maor parte da energa eletromagnétca que nele ncde, produndo níves sgnfcatvos de calor. Este ncremento da temperatura no almento propca a cocção do mesmo Transferênca de energa Estem três mecansmos conhecdos que eplcam a conversão em forma de calor da energa eletromagnétca de RF que nterage com o meo bológco. O prmero deles está dretamente relaconado com o comportamento polar das moléculas que compõem o meo bológco [7,8,9, 3], prncpalmente as moléculas de água (mas de 60% do organsmo humano, por eemplo, é composto de água). A molécula de água, conformada por dos átomos de hdrogêno e um de ogêno, possu uma dstrbução assmétrca de carga. Os átomos estão enlaçados de manera a formar um dpolo elétrco, como mostra a fgura 3.3. (a) (b) Fgura 3.3 Molécula de água. a) Representação químca; b) Representação do comportamento dpolar elétrco. Esta formação dpolar das moléculas de água é permanente, sto é, ndependente da presença ou não de um campo eterno. No caso do meo bológco, onde a água é contda no seu estado líqudo, as moléculas fcam orentadas de manera randômca (ver fgura 3.4a). Quando o

88 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 7 meo é submetdo à presença de um campo elétrco eterno, os dpolos tentam se alnhar segundo a polaração do campo elétrco aplcado, como mostrado na fgura 34b. Sendo este campo de RF (varante no tempo atendendo à freqüênca de osclação), a tendênca das moléculas é osclar junto com ele. Entretanto, desde que as moléculas não estejam soladas, elas encontram resstênca para se movmentar, devdo ao contato com as moléculas vnhas. Essa frcção molecular resulta no aquecmento do meo bológco. (a) (b) Fgura 3.4 Modelo macroscópco do comportamento das moléculas dpolares. a) Na ausênca de campo elétrco eterno; b) Quando um campo elétrco eterno é aplcado [7]. O segundo mecansmo também está relaconado com o fenômeno da polaração das moléculas. Como fo dto no parágrafo anteror, as moléculas tendem a se orentar segundo o campo eterno aplcado. Nessa tendênca de alnhamento das cargas, as moléculas sofrem torques, assm como passam por estados vbraconas e rotaconas (relaação delétrca). Esses movmentos moleculares também contrbuem ao aquecmento do meo [7,8,9, 3]. O tercero mecansmo de transferênca de energa está assocado à presença de elétrons lvres e íons bológcos, como o Sódo (Na ), o potásso (K ), o Cálco (Ca ) e o Cloro (Cl - ), por eemplo [7,8,9, 3]. O campo elétrco mposto no meo transfere energa cnétca aos íons e elétrons lvres, ndundo correntes no nteror do corpo. Dada a resstênca oferecda pelo meo, perdas de energa são geradas, manfestando-se na forma de calor, segundo a le de Joule (o calor será dretamente proporconal ao quadrado da corrente nduda) Permssvdade elétrca complea Um estudo quanttatvo, do ponto de vsta mcroscópco, do comportamento dos sstemas bológcos submetdos à nfluênca de campos eletromagnétcos sera quase nvável nos das atuas, dada as capacdades computaconas estentes. Por eemplo, para o estudo do ser humano, sera necessáro conhecer a posção espacal e as característcas de cada átomo e molécula que conforma o corpo. Na prátca, por enquanto, os meos são eamnados medante modelos

89 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 73 macroscópcos, faendo uso dos seus parâmetros consttutvos e das epressões matemátcas que relaconam os mesmos com as grandeas de campo. No caso dos meos bológcos, o parâmetro que caractera e descreve a nteração com os campos eletromagnétcos é a permssvdade elétrca complea [7 9]: ' ˆ ε ε j ε " (3.1) Dvdndo ambos os lados de (3.1) pela permssvdade elétrca do vácuo, ε 0, obtém-se a epressão da permssvdade relatva complea: ˆ ε r ˆ ε ' " ε r j ε r (3.) ε 0 Os valores de permssvdade relatva no meo bológco rão depender, fundamentalmente, da freqüênca, da temperatura e do tpo de tecdo (conteúdo de água no mesmo). O prmero termo do lado dreto de (3.), sto é, sua parte real ( ), é conhecdo como constante delétrca. Embora dependa de város fatores, é assm chamado devdo a que para mutos materas seu valor é essencalmente ndependente nas baas e médas freqüêncas. Por eemplo, a água pura apresenta valores de constante delétrca entre 78 e 81, até a faa das mcroondas (apromadamente até 3 GH). A constante delétrca ( ' ε r ) ndca a capacdade do materal (relatva ao espaço lvre) de ' ε r armaenar energa (cargas). Quanto maor o valor de ' ε r do materal, maor será a nteração com o campo elétrco eterno. Este parâmetro também caractera as condções de refleão e transmssão (refração) na passagem do campo elétrco de um materal para outro. O segundo termo de (3.), a sua componente magnára ( ), é conhecdo como fator de perdas ou fator de dsspação. Este termo está relaconado com quantfcação da energa dsspada (absorvda) pelo meo. O fator de perdas é dretamente proporconal à condutvdade elétrca alternada (σa) e nversamente proporconal à freqüênca angular da onda ( ω πf ): 0 ' ' ε r '' σ a ε r (3.3) ω ε A condutvdade elétrca alternada (σ a ), ou condutvdade dspersva (como é também chamada), é dependente da freqüênca e está assocada aos movmentos rotaconas das moléculas dpolares quando as mesmas tentam se orentar segundo o campo elétrco aplcado, quando este

90 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 74 muda de polardade. Isto sgnfca que σ a apenas estrá na presença de campos osclantes no tempo. Por eemplo, estem materas (como alguns tpos de tecdos bológcos) que sob a nfluênca de campos estátcos ou de baa freqüênca se comportam como bons solantes, produndo níves de calor despreíves. Entretanto, quando os mesmos materas são submetdos a campos de RF, estes passam a ebr altos valores de σ a, absorvendo quantdades consderáves de energa [7]. Por outro lado, este a condutvdade elétrca estátca ou ônca (σ s ) [7,8,9]. Este parâmetro é ndependente da freqüênca, estando assocado à presença de íons e elétrons lvres no meo (como fo eplcado no tem 3.3.1, no tercero mecansmo de transferênca de energa). No caso dos tecdos humanos, o maor valor de σ s relatado corresponde ao sangue, gual a 0,7 S/m. Assm, de manera geral, a condutvdade total ou equvalente num meo qualquer é composta pela somatóra da componente estátca e da dspersva: σ s a s σ σ σ ω ε '' (3.4) Influênca da freqüênca, temperatura e conteúdo de água na permssvdade delétrca dos tecdos bológcos As fguras abao mostram o comportamento dspersvo de tecdos bológcos como a gordura (fgura 3.5) e o músculo (fgura 3.6) [35]. Nota-se que ' ε r decresce com o aumento da freqüênca, enquanto σ aumenta seu valor, prncpalmente nas altas freqüêncas.

91 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 75 Fgura 3.5 Dependênca em freqüênca da permssvdade delétrca relatva (parte real - condutvdade total (σ ) para a gordura. Os valores correspondem à temperatura de 37 C [35]. ' ε r ) e da Fgura 3.6 Dependênca em freqüênca da permssvdade delétrca relatva (parte real - condutvdade total (σ ) para o músculo. Os valores correspondem à temperatura de 37 C [35]. ' ε r ) e da

92 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 76 Este comportamento é típco para todos os tpos de tecdos bológcos, como fo demonstrado por S. Gabrel e C. Gabrel em 1996 [35], num brlhante trabalho onde foram complados dados referentes às varações das propredades delétrcas com a freqüênca para 43 tpos de tecdos bológcos. Nesse trabalho, foram comparados resultados obtdos de epermentações com os calculados segundo modelos matemátcos, como fo mostrado nas fguras 3.5 e 3.6. O conteúdo de água nos tecdos também é responsável pelos dferentes níves de absorção de energa que os tecdos sofrem dante das mesmas condções de eposção de RF. Quanto maor a quantdade de moléculas de água no tecdo, maor será a sua capacdade de absorção da energa eletromagnétca e, como conseqüênca, maor será também o aquecmento do mesmo. Assm, deste ponto de vsta, os tecdos podem ser classfcados em dos grandes grupos: tecdos de bao conteúdo de água, para os quas os valores de ' ε r e σ são nferores aos dos tecdos de alto conteúdo de água. Eemplos de tecdos do prmero grupo temos a gordura e o osso, já o músculo e a pele são bons representantes do segundo grupo [3]. As dferenças dos valores de permssvdade elétrca entre os dos grupos podem ser conferdas observando as fguras 3.5 e 3.6. Por eemplo, para a freqüênca de 1 GH, a gordura apresenta valores de para ' ε r ' ε r 60,0 e σ 1,33 S/m. 4,75 e de σ 0,055 S/m. No caso do músculo, esses valores aumentam Além da dependênca com a freqüênca e o tpo de tecdo, a permssvdade delétrca dos meos é também sensível às mudanças de temperatura. Cada sustânca possu sua própra taa de varação da permssvdade delétrca com a temperatura, podendo ser esta postva ou negatva [8,3]. Isto dfculta a nclusão do fator temperatura nos estudos teórcos da nteração dos campos de RF com os meos bológcos, devdo a que cada tecdo é composto por város tpos de elementos (água, sas mneras, açúcares, etc.). Por eemplo, a fgura 3.7 mostra a dependênca de com a temperatura para a água pura, correspondendo à freqüênca de 3 GH. ' ε r e '' ε r

93 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 77 Fgura 3.7 aração da permssvdade delétrca complea da água pura com a temperatura. Os valores correspondem à freqüênca de 3 GH [3 ]. ' ε r '' ε r Observa-se que tanto quanto decrescem com o aumento da temperatura, sgnfcando que a taa de varação para a água é negatva. Sendo a absorção de energa (produção de calor) dretamente proporconal a '' ε r, sera lógco pensar que nos tecdos com alto conteúdo de água, na medda que a temperatura aumenta, a potênca absorvda dmnuísse e, portanto, o efeto de aquecmento do meo fosse parcalmente auto-regulado. Entretanto, na maora das vees sto não acontece, devdo à presença no meo de outras partículas, como sas e açucares, que possuem taas de varação postvas, alterando, portanto, o padrão de resposta da água em relação à temperatura. O conhecmento das propredades térmcas dos meos, quando submetdos às radações eletromagnétcas, é de vtal mportânca para mutas aplcações prátcas, como a secagem de materas por mcroondas e até a própra cocção de almentos. Por eemplo, deve-se tomar cudado no controle do tempo de cocção de almentos com grande conteúdo de açúcar ou sal, pos a tendênca dos mesmos é de quemar rapdamente Permeabldade magnétca dos meos bológcos. A permeabldade magnétca ( µ µ 0 µ ) é o parâmetro análogo à permssvdade elétrca, que caractera a nteração do campo magnétco com os materas. No caso dos meos bológcos, µ é pratcamente gual ao valor do espaço lvre ( µ µ 0, µ r 1 ) [3, 8, 9]. Isto ndca que os meos bológcos são não magnétcos. r

94 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 78 Assm, o fenômeno da nteração dos campos de RF com os meos bológcos pode ser descrto, do ponto de vsta macroscópco, pelos mecansmos que envolvem a dstrbução do vetor campo elétrco no corpo bológco eposto (caracterado pela sua permssvdade elétrca). 3.4 Equações de Mawell e suas relações consttutvas para os meos bológcos As equações de Mawell (le de Farada e Ampère) para os meos bológcos sob a forma local no domíno do tempo podem ser escrtas como [7,8]: v v B E (3.5a) t v H v J c v D t (3.5b) e suas relações consttutvas serão: v B v µ H (3.6a) 0 v J c v σ E (3.6b) s v v D ε ( t) E (3.6c) Na epressão (3.6c), * ndca a operação de produto de convolução. Isto ocorre porque a permssvdade elétrca é um parâmetro compleo no domíno da freqüênca [7,8,36,37,38]. Faendo algumas substtuções na epressão (3.5b), obtemos: v v v ( ε( t) E) H σ s E (3.7) t Sendo os campos eletromagnétcos de RF funções harmôncas no domíno do tempo, é possível transformar as epressões (3.5a e 3.5b) para o domíno da freqüênca (substtundo t jω ): v E ˆ v jω µ H ˆ (3.8a) 0 v H ˆ v J ˆ v jω D ˆ (3.8b) c

95 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 79 [7]: No domíno da freqüênca, a relação (3.6c) passa a ser epressa como um produto smples v D ˆ v ˆ ε E ˆ (3.9) Manpulando (3.8b), pode-se obter: v H ˆ v σ E ˆ s v j E ˆ v ω ˆ ε σ E ˆ s jω v ( j ) E ˆ v ( ) E ˆ v ' '' '' ' ε ε σ ω ε jω ε E ˆ s v H ˆ E ˆ v ' σ v jω ε E ˆ (3.10) v onde: E ˆ v J ˆ v σ ce é a densdade de corrente de condução elétrca efetva, e j E ˆ v ω ε ' J ˆ de, é a densdade de corrente de deslocamento elétrca efetva. conclur que: Transformando (3.10) novamente para o domíno do tempo, obtém-se: ' v v v ( ε 0ε r E) H σ E (3.11) t Da comparação das epressões (3.7) e (3.11), que representam a le de Ampère, pode-se - A solução pelo uso de (3.11) será a escolha adequada nos casos: a) de problemas não dspersvos, onde os parâmetros do meo ndependem da freqüênca; b) de problemas para uma ' freqüênca fa, sendo conhecdos os valores de σ e ε r ; - A solução pelo uso de (3.7) será a escolha adequada para problemas envolvendo meos dspersvos, onde os resultados são requerdos para múltplas freqüêncas smultaneamente. As formulações TLM apresentadas nos capítulos 1 e fornecem a solução dscreta para as equações de Mawell na forma de (3.5a) e (3.11). No prómo capítulo, será ntrodudo o equaconamento do TLM para o tratamento de meos delétrcos dspersvos, utlando técncas de Transformada Z. Nesse caso, parte-se das equações na forma de (3.5a) e (3.7) Tangente de perdas e profunddade de penetração nos tecdos A relação entre a densdade de corrente de condução elétrca efetva e a densdade de corrente de deslocamento elétrca efetva fornece um mportante parâmetro que descreve a quantdade de perda de energa do snal eletromagnétco que nterage com o meo. Este parâmetro é conhecdo como tangente de perdas [7,8,9,3]:

96 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 80 tanδ v J ˆ v J ˆ ce de σ ' ω ε (3.1) Na epressão (3.1), nota-se que a tangente de perdas é dretamente proporconal à condutvdade equvalente do meo e nversamente proporconal à freqüênca e à parte real da permssvdade delétrca complea. Isto sgnfca que um mesmo meo pode nfluencar a propagação da onda de manera dferente, dependendo da freqüênca. A tangente de perdas é utlada para qualfcar o tpo de materal (condutor, delétrco ou delétrco com perdas): σ - Se tan δ << 1, o meo é consderado como um bom delétrco, nesse caso, a densdade ' ω ε de corrente total é apromadamente gual à densdade de corrente de deslocamento elétrca efetva: J v ˆ v ˆ ; J de σ - Se tan δ >> 1, o meo é consderado como um bom condutor, nesse caso, a densdade ' ω ε de corrente total é apromadamente gual à densdade de corrente de condução elétrca efetva: J v ˆ v ˆ. J ce σ - Se tan δ 1, o meo é consderado como um delétrco com perdas ou quase ' ω ε condutor. Nesse caso, as duas componentes de densdade de corrente deverão ser consderadas nos cálculos. Na faa das RF, para a maor parte dos meos bológcos, temos que 0,1 < tan δ < 10 [8]. Devdo à absorção de energa nos meos bológcos, na medda que a onda de RF vaja no nteror dos mesmos, a ampltude do snal é atenuada eponencalmente. Na prátca, é de grande utldade conhecer a dstânca, no nteror do meo, para a qual a ntensdade do campo elétrco deca numa determnada porcentagem. Esta dstânca é chamada de profunddade de penetração, sendo defnda como a dstânca, em metros, para a qual a ntensdade do campo elétrco ca para 37 % do seu valor mámo, consderado na superfíce do meo [7,8,9,3,39]. Isto sgnfca que quando a onda atnge essa dstânca, 63% da energa ncdente fo consumda (absorvda) pelo meo.

97 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 81 A epressão geral para o cálculo da profunddade de penetração de um meo qualquer é: 1 d (3.13) ' µε σ ω 1 1 ' ωε Pelo que se pode observar de (3.13), não há sentdo em se calcular a profunddade de penetração em meos sem perdas, pos esta sera nfnta. No caso de materas bons condutores, a 1 epressão é smplfcada, fcando: d. Note-se a dependênca nversa de d para com a πfµσ freqüênca e a condutvdade. No caso dos meos bológcos, na maora dos casos, a epressão geral (3.13) deve ser aplcada. A fgura 3.8 lustra o comportamento típco da profunddade de penetração e da porcentagem de absorção de energa para os meos bológcos na faa das RF. Observe-se como a absorção de energa é cada ve maor com a dmnução da penetração da onda, sendo que os maores níves de absorção de energa acontecem na superfíce da pele, para as freqüêncas superores de mcroondas. Fgura 3.8 Dependênca típca em freqüênca da profunddade de penetração (d) e da absorção de energa para os tecdos bológcos [9]. Para os tecdos de alto conteúdo de água, a profunddade de penetração comumente vara de alguns centímetros nas freqüêncas mas baas de RF, para frações de mlímetro nas freqüêncas mas altas (acma de 100 GH). No caso dos tecdos de bao conteúdo de água, as

98 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 8 varações de penetração vão de valores acma de um metro para as baas freqüêncas de RF até poucos centímetros para as freqüêncas mas altas. Para eemplfcar quanttatvamente, consdere-se, novamente, o eemplo do músculo e a da gordura do tem No caso do músculo ( 60,0 e σ 1,33 S/m para 1 GH), aplcando (3.1) e (3.13) obtém-se, respectvamente, tanδ 0,4 e d 3,5 cm. Para a gordura ( 4,75 e σ 0,055 S/m para 1 GH), os cálculos fornecem tanδ 0,1 e d 1,14 cm. ' ε r ' ε r 3.5 Equação de Debe A naturea dspersva dos meos bológcos (caracterada pela permssvdade elétrca complea) leva à consderação de que para as dferentes regões do espectro de freqüênca (baas, médas e altas) a resposta do meo pode ser dferente. De fato, na lteratura centífca sobre o tema são relatadas quatro regões báscas de dspersão (relaação) delétrca, conhecdas como α, β, δ, e γ (ver fgura 3.9) [8,9,35]. Estas regões dentfcam os lmtes de resposta aos campos eletromagnétcos para os dferentes tpos de moléculas, macromoléculas e estruturas celulares que conformam o organsmo. Fgura 3.9 Regões báscas de dspersão (relaação) delétrca para os tecdos bológcos [9]. A dspersão tpo α, acontece na faa de 1 H 10 H (baas freqüêncas). A mesma está assocada com o movmento de íons ao redor das membranas celulares. A regão de dspersão β cobre dos 10 H até os 100 MH (freqüêncas médas, nclundo as RF nferores). Os prncpas mecansmos assocados a esta regão são os processos de carga e descarga capactva das membranas celulares e aos movmentos rotaconas das macromoléculas polares e de estruturas sub-celulares. A regão δ va dos 100 MH até apromadamente os 3 GH (faa das mcroondas).

99 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 83 Entre os fenômenos que acontecem nesta regão, destaca-se a rotação de amnoácdos e proteínas. Na últma regão, γ, o fenômeno mas relevante é a relaação dpolar das moléculas de água, que acontece nas freqüêncas prómas a 0 GH [8,9,35]. Entretanto, é bom esclarecer que os lmtes de freqüênca para cada regão podem ser dferentes aos ctados no parágrafo anteror (para cma ou para abao), dependendo do tpo de tecdo. É muto comum também que as regões se sobreponham, fcando dfícl defnr com eatdão o começo e/ou fnal de uma determnada regão (e dos seus fenômenos assocados). Para a modelagem matemátca da permssvdade elétrca dos tecdos, é consderado que a resposta em freqüênca para cada regão dspersva pode ser representada por uma equação lnear de prmera ordem, da forma [,7,8,35,40,41]: onde: ˆ ε s ε ε r ε 1 jωτ (3.14) ε - Parte real da permssvdade relatva complea, para f. Também conhecda como constante delétrca no nfnto ou permssvdade relatva óptca; ε s - Parte real da permssvdade relatva complea, para f 0. Também conhecda como constante delétrca estátca; τ e - Constante de tempo de relaação elétrca. A epressão (3.14) fo ntroduda pela prmera ve por P. Debe, em 196 [,41]. Assm, (3.14) é conhecda como equação de Debe, sendo que os materas dspersvos que apresentam respostas de prmera ordem são chamados de materas de Debe. As partes real e a magnára de (3.14) podem ser escrtas como [7]: e ε ' r ε ε ε (3.15a) s 1 e ( ωτ ) ε '' r ( ε s ε ) ( ωτ ) 1 e ωτ (3.15b) Como fo vsto anterormente, no meo bológco podem acontecer paralelamente város processos dspersvos ndependentes. Assm, para obter a resposta total do materal de manera adequada, a equação smples de Debe (3.14) deve ser estendda para a consderação de múltplos termos de prmera ordem, da forma [,8,35]:

100 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 84 N ε sn n 1 1 onde n dentfca a regão de dspersão delétrca. ε ˆ ε r ε ; n 1,,...,N (3.16) jωτ e n Os parâmetros ε, ε s, τ e para cada tpo de tecdo são determnados epermentalmente. Na lteratura centífca da área podem ser encontrados trabalhos recentes, relatando tanto técncas epermentas para a obtenção desses parâmetros [8,4] quanto bases de dados para uma grande quantdade de tecdos [35]. No capítulo 4, a epressão (3.16) será trasladada para o domíno e ntroduda na formulação TLM para a modelagem no domíno do tempo de meos delétrcos dspersvos. 3.6 Taa de Absorção Específca dos tecdos Para a quantfcação da energa absorvda por um meo bológco, devdo a ncdênca de ondas eletromagnétcas de RF, a medda dosmétrca que tem sdo amplamente adotada nternaconalmente é a Taa de Absorção Específca (Specfc Absorpton Rate SAR), defnda como: a dervada no tempo do aumento da energa W de massa m contda num elemento de volume [,8,9,30]. Analtcamente a defnção acma pode ser epressa por: absorvda ou dsspada num elemento cuja massa específca é ρ W W SAR t m t ρv W/g (3.17) Em outras palavras, é possível der que a SAR quantfca a potênca absorvda por undade de massa. No caso de campos harmôncos, utlando o teorema do vetor de Pontng, a SAR pode ser também epressa por [, 8,9,30,33]: σ E SAR (3.18) ρ onde σ (S/m) é a condutvdade elétrca equvalente do tecdo; ρ (g/m 3 ) é a densdade de massa específca do tecdo e E (/m) é o módulo do valor mámo de campo elétrco nterno no ponto de análse. Ao mesmo tempo, a SAR é também dretamente proporconal à taa de ncremento local da temperatura nos tecdos, responsável pelos efetos térmcos no organsmo:

101 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 85 dt SAR C/s (3.19) dt c onde: T é a temperatura, e c é a capacdade específca de calor do tecdo (epressa em J/g C). É mportante ressaltar que a epressão (3.19) será válda para condções não termodnâmcas deas, sto é, que não esta: perda de calor por dfusão, radação térmca nem termo-regulação (devdo ao fluo sanguíneo) [8]. Levando em consderação estes fenômenos, a epressão (3.19) fcara: onde: dt dt P m - Taa de aquecmento metabólco; ( SAR P P P ) m c b (3.0) c P c - Taa de perda de calor por undade de volume devdo à condução térmca; P b - Taa de perda de calor por undade de volume devdo ao fluo sanguíneo. A determnação da SAR pode ser feta para [, 8 31, 43,44,45]: - Eposção do corpo ntero, onde é consderada a SAR méda para o corpo ntero ( wholebod average SAR ), que será a relação entre a potênca total absorvda pelo corpo e sua massa. Este tpo é partcularmente nteressante para campos dstantes (o corpo eposto encontra-se a város comprmentos de onda dstante da fonte de RF); - Eposção localada, onde é consderada a SAR local (local, partal-bod or spatal-pea SARs), que é defnda como a potênca absorvda por uma determnada (pequena) undade de massa de tecdo (os valores mas usados são 1g e 10 g). Os valores de SAR local ecedem usualmente 0-30 vees os da SAR méda para o corpo ntero. Este tpo é partcularmente nteressante para campos prómos (a parte do corpo eposta se encontra a poucos (ou menos de um) comprmentos de onda dstante da fonte de RF). Um eemplo típco da necessdade do cálculo da SAR local é na determnação da quantdade de energa absorvda na cabeça humana pela radação provenente da antena de um telefone celular, pos usualmente este fca muto prómo da cabeça do usuáro. Nos últmos anos, pesqusas envolvendo modelos epermentas e computaconas da nteração do corpo humano com fontes de RF têm revelado que [, 8,9,30, 43,46,47,48]: - Os valores mámos de SAR são produdos na superfíce do modelo, no eo onde está localada a fonte ectadora, decrescendo eponencalmente com a dstânca em dreção perpendcular à superfíce;

102 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 86 - Nos casos onde a antena fca muto próma do corpo humano, apromadamente 50% e até mas do total da energa radada pela antena é absorvda pelo corpo; - A maor parte da energa radada é depostada em uma pequena porcentagem do volume total do corpo humano (apromadamente 15-0%), correspondente à regão próma do ponto de ectação; - A absorção de energa pelo corpo decresce drastcamente com o aumento da dstânca da fonte ectadora. A SAR é uma grandea convenente para a comparação de efetos bológcos observados sob dferentes condções de eposção. De fato, a SAR é utlada como medda básca pelas prncpas normas e dretres nternaconas de eposção segura às radações não onantes (ICNIRP, ANSI/IEEE, etc.) para estabelecer o lmar fsológco de rsco às radações eletromagnétcas de RF (fundamentalmente na faa de 100 H até 10 GH) [9 3, 43,44,45]. Estudos epermentas com anmas (relatados na lteratura dsponível) contrbuíram para a dentfcação deste lmar de rsco, sto é, o valor de SAR mínmo para o qual tem-se detectado (város estudos ndependentes levaram à mesma conclusão) efetos adversos à saúde: Quando a energa eletromagnétca absorvda pelo corpo é próma a 4 W/g durante apromadamente 30 mnutos de eposção em condções ambentas normas, acontece um aumento da temperatura méda do corpo, na ordem de 1 a ºC, que pode causar estresse, problemas de comportamento e outros efetos parecdos com os provocados ou acusados por febre. [8 3, 43,44,45]. O efeto mas detectado durante as eperêncas com cobaas (ratos e prmatas) tem sdo a perda do nteresse dos mesmos quando são trenados para a aprendagem de determnadas tarefas. Essa mudança de comportamento acontece para dferentes condções de eposção do corpo ntero do anmal (dferentes valores de freqüêncas, tempos e ntensdades da radação), mas sempre na faa de absorção de energa de 4 W/g, com a conseqüente elevação da temperatura corporal em 1 C. A evdênca dsponível ndca que a eposção a campos mas ntensos, produndo valores de SAR superores a 4 W/g, pode eceder a capacdade termo-reguladora do corpo e produr níves de aquecmento nocvos aos tecdos. Mutos estudos de laboratóro com roedores e prmatas, demonstraram uma grande varedade de danos em tecdos provocados por elevações de temperatura superores a 1 ºC, devdo ao aquecmento de partes - ou da totaldade - do corpo: cataratas, quemaduras superfcas e profundas, cansaço por calor, esterldade temporára, etc. A sensbldade de város tpos de tecdos a danos térmcos vara amplamente, mas o lmar para

103 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 87 efetos rreversíves, mesmo para os tecdos mas sensíves, é maor do que 4 W/g, em condções ambentas normas [8 3, 43,44,45]. Em relação aos humanos, é assumdo que eposções do corpo ntero às ondas de RF que provoquem níves de absorção de energa na faa dos 4 W/g podem causar efetos semelhantes aos obtdos nas eperêncas com anmas de laboratóro. Os estudos em humanos são muto lmtados e mprecsos para serem consderados como bases para o estabelecmento de lmares de rscos. Assm, o lmar fsológco de rsco (4 W/g para o corpo ntero) estabelece uma lnha dvsóra entre os valores de SAR para os quas não tem-se detectado efetos adversos reproduíves e aqueles para os quas algum tpo de efeto mensurável este. Partndo deste lmar, os órgãos regulamentadores estabeleceram os lmtes para a eposção segura às RF, que podem ser conferdos nas tabelas 3.1a e 3.1b. Tabela 3.1a Restrções báscas da ICNIRP [44] (acetas pela ANATEL [49]) para eposção a campos de RF na faa entre 100 H e 10 GH. Categora de eposção SAR méda do corpo ntero (W/g) SAR localada (cabeça e tronco) (W/g/10g) SAR localada (membros) (W/g/10g) Ocupaconal 0, Públco em geral 0,08 4 Tabela 3.1b Restrções báscas da ANSI/IEEE [31] e FCC [45] para eposção a campos de RF na faa entre 100 H e 6 GH. Categora de eposção SAR méda do corpo ntero (W/g) SAR localada (cabeça e tronco) (W/g/1g) SAR localada (membros) (W/g/1g) Ocupaconal 0,4 8 0 Públco em geral 0,08 1,6 4 Para as freqüêncas superores a 6 10 GH, a profunddade de penetração do campo elétrco dentro dos tecdos é muto pequena e a SAR não é uma boa medda para quantfcar a energa absorvda. Os crtéros para avalar a eposção, neste caso, são baseados na nteração quase-óptca da onda com o meo bológco (onde o comprmento da onda é muto menor que o tamanho do corpo eposto). Isto sgnfca que os efetos esperados durante a eposção a altos níves de radação (na faa de GH) serão smlares aos epermentados no caso de

104 CAPÍTULO 3 INTERAÇÃO DOS CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS DE RF COM OS MEIOS BIOLÓGICOS 88 eposção a altos níves de radação óptca (raos nfravermelhos, por eemplo): percepção térmca superfcal e quemaduras [8 31, 44]. Nestas crcunstâncas, a Densdade de potênca do campo ncdente, S (em W/m ou mw/cm ), é a grandea dosmétrca mas aproprada para o estabelecmento das restrções báscas que prevnam o aquecmento ecessvo em tecdos superfcas ou prómos à superfíce do corpo. Em geral, os valores de 5,0 10,0 (mw/cm ) para eposção ocupaconal e 1,0 (mw/cm ) para eposção do públco em geral são os mas empregados como lmtes pelas normas [8 31, 44,49]. 3.7 Conclusões do capítulo A nteração dos campos eletromagnétcos de RF como os meos bológcos fo o tema tratado neste capítulo. Conforme o eposto, fcou evdente a compledade deste fenômeno, pela sua dependênca de números fatores que podem estar presentes smultaneamente. Isto torna o seu estudo uma tarefa árdua e dfícl, à qual tem-se dedcado durante anos mlhares de centstas das mas dversas especaldades (físcos, engenheros, médcos, bólogos, boquímcos, etc.). Na atualdade, apesar dos avanços nas pesqusas e o grande acúmulo de conhecmentos sobre o tema, anda o fardo dos questonamentos e dúvdas é maor que o das respostas e certeas, o qual ao nvés de levar ao pessmsmo, serve como ncentvo para as atuas gerações de pesqusadores contnuar desvendando os mstéros desta fascnante área do saber humano. Assm, com as nformações contdas no presente teto (fruto de um mnucoso estudo de qualfcadas bblografas, altamente acetas pela comundade centífca nternaconal), pretendeu-se apenas abordar os aspectos fundamentas da nteração dos campos eletromagnétcos de RF como os meos bológcos. Com sto, apresentou-se ao letor uma base de conhecmentos (mesmo que lmtada) que o ajudarão a entender, no prómo captulo, a formulação TLM adaptada para a modelagem de fenômenos envolvendo meos delétrcos dspersvos (que é o caso dos meos bológcos) e as aplcações que serão dscutdas no capítulo 5.

105 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 4.1 Introdução Como fo vsto no capítulo 1, no método TLM tradconal as característcas reatvas e dsspatvas dos meos (ε, µ, σ) são modeladas medante a ntrodução de tocos conectados aos nós. Este procedmento é altamente efcente quando os meos são lneares, sotrópcos e não dspersvos, sto é, quando apresentam parâmetros constantes. Porém, para o tratamento de problemas apresentando materas com parâmetros dependentes da freqüênca (como é o caso dos meos bológcos), este tpo de representação resulta pratcamente noperante e muto custosa em termos computaconas, devdo ao fato de que sera precso repetr a eecução do programa de cálculo para cada valor de freqüênca dentro da faa desejada. Esta stuação mpede de trar proveto de uma das prncpas vantagens do método: com apenas uma eecução do códgo computaconal, a partr de uma smples ectação transente (um mpulso, por eemplo), é possível obter com precsão resultados para grandes faas de freqüêncas. Com o ntuto de contornar a lmtação do método orgnal de não poder comportar parâmetros varáves na sua formulação, recentemente foram desenvolvdos dos trabalhos [,40 e 50,51] onde são apresentadas modfcações aos algortmos TLM que permtem a modelagem geral, no domíno do tempo, dos parâmetros consttutvos dos meos, podendo ser estes não lneares, dependentes da freqüênca e ansotrópcos. Sem dúvdas, estes trabalhos podem ser consderados entre os maores avanços reportados na evolução do TLM nos últmos anos. No caso do trabalho publcado em [50,51], de Leonardo de Menees e Wolfgang Hoefer (Canadá, 1996), essencalmente, a modfcação fundamental em relação à formulação orgnal está dada no desacoplamento do processo de espalhamento no nó das epressões que descrevem as característcas consttutvas do meo, sto é, a matr de espalhamento será ndependente dos parâmetros do meo modelado. As epressões que caracteram o meo são então representadas pelos crcutos elétrcos equvalentes das mesmas, conectando estes crcutos ao nó na forma de

106 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 90 fonte, medante uma lnha de transmssão de comprmento e mpedânca característca dêntca às apresentadas pelos ramos do nó. Agora, para cada passo de tempo do processo teratvo, as equações que representam as varações dos parâmetros do meo serão soluconadas aplcando-se técncas de aráves de Estado. No caso do trabalho publcado em [, 40], de John Paul e Chrstos Chrstopoulos (Reno Undo, 1998), a modfcação do equaconamento TLM para o tratamento de meos a parâmetros varáves é feta utlando técncas de Transformada Z. Precsamente, no presente estudo, far-se-á uso desta últma metodologa, que será aqu adaptada especalmente para o tratamento dos meos bológcos, os quas podem ser consderados como materas delétrcos dspersvos de prmera ordem com múltplos termos de relaação (materas de Debe), conforme estudado no capítulo anteror. No fnal do capítulo, os programas computaconas mplementados serão valdados utlando casos testes, relatados na lteratura. 4. Consderações ncas No capítulo 3 foram estabelecdas as equações de Mawell e suas relações consttutvas para o caso dos meos bológcos. Relembrando: v v B E (4.1a) t v v v D H J c (4.1b) t v v B µ 0 H (4.a) v v J c σ s E (4.b) v v D ε ( t) E (4.c) e como fo eposto, a epressão (4.c) é um produto de convolução no domíno do tempo, devdo que a permssvdade delétrca é um parâmetro compleo no domíno da freqüênca, o qual pode ser epresso como uma função de Debe (descrta na seção 3.5), da forma: N ε sn ε ˆ( ε ω) ε 0 ε (4.3) n 11 jωτ en onde n dentfca a regão de dspersão delétrca.

107 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 91 Adequando o sstema de equações de Mawell, substtundo (4.a) em (4.1a), (4.b) e (4.c) em (4.1b) e, anda, colocando a permssvdade elétrca relatva em função da susceptbldade elétrca ( ε r 1 χ e ), obtém-se: v v H E µ 0 (4.4a) t v v v v H σ s E ( ε0 E ε 0 χe ( t) E) (4.4b) t Note-se que a resolução das equações de Mawell dretamente no domíno do tempo requererá esforços matemátcos consderáves. Prmeramente, será necessáro levar a permssvdade elétrca do domíno da freqüênca para o domíno do tempo, para sso, deverá se aplcar a Transforma Inversa de Fourer à epressão (4.3): ε( t ) IFT{ ˆ( ε ω) }. Anda, o produto de convolução ndcado em (4.4b) deverá ser ncorporado na formulação do método de cálculo (no caso, o TLM). Entretanto, o equaconamento do problema pode ser tratado de manera mas smples, olhando a partr de uma outra ótca: É freqüente na matemátca o uso de transformações na perspectva de smplfcar a análse e a síntese de sstemas governados por equações dferencas. Por eemplo, o estudo de sstemas contínuos e lneares no tempo fca bastante facltado pela transformação ao domíno s, utlando a Transformada de Laplace. Dentro de outras vantagens, sto possblta resolver as equações dferencas e os produtos de convolução no tempo, usando smples manpulações algébrcas. No caso dos sstemas dgtas (dscretos), a Transformada Z desempenha o mesmo papel que a Transformada de Laplace possu em relação aos sstemas contínuos [5 55]. Sendo o TLM um método que fornece a solução dscreta no domíno do tempo (com passo de tempo t constate) das equações de Mawell (a partr da equvalênca com as equações dos crcutos elétrcos dos nós), é possível desenvolver a sua formulação aplcando a técnca de Transformada Z de manera análoga aos sstemas dgtas. Assm, partndo das consderações acma ctadas, a metodologa geral a segur será a segunte: As equações dferencas dos crcutos elétrcos (no domíno do tempo) que descrevem as relações entre correntes e tensões nos modelos de nós TLM (D e 3D) serão prmeramente transformadas ao domíno s e, após manpulações algébrcas para o desenvolvmento do processo de espalhamento dos mpulsos nas malhas e a obtenção das epressões para as tensões e correntes

108 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 9 totas, o sstema será transformado ao domíno, onde as característcas dspersvas do materal serão equaconadas aplcando técncas de Transformada Z. Nos prómos tens será eplctada, em detalhes, esta formulação TLM modfcada, tanto para os nós D (Paralelo e Sére) quanto para o nó 3D SCN. 4.3 Nó TLM D Paralelo para a modelagem de meos delétrcos dspersvos O nó Paralelo, como fo vsto no capítulo 1, permte o estudo dos casos TM de propagação, onde este uma componente de campo elétrco na dreção de propagação, normal ao plano da malha onde se encontram as duas componentes de campo magnétco. Admtndo polaração TM Z da onda, a epansão das equações de Mawell (4.4a e 4.4b) no sstema cartesano fca: E E H µ 0 (4.5a) t H µ 0 (4.5b) t ( χ ( t E ) H H E e ) σ s E ε0 ε0 (4.5c) t t Para obter a equvalênca com a teora de campos, desenvolveu-se o modelo de nó Paralelo mostrado na fgura 4.1. Agora, o nó será representado pela composção de três crcutos equvalentes ndependentes: um deles com característcas de nó paralelo e dos, um para cada dreção no plano, com característcas de lnha de transmssão modelo π (ver fgura 4.1b). As dentfcações das portas, das tensões e correntes nos nós serão as mesmas que as utladas para o nó 3D (ver tem 1.3).

109 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 93 (a) (b) Fgura 4.1 Nó TLM D Paralelo para o tratamento de meos delétrcos dspersvos. a) Modelo genérco; b) Decomposção em três crcutos ndependentes: um com característcas de nó paralelo e dos, um para cada dreção no plano, com característcas de lnha de transmssão modelo π. O crcuto paralelo da fgura 4.1b estará assocado à resolução da equação de Ampère (4.5c), enquanto os crcutos séres às equações de Farada (4.5a e 4.5b). Aplcando as les de Krchhoff (a de nós de correntes para o crcuto paralelo, e a de laços de tensão para os crcutos séres), consderando a malha regular ( l ), obtém-se: t l I L l d 5 7 l (4.6a) t l I L l d 10 6 l (4.6b) t l t C t l C G I I I I l I l I e d d ed ) ( χ l l (4.6c)

110 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 94 Comparando as equações (4.5a, 4.5b e 4.5c) e (4.6a, 4.6b e 4.6c), verfca-se a equvalênca entre as grandeas de campo e parâmetros do meo com os da malha TLM: E ; l I H ; l I H (4.7a) l µ ; ε Cd ; χ e ( t) χ e ( t) ; σ s Ged (4.7b) 0 L d 0 v LT c ; Z LT Z0 (4.7c) O sstema de equações (4.6a, 4.6b e 4.6c) é transformado ao domíno s, aplcando a f ( t) Transformada de Laplace, para a qual: sf( s), f ( t) g( t) F( s) G( s) [54]. t Antes de aplcar a transformada, com o ntuto de facltar o equaconamento, algumas modfcações serão fetas: as correntes do nó serão convertdas em correntes normaladas, com dmensões de volts, por eemplo, das tensões das portas, por eemplo, ge manera admensonal, G ed. lz I ; as correntes dos ramos serão epressas em função Z LT I 5 LT 5 ; e a condutânca elétrca será representada de Z LT Faendo as devdas substtuções e após manpulações algébrcas, o sstema (4.6a, 4.6b e 4.6c) transformado ao domíno s fca: s (4.8a) 6 10 s (4.8b) g s s s) e χ e ( (4.8c) s onde s representa o operador de Laplace normalado ( s ). t Para a quantfcação do valor de tensão e das correntes normaladas e, presentes em (4.8a, 4.8b e 4.8c), será feta a representação do nó (fgura 4.1) pelos seus crcutos equvalentes de Thévenn normalados no domíno s, como mostra a fgura abao.

111 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 95 Fgura 4. Crcutos equvalentes de Thévenn normalados no domíno s, correspondentes ao modelo do Nó TLM D Paralelo da fgura 4.1. Dos crcutos da fgura 4., obtêm-se: (4.9a) 5 7 (4.9b) 10 6 ( ) ( ) ) ( s s g e e χ (4.9c) A transformação do modelo contínuo, representado pelas equações (4.9a 4.9c), para o domíno é feta aplcando a Transformada Z blnear [, 40, 55], epressa como: t t s s (4.10) Aplcando (4.10) em (4.9c), obtém-se: ) ( g e e χ (4.11) onde ( ) representa as tensões ncdentes assocadas à determnação de.

112 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 96 As epressões (4.9a e 4.9b), para as correntes normaladas e, não sofrem mudanças, devdo a que as mesmas representam as característcas magnétcas do materal e, neste caso, estáse tratando com meos não magnétcos ( µ µ 0 ) Aplcação da formulação no domíno para meos à parâmetros constantes Antes de passar ao desenvolvmento da formulação para consderar a dependênca em freqüênca do materal delétrco no domíno dscreto, será analsado o caso partcular do meo a parâmetros constantes, sto é, para χ e ndependente da freqüênca. Manpulando a epressão (4.11) de manera a deá-la num formato mas adequado para seu tratamento no domíno dscreto, obtemos: onde: e 1 ( S ) T (4.1) e e S e (4.13) e os coefcentes de ganho T e e e são: ( 4 4 ) 1 T e ge χ e (4.14) ( 4 4χ ) (4.15) e g e Para levar (4.1) fnalmente para o domíno do tempo dscreto ( t t ), aplca-se a propredade de translação temporal (caso do atraso translação à dreta) da Transformada Z: m f ( m) F( ), onde m é um valor ntero (neste caso m 1) e o nstante de tempo amostrado [5 55]. A epressão (4.1) fca: e ( ) ( 1) e ( 1) e T (4.16) onde para o caso partcular do nstante ncal ( 0), cumpre-se: ( 1) ( 1) 0, posto que tratamos com fenômenos para os quas as funções temporas apenas estem para t 0. Observa-se de (4.16) que para a mplementação computaconal do TLM para a modelagem de meos a parâmetros constantes, utlando as técncas de transformada aqu descrtas, necesstase do armaenamento dos valores de e do nstante anteror, para serem utlados no nstante atual.

113 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS Aplcação da formulação no domíno para meos delétrcos dspersvos de prmera ordem Para a modelagem no domíno dscreto de materas descrtos por funções causas (como é o caso dos materas de Debe), a dependênca em freqüênca pode ser tratada como uma função do valor da grandea (neste caso χ e ()) epandda em frações parcas [,38,40,5 55], da forma: 1 1 ( ) χ ( ) χ ( χ χ ( ) ) 1 e e0 e1 e (4.17) onde: χ e0 e χ e1 são coefcentes constantes (valores reas) e χ e () é uma função aular que representa a dependênca em freqüênca de χ e () no domíno. (4.1): Substtundo (4.17) em (4.11) e após manpulações obtém-se novamente a epressão Te 1 ( S ) e sendo que os seus componentes serão agora: S e e 4χ e ( ) (4.18) ( 4 4 ) 1 T χ (4.19) e g e e0 ( 4χ ) e 4 g e e1 (4.0) Para o caso partcular da função de Debe, a determnação dos coefcentes χ e0, χ e1 e da função dependente da freqüênca χ e () é feta partndo de (4.3), reescrevendo a permssvdade relatva complea em função da susceptbldade elétrca ( χ ε 1), no domíno s ( jω s ): e r onde: N ε sn ε N χ ˆ en ε r ( ω) ε n 1 1 χ e ( s) χ e jωτ e n n 1 1 (4.1) sτ en χ e ( ε 1) - Susceptbldade elétrca no nfnto ou susceptbldade elétrca óptca; ( ε ε ) χ en sn - Contraste da susceptbldade elétrca para a regão de dspersão n; τ en - Como fo defnda na seção 3.5, é a constante de tempo de relaação elétrca para a regão de dspersão n.

114 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 98 Transformando (4.1) para o domíno dscreto, aplcando o método da dscretação eponencal [,40,5 55], obtém-se: onde: ( 1 β ) N χ en en χ e ( ) χ e (4.) 1 n 1 1 βen t β en e τ en (4.a) Epandndo então (4.) em frações parcas, da forma mostrada em (4.17): N 1 ( 1 ) ( ) χ χ ( 1 β ) ( 1 β ) N 1 χ en en χ e e en en χ e (4.3) 1 n 1 n 1 1 β en Os coefcentes serão, então: N e0 e en 1 β en n 1 χ χ χ ( ) (4.4) χ e1 χ e (4.5) e a função dependente da freqüênca: n 1 ( 1 β ) χ en en χ e ( ) (4.6) 1 1 β N Substtundo χ e0 em (4.19), χ e1 em (4.0) e χ ( e ) em (4.18): en 1 T ( 1 ) N e ge χ e χ en β en (4.7) n 1 ( 4χ ) e 4 g e e (4.8) Se N en e χ 4 1 n 1 1 ( 1 β ) β en en (4.9)

115 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 99-1, obtém-se: Manpulando o últmo termo da epressão (4.9), com o ntuto de deá-lo em função de ( 1 β ) N N en 1 S ( α S ) N χ en 4 edn en β 1 en n 1 1 β en n 1 n 1 edn (4.30) onde: defne-se S edn como uma função aular e α en 4χ en ( 1 βen ) será um coefcente de ganho para a regão de dspersão n. Assm, (4.9) fca: Se e N Sedn n 1 (4.31) Para levar o sstema para o domíno do tempo dscreto, procede-se da mesma manera que no caso de parâmetros constantes do tem A transformação da epressão (4.1) será agora: N Te ( 1) e ( 1) n 1 ( 1) S edn (4.3) onde, de (4.30): N ( 1) Sedn β n 1 n 1 N ( αen ( 1) en ( ) Sedn ) (4.33) Observa-se de (4.3) e (4.33) que na mplementação computaconal do TLM para a modelagem de meos delétrcos dspersvos de prmera ordem, utlando as técncas de transformada aqu descrtas, será necessáro o armaenamento dos valores de no nstante de tempo anteror, e os valores de para os dos nstantes anterores, a serem utlados no nstante de tempo atual Processos de espalhamento e coneão com o momento segunte A determnação das tensões refletdas r nos ramos do nó (processo de espalhamento) é feta aplcando o mesmo procedmento que para o nó 3D SCN, eplctado no tem Neste caso, aulados pelas fguras 4.1b e 4., obtém-se o segunte conjunto de equações: r 5 7 (4.34a) r 7 5 (4.34b) r 6 10 (4.34c)

116 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 100 r 10 6 (4.34d) A propagação dos mpulsos de um nó para os nós adjacentes, no nstante de tempo segunte 1, é tratada de manera dêntca que no TLM tradconal, descrta na seção Atendendo à numeração dos ramos do nó (ver fgura 4.1), as equações do processo de coneão serão: r 15 (, 1) 7 (, ) 6 ( r 1 1, ) 10 (, ) r 17 (, 1) 5 (, ) 10 ( r 1 1, ) 6 (, ) (4.35a) (4.35b) (4.35c) (4.35d) Note-se que agora não é necessáro no equaconamento dos processos de espalhamento e coneão a ntrodução das epressões adconas para o toco capactvo, pos este não este. Isto acontece devdo a que ao transformar os crcutos do nó do domíno do tempo para o domíno s, a característca delétrca do meo passa a ser representada como uma smples carga capactva normalada, dada por χ ( s) (ver fgura 4.), e não mas como uma lnha de transmssão. S e Resumndo, o algortmo TLM-D Paralelo para a modelagem de meos delétrcos dspersvos é consttuído pelas seguntes etapas: Depos de defndas a ectação e as condções ncas, o processo teratvo no tempo compreende o cálculo das correntes normaladas e segundo as epressões (4.9a 4.9b) e da tensão do nó, através de (4.3) e (4.33). Na seqüênca, as tensões refletdas nos ramos do nó são obtdas pelas epressões (4.34a d). Fnalmente, as tensões ncdentes no nstante de tempo segunte 1, nos nós adjacentes, são determnadas segundo (4.35a 4.35d). 4.4 Nó TLM D Sére para a modelagem de meos delétrcos dspersvos A outra topologa TLM bdmensonal é o nó Sére, que como fo estudado no capítulo 1, permte o estudo dos casos TE de propagação, onde este uma componente de campo magnétco na dreção de propagação, normal ao plano da malha onde se encontram as duas componentes de campo elétrco. A metodologa para o estabelecmento da formulação do nó é análoga ao caso do modelo Paralelo dspersvo descrto na seção anteror, como será vsto a segur. Admtndo polaração TE Z da onda, a epansão das equações de Mawell (4.4a e 4.4b) no sstema cartesano fca:

117 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 101 ( ) t E t t E E H e s ) ( 0 0 χ ε ε σ (4.36a) ( ) t E t t E E H e s ) ( 0 0 χ ε ε σ (4.36b) t H E E 0 µ (4.36c) Para obter a equvalênca com a teora de campos, desenvolveu-se o modelo de nó Sére mostrado na fgura 4.3. Agora, o nó será representado pela composção de três crcutos equvalentes ndependentes: um deles com característcas de nó sére, e dos, um para cada dreção no plano, com característcas de lnha de transmssão modelo T (ver fgura 4.3b). As dentfcações das portas, das tensões e correntes nos nós serão as mesmas que as utladas para o nó 3D (ver tem 1.3). (a) (b) Fgura 4.3 Nó TLM D Sére para o tratamento de meos delétrcos dspersvos. a) Modelo genérco; b) Decomposção em três crcutos ndependentes: um com característcas de nó sére e dos, um para cada dreção no plano, com característcas de lnha de transmssão modelo T.

118 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 10 O crcuto sére da fgura 4.3b estará assocado à resolução da equação de Ampère (4.36c), enquanto os crcutos paralelos às equações de Farada (4.36a e 4.36b). Aplcando as les de Krchhoff, obtém-se: t l t C t l C l G I I l I e d d ed ) ( 1 1 χ l (4.37a) t l t C t l C l G I I l I e d d ed ) ( 11 3 χ l (4.37b) t l I L l l d l (4.37c) Comparando as equações (4.36a, 4.36b e 4.36c) e (4.37a, 4.37b e 4.37c), verfca-se a equvalênca entre as grandeas de campo e parâmetros do meo com os da malha TLM: l I H ; l E ; l E (4.38a) L d 0 µ ; d C 0 ε ; ) ( ) ( t t e e χ χ ; ed s G σ (4.38b) v LT c ; Z 0 Z LT (4.38c) Faendo as devdas substtuções e após manpulações algébrcas, o sstema (4.37a, 4.37b e 4.37c) transformado ao domíno s fca: e e s s s g ) ( 1 1 χ (4.38a) e e s s s g ) ( 11 3 χ (4.38b) s (4.38c) Para a quantfcação do valor de corrente normalada e das tensões e, presentes em (4.38a, 4.38b e 4.38c), será feta a representação do nó (fgura 4.3) pelos seus crcutos equvalentes de Thévenn normalados no domíno s, como mostra a fgura abao.

119 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 103 Fgura 4.4 Crcutos equvalentes de Thévenn normalados no domíno s, correspondentes ao modelo do Nó TLM D Sére da fgura 4.3. Dos crcutos da fgura 4.4, obtém-se: ( ) ( ) ) ( 1 1 s s g e e χ (4.39a) ( ) ( ) ) ( 11 3 s s g e e χ (4.39b) ( ) (4.39c) Aplcando a Transformada Z blnear (4.10) em (4.39a) e (4.39b), obtém-se: ) ( g e e χ (4.40a) ) ( g e e χ (4.40b) onde ( ) 1 1 e ( ) 11 3 representam as tensões ncdentes assocadas à determnação de e, respectvamente.

120 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS Aplcação da formulação no domíno para meos a parâmetros constantes Analsar-se-á prmeramente o caso partcular do meo a parâmetros constantes (χ e ndependente da freqüênca). Manpulando as epressões (4.40a) e (4.40b), de manera a deá-las num formato mas adequado para o tratamento no domíno dscreto, obtém-se: onde: 1 ( Se ) 1 ( S ) Te (4.41a) Te e (4.41b) S e e S e e (4.4a) (4.4b) e os coefcentes de ganho T e e e são, para o caso partcular do meo a parâmetros constantes: ( ) 1 T e ge χ e (4.43) ( χ ) e g e e (4.44) Para transformar (4.41a e 4.41b) ao domíno do tempo dscreto é aplcada a propredade de translação temporal da Transformada Z, fcando: ( ) Te ( 1) e ( 1) (4.45a) ( ) Te ( 1) e ( 1) onde para o caso partcular do nstante ncal 0, cumpre-se: (4.45b) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 Observa-se que gual ao caso do nó Paralelo dspersvo, para a mplementação computaconal do TLM para a modelagem de meos a parâmetros constantes, necessta-se do armaenamento dos valores de tensão do nstante anteror, para serem utlados no nstante atual.

121 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS Aplcação da formulação no domíno para meos delétrcos dspersvos de prmera ordem A formulação no domíno do nó Sére, consderando a dependênca em freqüênca da susceptbldade elétrca, é obtda segundo os mesmos procedmentos que para o nó Paralelo dspersvo. Os termos que compõem as epressões (4.41a e 4.41b): Te Te 1 ( Se ) 1 ( S ) serão agora: 1 T ( 1 ) N e ge χ e χ en βen (4.46) n 1 e ( χ ) e g e e (4.47) Se e N Sedn n 1 (4.48a) Se e N Sedn n 1 (4.48b) onde, as funções aulares fcam da forma: N n 1 N n 1 S S edn edn N 1 ( en β ensedn ) n 1 α (4.49a) N 1 ( en β ensedn ) n 1 α (4.49b) e o coefcente de ganho: α χ ( 1 β ) en en en. No caso do coefcente β en, o mesmo contnua sendo epresso por (4.a). A transformação das epressões (4.41a e 4.41b) para o domíno do tempo dscreto fornece as seguntes epressões: N Te ( 1) e ( 1) n 1 ( 1) S edn (4.50a)

122 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 106 N Te ( 1) e ( 1) n 1 ( 1) S edn (4.50b) e de (4.39a e 4.49b): N ( 1) Sedn en ( 1) βen ( ) n 1 n 1 N ( α S ) edn (4.51a) N ( 1) Sedn αen ( 1) βen ( ) n 1 n 1 N ( S edn ) (4.51b) Observa-se que será necessáro o armaenamento dos valores de e no nstante de tempo anteror e os valores de e para os dos nstantes anterores, a serem utlados no nstante de tempo atual Processos de espalhamento e coneão com o momento segunte A determnação das tensões refletdas r nos ramos do nó é feta aplcando o mesmo procedmento utlado para o nó 3D SCN, eplctado no tem Neste caso, aulados pelas fguras 4.3b e 4.4, obtém-se o segunte conjunto de equações: r 1 1 (4.5a) r 1 1 (4.5b) r 3 11 (4.5c) r 11 3 (4.5d) A propagação dos mpulsos de um nó para os nós adjacentes, no nstante de tempo segunte 1, é tratada de manera dêntca que no TLM tradconal, descrta na seção Atendendo à numeração dos ramos do nó (ver fgura 4.3), as equações do processo de coneão serão: r 11 (, 1) 1 (, ) 3 ( r 1 1, ) 11(, ) 1 ( r 1, 1) 1 (, ) 11 ( r 1 1, ) 3 (, ) (4.53a) (4.53b) (4.53c) (4.53d)

123 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS Nó TLM 3D SCN para a modelagem de meos delétrcos dspersvos A formulação para o nó 3D SCN dspersvo será smplesmente uma etensão da desenvolvda para os casos D descrtos nas seções anterores. Lembre-se, do capítulo 1, que o nó SCN pode ser representado por um conjunto de 3 nós Séres e por um outro de 3 nós Paralelos, smultaneamente, como fo mostrado nas fguras 1.13 e Os crcutos séres estarão assocados à resolução da equação de Ampère, enquanto os crcutos paralelos às equações de Farada. Assm, as epressões no domíno do tempo dscreto, para as tensões e correntes normaladas do nó, serão: N Te ( 1) e ( 1) n 1 N Te ( 1) e ( 1) n 1 ( 1) ( 1) S S edn edn (4.54a) (4.54b) N Te ( 1) e ( 1) n 1 ( 1) S edn (4.54c) (4.54d) 1 (4.54e) 1 (4.54f) 1 onde: - As epressões que representam as tensões e correntes ncdentes, para cada componente, são: ( ) (4.55a) ( ) (4.55b) ( ) ( ) (4.55c) (4.55d) ( ) (4.55e) ( ) (4.55f)

124 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS Os coefcentes de ganho, são: 1 T ( 1 ) N e ge χ e χ en β en (4.55g) n 1 - As funções aulares são epressas como: ( 4χ ) e 4 g e e (4.55h) N ( 1) Sedn en ( 1) βen ( ) n 1 n 1 N ( N ( α S ) N ( 1) Sedn αen ( 1) βen ( ) n 1 n 1 N ( 1) Sedn αen ( 1) βen ( ) n 1 n 1 N ( S S edn edn edn ) ) (4.55) (4.55j) (4.55) - E os coefcentes α en e β en : α ( 1 β ) en 4χ en en (4.55l) t β en e τ en (4.55m) As epressões que descrevem os processos de espalhamento e coneão com o momento segunte são dêntcas às apresentadas no capítulo 1 para o nó SCN tradconal, nas seções 1.3. e Ė bom lembrar que, como fo ctado na seção 4.3.3, as epressões relaconadas com os tocos reatvos (neste caso, capactvos) não serão mas necessáras. 4.6 aldação das mplementações TLM para a modelagem de materas delétrcos dspersvos casos testes para meos bológcos Para valdar a formulação TLM para meos delétrcos dspersvos, apresentada nas seções anterores, assm como o desempenho dos códgos computaconas desenvolvdos, foram modelados alguns casos testes, com soluções (analítcas e/ou numércas) conhecdas. Estes eemplos foram escolhdos devdo a serem os mas estudados na lteratura sobre o tema.

125 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS Caso teste 1: Cálculo do coefcente de refleão na nterface ar-água devdo à ncdênca normal de uma onda plana unforme A fgura 4.5 representa esquematcamente o problema em estudo [,36,40]: a ncdênca normal de uma onda plana unforme na superfíce de separação dos meos envolvdos (ar e água). A onda se propaga na dreção, possundo polaração lnear, com o campo elétrco na dreção. Fgura 4.5 Representação esquemátca da propagação de uma onda plana unforme no ar, preste a ncdr normalmente na superfíce da água. A permssvdade delétrca relatva da água pode ser representada por uma equação de Debe (4.3) com apenas um termo de relaação, da forma [,36,40]: 79, ˆr 1,8 (4.56) 1 1 jω 9,4 10 ε onde, segundo (4.3): ε 1,8; ε s 81 e τ e 9, s. Estes parâmetros serão váldos para valores de freqüênca de até 80 GH. Para a modelagem TLM do problema, fo defnda uma malha 3D contendo nós: 1000 na dreção e 10 para cada dreção da seção transversal defnda pelo plano. O comprmento espacal dos nós fo de l 37,5 µm, valor para o qual λ água l < para toda 10 freqüênca < 80 GH, evtando assm erros por dspersão numérca para toda a faa de estudo. A malha fo dvdda pela metade em dos blocos, um preenchdo por ar e o outro pela água. Como ectação fo empregado um plano de mpulsos na parte do ar (no plano ncal 1, 1:10, 1: 10), correspondentes à componente de campo E, no nstante ncal da smulação. Para a determnação do coefcente de refleão na nterface ar-água, na faa de freqüênca de 1 80 GH, o segunte procedmento de cálculo fo desenvolvdo: - Uma prmera eecução do programa TLM é feta consderando toda a malha preenchda apenas pelo ar, pegando os valores de campo elétrco, para cada nstante de tempo, no ponto (499, 5, 5), sto é, na frente da nterface ar água, na regão do ar. Este cálculo

126 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 110 fornece os valores de campo ncdente na nterface para cada valor de freqüênca, Ê (após aplcar a DFT); - Na seqüênca, uma segunda eecução do programa é feta, agora consderando também a metade preenchda pela água. Novamente, os valores de campo elétrco no ponto (499, 5, 5) são coletados. Este cálculo permte obter os valores de campo total na frente da nterface, Ê t, para cada valor de freqüênca; - Os valores de campos refletdos na nterface, para cada freqüênca, resultam da subtração dos campos ncdentes dos valores de campo total: Eˆ r Eˆ t Eˆ ; - O coefcente de refleão será a fração do campo elétrco da onda ncdente que é refletda Eˆ r [39], sto é, Γ. Eˆ Segundo esta metodologa, fo obtdo o resultado mostrado na fgura 4.6, correspondente ao módulo do coefcente de refleão na nterface ar água para as freqüêncas de 1GH até 80 GH. Os valores calculados pelo TLM são comparados com os obtdos pela solução analítca, medante a epressão: Zˆ meo Z 0 Γ (4.57) Zˆ Z meo 0 Sendo que a mpedânca do meo, no caso a água [8,39], é calculada como: ˆ Z água µ 0 1 (4.58) ' ε σ 1 j ' ωε onde, como fo estudado no capítulo 3, ' ε ε ' 0ε r é a parte real da permssvdade elétrca complea e σ σ s '' ω ε é a condutvdade elétrca equvalente do meo (no caso da água pura, a ' condutvdade estátca σ s 0). Os valores de ε e e magnára de (4.56), para cada freqüênca da faa em estudo. σ foram obtdos a partr do cálculo da parte real

127 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 111 Fgura 4.6 Coefcente de refleão (magntude) calculado na nterface ar água, devdo à ncdênca normal de uma onda plana unforme. Lnha chea: Resultado TLM 3D; Lnha pontlhada: cálculo analítco. Observando a fgura acma, nota-se a boa concordânca dos resultados TLM com aqueles obtdos analtcamente, correspondentes à solução analítca Caso teste : Cálculo do coefcente de refleão na nterface ar /3 músculo devdo à ncdênca normal de uma onda plana unforme Devdo à permssvdade méda do corpo humano ser apromadamente equvalente a /3 da permssvdade do músculo [8, 37,57], esta últma tem sdo utlada com freqüênca para testar os métodos de cálculo envolvdos na resolução de problemas de nteração dos campos eletromagnétcos com os meos bológcos. Assm, para valdar nossas mplementações TLM, fo seleconado este tpo de tecdo para o cálculo do coefcente de refleão na nterface ar meo bológco devdo à ncdênca normal de uma onda plana unforme [37]. A permssvdade delétrca relatva do /3 músculo pode ser representada, com boa precsão na faa de 0,0 0 GH, por uma equação de Debe com dos termos de relaação, da forma [37]: ˆ ε r jω jω 11,9 10 (4.59)

128 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 11 onde: ε 19; ε s ; ε s 61; τ e s e τ e 11, s. Anda, o tecdo possu uma condutvdade ônca de σ s 0,133 S/m. Para a modelagem TLM, procedeu-se de manera dêntca ao caso da seção anteror (nterface ar água). Apenas o comprmento espacal dos nós fo mudado, sendo agora de 17 µm, valor para o qual λ meo l < para toda freqüênca < 0 GH. 10 l A fgura 4.7 apresenta os resultados obtdos das smulações TLM para o módulo do coefcente de refleão na nterface. Novamente, os valores calculados mostraram-se em concordânca com aqueles obtdos analtcamente pela epressão (4.57). Fgura 4.7 Coefcente de refleão (magntude) calculado na nterface ar /3 músculo, devdo à ncdênca normal de uma onda plana unforme. Lnha chea: Resultado TLM 3D; Lnha ponteada: cálculo analítco Caso teste 3: Cálculo da dstrbução do campo elétrco no nteror de uma esfera preenchda por um meo delétrco dspersvo homogêneo Fo smulada a nteração de uma onda plana unforme ncdndo numa esfera de materal homogêneo [37,57], como mostrado esquematcamente na fgura 4.8.

129 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 113 Fgura 4.8 Geometra para o estudo da nteração de uma onda plana unforme ncdndo numa esfera de materal homogêneo (/3 músculo). Na fgura é mostrada a seção transversal central do plano. A esfera possu um dâmetro gual a 0 cm, preenchda pelo mesmo materal da seção anteror (/3 músculo, equação (4.59)). O comprmento espacal dos nós escolhdo fo de l 1,0 cm, valor para o qual λ meo l < para toda freqüênca < 380 MH. 10 A malha TLM -3D contém no total nós (3 3 3), conformando um cubo de ar, contendo no seu nteror o modelo concêntrco da esfera, com ponto central em (16, 16, 16). Foram deados 6 nós de dstânca, para cada dreção, entre a superfíce da esfera e os contornos absorventes. Como ectação, de manera análoga aos casos anterores, fo empregado um plano de mpulsos na parte do ar (no plano ncal 1, 1: 3), correspondentes à componente de campo E, no nstante ncal da smulação. A ampltude do mpulso fo de 1 /m. A fgura 4.9 mostra o resultado obtdo para a dstrbução do campo elétrco (ampltude) a 100 MH, nos pontos do eo central no nteror da esfera. Os valores foram normalados em relação ao campo eterno ncdente. Mostra-se também na fgura, apenas para comparação, o cálculo TLM feto partndo de uma ectação senodal, consderando o meo à parâmetros constantes, para a freqüênca de 100 MH ( ε 6, 98, σ 0, 785 S/m). Esta últma curva podera ser também obtda utlando a formulação TLM convenconal. r

130 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 114 Fgura 4.9 Dstrbução do campo elétrco (ampltude) a 100 MH, no eo central no nteror da esfera. Os valores foram normalados em relação ao campo eterno ncdente. Lnha chea: Resultado TLM para ectação mpulsva, consderando a dependênca em freqüênca do materal; Lnha pontlhada: Resultado TLM para ectação senodal, consderando o meo à parâmetros constantes. O passo de tempo de cálculo fo de t 16,67 ps. O tempo despenddo 1 nas smulações fo de apromadamente um segundo por cada 7 terações, sendo necessáras 1000 terações no tempo para o caso mpulsvo e 1800 para o caso senodal (correspondente a 3 períodos de osclação da onda ncdente). Para a comparação com os estudos relatados na lteratura, a fgura 4.10 apresenta os resultados obtdos em [57] para o mesmo problema, onde fo utlado o método numérco TLM- 3D dspersvo baseado na técnca de aráves de Estado [50,51] e a solução analítca aplcando Sére de Me. 1 Dados do computador utlado: Processador Duron 1, GH, 18 MB RAM, Sstema Operaconal: Wndows 000, Lnguagem de programação: Fortran 90, Complador: MS Fortran Power Staton v. 4.0.

131 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 115 Fgura 4.10 Dstrbução do campo elétrco (ampltude) a 100 MH, no eo central no nteror da esfera. Os valores foram normalados em relação ao campo eterno ncdente. Lnha chea: Resultado TLM 3D baseado na técnca de aráves de Estado; Lnha pontlhada: Resultado analítco aplcando Sére de Me [ 57 ]. Nota-se pela fgura acma, a smlardade com os resultados obtdos no presente trabalho, mostrados na fgura 4.9. As dferenças encontradas podem ser devdas à forma de dscretação da esfera ou às condções de ectação dferentes (a referênca [57] consultada não fornece dados sufcentes para reprodur dentcamente as mesmas condções de ectação) Caso teste 4: Cálculo da dstrbução do campo elétrco no nteror de uma esfera preenchda por duas camadas de meos delétrcos dspersvos Será consderado nesta seção o caso da lumnação por uma onda plana de uma esfera composta por duas camadas de meos delétrcos dspersvos [56,57], como mostrado na fgura 4.11.

132 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 116 Fgura 4.11 Geometra para o estudo da nteração de uma onda plana unforme ncdndo numa esfera não homogênea, composta por duas camadas concêntrcas de materal delétrco dspersvo. Na fgura é mostrada a seção transversal central do plano. A permssvdade delétrca relatva dos meos é descrta por uma equação de Debe com dos termos de relaação, da forma [57]: Meo 1 (representatvo dos tecdos de alto conteúdo de água): 11417,67 18,934 ˆ r 1 50, ,9 10 (4.59) ε jω jω onde: ε 50,8 ; ε s ,47 ; ε s 69,734 ; τ e s e τ e 11, s. Rao da camada: R1 7,5 cm. Meo (representatvo dos tecdos de bao conteúdo de água): 637,3 1,5736 ˆ r 5, ,9 10 (4.60) ε jω jω onde: ε 5,8 ; ε s1 643,1 ; ε s 7,376 ; τ e s e τ e 11, s. Rao da camada: R 15,0 cm. O comprmento espacal dos nós escolhdo fo de l 1,0 cm, valor para o qual λ l < menor para toda freqüênca < 350 MH. 10 A malha TLM - 3D estabelecda contém no total nós (4 4 4), tendo o modelo da esfera seu centro em (1, 1, 1). A ectação e as condções de contorno foram mplementadas eatamente guas ao eemplo da seção anteror.

133 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 117 A fgura 4.1 mostra o resultado obtdo para a dstrbução do campo elétrco (ampltude) a 100 MH, nos pontos do eo central no nteror da esfera. Novamente os valores foram normalados em relação ao campo eterno ncdente. Mostra-se também na fgura o cálculo TLM feto partndo de uma ectação senodal, consderando o meo a parâmetros constantes, para a freqüênca de 100 MH ( ε r1 71, 997, σ 1 0, 895 S/m, ε r 7, 499, σ 0, 05 S/m). Fgura 4.1 Dstrbução do campo elétrco (ampltude) a 100 MH, no eo central no nteror da esfera não homogênea. Os valores foram normalados em relação ao campo eterno ncdente. Lnha chea: Resultado TLM para ectação mpulsva, consderando a dependênca em freqüênca dos meos; Lnha pontlhada: Resultado TLM para ectação senodal, consderando os meos a parâmetros constantes. Para este problema, o tempo despenddo nas smulações fo de apromadamente 4 terações por segundo. A fgura 4.13 apresenta os resultados obtdos em [56] para o mesmo problema, onde foram utlados o método numérco CG FFT (Conjugate Gradent Fast Fourer Transform) e a solução analítca aplcando Séres de Me. Fgura 4.13 Dstrbução do campo elétrco (ampltude) a 100 MH, no eo central no nteror da esfera não homogênea. Os valores foram normalados em relação ao campo eterno ncdente. Lnha chea: Resultado aplcando o método numérco CG FFT; Lnha pontlhada: Resultado analítco aplcando Sére de Me [56].

134 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 118 Mas uma ve, as dferenças encontradas ao comparar a fgura 4.13 com os resultados mostrados na fgura 4.1 podem ser devdo às mesmas causas comentadas na seção 4.6.3, para o caso teste 3. No entanto, apreca-se uma boa apromação entre as curvas, o que nos leva à consderar os resultados como satsfatóros. 4.7 Conclusões do capítulo Neste capítulo fo apresentada, em detalhes, a formulação modfcada do TLM (D e 3D) utlando técncas de Transformada Z, que permte o tratamento de materas delétrcos dspersvos. Em partcular, fo desenvolvdo o equaconamento para os delétrcos consderados como de prmera ordem com múltplos termos de relaação (materas de Debe), por estarem os meos bológcos classfcados dentro deste grupo. Entretanto, a metodologa pode ser também estendda, com pequenas modfcações, para outros tpos de materas, como os de segunda ordem ou de Lorent. A prncpal vantagem do método TLM dspersvo resde no fato de se poder obter, com apenas uma smulação do problema em estudo, resultados com boa precsão para uma larga faa de freqüêncas, a partr de uma smples ectação transente. Com o método TLM convenconal sto é possível somente para os casos onde os parâmetros dos meos sejam ndependentes das varações da freqüênca. Além dsso, outras mportantes vantagens podem ser observadas, mesmo para o estudo de problemas à parâmetros constantes. Por eemplo, não é necessára a ntrodução de tocos no modelo do nó para a representação das característcas reatvas (neste estudo em partcular, do tpo capactva) do meo, o qual é mprescndível no TLM tradconal. Agora, ao transformar os crcutos do nó do domíno do tempo para o domíno s, as característcas dos meos passam a ser representadas como cargas reatvas e não mas como modelos de lnhas de transmssão. Isto smplfca o equaconamento dos processos de espalhamento e coneão dos mpulsos da malha TLM. No caso 3D, por eemplo, o sstema de equações que representa o espalhamento das tensões refletdas fca redudo às 1 equações dos ramos (1.46a 1.46l), não sendo necessáras as 3 equações adconas para as tensões refletdas nos tocos capactvos (1.46m). O mesmo acontece com o processo de coneão no momento segunte. No caso da formulação D para a topologa Sére, uma mportante lmtação do método convenconal (para malha regular) fo superada. Como fo estudado no capítulo 1, com o nó Sére convenconal é possível modelar problemas de propagação em estruturas com característcas magnétcas, entretanto, não é possível o tratamento de meos delétrcos. Com a atual formulação, como fo vsto na seção 4.4, essa dfculdade fo contornada. É bom lembrar que este problema

135 CAPÍTULO 4 FORMULAÇÃO TLM PARA A MODELAGEM DE MEIOS DIELÉTRICOS DISPERSIOS 119 tnha sdo resolvdo com a utlação da malha D rregular para o caso de meos à parâmetros constantes, apresentada no capítulo. Portanto, conta-se agora com duas opções para a resolução de um mesmo problema, fato que demonstra a versatldade alcançada com o presente trabalho para a aplcação do TLM. No fnal do capítulo, os programas computaconas mplementados com a formulação TLM para meos delétrcos dspersvos foram valdados utlando casos testes relatados na lteratura, envolvendo modelos de meos bológcos. Obteve-se boa concordânca entre os resultados das smulações e os apresentados na lteratura consultada, obtdos analítca e numercamente.

136 CAPÍTULO 5 APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 5.1 Introdução Os capítulos anterores do presente trabalho foram dedcados, prncpalmente, a temas relaconados com o desenvolvmento e mplementação do método TLM, assm como à eposção dos fundamentos teórcos da nteração dos campos eletromagnétcos de RF com os meos bológcos. O atual capítulo, dando contnudade lógca às pesqusas do tema de doutorado, será dedcado à aplcação do TLM à problemas boeletromagnétcos, tema de grande nteresse atual, porém anda pouco eplorado pelos pesqusadores do método. Três casos foram avalados: a) o estudo D de um tpo de aplcador elétrco para terapa não nvasva de tumores ntramusculares por hperterma; b) a nteração dos campos radados por telefones celulares com a cabeça humana (estudo baseado em modelos canôncos); e c) estudo de ressonânca eletromagnétca - geométrca para o corpo humano eposto à ação de uma onda plana unforme. Estes eemplos de aplcações foram escolhdos para testar as potencaldades do método TLM atendendo, fundamentalmente, aos seguntes crtéros: em prmero lugar, são temas de grande atualdade na área e, em segundo lugar, estem trabalhos smlares relatados na lteratura, onde foram aplcados outros métodos numércos, o qual permtu a comparação com os resultados aqu obtdos. 5.. Estudo de um tpo de aplcador elétrco para a terapa não nvasva de tumores ntramusculares por hperterma Entre as aplcações bomédcas dos campos eletromagnétcos na faa das RF, destacam-se os tratamentos terapêutcos por hperterma (elevação da temperatura dos tecdos bológcos por eposção à campos ntensos de RF). Esta técnca vem sendo utlada na prátca clínca de város países desde o níco dos anos 80 do passado século, como um método alternatvo no tratamento de alguns tpos de câncer [3, 58 61]. Bologcamente, a hperterma é fundamentada no fato dos

137 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 11 tecdos cancerígenos não poderem sobrevver a temperaturas superores a 41 C, devdo ao redudo fluo de sangue nos mesmos (entre outras causas), enquanto os tecdos saudáves podem suportar até 50 C [3, 58, 59]. Assm, aquecendo a regão do corpo afetada dentro deste ntervalo de temperatura é possível elmnar seletvamente as células neopláscas. Por outro lado, quando a hperterma é combnada com outras técncas convenconas de tratamento, como a qumoterapa, a ação ctoredutora das drogas e medcamentos químcos é potencalada, resultando numa destrução do tumor anda maor. Como conseqüênca, as seqüelas secundáras ndudas pela modaldade convenconal de tratamento são sensvelmente dmnuídas já que o tempo total de tratamento é redudo [3,58]. Com esta técnca, o aquecmento localado dos tecdos pode ser produdo nvasvamente, sto é, nserndo dentro do tumor arranjos de pequenas antenas de mcroondas medante agulhas especas ou, por outro lado, o procedmento pode ser não nvasvo, utlando-se de aplcadores eternos de RF. O prmero caso é o mas ndcado para tumores em regões profundas do corpo humano, já os tratamentos não nvasvos são aplcáves a tumores superfcas (na pele) ou pouco profundos, como alguns ntramusculares, na cabeça, na regão torácca, etc. As freqüêncas de operação mas comuns dos equpamentos utlados nas terapas estão na faa de MH. Nos últmos anos, a smulação numérca de tratamentos de hperterma tem se tornado de grande nteresse nesta área bomédca [6 65]. Partcularmente para os casos de modelagem D, comparações qualtatvas com dados clíncos ndcaram que os modelos numércos podem preder com precsão as capacdades domnantes e as lmtações fundamentas dos aplcadores eletromagnétcos utlados nas terapas [6, 63]. Neste sentdo, o presente estudo tem a fnaldade de demonstrar as potencaldades do TLM, como uma efcente ferramenta no cálculo da dstrbução espacal do campo elétrco e da SAR em um modelo D envolvendo procedmentos de hperterma. O caso partcular avalado corresponde a um tpo de aplcador elétrco plano (plane-tpe hpertherma applcator) que opera na freqüênca de 100 MH e é utlado para a terapa não nvasva localada de tumores ntramusculares pouco profundos (até 4 5 cm). Um estudo smlar fo relatado em [6], sendo naquela ocasão empregado o método FDTD-D.

138 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO Modelo D Aplcador RF Tecdo humano Na fgura 5.1 é mostrada a geometra do modelo adotado para a smulação da nteração entre o aplcador e o tecdo humano. Fgura 5.1 Geometra do modelo adotado para a smulação da nteração entre o aplcador e o tecdo humano. O dpolo elétrco é separado por 1 cm de ar da camada de gordura. O tecdo humano, como lustra a fgura acma, é representado por duas camadas: gordura (1cm de espessura) e músculo. Os valores dos parâmetros elétrcos dos tecdos para 100 MH (obtdos de [6]) são mostrados na tabela 5.1. TABELA 5.1 Parâmetros elétrcos para 100 MH e densdade de massa específca dos tecdos utlados na modelagem TLM [6].

139 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 13 O dspostvo aplcador fo modelado por um dpolo elétrco plano, representado por duas chapas metálcas fnas (espessura 0,5 cm) separadas por um gap central de 1 cm. O dpolo apresenta um comprmento total de 15 cm. Para a modelagem fo utlada a malha de topologa Sére modfcada, a parâmetros constantes (segundo a formulação desenvolvda no capítulo, na seção.7), com o ntuto de determnar as componentes de campo elétrco E e E propagadas no nteror dos tecdos e, a partr desses valores de campo, obter os padrões de dstrbução da SAR no modelo. No modelo dscretado, cada elemento possu um comprmento de l 0,5 cm, o que garante uma boa resolução atendendo às dmensões físcas do problema. Como ectação do sstema fo escolhdo o campo elétrco senodal produdo no gap central, polarado segundo o eo do dpolo na dreção. Para a representação dos condutores do dpolo foram utlados contornos, do tpo paredes elétrcas (Γ -1). No caso dos contornos eternos da malha, estes foram mplementados segundo a técnca de condções de frontera absorvente [7], descrta no capítulo 1 na seção 1.4. No programa TLM - D mplementado, calculou-se a dstrbução espacal do campo elétrco em toda a regão do problema, para um ntervalo de tempo sufcente que garantsse atngr o estado estável de propagação em todos os pontos da malha (neste caso, apromadamente 5 períodos de osclação do snal de ectação). A partr desses valores de campo, obteve-se os valores de SAR efca para cada nó no nteror do modelo bológco, segundo a epressão (3.18). 5.. Resultados e dscussão As smulações TLM do modelo estudado verfcaram que a lmtação fundamental para este tpo de aplcador elétrco é o sobreaquecmento que produ na camada de gordura do meo bológco, devdo aos altos valores que atngem as componentes normas de campo elétrco na regão de nterface entre a gordura e o músculo. Este fenômeno é lustrado através das fguras 5., 5.3a e 5.3b, onde são mostradas a dstrbução do campo elétrco e a SAR normalada (segundo o mámo valor de SAR alcançado em qualquer ponto da malha) para o modelo da fgura 5.1.

140 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 14 Fgura 5. Dstrbução do campo elétrco no modelo da fgura 5.1 após 3000 terações no tempo (apromadamente 5 períodos de osclação do snal de ectação). (a) (b) Fgura 5.3 Padrão da SAR normalada para o modelo da fgura 5.1. a) Representação 3D; b) Projeção no plano (lnhas de contorno).

141 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 15 Observando as fguras acma, fca evdente o severo aquecmento que é produdo na regão da camada de gordura que se encontra abao do comprmento do dpolo. Entretanto, nota-se também que o campo elétrco é atenuado rapdamente com o ncremento da dstânca no nteror do músculo, raão pela qual não contrbu tanto ao aquecmento da regão desejada do músculo quanto ao aquecmento na superfíce. Este é um comportamento típco do fenômeno de campos prómos em meos com perdas, que afeta sensvelmente os tratamentos por hperterma com este tpo de aplcador. Uma outra causa, além do problema dos campos prómos, que contrbu ao ncremento da magntude da componente normal do campo elétrco é o acoplamento tpo capactvo que é crado entre o dpolo e a camada do músculo: a alta condutvdade do músculo, e sua promdade às chapas do dpolo, levam estes dos elementos a se comportarem como um par de placas paralelas de um condensador, obtendo-se entre eles campos elétrcos essencalmente unformes, normas à nterface, tal como fo lustrado na fgura 5.. Por outro lado, é conhecdo que a relação das magntudes das componentes de campo normas à nterface ente dos meos será gual à relação nversa das permssvdades dos meos, segundo a epressão: Eng Enm ε m (5.1) ε g onde, neste caso, os subíndces m e g denotam o músculo e a gordura, respectvamente. Portanto, na nterface gordura-músculo por causa da permssvdade do músculo ser muto maor do que na gordura (ver tabela 5.1), o campo elétrco normal ndudo no músculo será muto menor do que na gordura. A energa absorvda no tecdo é proporconal a σe. Assm, embora a condutvdade seja mas alta no músculo do que na gordura, E domna na epressão e por conseqüênca a energa absorvda (e o calor gerado) na gordura é tpcamente váras vees maor do que no músculo. Ao contráro, a componente de campo elétrca tangencal à nterface entre os meos é contínua ( Et g Et m ), assm, dada a baa condutvdade da gordura quando comparada com a do músculo, haverá maor absorção de energa (com o conseqüente aquecmento) na regão do músculo do que na camada de gordura. Desta análse, pode-se conclur que para consegur aquecer o tecdo do músculo sem esquentar demas a camada de gordura, o campo elétrco deverá ser prncpalmente tangencal na nterface entre os dos meos.

142 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 16 áras modfcações à confguração do modelo da fgura 5.1 foram testadas, verfcando-se que, substtundo a camada de ar estente entre o dpolo e o tecdo por uma bolsa de água não onada, como ndcado nas varantes das fguras 5.4a e 5.4b, pode ser lmtado o efeto do acoplamento capactvo e, como conseqüênca, redudo o aquecmento na camada de gordura. Fgura 5.4 arantes para o modelo da fgura 5.1. a) Dpolo elétrco separado do tecdo por 0 cm de água não onada; b) Dpolo elétrco separado do tecdo por 17 cm de água com tras de ar colocadas nas promdades dos termnas do dpolo. A fgura 5.5 mostra a dstrbução do campo elétrco para o modelo da fgura 5.4a. Neste caso, as lnhas de campo nterceptam a camada de gordura fundamentalmente de forma tangencal, produndo um padrão de SAR normalada com valores mámos no músculo, como lustrado nas fguras 5.6a e 5.6b. Fgura 5.5 Dstrbução do campo elétrco no modelo da fgura 5.4a, após 3000 terações no tempo (apromadamente 5 períodos de osclação do snal de ectação).

143 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 17 (a) (b) Fgura 5.6 Padrão da SAR normalada para o modelo da fgura 5.4a. a) Representação 3D; b) Projeção no plano (lnhas de contorno). A espessura requerda para a bolsa de água não onada va depender da relação entre as permssvdades da água e da gordura, que é apromadamente 10 para a freqüênca de 100 MH. Esta descontnudade de permssvdade na nterface água gordura sgnfca que valores pequenos das componentes normas do campo elétrco na água resultarão em valores elevados na camada de gordura. Por causa dsso, por eemplo, para manter os valores de SAR na camada de gordura abao de 80 % do valor mámo alcançado no músculo, é requerda uma bolsa de 0 cm de espessura [6]. Colocando tras de ar (arstrps) nas regões da bolsa de água prómas aos termnas do dpolo (ver fgura 5.4b), precsamente onde as componentes normas do campo elétrco são mas fortes, é obtda uma varante do modelo anda mas efcente. Neste caso, a espessura da bolsa pode

144 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 18 ser reduda em 15-0%. Novamente, a descontnudade da permssvdade nas nterfaces tra de ar- bolsa de água é a causa pela qual as componentes normas de campo elétrco são redudas nas regões da bolsa de água e da gordura localadas nos etremos do dpolo, permtndo obter um melhor desempenho do aplcador. O padrão da SAR correspondente neste caso pode ser observado nas fguras 5.7a e 5.7b. (a) (b) Fgura 5.7 Padrão da SAR normalada para o modelo da fgura 5.4b. a) Representação 3D; b) Projeção no plano (lnhas de contorno). Os resultados obtdos nas smulações TLM foram coerentes e mostraram-se em concordânca com os relatados na lteratura consultada [6 ].

145 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO Modelagem da nteração de antenas prómas à cabeça humana (estudo baseado em modelos canôncos) Nos últmos anos tem havdo uma admrável epansão dos meos de comuncação, partcularmente na área de comuncações móves, com negáves benefícos para os dferentes setores da atvdade humana, como na ndústra, nos servços e no laer, permeando dferentes camadas da população. Há cerca de 500 mlhões de usuáros de telefones celulares em todo o mundo, sendo que a Organação Mundal da Saúde (OMS) prevê a estênca de 1,6 blhões de usuáros para o ano 005 [66,67]. No Brasl, onde a tecnologa celular é relatvamente recente, segundo dados da Agênca Naconal de Telecomuncações (ANATEL), atualmente estem mas de 0 mlhões de aparelhos em uso [49]. Acompanhando este formdável crescmento, tem aumentado também o nteresse e a preocupação de centstas e da socedade em geral pelos possíves efetos bológcos adversos à saúde que as radações destes equpamentos poderam causar [,8 3,43,44,45,49,66-74]. Um dos fatores que mas tem contrbuído para esta preocupação é a suspeta da assocação dos campos eletromagnétcos com alguns tpos de câncer. Entretanto, não é anda conhecdo até que ponto ou por quas mecansmos, os níves baos de radação RF gerados pelos aparelhos celulares poderam causar efetos adversos não térmcos. As pesqusas desenvolvdas até o momento são nsufcentes e não conclusvas, sendo constantes alvos de questonamentos por parte da própra comundade centífca nternaconal, posto que nenhuma conseguu demonstrar de que manera estas ondas eletromagnétcas alteram o funconamento do organsmo e se estas alterações são prejudcas à saúde. Assm, as evdêncas centífcas dsponíves hoje não permtem conclur se um determnado modelo de telefone celular é absolutamente seguro, ou pelo contráro, se o uso deste pode traer rscos para a saúde. Não há nformação sufcente neste momento para assegurar publcamente que há problemas de saúde assocados ao uso de telefones celulares ou qualquer outro aparelho gerador de snas fracos de RF. A própra posção da OMS é cautelosa:... Pesqusas mostram que, embora nsufcente para provocar aquecmento do corpo, a eposção pode alterar a atvdade elétrca do cérebro de gatos e coelhos. Outros estudos sugerem que ela altera a taa de prolferação das células, a atvdade das enmas e que também afeta o DNA. Mas as mplcações à saúde anda não foram sufcentemente entenddas para dar base a uma restrção à eposção humana...". Mesmo assm, a OMS também afrma que os rscos levantados até agora... demandam urgênca no desenvolvmento de programas que levem a um consenso centífco que possblte o esclarecmento desses assuntos..." [66]. Frente a esta panorâmca de ncerteas, fca evdente a necessdade da contnudade das pesqusas.

146 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 130 Entretanto, uma das maores dfculdades que enfrentam os pesqusadores é a mpossbldade de medções dretas dos campos e níves de energa absorvda no nteror do corpo, sendo necessáros, portanto, modelos computaconas (numércos) e epermentas que smulem os fenômenos da nteração entre as antenas dos aparelhos e a cabeça humana [75 86]. Dentre os modelos numércos encontrados na lteratura, destacam-se os modelos canôncos desenvolvdos pelo grupo de trabalho 3 do COST-44 1 [87 89]. Estes modelos foram propostos à comundade centífca dada a necessdade da comparação dos resultados obtdos pela utlação de dferentes códgos computaconas, para a resolução de um mesmo problema. áros casos de modelos canôncos foram estabelecdos (todos eles em 3D), atendendo às dferentes combnações possíves dos parâmetros: geometra da cabeça (cúbca ou esférca); parâmetros elétrcos dos tecdos (modelos homogêneos de um só tecdo ou mult-camadas, com város tecdos); tpo de antena (bpolar ou monopolar); parâmetros da antena (comprmento, gap, freqüênca de operação, potênca transmtda, etc.); separação da antena da cabeça; etc. No presente trabalho, tendo como ponto de partda alguns destes modelos, o problema da nteração de antenas prómas à cabeça humana fo smulado em duas e três dmensões utlando os programas TLM desenvolvdos. É mportante salentar que os valores de SAR localada que serão apresentados nesta seção, resultantes das smulações, correspondem aos valores efcaes para cada nó da malha, na regão do modelo da cabeça. Para poder estabelecer comparações com os valores lmtes oferecdos pelas normas e dretres para eposção segura às radações de RF [31,44,45,49] sera precso determnar a SAR méda correspondente para cada porção de volume do modelo da cabeça contendo 1 g (ANSI/IEEE [31]) ou 10 g (ICNIRP [44]) de massa de tecdo. Entretanto, as própras normas e dretres ctadas são ambíguas e pouco claras na hora de defnr os procedmentos para a determnação dos volumes de cálculo para a SAR méda localada. Conseqüentemente, poderam ser obtdos dferentes valores de SAR méda localada no modelo, dependendo da manera em que são agrupados os valores por nó (resultantes da smulação numérca) para a obtenção de 1g ou 10 g de tecdo. Esta stuação tem motvado crítcas por parte da comundade centfca aos órgãos responsáves pela elaboração das normas e dretres [30, 43,80]. As característcas dos prmeros modelos estudados estão apresentadas na tabela 5. e lustradas grafcamente na fgura COST (European Co-operaton n the feld of Scentfc and Techncal research). Projeto Europeu envolvendo mas de 5 países, que tem por objetvo o desenvolvmento de pesqusas báscas e atvdades de utldade públca em mas de 15 domínos, sendo o maor deles o COST- Telecommuncatons, que por sua ve tem um subgrupo denomnado COST44,

147 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 131 TABELA 5. Característcas dos Modelos canôncos do COST-44 [87,88]. Modelo Geometra Tecdo Freqüênca Fonte g 3 t 1 f 1 s 1 Cúbca (g 3 ) Homogêneo (t 1 ) 900 MH (f 1 ) Dpolo - 0,4λ (s 1 ) g 1 t 1 f 1 s 1 Esférca (g 1 ) Homogêneo (t 1 ) 900 MH (f 1 ) Dpolo - 0,4λ (s 1 ) g 3 t 1 f s 1 Cúbca (g 3 ) Homogêneo (t 1 ) 1800 MH (f ) Dpolo - 0,4λ (s 1 ) g 1 t 1 f s 1 Esférca (g 1 ) Homogêneo (t 1 ) 1800 MH (f ) Dpolo - 0,4λ (s 1 ) (a) (b) Fgura 5.8- Representação dos modelos canôncos COST 44 (casos homogêneos) para a modelagem da nteração antena-cabeça. a) Geometra cúbca; b) Geometra esférca. Os parâmetros do tecdo homogêneo (cérebro) para as freqüêncas seleconadas são mostrados na tabela 5.3. A densdade específca de massa é de 1050 g/m 3. TABELA 5.3 Parâmetros elétrcos do cérebro para as freqüêncas seleconadas [87,88]. Freqüênca (MH) ε r σ (S/m) ,0 0, ,0 1,14 No caso da antena do telefone, a mesma fo modelada por um dpolo elétrco polarado vertcalmente, operando no seu estado estaconáro de emssão a uma potênca de P rad 1,0 W. O dpolo possu um comprmento de 0,4λ de ponta à ponta (13,33 cm para 900 MH e 6,67 cm para destnado à coordenação das pesqusas sobre efetos bológcos dos campos eletromagnétcos. Maores nformações podem ser encontradas no ste:

148 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO MH), com um gap central de 0,5 cm. A dstânca entre o dpolo e o modelo da cabeça fo de d 1,5 cm no eo central. Para a modelagem TLM do problema, fo defnda uma malha 3D contendo nós ( ), conformando um cubo de ar, contendo no seu nteror o modelo da antena e da cabeça de 0 cm de dâmetro (concêntrca, com ponto central em (30, 30, 30)). Foram deados 10 nós de dstânca, para cada dreção, entre a superfíce da cabeça e os contornos absorventes. O comprmento espacal dos nós fo de l 5 mm. Os condutores metálcos da antena foram consderados como contornos elétrcos. Nos nós de ectação, localados na regão do gap de ar da antena, fo aplcado um campo elétrco senodal polarado segundo o eo da antena. A ampltude máma do campo de ectação va depender do comprmento do nó, da potênca do snal e da mpedânca no gap da antena, segundo a epressão [75]: P rad Z gap E0 (5.) l Consderando Z 50Ω (valor típco), a ampltude do campo de ectação utlada fo gap de E 0 /m. Utlando o programa TLM-3D mplementado segundo a formulação dspersva apresentada no capítulo 4 (embora neste caso esteja sendo empregado para um problema a freqüênca fa, consderando os parâmetros do meo constantes), calculou-se a dstrbução espacal do campo elétrco em toda a regão do problema, para um ntervalo de tempo sufcente que garantsse atngr o estado estável de propagação em todos os pontos da malha (apromadamente a partr de 10 períodos de osclação do snal de ectação). Partndo desses valores de campo, obteve-se os valores de SAR efca no nteror do modelo da cabeça, para cada nó da malha, segundo a epressão (3.18). No total, 4 rodadas do programa foram realadas, uma para cada caso descrto na tabela 5.. O passo de tempo de cálculo fo de t 8,33 ps. O tempo despenddo nas smulações fo de apromadamente uma teração por segundo (num computador com as mesmas característcas do ctado no capítulo 4, seção 4.6.4). Foram necessáras 000 terações no tempo para os casos a 900 MH e 1000 terações para os casos a 1800 MH (correspondentes à 15 períodos de osclação do snal de ectação).

149 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 133 Os valores de SAR efca (por nó) no nteror dos modelos da cabeça podem ser vstos nas fguras 5.9a 5.9d, onde é mostrada a dstrbução espacal da SAR para toda a seção transversal do plano central das malhas ( 30). (a) (b)

150 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 134 (c) (d) Fgura Dstrbução espacal da SAR efca para toda a seção transversal do plano central ( 30) dos modelos canôncos descrtos na tabela 5.3. a) Caso g 3 t 1 f 1 s 1 (cúbco 900 MH); b) Caso g 3 t 1 f s 1 (cúbco 1800 MH); c) Caso g 1 t 1 f 1 s 1 (esférco 900 MH); d) Caso g 1 t 1 f s 1 (esférco 1800 MH).

151 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 135 Percebe-se, através da análse dos resultados das fguras, que os valores mámos de SAR são produdos na superfíce do modelo, com valor pco no ponto da cabeça mas prómo à fonte ectadora, decrescendo rapdamente na medda em que aumenta a dstânca no nteror dos tecdos. Estes resultados estão em sntona com as conclusões a que chegaram nos últmos anos as pesqusas envolvendo modelos epermentas e computaconas da nteração do corpo humano com fontes de RF, comentadas na seção 3.6 do capítulo 3. Anda, as smulações mostraram (como também pode ser observado na fgura 5.9 e na tabela 5.4), que a absorção de energa para 1800 MH é maor do que para 900 MH. Em relação aos valores de SAR obtdos, estes foram coerentes e fcaram na mesma ordem de grandea que os apresentados na maora das referêncas estudadas. Na tabela 5.4 são sntetados os valores pcos de SAR efca obtdos nas smulações. TABELA 5.4 Maores valores de SAR obtdos nas smulações TLM-3D dos modelos canôncos da tabela 5.. Modelo SAR (W/g) g 3 t 1 f 1 s 1 (cúbco 900 MH) 8,98 g 1 t 1 f 1 s 1 (esférco 900 MH) 7,80 g 3 t 1 f s 1 (cúbco 1800 MH) 1,54 g 1 t 1 f s 1 (esférco 1800 MH) 1, Modelagem D de modelos multcamadas da nteração de antenas prómas à cabeça humana Nesta seção será apresentado o estudo para dos modelos bdmensonas da nteração antena- cabeça humana. Neste caso, além do cérebro, serão consderados outros tpos de tecdos como a pele e o osso do crâno. Para a modelagem TLM-D fo utlada a malha de topologa Sére modfcada, à parâmetros constantes, segundo a formulação desenvolvda na seção.7 do capítulo. Foram calculadas as componentes de campo elétrco E e E propagadas no nteror dos tecdos e, a partr desses valores de campo, foram obtdos os padrões de dstrbução da SAR no modelo.

152 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 136 Em um prmero estudo (ver fgura 5.10a), a antena do telefone fo smulada por um dpolo elétrco polarado vertcalmente, operando a uma freqüênca fa de 835 MH e uma potênca de 0,6 W, valores típcos dos telefones celulares analógcos. O dpolo possu um comprmento de 0,3λ (10,1 cm). A cabeça humana fo representada por camadas ovas concêntrcas de tecdos. Três tpos de meos foram consderados: pele, crâno (osso com gordura nfltrada) e cérebro. Em um segundo estudo, um pouco mas realsta (ver fgura 5.10b), o telefone fo modelado por uma antena tpo monopolo de comprmento λ/4, colocada acma de uma caa metálca (10 5 mm) coberta por um materal delétrco (ε r,0), representando o corpo do telefone. Os cálculos foram fetos para uma freqüênca de operação de 1800 MH e uma potênca de transmssão da antena de 0,15 W, valores típcos dos telefones celulares dgtas atuas. No modelo da cabeça fo ncorporada a representação das orelhas (pele e músculo). Adconalmente, neste últmo caso fo consderada a presença de uma parede metálca próma ao telefone, stuação pouco relatada na lteratura, embora seja mportante o seu estudo, como será demonstrado mas adante. (a) (b) Fgura Modelos D da nteração telefone celular-cabeça humana estudados. a) Representação da antena por um dpolo elétrco; b) Representação da antena por um monopolo, consderando a caa do telefone e a presença de uma parede metálca próma ao telefone. As propredades elétrcas dos tecdos para as freqüêncas analsadas, bem como a densdade específca de massa dos mesmos são defndas na tabela 5.5.

153 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 137 TABELA Parâmetros elétrcos dos tecdos utlados na modelagem [77,80]. Tecdo ε r 835 MH σ (S/m) ε r 1800 MH σ (S/m) ρ (g/m 3 ) Esp. (cm) * Cérebro 45,6 0,9 50,11 1, ,8 3,8 Crâno 17,40 0,11 11,40 0, ,4 Pele 35,40 0,63 38,87 1, , Músculo 58,00 1,1 53,55 1, * Espessura das camadas dos tecdos Para a construção dos modelos numércos das fguras 5.10a e 5.10b, fo escolhda uma malha D contendo 1000 nós na dreção e 650 nós na dreção ( no total), onde cada elemento possu l 1,0 mm. O passo do tempo obtdo fo t,3586 ps. No prmero caso estudado, correspondente ao modelo da fgura 5.10a, duas separações entre a fonte ectadora e o modelo da cabeça (d) foram analsadas: 1,5 e 5 cm. A fgura 5.11 mostra a dstrbução do campo elétrco sobre o eo na dreção ndcado no modelo da fgura 5.10a, após 1000 terações no tempo (apromadamente períodos de osclação do snal de ectação). Percebe-se, tanto para a varante com a fonte de ectação afastada a 1,5 cm (lnha chea) quanto a 5 cm (lnha tracejada), o amortecmento do campo ao penetrar na cabeça, devdo as perdas provocadas pela condutvdade elétrca dos tecdos. Fgura Dstrbução do campo elétrco sobre o eo do modelo da fgura 5.10a após períodos de osclação do snal de ectação (lnha chea: separação antena-cabeça 1,5 cm; lnha ponteada: separação antena-cabeça 5,0 cm).

154 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 138 Os valores de SAR efca no nteror do modelo da cabeça podem ser vstos nas fguras 5.1a e 5.1b, onde é mostrada a dstrbução espacal da SAR para toda a seção transversal do modelo da cabeça, para as duas posções da antena ectadora analsadas. (a) (b) Fgura 5.1. Dstrbução espacal da SAR efca para toda a seção transversal do modelo da cabeça da fgura 5.10a, para uma separação antena-cabeça de: a) d 1, 5 cm; b) d 5,0 cm.

155 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 139 Da comparação das fguras 5.1a e 5.1b, nota-se que, apesar de no caso 5.1b a antena estar mas afastada e, portanto, os valores da SAR serem menores, a absorção de energa na dreção é maor. A nfluênca dos parâmetros elétrcos dos dferentes tecdos também é notável, fundamentalmente a condutvdade elétrca. Na regão do crâno, devdo à sua baa condutvdade quando comparada com a da pele e do cérebro, os valores da SAR dmnuem sensvelmente. Por outro lado, na regão do cérebro o valor mámo da SAR será um pouco menor do que na pele, devdo ao fato de estar mas afastada da fonte ectadora. Na tabela 5.6 são sntetados os valores pcos de SAR máma obtdos das smulações, para cada tpo de tecdo. TABELA 5.6 alores pcos da SAR efca (W/g), obtdos para cada tpo de tecdo no modelo da fgura 5.10a. Separação antena-cabeça, d (cm) Tecdo 1,5 5,0 Pele 3,6 0,57 Crâno 0,4 0,08 Cérebro 1,75 0,38 No segundo caso estudado, para avalar como a presença de objetos metálcos prómos ao celular afeta os valores de SAR, fo consderada uma parede metálca (modelada como contorno elétrco) colocada do mesmo lado do aparelho, a uma dstânca Ew da cabeça (ver fgura 5.10b). Das dferentes varantes analsadas deste estudo, serão mostrados os resultados da SAR obtdos para o caso do sstema telefone-cabeça no espaço lvre (fgura 5.13a) e para o sstema com uma parede a uma dstânca Ew 4,0 cm da cabeça (fgura 5.13b). Para ambos os casos o telefone fo colocado a uma dstânca d,0 cm da cabeça (correspondente ao caso onde a caa do aparelho é encostada à orelha).

156 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 140 (a) (b) Fgura Dstrbução espacal da SAR efca para toda a seção transversal do modelo da cabeça da fgura 5.10b, para uma separação antena-cabeça d,0 cm. a) Sstema telefone- cabeça no espaço lvre; b) Sstema telefone- cabeça prómo de uma parede metálca (dstânca parede cabeça Ew 4,0 cm). Observando as fguras acma, nota-se que os valores mámos de SAR acontecem na regão da pele próma da orelha, precsamente nos pontos prómos à fonte de ectação da antena, sendo o padrão de dstrbução da SAR muto parecdo para ambos os casos. Entretanto, as magntudes são muto maores para o caso do sstema na presença da parede metálca (fgura 5.13b) do que no espaço lvre (fgura 5.13a).

157 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 141 A fgura 5.14 mostra os maores valores de SAR efca obtdos no modelo, para dferentes dstâncas Ew entre a cabeça e a parede metálca. Ew (cm) Fgura Mámos valores de SAR obtdos no modelo versus a dstânca parede metálca cabeça (Ew), para uma separação antena-cabeça d,0 cm. A lnha tracejada corresponde ao valor da SAR na ausênca da parede metálca. É mportante destacar como para os casos onde a parede metálca fca muto próma do celular e da cabeça (Ew 7,0 cm), a SAR atnge valores maores que no caso da ausênca desta (por eemplo, para Ew 4,0 cm a SAR máma é de,88 W/g, mas de três vees superor à SAR na ausênca da parede, que é de 0,83 W/g). Isto sgnfca que, em stuações reas, se o uso do telefone gera valores de SAR que fcam perto dos lmtes estabelecdos pelas normas, a presença de objetos metálcos (cabnes, portas ou armáros metálcos, por eemplo) muto prómos pode faer com que estes lmtes sejam eceddos. 5.4 Estudo de ressonânca eletromagnétca para o corpo humano eposto a campos dstantes O conceto físco da ressonânca começou ser aplcado nas pesqusas relaconadas à nteração dos campos de RF com os meos bológcos nos anos 70 do século passado [9]. Do ponto de vsta eletromagnétco, a ressonânca está assocada com a resposta do sstema bológco quando este é estmulado por um snal osclando na chamada freqüênca natural do sstema. A característca fundamental da ressonânca consste em que a resposta é grandemente amplfcada para esse valor de freqüênca, quando comparado com as respostas para outras (não ressonantes) freqüêncas. Nas condções de ressonânca, a absorção de energa por parte do sstema bológco é mamada.

158 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 14 Inúmeras pesqusas (teórcas e epermentas) relatadas na lteratura publcada sobre o tema concdem que, para o caso dos sstemas bológcos (anmas e humanos) epostos à ncdênca de campos dstantes, a condção de ressonânca eletromagnétca se dá nas seguntes crcunstâncas [,8,9,30,44]: - Incdênca normal da onda no objeto; - O vetor campo elétrco encontra-se polarado paralelo ao maor comprmento do objeto; - O comprmento do objeto é da mesma ordem do comprmento da onda no espaço lvre (em partcular, para a condção: 0,36λ L 0, 4λ ). Na fgura 5.15 apresenta-se, de manera esquemátca, a stuação de ressonânca eletromagnétca. Fgura 5.15 Condções de ressonânca eletromagnétca (absorção máma) para o corpo ntero na presença de campos dstantes. Sendo a freqüênca de ressonânca nversamente proporconal ao tamanho da pessoa, quanto maor a altura, menor será a freqüênca para a qual a absorção de energa é máma. Por eemplo, para o caso de uma pessoa com 1,75 m de altura, os estudos demonstraram que a condção de ressonânca é alcançada para as freqüêncas entre MH. Já no caso de uma crança, a ressonânca acontecera para freqüêncas maores [, 8,9,30,44]. A fgura 5.16 apresenta o comportamento da SAR méda para o corpo ntero na faa de freqüênca que va de 10 até 1000 MH [8]. Esses resultados correspondem ao caso do modelo de uma pessoa de 1,75 m de altura, na qual ncde na sua parte frontal uma onda plana unforme, com densdade de potênca de 10 W/m. Na fgura, os valores da lnha chea foram obtdos numercamente, aplcando o método dos Momentos em um modelo de corpo humano conformado por 180 células cúbcas, de tamanhos entre 5 e 1 cm 3. O corpo fo preenchdo por um meo homogêneo, com propredades elétrcas do /3 músculo (ver seção 4.6.). No caso da lnha pontlhada, os resultados foram obtdos epermentalmente, onde o phantom do corpo fo preenchdo por uma solução salna, com propredades prómas à do músculo [8].

159 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 143 Fgura 5.16 SAR méda para o corpo ntero em função da freqüênca, obtda para um modelo homogêneo (/3 músculo) de corpo humano (1,75 m) eposto à ncdênca normal de uma onda plana unforme de 10 W/m, polarada com o campo elétrco paralelo ao comprmento do corpo. Lnha chea: resultado numérco aplcando o método dos Momentos. Lnha pontlhada: Resultados epermentas [8]. Nota-se, da fgura acma, que a SAR méda aumenta com a freqüênca, até atngr o valor mámo na condção de ressonânca (apromadamente 70 MH para a curva epermental e 77 MH para a curva numérca). A partr destes valores, a SAR decresce contnuamente. Com o ntuto de testar as potencaldades do TLM para os estudos de ressonânca eletromagnétca, o caso acma descrto fo reprodudo, aplcando a formulação do TLM para meos dspersvos estudada no capítulo 4. O modelo do corpo humano (1,75 m) utlado mostra-se na fgura O mesmo fo preenchdo com o tpo de tecdo /3 músculo, gual que em [8]: ˆ ε r jω jω 11,9 10 (5.3)

160 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO TLM A PROBLEMAS EM BIOELETROMAGNETISMO 144 Fgura 5.17 Modelo homogêneo (/3 músculo) de corpo humano (1,75 m) eposto à ncdênca normal de uma onda plana unforme, polarada com o campo elétrco paralelo ao comprmento do corpo. Para a modelagem TLM do problema, fo defnda uma malha 3D contendo nós ( ), formando uma caa de ar, contendo no seu nteror o modelo do corpo humano (conformado por 1 91 nós). Foram deados 5 nós de dstânca, para cada dreção, entre a superfíce do modelo e os contornos absorventes. O comprmento espacal dos nós fo de cm. l Sendo o comprmento dos nós muto grande, para evtar erros por dspersão numérca, o estudo fo feto para a faa de freqüênca que va de 10 MH até 00 MH, valores para os quas é garantdo que λ meo l <. 10 Como ectação, fo empregado um plano de mpulsos na parte do ar (no plano ncal 1, 1:98, 1: 40), correspondentes à componente de campo E, no nstante ncal da smulação. A ampltude do campo elétrco fo obtda a partr de uma densdade de potênca para onda plana de 10 W/m. A fgura 5.18 mostra o resultado TLM obtdo da smulação para a SAR méda do corpo ntero (valores efcaes) na faa de freqüênca especfcada.