APLICAÇÃO DO MÉTODO DA MÉDIA NO VOLUME NA MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA COLUNA ADSORÇÃO DE LEITO FIXO UTILIZANDO ISOTERMA COMPETITIVA

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1 APLIAÇÃO O MÉTOO A MÉIA NO OLUME NA MOELAGEM MATEMÁTIA E UMA OLUNA ASORÇÃO E LEITO FIXO UTILIZANO ISOTERMA OMPETITIA da LUZ, A da LUZ 2, B WOO 3, A A ULSON E SOUZA 4 e S M A GUELLI U E SOUZA 4 Unversdade do Estado de Santa atarna, epartamento de Engenhara de Almentos 2 Unversdade Federal da Frontera Sul, urso de Engenhara Ambental 3 Oregon State Unversty, School of hemcal, Bologcal, Envronmental Engneerng USA 4 Unversdade Federal de Santa atarna, epartamento de Engenhara Químca e de Almentos E-mals para contato: cleuzr@udescbr, selene@enqufscbr RESUMO Geralmente as msturas submetdas ao processo de separação por adsorção usam adsorventes caracterzados por meos porosos com dferentes escalas de comprmento Quando este uma dspardade entre estas escalas, o Método da Méda no olume pode ser usado na modelagem matemátca carregando, herarqucamente, as nformações físcas entre as escalas Neste trabalho é usada a soterma de Langmur compettva e é aplcado o Método da Méda no olume para obter um modelo de duas equações em concentrações médas volumétrcas para fases sólda e líquda O modelo possu nformações físcas da mcroescala e macroescala do adsorvente; são encontradas epressões teórcas para os tensores de dfusvdade efetva, dspersão total, convectvo de transferênca de massa e tensores cruzados Estes tensores de transporte podem ser obtdos medante a resolução dos chamados problemas de fechamento, evtando assm a necessdade de utlzação de parâmetros ajustáves na smulação do processo Neste trabalho é apresentada a resolução numérca de um problema de fechamento que permte calcular o tensor de dfusvdade efetva, o qual carrega nformações físcas da mcroescala INTROUÇÃO Adsorção é um fenômeno de superfíce no qual um soluto é removdo de uma fase fluda e acumulado na superfíce de uma fase sólda O materal adsorvdo é denomnado de adsorbato, e o materal, sobre o qual o soluto é depostado, é chamado de adsorvente (Ruthven, 984 O adsorvente geralmente é composto de mcropartículas porosas que são empacotadas em um leto fo por onde passa a fase fluda contnuamente até que não haja mas transferênca de massa Uma vez que o adsorbato concentra-se na superfíce do adsorvente, quanto maor for esta superfíce, maor será a efcênca da adsorção Para abordar a adsorção de um soluto com multcomponentes este trabalho apresenta uma modelagem matemátca com soterma de Langmur compettva que descreve o processo de adsorção em uma coluna em leto fo, aplcando o Método da Méda no olume descrto por Whtaker (985 Este método permte fazer a Modelagem Matemátca em dferentes escalas do adsorvente, carregando nformações fenomenológcas desde a mcroescala até a macroescala, conforme mostrado na Fgura Área temátca: Fenômenos de Transporte e Sstemas Partculados

2 Fgura - Herarqua de escalas de comprmento no meo poroso de uma coluna de adsorção 2 MOELAGEM MATEMÁTIA 2 Modelagem Matemátca da Mcroescala A modelagem matemátca da mcroescala do adsorvente poroso é feta a partr de um volume de controle da mcroescala A mcroescala é formada pela fase sólda do adsorvente mpermeável, denomnada de fase k, e pela fase fluda contda nos poros do adsorvente, denomnada de fase, conforme lustrado na Fgura O vetor r localza qualquer ponto no 3 espaço trdmensonal ( R, o vetor r o é o rao de, o vetor posção determna o centrode do, o vetor posção y localza os pontos na fase em relação ao centrode do, l e l κ representam os comprmentos característcos das fases A nterface A k é a superfíce das paredes mpermeáves do adsorvente, onde a adsorção das espéces pode ocorrer e a nterface A e são as superfíces das entradas e saídas da fase contínua As equações de transporte governantes e condções de contorno nterfacas que representam o processo de adsorção no volume de controle são dadas por: em que t = (, na fase (20 S K n κ =, em A κ e b (202 S = t + b + b22 + b3 3 2 =F (t,r, em A e (203 I =G (r, em t = 0, (204 é a concentração pontual na fase do das espéces, é a dfusvdade molecular da espéce, n κ é o vetor untáro normal à área A κ e S é a concentração de superfíce da espéce Sendo um processo de adsorção, a dada pela Equação (202, é Área temátca: Fenômenos de Transporte e Sstemas Partculados 2

3 baseada na soterma de Langmur compettva, tal que K é o coefcente de equlíbro de adsorção e b são as constantes de Langmur das espéces químcas :, 2, 3 A 2 dada pela Equação (203 mostra que a concentração pontual em A e é dada pela função F (t,r e a I na Equação (204 é dada pela função G (r Método da Méda no olume: O problema apresentado nas Equações (20 à (204 não pode ser resolvdo da forma que se encontra, pos não se conhecem as funções F (t,r e G (r ; mesmo as conhecendo, tal solução apresentara mas nformações do que são realmente necessáras O objetvo é utlzar as nformações da mcroescala para compor equações governantes na macroescala Para sso é aplcado o Método da Méda no olume, que consste em transformar a concentração pontual, em uma concentração méda para todo, que é a soma do volume da fase ( e o volume da fase k ( κ, sto é, = + κ onforme Whtaker (999 este método utlza a oncentração Méda olumétrca Superfcal e a oncentração Méda Intrínseca, Equações (205, respectvamente Uma relação mportante entre estas é dada por =, em que é a porosdade da fase ( = = d e = d (205 Análogo aos procedmentos matemátcos de Whtaker (999 - ap, faz-se o processo de suavzação espacal com a mportante aplcação do Teorema da Méda Espacal, mostrado no estudo de Howes e Whtaker (985 A Aplcação deste Teorema lustra um aspecto fundamental do processo de suavzação espacal, onde a é ntroduzda na equação governante através da ntegral do fluo Assm chega-se a Equação (206: Kb = + κ a v κ t n ɶ t A + b + b2 2 + b3 κ (206 Para obtenção da Equação (206 consderou-se o estudo de Gray (975 que sugere uma decomposção espacal da concentração pontual, prmera dentdade de (207, e também fo provada a valdade da segunda dentdade de (207 ~ = + e S S = (207 κ onsderou-se váldas as dentdades da teora geométrca e a defnção de meo desordenado de Quntard e Whtaker (994 esde que váldas as restrções de comprmento de escala 2 r o r o, << L, l c L L << r o e y r κ o c (208 Problema de Fechamento na Mcroescala: O chamado problema de fechamento é a forma de encontrar uma representação matemátca de ~ em termos de na Equação (206, obtendo a forma fechada da equação governante da mcroescala Este problema é obtdo subtrando-se, Equação (206 da Equação (20 e assumndo as restrções de ordem de grandeza Área temátca: Fenômenos de Transporte e Sstemas Partculados 3

4 l L c << t e >> 2 l (209 onforme estudos de Ryan et al, (98 e Quntard e Whtaker, (993 pode-se propor a solução do problema de fechamento em uma regão representatva e substtur as condção de contorno que não são conhecdas por condções peródcas, chegando ao problema de fechamento: a 2 v K b κ ɶ = t b b2 2 b (20 Kb nκ ɶ = nκ, em A κ t + b + b2 2 + b3 (2 2 ɶ ( r + l = ɶ ( r, j =, 2, 3 (22 j Pelo Prncípo da Superposção, propõe-se, uma solução do Problema de Fechamento Local dado pelas Equações (20 a (22, da forma: b ɶ = b + s + ψ t b b2 2 b3 ( Em que b, s e ψ são as varáves de fechamento e soluções dos chamados problemas de fechamento, porém neste caso os problemas de valor de contorno relaconados a s e ψ são neglgencados, conforme Whtaker (999 - ap Portanto apresenta-se somente o problema: 2 Problema I : b = 0 (24 = n b n em A κ e Perodcdade: ( + l = ( κ κ b r b r, j=, 2, 3 (25 j Forma Fechada da Equação para Mcroescala: Substtundo a solução do problema de fechamento, Equação (23 na Equação (206, chega-se à forma fechada, b = ( κ av K, (26 eff κ t t + b + b2 2 + b3 em que κ κ eff = I + n b é o tensor dfusvdade efetva da espéce (27 Aκ 22 Modelagem Matemátca da Macroescala Na Fgura, é formado por macroporos contendo uma fase fluda (fase, e de uma regão mcroporosa (regão O rao do é representado por r 0 e os símbolos l e l são usados para representar os comprmentos característcos das fases O problema de dfusão e adsorção é dado pelas equações dferencas e condções de contorno nterfacas: Área temátca: Fenômenos de Transporte e Sstemas Partculados 4

5 Em que t + ( v = (, na fase (28 n = + n, em A (29 2 n = k (, em A (220 T ( eff Kb = κ av κ, na regão (22 t t+ b + b22 + b3 3 3 =F (r,t em A e e 4 =G (r,t, em A e (222 I =H (r em t = 0 e I2 =I (r, em t = 0 (223 =, k T é o coefcente de transferênca de massa e = ef κ Analogamente à modelagem matemátca da mcroescala, aplca-se o Método da Méda no olume nas equações pontuas do campo de concentração para fase e para regão, chegandose a um Problema de Fechamento, o qual pelo Prncípo da Superposção, tem-se as soluções: ( ( ɶ = b b t + + +ϕ ɶ = b + b + t +ϕ (224 (225 em que b, b, b, b, t, t, ϕ e ϕ são denomnadas varáves de fechamento e são soluções dos respectvos problemas de valor de contorno: + = A Problema I: ɶ ( v b v b n b, na regão (226 n b = 0 e 2 n + n b = n b (227 A ( b = n b, na regão (228 Perodcdade: b ( r + l = b ( r e b ( r + l = b ( r, =, 2,3 (229 j j j = A Problema II: ( v b b n b, na regão (230 n n b = 0 (23 2 n b = n + n b (232 A ( b = n b, na regão (233 Perodcdade: b ( r + l = b ( r e b ( r + l = b ( r, j =, 2,3 (234 j j Área temátca: Fenômenos de Transporte e Sstemas Partculados 5

6 = n A Problema III: v ( t t t, na regão (235 n t = kt e 2 n t = n t (236 A ( t = n t, na regão (237 Perodcdade: t ( r + l = t ( r e t ( r + l = t ( r j =, 2,3 (238 j j Forma Fechada: om as soluções dos problemas de fechamento dadas pelas Equações (224 e (225, chega-se à forma fechada do modelo de duas equações: = ( + ( ( ( ( v t + u kt + av kt = ɶ I + n b v b, = ɶ n b v b A A e u = t t k n vɶ ; T k A T ( ( u kt ( = + + (239 (240 (24 t (242 Kb av kt ( a v κ t b b2 2 b = n b, = + n b e t (243 u = A A k n T A Estes tensores de transporte são tas como: tensor de dfusvdade efetva da regão,, tensor de dspersão total da fase,, tensores cruzados e e coefcentes u e u 3 RESULTAOS E ISUSSÃO Neste trabalho são apresentados os resultados numércos do eff κ, tensor de dfusvdade efetva, que carrega as nformações físcas da mcroescala para macroescala através do O Método de olumes Fntos fo utlzado para dscretzar o conjunto de equações do modelo e a resolução numérca fo realzada através do Software lvre OpenFoam 2 Na Fgura 2 (a-(e são apresentados os perfs de b para = 0, 50 sobre arranjos de clndros nteros e para = 0,73 sobre /8 de esferas Área temátca: Fenômenos de Transporte e Sstemas Partculados 6

7 (a (b b (c b y (d b z (e Fgura 2 Perfs de b, b y e b z em arranjos de clndros nteros e /8 esferas Pelas propredades de smetra e sotropa é sufcente usar arranjos de /4 clndros ou /8 de esferas para calcular a função escalar b Na Fgura 3 (a-(c são apresentadas as soluções numércas obtdas neste trabalho, a solução analítca de hang (982, dados numércos de Ochoa-Tapa e Whtaker (994 e dados do modelo de Mawell e Quntard e Whtaker (993 (a (b (c (d Fgura 3 Solução numérca deste trabalho comparada com: (a Solução analítca de hang (982 calculada na forma 2b l ( = 0,84 ; (b Solução numérca de Ochoa-Tapa e Whtaker (994 calculada na forma 2 b l ( = 0,84 ; (c Quntard e Whtaker (993 e Mawell com outros valores de porosdade; (d Teórcos epermentas A Fgura 3 (d mostra que os resultados obtdos neste trabalho para o coefcente de dfusvdade efetva em váras porosdades, estão de acordo com resultados obtdos por outros autores e com os dados epermentas para arranjos de clndros e esferas 4 ONLUSÃO A realzação da modelagem matemátca aplcando o Método da Méda no olume forneceu o modelo de duas equações que descreve o transporte dos multcomponentes na escala de arcy (escala de projeto Esta modelagem, consderando a soterma de Langmur compettva, Área temátca: Fenômenos de Transporte e Sstemas Partculados 7

8 ncorporou todas as nformações fenomenológcas relevantes do processo de adsorção Isso é um mportante dferencal com relação aos modelos clásscos O modelo é capaz de calcular as dversas resstêncas à transferênca de massa durante o processo de adsorção Os problemas de fechamento apresentados neste trabalho geram um conjunto de equações teórcas, que possbltam posterormente calcular analtcamente ou numercamente os tensores de transporte nas dferentes escalas Foram apresentados resultados numércos para o tensor de dfusvdade efetva, o qual carrega nformações da mcroescala para macroescala, verfcando-se boa concordânca entre resolução numérca deste trabalho com dados teórcos e epermentas 4 AGRAEIMENTOS Os autores agradecem ao apoo fnancero conceddo pelo onselho Naconal de esenvolvmento entífco e Tecnológco NPq, ao LABSIN Laboratóro de Smulação Numérca e ao LABMASSA Laboratóro de Transferênca de Massa, da UFS 5 REFERÊNIAS HANG, H- Mult-scale analyss of effectve transport n perodc heterogeneous meda hemcal Engneerng ommuncatons, v 5, p GRAY, WG A dervaton of equatons for multphase transport hemcal Engneerng Scence, v 30, p , 975 HOWES, F A; WHITAKER, S The spatal averagng theorem revsted hemcal Engneerng Scence, v 40, p , 985 OHOA-TAPIA, J A; WHITAKER, S ffusve transport n two-phase meda: spatally perodc models and Mawell s theory for sotropc and ansotropc systems hemcal Engneerng Scence, v 49, n 5, p , 994 QUINTAR, M; WHITAKER, S Transport n ordered and dsordered porous meda: olume averaged equatons, closure problems, and comparson wth eperment hemcal Engneerng Scence, v 48, p , 993 QUINTAR, M; WHITAKER, S Transport n ordered and dsordered porous meda II: generalzed volume averagng Transport n Porous Meda, v 4, p , 994 RUTHEN, M Prncples of Adsorpton and Adsorpton Process, John Wley & Sons, New York, 432 p, 984 RYAN, ; ARBONELL, R G; WHITAKER, S A Theory of ffuson and Reacton n Porous Meda, AIhE Symposum Seres, #202, v 7, p 46 62, 98 WHITAKER, S A Smple Geometrcal ervaton of the Spatal Averagng Theorem, hemcal Engneerng Educaton, v 9, p 8-2, 50-52, 985 WHITAKER, S Theory and applcatons of transport n porous meda: the method of volume averagng London: Kluwer Academc, 999 Área temátca: Fenômenos de Transporte e Sstemas Partculados 8