, resultando em: y sen L. e à equação de conservação de energia: t m v t m g h t = m v t v t m g L y t
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- Vitorino Chagas Lisboa
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1 COQ-86 Métodos Numéricos para Sistemas Algébricos e Diferenciais o Período de 04 O PROBEMA DO PÊNDUO SIMPES Primeira Forma das Equações: T T T h mg Orientação do eio vertical para cima No diagrama acima se tem: +; 0 e 0, assim: cos T, resultando em: sen T Aplicando a Segunda ei de Newton na duas direções: t d m T t T d t m T t mg T além das equações acima, o pêndulo t t Etotal T cos T T sen T t t t t e à equação de conservação de energia: mg está submetido à restrição algébrica: C t m vt m g h t = m v t v t m g t te Reformulando as equações em termos das variáveis adimensionais: T g v v Etotal,, =, t t, v, v, etotal =, resulta: mg g g mg
2 COQ-86 Métodos Numéricos para Sistemas Algébricos e Diferenciais d t t t total o Período de 04 v v t t e t t t t d t t t Ou ainda: dt v t d t v t dv t t t () dv t t t t t etotal t vt vt t t t, resulta: Adotando nestas equações: dt v t d t dv ( ) dv t t t t v t t t t t t etotal v t v t t Referências:():páginas 5 e 54;():página 484 e(3):página Referências:():páginas 5 e 4 4 :página 0 Caso o eio estivesse orientado para baio, ter-se-ia: t t d t t t total, assim: v v t t e t t t t d t t t Ou seja:
3 d t v t d t v t dv t t t ( 3) dv t t t t t etotal t vt vt t Adotando nessas últimas equações diferenciais: d t v t d t v t dv t tt ( 4) dv t t t t t etotal t vt vt t COQ-86 Métodos Numéricos para Sistemas Algébricos e Diferenciais Referências 5 :página t t, resulta: o Período de 04 Verificando-se que há quatro formas equivalentes de epressar as equações do pêndulo simples Considerando a última forma, (4), e derivando em relação à variável t a restrição algébrica: t t t v t t v t 0, dando origem a uma nova restrição algébrica (restrição oculta na formulação original): tv t tv t 0 Essa última epressão poderia também ser obtida a partir de: etotal t t t t t t t v v v v, derivando a última epressão em relação à variável t, obtém-se: 3
4 COQ-86 Métodos Numéricos para Sistemas Algébricos e Diferenciais t t t v t t t o Período de 04 dv t dv t dv t dv t v t v t v t 0 v t v t 0 Ou seja: v 0 O que dá origem novamente à restrição algébrica: tv t tv t 0 Derivando novamente em relação a t essa última epressão, resulta: vt t t t vt t t t 0 t t t v t v t t 0 t t t v t v t t Como:, tem-se: Substituindo na última epressão: t t t t 3 t constante A seguir, apresentam-se as curvas de (t), (t) e v 0 0 v 0 0 v v, resulta: t versus t com as condições iniciais: 0 X X X 0 t(curva vermelha) e versus tempo t (curva azul) t X 0 versus tempo Bibliografia (): Brenan, KE, Campbell, S & Petzold, R: Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations, Elsevier Science Publishing Co, Inc, 989 4
5 COQ-86 Métodos Numéricos para Sistemas Algébricos e Diferenciais o Período de 04 () Hairer E & Wanner G: Solving Ordinar Differential Equations II Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer Series Computational Mathematics, Vol 4, 99 (3) Ascher, UM & Petzold R: Computer Methods for Ordinar Differential Equations and Differential-Algebraic Equations SIAM, Societ for Industrial and Applied Mathematics, 998 (4) Ferreira da Costa Jr, E : Resolução Automática de Equações Algébrico-Diferenciais de Índice Superior, Tese de Doutorado, PEQ/COPPE/UFRJ, 003 (5) Queipo, C : Problema do Pêndulo, Trabalho para disciplina COQ-86, 000 Resolução do Problema em Forma Eplícita d t v t d t v t dv t t t Considerando a forma: dv t t t t t etotal t v t v t t cos Em vista de: tem-se: sen t t t cos para 0 (t), e t sen d t d t d t d t d t sen cos t sen t t t v d t d t v cos d t d t d t t t cos t sen t d t λt t λt cos t Mas, em vista de:, d t λ t t λtsen t 5
6 Resulta finalmente no sistema de equações: COQ-86 Métodos Numéricos para Sistemas Algébricos e Diferenciais d t d t sen t cos t t cos t d t d t cos t sen t t sen t Assim: d t t t t t cos para 0 d sen t d t t cos t v t sen t Permitindo calcular: e t sen t d t v t cos t Considerando a forma: d t v t d t v t dv t t t ( 3) dv t t t t t etotal t vt vt t o Período de 04 Em vista de: cos sen tem-se: t t t cos t sen para 0 t, e d t d t d t d t d t sen cos t sen t t t v d t d t v cos d t d t d t t t cos t sen t 6
7 Em vista de: COQ-86 Métodos Numéricos para Sistemas Algébricos e Diferenciais o Período de 04 d t t t λtcos t d t sen λ t t λ t t, resultando finalmente no sistema de equações: d t d t sen t cos t t cos t d t d t cos t sen t t sen t sistema análogo ao obtido na Primeira Forma, desta forma apresentará a mesma solução,! Assim: d t t t t t cos para 0 d sen t d t t cos t v t sen t Permitindo calcular: e t sen t d t v t cos t 7
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