Estudo das Características de Distorção Não Linear de Intermodulação de Desmoduladores de FM por PLL

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1 REVISTA O ETUA, VOL., Nº 5, JANEIRO Esuo as Caracríscas sorção Não Lnar Inrmoulação smoulaors FM por PLL Nuno Borgs Carvalho, Raqul Casro Maurra, José Carlos Pro Rsumo- A sorção não lnar um smoulaor FM por PLL, é suaa usano uma aproxmação por sérs Volrra. Esa écnca prm analsar o ssma não lnar no omíno a frquênca suo a snas prócos, não prócos alaóros. O suo as não lnaras consrará, o VCO o cor fas (P, não lnars. Propõ-s ana, uma hpós lnarzação para s ssma. Absrac- Th nonlnar soron of a PLL frquncy scrmnaor s arss usng h Volrra Srs approach. Th analyss, ma nrly n h frquncy oman, allows soron calculaons for proc an nonproc ss of scr xcaon frquncs (harmonc an nrmoulaon soron up o r orr an ranom npus. I also nclus, smulanously, h wo maor sourcs of soron n a PLL: Phas cor an VCO. In acon a mho for rucon of non-lnar soron s nvsga. I. MOTIVAÇÃO Um os possívs cnáros para fuuras rs móvs, basa-s num lvao númro células pqunas mnsõs suporaas por mssors rcpors, nomnaos Esação-Bas. Esas srão pos lgaas à r m nós, Esação-Cnral, qu, por razõs rnabla, vrão concnrar o máxmo funçõs. Nsa suação as Esaçõs-Bas srão somn consuías por um mssor rcpor, não fazno qualqur procssamno bana bas ou smoulação. Iso sgnfca qu no camnho nr a Esação-Cnral a Esação-Bas concnra-s um lvao númro canas, corrsponno a caa um uma cra frquênca poraora (FM. Uma as mas mporans svanagns s ssma é a sorção não lnar nrmoulação qu provoca nrfrênca nr canas snos. Esa sorção po sr arbuía, funamnalmn, ao procsso moulação amplu a luz no íoo LASER, qu lumna a fbra ópca, consun o supor físco a lgação. Uma forma anuar s fnómno conss m subsur o snal no formao FM por um moulao m frquênca, FM, qu, não no amplu varávl, é mas nsnsívl aqul po sorção não lnar. A svanagm a FM rs na sua maor complxa,, por ouro lao, nas não lnaras rsuas o moulaor, um VCO (Volag Conroll Oscllaor o smoulaor, uma PLL (Phas Lock Loop. II. INTROUÇÃO As PLL s, são xnsvamn ulzaas como scrmnaors frquênca, vo ao acrsco valor o lmar a rlação snal-ruío[], razão pla qual, o su smpnho ns po ulzação á fo suao por város auors[-6]. ss rabalhos, apnas a análs VanTrs[], fo ralzaa usano a écnca as sérs Volrra. Esa écnca prm o raamno a sorção harmónca nrmoulação um snal spcro frquêncas arbráro, s ncssáro, m prsnça ruío. No-s qu a écnca balanço harmónco ulzaa por Takahash[6], qu é uma écnca híbra mpo frquênca, fo apnas snvolva para snas prócos. Oura vanagm as sérs Volrra, conss na obnção soluçõs analícas fchaas, o qu rprsna, claramn, uma mlhora rlavamn a ouras écncas análs não lnar. Por ouro lao, é rconhco qu o su maor nconvnn corr os laborosos cálculos ncssáros[7,8]. A assocação s áruo rabalho com a xpansão m sér Taylor as funçõs caracríscas o P VCO, orna sa análs naquaa à prvsão o comporamno não lnar orns suprors à ª, o qu, normalmn, ambém não é ncssáro m ssmas ras. O suo raao ns argo é, sguno o nosso conhcmno, uma xnsão a ouros rabalhos, pos nclu uma compla análs o molo a PLL, consrano o cor fas o VCO ambos não lnars. As Funçõs Transfrênca Não Lnars, FTNL, prmra, sguna rcra orns calculaas, são pos ulzaas para prvr a sorção não lnar nrmoulação. Os rsulaos assm obos são comparaos com smulaçõs no omíno o mpo, ulzano o SIMULAB[9], forma a avalar a vala o méoo. Com bas nssas FTNL s são calculaas as FTNL s os blocos m cascaa, moulaor smoulaor, Par s rabalho fo nsro no âmbo a scplna proco[].

2 98 REVISTA O ETUA, VOL. 4, Nº 5, JANEIRO 996 nfrno assm conclusõs acrca a possbla lnarzação oo o ssma ransmssão FM. III. MOELO NÃO LINEAR A PLL A monagm a PLL como smoulaor FM é aprsnaa na Fg.. Consra-s qu o cor fas po sr scro por V g(θ ; o flro a malha é passvo ou acvo, mas lnar, com rsposa mpulsonal f( função ransfrênca F(s, o VCO aprsna uma frquênca saía, Ω, qu pn nsananamn a nsão, aprsnaa à sua nraa, V, sguno a l : Ω x(v. Θ( Θ( cor Fas V ( Flro a g(θ ( Malha f( Θo( Ωo VCO x(v( Fg. - Molo a PLL. V ( Para s aplcar a écnca as sérs Volrra, é ncssáro compor m sér Taylor, à vola algum pono rpouso (Θ Q,V Q, as funçõs g(θ x(v. ss moo, obêm-s para o cor fas: V ( Θ, ΘQ g( ΘQ ( Θ ( Θ ( ΘQ g ( Θ ΘQ Θ ( Θ ΘQ g! Θ ( Θ ΘQ g! Θ Ou, m rmos uma nsão ncrmnal, v V (Θ,Θ Q - g(θ Q, rro fas θ Θ -Θ Q : Θ Θ Q Q Θ Q ( v θ c θ c θ c θ ( gual moo, para o VCO obêm-s: ( V, V Q x( V Q x V Ω V ω Q Q V Q ( V VQ x V ( V VQ! V V x V ( V V Q! V V ( v v v v, (4 on as varávs ncrmnas são fnas como ω Ω (V,V Q -x(v Q v V -V Q. A rmnação c K K m ( (4 rqur o conhcmno o sao rpouso a PLL: ( θ Q, V Q. Quano o VCO m sgur rmnaa frquênca nraa, Ω, ncssa uma nsão sáca conrolo V x Ω Ω, para a qual um rro fas Q oc V Q x Ω Ω oc ΘQ g g v xsr. F( F( Por xmplo, quano um cor fas é um msuraor analógco com uma função ransfrênca snusoal, V K sn( Θ, o VCO m uma frquênca lvr, Ω, não ( Ω Ω x oc ΘQ arcsn, qu não é mas o qu o K F su pono sáco. Porqu o comporamno nâmco a PLL é scro mas convnnmn m rmos fas nraa o qu m rmos frquênca, a passagm frquênca para fas é maa, srá sa a aboragm a ulzar ns argo. O comporamno nâmco a PLL, qu rlacona a fas saía ncrmnal θ (, rro fas θ ( ou nsão saía v (, com fas nraa θ (, po sr rcamn rmnao no omíno mporal, como um ssma quaçõs ngras não lnars: v( v( f( τ v( τ τ f τ c θ τ c θ τ c θ τ τ [ ] ( ( ( (5 θ θ θ, (6 [ ] θ v u v u v u u. (7 Quano a fas nraa no omíno a frquênca, po sr rprsnaa por uma soma snusós a forma: Q ωq θ( Θ s, q. (8 qq q a ora Volrra-Wnr[7,8], z qu a nsão saía po sr oba pla sgun sér funçõs sgun: N ( n v ( v (, (9 n On a nsão saía não lnar n ésma orm é aa por:

3 REVISTA O ETUA, VOL., Nº 5, JANEIRO ( n ( v Q Q n Θsq, Θ sq, n q Q q Q ( n ( ωq... ωqn ωq,..., ωqn n ( Sno assm, a rsposa o ssma n ésma orm é complamn nfcaa pla função ransfrênca não lnar n ésma orm ( n ( ωq,..., ωqn. Um os méoos ulzaos para calcular as sucssvas ( ω ω n q qn,..., é conhco como méoo prova (harmonc npu ou probng mho[7,8]. Esa é a écnca ulzaa nas próxmas scçõs para o cálculo a rsposa orm n o ssma: ( n ( n v ( n ( s... sn! ( s,..., sn, ( quano a nraa é uma soma xponncas complxas o po: s s θ n.... ( IV. CÁLCULO AS FUNÇÕES E TRANSFERÊNCIA NÃO LINEARES O SISTEMA (FTNL S A. Moulaor (VCO Como moulaor ulza-s um smpls VCO, scro pla função caracrísca (,4.. FTNL ª orm Assum-s uma xcação nraa ª orm s v (, ( procura-s uma saía ª orm: ( ( θ M s ( (s, (4 não, subsuno ( (4 m (7 obém-s : ( M M (s. (5 s Esa xprssão não é mas o qu a função ransfrênca o VCO, rsulan uma análs lnar convnconal.. FTNL ª orm A xcação ª orm é: s s v (, (6 qu prouz uma saía ª orm o po θ ( ( s s (! (s, s M. (7 Por subsução (6 (7 m (7, scolhno apnas os rmos ª orm obém-s: Noa: M, M M corrsponm aos cofcns a xprssão(4 o VCO o moulaor., corrsponm aos cofcns a xprssão (4 o VCO o smoulaor. M M (s, s. (8 s s. FTNL ª orm Para a ª orm, m-s como xcação nraa: s s s v (, (9 qu prouz uma saía: θ ( ( s s s (! (s, s, s M. ( gual moo, por subsução (9 ( m (7, scolhno os rmos ª orm obém-s: ( M M (s, s, s. ( s s s B. smoulaor (PLL Como smoulaor FM ulza-s uma PLL, na confguração a Fg... FTNL ª orm moo smlar ao sguo para o moulaor, ulza-s uma xcação nraa: s θ (, ( procurano rmos saía o po ( s v ( ( ( s ( Obém-s, por subsução ( ( m (5-(7, a xprssão para FTNL ªorm : ( scfs ( s. ( s cf( s qu s rconhc como a xprssão rsulan uma écnca lnar análs.. FTNL ª orm Novamn, usano uma xcação s s θ ( (4 prnno obr rmos m: ( v ( s s ( s s!,, (5 subsu-s (4 (5 m (5-(7 rsulano para FTNL ª orm: ( s s F( s s ( s s [, c s s c F s s ( ( ( s ( s c ss ( ( ( s ( s (6 c s s c ( ( s s

4 4 REVISTA O ETUA, VOL. 4, Nº 5, JANEIRO 996. FTNL ª orm Para a ª orm a xcação é: s s s θ (7 procurano-s rmos a forma: v ( s s s ( s s s!,, (8 novo, subsuno (7 (8 m (5-(7, m-s para FTNL ª orm: c.78v/ra c -.5V/ra c -.V/ra.4Mra/(Vs -49.4Kra/(V s 97.8ra/(V s Para flro a malha scolhu-s um flro RC pólo únco: Fs src, ( o qual m uma frquênca cor ω c 5Kra/s mpõ uma frquênca naural ω n 5.Kra/s na PLL. vo aos conhcos problmas os smulaors no omíno o mpo no raamno frquêncas não comnsurávs, lmamos as nossas comparaçõs à ( s s s F( s s s c ( ( s s s (,, ( s s s s c Fs s s s s s s, s k k k ( ( ( c s s s ( ( s, s s c c s s s s s ( s sk ( s k c ( s ( s ( s c c k s s s, ( ( ( k k k k c s s s c c s s ( 9 s ( ( ( ( ( ( V. VALIAÇÃO OS RESULTAOS OBTIOS PARA AS FTNL S Por forma a analsar os rsulaos obos para as FTNL s, no smpnho a PLL, mplmnou-s um programa basao na lnguagm MATLAB[9], qu ulza as xprssõs as FTNL uzas. Usano valors para a xpansão m sér Taylor o P VCO, obos por va xprmnal, calcularam-s valors para a sorção não lnar o ssma moulaor smoulaor. Para valar ss rsulaos compararam-s com ouros calculaos usano um smulaor qu usa écncas análs no omíno o mpo, SIMULAB[9]. Fo ulzao um cor fas, P, snusoal com K.79V/ra um VCO basao num crcuo LC, frquênca cnral f Mz K.4Mra/(Vs. Com vsa a uma maor gnrala, assumu-s qu a frquênca cnral o VCO moulaor ra lgramn frn, Δf.9Kz. Usano s pono sáco obvram-s para parâmros não lnars ( (4: sorção harmónca. Ns caso, como moulaor, ulzamos um VCO lnar, moo a obsrvar a sorção nrouza plo smoulaor FM por PLL. As fguras Fg( a Fg(4 rprsnam os rsulaos a ª, ª ª harmóncas nsão (BV m função a nsão nraa (BV. Ess rsulaos foram snos aé V.6V, pono para o qual a PLL comça a prr sncronsmo, o qual po sr consrao como o nívl aé ao qual a PLL srv como smoulaor FM. a obsrvação sas fguras po conclur-s qu a aplcação as sérs Volrra, é prfamn usfcávl m quas oa a gama ulzação, xcpo para a zona supror nívs a ª harmónca. Iso sgnfca qu os maors problmas as sérs Volrra aprsnaos na nroução, não são muo svros. As fguras, Fg(5 a Fg(7, aprsnam a ª, ª ª orm sorção harmónca m orm à frquênca nraa para uma amplu fxa nraa V.V. A quvalênca nr as uas smulaçõs é agora vn. Es rsulaos, assocaos ao faco as FTNL s srm Fxou-s a frquênca xcação m Kz.

5 REVISTA O ETUA, VOL., Nº 5, JANEIRO o po forma fchaa,, m consquênca, compuaconalmn muo mas fcns, monsram a ula, o uso as écncas sérs Volrra na análs o comporamno não lnar PLL s. Vou(BV Vn(BV - -5 Volrra Smulnk Fg. - Comparação a funamnal a nsão saía usano smulação por Volrra no omíno o mpo. Vou(BV Volrra Smulnk -6,,4,6,8,,4,6 Fg. 6 - Comparação a ª harmónca a nsão saía m orm à frquênca usano smulação por Volrra no omíno o mpo - B Vn(BV - -5 Volrra Smulnk - Volrra Smulnk,,4,6,8,,4,6 W/Wn Fg. 7 - Comparação a ª harmónca a nsão saía m orm à frquênca usano smulação por Volrra no omíno o mpo VI. LINEARIZAÇÃO O SISTEMA Fg. - Comparação a ª harmónca a nsão saía usano smulação por Volrra no omíno o mpo Vou(BV Vn(BV - -5 Volrra Smulnk Fg. 4 - Comparação a ª harmónca a nsão saía usano smulação por Volrra no omíno o mpo B Volrra Smulnk -4,,4,6,8,,4,6 W/Wn Fg. 5 - Comparação a funamnal a nsão saía m orm à frquênca usano smulação por Volrra no omíno o mpo Consr-s os blocos (A B não lnars m cascaa. Ulzano o méoo prova, obém-s para as xprssõs não lnars ª, ª ª orm, as sguns xprssõs: T (s A (s. B (s; T (s,s A (s,s. B (s s A (s. A (s. B (s,s T (s,s,s B (s,s,s A (s A (s A (s / B (s,s s. A (s. A (s,s / B (s,s s. A (s. A (s,s / B (s,s s. A (s. A (s,s B (s s s A (s,s,s. Como s po obsrvar plas xprssõs anrors, a xprssão o º opraor não lnar, é basan complxa, msmo nsa sua forma mas smpls. Um suo ralzao m bas m smulaçõs (Fg.8 rvlou, como rso á hava so afrmao por ouros auors, para a suação P VCO não lnars mas não smulânos[], qu as não lnaras assocaas à caracrísca snusoal o P, são rmnans na rsposa ª orm PLL s com VCO s normalmn ulzaos na práca.

6 4 REVISTA O ETUA, VOL. 4, Nº 5, JANEIRO 996 Fg. 8 - Comparação a sorção harmónca não lnar ª orm nr P lnar P não lnar. Assm, s s vsa lnarzar o ssma ransmssão, sá claro qu a prmra cosa a fazr é subsur o P snusoal por um rangular. Ns caso c c uma solução analíca mnos complxa a cascaa é á possívl. A. VCO s não lnars, P lnar Num ssma ransmssão FM com VCO PLL sra sprar qu, qualavamn, o ssma foss lnar s VCO M VCO fossm guas. Com fo, a conção sncronsmo a PLL mpõ qu, para caa svo frquênca, a PLL é obrgaa a snvolvr uma nsão saía xacamn gual, m caa nsan, à nsão nraa aplcaa ao VCO moulaor. Com sa a m mn, calcularam-s as FTNL s os os blocos m cascaa, obno-s para ª, ª ª FTNL oas as sguns xprssõs: c MFs ( s, ( s c F( s, M ( M ( s s ( s s M ( ( ( M (,, ( s s s s s M ( ( [ ( (, s ( s, s ( ( (, ]} s M ( ( ( s M ( ( Por obsrvação as xprssõs anrors, conclu-s qu o ssma é lnarzao para: M, M, M Confrma-s assm qu a a orgnal é vála, apsar s r obcr às sguns mposçõs: ( (, lnarzação ª orm; ( ( (, lnarzação ª orm. Para s obr ( ( ( s, ( (s m obcr às sguns conçõs: ( ( ( ( º S s consrar qu s s, não: ( ( ( ( ( ( s º º Plo qu, para s obr a lnarzação oal, ou sa ( (s,s, v-s r ( ( s º. O msmo s vrfca quano s prn a lnarzação ª orm. Para s conablzar a nfluênca pqunos svos a ( conção al, consrou-s qu: ( s ( δ θº, com δ um pquno svo a una θ um pquno svo º. Obv-s assm para a sorção ª orm, consrano s s, a mnos um facor scala: ( ( ( δ θ ( δ cos( θ ( δ sn( θ A xprssão anror, supõ qu s δ«> (-δ -δ. O rsulao é assm: ( ( ( s ( s [ ( δ cos( θ ] ( δ sn( θ [ ] Varano agora δ θ obv-s: δ B θº ( ( ( s ( s - B -9.4 B B -9.8 B B -.9 B. -4 B.5 - B. -4 B.5 B 9 6 B Como s po obsrvar pla abla acma, ano uma pquna varação δ como θ, orna sa écnca lnarzação núl. Iso porqu um svo ão pquno Por lnarzação nna-s um aumno a rlação nr a poraora nrmoulação rlavamn ao caso m qu o VCO M é não lnar a ( ( PLL é lnar M, s ( s s. M

7 REVISTA O ETUA, VOL., Nº 5, JANEIRO como δ.b provoca uma lnarzação apnas 4B, um araso fas 5º, uma lnarzação apnas 5B. Porano, o obcvo a angr, moo a mlhorar a fcáca o méoo, é ornar o opraor não lnar ª orm unáro com fas º, na gama frquêncas nrss. Como a fas a FTNL ª orm é basan pnn o flro a malha, srá ralzao, a sgur, um suo comparavo város flros, usaos normalmn m PLL s. Como rfrêncas comparação usam-s uas suaçõs snas, uma com o VCO M lnar a PLL não lnar, oura com o VCO M não lnar a PLL lnar. Com sas uas conçõs, smulam-s as suaçõs mas crícas m qu os VCO s são mas frns. B. Análs o smpnho a lnarzação por ulzação frns pos flros Consr-s o flro F(s o po: As ( z( sz ( szn Fs. Obém-s para a Bs ( p( sp ( spn FTNL ª orm: cas ( z ( s z n ( s Bs( sp ( s p n ca( sz ( sz n Como s po obsrvar pla xprssão anror, s o rmo Bs( sp ( spn «ca( sz ( szn, não ang-s o prno, qu é a conção na qual a FTNL ª orm m móulo unáro fas nula. Parcularza-s agora para frns pos flros, scolhos nr os mas usuas m PLL s.. Flro pólo únco Consrano um flro o po: A Fs, não: Bsp ( ca c AB ( s Bs s p c A s p s c A B as xprssõs anrors rra-s o valor ωn c A ξωn p. Consrano A/B uma B consan K (flro passvo, chga-s à conclusão qu apnas s consgu conrolar ξ, prno-s o conrolo ω n, para c fxos, fcano assm com uma largura bana fxa. Porano, o conrolo ξ, moo a não s r pco a rsposa na frquênca assm obr uma caracrísca o mas plana possívl, aprsna como svanagm, ns po flro, uma largura bana fxa.. Flro pólo-zro A função ransfrênca s flro é: As ( z Fs, obno - s: Bsp casz ( s Bs( s p ca( sz csab cz AB s s p c A B c z A B Novamn, consrano A/B consan, obém-s para ωn cz K ξωn p ck. Com s flro á é possívl conrolar npnnmn a largura bana, alrano a posção z, o facor amorcmno, alrano p. Mas, como s po obsrvar plos gráfcos (Fg.9, s flro prouz ana, na gama frquêncas saa, um araso fas consrávl. Em rsumo, s flro fornc ω n ξ conrolávs, mas m o msmo problma araso fas o anror.. Flro pólo zro, com pólo m C Asz Fs, não: Bs ( casz ( s Bs c A sz ( z c ABs s c A B sz plo qu ωn cz A ξω c A n. B B Ns caso po-s alrar ω n varano a posção z. E, por conrolo A/B, pos s flro é acvo, alrar o valor ξ, moo a obr-s o ganho mas plano possívl na gama frquêncas prna. O problma o araso fas é mnorao por ulzação s po flro, pos não xs nnhum rmo no nomnaor, além o s, qu sa frn o numraor. Vrfca-s assm, mas faclmn, a conção lnarzação Bs «c A s z anrormn uza. 4. Consraçõs. Foram fas váras smulaçõs para os os úlmos flros suaos. snharam-s alguns gráfcos para mlhor nrprar os rsulaos (Fg.9-Fg.4. Pla análs ss, obsrva-s qu o mlhor rsulao para a sorção não lnar nrmoulação, s obém para f -f. Ns caso, quano f f os facors as xprssõs,, ransformam-s m: s s s s. Como s po vrfcar, a alração é apnas va a varaçõs δ não θ. Pla comparação nr os gráfcos

8 44 REVISTA O ETUA, VOL. 4, Nº 5, JANEIRO 996 rprsnavos os frns flros, obsrva-s qu o º flro é o qu aprsna mlhors rsulaos numa gama frquêncas qu s sn aé ω n. Aí pom consgur-s mlhoras suprors a 5Bc, para a rlação snal sorção ªorm. Quano à sorção ª orm, a nossa anção bruçou-s prfrncalmn sobr as componns à frquênca f -f, f -f, pos para um ssma bana moulaa, são as úncas componns nrmoulação qu cam nro a bana. Ns caso, moo smlhan ao á vrfcao para a ª orm, consgu-s o mlhor rsulao para o º flro, m qu mlhoras rlação snal sorção crca Bc são possívs a ω n. Fg. - FTNL para flro pólo-zro, com pólo m C. Fg. - FTNL ª orm, componn m f-f, para flro pólo-zro, com pólo m C. Fg. 9 - FTNL ª orm, para flro pólo-zro. Fg. 4 - FTNL ª orm, componn m f-f, com flro pólo-zro, com pólo a C. Fg. - FTNL ª orm, à componn f-f, para flro pólo-zro. Fg. - FTNL ª orm, à componn f-f, para flro pólo-zro. C. VCO s lnars P não lnar Apsar oa a análs anror r so calculaa consrano o cor fas lnar, vrfca-s qu a a qualava ncal lnarzação é vála, msmo qu o cor fas sa não lnar, como s monsra ulzano as xprssõs sguns. S consrarmos os VCO s guas lnars, o cor fas não lnar, obêm-s: lm ( s s ω lm, s s ω c c c c

9 REVISTA O ETUA, VOL., Nº 5, JANEIRO (, lm, s s c s ω T c s (, k k k c c s (, k k k Esá não orcamn provao, qu s consgu lnarzar um ssma moulaor, VCO, smoulaor, PLL, s qu os VCO s sam xacamn guas ω, pos é nssa suação qu o cor fas não m nfluênca na sorção não lnar a FTNL ª orm m móulo unáro fas nula. VII. CONCLUSÕES No níco s rabalho fo proposa a molação não lnar um ssma moulação/smoulação FM, por VCO PLL. Angram-s ss obcvos, confronaram-s os sus rsulaos com os obos, usano um smulaor o omíno o mpo. Vrfcou-s qu a ulzação sérs Volrra é prfamn usfcávl, sno ana mas fcn vo à sua forma fchaa. Aprovano as poncalas proporconaas plo po solução analíca nconraa, nvsgou-s, ana, a possbla lnarzação um ssma moulação, smoulação, FM por PLL, basaa na a qualava a ulzação os VCO s guas. Conclu-s qu, fcvamn, a ulzação os VCO s guas, lnarza o ssma, s qu a rsposa a PLL cumpra algumas conçõs. Vrfcou-s ana, qu a a orgnal, ambém é vála para cors fas não lnars, quano ω. Por análs város flros malha conclu-s qu o flro pólo-zro com pólo a C, é aqul qu fornc mlhors rsulaos aé uma gama frquêncas ω n. Consgum-s assm, obr mlhoras a rlação poraora sorção suprors a 5Bc para a ª orm, Bc para a ª orm, aé frquêncas pro ω n. REFERÊNCIAS [] Nuno Borgs Carvalho Raqul Casro Maurra, Rlaóro a scplna Proco o 5ºAno, 994/995. []. Schllng an M. Smrlock, "Inrmoulaon soron of a Phas Lock Loop moulaor", IEEE Trans. on Communcaons Tchnology, Vol. COM-5, No., pp.-8, Aprl 967. []. Van Trs, "Funconal Tchnqus for h Analyss of h Nonlnar Bhavor of Phas-Lock Loop", Proc. IEEE, Vol. 5, pp.894-9, Aug [4] J. Klappr an J. Frankl, Phas-Lock an Frquncy Fback Sysms, Nw York: Acamc, 97. [5] A. Blanchar, Phas-Lock Loops - Applcaon o Cohrn Rcvr sgn, John Wly & Sons, Inc., 976. [6] Y. Takahash an. Ohmor, "armonc soron of a PLL FM moulaor for Proc Sgnals", IEEE Trans. on Communcaons, Vol. COM-8, No. 9, pp , Sp. 98. [7] S. Maas, Nonlnar Mcrowav Crcus, Arch ous, Inc., Norwoo, MA, 988. [8]. Wnr an J. Spna, Snusoal Analyss an Mollng of Wakly Nonlnar Crcus, Van Nosran, NY, 98. [9] Smulab Usr s Gu, Th Mah Works, Inc., Nack, MA, c. 99.