Estudo das Características de Distorção Não Linear de Intermodulação de Desmoduladores de FM por PLL

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1 REVISTA O ETUA, VOL., Nº 5, JANEIRO Euo a Caracríca orção Não Lnar Inrmoulação moulaor FM por PLL Nuno Borg Carvalho, Raqul Caro Maurra, Joé Carlo Pro Rumo- A orção não lnar um moulaor FM por PLL, é uaa uano uma aproxmação por ér Volrra. Ea écnca prm analar o ma não lnar no omíno a frquênca uo a na próco, não próco alaóro. O uo a não lnara conrará, o VCO o cor fa (P, não lnar. Propõ- ana, uma hpó lnarzação para ma. Abrac- Th nonlnar oron of a PLL frquncy crmnaor ar ung h Volrra Sr approach. Th analy, ma nrly n h frquncy oman, allow oron calculaon for proc an nonproc of cr xcaon frqunc (harmonc an nrmoulaon oron up o r orr an ranom npu. I alo nclu, mulanouly, h wo maor ourc of oron n a PLL: Pha cor an VCO. In acon a mho for rucon of non-lnar oron nvga. I. MOTIVAÇÃO Um o poív cnáro para fuura r móv, baa- num lvao númro célula pquna mnõ uporaa por mor rcpor, nomnao Eação-Ba. Ea rão po lgaa à r m nó, Eação-Cnral, qu, por razõ rnabla, vrão concnrar o máxmo funçõ. Na uação a Eaçõ-Ba rão omn conuía por um mor rcpor, não fazno qualqur procamno bana ba ou moulação. Io gnfca qu no camnho nr a Eação-Cnral a Eação-Ba concnra- um lvao númro cana, corrponno a caa um uma cra frquênca poraora (FM. Uma a ma mporan vanagn ma é a orção não lnar nrmoulação qu provoca nrfrênca nr cana no. Ea orção po r arbuía, funamnalmn, ao proco moulação amplu a luz no íoo LASER, qu lumna a fbra ópca, conun o upor fíco a lgação. Uma forma anuar fnómno con m ubur o nal no formao FM por um moulao m frquênca, FM, qu, não no amplu varávl, é ma nnívl aqul po orção não lnar. A vanagm a FM r na ua maor complxa,, por ouro lao, na não lnara rua o moulaor, um VCO (Volag Conroll Ocllaor o moulaor, uma PLL (Pha Lock Loop. II. INTROUÇÃO A PLL, ão xnvamn ulzaa como crmnaor frquênca, vo ao acrco valor o lmar a rlação nal-ruío[], razão pla qual, o u mpnho n po ulzação á fo uao por váro auor[-6]. rabalho, apna a anál VanTr[], fo ralzaa uano a écnca a ér Volrra. Ea écnca prm o raamno a orção harmónca nrmoulação um nal pcro frquênca arbráro, ncáro, m prnça ruío. No- qu a écnca balanço harmónco ulzaa por Takahah[6], qu é uma écnca híbra mpo frquênca, fo apna nvolva para na próco. Oura vanagm a ér Volrra, con na obnção oluçõ analíca fchaa, o qu rprna, claramn, uma mlhora rlavamn a oura écnca anál não lnar. Por ouro lao, é rconhco qu o u maor nconvnn corr o laboroo cálculo ncáro[7,8]. A aocação áruo rabalho com a xpanão m ér Taylor a funçõ caracríca o P VCO, orna a anál naquaa à prvão o comporamno não lnar orn upror à ª, o qu, normalmn, ambém não é ncáro m ma ra. O uo raao n argo é, guno o noo conhcmno, uma xnão a ouro rabalho, po nclu uma compla anál o molo a PLL, conrano o cor fa o VCO ambo não lnar. A Funçõ Tranfrênca Não Lnar, FTNL, prmra, guna rcra orn calculaa, ão po ulzaa para prvr a orção não lnar nrmoulação. O rulao am obo ão comparao com mulaçõ no omíno o mpo, ulzano o SIMULAB[9], forma a avalar a vala o méoo. Com ba na FTNL ão calculaa a FTNL o bloco m cacaa, moulaor moulaor, nfrno am concluõ acrca a pobla lnarzação oo o ma ranmão FM. Par rabalho fo nro no âmbo a cplna proco[].

2 98 REVISTA O ETUA, VOL. 4, Nº 5, JANEIRO 996 III. MOELO NÃO LINEAR A PLL A monagm a PLL como moulaor FM é aprnaa na Fg.. Conra- qu o cor fa po r cro por V g(θ ; o flro a malha é pavo ou acvo, ma lnar, com rpoa mpulonal f( função ranfrênca F(, o VCO aprna uma frquênca aía, Ω, qu pn nananamn a não, aprnaa à ua nraa, V, guno a l : Ω x(v. Θ( Θ( cor Fa V ( Flro a g(θ ( Malha f( Θo( Ωo VCO x(v( Fg. - Molo a PLL. V ( Para aplcar a écnca a ér Volrra, é ncáro compor m ér Taylor, à vola algum pono rpouo (Θ Q,V Q, a funçõ g(θ x(v. moo, obêm- para o cor fa: V ( Θ, ΘQ g( ΘQ ( Θ ( Θ ( ΘQ g ( Θ ΘQ Θ ( Θ ΘQ g! Θ ( Θ ΘQ g! Θ Ou, m rmo uma não ncrmnal, v V (Θ,Θ Q - g(θ Q, rro fa θ Θ -Θ Q : v( θ cθ cθ cθ ( gual moo, para o VCO obêm-: x( V Ω ( V, V Q x( V Q ( V VQ V V ω Θ Θ Q Q x V ( V VQ! V V Q x V V VQ! V V Q Θ Q Q ( ( v v v v, (4 on a varáv ncrmna ão fna como ω Ω (V,V Q -x(v Q v V -V Q. A rmnação c K K m ( (4 rqur o conhcmno o ao rpouo a PLL: ( θ Q, V Q. Quano o VCO m gur rmnaa frquênca nraa, Ω, nca uma não áca conrolo VQ x Ω Ω oc, para a qual um rro fa V Q x ( Ω Ω oc ΘQ g g v xr. F( F( Por xmplo, quano um cor fa é um muraor analógco com uma função ranfrênca nuoal, V K n( Θ, o VCO m uma frquênca lvr, Ω, não ( Ω Ω x oc ΘQ arcn, qu não é ma o qu o K F u pono áco. Porqu o comporamno nâmco a PLL é cro ma convnnmn m rmo fa nraa o qu m rmo frquênca, a paagm frquênca para fa é maa, rá a a aboragm a ulzar n argo. O comporamno nâmco a PLL, qu rlacona a fa aía ncrmnal θ (, rro fa θ ( ou não aía v (, com fa nraa θ (, po r rcamn rmnao no omíno mporal, como um ma quaçõ ngra não lnar: v( v( f( τ v( τ τ f τ c θ τ c θ τ c θ τ τ [ ] ( ( ( (5 θ θ θ, (6 θ ( [ v ( u v ( u v( u ] u. (7 Quano a fa nraa no omíno a frquênca, po r rprnaa por uma oma nuó a forma: Q ωq θ( Θ, q. (8 qq q a ora Volrra-Wnr[7,8], z qu a não aía po r oba pla gun ér funçõ gun: N ( n v ( v (, (9 n On a não aía não lnar n éma orm é aa por:

3 REVISTA O ETUA, VOL., Nº 5, JANEIRO Q Q n v ( n Θq, Θ q, n q Q q Q ( n ( ωq... ωqn ωq,..., ωqn n ( Sno am, a rpoa o ma n éma orm é complamn nfcaa pla função ranfrênca não lnar n éma orm ( n ( ωq,..., ωqn. Um o méoo ulzao para calcular a ucva ( n ( ω q,..., ωqn é conhco como méoo prova (harmonc npu ou probng mho[7,8]. Ea é a écnca ulzaa na próxma cçõ para o cálculo a rpoa orm n o ma: ( n ( ( n v n (... n! (,..., n, ( quano a nraa é uma oma xponnca complxa o po: θ... n. ( ( IV. CÁLCULO AS FUNÇÕES E TRANSFERÊNCIA NÃO LINEARES O SISTEMA (FTNL S A. Moulaor (VCO Como moulaor ulza- um mpl VCO, cro pla função caracríca (,4.. FTNL ª orm Aum- uma xcação nraa ª orm v (, ( procura- uma aía ª orm: ( ( θ ( M (, (4 não, ubuno ( (4 m (7 obém- : ( M M (. (5 Ea xprão não é ma o qu a função ranfrênca o VCO, rulan uma anál lnar convnconal.. FTNL ª orm A xcação ª orm é: v (, (6 qu prouz uma aía ª orm o po θ ( ( (! (, M. (7 Por ubução (6 (7 m (7, colhno apna o rmo ª orm obém-: Noa: M, M M corrponm ao cofcn a xprão(4 o VCO o moulaor., corrponm ao cofcn a xprão (4 o VCO o moulaor. M M (,. (8. FTNL ª orm Para a ª orm, m- como xcação nraa: v (, (9 qu prouz uma aía: θ ( ( (! (,, M. ( gual moo, por ubução (9 ( m (7, colhno o rmo ª orm obém-: ( M M (,,. ( B. moulaor (PLL Como moulaor FM ulza- uma PLL, na confguração a Fg... FTNL ª orm moo mlar ao guo para o moulaor, ulza- uma xcação nraa: θ (, ( ( procurano rmo aía o po v ( ( ( ( Obém-, por ubução ( ( m (5-(7, a xprão para FTNL ªorm : ( ( cf (. ( cf( qu rconhc como a xprão rulan uma écnca lnar anál.. FTNL ª orm Novamn, uano uma xcação θ ( (4 prnno obr rmo m: ( ( v ( (!,, (5 ubu- (4 (5 m (5-(7 rulano para FTNL ª orm: ( F( ( [, c cf ( ( ( ( c ( ( ( ( (6 c ( ( c

4 4 REVISTA O ETUA, VOL. 4, Nº 5, JANEIRO 996. FTNL ª orm Para a ª orm a xcação é: θ ( (7 procurano- rmo a forma: ( ( ( v (! (,, (8 novo, ubuno (7 (8 m (5-(7, m- para FTNL ª orm: c.78v/ra c -.5V/ra c -.V/ra.4Mra/(V -49.4Kra/(V 97.8ra/(V Para flro a malha colhu- um flro RC pólo únco: F ( RC, ( o qual m uma frquênca cor ω c 5Kra/ mpõ uma frquênca naural ω n 5.Kra/ na PLL. vo ao conhco problma o mulaor no omíno o mpo no raamno frquênca não comnuráv, lmamo a noa comparaçõ à ( F( c ( ( (,, ( c F, k k k ( ( ( c ( (, c c ( k ( k c ( ( ( c c k, ( ( ( k k k k c c c ( 9 ( ( ( ( ( ( V. VALIAÇÃO OS RESULTAOS OBTIOS PARA AS FTNL S Por forma a analar o rulao obo para a FTNL, no mpnho a PLL, mplmnou- um programa baao na lnguagm MATLAB[9], qu ulza a xprõ a FTNL uza. Uano valor para a xpanão m ér Taylor o P VCO, obo por va xprmnal, calcularam- valor para a orção não lnar o ma moulaor moulaor. Para valar rulao compararam- com ouro calculao uano um mulaor qu ua écnca anál no omíno o mpo, SIMULAB[9]. Fo ulzao um cor fa, P, nuoal com K.79V/ra um VCO baao num crcuo LC, frquênca cnral f Mz K.4Mra/(V. Com va a uma maor gnrala, aumu- qu a frquênca cnral o VCO moulaor ra lgramn frn, f.9kz. Uano pono áco obvram- para parâmro não lnar ( (4: orção harmónca. N cao, como moulaor, ulzamo um VCO lnar, moo a obrvar a orção nrouza plo moulaor FM por PLL. A fgura Fg( a Fg(4 rprnam o rulao a ª, ª ª harmónca não (BV m função a não nraa (BV. E rulao foram no aé V.6V, pono para o qual a PLL comça a prr ncronmo, o qual po r conrao como o nívl aé ao qual a PLL rv como moulaor FM. a obrvação a fgura po conclur- qu a aplcação a ér Volrra, é prfamn ufcávl m qua oa a gama ulzação, xcpo para a zona upror nív a ª harmónca. Io gnfca qu o maor problma a ér Volrra aprnao na nroução, não ão muo vro. A fgura, Fg(5 a Fg(7, aprnam a ª, ª ª orm orção harmónca m orm à frquênca nraa para uma amplu fxa nraa V.V. A quvalênca nr a ua mulaçõ é agora vn. E rulao, aocao ao faco a FTNL rm Fxou- a frquênca xcação m Kz.

5 REVISTA O ETUA, VOL., Nº 5, JANEIRO o po forma fchaa,, m conquênca, compuaconalmn muo ma fcn, monram a ula, o uo a écnca ér Volrra na anál o comporamno não lnar PLL. Vou(BV Vn(BV - -5 Volrra Smulnk Fg. - Comparação a funamnal a não aía uano mulação por Volrra no omíno o mpo. Vou(BV Volrra Smulnk -6,,4,6,8,,4,6 Fg. 6 - Comparação a ª harmónca a não aía m orm à frquênca uano mulação por Volrra no omíno o mpo - B Vn(BV - -5 Volrra Smulnk Volrra Smulnk -,,4,6,8,,4,6 W/Wn Fg. 7 - Comparação a ª harmónca a não aía m orm à frquênca uano mulação por Volrra no omíno o mpo VI. LINEARIZAÇÃO O SISTEMA Fg. - Comparação a ª harmónca a não aía uano mulação por Volrra no omíno o mpo Vou(BV - -4 Conr- o bloco (A B não lnar m cacaa. Ulzano o méoo prova, obém- para a xprõ não lnar ª, ª ª orm, a gun xprõ: T ( A (. B (; Vn(BV - -5 Volrra Smulnk Fg. 4 - Comparação a ª harmónca a não aía uano mulação por Volrra no omíno o mpo B Volrra Smulnk -4,,4,6,8,,4,6 W/Wn Fg. 5 - Comparação a funamnal a não aía m orm à frquênca uano mulação por Volrra no omíno o mpo T (, A (,. B ( A (. A (. B (, T (,, B (,, A ( A ( A ( / B (,. A (. A (, / B (,. A (. A (, / B (,. A (. A (, B ( A (,,. Como po obrvar pla xprõ anror, a xprão o º opraor não lnar, é baan complxa, mmo na ua forma ma mpl. Um uo ralzao m ba m mulaçõ (Fg.8 rvlou, como ro á hava o afrmao por ouro auor, para a uação P VCO não lnar ma não mulâno[], qu a não lnara aocaa à caracríca nuoal o P, ão rmnan na rpoa ª orm PLL com VCO normalmn ulzao na práca.

6 4 REVISTA O ETUA, VOL. 4, Nº 5, JANEIRO 996 Fg. 8 - Comparação a orção harmónca não lnar ª orm nr P lnar P não lnar. Am, va lnarzar o ma ranmão, á claro qu a prmra coa a fazr é ubur o P nuoal por um rangular. N cao c c uma olução analíca mno complxa a cacaa é á poívl. A. VCO não lnar, P lnar Num ma ranmão FM com VCO PLL ra prar qu, qualavamn, o ma fo lnar VCO M VCO fom gua. Com fo, a conção ncronmo a PLL mpõ qu, para caa vo frquênca, a PLL é obrgaa a nvolvr uma não aía xacamn gual, m caa nan, à não nraa aplcaa ao VCO moulaor. Com a a m mn, calcularam- a FTNL o o bloco m cacaa, obno- para ª, ª ª FTNL oa a gun xprõ: c F (, ( c F( ( M (, M ( M ( ( M ( ( ( M (,, ( M ( ( [ ( (, (, ( ( (, ]} M ( ( ( M ( ( Por obrvação a xprõ anror, conclu- qu o ma é lnarzao para: M, M, M Confrma- am qu a a orgnal é vála, apar r obcr à gun mpoçõ: ( (, lnarzação ª orm; ( ( (, lnarzação ª orm. Para obr ( ( (, ( ( m obcr à gun conçõ: ( ( ( ( º S conrar qu, não: ( ( ( ( º º Plo qu, para obr a lnarzação oal, ou a ( (,, v- r ( ( º. O mmo vrfca quano prn a lnarzação ª orm. Para conablzar a nfluênca pquno vo a ( conção al, conrou- qu: ( ( δ θº, com δ um pquno vo a una θ um pquno vo º. Obv- am para a orção ª orm, conrano, a mno um facor cala: ( ( ( δ θ ( δ co( θ ( δ n( θ A xprão anror, upõ qu δ«> (-δ -δ. O rulao é am: ( ( ( ( [ ( δ co( θ ] ( δ n( θ [ ] Varano agora δ θ obv-: δ B θº ( ( ( ( - B -9.4 B B -9.8 B B -.9 B. -4 B.5 - B. -4 B.5 B 9 6 B Como po obrvar pla abla acma, ano uma pquna varação δ como θ, orna a écnca lnarzação núl. Io porqu um vo ão pquno Por lnarzação nna- um aumno a rlação nr a poraora nrmoulação rlavamn ao cao m qu o VCO M é não lnar a ( ( PLL é lnar M, (. M

7 REVISTA O ETUA, VOL., Nº 5, JANEIRO como δ.b provoca uma lnarzação apna 4B, um arao fa 5º, uma lnarzação apna 5B. Porano, o obcvo a angr, moo a mlhorar a fcáca o méoo, é ornar o opraor não lnar ª orm unáro com fa º, na gama frquênca nr. Como a fa a FTNL ª orm é baan pnn o flro a malha, rá ralzao, a gur, um uo comparavo váro flro, uao normalmn m PLL. Como rfrênca comparação uam- ua uaçõ na, uma com o VCO M lnar a PLL não lnar, oura com o VCO M não lnar a PLL lnar. Com a ua conçõ, mulam- a uaçõ ma críca m qu o VCO ão ma frn. B. Anál o mpnho a lnarzação por ulzação frn po flro Conr- o flro F( o po: A ( z( z ( zn F (. Obém- para a B ( p( p ( pn FTNL ª orm: ca ( z ( z n ( B( p ( pn ca( z ( zn Como po obrvar pla xprão anror, o rmo B( p ( p n «ca( z ( z n, não ang- o prno, qu é a conção na qual a FTNL ª orm m móulo unáro fa nula. Parcularza- agora para frn po flro, colho nr o ma uua m PLL.. Flro pólo únco Conrano um flro o po: A F, não: Bp ( ca c AB ( B p c A p c A B a xprõ anror rra- o valor ωn c A ξωn p. Conrano A/B uma B conan K (flro pavo, chga- à concluão qu apna congu conrolar ξ, prno- o conrolo ω n, para c fxo, fcano am com uma largura bana fxa. Porano, o conrolo ξ, moo a não r pco a rpoa na frquênca am obr uma caracríca o ma plana poívl, aprna como vanagm, n po flro, uma largura bana fxa.. Flro pólo-zro A função ranfrênca flro é: A ( z F, obno - : Bp caz ( B( p c A( z cab cz AB p c A B c z A B Novamn, conrano A/B conan, obém- para ωn cz K ξωn p ck. Com flro á é poívl conrolar npnnmn a largura bana, alrano a poção z, o facor amorcmno, alrano p. Ma, como po obrvar plo gráfco (Fg.9, flro prouz ana, na gama frquênca aa, um arao fa conrávl. Em rumo, flro fornc ω n ξ conroláv, ma m o mmo problma arao fa o anror.. Flro pólo zro, com pólo m C Az F B caz ( B c A z, não: ( z c AB c A B z plo qu ωn cz A ξω c A n. B B N cao po- alrar ω n varano a poção z. E, por conrolo A/B, po flro é acvo, alrar o valor ξ, moo a obr- o ganho ma plano poívl na gama frquênca prna. O problma o arao fa é mnorao por ulzação po flro, po não x nnhum rmo no nomnaor, além o, qu a frn o numraor. Vrfca- am, ma faclmn, a conção lnarzação B «c A z anrormn uza. 4. Conraçõ. Foram fa vára mulaçõ para o o úlmo flro uao. nharam- algun gráfco para mlhor nrprar o rulao (Fg.9-Fg.4. Pla anál, obrva- qu o mlhor rulao para a orção não lnar nrmoulação, obém para f -f. N cao, quano f f o facor a xprõ,, ranformam- m:. Como po vrfcar, a alração é apna va a varaçõ δ não θ. Pla comparação nr o gráfco

8 44 REVISTA O ETUA, VOL. 4, Nº 5, JANEIRO 996 rprnavo o frn flro, obrva- qu o º flro é o qu aprna mlhor rulao numa gama frquênca qu n aé ω n. Aí pom congur- mlhora upror a 5Bc, para a rlação nal orção ªorm. Quano à orção ª orm, a noa anção bruçou- prfrncalmn obr a componn à frquênca f -f, f -f, po para um ma bana moulaa, ão a únca componn nrmoulação qu cam nro a bana. N cao, moo mlhan ao á vrfcao para a ª orm, congu- o mlhor rulao para o º flro, m qu mlhora rlação nal orção crca Bc ão poív a ω n. Fg. - FTNL para flro pólo-zro, com pólo m C. Fg. - FTNL ª orm, componn m f-f, para flro pólo-zro, com pólo m C. Fg. 9 - FTNL ª orm, para flro pólo-zro. Fg. 4 - FTNL ª orm, componn m f-f, com flro pólozro, com pólo a C. Fg. - FTNL ª orm, à componn f-f, para flro pólo-zro. Fg. - FTNL ª orm, à componn f-f, para flro pólo-zro. C. VCO lnar P não lnar Apar oa a anál anror r o calculaa conrano o cor fa lnar, vrfca- qu a a qualava ncal lnarzação é vála, mmo qu o cor fa a não lnar, como monra ulzano a xprõ gun. S conrarmo o VCO gua lnar, o cor fa não lnar, obêm-: lm ( ω lm, ω c c c c

9 REVISTA O ETUA, VOL., Nº 5, JANEIRO (, lm, c ω T c (, k k k c c (, k k k Eá não orcamn provao, qu congu lnarzar um ma moulaor, VCO, moulaor, PLL, qu o VCO am xacamn gua ω, po é na uação qu o cor fa não m nfluênca na orção não lnar a FTNL ª orm m móulo unáro fa nula. VII. CONCLUSÕES No níco rabalho fo propoa a molação não lnar um ma moulação/moulação FM, por VCO PLL. Angram- obcvo, confronaram- o u rulao com o obo, uano um mulaor o omíno o mpo. Vrfcou- qu a ulzação ér Volrra é prfamn ufcávl, no ana ma fcn vo à ua forma fchaa. Aprovano a poncala proporconaa plo po olução analíca nconraa, nvgou-, ana, a pobla lnarzação um ma moulação, moulação, FM por PLL, baaa na a qualava a ulzação o VCO gua. Conclu- qu, fcvamn, a ulzação o VCO gua, lnarza o ma, qu a rpoa a PLL cumpra alguma conçõ. Vrfcou- ana, qu a a orgnal, ambém é vála para cor fa não lnar, quano ω. Por anál váro flro malha conclu- qu o flro pólo-zro com pólo a C, é aqul qu fornc mlhor rulao aé uma gama frquênca ω n. Congum- am, obr mlhora a rlação poraora orção upror a 5Bc para a ª orm, Bc para a ª orm, aé frquênca pro ω n. REFERÊNCIAS [] Nuno Borg Carvalho Raqul Caro Maurra, Rlaóro a cplna Proco o 5ºAno, 994/995. []. Schllng an M. Smrlock, "Inrmoulaon oron of a Pha Lock Loop moulaor", IEEE Tran. on Communcaon Tchnology, Vol. COM-5, No., pp.-8, Aprl 967. []. Van Tr, "Funconal Tchnqu for h Analy of h Nonlnar Bhavor of Pha-Lock Loop", Proc. IEEE, Vol. 5, pp.894-9, Aug [4] J. Klappr an J. Frankl, Pha-Lock an Frquncy Fback Sym, Nw York: Acamc, 97. [5] A. Blanchar, Pha-Lock Loop - Applcaon o Cohrn Rcvr gn, John Wly & Son, Inc., 976. [6] Y. Takahah an. Ohmor, "armonc oron of a PLL FM moulaor for Proc Sgnal", IEEE Tran. on Communcaon, Vol. COM-8, No. 9, pp , Sp. 98. [7] S. Maa, Nonlnar Mcrowav Crcu, Arch ou, Inc., Norwoo, MA, 988. [8]. Wnr an J. Spna, Snuoal Analy an Mollng of Wakly Nonlnar Crcu, Van Noran, NY, 98. [9] Smulab Ur Gu, Th Mah Work, Inc., Nack, MA, c. 99.