MATEMÁTICA 3ª. Série FUNÇÃO MODULAR. 1. Gabarito: d. 2. Gabarito: c + 5. Assim, temos que:

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1 MATEMÁTICA ª. Série FUNÇÃO MODULAR. Gabarito: d f( ) g a + b + c fg ( ) g( ) g( ) f( g ) + Assim, temos que: g f( g )+ + g() f( g() )+ + g f( g )+ + g f( g )+ + De acordo com a cocavidade do gráfico da fução g, temos duas possibilidades: a > a + b + c g c a + b + c a+ b a, b ec g() g a b c a b a < a + b + c g c a + b + c a+ b a, b ec g() a + b + c a+ b g a, b ec abc ( ) ( ) a, b ec abc ( ) ( ) Em qualquer caso, temos que abc.. Gabarito: c a) Icorreta. Como, etão Im(f) R +. b) Icorreta. Cadero de Atividades / Livro do Professor

2 . Se tomarmos, por eemplo, f( ) f( ) f( ) f e, temos: Como < ef > f( ), f ão é uma fução crescete. c) Correta. A fução f ão é sobrejetora, pois Im(f) R + CD(f) R. Vamos verificar se f é ijetora. Sejam e úmeros reais tais que f f. Etão, ( ) f f ou ou + Sejam, log p e log q, ode p > q > e p + q. Temos que: log p log q + + p+ q Portato f( ) f( ) com, ode a fução ão é ijetora. d) Icorreta. Vimos que f ão é ijetora. e) Icorreta.. Logo () f y + y. Gabarito: b Seja A. Etão, + > + Im f. y + y y ou y + y + > + I () + > + ou + < + II Resolvedo cada uma das iequações (I) e (II), temos: () I < + + () () II + + < Fazedo a uião dos dois itervalos: A (, ) A, Agora, seja B. Etão, ( + )> + > > ou ( + )< Portato B R {}. Assim, temos: I VERDADEIRO II FALSO III VERDADEIRO IV FALSO. Gabarito: d 6. + > ou + < O módulo de qualquer úmero real é um valor ão egativo. Portato, a quatidade de úmeros reais que satisfazem a equação é zero. a) f( ) f( ) Se <, etão Se <, etão (ão covém) Se,etão Portato S 9,. ª. Série

3 Matemática 7. b) Graficamete, temos: c) 9 f Do gráfico, temos que: 9 Para temos que f( ) f ( ). 9 Para < < temos que f( ) f ( ). Para temos que f( ) f ( ). y Portato, o valor míimo de f é igual a, como podemos observar o gráfico. f() acotece em dois potos. São eles: 9 Para < <, f( ) f ( ) + (ão covém) ou Para > f( ) f ( ) + 7 ou (ão covém) Portato S, 7. absurdo Portato, o produto das raízes positivas é igual a 8. f f 8. ( + ) ( ) Logo, a soma das raízes é igual a Para <, temos que: + + (ão covém) Para, temos que:, + + [ ] Para >, temos que: + + (ão covém) Portato, a solução é o itervalo [, ].. Para <, temos que: + + < + < >, Para, temos que: + + < + + < >, Para >, temos que: + + < + + < <, Portato S,, ode a soma dos iteiros é dada por ( )+ ( ) Para <, temos que: 7 > > + > 7 7, Para, temos que: 7 > > + + [ ] <, Cadero de Atividades / Livro do Professor

4 Para < < 7 7 > > <, 7 Para 7 7 > + + 7> + + < 7 ão eiste real Portato S 7, 7, ode o produto dos iteiros positivos pertecetes à solução é igual a.. Para : f f Para < : f f ( ) f + Portato, o gráfico tem o seguite aspecto:. Para < f f ( ) f Para f f ( ) f Para f f ( ) f Portato, o gráfico tem o seguite aspecto: GEOMETRIA ANALÍTICA. Gabarito: d A circuferêcia tem cetro o poto O, e raio uitário (r ); A distâcia etre os potos O e P é dada por: + ( ) OP 6 OP. a) Primeiro, observe que: ( dab ) ( ) + ( 7 ) ( dac ) ( 8 ) + ( 6 ) ( d ) ( 8 ) + ( 6 7) BC ( d ) ( d ) + ( d ) AC AB BC O Q Pelo Teorema de Pitágoras, temos que: P t O triâgulo ABC é retâgulo. Portato, o circucetro (poto equidistate aos vértices) é o poto médio da hipoteusa: A C P ,, a) B OP OQ + PQ + PQ PQ 9. Portato a distâcia etre os potos P e Q é igual a 9 A P C R P L R L ª. Série

5 Matemática A medida do diâmetro da circuferêcia é igual à medida da hipoteusa. Logo D. d AC A medida da diagoal do quadrado iscrito essa circuferêcia é igual à medida do diâmetro dessa circuferêcia: L D L L Portato, a área do quadrado é igual a L ( ) L. 6. Gabarito: a Como + + y + y +, temos (, ). que o cetro da circuferêcia é o poto C + + y y ouy + + y Portato, a circuferêcia itersecta o eio das ordeadas os potos A (, ) e B,. Os coeficietes agulares m m m AC BC y y A A B B Portato, m 7. Gabarito: b y y AC C C C C AC mbc. A circuferêcia de equação poto O (, ) e raio. y O P Q S e mbc são dados por: + y tem cetro o h P Seja PM h a medida da altura relativa à hipoteusa do triâgulo retâgulo OPS. Como a abscissa do poto P é, etão OM. Do Teorema de Pitágoras o triâgulo retâgulo OPM, temos: OP PM + OM OP OM PM + PM + 9 PM Os triâgulos OPM e PSM são semelhates: OM PM PM SM OM a a a PM SM a Como a área do quadrilátero OPSQ é o dobro da área do triâgulo OPS, temos: ( ÁreaOPSQ + a) h + 8. Gabarito: d Primeiro, vamos calcular o poto P, que é eatamete o poto em que as retas se itersectam: V: + y 8 + 6y 7 V : + y 7 9y+ e y P, Agora, a distâcia, em km, etre M 6 d M P M P ym y, P M 6, P (, ) dm, P ( ) ( ) (, ) e P + 6 9, : Fialmete, o tempo gasto para ir de M 6, até P (, ). m mi t m t t mi hmi O M a S Cadero de Atividades / Livro do Professor

6 9. Gabarito: c Podemos reescrever a equação da circuferêcia como: 79 + y 8 y y y+ + + ( ) + ( y ), e raio. Assim, a circuferêcia tem cetro C Calculado a distâcia etre P e C, podemos determiar a localização de P. d PC, ( P C) + ( yp yc) P (, ) C (, ) + ( ) dpc, Como >, o poto é eterior à circuferêcia.. Gabarito: d y A (, ) Q b M B (, ) a N P C (8, ) Os triâgulos ABC e QBP são semelhates. Sedo a e b, respectivamete, as medidas da base e da altura do retâgulo MNPQ, temos: a b a 8 b 8 A área do retâgulo MNPQ é dada por: AMNPQ a b AMNPQ ( 8 b) b A b + 8b MNPQ A área do retâgulo MNPQ é máima quado 8 b. Logo, a ordeada do poto P é igual a. Como P está alihado a B e C, temos que: Portato, para que a área do retâgulo seja máima, P,.. Gabarito: e Como os potos O,, P, e Q, ( + ) estão alihados, temos que: + + ou. Como P Q, temos que, ode P, e Q (, ). Etão, a medida PQ é dada por: + ( ( )) PQ PQ Assim, a diagoal do quadrado mede. Seja L o lado do quadrado. Etão, d L d L L Portato, a área do quadrado é igual a L 9.. Gabarito: a O raio da circuferêcia é igual à distâcia do poto C (,) à reta + y. Logo, r + + Assim, a equação da circuferêcia é dada por: ( ) + ( y ) + + y 6y y 6y+. Gabarito: d O coeficiete agular da reta suporte da diagoal AC é dado por: ya yc mac A C Assim, o coeficiete agular da reta suporte da diagoal BD é. A diagoal BD passa pelo poto M, médio de AC: + + M,, 6 ª. Série

7 Matemática Portato, a equação da reta suporte da diagoal BD é dada por: y y O poto em que essa reta itercepta o eio das ordeadas tem abscissa y. Portato, y. Gabarito: b Sejam A e B os potos de iterseção da reta + y 6. com os eios y e, respectivamete. Etão, + y 6 + y 6 y y A(, ) B(, ) Sedo assim, o triâgulo limitado pelos eios coordeados e pela reta + y 6 é o triâgulo retâgulo de vértices A,, B, ec,. Como os catetos medem e, sua hipoteusa mede. Portato, A p r + + r r a) + y y y y y+ ( y)+ y y y ou y Portato, os potos de iterseção são ( ),,, e,. b) A circuferêcia tem cetro C (, ) e raio R. A parábola tem cocavidade para baio, itercepta o eio y em,. e tem raízes iguais a e Portato, o cojuto dos potos que satisfazem as iequações está pitado o gráfico a seguir: y 6. Gabarito: a O cetro da circuferêcia + + y + my é o poto 7. m,. Como a reta passa pelo cetro, temos: y + m m m y para ( )+ Além disso, a circuferêcia passa pelo poto,. Etão: + + y + my m y para ( ) + ( )+ a) Para que a reta correspodete itercepte perpedicularmete o eio y, o coeficiete de deve ser ulo: p p. Portato, a equação da reta é dada por: + ( + ) + + p p y 8p p y Nesse caso, o poto de iterseção com o eio y é (, ). b) O poto A é da forma (, ). Etão, + y+ y A, Com isso, a circuferêcia com diâmetro AO tem cetro o poto ( 6, ) e raio igual a 6. Portato, ( ) + ( ) ( + ) + 6 y 6 6 y 6 Cadero de Atividades / Livro do Professor 7

8 8. Gabarito: d y y y y A, 6 B ( 6, ) O gráfico da fução é o seguite: 9. Portato o poto médio é dado por: M A+ B + 6 +,, a) Seja ( a, b) o cetro e R o raio da circuferêcia. Etão, a equação da circuferêcia é dada por: b) + y k y k + + k. + ( ) a y b R Como A e B pertecem à circuferêcia, temos que: + ( ) a y b R y para y para a + b + a b+ R a + b a b+ + R + ( ) a b R ( a) + ( b) R 6a+ b 6 a+ b Portato, o lugar geométrico é dado pela reta + y. b) O poto C é da forma (, y), com y <. Nesse caso, a área do triâgulo ABC é dada por: 8 y 6 y y y 6 y (ão covém) ou y 6 y Portato C (, ). a) A base e a altura do triâgulo em questão medem t te. Portato, a área do triâgulo é dada por: A t () t t t + t Como a iterseção é somete um poto, devemos ter delta igual a zero: k k. Gabarito: e As retas paralelas à reta + y+ 6 são do tipo + y+ k. Como o raio da circuferêcia é igual a, vamos calcular os valores de k tais que a distâcia do cetro da circuferêcia (poto (, )) até a reta + y+ k seja igual a : + + k + k k ou k Portato, as retas que tageciam a circuferêcia são + y+ e + y. Em cada caso, temos: + y+ y, + y y,. Gabarito: a A reta suporte da altura relativa ao lado AC é perpedicular ao lado AC e passa pelo vértice B. Etão, o coeficiete agular da reta suporte da altura é o iverso e oposto do coeficiete agular da reta AC: m AC y A A y C C mh 6 Portato, a reta suporte da altura é dada por: y ( ) y + 8 ª. Série

9 Matemática Nesse caso, a reta ecotrada itercepta o eio o poto de abscissa dado por: y + y. Gabarito: d Seja, um poto da parábola alihado com os potos A e B. Etão: + Os valores de que satisfazem a equação são as abscissas dos potos R e S. Portato, a soma das abscissas é igual a b 7,. a. Gabarito: e Como, + ( + ), e raio. + y + 6y y temos que a circuferêcia em cetro, Com isso, se a distâcia de um dado poto ao poto, for maior do que, o poto é eterior à circuferêcia. + ( + ) < (iterior) a) + ( + ) b) (pertece) + ( + ) (pertece) c) + ( + ) < (iterior) d) 6 + ( + ) > (eterior) e) 6. Gabarito: a ms mr Logo, a equação da reta r é y +. Além disso, a equação da reta s é dada por: y + y Portato, o poto de iterseção etre as retas é: y + y + 6. Gabarito: c y y Portato o poto P é dado por: y y y Logo, a soma das coordeadas é + y 7. Gabarito: e + y 6 y+ ( ) + ( y ) Etão, a circuferêcia tem cetro (, ) e raio igual a. O poto de ordeada míima está alihado verticalmete com o cetro. Portato, P (, ) (, ), ode m y 7 + ( ) 7 6 y ou ± y (ão covém) Etão A (, ) ec (, ). Logo, y mab Portato, A A y B B + 7 m m tgabc $ AB + m m AB CB CB e m CB y C C y tg9 B B Portato, pela propriedade de arcos complemetares, temos que ABC A equação reduzida da elipse é dada por ( ) a ( y y ) + b Pela figura, vemos que a, b, e y. Cadero de Atividades / Livro do Professor 9

10 Portato, a equação reduzida da elipse é ( ) + 9. Gabarito: a Sedo B o poto simétrico com relação ao eio e C o poto simétrico com relação ao eio y, temos que B, e C,. ( ) Com isso, temos que o coeficiete agular da reta que passa por B e C é yb yc mbc B C + Logo, o coeficiete da reta que passa por A e é perpedicular à reta que passa por B e C é igual a. Portato, a equação da reta que passa por A com coeficiete agular igual a é dada por: y ( ) y 6. Gabarito: b y 7 ( + y) ( y) 7 + y 7 e y y + y 7 e y y + y e y y 7 + y ey y 7 O quadrilátero em questão é um retâgulo com lados paralelos aos eios coordeados e com lados medido 8 e 6. Portato a área do quadrilátero é igual a Gabarito: e t+ t ( y+ )+ y y t t y+ Portato, o coeficiete agular da reta é igual a.. Gabarito: a y+ + y y+ + y y ± ou y Logo, os potos de iterseção são (, ), (, ) e (, ). Portato, a área do triâgulo cujos vértices são esses potos é dada por: A A. Gabarito: b ( ) + ( + ) + y+ y Portato, o cetro é o poto (, ) e o raio é igual a.. Gabarito: c t 6+ t y y t y + Como a reta forma um âgulo de com o eio das abscissas, temos que o coeficiete agular da reta é m tg. Logo t t. 6. Gabarito: b Uma reta com coeficiete agular igual a é do tipo y + k. Como o poto, que: y + k y para pertece à reta, temos + k k Logo, a equação da reta é y +. ( ) + ( y ) 9 ( ) y + y 6 ou y 6 Portato r, s, 6, ode r+ s Gabarito: a Seja M o poto médio da diagoal AC: M A+ C +,, Como ABCD é um paralelogramo, temos que AC e BD se cruzam o poto M. A distâcia BM é dada por: BM ( ) A medida de BD é o dobro de BM. Portato: BD Gabarito: c + y + y y y A(, ) B(, ) ª. Série

11 Matemática O raio da circuferêcia é a metade da distâcia AB: + ( ) AB R O cetro da circuferêcia é o poto médio etre os potos A e B: A B C + + +,, Portato, a equação da circuferêcia é dada por: + ( ) ( ) + ( ) y y 9. Gabarito: b. O cetro da circuferêcia tem ordeada igual a. Logo, a equação reduzida da circuferêcia é da seguite forma: ( a) + (y ) 9 Como a distâcia etre A e B é igual a, temos que A (, ) e B (, ), pois o poto médio etre A e B é o poto (, ). Com isso, temos que: ( a) + ( y ) 9 y para a + 9 a ± Tomado por base o aspecto da figura do euciado, escolhemos a (caso em que o cetro da circuferêcia fica o primeiro quadrate). Portato, a equação reduzida da circuferêcia é dada por: ( ) + ( y ) 9 y. O, a) C : ( ) + ( y ) R C : + y y+ O 6 ( 6) + ( y ) (, ) R b) ( ) + ( y ) ( ) ( 6) ( 6) + ( y ) 7 ( + 6) ( ( 6) ) ( ) + ( y ) 7 + ( y ) y 7 ( y ) ou y + Portato, os potos de iterseção são 7 7,, + e. c) A figura a seguir mostra que o quadrilátero obtido é um losago, cujas diagoais medem 6 e +. A B (, ) (6, ) O P Q Seja B o poto simétrico de B com relação ao eio. Como AP + PB AP + PB, para que AP + PB seja míima, os potos A, P e B devem estar alihados: 8 Portato P,. B Portato a área do quadrilátero (losago) é dada por: A d D A. Gabarito: a Os cetros das circuferêcias são os potos (, ) e (, ). Portato, a área do triâgulo é dada por: A Cadero de Atividades / Livro do Professor

12 . Gabarito: c Os potos equidistates de A e B pertecem à mediatriz do segmeto AB: M A+ B + +,, mab mm + ed med: y ( + ) y Logo, o poto D é da forma,, pois D é equidistate de A e B. O quadrado da distâcia etre C e D em fução de é dada por: d ( ) ( ) + ( 9) d ( ) + + O valor de que miimiza a distâcia (ou o quadrado da distâcia) é dado por: b d míima a Portato, D (, ( ) ) (, 7), ode + y Gabarito: a Os potos A e B são: A, + 9, e B (, + ) 9, Portato, a distâcia etre A e B é igual a: d ( 9 9) + ( ). Gabarito: c Com as coordeadas, é possível calcular a distâcia em fução da uidade do mapa. Etão, D d + d D D BH, FZ FZ, CB + ( ) + ( ) + ( ) 8+ 6 D 76, + 9, D 79, Em uidades, a distâcia percorrida é de 7, 9. Como cada uidade represeta 79 km, temos que a distâcia é, aproimadamete, 7, , km. 6. Gabarito: a () I ( ) + y () I + y () II ( ) + ( y ) () II + y 6 y+ () I () II + y 6 + y Se A e B são os potos de iterseção etre as circuferêcias, etão A e B pertecem à reta + y. Portato, + y é a reta que passa pelos potos de iterseção etre as circuferêcias. ª. Série

13 Matemática 7. Gabarito: b (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Os potos estão alihados a em duas retas paralelas. Assim, é possível eles serem vértices de dois tipos de polígoos: triâgulos e quadriláteros. Serão triâgulos, quado forem usados potos de uma das retas e poto da outra reta. Serão quadriláteros, quado forem usados potos de uma das retas e potos da outra reta. Assim, temos: N C C + C C + C C N N 8 8. Gabarito: c Triâgulos + y 6 y Quadriláteros + 6 Portato a distâcia etre A e B é dada por: d AB 8 y 8 ou 8 y 8 ( 8 8) + ( 8 8) dab 8+ 8 d 8 8 AB 9. Gabarito: a A região delimitada pelas retas é um triâgulo: d 6 d d AB AB AB y y y y + y y + y + y y + A área do triâgulo é dada por: A 6. Gabarito: a y + a b y para y para + a b + a b a b Cadero de Atividades / Livro do Professor

14 Portato, y + a b y a + b y y y Gabarito: a + ( ) + y y+ y Logo, o cetro da circuferêcia é o poto (, ). Qualquer reta paralela à reta y + é do tipo y + k. Logo, y + k y para + k k Portato, a equação da reta é y. 6. Gabarito: d O poto simétrico de A(, ) com relação à origem é B (, ). Logo, o poto simétrico de B (, ), com relação ao eio, é C (, ). Portato, a área do triâgulo ABC é dada por: A 6. Gabarito: c r y A o B O 6 o 6 o o C No triâgulo OAB, temos: o se OA OA OA 6 A (, 6) No triâgulo OBC, temos: o se6 OC OC OC C (, ) Portato, y a+ b y 6 para y para 6 a b + a + b a b 6 y + 6 ª. Série

15 Matemática 6. Se MNPQ são vértices de um paralelogramo, as diagoais MP e NQ se iterceptam os respectivos potos médios. Portato, M+ P N+ Q ( a+ e, + 6) ( c+ g, + ) a+ e c+ g a c g+ e 6. a a+ a+ a a a a a a a a a a+ a+ a a a + a a+ a a a 66. a a Portato, os potos M, N e P são colieares para qualquer valor real de a. ( ) ọ quadrate ; y : + y ọ quadrate ; y : y Portato, a região tem a seguite represetação gráfica: + y y + y y ( ) ọ quadrate ; y : y + y ọ quadrate ; y : y 67. Uma reta que passa pelo poto (, 8) é do tipo: y+ 8 m ( ) y m m 8 A iterseção etre a curva e a reta é dada por: y+ m m 8+ + ( m+ ) ( m + ). Para que a reta seja tagete à curva, a y m m 8 iterseção etre elas deve ser apeas um poto. Para isso, devemos ter delta igual a zero: + ( m+ ) ( m+ ) Portato, a equação da reta é: y m m 8 y 9+ m Seja (, y) ( α+ acos θ, β+ bseθ ). Etão, ( m+ ) + ( m+ ) m + 8m+ 8 m 9 α cosθ α+ acosθ a α y β y β+ bseθ y β + seθ + α y β cos θ se θ + a b a b b Portato, o poto (, y) ( α+ acos θ, β+ bseθ ) pertece à elipse (ou seja, a elipse passa pelo poto). 69. Seja (, y) ( α+ asec θ, β+ btgθ ). Etão, α secθ α+ asecθ a y y β+ btgθ y β a b a tgθ α β α y β sec θ tg θ b b Portato, o poto (, y) ( α+ asec θ, β+ btgθ ) pertece à hipérbole (ou seja, a hipérbole passa pelo poto). Cadero de Atividades / Livro do Professor

16 NÚMEROS COMPLEXOS 7. Gabarito: b z 6 z 6 z Cada raiz complea tem módulo. Etão, a distâcia etre duas raízes diametralmete opostas é. Como duas raízes diametralmete opostas são vértices de uma das diagoais do quadrado, temos que a diagoal mede. 7. Gabarito: a z+ z a+ bi+ a+ bi ( a+ ) + b a + b a + z a+ bi ( a+ ) + b ( a + b ) a + a+ + b a + b a + b a + a a+ + b + a b + b a + b Portato, os valores de z que satisfazem a igualdade determiam uma circuferêcia de cetro o poto (, ) e raio. 7. Gabarito: c i + i + i + i i 6 i+ i + i + i + i+ i + i + i i + i + i + i + i i i soma zero 7. Gabarito: a soma zero soma zero + z i i z i i z i z + i z z 7. Gabarito: d yi + i + yi i yi yi i Igualado as partes real e imagiária, temos: ( y )+ yi + i 7. y y y fz iz iz z iz z z iz z iz z fz () z 6i z 6 ( cos7 + ise7 ) 7 + k k 6 z cos + ise, k, z ( cos + ise ) z + i ou z ( cos + ise ) z i 76. Gabarito: d (), temos que: Pelo gráfico, temos que w cos + ise. Como w z w z ( )+ ise w ( cos + ise cos ( ) ) z [ ] cos ise z + i z i z 6 ª. Série

17 Matemática 77. Gabarito: e z i tg θ tgθ b 6 tgθ a Como θ é um arco do. quadrate, seu cosseo é positivo. Portato, f( θ) cosθ secθ + tg θ 78. Gabarito: a + i b M ( + ) a i a i b ( i ) i a ( i) b ( i ) i ( a+ b)+ i ( a b ) + i detm i a+ b b e a 6 a b 79. Gabarito: c π π π Seja z + i. Como z e argz, temos que z cos + i se. Etão, π π z cos + ise O úmero compleo acima é imagiário puro quado: π π π cos + kπ, k k, k Portato, o meor atural que satisfaz a igualdade é. 8. Gabarito: c Represetado as duas regiões o mesmo plao, temos: A região que represeta a iterseção é: y 8. Gabarito: c Se z pertece ao cojuto ( A \ B) C, etão z pertece ao cojuto C: 6 z + 6z+ z ± z + i ouz i Cadero de Atividades / Livro do Professor 7

18 Agora, basta verificar se + i A \ B e se i A \ B. z + i z+ i + i+ i i < 9 z A 7 z+ i + i + i + i > z B z i z+ i i + i i 7 < 9 z A 7 z+ i i+ i < z B Portato, apeas + i pertece ao cojuto ( A \ B) C. 8. Gabarito: d + i ( cos6 + ise6 ) z z i ( cos + ise ) z cos( 6 )+ ise( 6 ) z cos( )+ ise( ) z cos( )+ ise( ) z cos( )+ ise( ) Re(z) z + i Im( z) Substituido esses valores a epressão, temos: 8. arcse( Re( z) )+ arctg( Im( z) ) arcse + arctg arcse Re( z) arctg Im( z) π π π arcse( Re( z) )+ arctg( Im( z) ) + arcse( Re( z) )+ arctg( Im( z) ) + a) Seja z uma raiz de p de módulo. Como os coeficietes de p são reais, temos que z. Etão, β β β z z z z z z Logo, pz () 8z + βz 7z β p β β β β β β β β β 7 8 β 8 8 β 7 7 Mas para β as outras raízes são z e z, as quais ão têm módulo igual a. 8 8 Veremos o item b) que para β± as outras raízes de fato terão módulo e parte imagiária ão ula. Portato, os possíveis valores de β são e. pz z z z p z z 8z + z+ 8 8 z ou obs : z ± 99i 8 b) β () () 8 pz () π π ª. Série

19 Matemática β pz () 8z z 7z+ p() z 8 z+ 8z z+ 8 8 z pz () ou obs : ± 99i z 8 8. z z z z ( z z) ( z z) ( z z) ( z z) z z z z ( + ) cos se ( cos se ) ( cos cosθ seθseθ + i ( cosθseθ + cosθseθ) ) ( c ( θ+ θ)+ i ( θ+ θ) ) ( z z ) θ + θ ( z )+ ( z ) 8. Sejam z ρ cosθ + iseθ ez ρ cosθ ise θ. Etão z z ρ ( θ + i θ ) ρ θ + i θ z z ρ ρ θ z z ρ ρ os se Portato arg arg arg 86. Seja z cos+ ise. Etão, + z cos+ ise cos ise Por outro lado, z cos+ ise cos icos se i cos se cos + i se + i cosse + i se z ( cos cos se + cosse )+ + i cos se cos se + se Logo, igualado as partes reais, temos que: cos cos cos se + cosse cos cos cos ( cos )+ cos ( cos ) cos 6cos cos + cos z z z z + i + i + i i + i + i tg(arg z) z ( + i) argz z Q cossec( ) 88. Seja z + iy. Etão, z z i + iy + iy i ( ) + y + y + + y + y 6y + 9 y 89. Sejam z + iy ez + iy. Etão, z z + iy ( + iy ) ( )+ i y y ( ) + y y dz z (, ) Cadero de Atividades / Livro do Professor 9

20 NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 9. Gabarito: d 9. M C + i A C, ( + ) C C + i i i+ i 78, + i i 78, % a) Pagado a primeira prestação com um mês de atraso, seu valor terá um acréscimo de %. Logo, o valor corrigido da primeira prestação o dia do vecimeto da seguda prestação é de,, reais. O valor total que Jaaía deverá pagar este mometo é: R$, + R$, R$ 77, b) Valor da primeira prestação atrasada:,, reais. Valor da seguda prestação a data correta:, reais. Valor da terceira prestação adiatada:, reais., Para quitar sua dívida a data do vecimeto da seguda prestação, Jaaía deverá pagar a quatia de R$, + R$, + R$, R$ 97,. 9. c) Valor da primeira prestação a data do vecimeto da última: a), 9, 7 reais. Valor da seguda prestação a data do vecimeto da última:,, reais. Valor da terceira prestação:, reais. Se Jaaía quiser quitar as três prestações a data de vecimeto da última, deverá pagar R$ 9, 7 + R$, + R$, R$ 6, 9. Vlata π R H R Vlata π Vlata 8 πcm Vlata, 8 π L H A receita gerada com a veda de cada lata de cerveja é dada por: Re ceita 8, π 6, π reais Usado π,, temos que Re ceita 6,, 68, reais. b) Slata π R + π RH R H S lata π + π Sata 9πcm Slata, 9π m l O custo total de produção de cada lata de cerveja é dado por: Custo 9, π p+ 8, π ª. Série

21 Matemática c) Para que o fabricate ão teha prejuízo, o custo total de produção ão pode ser superior à receita gerada: Custo Re ceita, 9π p +, 8π, 6π.ª Opção:.ª Opção: p V V 9+ 9, 99, Portato, o valor máimo do preço p é de R$,. Portato, a seguda opção é mais vatajosa. 9. Gabarito: c b).ª Opção: Supodo uma aplicação com juros compostos, temos: L, L, L, (, ) (, ) +.ª Opção: L, 99, L, L 8, 8 + +, Portato, a seguda opção é mais vatajosa., 8 7, 8 Portato, etre os valores apresetados as alterativas, a 99. V, 8 V V R$ 9, taa míima de juros o terceiro mês foi de, aproimadamete, %.. Gabarito: b 9. Gabarito: b V ( + ) ( + ) ( V ) ( + ) %, 7 7, %. a) Às 8 horas: 9. Gabarito: a V 7, + 7, 6 V 9, Primeiro mês: Às horas: N Nmá 9 V 7, +, 6 V 69, Ivestimeto de R$ 98, Logo, Segudo mês:, 9 ( + ) 69, 69, % N Nmá 8 7 Portato, a corrida das horas é,69% mais cara Ivestimeto de R$ 96, que a corrida das 8 horas. Terceiro mês: b) 7, +,, ( 7, + 7, ) V ( + 8) 8 R$, 7, +, 6, +, 9, Balaço: Vemos que ão eiste real que satisfaça a equação. Ivestimeto: R$ 9, Portato, ão é possível uma corrida às horas ser Recebimeto: R$, % mais cara que uma corrida às 8 horas. Lucro: R$ 6,. Gabarito: c 96. Gabarito: b Após pagar R$ 6, de etrada, o saldo devedor é de R$,. Portato, ( + ) % 97. Gabarito: e t t ( + ) M M +, 68, t 68, t t, log log, t, 7 log t log, log t log log t log, log t ( log7 log) t,8,7 t aos t meses 98. a) Seja o preço de cada livro e V o valor a ser pago os livros. Temos que: RP RP q RP RP RP RP q, q q 7,. Gabarito: e M +, +, +, +, M, Portato, M C + M, C +,, % Cadero de Atividades / Livro do Professor

22 . Gabarito: d PV PV, PV 6, 6 +, PV 8, PV 6 PV 9,. Gabarito: e M C +, M C C C +, meses aos emeses 6. Gabarito: b, 9, 9 8, 9 7. Gabarito: b P P +, P, P 6, 8. Gabarito: d Re c, 9, Rec Re c 8, Rec depois ates depois ates Portato, a receita bruta depois da redução do IPI aumetou 8%. 9. Gabarito: e O cliete pode comprar 7 ml de duas maeiras. Ou compra embalages de 9 ml, ou compra uma embalagem ecoômica de 7 ml. A primeira opção custa 6 8 e a seguda opção custa. O descoto para quem optar pela embalagem ecoômica é dado por: 8 9, 7% Portato, quem optar pela embalagem ecoômica fará uma ecoomia de 6,%.. Gabarito: b s+ 8c 8 s 8c 6s 8 s 8 +. Gabarito: c Como a depreciação é liear, podemos calculá-la por meio de uma regra de : meses %, % 8 meses Portato, a depreciação da roçadeira até. de setembro do mesmo ao é de,%.. Gabarito: d O preço à vista é de,9. 9. Portato, ao pagar reais de etrada, o cliete ficou devedo reais. Após um mês, o valor da divida passou a ser reais. Etão, ( + ) % Portato a taa de juros foi de %.. Gabarito: b M C ( + ) M 6 6 ( + ), % C. Gabarito: c Rt () at + b a b R() + a+ b R a e b R() t t Logo, R R Portato, o redimeto obtido em quatro meses é de R$.,.. Gabarito: c O redimeto total foi de R$,. Como o redimeto a juros simples é liear, temos que o redimeto mesal foi de R $, R$,. 6. Se a taa de juros for, o motate será dado por: M C + Logo, M M C ( + ) C Portato, se a taa de juros for, o motate será dado por: M M C ( + ) M C + M M C C 7. Se a taa de juros for, o motate será dado por: M C + Portato, se dobrarmos o tempo da aplicação, o motate será dado por: M C ( + ) M C ( + ) M M C C , ( ),, +, , ª. Série

23 Matemática FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 9. Gabarito: b h m h se h se Logo, cos ( h) se ( h) 7, ( h) ( h), 67 h 67 h 6. Gabarito: d se+ sey se + sesey+ se y cos+ cosy cos + coscosy+ cos y se + sesey+ se y+ cos + coscosy+ cos y + coscosy+ sesey cos ( y) sec( y). Gabarito: a o A matriz iversa de uma matriz ivertível é obtida trocado os elemetos da diagoal pricipal, trocado o sial dos elemetos da diagoal secudária e etão dividido todos os elemetos pelo determiate da matriz origial. cosθ seθ Seja A seθ cosθ. Etão deta cos θ+ se θ. Portato, cosθ seθ A A det det cosθ seθ A A. seθ cosθ seθ cosθ det A det A. Gabarito: e π f( ) sec se( ) se + cos( π ) tg π π π se + se cos + se cos cos cos( π ) cos π cos+ se π se cos se f( ) se cos ( cos) ( cos ) cos cos f( ) se cos Portato k, m e Cadero de Atividades / Livro do Professor

24 . Gabarito: c se cos ta cos cos se se se cos + se + se se (ão covém) ou se. Gabarito: c Seja a b+ c. Etão, A se( 7 + a b+ c) cos( a+ b c) A se( 7 + ( + )) cos( ( + )) A se7 cos( + )+ se( + ) cos7 cos( ) cos( + ) se se + A cos( + )+ cos( + ). Gabarito: b P cos9 cos9 cos9 cos68 cos69 P cos9 cos9 cos79 cos79 cos9 P cos 9 cos 9 cos 79 P cos cos cos 89 Como cos 6 e todas as parcelas do produto são úmeros etre e, temos que < P < 6. Gabarito: a f( ) ( se+ cos) ( se cos) + ( ) f( ) ( se+ cos) + ( se cos) ( se cos ) se cos f( ) secos f( ) se Etão, f( ) se se se fa Queremos o valor da seguda abscissa positiva tal que a imagem é igual a. Portato, π π Gabarito: c se+ cos Acos 8. Gabarito: a se + cos se 8, Q Portato, 8, + cos cos < Acos π Ase cos 6, se+ cos secos+ cos se 8, ( 6, )+ 6, (, ), +,,, 9. Gabarito: c A cos A se se cos m se m m m ou m se+ cos m + se m Portato, as equações ocorrem simultaeamete para valores de m. A A ª. Série

25 Matemática. f cos+ cos f( ) cos+ cos se f( ) cos + ( cos ) f cos + cos O valor de cos que miimiza a fução f b cos a π π Portato, ou.. Gabarito: a é dado por: cos + cos( )> cos + cos > < < π < < π cos > cos> ou cos< π π < < ou < < π < < π 6 6 < < π. f( ( θ) ) se θ π f( θ) se θ π Portato, o período da fução é dado por: π p p π. Gabarito: e ( gof)( ) f( ) secos secos se ± g π π π + kπ k 6 + π π 7π π ou ou,, e π π π + kπ + k 6. Gabarito: e I. VERDADEIRO + seh cosh seh( 8)+ cosh( 8) e e e + e + II. FALSO cosh( ) e 8 e 8 + e 8 e 8 e e e + e e + e e e 8 8 Não eiste real que satisfaça a equação, pois a soma de dois úmeros positivos ão pode ser igual a zero. Cadero de Atividades / Livro do Professor

26 III. VERDADEIRO e + e e e cosh( ) seh( ) e + ee + e e ee + e. Gabarito: a Como a amplitude é igual a, temos que a. Como o período é π, temos que: π π b b Além disso, a e b devem ter siais trocados, pois o gráfico da fução começa seu ciclo, π de forma decrescete. Portato ab Gabarito: d + + cos cos cos cos π π cos e 6 6 cos ( )+ cos( ) ou π cos Portato, a soma das raízes é π π π + + π Gabarito: a cos cos det A 9 se cos 9 8secos cos 9 8secos cos 9 + cos cos cos 9 8tgcos+ cos ( 8tg+ ) 9sec cos 8tg+ 9+ 9tg 9tg 8tg Portato, a soma dos possíveis valores de tg é dada por: b soma 8 8. a Gabarito: d O maior valor que N(t) pode assumir ocorre quado cos π π t. Logo, 6 π π t π + k π t k 6 + t t t Portato, o horário em que o shoppig apreseta o maior úmero de clietes é às horas. 6 ª. Série

27 Matemática 9. Gabarito: d se + cos + k 7se k se cos + 8k 7cos 7 k 96k k+ 96k 9 k. Gabarito: c cos + se + cos se cos + secos+ se + cos secos + se. Gabarito: c + () f [ ]. y se + y y Portato, Im,. Gabarito: d Os valores de para os quais está defiida a fução f são tais que: π π + kπ, k π+ kπ, k kπ, k. Gabarito: a Para 6, temos: π P + cos 6π 6 P + cos P 6 6. Gabarito: a se cos se + cos+ cos ( cos ) + cos+ cos cos + cos cos arccos ou π arccos ou cos π Porém, apeas arccos e π são soluções: se cos arccos se arccos cos arccos se cos π arccos se arccos cos π π arccos se cos seπ cosπ π Cadero de Atividades / Livro do Professor 7

28 . Gabarito: b α α cos cos + k k + k k+ α cos k α α cos k cos ± ou ou ou α ou α α α k cos cos ± β β cos cos k k + k 7k + β 7 7 cos k β β k cos cos ± ou ou ou β 9 β k cos β cos ± 6. são: Etão, os possíveis valores de cos α+ β cos α+ β α β 9 cos α+ β α β 9 cos( + 9 ) cos( + 9 ) Portato, o meor valor de cos α+ β é. π π π a) se se se 8 ( ) 8 π se π π se se π π π π π π π se se se se 6 b) De acordo com o item acima, temos que se π. Logo, π π se + cos π + cos cos π π se + 8 ª. Série

29 Matemática Portato, π π cos se π + cos π se π π + π se se se + π se + 7. se+ se+ se se+ se+ se+ se + + se cos + se cos cos + se se + cos se cos cos se( ) cos cos se 8. se( )cos( )cos( )cos( )cos( 8)cos( 6)cos( ) se( )cos( )cos( )cos( 8)cos( 6)cos( ) se( )cos( )cos( 8)cos( 6)cos( ) se( 8)cos( 8)cos( 6)cos( ) 8 se( 6)cos( 6)cos( ) 6 secos( ) se( 6) 6 9. y cos cos( ) y cos cos + y cos + cos + b O valor de cos que maimiza a fução é cos a Portato, o maior valor que y pode assumir é dado por: y cos + cos + y y cos 8. ( se S + P ) cos θ secθ + cos θ cos θ θ S + P sec θ + cos θ S + P + tg θ+ tg θ S + P Cadero de Atividades / Livro do Professor 9

30 . 6 6 a ( se + cos ) b ( cos se ) a ( se ) + ( ) cos b se se a se + cos ( se ) se + ( ) b se se cos cos + a { se se ( se )+ ( se ) } b se + se a { se se + } b se + se ( a bse ) ( a bse ) + ( a b) ( a b) ( se se )+ a b b A epressão idepede de quado a b a.. k cosθ secθ + k + k k Logo, sec θ + tg θ k + k + tg θ cosθ k k + k k tg θ tgθ k k k + k + + k k tg θ tg θ k k. Seja a a medida da hipoteusa do triâgulo. Etão, a b + c a cos+ se + se cos + ( + + ) a cos+ se+ + se+ cos+ a cos + cos se + + se + + ( cos ) + se + se( cos+ )+ + a cos + secos+ cos+ se + 8se se + secos+ se + cos + 8cos+ a cos + se + 8secos+ se+ cos a + se+ cos se a + ( se+ cos )+ se( ) Portato, sec c sec a se + cos + + se + cos se + ª. Série

31 Matemática POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS. Gabarito: d b srt a s r t Logo, b b s s a a s+ r+ t a b b b + r+ t a r+ t a s a a a. Gabarito: c p + a a a a a A b b b b b + c c c c c p( A) + a a a a+ a + a + a b b+ b b+ b+ b + b c c+ c c+ c+ c + c a + a + a + b + b + b + c + c + c 6. Gabarito: c Como é raiz de multiplicidade da equação + a+ b, temos que o poliômio P( ) + a+ b é divisível por ( ) ( ) +. + a+ b a+ b + 8 ( a+ 8) + b Logo, a + 8 a 8 e b a b b 7. a) π π π cos cos cos π π cos cos 8 8 cos π 8 π + cos Cadero de Atividades / Livro do Professor

32 b) se π cos π 8 se π 8 π π se se 8 8 se π + 8 π cos + + z + i + z + i π π π π z cos + ise cos se 8 8 z + i 8 8 Para que z seja real sua parte imagiária deve ser zero: π π 8k se kπ, k 8 8 Portato, o meor valor iteiro positivo é c) Do item aterior, temos que z Portato, o poliômio P( ) + 6 apreseta coeficietes iteiros, admite z como raiz e ão tem raiz real. a) O resto da divisão p por é igual a p (). Etão, p + k + + k+ p() k b) Para k temos que p + 6. Etão, π π π a+ b π se + se se se a b ab 6 a) r+ ( r)+ s s Logo, b) r ( r) s 8 s r 8 r± pz () z z 9z+ 8 p( + i) ( + i) ( + i) 9 ( + i)+ 8 p( + i) + i+ i + i i i 9 9i + 8 z + i p( + i) + i i i+ 9 9i+ 8 P( + i) 7 i ª. Série

33 Matemática 6. Gabarito: c 6. a a a Logo p ( + a) Etão as outras raízes de p são: + a ± a Como é a úica raiz real de p, temos que a >. a) Como + + > para todo real, a epressão Pelo gráfico, vemos que é raiz de f. Logo, 8 Assim as outras raízes de f são raízes da equação: + 8 tem o mesmo sial de + 8. ( + + ) 7 + ou 7 Aalisado o gráfico, otamos que + 8> quado > e. b) ( ) ou ou 6 ou + 6 Fazedo uma iterpretação gráfica dessa solução, temos: f() 8 f() Com essa aálise gráfica, + 8> 8 quado 6 6 < < ou > Gabarito: e Pelo Teorema do Resto, temos: P e P( ). Etão, a + + b a + ( )+ b 8a+ b a e b 7a+ b 9 Cadero de Atividades / Livro do Professor

34 6. 6. Gabarito: e z + 8 z 8 z 8 cosπ+ iseπ π+ kπ π+ kπ z cos + ise, k, ou z, z + i ou z i Portato, as raízes pertecem ao cojuto dos úmeros compleos Gabarito: e Pelo Teorema do Resto, temos: P( ) Q ( )+ P( ) Q ( )+ 66. Gabarito: d Pelo Teorema do Resto, temos: P() P Q( ) + P P() Q()+ Q ( )+ Q()+ Q Q ()+ P( ) ( a b ) + ( )+ a + b P() a e b () + a ()+ b a+ b Portato a b ( ). 67. a) q ( z) ( z) q z z+ zz q Re( z) + z q( ) a + a + b Portato q() é um triômio do segudo grau, com coeficietes reais. b) Seja p( ) a + a + + a + a+ a um poliômio com coeficietes reais e de grau maior do que. O fato dos coeficietes serem úmeros reais implica que, se um úmero imagiário é raiz, seu cojugado também é raiz. Logo, sejam r, r,, r p as raízes reais e z, z,, zm, z, z,, zm as raízes imagiárias de p. Etão, podemos escrever p a forma fatorada da seguite maeira: p a ( r) ( rp) ( z) ( z) ( zm) ( zm) p a ( r ) ( r ) p Re( z ) + z Re( z m) z m ( + ) Portato p foi escrito como produto de biômios lieares e/ou triômios de. o grau com coeficietes reais. ª. Série

35 Matemática 68. Gabarito: b I. FALSO p ( + ) + Portato, as raízes de p são dadas por: p ( + ) ( + ) + ou, ou + II. VERDADEIRO A soma dos coeficietes de p é igual a p(). Como vimos ateriormete, é raiz de p. Logo p(). Portato, a soma dos coeficietes é zero. III. FALSO O resto da divisão de p por m + é igual a p( ). p ( + ) + p( ) ( + ) ( ) ( )+ p( ) Portato, o resto da divisão de p por m + ão é primo. 69. Gabarito: a As raízes de A() são e. Logo, o poliômio B() tem como raiz ou (ão podedo ter os dois valores como raiz). Se for raiz de B, etão: B + k + k k 6 B() Nesse caso, B + 6 B + 6 B 6 Logo ão é raiz. Portato uma possibilidade é k 6. Se for raiz de B(), etão: B + k B Nesse caso, + k k B + B() + B () Logo ão é raiz. Portato outra possibilidade é k. Cadero de Atividades / Livro do Professor

36 7. Gabarito: a As raízes de D são e. Como P é divisível por D, temos que P() e P( ). Além disso, como o resto da divisão de P por F é, temos que P(). Etão, P( ) + a + b+ c P P( ) P() Portato, abc 7. Gabarito: d ( ) 6. + a + b + c 9a + b+ c 7 ( ) + a ( ) + b ( )+ c a b+ c + a + b + c a+ b+ c a c 6 b Pelo teorema descrito o euciado, temos: P( ) + + m + p ( ) + ( ) + m ( ) ( )+ p m+ p P( ) 7. Gabarito: e A soma das raízes é dada por: b + + a Portato, a média das raízes é igual a: m Gabarito: b + + A B C A+ B C A 7. Gabarito: c A + B C + + ( ) + p q ( ) ( + + ) ( ) + p q p q A+ B C A p q 7. Gabarito: b + a + b 6 k A, B ec p eq + a + b 6 k + + k + 8k k a k + b a k + k + b ( k + 8k) b a k (ão covém) ou k 6 k Obs.: k, pois, caso cotrário, é uma raiz tripla de p. 6 ª. Série

37 Matemática 76. Gabarito: b O resto da divisão de p por um poliômio de grau tem grau o máimo igual a. Logo, o resto é da forma a + b + c. Pelo Teorema do Resto, temos: p + Q a b c pi () p( i) p () + ()+ a i b i c a+ bi+ c a ( i) + b ( i)+ c a bi+ c a + b + c + + a b c a+ bi+ c a bi+ c a, b ec a+ b+ c Portato, o resto é a) O total de elemetos será as permutações dos coeficietes, cosiderado as repetições. Assim:,! S P ( S) ( S)!! b) Seja P( ) a + b + c + d + e. Se é uma raiz de P, etão: 78. Gabarito: a a + b ( ) + c ( ) + d ( )+ e a+ c+ e b+ d Na equação, três dos úmeros são iguais a e dois, iguais a. Portato, temos as seguites possibilidades: a b d e c e ou c b d e a e ou e b d e a c Ou seja, o subcojuto pedido é dado por: { , , } V V( ) A( ) H A( ) H A divisão de V( ) por H é dada por: Portato, A( ) A( ) ( ) + Cadero de Atividades / Livro do Professor 7

38 79. P 9 a 9 b 9 c 9 d P 6 a 6 + b 6 + c 6 + d a ( 6 9 )+ b ( 6 9 )+ c ( 6 9) a ( 6 9) ( )+ b ( 6 9) ( 6 + 9)+ c ( 6 9) a ( )+ b ( 6 + 9)+ c Quado a, b e c são iteiros, o lado esquerdo da epressão acima é um múltiplo de. Portato, a igualdade é impossível quado a, b e c são iteiros. 8. Seja P( ) + a+ b, ode a é iteiro. Além disso, sejam c e k tais que: Pc k c + ac+ b k Pc ( + ) ( k + ) ( c+ ) + a ( c+ )+ b ( k + ) c + ac+ b k a+ c k k a+ c c + c+ ac + a+ b k + k Logo, c + ac+ b k k a+ c c + ac+ b a+ c c + ac+ b a +ac + c b a Portato, + + ( + ) P a a P a Logo, quado é iteiro, P( ) é um quadrado perfeito. 8. O fator irá aparecer em H Q, tal que m+. Assim, isso acotecerá os seguites produtos: 6 9,,,, Portato, o coeficiete de em H é dado por: Ou seja, o coeficiete é igual a Vamos utilizar o dispositivo de Briot Ruffii. a b b a a+ b a a a Logo, a a + b + b + b + b Logo, + b b Como ão é raiz do poliômio m toda vez que for feito o produto + +, temos m., com m pertecedo a P( ) e pertecedo a 8 ª. Série

39 Matemática 8. Gabarito: b Logo, as outras raízes são: + + i ou i 8. a) Escrevedo P a forma fatorada, temos: P( ) ( + ) ( ( + αi) ) αi b) 8. Gabarito: b P( ) ( + ) ( ) + α + + P( ) + α ( ) Como P () 8, temos que: + + P( ) + α α P() 8 Portato, o quociete da divisão é α 8 + α + + α α +. Como a soma dos coeficietes da equação é igual a, o úmero é raiz. Logo, iou i. Assim, z + i ou z i e o módulo do úmero compleo z é igual a z + ± 86. Gabarito: e A soma e o produto das raízes são dados por: ( + i)+ ( i)+ a+ b a+ b ( + i) ( i) ab ab Portato, b a + +. a b ab 87. a) Observado o gráfico, temos que: A velocidade máima é atigida às 8 horas, ou seja, para 6: f A velocidade míima é atigida às 6 horas, ou seja, para : f i 9 b) Uma das outras duas raízes é o cojugado, ou seja,. Cadero de Atividades / Livro do Professor 9

40 88. É possível obter a outra raiz por meio da soma das raízes: 7 + i 9 7 i a) Sabe-se etão que +. Logo, Substituido o valor da raiz ecotrada a equação, temos: + m m b) ( ) ou, ou 89. Gabarito: d Sejam r, e+ r as raízes da equação. Por meio da 9. soma das raízes, podemos determiar o valor de : ( r)+ + ( + r) Substituido a equação, temos: + k k Agora, por meio do produto das raízes, podemos determiar o valor de r: ( r) ( + r) r r a) O produto das raízes é dado por: ( ) 6 6 Como a equação apreseta apeas uma raiz real, temos que o produto das raízes ão reais é igual a 6. b) No caso da equação +, temos que a e b. Logo, + y 6 y + y ou y y y y 9. Gabarito: b Por hipótese, +. Logo, Aplicado Briot-Ruffii, temos: 6 + ou { } Portato, S,,. 9. Gabarito: c A soma e o produto das raízes são dados por: ie i 9. Gabarito: c 8 8 a 6 6 a + a a ( + a ) ( a ) ( a )+ a ( a ) ( + a ) ( + a ) ( a ) ( a ) ( + a ) + a a ± a para a e + a I. Correta a ± ± Para ± e a, a e + a. Portato, a equação apreseta as raízes reais e para a. II. Icorreta Tomemos, por eemplo, a : ± ±. Para ± e a, a e + a 7. Portato, a equação ão tem somete raízes imagiárias para qualquer a. III. Icorreta Tomemos a > Além disso, se a IV. Correta. Nesse caso, as raízes são imagiárias., as duas raízes são iguais a zero.. a ± ± i Para ± i e a, a e + a. ª. Série

41 Matemática Portato, a equação tem as raízes imagiárias i e i para a. 9. Cosiderar o seguite: cos( θ) cos( θ+ θ) cos θ cos θ cos θ se θ se θ cos cos cos ( cos ) cos( θ) cos θ cos θ se θ cos θ se θ cos( θ) θ θ θ θ cos( θ) cos θ cosθ Podo θ o, temos: cos( 6 ) cos cos cos cos 8cos 6cos Ou seja, cos é raiz da equação 8 6. As prováveis raízes racioais da equação pertecem ao cojuto ± ; ± ; ± ; ±. 8 Ao substituir cada uma delas a equação, coclui-se que ehuma é raiz. Como o grau do poliômio é ímpar, eiste ecessariamete uma raiz real, que, o caso, será irracioal. Portato cos o é irracioal y + y y y + y + y y Sedo + y ey 6, temos que e y são raízes da equação + 6. Logo, os valores de e y são e. Portato, 96. a b c + y + 7. qa + qb + qc + a + b + c q ( a+ b+ c)+ 9 a + b + c q + 9 a + b + c 9 y 97. Basta fazer a mudaça de variável : i + y y y y i i i + i 7y 9y 6y + 7iy + 9y + 6iy + i i i ai bi ci Etão S : ; ; é o cojuto solução do poliômio. 98. Basta fazermos a mudaça de variáveis : y + + y y y + y + y y+ y y + y ESTATÍSTICA 99. a) Sedo p a porcetagem de mulheres etrevistadas com filhos, temos: 7% + % + % + % + % + p % 9% + p % p 8% Assim, o úmero de mulheres etrevistadas com filhos é b) Sedo M a média de filhos por mulher, temos: M 7% + % + % + % + % + 8 % M, Assim, a média é de, filhos por mulher. c) Sedo p( k), a probabilidade de uma mulher, escolhida ao acaso, ter k filhos, temos: P( ) P( )+ P( )+ P( ) P( ) % + % + 8 % P( ) % Cadero de Atividades / Livro do Professor

42 . Gabarito: d a) FALSO Quato mais homogêea, o desvio padrão é mais próimo de zero. b) FALSO Quado todos os valores são iguais, a média é igual aos valores, a variâcia é zero e, cosequetemete, o desvio padrão é zero. c) FALSO Quato maior a variâcia, maior a dispersão, pois maior será o desvio padrão. Para difereciar a dispersão (distribuição mais ou meos dispersa que outra distribuição), a variâcia é suficiete. d) VERDADEIRO Quato mais homogêea for a distribuição dos valores da variável, mais próimo de zero é o desvio padrão.. Temos etão que: Com a alteração dos valores dos elemetos, fica: ( M + )+ ( + )+ + ( + ) ( )+( ) M ( ) M + M + M 8. Sejam M D ( M ) + ( M ) ( M ) GEOMETRIA ESPACIAL. Fazedo a alteração proposta, temos: M... M M M D D D D ( M ) + ( M ) ( M ) ( M ) + ( M ) M M + M M 9 ( M ) + ( M ) M ( M ) + ( M ) M D D D Portato, o desvio padrão também triplica. a b a b Ma > Mg + > ab + > ( ab) a + ab+ b > ab a + ab+ b > ab > a ab+ b > a b. Gabarito: a V V h h 6 π r h π r h r r r 6 r. R r A r T R (r r ) r B Observado a figura vemos que AT r e BT r. Logo, a geratriz vale r + r. Aplicado o Teorema de Pitágoras o triâgulo cuja hipoteusa é AB, temos: ( r+ r) r r R + r + rr + r r rr + r + R rr R R rr r ª. Série

43 Matemática 6. I J E G H H Temos que: a r a r cubo cubo cubo V a V ( r) V 8r 7. h B A C D O volume da pirâmide meor pode ser represetado por v V kv. Logo: V v H V H h V kv h V V k h H k Portato, ( H h) H H k ( H h) H k r a/ H h h g r R h r g g R h r r R r g R V co e π ( r ) r Vcoe πr Como π> 8, o volume do coe é maior. a a LÓGICA 8. a) 6 7 Prisioeiro A Braco Braco Braco Negro Negro Negro Braco Prisioeiro B Braco Braco Negro Braco Negro Braco Negro Prisioeiro C Braco Negro Braco Braco Braco Negro Negro b) Como o prisioeiro A ão soube respoder, ou os outros prisioeiros estavam com chapéus bracos ou um estava com um chapéu braco e o outro com um chapéu egro. Como o prisioeiro B ão soube respoder, certamete o chapéu do prisioeiro C é braco, pois caso fosse egro, após ter ouvido o prisioeiro A, B saberia que seu chapéu é braco. Após ter ouvido os prisioeiros A e B, o prisioeiro C soube que seu chapéu ão era egro e, portato, braco. Cadero de Atividades / Livro do Professor

44 ª. Série