INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA

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1 ISTITUTO ACIOAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA MESTRADO PROFISSIOAL EM MATEMÁTICA ATHERCIA CUSTODIO RODRIGUES ALGUMAS QUESTÕES SOBRE FRAÇÕES Rio e Jaeio 0

2 ATHERCIA CUSTODIO RODRIGUES ALGUMAS QUESTÕES SOBRE FRAÇÕES Taalho e Cocluão e Cuo e Metao aeetaa aa oteção o título e Mete juto ao Pogaa e Metao Poiioal e Mateática e Ree acioal PROFMAT o Itituto acioal e Mateática Pua e Alicaa. Oietao: Po. D. Calo Gutao Ta e Aaújo Moeia RIO DE JAEIRO 0

3 ATHERCIA CUSTODIO RODRIGUES ALGUMAS QUESTÕES SOBRE FRAÇÕES Taalho e Cocluão e Cuo e Metao aeetaa aa oteção o título e Mete juto ao Pogaa e Metao Poiioal e Mateática e Ree acioal PROFMAT o Itituto acioal e Mateática Pua e Alicaa. Aoaa e / /. BACA EXAMIADORA Oietao: Po. D. Calo Gutao Ta e Aaújo Moeia - IMPA Po. D. Roeto Iuzeio Moae Felito e Olieia - IMPA Po. D. Segio Auguto Roaña Iaa - UFRJ

4 DEDICATÓRIA Ao eu ai (i eoia) e iha ãe.

5 AGRADECIMETOS A Deu o toa a ootuiae e eoa ue colocou e eu caiho. Ao oeo Calo Gutao o aceita e eu oietao o too eu eiaeto e ugetõe. Ao colega e etao Leoao elo coaheiio e icetio uate toa a joaa.

6 RESUMO Ete taalho te coo ojetio ugei coteúo e uetõe oe açõe u aecto alé o tiial ito o eio uaetal e éio. Aea io etee-e ue tai auto e ua eectia atiiae eja exloaa a ati o º ao o eio uaetal. A uetõe aoaa e ua aioia oa etiaa e Oliíaa e Mateática. Palaa chae: úeo Racioai Seuêcia e Faey Oliíaa e Mateática

7 6 ABSTRACT Thi wok ai to ugget cotet a uetio o actio i a aect eyou the tiial ee i eleeta ile chool a high chool. eethele it i itee that uch uject a thei eectie actitie ae exloe o the th yea o eleetay chool. Mot o the iue aie wee take o the Matheatic Olyia. Keywo: Ratioal ue Faey Seuece Matheatic Olyia.

8 SUMÁRIO o a ágia. Itoução. Façõe.. A ieia e ação... Bee hitóico a açõe 9... Paâeto Cuiculae acioai e Decitoe 0 a Poa Bail.. Façõe Euialete..Façõe Ieutíei. úeo Racioai.. Deiição..Seuêcia e Faey... úeo e teo 6... Cotução... Teoea.. Cículo e Fo 0.. Áoe e Ste-Bocot. Façõe Cotíua 6. Polea 6. Cocluõe Reeêcia

9 . Itoução O eete taalho ia ota alé a teoia cláica aecto ai oiticao elacioao a açõe. Aoaeo ua ateática e íel ai eleao e iteeate e olea eoleo o auto e ieete o ue é ito a eucação áica. Aea io algua a uetõe eão oltaa aa o eio éio ocuao-e ota e oíel iicia ete taalho co tai aluo alé e iei uetõe ai eleetae oltaa aa o eio uaetal co o ituito e eeta a cuioiae e o iteee o u etuo ai aouao a ateática. Paa io e u ieio oeto o caítulo aeo u ee hitóico oe açõe e citaeo algu tóico o auto eete o Paâeto Cuiculae acioai e o Decitoe aa a Poa Bail. Alé io o eo caítulo alaeo u ouco oe Façõe Euialete e Façõe Ieutíei ua aoage oal. São tóico eceáio ao coteúo o eai caítulo e coieaeo ue o aluo já oee co a açõe e aeia atiatóia. o caítulo aeo êae ao cojuto o úeo acioai oe eão aoao ite ai aouao tai coo a Seuêcia e Faey Cicueêcia e Fo e Áoe e Ste-Bocot. o caítulo eão ita a Façõe Cotíua e a exaão e úeo acioai e tai açõe. Po i o caítulo e 6 olea eoleo tai uetõe e a coieaçõe iai eectiaete.. Façõe. A ieia e ação O igiicao o teo ação é. Ato ou eeito e iii oe ati uea: a ação o ão.. Poção e u too e elação a ele.

10 9 E e elação à Mateática: Exeão ue iica ua ou ai ate a uiae ou iteio iiio e ate.... Bee hitóico a açõe De acoo co iea ote hitóica a açõe ugia há ai e 000 ao o atigo Egito e ecoêcia e olea o ia a ia ue eolia eia. Seguo Boye (99) o hoe a Iae a Pea ão azia uo e açõe a co o aaço a cultua a Iae o Boze aece te ugio a eceiae tato o coceito coo e ua otação aa a açõe. Muito oaelete tal eceiae oa te ecoio eio à echete o io ilo ue leaa a acaçõe a tea à ua age. Paa eacá-la uaa-e coa e egitaa-e uata eze ea uiae e eia etaa cotia o teeo. a aioia a eze ea eia ão ea u úeo iteio o ue ez ugi u oo coceito e úeo o cao o úeo acioáio. o ai exteo aio egício e atueza ateática cohecio o Paio Rhi e o eze e Paio Ahe e hoa ao ecia ue o coiou o olta e 60 A.C te-e ua oção e coo liaa co a açõe. Figua Paio Rhi Fote: htt:// Aceo e: 0//0. ACADEMIA BRASILEIRA DE LETRAS. Dicioáio Ecola a Lígua Potuguea. e. São Paulo: Coahia Eitoa acioal

11 0 O egício eoçaa-e aa eita algua a iiculae coutacioai ecotaa co açõe eeetao-a co exceção e / coo oa a açõe chaaa uitáia ou eja auela e ueao igual a. Ea eução toaa-e oíel gaça ao eego e táua ue aa a eeetação eejaa aa açõe o tio a úica eceáia eio à atueza iáica a ultilicação egícia. O olea o aio Rhi ão eceio e ua ea táua aa too o íae e a 0. Ai ecotao exeo coo 9 coo e 99 coo (EVES 99.)... Paâeto Cuiculae acioai e Decitoe a Poa Bail O Paâeto Cuiculae acioai e Mateática o Eio Fuaetal º e º ciclo ugee o uo e olea hitóico eoleo eia o eio o úeo acioai. Poe-e icuti co o aluo o exelo ue o egício já uaa a ação o olta e 000 a.c. aa oea co eu itea e eo e eia e aa exii eultao. Ele utilizaa aea açõe uitáia (açõe e ueao ) co exceção e e. Ai ua ituação e ue eciaa iii 9 o ele utilizaa u oceieto ue a oa otação oe e exeo o. A ati ea ituação oe-e 9 oo ao aluo ue ote ue ea oa é ue ecote outa iiõe ue oe e eteiaa o oa e açõe uitáia e ue euie outo olea hitóico eoleo o úeo acioai. (BRASIL ) Aia eguo o PC o cálculo co o úeo acioai e a coaação e tai úeo é uaetal te-e o coceito e euialêcia e cohecieto oe o oceieto aa a oteção e açõe euialete. (PDE 0.) Dete o ecitoe e ateática a Matiz e Reeêcia a Poa Bail a açõe aaece a oa o 9º ao a eguite oa D Ietiica ação coo eeetação ue oe eta aociaa a ieete igiicao. D Ietiica açõe euialete.

12 . Façõe Euialete Dua ou ai açõe ão ita euialete uao eeeta a ea uatiae e u too. E ua a gae iiculae ue o aluo aeeta é jutaete a e ecee ue exite iiita eeetaçõe acioáia aa iica ua ea uatiae e coo eceê-la. Vejao aaixo oalete ua aoage o auto a ati a cotução o úeo acioai. e * * * Seja Z { / 0} e Z Z {( ) / }. Deiieo * Z Z ua elação ~ o eguite oo: Deiição: Paa uaiue ( ) ( ) Z * Z e ( ) ~ ( ) etão. Teoea: A elação ~ eiia acia é ua elação e euialêcia oe eja ela é * Z Z ou Relexia: ( ) ~ ( ) Siética: ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) Taitia: ( ) ~ ( ) e ( ) ~ ( t) ( ) ~ ( t) Vao oa ue a elação ~ atiaz a tê oieae acia. Relexia: Seja ( ) Z * Z. É clao ue ( ) ~ ( ) acoo co a oieae coutatia a ultilicação e Z. oi e Siética: Seja ( )( ) * Z Z. Se ( ) ~ ( ) etão o hiótee. Pela oieae iética o úeo iteio oeo ecee e ela oieae coutatia ue. Logo ( ) ~ ( ).

13 * Taitia: Seja ( ) ( ) e ( t) tai ue ( ) ~ ( ) e ( ) ~ ( t). Etão o hiótee (I) e t (II). Multilicao (I) o e (II) o oteo e t. Seo ai t. Coo * Z egue ela lei o cacelaeto a ultilicação ue t. Potato ( ) ~ ( t). A elação ~ eteia e * Z Z ua atição e clae e euialêcia. U eleeto ( ) * Z Z eteceá à clae e euialêcia eeetaa o coo exoto aaixo * * ( ) {( x y) Z Z /( x y) ~ ( )} = {( x y) Z Z / x y} * * Po exelo: {( x y) Z Z /( x y) ~ ( )} = {( x y) Z Z / x y} = ); (6); ( 6);... ou eja... ( ); ( 6 6 O cojuto oao o toa a clae e euialêcia eteiaa ela elação ~ oe * Z Z aa ai é ue o cojuto o úeo acioai Q eiio a egui Q = /( ) *. Dee oo caa úeo acioal etecete a Q oui iúea oa e eeetação co Z e * Z... Façõe Ieutíei Deiição: Ua ação é ita ieutíel uao e oe elatiaete io. Qualue coleção C e ucojuto ão azio e u cojuto X ue oui a eguite oieae: too eleeto e X etece a u e aea u o eleeto e C.

14 Lea: A úica aeia e ua açõe ieutíei e e eoiaoe oitio ee euialete é ee iêtica. Poa: Seja e aa a açõe ieutíei e e eoiao oitio. A euialêcia o á. Coo é elatiaete io co o Teoea Báico a Diiiiliae o á ue iie. Coo ao e ão oitio egue etão ue e io ilica ue. Teoea: Too úeo acioal 0 oe e ecito e oo úico coo ua ação ieutíel ou eja a oa oe c ( ) e 0. Poa: Seja 0 u úeo acioal. Coieao a ecooiçõe e atoe io o úeo atuai e toeo o outo o atoe cou e tai ecooiçõe. Chaeo e k tal outo. Dea oa e io ete i. Potato é ua ação ieutíel. Suohao ue exita outa ação ieutíel k co k co.. Ai (oi c ( ) ) e (oi c ( ) ). Logo.. úeo Racioai.. Deiição. Chaao e úeo acioal a clae e toa a açõe euialete a ua aa ação. O cojuto e too o úeo acioai é iolizao o * Q = /( ) Z Z. c a e c(ac) = c

15 Oeação: U úeo acioal ao o ua ação a é igual a u acioal ao o ua ação euialete. c e e oete e tieo ue ea ua açõe ão a c a c.. Seuêcia e Faey Deiição: Ua euêcia e Faey e oe eotaa o F é a euêcia iita e toa a açõe ieutíei o itealo echao [0] oeaa e oa cecete cujo eoiaoe ão eoe ou iguai a. ua liguage ateática a a euêcia e toa a açõe ieutíei tai ue 0 F é a ; e oe cecete Algu exelo Algua oeaçõe oe e eita a ati eta iualização a ieia ete euêcia e Faey. Pieio: ota-e ue o teo cetal e ualue ua a euêcia é ee igual a.

16 Ito ee-e ao óio oo e cotução a euêcia azeo co ue tehao o eo úeo e eleeto à ieita e à euea e. Seguo: O ue oeo ota e elação a açõe euiitate o teo cetal? Poe-e eaa ue o ae e açõe euiitate e oue o eo eoiao e a oa e tai açõe é ee igual a. E 0 F 0 e ão euiitate e e ua oa é 0 e ão euiitate e e ua oa é 0 F 0 e ão euiitate e e ua oa é 0 e ão euiitate e e ua oa é e ão euiitate e e ua oa é De ato eja a u teo e ua euêcia oe a. A itâcia ete ea ua açõe é aa o a a. Toao ua ação c à ieita e eeo te ue a itâcia ete c e é a ea ete a e ou eja a c a a c ) (. Soao a e c : a a a a.

17 6 Potato a oa e uaiue ua açõe euiitate e é ee. Teceio: Seá ue exite ua oa e calcula a oa e toa a açõe e ua ceta euêcia e euea eu eleeto? Do ue oi ito acia e ualue euêcia F teo coo teo cetal e à ua ieita e à ua euea o eo úeo e teo. Alé io aeo ue teo euiitate e tê oa igual a. Logo a oa o teo e F eá igual a +. Co io o e ai ua eguta: Coo ae o úeo e teo e ua euêcia? Vejao a egui... úeo e Teo Aaixo teo ua oieae ue o eite ecota o úeo total e açõe e ua euêcia e Faey. Ela ão é iicaa aa aloe uito gae e a aa o ooto o taalho co aluo e Eio Fuaetal e Méio eá o uiciete. Coieeo o úeo e teo e ua euêcia e Faey F. Coo o úeo e teo à ieita e é o eo ue à euea cocluío ue o úeo total e açõe eá u úeo ía. a a Alé io aeo-e ue toa a açõe tai ue 0 e etecete à tal euêcia etão a oa ieutíel oeo coclui ue c ( a ). Potato aa ae o úeo e açõe e ua aa euêcia e oe ata eteia aa caa eoiao uato ão o ueaoe a oe a e tal ue c ( a ). Deigao o () ea uatiae oeo ecee ( ) { i : c( i ) } oe aa u cojuto X X eeeta o eu caial. Exeliicao aa o cao e oteeo ( ) ; ( ) oi c ( ) ; ( ) oi c( i) oe i ou eja aea e ão io co ; ( ) oi c ( i) oe i ou eja aea e ão io co ; ( ) oi c ( i) oe i ou eja teo e io co ; Eta uatiae () é cohecia coo ução e Eule. Veja [6] ág..

18 Ai () () () () (). E geal aa ( ). ota: É oíel oa ue [] Pooição.. é aitoticaete ou eja li. Veja... Cotução Ate e eucia o oceo e cotução ejao ua eiição aa o teo eiate. a c Deiição. Daa ua açõe ieutíei e co a c eiate a ação. a c 0 chaaeo e A euêcia oe e cotuía atio-e a açõe 0 e ue oa a ieia euêcia e Faey. A ati aí ee-e itouzi a ação eiate e caa a e açõe coecutia teo o cuiao e ão iclui açõe e ue o eoiao ultaae a oe a euêcia. a c a c Poieae : Se 0 ão açõe ieutíei etão a ação eiate a a c c atiaz a coição. Poa: Seja a c a c e açõe ieutíei co a c 0 e uohao ue. Deeo ota ue ale a ua eigualae a a c e a c c. a c a c a ( a c) a( ) a c a a c a Teo ue 0 ( ) ( ) ( ) Do eo oo oi

19 a c Potato a ( a c) a( ) ( ) a a c c. a c a a ( ) c a ( ) Teoea (teo coecutio) a c Se e ão teo coecutio ua euêcia e Faey etão c a c a ito é c a. Poa: Seja a euêcia e Faey co c ( ) c( ). Toeo a açõe coecutia e. Queeo oa ue ito é. u Paa io eeo ecota acioai u co o ue euiale a u. Coo teo c ( ) teo ue exite x0 y 0 tal ue x0 y0. Etão u u x0 y0 ( u x0) ( y0). Daí ( y0) e coo c ( ) ( y0) ou eja y0 k y0 k. Seo ai k oe ( u x0 ) ( y0) k u x0 k e u x 0 k. Logo a oluçõe e u ee e a oa ( u ) ( x0 k y0 k ) k. Exite u (úico) k tal ue 0 y k. Seja y 0 k 0 0 ; u u ( ) oi coo. Saeo ue u ; e 0 etão u oe u. ABSURDO! oi. Seo ai eeo te 0 0 u. u u < Ve [6] ág. 6.

20 9 Seja ) ( u olução e u. Etão u 0 u u u 0. Coo 0 t tal ue t t ) (. < ; e 0 oe. 0 Suoha o auo ue. Se 0 t teo oe u logo u e ABSURDO! Ai t e t ) (. u e coo u teo oe. Teo ue. Ma u etão utituio o u oteo ) ( ) ( ) ( u u. Logo ) ( ) ( u e otato e u. Etão e u co ; u Coiee u ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u u u Aiação: u Bata oa ue u ) (. Ma io euiale a ) (. A aiação etá oaa e logo teo ua cotaição o ue teia a oa.

21 0. Cículo e Fo Seja a eta e C o cículo cetao e e aio. C o cículo cetao e 0 e aio Seja F o cojuto o cículo e co a eguite oieae: i) C C } F { ii) Se C e C etece a F ão tagete ete i e tagete a etão o cículo C ~ tagete ao oi cículo C e C e à eta e cotio a egião eliitaa o C C e etece a F. iii) Se F ~ é u cojuto e cículo atiazeo a oieae i) e ii) acia ~ etão F F. Teoea: O cojuto o oto e tagêcia o cículo cojuto {( x 0) x Q [0 ]}. C F co a eta é o Poa: Reeeteo caa acioal x [0 ] o oe é iteio é iteio oitio e c ( ). Motaeo o eguite ato o iução: i) O cículo tagete e 0 teá aio.

22 ii) Se o cículo tagete e e ão tagete ete i etão. Paa io oteo ue oi cículo cetao e x e y ão tagete à eta e tagete ete i etão ( ) ( ) oe x y. A aiaçõe i) e ii) ão eaeia aa o cículo iiciai C e C. Se o cículo C é tagete a e te ceto o cículo C é tagete a e te ceto e etão e o cículo C ~ tagete a C e C e à eta te ceto x y co x etão e x y e x eeo te e y e ( ) y oe y ( ) e ( ) x ( ) ( ) (oi ). Ai C ~ é tagete e 0 e te aio. ( ) Coo ( ) ( ) e ( ) ( ) eo ue C ~ atiaz i) e ii). Ee ato ilica ue too o cículo ciao teão ceto e oto acioai. Bata oa agoa ue aa too acioal [0] o oto 0 é oto e tagêcia e algu o cículo. Faeo ito o iução e (aa = o eultao é óio); ata ota ue e c ( ) e é oíel ecee e co iteio 0 0 e.

23 Eta euaçõe oe e ecita coo ( ) ( ) ou eja oe 0 e 0. Coo c ( ) exite x y co x y. Logo k ( x k) ( y k). Cetaete oeo ecolhe k e oo ue 0 x k (ote ue x ão é últilo e eão x y taé eia) e etão toao x k e k y (teo a oe 0 ). Pelo exoto acia teo ua otação aa o cículo eiio eta oa. Deiição: Dao u úeo acioal ieutíel a o cículo e Fo coeoete a eta ação é eotao o C(a) te aio e ceto a. Aaixo teo o cículo coeoete ao acioai 0 e. E eguia o cículo tagete ao oi iiciai e ao eixo a acia co ceto e acia e aio.

24 Oeeo ue o ato ii) Se o cículo tagete e e ão tagete ete i etão o eete ao coteúo ateio a açõe e Faey oe teo ue e e ão teo coecutio ua euêcia e Faey etão. Logo cículo e Fo tagete coeoe a açõe e Faey coecutia. Cículo e Fo tagete coeoete a euêcia e Faey 0 F. O cálculo o oto e tagêcia eá ito o teoea eguite. Teoea: Seja a h c tê açõe e Faey e oe coecutia. O oto e k tagêcia o cículo C(a) e C(hk) e o cículo C(hk) e C(c) ão eectiaete h e k k( k ) k h k k( k ) k

25 Poa: Cooe a igua acia te-e k k h. Ataé a eelhaça o tiâgulo etâgulo eteia-e e. Pieio k k k a k h Potato ) ( k k Uao e oo a eelhaça chega-e à k k k k k Potato ) ( k k k Sutituio o aloe e e a exeão e chega-e a óula eejaa. De oo aálogo oté-e a óula aa... Áoe e Ste-Bocot A chaaa Áoe e Ste-Bocot oi ecoeta ieiaete o Moitz Ste () u oeo aleão a áea e teoia o úeo. Ao ai tae Achille

26 Bocot (6) u elojoeio acê eeoleu u algoito caaz e gea tai úeo ue coõe a áoe. Sua cotução e á a ati e uaiue oi úeo acioai a ete ele o teo c e e a c chaao e eiate. O oceo cotiua co a oteção a eiate ete o ieio e o eguo úeo e ete o eguo e o teceio. E ai uceiaete.... A cotução a áoe e Ste-Bocot é uito eelhate a a euêcia e Faey ieio e algu aecto. A áoe iclui too o acioai oitio ão eceaiaete o itealo [0] e o -éio ao toa a eiate etão icluía ão oete co eoiaoe eoe ou iguai a. Vejao a ua cotução. 0 Toeo etão a açõe e (uao-a coeieteete aa 0 0 eeeta o iiito). o ieio ao eá geaa a eiate. o eguo 0 0 ao teeo o acécio e ua outa eiate e. Aaixo 0 teo u euea iicial a áoe co o ieio acioai geao e a igua eguite a localização e tai acioai a eta uéica. Potato cotiuao co ee oceo oteeo o cojuto o úeo acioai oitio Q +. ota: O cojuto o úeo acioai é eueáel eja o exelo []. A cotução a áoe e Ste-Bocot oece ua eueação exlícita o acioai oitio.

27 6. Façõe Cotíua O algoito e Euclie e ue e ua o étoo a iiõe uceia aa e ecota o áxio iio cou e oi úeo é uao aa e coete ua ação e ação cotíua. o cao aa o cálculo o MDC e oi úeo iteio azeo uceia iiõe até ue o eto eja zeo. Vejao: Dao oi úeo iteio a e co a teo a co 0 oe a é o iieo o iio o uociete e o eto. Seo a co a 0 eguo o algoito e Euclie teo a ( ); 0 0 ( ); ( 0 );

28 ( 0 ); ( 0 ); Segue ue e 0 o oceo teia eja a ieia euação ou aó ceto úeo e ao e MDC(a)=. Caa igualae (exceto a últia) coté a eeetação e ua oa e u úeo iteio co ua ação óia. Fazeo a eia utituiçõe oteo 0 0 a Cotiuao o oceo oteeo o eeolieto e a o a oa e ua ação cotíua. Potato izeo ue ua ação cotíua ile e oe é toa exeão a oa: 0 oe 0 é u úeo iteio e i é u iteio oitio aa i.... Seja a ação. Vao ua o étoo aa calcula..c().

29 0 Ai..c() = e oeo exea coo ua ação cotíua oe e 0 a. Seo ai o úeo... ão chaao e uociete aciai oi 0 aa ai ão o ue o uociete ecotao a iiõe uceia.. Polea O olea ão e ua aioia eeete ao coteúo ito o caítulo ateioe e etão ogaizao o auto. Façõe Euialete Polea (COMPETIÇÃO MATEMÁTICA DO RIO GRADE DO ORTE 6 º e 9º ao 0) Coiee o úeo acioai a ue a c? Jutiiue a ua eota! e 0 c. É coeto aia 0 Solução: Teo ue 00 e c logo a c oi e c ão euialete a a. 6 htt://

30 9 Quetõe oe Seuêcia e Faey Polea A euêcia ieutíei a co F e Faey é ua euêcia e cojuto oao ela açõe 0 a aajao e oe cecete. Exiio aaixo o uato ieio teo a euêcia e Faey. F {0 / /} F {0 / / /} F {0 / / / / /} F {0/ / / / / Qual ee e o cojuto F? / /} Solução: F {0 / / / / / / / / / / /} Polea Seja a c iteio ão ulo tai ue a c =. Poe ue ieutíel. a c é ua ação Solução: Seja c( a c ). Ai / a / c. Teo ue a c. Soao e utaio ao ieio eo a euação oteo a c. a c ( a ) ( c ). Coo / a e / c teeo ue /. Ai. Polea. A euêcia F e Faey é a euêcia e toa a açõe ieutíei 0 a 0 aajao e oe cecete. a co Polea e oa etiao e POTI Polo Olíico e Teiaeto - íel Aula. Dioíel e: <htt://oti.ia./uloa/ateial_teoico/c6aeewhejiog. >. Aceo e 0/0/0. Polea e 6 : Móulo e Poteciação e ízia eióica. úeo iacioai e eai oitao ao. Potal a Mateática. Dioíel e: < htt://ateatica.oe.og./uloa/ateial/iacioai.>. Aceo e 0/0/0.

31 0 F {0 / /} F {0 / / /} F {0 / / / / /} F {0/ / / / / / /} F {0 / / / / / / / / / / /} F 6 {0 / /6 / / / / / / / / / /6 /} a Claaete toa ação co c(a) = etá e algu F. Mote ue e / e / ão açõe coecutia e F teo =. Solução: (Coieao-e ue é cohecio o Teoea..) Se ão açõe coecutia etão ela oa u a e Faey e etão Seo teeo. Ou eo teeo. Seo ai. Polea. (Reita Quatu Joal Kat) Toa a açõe ieutíei cujo eoiaoe ão excee 99 ão ecita e oe cecete a euea aa a ieita: a c Quai ão a açõe a e c e caa lao e? Solução: Ao litao toa a açõe ieutíei o itealo [0) co eoiaoe eoe ou iguai a = 99 ua açõe coecutia e ão tai ue ou eja. Quato aioe oe o eoiaoe e eo icaá. Vao ixa a ação. Ai etaá ai óxio à ua ieita e ou coeoeá ao aio oíel e eo ue 99 tal ue exite co eja.

32 Teo ue e é ua olução iteia e tal euação. Logo a olução iteia geal eá aa o t (I) e t (II) co t iteio. Coo eeo te t 99 a olução a ieuação o á t. Sutituio t e (I) e (II) oteo 6 e Logo. 99 Alé io co o ai óxio à ua euea coeoeá ao aio oíel eo ou igual a 99 tal ue exite co. Coo e é olução iteia e a olução iteia geal eá aa o t e t co t iteio. Paa teo t 99 t eeá e eo ou igual a. Logo 9 e. Potato. 9 c 6 a Po i e Polea 6. a c É oíel ota ue e ua açõe e ão iziha a euêcia e Faey F (eja o execício ateio) etão a c =. Saeo io ocê coegue eteia a ue a ação etá ieiataete à euea e e F e calcula too o eu eleeto? Solução: A ati o euciao eeo te a = (I) ou a = a = (II). Paa (I) teo = e a = coo ua olução e e (II) a = e =. Coo a ee e eo ou igual a a úica olução oíel é. Polea (X ORM ª ae e 00 íel ) A euêcia e Faey é ua euêcia e açõe ete 0 e cotuía co a eguite etaa: () 0 () 0 Oliíaa Regioal e Mateática e Sata Cataia. htt://

33 () 0 () 0 e ai o iate ee toao ua açõe iziha e ieio-e ete ela a ação. Mote ue e ualue etaa a cotução a euêcia e Faey uaiue ua açõe iziha atiaze = -. ota: Aui a eiição e euêcia e Faey é ieete a uual coeoeo a u íel a áoe e Ste-Bocot. Solução: A aiação é eaeia a liha :..0 = e a liha :. 0. = e.. =. Suohao ue ela eja eaeia aa uaiue ua açõe iziha a liha. Toeo etão ua açõe iziha a liha +. Ela eão a oa e ou e oe e ão ua açõe iziha a liha. Pela hiótee e iução ale. Etão o cao e e ee iziha oteo ) ( ) (. Da ea oa e e oe iziha oteo ) ( ) (. Potato o iução a aiação é ália aa ualue liha. Polea (elaoao ela autoa) E ualue euêcia e Faey teo ue é eu teo cetal e taé ue a oa o teo euiitate a é ee igual a. Saeo-e io colete a euêcia

34 e Faey eguite F Solução: Coo a oa o teo euiitate a é ee igual a ata aze a ieeça ete e o teo cohecio. Po exelo 9 9. Poceeo eta oa oteeo F Quetõe oe Cículo e Fo Polea 9 (OPM 9 ª e ª éie o Eio Méio - 00) Chaao e euêcia e Faey e oe a euêcia otia uao eceeo e oe cecete a açõe ieutíei co eoiao eo ou igual a localizaa o itealo [0]. Po exelo a euêcia e Faey e oe 6 é Lete R. Fo ciou ua iteetação geoética aa a euêcia e Faey: tageciao caa úeo acioal ão egatio eo e io ete i cotuío ua cicueêcia e iâeto. Algua ea cicueêcia ue ão eoiaa cicueêcia e Fo ão otaa a igua a egui. (a) Veiiue ue a cicueêcia ue toca o oto e ão tagete. 9 Oliíaa Paulita e Mateática. htt://

35 Solução: Pelo euciao teo ue a cicueêcia ue toca o oto te aio e ceto C e a ue toca o oto te aio e ceto C. Bata ota ue a itâcia D ete o ceto é igual à oa S o aio D D D S Logo S = D coo ueíao ota. () Mote ue a cicueêcia ue toca o oto a oa ão tagete à cicueêcia ue toca o oto 0. Solução: Paa ue a cicueêcia eja tagete a itâcia ete o ceto eeá e igual à oa o aio. ) ( 0 D D. Logo D. A oa o aio é S. Etão D = S coo ueíao ota. Polea 0 (Vetiula e Ieo UEM 0 0). Dao úeo iteio e e oa ue a ação eja ieutíel e coieao u itea e cooeaa cateiaa xoy o cículo e ceto o oto e aio é chaao e cículo e Fo e é eeetao o C[]. Co ae o exoto aiale o ue o coeto. 0 htt://

36 0) A áea e C[] é 6. 0) ehu cículo e Fo tagecia o eixo a acia. 0) A euação cateiaa a cicueêcia ue eliita C[] oe e ecita coo y x y x. 0) Se oi cículo e Fo co ceto o oto M e co M ão tagete o oto T etão o oto M e T ão colieae. 6) O cículo C[] e C[] ão tagete ete i. Solução: 0) Falo. A áea e C[] é. 0) Falo. Ve ágia 0 o eete taalho. 0) Veaeio. Pela eiição o olea o ceto a cicueêcia é. Alé io aeo ue a oa geal e ua cicueêcia é aa o x x0 y y0 oe x 0 y 0 é o ceto a cicueêcia e é o aio teeo o eguite: A euação a cicueêcia ue eliita C[] eá x y x x y y x 6 6 y x y 0) Veaeio. Suoha ue M e T ão eja colieae. Etão e T é o oto iético e T e elação a eta M teeo ue MT = MT e T = T (o coguêcia e tiâgulo). Logo T eia oto cou itito e T ao oi cículo e ee cículo ão eia tagete. 6) Veaeio. Paa ue o cículo eja tagete eeo te a itâcia ete eu ceto igual à oa e eu aio. De ato eja D a itâcia ete o ceto e S a oa o aio. D S = D

37 6 Polea (Deaio e Mateática PUC-Rio out 0) Iceeo eto o cículo uitáio (e euação x + y = ) tê cículo eoe e eo aio tagete oi a oi e tagete ao cículo uitáio o oto ( 0 ) e. Deto e caa tiâgulo cuilíeo oao juto ao cículo uitáio iceeo u oo cículo. Reetio o oceo ieiiaete cooe ugeio a igua. Deteie e e algu oeto cotuío u cículo tagete ao cículo uitáio o oto (0). Solução: A eota é ue ÃO: uca cotuieo u cículo tagete ao cículo uitáio e (0). Mai gealete e u cículo é cotuío tageciao o cículo uitáio e (x 0 y 0 ) (0-) etão x0 é acioal. ( y0 ) Paa eota ete ato açao ua ieão co ceto o oto (0-) aa ote a igua aaixo cohecia coo a o cículo e Fo. htt:// Daa ua cicueêcia C e ceto O e aio e u oto Q eiio o ieo e Q e elação à cicueêcia C coo eo o oto P a ei-eta OQ tal ue a azõe OQ / e / OP eja iguai. htt://

38 Mai eciaete uohao ue a iage o cículo uitáio ela ieão eja o eixo hoizotal. O cículo tagete ao cículo uitáio e (0-) é leao e ua eta hoizotal. O cículo tagete ao cículo uitáio e ão leao e cículo ue tagecia o eixo hoizotal e 0 iicao a igua o e 0 (aa oteo a igua uual). O cículo tagete ao cículo uitáio e ão leao e cículo ue tagecia o eixo hoizotal e 0 ue eia iicao a igua o e. O cículo tagete ao cículo uitáio e (0) é leao o cículo eo ue tagecia o eixo hoizotal a oige iicao o. Reta oa ue a oa igua too o cículo tagecia o eixo hoizotal e u oto iicao o u acioal. Paa ito ata oa ecuiaete a eguite aiaçõe o óxio aágao. 0 Seja oi cículo e oiçõe tagete ete i e otato oao 0 co o eixo hoizotal u tiâgulo cuilíeo. Teo e o cículo tê aio 0 e 0 0 eectiaete. O oo cículo icito ete tiâgulo cuilíeo te oição co 0 0 e eu aio é. Quetõe oe Façõe Egícia Polea (OPM - 6o e o ao - 0) o Egito Atigo a açõe ea exea icialete coo oa e açõe itita co ueao igual a. Po io açõe co ueao igual a ão chaaa açõe egícia. Po exelo ele utilizaa o luga e (ai eciaete ele eceia hieóglio ue eeeta e ). O ateático uetioaa e ea oíel eeeta too úeo acioal co coo oa e açõe egícia itita. A eota é i e oi ecotaa o Fioacci (o eo a euêcia!). Oliíaa Paulita e Mateática. htt://

39 Paa io oe-e utiliza o algoito guloo ue ucioa a eguite oa: utaío a ação a aio ação ue é eo o ue e eoi cotiuao o oceo co a ação ue oa. Po exelo: a) Ecea coo oa e açõe egícia itita. ) O olea o algoito guloo é ue ele gea açõe co eoiaoe uito gae ( coo 09 o exelo acia). O óio Fioacci ugeiu outo a étoo aeao a ietiae. Po exelo o a ( a ) algoito guloo gea aa a exaão 00 Paa alicao a ieia e Fioacci eceeo coo oa e açõe cujo ueaoe ão iioe itito o uceo o eoiao ou eja e + = e utilizao a ietiae acia: Teo ea ieia e ete ecea coo oa e açõe egícia itita 9 toa co eoiaoe eoe ue 0. Solução :a) ) 9 0 Teo ue e Ai 9 =

40 9 Polea (OPM - o e 9o ao o Eio Fuaetal - 0) o Egito Atigo a açõe ea exea icialete coo oa e açõe itita co ueao igual a. Po io açõe co ueao igual a ão chaaa açõe egícia. Po exelo ele utilizaa o luga e (ai eciaete ele eceia hieóglio ue eeeta e ). O ateático uetioaa e ea oíel eeeta too úeo acioal co coo oa e açõe egícia itita. A eota é i e oi ecotaa o Fioacci (o eo a euêcia!). Paa io oe-e utiliza o algoito guloo ue ucioa a eguite oa: utaío a ação a aio ação ue é eo o ue e eoi cotiuao o oceo co a ação ue oa. Po exelo: a) Ecea coo oa e açõe egícia itita. 9 ) A caa ao o algoito guloo eteiao a aio ação egícia eo o ue ua ação (ão egícia). Coo eeo toa coo eoiao o eo iteio aio ou igual a. Po exelo e eeo toa coo eoiao. Coieao a ução teto e x eotaa o x tal ue x = eo iteio aio ou igual a x a caa ao o algoito guloo toao a ação egícia. ote ue o exelo iicial. Seo = l + 0 < < e ue l é o uociete e é o eto a iião eucliiaa e e calcule e ução e l. c) Mote ue a caa ao o algoito guloo o ueao a ação ue oa iiui e coclua ue toa ação é a oa e o áxio açõe egícia itita. Oliíaa Paulita e Mateática. htt://

41 0 Solução: a) l ) l oue. l l e < etão o eo iteio aio ou igual a eá. c) Suoha ue l 0. Se 0 etão teiaa. Poeo otato uo ue 0. Etão e a eotação etá l l oe l l ou eja l l Ai l. ( l ) Ma coo o ueaoe a ieeça uceia ão etitaete ececete uao 0. O.: ote ue e logo a óxia açõe egícia teão ( l ) l eoiaoe aioe ue l. Ai toa a açõe egícia otia eão itita. Solução etiaa e RPM ág.. Polea (OLIMPÍADA CEARESE DE MATEMÁTICA iel 0) U iteio oitio iz-e iocao e exite iteio oitio itito tai ue.... a a O iteio oitio o exelo é iocao oue. 6 Mote ue o iteio 6 e ão iocao. a.. a oi a oi htt:// 0.

42 Solução: é iocao: é iocao: é iocao: 6.. é iocao: Polea (OMERJ 6 6 o e o ao 06) o itealo a coetiçõe e juô a Rio-06 algu atleta jaoee ietia-e eoleo uetõe e Mateática. Ele euiaa e algu ite e Oliíaa e Mateática e ia ue u iteio oitio é chaao e iocao uao exite iteio oitio a a a... oi a oi itito tai ue... a a a. O iteio oitio o exelo é iocao oue 6 O eaio aio aa o jaoee oi coia ue o taé é iocao. Mote ue ele etaa ceto. Solução: Oliíaa e Mateática o Etao o Rio e Jaeio. htt://

43 Polea 6 (OLIMPÍADA CEARESE DE MATEMÁTICA iel 0). U iteio oitio iz-e iocao e exite iteio oitio a... oi itito tai ue.... a a O iteio oitio o exelo é iocao ito ue. 6 Mote ue too iteio > é iocao. a a oi a Solução: Pelo exelo o euciao o úeo é iocao. Suoha ue k é iocao ou eja uoha ue exite iteio oitio a... a k oi a oi itito tai ue.... (I) a Te-e ue a aa too i {... k} oi cao cotáio o lao ieito e (I) i eia aio ue. Ai o k + iteio oitio a k a a... ak ão oi a oi itito. Alé io a ak a a k Motao etao ue k é iocao e ue e k é iocao etão k taé é iocao. Logo elo icíio a iução iita too iteio é iocao. Façõe e geal Polea (OPM - 6º e º ao - 0) O gae ateático Joh Hoto Coway ( já eete e outa OPM) ciou ua liguage e ogaação aeaa e euêcia e úeo acioai oitio a FRACTA. Vao cohecê-la. É aa ua euêcia e acioai oitio. E caa ao a execução e u ogaa FRACTA a etaa é u iteio oitio ue ee e ultilicao elo ieio úeo a euêcia tal ue o outo eja iteio. Ee outo é a etaa o óxio ao. htt:// 0-eolia. Oliíaa Paulita e Mateática. htt://

44 Paa o ieio ao ee e toa ua otêcia e ito é aa iteio oitio. O ogaa teia uao oteo oaete ua otêcia e. Dizeo ue tal otêcia e é a aía e oo ogaa. Colicao? U exelo ee ajua. Coiee a euêcia A ( ; ; ; ; ; 6 ) ; ; ; ; ;. Paa a etaa 9 o ao ão: A aía é otato. Paa acilita o eteieto o oceo o ao oa ecito exlicitao-e a atoaçõe e io a etaa. Poe-e oa ue aa a euêcia A e a etaa é a aía é. a) Coieao oaete a euêcia A ecea too o ao aa a etaa. Saeo ue a aía é a ocê ee lita too o ao iteeiáio. ) Seja iteio oitio. Aeete ua euêcia e acioai oitio B tal ue e a etaa é a aía é. Solução: a)

45 ) Coiee B ( ; ; ; ; ; 6 ) ; ; ; ; ;. 9 Veiicaeo ue aa teeo a aía. (...) 6 A ati aí alteao i j j 0 j ( j) i j ( j) j ( j i 9 ) i E ialete k k ou k k. Polea (OPM ª e ª éie o Eio Méio) O gae ateático Joh Hoto Coway ( já eete e outa OPM) ciou ua liguage e ogaação aeaa e euêcia e úeo acioai oitio a FRACTA. Vao cohecê-la. Seja (... ) ua euêcia e úeo acioai oitio. o k-éio ao a execução o oo ogaa FRACTA a etaa é u iteio oitio k ue ee e 9 Oliíaa Paulita e Mateática. htt://

46 ultilicao elo ieio i tal ue etaa o óxio ao ou eja k i é u úeo iteio. Tal outo k i k k i. é a Paa o ieio ao ee e toa ua otêcia e ito é aa iteio oitio. O ogaa teia uao oteo oaete ua otêcia e. Dizeo ue tal otêcia e é a aía e oo ogaa. Colicao? U exelo ee ajua. Coiee a euêcia A ( ; ; ; ; ; 6 ) ; ; ; ; ;. Paa a etaa 9 o ao ão: A aía é otato. Paa acilita o eteieto o oceo o ao oa ecito exlicitao-e a atoaçõe e io a etaa. Poe-e oa ue aa a euêcia A e a etaa é a aía é. Suoha ue ua aa euêcia S e acioai oitio oece aa a etaa ( ) iteio oitio aía. Dizeo ue a euêcia S couta a ução ( ). A iteção ea uetão é eia a ieia áica a ogaação FRACTA. Você iá aee a cotui ua euêcia ue couta a ução () ue ocê eeja. (Ai eeao!) Pieio eceeo u ogaa e ua liguage ue eoiaeo é- FRACTA o ual caa liha te a eguite oa: k liha : ; ;...; k k

47 6 Seo ue a ação a e ealizaa a liha é toca o iteio o i i aa o ieio i ( i k ) aa o ual tal eultao é iteio e i aa a liha i. Coo o FRACTA a etaa é ua otêcia e e o ogaa teia uao oteo ua oa otêcia e. Po exelo coiee o ogaa P a egui: liha 0 : 0; liha : liha 0 Paa a etaa o ogaa P executa o eguite ao: liha 0 liha 0 liha 0 liha liha liha 6 (já iu ee ao hoje?) E teia. Paa chegao à açõe oiaete ita excetuao-e a liha 0 tiao a eeêcia e ua liha à ela ea. Po exelo a ati e P oteo u oo ogaa P: liha 0 : 0; liha : liha : Agoa alta ouco. Atiuío a caa liha exceto a 0 u úeo io gae (aio o ue ualue u ue teha aaecio o ueao ou eoiao e ua ação utilizaa o ogaa é-fracta oigial) e etão a liha a c e P : Q; R; S;... e ue PQ R e S ão o tai io gae coeoete à açõe: aq cr es ; ; ea oe. Ai a oa euêcia A ; ; ; ; ; oi P P P 9 cotuía a ati o ogaa P utilizao a ieia otaa (e algua outa ue ocê teá ue ecoi!). a) Ecea u ogaa é-fracta o ole e P ue aa a etaa teha coo aía.

48 ) Faça u ogaa e FRACTA ue couta a ução aeete ua euêcia e acioai oitio F aeuaa. ( ) ou eja ão aeetaeo aui a olução ete olea. Ua olução aa o ite ) oe e ecotaa a Reita Eueka 9 olução o olea ooto o 6 ágia -60. Polea 9 (OPM 0 6º e º ao o EF 0) ee olea ao etua a Áoe e Euclie. Ea áoe é cotuía a ati a ação e caa ação gea ua oa açõe e. A egui teo o teo iiciai ea áoe. Paa aze o caiho e olta e ua ação ualue co uao o eguite ao: até a ação e e e Po exelo coeçao e teo o eguite ao: Coo a ação eio e. Agoa teo etão a ação oi geaa o ao chegao o caiho. Coo ea ação oi geaa o. Seguio ee 0 Oliíaa Paulita e Mateática. htt://

49 a) Deteie o caiho oltao a ação até a ação eceeo a açõe otia e caa ao. 0 Solução: : > etão ea ação oi geaa o : 0< etão ea ação oi geaa o : 0> etão ea ação oi geaa o : < etão ea ação oi geaa o : < etão ea ação oi geaa o : > etão ea ação oi geaa o : > etão ea ação oi geaa o Logo o caiho e olta é 0 0 Vao atiui a caa ação u úeo iteio oitio ue eeeta ua oição a áoe. A ação etá a oição etá a oição etá a oição etá a oição e ai o iate. Coo caa ação gea ua açõe oeo oea ue e ua ação oui oição a açõe e geaa ela ocuaão a oiçõe e + eectiaete. Dea oa aa acha o teo ue ocua a oição t ao iiio o até ote uociete. Deoi eeo aze o ao o etio cotaio ultilicao o ou ultilicao o e oao e acoo co o eto otio a iiõe o. Po exelo aa ecota a ação ue ocua a oição iiio o oteo uociete e eto 0 ou eja = Agoa iiio o oteo uociete e eto 0 ou eja = Cotiuao o oceo oteo =. + 0 =. + =. + =. + 0 e aao aui oi otieo uociete. O eto otio e aixo aa cia ão Logo azeo ua oa o eoiao ua o ueao e ialete tê oa o eoiao. A aiicação a áoe é etão

50 9 Ou e euo. Potato a ação a oição é. ) Uao o ao ateioe eteie a ação ue etá a oição. Solução: =. + 0 =. + =. + 0 =. + 0 =. + =. + O eto otio ão: Ai azeo ua oa o ueao ua o eoiao ua o ueao e o ultio ua o eoiao. A aiicação a áoe eá etão A ação a ª oição é. Façõe Cotíua Polea 0 (CMRJ ) A ação oe e ecita o a oa oe (xyz) é igual a: x y z (A) ( ) (B) ( ) (C) ( ) (D) ( ) (E) ( ) Solução: Teo ue =. + =. + =. + =. + 0 Ai x = y = e z = htt://

51 0 Polea (Toeio a Ciae ) Calcule Solução: = Reae ue a exeão etacaa e eelho é a ea. Vao eeetá-la o x. htt:// Aceo e 0/0/0.

52 Etão = x x x x x x x x x x. Polea (OPM º e 9º ao o EF 0) O úeo eai oe e exeo a oa e açõe cotíua ito é a oa: a 0 a a a e ue a 0 é iteio e a a a... ão iteio oitio. Utiliza-e a otação a a a...]. [ 0 a 0 Po exelo aa ecee a oa e ação cotíua iicialete calculao o aio iteio eo ou igual a ee acioal. Ee é o a 0. Ai: 0 E eetio o oceo agoa aa e ai o iate oteo a... a a 0 Teo etão ue 0 []. Poe-e eota ue too acioal te ua eeetação iita (co u úeo iito e a i ) coo ação cotíua. Oliíaa Paulita e Mateática. htt://

53 A coia ica aia ai iteeate uao coieao o úeo iacioai. Caa iacioal oui ua eeetação úica coo ação cotíua a ual é iiita. E uao a tucao ela oece a elhoe aoxiaçõe acioai aa ele. Po exelo [;9...]. Aotao [ ;] oteo ua excelete aoxiação! Ua uetão exteaete iteeate a teoia e açõe cotíua é: uai úeo tê ua eeetação eióica uao ecito ea aeia? Po exelo ual úeo eal te a eeetação [ ;...] [; ]? Seja x Etão oeo oea ue (eiiue) x x x 0 x e coo x x é oitio x a azão áuea! E coo é a eeetação e? Fazeo o oceieto uual. O aio iteio eo o ue é. Ai: ( ) ( ) Reetio a aage acia: ( ) E ai o iate. Ou eja [;...] [; ]. 0 a) Ecea a eeetação e coo ação cotíua.

54 ) Ecea a eeetação e coo ação cotíua e coclua ue Solução: a) Alicao o algoito e Euclie ecotao 0 = 9. + =. + =. + 0 Ai 0 9 ) ( ) 6 ( ) Reetio a aage acia: 6 6 ( ) E ai o iate. Ou eja [;66...] [;6]. 99 = = = 6. + = (oeao ue co eeito e é ua oa 60 aoxiação e co uato caa eciai coeta eoi a ígula).

55 . Cocluõe ete taalho oa oota uetõe eoleo o auto açõe co a iteção e eeta o iteee elo etuo a Mateática a co coteúo ão tiiai o eio áico. O auto tatao e ua eeia uetõe oa ecolhio e oa a uca o uetioaeto e a ietigação a uca e oluçõe. O tóico elecioao aea e ão azee ate o coteúo áico o eio uaetal e éio iclue uetõe oíei e ee eolia co cohecieto ai eleetae. o etato e algu cao eue-e u eeolieto ai aouao eo ai aeuaa ua alicação e tua eaatóia aa oliíaa. Paa tua e Eio Fuaetal a uetõe oe euêcia e Faey oee ei aa ue ecea o óxio cojuto ue tete ecoi o egeo a euêcia ou eja ue o teo iteeiáio é a oa o ueaoe oe a oa o eoiaoe a açõe extea. Poe-e aze o exeieto e calculao a ieeça ete teo coecutio e ua euêcia eiica ue o eoiao e tal eultao eá ee igual a. A uetõe oe Cículo e Fo ão ai aeuaa ao eio éio oi eceita e cohecieto e geoetia oeo e taalhaa e algua tua e 9º ao. Po i ue ete taalho icetie tato oeoe e aluo e ue uue outa oiiliae e elação co o coteúo coo o cálculo e áea e o teoea e Pick ão eixao e ota o uão icíel é o etuo a Mateática e a iea oiiliae e elação ete eu coteúo.

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