UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES CAMPUS DE ERECHIM DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES CAMPUS DE ERECHIM DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE MATEMÁTICA CHARLES LUIS BATISTELLA CÁLCULO DO VOLUME DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO NÃO REVOLUCIONÁVEL E DA ÁREA NECESSÁRIA DA CHAPA METÁLICA PARA SUA CONSTRUÇÃO ERECHIM 008

2 CHARLES LUIS BATISTELLA CÁLCULO DO VOLUME DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO NÃO REVOLUCIONÁVEL E DA ÁREA NECESSÁRIA DA CHAPA METÁLICA PARA SUA CONSTRUÇÃO Taalo e cocluão e cuo, aeetao ao Cuo e Mateática, Deataeto e Ciêcia Exata e a Tea a URI Cau e Eeci Oietao: Pof. Mete Cléeo Alei Peoo ERECHIM 008

3 DEDICATÓRIA Deico ete taalo à eóia e eu ai que e aoiou e too o oeto.

4 AGRADECIMENTOS - Pieiaete agaeço a Deu, ela foça e coage que Ele e eu aa atigi eu ojetivo. - Ao eu oietao, Pofeo Mete Cléeo Alei Peoo, agaeço elo aoio, icetivo e ela ugetõe e toa a fae ete taalo. - Ao eu aigo e colega e taalo, que cotiuía aa que ete taalo foe ealizao, agaeço. - À ia faília, que eteve ao eu lao e aoiao e too o oeto, ou gato.

5 5 RESUMO O ojetivo ete taalo é elaoa oelo ateático que eita ecota o volue e ua eça e taição ão evolucioável e tuulaçõe quaaa aa ciculae e a áea a caa etálica eceáia aa a ua cotução. Tal eça é uaa o fuileio e iútia e geal, aa iteliga tuulaçõe e ifeete geoetia, coo, o exelo, coecta ua tuulação etagula a ua tuulação cicula. Poe e utilizaa coo oega, oe e eeja etoca ceta quatiae e outo o u eíoo cuto ou logo e teo, aa ão extaola a caaciae a áquia que etá à fete a oega. Taé eve e taque aa a aazeage e iveo tio e fluio, faia, ete outo. A eução a equação oiilita a oteção e volue e eça e taição aiaete, e a eceiae e ecoe a ogaa gáfico que leva azoável eíoo e teo aa ecoi ee valoe. Co a utilização e u otótio, eevolvea-e iótee aeaa e coceito e geoetia e e tigooetia que levaa à oteção a equaçõe eejaa. O eultao foa coaao co o valoe otio co o ogaa AutoCAD 006, a fi e valia tai equaçõe. Fizea-e, taé, algua aoage oe a itóia a ateática e oe algu aecto e Moelage Mateática. Detaca-e a iotâcia a ifoática, eecificaete o ogaa AutoCAD aliao à Mateática, o oto e vita ático e a vatage o uo a equaçõe otia. Palava-cave: Peça e taição quaao aa cicula. Volue. Áea.

6 6 LISTA DE FIGURAS Figua 1 - Foto e ua eça e taição e tuulaçõe quaaa aa ciculae...11 Figua - Vita ueio a eça...0 Figua - Ditiuição o ia o cuo... 0 Figua - Mole aciço a eça...1 Figua 5 - Localização a vaiávei utilizaa o oelo...1 Figua 6 - Localização o ólio S 1... Figua 7 - Vaiávei utilizaa aa o cálculo o volue o S 1... Figua 8 - Vita ueio o S 1... Figua 9 - Localização o ólio S...5 Figua 10 - Vaiávei utilizaa aa o cálculo o volue o S...5 Figua 11 - Localização o ólio S...6 Figua 1 - Vaiávei utilizaa aa o cálculo o volue o S...7 Figua 1 - Vita ueio o S...7 Figua 1 - Localização o ólio S...8 Figua 15 - Vaiávei utilizaa aa o cálculo o volue o S...9 Figua 16 - Caa laificaa e taçaa...1 Figua 17 - Ditiuição a coe a laificação... Figua 18 - Vaiávei utilizaa aa o cálculo a áea A 1... Figua 19 - Vaiávei utilizaa aa o cálculo a áea A... Figua 0 - Vaiávei utilizaa aa o cálculo a áea A...5 Figua 1 - Pea o ateial o cote a laificação e elação a u etâgulo...9

7 7 LISTA DE QUADROS Quao 1 - Vaiávei utilizaa aa o eevolvieto o oelo ateático aa o cálculo o volue... Quao - Vaiávei utilizaa aa o eevolvieto o oelo ateático aa o cálculo a áea... Quao - Coaação o eultao o volue...8 Quao - Coaação o eultao a áea...9

8 8 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO...10 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA UM POUCO DE HISTÓRIA...1. A MODELAGEM MATEMÁTICA SOBRE OS PROGRAMAS CAD...17 DESENVOLVIMENTO DOS MODELOS MATEMÁTICOS DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA CALCULAR O VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO DE QUADRADO PARA CIRCULAR Cálculo o volue o Sólio 1 (S 1 ) Cálculo o volue o Sólio (S ) Cálculo o volue o Sólio (S ) Cálculo o volue o Sólio (S )...8. EQUAÇÃO GERAL DO VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR...9. DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA ENCONTRAR A ÁREA DA CHAPA NECESSÁRIA PARA FABRICAÇÃO DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR Cálculo a áea o tiâgulo 1 (A 1 )..... Cálculo a áea o tiâgulo (A )..... Cálculo a áea o tiâgulo (A )...5. EQUAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR...6 RESULTADOS E ANÁLISE DOS DADOS COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS COM AS FÓRMULAS DO VOLUME E DA ÁREA E OS VALORES OBTIDOS COM O PROGRAMA AUTOCAD

9 9 5 CONCLUSÕES...1 REFERÊNCIAS... APÊNDICES... APÊNDICE A - Deevolvieto etalao o oelo ateático aa o cálculo o volue a eça e taição quaao aa cicula...5 APÊNDICE B - Deevolvieto etalao o oelo ateático aa o cálculo a áea a laificação a eça e taição quaao aa cicula...8 ANEXOS...5 ANEXO 1 - Potótio a laificação a eça e taição utilizao aa o eevolvieto o oelo aa o cálculo a áea...5 ANEXO - Peça e taição iteligao coe co válvula gaveta u eevatóio e água...5 ANEXO - Peça e taição e quaao aa cicula utilizaa coo oega...55 ANEXO - Cuaqueia acolaa a ua eça e taição...55 ANEXO 5 - Peça e taição etagula aa cicula iteligao tuulação...56

10 10 1 INTRODUÇÃO Dee o ióio a atiguiae, o oe ucava oelo ateático que aae a ificulae que eu ovo ecotava a eolução e olea ático o ia-a-ia. Ea uita a tetativa e o etuo até ecota ua fóula aa u olea eecífico que le ee ua eota e aeia áia e eficaz. Co o aaecieto e ateático iotate, tai coo Euclie, Aquiee, Tale, Pitágoa, Heo, ete outo, a Mateática gaou ua ova êfae o aioaeto o etuo e o coceito o iveo ao eta ciêcia. Algu ao coo a Geoetia Eacial, Aalítica, Decitiva e Difeecial, foa atate exloao o Pitágoa, Platão e, oetuo, o Euclie, que eceveu u livo caao Eleeto. Detaca-e a Geoetia Eacial, que aiu alo cao e etuo oe coceito e tê ieõe e eaço. A cuioiae e o facíio ela foa a atueza levaa tai ateático a exloae eta foa, eevolveo etuo oe ólio geoético que e aeelae à cofiguaçõe ecotaa a atueza. Clao que ete ólio ea e fácil viualização e e fácil aálie. Co io, foa eteiaa equaçõe aticulae aa caa ólio, co a quai ea oível calcula a áea e o volue o eo. Gaça a ete etuioo, oe-e calcula facilete, o exelo, quato ililito e óleo coota ua lata co foato cilíico, quato lito e vio cae e u ail, o eaço ocuao o ua efea, a caaciae e u cogelao, ete outa alicaçõe.

11 11 O volue o ólio, tai coo o cilio, toco e iâie, coe, cuo, aaleleíeo, ete outo, é atate utilizao a egeaia aa cotução e taque, oega, tuulaçõe oe aa fluio e ólio, caixa e aazeage e outo, etc. A áea o quaao, o etâgulo, o cículo, a cooa cicula e o eto cicula taé é e gae valia, oi atavé ela ecoio a quatiae e ateial eceáio aa ouzi equiaeto coo o citao ateioete. Outo ólio utilizao couete a egeaia, cofoe iluta a figua aaixo, ão a eça e taição que coõe tuulaçõe oe e iicia co u tuo quaao ou etagula e teia co u tuo cicula. Poe e utilizaa coo oega ou taque aa a aazeage e iveo tio e fluio ou ólio. Figua 1 Foto e ua eça e taição e tuulaçõe quaaa aa ciculae

12 1 Etetato, coo eta eça eve aa acuula outo e fluio, é eceáio ecota o volue e a áea a caa aa cofecção eta eça. Ma coo faze io, e o ólio ão é evolucioável? Po io, etuou-e ua eça e ecala eo aa efii ua equação aa a caaciae o ojeto, e coo a áea e ua uefície laa e ua caa etálica eceáia aa a oução a ea, ua vez que ão exite equaçõe eteiaa aa ete tio e atefato etálico. O eete taalo foi etutuao a eguite aeia. Na ieia eção, eceve-e a iotâcia a Geoetia a eolução e olea, exoo o olea a equia, a jutificativa e exlicao a alicailiae a eça etuaa. Na egua eção, faz-e ua aoage geal oe a itóia a ateática, efatizao a ivião a Geoetia, o ugieto, o igificao e a utilização o cálculo e volue e a áea o ao a egeaia. A teceia eção taz o eevolvieto o oelo ateático aa calcula o volue a eça e taição e a áea a laificação utilizaa a ua cofecção. Na quata eção, coaa-e, atavé e quao, o valoe e volue e áea ecotao co o oelo eevolvio e o foecio elo ogaa AutoCAD 006. Na últia eção, ão aeetaa a cocluõe a equia.

13 1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.1 UM POUCO DE HISTÓRIA Sae-e que a Mateática é ua a ciêcia ai atiga e que é oigiáia e ivea civilizaçõe a atiguiae. Salieta-e que váio ateático, coo Tale, Pitágoa, Aquiee, Euclie, ete outo, ucava a coeeão o olea exitete a ua éoca. Poé, ete olea que evolvia Mateática acaava e toao e ifícil eolução, equeeo u gae etuo o ate o ateático. Gaça ao ateático que aceitaa o eafio e eitia ão eaixa o olea e eu ovo, exite uita iteetaçõe e oluçõe o que iz eeito à foula e teoea que coõe a geoetia, a tigooetia, cálculo, efi, tuo que e efee à áea ateática (BARON, 1985,. 1). Cotuo, uito egito feito a éoca e que vivea, eea-e co o teo e o que foi ecotao etá e aio. E u ele, eoiao Paio e Mocou, é aeetao u cálculo o volue o toco e iâie. Cofoe o ite Cálculo Mateático (007), ão e ae e a iteçõe o aio ea eagógica ou ileete aotaçõe. Baicaete o aio aeeta ifoaçõe oe tigooetia, aitética, equaçõe e cálculo e áea e volue. Nota-e que o atigo tia a eocuação co o etuo a Geoetia e tetava exea o fato e foa e olea. Vale lea que Geoetia igifica eia a tea, oe ao elo gego, cofoe citação que egue.

14 1 O gego eceea que o egício ea caaze e executae cálculo e eia e ieioaeto a tea e atavé ete coecieto aiilaa eotaçõe eutiva igooa a lei aceca o eaço. A ete coecieto o gego ea o oe e Geoetia (CÁLCULO MATEMÁTICO, 007). A Geoetia ivie-e e iveo ao. Algu ele, coo a Geoetia Eacial que fucioa coo ua aliação a Geoetia Plaa (eucliiaa) e tata a técica aa o etuo e ólio ou ojeto e tê ieõe, ai coo a elação ete ee eleeto; a Geoetia Aalítica que ivetiga a oieae a lia, uefície e volue; a Geoetia Decitiva co que e eeeta e etua o ólio tiieioai, e gae valo, oi o teoea etecete a eta áea o coecieto cietífico ão utilizao, uita veze, o cotiiao e a eoa io e êe cota, coo, o exelo, a caaciae e ua gaafa aa ela aazea eteiao outo. Co a efiição e ólio que, eguo Euclie, é aquilo que te coieto, lagua, e eeua (BOYER, 1996,. 81), ugiu a iéia e volue, e, o ao e 1615, Joae Kele etiula a Steoetia ( teeo, que igifica volue e etia, que igifica eia), ou eja, o cálculo e volue aa ólio geoético. A alava volue ve e volue, que é a oieae e u ail (vio, azeite, etc) ola co faciliae. Te-e coecieto e que o ateático Aquiee atiuiu a Deócito teoea coo: too ia tiagula e ecoõe e tê iâie equivalete, o volue e u coe é u teço o volue o cilio e ea ae e altua. (BARON, 1985,. 0). Já, Euclie tata o volue o livo XII o Eleeto, oé, ão á fóula ecita. Aquiee foi o ieio a ealiza co auteticiae o cálculo e volue. Seu taalo foi etito ao volue a efea e a áea e ua uefície. Ma o que que ize volue? Cofoe o Itituto Nacioal e Mateática Pua e Alicaa (IMPA, 007), volue e u ólio é a quatiae e eaço o ele ocuao, eo io ão ua eecificação ateática, a aea ua elaoação itelectual.

15 15 E 1669, o fíico-ateático iglê Iaac Newto e o ateático Leiiz, eevolvea iultaeaete o cálculo ifeecial e itegal. Deta foa, toou-e oível aca o volue e a áea e qualque ólio ieeete e ua ietia, oi, ate io, ea eceáio o etuo e o coecieto e geoetia e tigooetia aa teta ecoi algua fóula eecífica aa eteia o volue e a áea e caa tio e ólio. Na egeaia o cálculo e volue e áea toa-e eceáio aa o ieioaeto o equiaeto, a fi e veifica e a caaciae atee à eaa o cliete, o eaço ioível a iútia aa loca o equiaeto e taé, aa aveigua o cuto e faicação cotio. Paa tato, oe-e cita, o exelo, a caaciae e aazeaeto e gão e u ilo, caaciae e etocage e oega, volue e outo que u taotao elicoial leva o oa, volue a câaa o cilio o oto e u cao. Co o aioaeto a técica e faicação, ova foa geoética foa ugio e taé oftwae eecífico e eeo, o quai aeeta ao eeita e ojetita o cálculo e aeia ai áia e volue e e áea, e a eceiae e aela a váia fóula a Geoetia.. A MODELAGEM MATEMÁTICA U o ao ai itigate a ateática e que ve cotiuio ativaete aa a cotução e oelo a ivea áea ociai é a Moelage Mateática. Há váia efiiçõe aa Moelage Mateática; euiaete, cotitui-e o oceo e tafoação e ituaçõe eai e olea ateático e olucioa-o ocuao veifica ua valiae o uo eal (BASSANEZI, 00). A equaçõe que e utiliza cotiuaete o eio acaêico ão oelo ateático aeao e teoia e coceito foulao o etuioo e váio ao e equia e eicação. Algu ete oelo foa ecito á ilae e

16 16 ao. U exelo io é o ovo egício que, eguo o ite Soateática (007), utilizava o cálculo a áea aa eaca a ooçõe e tea etiaa a caa oietáio, oi o aco ea levao uate o eíoo a ceia o Rio Nilo. Quao e eaava co u teeo iegula, que ão ea quaao e e tiagula, aelava aa u atifício eoiao tiagulação, uao até o ia e oje. De fato, a Moelage Mateática uca olucioa olea e feôeo, tafoao-o e equaçõe que e oa uufui e oo cotíuo o eio ocial. Aia ota que a Mateática evolui gaativaete e ova a ua veaeia alicailiae, ão ficao aea e cálculo ecâico feito o ael. No etato, a ecola e u oelo ateático aoiao aa coeoe a feôeo é uito ifícil. Muita veze o ateático eve faze váia tetativa a fi e ecole o elo exelo, aquele que ão fique aea e ua ela eotação ateática, a oa e aticulao e aiulao o outa eoa que eja leiga eta áea. Seguo Baaezi (00,. 1), [...] u oelo colexo oe e otivo e ogulo aa u ateático e iaequao aa o equiao que vai alicá-lo. Muita veze, a eceiae ieiata e u equiao ão ateia o u oelo acial e ile, o qual ão coota toa a vaiávei que oa ifluecia a iâica o feôeo etuao. Co o eevolvieto e coutaoe ai áio e e técica uéica eficiete, o oelo colexo uea e eolvio quae e etiçõe. No etato, algu ogaa, coo o AutoCAD, utilizao a iútia o egeeio, eeita e ojetita, ão taze o eu aõe ola eça e algu aão e ietia, que é o cao a eça e taição quaao aa cicula.

17 17 Muito ofiioai, icialete a áea e egeaia, ua ogaa coo AutoCa, Soli Wok, Iveto, ete outo, e ecee que ete utiliza iúeo oelo e vaiávei aa executa o cálculo e áea, volue, eitêcia, eão, etc. Seguo Taue Netto citao o Palloe (008), [...] u oelo ateático oe cote até 0 il equaçõe e evolve até u ilão e vaiávei. Cetaete o avaço a ifoática eite oje que e faça cálculo aa lia co itea tão colexo ai. Eoa exita ogaa que eoa e ua foa eficaz a oteção o eultao, ão e eve eixa a ateática e lao, oi ela etá eete e too o eio. Deve-e eafia e aguça a caaciae e ea, e oo que e oa eolve o olea cotiiao e aeia ala e claa, atavé e oelo ateático coitete que vie a facilita e agiliza a taefa oota o iveo ao ofiioai.. SOBRE OS PROGRAMAS CAD Coute-Aie Deig (CAD), ou eeo auxiliao o coutao, é efiio ela Wikiéia (008), coo o oe geéico e itea coutacioai (oftwae) utilizao ela egeaia, geologia, aquitetua, e eig aa facilita o ojeto e eeo técico. Cofoe a ecicloéia vitual, efeia, ete itea coite ua éie e feaeta aa cotução e etiae geoética laa (coo lia, cuva, olígoo) ou eo ojeto tiieioai (cuo, efea, etc.). Taé eve ave feaeta aa elacioa ea etiae ou ee ojeto, o exelo: cia u aeoaeto (filete) ete ua lia ou utai a foa e oi ojeto tiieioai aa ote u teceio. Aia é ecotaa a Wikiéia (008) ua aoage efeete à ivião ete o oftwae CAD. É aeaa a caaciae o ogaa e eea aea e ieõe ou cia oelo tiieioai. No oftwae oe ave itecâio ete o oelo D e o eeo D (o exelo, o eeo D oe

18 18 e geao autoaticaete a ati o oelo D). Cofoe a Wikiéia (008), a utilização o oftwae CAD fica liitaa a u guo equeo e uuáio, evio a ua itea eecialização e a eu alto cuto. Exite ouca feaeta live ea áea, e e uito aecto fica aqué o oftwae coeciai. Taé cotua eaa awae cao. O icial oftwae CAD aa iútia equea, aquiteto e teiaeto é o AutoCAD, ouzio ela eea Autoek. Seu foato e aazeaeto e aquivo (ficeio), o DWG (Dawig), é uito ifuio o ecao, e io fez co que eceteete u coócio e eea foe foao, avogao ela aage o DWG aa o oíio úlico. Paa gae iútia e ojeto ai colexo, algu oftwae ai uao ão o SoliWok, SoliEge, o Catia, o Uigaic NX, o Po-Egiee, o Iveto (taé a Autoek) e o Micotatio. A egui, algua eecificaçõe que a ecicloéia vitual Wikiéia (008) taz o ogaa ai utilizao ela iútia etal-ecâcia. AutoCAD ciao e coecializao ela Autoek, ee 198, é utilizao icialete aa a elaoação e eça e eeo técico e ua ieõe (D) e aa ciação e oelo tiieioai (D). Alé o eeo técico, o oftwae ve ioiilizao, e ua veõe ai ecete, váio ecuo aa viualização e iveo foato. É alaete utilizao e aquitetua, eig e iteioe, egeaia ecâica e e váio outo ao a iútia. O AutoCAD é atualete ioiilizao aea e veõe aa o itea oeacioal Micooft Wiow. O SoliWok é eevolvio ela SoliWok Cooatio e fucioa o itea oeativo Wiow. Baeia-e e coutação aaética, ciao foa tiieioai a ati e foa geoética eleetae. No aiete o SoliWok, a ciação e u ólio ou uefície tíica coeça co a efiição e toologia e u eoço D ou D. A toologia efie a coectiviae e ceto elacioaeto geoético ete vétice e cuva, o eoço e exteo ao eoço.

19 19 Autoek Iveto é u ogaa que eite oela iage a tê ieõe. O oelo D geao elo Autoek Iveto taé ão fucioai, ou eja, ele fucioa coo o uo eal. Se o oelo fo u oto, o exelo, a eça que e ove e gia o oelo eal taé e ove e gia o oelo D. O Autoek Iveto taé cotela a ate e egeaia, ão aea oelao a eça, coo taé ieioao-a, ueao ai o ecoo e feaeta CAD. A veão 11 o outo ve co u óulo e iulação iâica (Dyaic Siulatio), oe o ecaio é colocao o o efeito a aceleação a gaviae e e toa a outa foça eete o itea, eitio-e oeva e aalia eu cootaeto.

20 0 DESENVOLVIMENTO DOS MODELOS MATEMÁTICOS.1 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA CALCULAR O VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO DE QUADRADO PARA CIRCULAR Paa o eevolvieto o oelo ateático aa calcula o volue a eça e taição, a ate cicula foi utituía o u oecágoo (veja figua ) aa facilita o eevolvieto a equaçõe já que a ea o valo fial o volue eia íia. Deoi, coieao u cuo que foi iviio e váio ia, cujo o e eo foato e taao e atiuiu a ea co, cofoe figua. Figua Vita ueio a eça Figua Ditiuição o ia o cuo

21 1 Coo e oe oeva a figua, o ólio 1 e o ólio, eoiao eectivaete coo S 1 e S, aaece 8 veze oe a uefície o cuo. Já o ólio e o ólio, eigao coo S e S, eete-e veze. Too o ólio aeeta ae tiagula. Aó a ietificação o ólio, a extação o eo o cuo eitiia a oteção a eça eejaa, cofoe iica a figua. Figua Mole aciço a eça A figua 5 ota a localização a vaiávei atiuía aa auxilia a elaoação o Moelo Mateático. Figua 5 Localização a vaiávei utilizaa o oelo

22 O quao 1 iluta o igificao e caa vaiável e coo foa otia: l Lagua. Coieto. O coieto é igual à lagua (l) o e tata e u quaao. No eevolvieto o oelo eta vaiável ão aaeceá. Altua. Ø Diâeto a ate cicula. A Coeoe ao lao eo a ae o ólio S 1, otio a exeão A. Coeoe ao lao aio a ae o S 1, otia atavé a lagua ou coieto a eça e taição iviio o oi. Coeoe ao lao aio a ae o S, otia atavé o Teoea e B Pitágoa. Reulta a equação A, ou eja, a ioteua a ae B o S 1. Ecotao atavé o Teoea e Pitágoa. Reulta a equação L D ² L D, ou eja, a ioteua a ae o S. Otio a equação Raio a cicufeêcia. Reultate a exeão ligação que foa o oecágoo. D, ito é, a altua a ae o S. 0, 5176, ou eja, itâcia ete o oto e Reultate a exeão 1, 8660, ou eja, o aio o cículo que iceve o oecágoo. Quao 1 - Vaiávei utilizaa aa o eevolvieto o oelo ateático aa o cálculo o volue

23 ólio. A egui, egue eotação o cálculo aa ecota o volue e caa.1.1 Cálculo o volue o Sólio 1 (S 1 ) O Sólio 1 (S 1 ), e veelo, etão localizao a exteiae o cuo e totaliza 8 ia e eo foato e taao, cofoe ota a figua 6. E eguia ota-e, atavé a figua 7, a vaiávei utilizaa aa o cálculo efeete ao ólio S 1. Figua 6 Localização o ólio S 1 Figua 7 Vaiávei utilizaa aa o cálculo o volue o S 1

24 Oevao a vita ueio o S 1, cofoe ota a figua 8, A é eeicula ao lao. Figua 8 Vita ueio o S 1 Sae-e que aa calcula o volue e u ia ata ecota a áea a ua ae e ultilica-lá ela ua altua. Coo o ia é ua iâie e ae tiagula e a áea o tiâgulo é ecotaa ultilicao-e a ae ela altua e iviio o oi, a áea a ae coeoe à equação: A. Sae-e taé que o volue e ua iâie é igual a u teço o volue o ia e ea ae e ea altua (DI PIERRO NETTO; ORSI FILHO, 000). Etão: V S1 A. Áea a ae V S1, ilificao, oté-e a equação geal o volue o S 1 : V S 1 A 6

25 5.1. Cálculo o volue o Sólio (S ) O Sólio (S ), e azul, etão localizao ete o S 1, e veelo e o S, e vee, totalizao 8 ia e eo foato e taao, coo ota a figua 9. Aó, ota-e, atavé a figua 10, a vaiávei utilizaa aa o cálculo efeete ao ólio S. Figua 9 Localização o ólio S Figua 10 Vaiávei utilizaa aa o cálculo o volue o S

26 6 Paa eteia a equação o volue o S a fi e que a ea uee e uaa aa ecota o volue e qualque outo tio e eça e taição, utilizou-e a Fóula e Heo aa ecota a áea a ae a iâie, oe C é a áea que e eeja ecota e coeoe ao eieíeto. Etão: C ( ) ( B) ( L) Fóula e Heo B L Equação o Seieíeto Oteo a exeão a áea a ae a iâie é oível oela a exeão o volue o S : C. V S.1. Cálculo o volue o Sólio (S ) O Sólio (S ), e vee, etão localizao o eio o ólio S, e azul, totalizao ia e eo foato e taao, coo ota a figua 11. E eguia, ota-e, atavé a figua 1, a vaiávei utilizaa aa o cálculo efeete ao ólio S. Figua 11 Localização o ólio S

27 7 Figua 1 Vaiávei utilizaa aa o cálculo o volue o S A figua 1 ota a vita ueio o S, oe é oível oeva a outa vaiáei utilizaa o cálculo. Figua 1 Vita ueio o S Paa eteia a áea a ae o ólio foi utilizaa a fóula a áea e u tiâgulo qualque, fazeo uo a vaiávei coeoete: D S

28 8 S : Co io, é oível exea o oelo ateático que atifaz o volue o V S D V S D 6.1. Cálculo o volue o Sólio (S ) O Sólio (S ), e co ageta, etão localizao a lateai a eça, totalizao ia e eo foato e taao, coo ota a figua 1. Figua 1 Localização o ólio S A vaiávei utilizaa aa o cálculo foa a ea o S 1. Poé, aa ecota a áea a ae a iâie foi eceáio otacioa a lateal o ia 90, e oo que a ate laa ficaia aalela a u lao iagiáio, o que acaetou que a lagua cotiuaia coeoete a e o coieto, agoa, coeoee a, ou eja, à altua o S, cofoe ota a figua 15.

29 9 Figua 15 Vaiávei utilizaa aa o cálculo o volue o S Nete cao, a áea a ae é ecotaa co a eguite exeão: S Agoa, aa eteia a equação o volue o S, é eceáio aota A coo eo a ova altua. Potato: A A V S V S 6. EQUAÇÃO GERAL DO VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR Paa ecota a equação geal o volue foi feito u oatóio a equaçõe iiviuai, ultilicao caa ua ela quatiae o eectivo ólio e ilificao ao áxio toa a exeõe. Foi toao V TS, coo a vaiável que

30 0 eeeta o volue total o ólio ou a ea o volue e elação ao cuo. E eguia, egue o oceieto utilizao aa efiição o oelo ateático aa ecota o volue total a eça e taição quaao aa cicula: S S S S TS V V V V V A D C A V TS D C A V TS C V TS [ ] 8 C V TS [ ] 8 L B V TS Toao V T coo volue a eça e taição, V C coo volue o cuo e V TS coo o volue total o ólio, é oível eceve ua equação geal ilificaa aa o volue. Ai: TS C T V V V Sutituio a vaiávei elo eectivo valoe, oté-e: 0,9998,557 1,6077 0,5 0,150 0,8170 V T

31 1. DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA ENCONTRAR A ÁREA DA CHAPA NECESSÁRIA PARA FABRICAÇÃO DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR Paa o eevolvieto o oelo ateático aa ecota a áea a caa eceáia aa a faicação a eça e taição quaao aa cicula, fez-e uo a caa laificaa, eoçaa co o auxílio o AutoCAD 006. Coo a eça e taição é cofeccioaa co ua caa iguai, a laificação eeeta aea a etae o ojeto. O taço acao a uefície eve e efeêcia aa cofoa a eça. Fazeo uo o taço efeecia, foi oível eevolve a equação que eteia a áea a caa. Cofoe ota a figua 16, o taço ae o vétice a lia, que coeoe à lagua a eça, e fica a ua itâcia u o outo, e oo que quao e fize o oatóio e, te-e-á o eio eíeto o cículo a eça e taição. Paa te 100% e gaatia que a laificação coeoeá ao ojeto que e aleja ouzi, a lia e E eve e eeiculae ete i. Figua 16 Caa laificaa e taçaa

32 Nota-e que a uefície a laificação taçaa aeeta tiâgulo e ifeete ieõe e áea. O e ea áea e taao foa oeao igualete e atiuía a ea co, cofoe ota a figua 17. Figua 17 Ditiuição a coe a laificação Coo e oe oeva a figua 17, o tiâgulo 1 e, eoiao, eectivaete, A 1 e A, aaece veze o eeo a laificação, e oo que o oi tiâgulo lateai, quao oao, eeeta ua úica áea A 1. Já o tiâgulo, oeao coo A, eete-e veze. Paa caa tiâgulo foa ciaa equaçõe iiviuai a áea, utilizao-e o icíio áico e tigooetia e geoetia. Aó, toa a equaçõe foa oaa e ilificaa, a fi e e ote ua fóula oe foe oível calcula a áea a caa aa faicação e qualque eça e taição, utilizao oete a ate fuaetai o ojeto: coieto, lagua, altua e iâeto. A aioia a vaiávei eegaa aa o oelo ateático a áea ão a ea utilizaa o cálculo o volue. O quao exlaa o igificao a eai vaiávei e coo foa otia.

33 Coeoe à iagoal o lao a eça e taição ecotaa atavé o E Teoea e Pitágoa co a equação E A. Na laificação coeoe à altua a ate cetal o ojeto. Reultate a exeão Reultate a exeão E, ou eja, a ioteua o tiâgulo 1. L, ou eja, o lao aio o tiâgulo. Quao - vaiávei utilizaa aa o eevolvieto o oelo ateático aa o cálculo a áea A egui, egue eotação o cálculo aa ecota a áea e caa tiâgulo...1 Cálculo a áea o tiâgulo 1 (A 1 ) O tiâgulo 1 (A 1 ), e ageta, etá ituao o ceto a laificação e a lateai, cofoe ota a figua 17, eo que caa lateal equivale à etae a A 1. Co io, aó oaa a ua lateai, te-e tiâgulo e eo foato e ea áea, cofoe ota a figua 18. Figua 16 Figua 18 Vaiávei utilizaa aa o cálculo a áea A 1

34 Ai, te-e: A 1 E.. Cálculo a áea o tiâgulo (A ) A 1 O tiâgulo (A ), e azul, etá ituao ete a áea A 1,, e ageta, e A, e vee, totalizao tiâgulo e eo foato e ea áea, cofoe ota a figua 17. Aaixo, ota-e, atavé a figua 19, a vaiávei utilizaa aa o cálculo efeete à áea o tiâgulo A. Figua 19 Vaiávei utilizaa aa o cálculo a áea A Paa eteia a equação a áea A, a fi e que a ea uee e uaa aa ecota a áea e qualque outo tio e eça e taição, ovaete foi uaa a Fóula e Heo, oe A é a áea que e eeja ecota e 1 coeoe ao eieíeto.

35 5 Ai: 1 Equação o Seieíeto A ( ) ( ) ( ) Fóula e Heo Cálculo a áea o tiâgulo (A ) O tiâgulo (A ), e vee, etá ituao ete a áea A, e azul, totalizao tiâgulo e eo foato e ea áea, cofoe ota a figua 17. A figua 0 ota a vaiávei utilizaa aa o cálculo efeete à áea o tiâgulo A. Figua 0 Vaiávei utilizaa aa o cálculo a áea A Equação o Seieíeto A ( ) ( ) ( ) Fóula e Heo

36 6. EQUAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR Paa ecota a equação geal a áea foi feito u oatóio a equaçõe iiviuai a áea, ultilicao caa ua ela quatiae que aaece a laificação. Foi toaa T A, coo a vaiável que eeeta a áea total a laificação. Aaixo egue eotação o oceieto utilizao aa efiição o oelo ateático aa ecota a áea total a laificação a eça e taição quaao aa cicula: 1 A A A A T E A T D C B A T E A A B B 19 0, 0,588 0,98,717 1 C [ ] 0,5 0,195 0,9658 0,679 0,065 0,0669,585 0 D D C B A A T

37 7 Potato: [ ] 0,5 0,195 0,9658 0,679 0,065 0,0669 0,585 0,98,717 0,19 A T

38 8 RESULTADOS E ANÁLISE DOS DADOS.1 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS COM AS FÓRMULAS DO VOLUME E DA ÁREA E OS VALORES OBTIDOS COM O PROGRAMA AUTOCAD 006 Paa ivetiga e a equaçõe ecotaa eeeta o volue e a áea a caa a eça e taição, foa eeaa, o AutoCAD 006, tê eça e ifeete ieõe e, aó, o valoe ecotao a exeõe foa coaao co o valoe foecio elo ogaa. O quao aaixo iluta u coaativo ete o valoe ecotao co a equaçõe e o valoe foecio elo ogaa AutoCAD 006, e coo o valo o eo, aa o volue e aa a áea, e a ea e ateial a laificação e elação a u etâgulo. PEÇA 1 LARGURA E COMPRIMENTO () 150 X X X 800 ALTURA () DIÂMENTRO () EQUAÇÃO AUTOCAD ERRO VOLUME (L),5 6, 88,707 VOLUME (L),99 6,6 88,708 (L) 0,0001 0,0007 0,006 Quao - Coaação o eultao o volue

39 9 PEÇA 1 LARGURA E COMPRIMENTO () 150 X X X 800 ALTURA () DIÂMENTRO () PERDA ERRO AUTOCAD EQUAÇÃO ÁREA (²) 0,051 0,081 1,15 ÁREA (²) 0,051 0,08 1,155 (²) 0 0,0001 0,0001 (%) 7, 9,59 7,8 Quao - Coaação o eultao a áea Aaliao o quao, oeva-e que o valoe ecotao atavé a fóula o volue fica uito óxio o foecio elo ogaa AutoCAD 006 e que o eo aueta ouco à eia que o taao a eça aueta. Avaliao o quao, taé e oe oeva que o valoe otio atavé a equação a áea fica e óxio ao valoe foecio elo ogaa. A últia lia efee-e à ea o ateial o cote a laificação e elação a u etâgulo, cofoe ota a áea acuaa a figua 1. Figua 1 Pea o ateial o cote a laificação e elação à u etâgulo

40 0 Poe-e ize que a ea e ateial fica, aoxiaaete, ete 7 a 0%. O valo o eo é ecoete a quatiae e caa eciai uaa. No cálculo o volue e a áea, uao a equaçõe, foa utilizaa quato caa eciai co tucaeto. Já, o ogaa AutoCAD 006, autoaticaete ajuta o valoe aa quato caa eciai, oé, e tucaeto.

41 1 5 CONCLUSÕES O eete taalo oõe oelo ateático que eite ecota o volue e eça e taição ão-evolucioávei e tuulaçõe quaagulae aa ciculae e aa ecota a áea a caa etálica eceáia aa a ua cotução a ati e ua ieõe oiai: lagua, coieto, altua e iâeto. Mota foa geoética icou o eio acaêico, a que ão utilizaa alaete a egeaia. Oevao o eultao aaliao, oe-e coclui que o oelo ateático aeetao eeeta o volue a eça e taição e a áea a ua laificação co ouco eo, e coaao ao eultao aeetao elo oftwae AutoCAD 006. A elaoação ee oelo oe cotiui aa a eloia e ojeto oe eta eça ão alicaa, tazeo excelete cuto eefício, oi eixa o ofiioal live o uo e ogaa gáfico coo o AutoCAD aa o cálculo e volue e áea que, coo aoao ete taalo, ão e alto cuto coecial e eee e eoa qualificaa aa elaoação e oelo tiieioai colexo. Realta-e a extea iotâcia a Moelage Mateática e aceia co a ifoática, oi gaça a ete oi fatoe foi oível veifica uito ate o téio o oelo, e a equaçõe elaoaa coeoia ao volue eal o ólio e à áea eal a laificação. Ua vez ecotao valoe ivegete igificativo, o oelo ea ajutao ou coigio a fi e e ote o áxio e cofiailiae ete o valoe. Paa taalo futuo, oõe-e a elaoação e oelo ateático aa ecota o volue e eça e taição e tuulaçõe elítica aa ciculae e elítica aa quaagulae, ai coo a áea a laificaçõe.

42 REFERÊNCIAS ANTON, Howa. Cálculo: u ovo oizote. 6. e. Poto Alege: Booka, 000. ARAUJO, Etevalo C. Cuo técico e caleiaia.. e. São Paulo: Heu, 00. AUTOCAD. Wikiéia. Dioível e: <tt://t.wikieia.og/wiki/autocad>. Aceo e: 1 aio 008. BARON, Magaet E.; BROS, H. J; MAIER, Ruolf (Ta.). Cuo e itóia a ateática: oige e eevolvieto o cálculo: uiae 1. Baília: Eitoa Uiveiae e Baília, BASSANEZI, R. Eio-aeizage co oelage ateática: ua ova etatégia. São Paulo: Cotexto, Moelage ateática: ua icilia eegete o ogaa e foação e ofeoe. Dioível e: <tt:// Aceo e: 0 a BOYER, Cal B.; GOMIDE, Elza F (Ta.). Hitóia a ateática.. e. São Paulo: Ega Blüce, CÁLCULO MATEMÁTICO. Hitóia a geoetia eacial. Dioível e: <tt://calculoateatico.vilaol.uol.co./geoeacial.t>. Aceo e: 11 ov DI PIERRO NETTO, Sciioe; ORSI FILHO, Ségio. Quata: ateática e facículo aa o eio éio: o ólio geoético e ua eia. São Paulo: Saaiva, 000. GIECK, Kut; LAUAND, Calo Atôio (Ta.). Maual e fóula técica. São Paulo: Heu, 001. IMPA. Ua itoução ao cálculo e volue. Dioível e: <tt:// Aceo e: 1 ov. 007.

43 LEITHOLD, Loui. O cálculo co geoetia aalítica. e. São Paulo: HARBRA, 199. V.. LEITHOLD, Loui; PATARRA, Cyo e Cavalo (Ta.). O cálculo co geoetia aalítica. e. São Paulo: HARBRA, 199. V.1. PALLONE, S. Eea taé utiliza étoo ateático. Dioível e: <tt:// Aceo e: 1 aio 008. SENAI RS. Ifoaçõe Técica-Mecâica. 10. e. Poto Alege: CFP SENAI e Ate Gáfica Heique Ávila Betao, SOMATEMÁTICA. Hitóia a geoetia. Dioível e: <tt:// Aceo e: 11 ov. 007.

44 APÊNDICES

45 5 APÊNDICE A - Deevolvieto etalao o oelo ateático aa o cálculo o volue a eça e taição quaao aa cicula S S S S TS V V V V V Sutituio S 1, S, S e S ela eectiva equaçõe: A D C A V TS Silificao a exeão te-e: D C A V TS Sutituio a vaiávei A e D: C V TS [ ] 8 C V TS Sutituio C: [ ] 8 L B V TS

46 6 Sutituio : 8 L L B B L B L B L B V TS [ ] L L B L B V TS Sutituio B e A cotio e B: L L L V TS

47 L L V TS Sutituio L: D D V TS Sutituio D ovaete: TS V

48 8 Sutituio eo 89 0, : 9 15,5971 0,005 6,909 0,098 0,555 0,5 0,89 0,7071 V TS Sutituio eo 588, 0 te-e a equação a ea o volue e elação ao cuo: 0,9998,557 1,6077 0,5 0,150 0,8170 V TS APÊNDICE B - Deevolvieto etalao o oelo ateático aa o cálculo a áea a laificação a eça e taição quaao aa cicula 1 A A A A T Sutituio A 1, A e A ela ua eectiva equaçõe: E A T Paa facilita, caa exeão foi ilificaa iiviualete. Paa io foa atiuía vaiávei iviio a equação e quato ate: A, B, C e D. D C B A T E A Silificao A: A E A

49 9 A Silificao B: B, eo 588 0,, B B 19 0, 0,588 Silificao C: C C Sutituio : 0,0670 0,588 C Sutituio : 0,0670 0,0670 L L C Sutituio L e cotio e L: 0,0670 0,19 D C

50 50 0,0670 0,0670 D C D C Sutituio D: C Sutituio, eo 89 0, : 0,98,717 1 C Silificao D: D Sutituio 1 : D Silificao: D

51 51 Silificao: D Sutituio : L L L D L L L L D Sutituio L e ilificao a exeão: [ ] { } 565 0,,5 1,5 1,5 D D D Sutituio D e ilificao a exeão: [ ] [ ] [ ] 0,565,5 1,5 0,75 0,5 0,5 1,5 0,5 D Sutituio e ilificao a exeão: [ ] [ ] 0,565 1,5 1,750 0,5 0,065,5 0,5 0,5 0,5 1,5,5 0,5 E E E E D Sutituio E e ilificao a exeão: [ ] [ ] 0,565 0,650 0,065 1,5 0,5 0,5 0,5 1,5 0,5 0,5 D

52 5 Sutituio, eo 0, 89 : D ( 0,716 ) ( 0,0168 1,5 ) 0,000 0,978 ( 0,565 ) [ 0,9658 ( 0,0 1,88 )] 0,5 Sutituio, eo 0,5176 0, 588 : D [ 0,585 0,0669 ( 0,065 0,679 )] ( 0,9658 0,195 ) 0,5 ( A B C) D A T Potato: A T 0,19 [ 0,585 0,0669 ( 0,065 0,679 )] ( 0,9658 0,195 ) 0,5,717 0,98

53 ANEXOS 5

54 5 ANEXO 1 - Potótio a laificação a eça e taição utilizao aa o eevolvieto o oelo aa o cálculo a áea ANEXO - Peça e taição iteligao coe co válvula gaveta u eevatóio e água

55 55 ANEXO - Peça e taição e quaao aa cicula utilizaa coo oega ANEXO - Cuaqueia acolaa a ua eça e taição

56 ANEXO 5 - Peça e taição etagula aa cicula iteligao tuulação 56