Volumes parte 01. Isabelle Araujo

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1 Volumes parte 01 Isabelle Araujo

2 Introdução Suponha que queiramos medir a quantidade de espaço ocupado por um sólido S. Para isso, precisamos comparar S com uma unidade de volume. O resultado dessa comparação é um número que exprime quantas vezes o sólido S contém a unidade de volume. Esse número é a medida do volume de S, que costumamos dizer, simplesmente, volume de S. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

3 Exemplo Por exemplo, o volume do sólido S a seguir é de 12 unidades de volume: 12 U, ou seja: volume de S = 12 U Sólido S Unidade de volume: U UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Volume do bloco retangular O volume do bloco retangular é proporcional a cada uma de suas dimensões, e é determinado pela multiplicação das suas três dimensões: largura, comprimento e altura. V = abc a Como ab indica a área da base e c indica a altura, podemos c indicar o volume desse paralelepípedo retângulo assim: b Onde: B = ab (área da base); V = Bh h = c (altura correspondente). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Exercício Enche-se um recipiente cúbico com água. A aresta do recipiente é de 1,20 m. Para retirar a água desse recipiente, usam-se baldes cuja capacidade é de 9 litros. Quantos baldes devem ser retirados para esvaziar totalmente o recipiente? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Resolução Temos um recipiente cúbico cheio de água, calcularemos seu volume: Note que, para um cubo, o seu volume pode ser calculado por: V = a³ V abc V 1,2m1,2m 1,2m 1,728m³ a³ Onde a é a aresta do cubo. ou (1,2m)³ 1,728m³ UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Resolução Como 1m³ = 1000 litros, nesse recipiente, teremos 1728 litros. Cada balde retira 9 litros, então dividiremos esse volume do recipiente pela capacidade de cada balde para achar o número n de baldes necessários para esvaziar totalmente esse recipiente: 9L 1balde 1728L n baldes n Então, 192 baldes são necessários para esvaziar esse recipiente. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Volume do prisma Tomando como base o princípio de Cavalieri, podemos definir como calcular o volume de prismas. A partir desse princípio, chega-se à conclusão que o volume de um prisma qualquer é obtido fazendo área da base altura, temos: Exemplos de prismas V = Bh Onde: B é a área da base; h é a altura. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

9 Exercício Com o objetivo de trabalhar com seus alunos o conceito de volume de sólidos, um professor fez o seguinte experimento: pegou uma caixa de polietileno, na forma de um cubo com 1 metro de lado, e colocou nela 600 litros de água. Em seguida, colocou, dentro da caixa com água, um sólido que ficou completamente submerso. Considerando que, ao colocar o sólido dentro da caixa, a altura do nível da água passou a ser 80 cm, qual era o volume do sólido? a) 0,2m³ b) 0,48m³ c) 4,8m³ d) 20m³ e) 48m³ UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

10 Resolução Sabemos que a caixa de 1m³ tem uma capacidade de 1000 litros. Então, colocou-se 600 litros de água nesse caixa. Ao colocar um objeto na caixa, notou-se que o nível de água aumentou, a altura de água ficou medindo 0,8m. Então vamos ver quanto foi esse acréscimo de volume, pois todo esse acréscimo é, justamente, o volume do objeto que foi totalmente submerso. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10

11 Resolução Esse acréscimo do volume é a variação, ou seja, o volume final o volume inicial. V inicial 600L V final V V Ab h final V (1m1m) 0,8m inicial 800L - 600L 0,8m³ 800L V 200L 0,8 m V O volume do objeto submerso 1 m é 200 L ou 0,2 m³. 1 m Resposta correta: Letra a UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

12 Exercício Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 cm² de área lateral. Seu volume vale: a) 16m³ b) 32m³ c) 64m³ d) 4 3 m³ e) 16 3 m³ UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12

13 Resolução a a Base a a a² 3 A a base 4 a (triângulo equilátero) Face a A a face a² a A área lateral é o somatório das áreas das três faces, ou seja, 3a². Igualamos isso ao valor de 48 cm² que a questão fornece e acharemos o valor de a: 48 a² 48cm² a² cm² 16cm² a 16cm² 4cm 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

14 Resolução Achamos o valor de a, agora vamos achar o volume do prisma, multiplicando a área da base e a altura: a² 3 (4)² 3 V Abase h a V (4) 16 3cm³ 4 4 A área da base é um triângulo equilátero (três lados iguais). A altura mede a. O volume doprismaé16 3cm³. Alternativa correta: Letra e UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14

15 Exercício (ITA-SP) Dado um prisma onde sua base é um hexágono regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. Qual o valor do volume desse prisma? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15

16 Resolução Num hexágono regular, temos seis triângulos equiláteros, a área da sua base será: a² 3 3a² 3 Abase 6.A equilátero A área de cada face é o produto de a altura, ou seja, 3a cm². A área lateral total será seis vezes a área de cada face, ou seja, 6(3a) cm = 18a cm². Nesse caso, a questão diz que a área lateral é o dobro da área da base, então: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

17 Resolução A lateral 2 A base 18a 2 3a² 2 a² a a² 3 6 a 3 a 2 3cm 3 3 Agora poderemos descobrir a área da base e, consequentemente, o volume do prisma: 3 3(2 3)² V Abase h O volume desseprismaé 54 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17 a 54 3cm³ 3cm³

18 Exercício Dispondo-se de uma folha de cartolina, medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha. O volume dessa caixa, em cm³, será: a) b) c) d) e) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

19 Resolução Temos a seguinte situação: 50 cm 30 cm 8 cm 8 cm 30 (2 8) cm 50 (2 8) cm UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19

20 Resolução Note que, após as mudanças feitas, a caixa terá 34 cm x 14 cm como dimensões de base e 8 cm de altura. Vamos calcular o volume: V V V V A base h (476cm²) 8cm 3808cm³ 14 cm (34cm14cm)8cm 34 cm O volume dessa caixa será 3808 cm³. Resposta correta: Letra d UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20

21 Exercício Uma fábrica que produz porcas de parafuso fará embalagens do seu produto. Para isso, gostariam de saber o volume de cada peça para que sejam feitas embalagens de acordo com o volume de cada peça. Qual o volume de cada porca de parafuso cuja forma e medidas estão na figura a seguir? 5 mm 6 mm 8 mm UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21

22 Resolução Vamos chamar de V 1 o volume do prisma maior (prisma externo) e V 2 o volume do prisma menor (prisma interno). Note que o volume da peça será dado por: V = V 1 - V 2. 5 mm Vamos calcular V 1 : 8 mm ² 3 (8)² 3 B ,2mm³ 4 4 V B h 163,2mm² 5mm 816mm³ mm UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22

23 Resolução Vamos calcular V 2 : B V 2 2 ² 3 (6)² ,8 mm³ 4 4 B h 91,8mm² 5mm 459mm³ 2 Vamos calcular V: V 2 V1 V 816mm³ 459mm³ 357mm³ O volume da porca de parafuso é 357 mm³ UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23

24 Referências Bibliográficas DANTE, L. R. Matemática Volume único. Editora Ática UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24