DISTRIBUIÇÃO DE RENDA E RIQUEZA À LUZ DOS NOVOS FATOS ESTILIZADOS

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1 DISTRIBUIÇÃO DE RENDA E RIQUEZA À LUZ DOS NOVOS FATOS ESTILIZADOS Mauro Parão Brasília-DF Fevereiro-2017

2 Universidade de Brasília Faculdade de Economia, Adminisração e Conabilidade Programa de Pós-Graduação em Economia DISTRIBUIÇÃO DE RENDA E RIQUEZA À LUZ DOS NOVOS FATOS ESTILIZADOS Mauro Parão Orienador: Ricardo Araújo Disseração de Mesrado em Economia Brasília-DF Fevereiro-2017

3 À minha mãe, por er sempre me ensinado a imporância de nos excenrarmos

4 Agradecimenos Ao meu orienador, Ricardo Araújo, pela ampla liberdade que me deu na definição dos rumos da disseração. À minha mãe, Isa Helena, pelo enorme amor recebido, eernamene grao! Ao meu pai, João, pela leiura conjuna da obra magna do Pikey! À minha irmã, Ana Luiza, ao meu irmão, Rafael, e à mãe dele, Maria Nilda, compleando minha família mais próxima! Aos meus amigos da Maemáica, Adail, Jorge e Lucas, valeu por erem me presigiado na minha defesa! A@s amig@s da Economia, Allan, André, Érica, Heior, Naália e Pedro, muio grao por odo apoio! À minha super amiga, Alessandra, e ao meu super amigo, Jansler, pelo enorme carinho!

5 Of he endencies ha are harmful o sound economics, he mos seducive, and in my opinion he mos poisonous, is o focus on quesions of disribuion. R. Lucas JR. 2004). The Indusrial Revoluion: Pas and Fuure. FED of Minneapolis. Theoreical models, absrac conceps, and equaions such as r > g, o which I reurn in greaer deail below) also play a cerain role in my analysis. However his role is relaively modes as I believe he role of heory should generally be in he social sciences and i should cerainly no be exaggeraed. Models can conribue o clarifying logical relaionships beween paricular assumpions and conclusions bu only by oversimplifying he real world o an exreme poin. Models can play a useful role bu only if one does no overesimae he meaning of his kind of absrac operaion. All economic conceps, irrespecive of how scienific hey preend o be, are inellecual consrucions ha are socially and hisorically deermined, and which are ofen used o promoe cerain views, values, or ineress. Models are a language ha can be useful only if solicied ogeher wih oher forms of expressions, while recognizing ha we are all par of he same conflic-filled, deliberaive process. T. Pikey 2015). Puing Disribuion Back a he Cener of Economics: Reflecions on Capial in he Tweny-Firs Cenury. Journal of Economic Perspecives.

6 DISTRIBUIÇÃO DE RENDA E RIQUEZA À LUZ DOS NOVOS FATOS ESTILIZADOS Resumo Nessa disseração, apresenamos uma inrodução concisa e auo-conida ao exenso assuno da evolução da desigualdade das disribuições de renda e riqueza. Além de apresenar no primeiro capíulo um resumo dos principais faos empíricos e das explicações eóricas oferecidas por Pikey sobre esse assuno, bem como apresenar com cero dealhe as principais conrovérsias relacionadas no úlimo capíulo, a disseração procura apresenar de forma auoconida as definições, os modelos e os resulados analíicos que fornecem o fundameno eórico para esse debae. No erceiro capíulo da disseração, inroduzimos um novo modelo de crescimeno neoclássico com agenes heerogêneos que generaliza e aperfeiçoa os modelos apresenados em Pikey e Zucman, 2015) e em Nirei, 2009; S. Aoki e M. Nirei, 2015a). Também apresenamos um resulado novo relacionando as desigualdades de renda oal, de riqueza e de salários. Palavras-chave: Faos esilizados de Pikey, Modelo de Crescimeno Neoclássico, Agenes heerogêneos, Processo de Kesen, Disribuição de Pareo, Curva de Lorenz, Coeficiene de Gini.

7 DISTRIBUIÇÃO DE RENDA E RIQUEZA À LUZ DOS NOVOS FATOS ESTILIZADOS Absrac In his hesis, we presen a concise and self-conained inroducion o he exensive subjec of he evoluion of income and wealh disribuions. Besides presening in he firs chaper a summary of he main empirical facs and heorehical explanaions given by Pikey, as well presening wih some deail he main conroversies in he final chaper, he hesis ry o presen in a selfconained way he definiions, he models and he analyical resuls which provide he heoreical background for his debae. In he hird chaper of he hesis, we inroduce a new neoclassical growh model wih heerogeneous agens which generalizes and improve he models presened in Pikey and Zucman, 2015) and in Nirei, 2009; S. Aoki and M. Nirei, 2015a). We also presen a new resul relaing oal income, wealh and wage inequaliies. Keywords: Pikey s sylized facs, Neoclassical growh model, Heerogeneous agens, Kesen process, Pareo disribuion, Lorenz curve, Gini index.

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9 Sumário 1 Inrodução Disribuição Funcional da Renda Disribuição Individual da Renda e da Riqueza Principais Resulados Próximos Passos Disribuição Funcional da Renda Leis Fundamenais do Capialismo de Pikey Modelo de Disribuição Agregado Taxa de Poupança Brua Consane Taxa de Poupança Líquida Consane Disribuição Individual da Renda e da Riqueza Modelo de Disribuição Desagregado Disribuições da Renda e da Riqueza Tribuação da Renda e da Herança Modelo de Nirei Modelo de Pikey

10 2 SUMÁRIO 4 Críicas aos Resulados de Pikey Conrovérsias do Capial Capial e Riqueza Elasicidades de Subsiuição Teorias de Poupança Eficiência de Pareo A Disribuições e Desigualdades 97 A.1 Curva de Lorenz A.2 Coeficiene de Gini A.3 Disribuição de Pareo A.4 Processo de Kesen B Disribuição Funcional da Renda 115 B.1 Modelo de Disribuição Agregado B.2 Taxa de Poupança Brua Consane C Disribuição Individual da Renda e da Riqueza 129 C.1 Modelo de Disribuição Desagregado C.2 Modelo de Nirei

11 Capíulo 1 Inrodução O recene crescimeno da desigualdade de renda e riqueza enre indivíduos e o aumeno da parcela da renda do capial na renda nacional nos países desenvolvidos desencadearam a reomada do ineresse por esse assuno ano no meio acadêmico, quano enre o público em geral. Como mencionado em Foser e Yaes 2014, noa 18), nos arquivos do jornal The New York Times, o número de arigos classificados sob o nome desigualdade de renda salou de 2660, enre Janeiro de 1977 e Janeiro de 2007, um período de 30 anos, para 4260, enre Janeiro de 2007 e Janeiro de 2014, um período de apenas 7 anos. Houve uma reomada do ineresse em modelos que expliquem a disribuição da renda enre os faores e ambém a disribuição da riqueza enre indivíduos, à luz dos novos faos esilizados. Além disso, esses modelos podem ser muio imporanes no correo enendimeno da relação das ouras variáveis macroeconômicas com as disribuições de renda e riqueza e com o grau de mobilidade social. Isso é fundamenal na correa avaliação de políicas de redisribuição baseadas, por exemplo, na ribuação ou na regulação do mercado 3

12 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO de rabalho, como a definição do valor do salário mínimo. Num país com o nível de desigualdade exisene no Brasil, essas preocupações se ornam ainda mais relevanes, sendo ambém imporane adapar as eorias gerais às evenuais caracerísicas específicas de países em desenvolvimeno. As eorias de crescimeno e disribuição da segunda meade do século XX foram no geral foremene influenciadas, além dos rabalhos de Harrod 1939), Domar 1946), Solow 1956) e Swan 1956), pelo rabalho de Kaldor 1961; Jones e Romer, 2010), que foi responsável por sineizar os assim denominados Faos Esilizados de Kaldor: 1. A produividade do rabalho cresce a uma axa susenável; 2. O capial por rabalhador cresce a uma axa susenável; 3. A axa real de reorno do capial se maném esável; 4. A razão capial sobre produo se maném esável; 5. A parcela da renda do capial sobre a renda nacional se maném esável. Mais recenemene, principalmene devido aos rabalhos empíricos de Thomas Pikey e seus colaboradores, o aumeno da ampliude emporal e espacial nos dados coleados permie ermos uma visão mais ampla da evolução das principais variáveis no longo prazo e enre diversos países. À luz desses novos dados, alguns desses faos esilizados foram confirmados, enquano ouros iveram que ser revisos Pikey, 2014 e 2015; Pikey e Zucman, 2015): 1. A axa real de reorno do capial se maneve em orno de 5% ao ano nos úlimos dois milênios.

13 5 2. A razão capial sobre produo pode variar subsancialmene. Por exemplo na França, ela caiu de cerca de 7, em 1900, para cerca de 2, em 1950, para volar a subir para cerca de 5, em 2000; 3. A parcela da renda do capial sobre a renda nacional pode variar subsancialmene. Por exemplo na França, ela caiu de cerca de 40%, em 1925, para cerca de 25%, em 1955, e depois para cerca de 15%, em 1985, para reornar para cerca de 25%, em Observamos que a noável esabilidade da axa real de reorno do capial recebeu aenção especial por Pikey na sua enaiva de explicar os dados enconrados e ambém nos seus prognósicos e preocupações sobre a evolução das desigualdades da renda e da riqueza no século XXI. Por ouro lado, a denominada Lei de Bowley, que afirma a consância da parcela da renda do capial sobre a renda nacional, esá claramene em conradição com os dados. Além disso, além da disribuição da renda enre os faores de produção, os novos dados apresenados nos fornecem um visão sobre a disribuição da renda e da riqueza enre indivíduos Pikey, 2014; Pikey e Zucman, 2015; Sigliz, 2015): 1. Aumeno da desigualdade enre salários; 2. A desigualdade da riqueza maior do que a desigualdade da renda; 3. Nos EUA, o salário médio permaneceu esagnado nas úlimas décadas, mesmo com o aumeno da produividade. Esse novos faos conradizem a hipóese formulada por Kuznes 1955), denominada Lei de Kuznes, de que a desigualdade de renda aumenaria nos pri-

14 6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO meiros eságios do desenvolvimeno econômico e diminuiria após o pleno desenvolvimeno econômico ser aingido. As explicações apresenadas por Pikey foram alvo de diversas análises, ano por auores orodoxos Acemoglu e Robinson, 2015; Bonne e ali, 2014; Bjork, 2014; Cowell, 2014; Homburg, 2015; Jones, 2015; Krussel e Smih, 2015; Ray, 2014; Rognlie, 2014; Solow, 2014), quano por auores heerodoxos Barbosa- Filho, 2016; Foser e Yaes, 2014; Galbraih, 2014; López-Bernardo e ali, 2016; Michl, 2016; Rowhorn, 2014; Semieniuk, 2014; Taylor, 2014; Varoufakis, 2014), ornando essa área basane efervescene nos úlimos anos. A obra magna de Pikey é comparada por muios à obra magna de Marx, seja pela escolha provocaiva do íulo, seja pela idenificação de leis gerais do capialismo Acemoglu e Robinson, 2015). Enreano alguns auores da radição Marxisa preferem esabelecer o paralelo enre a obra de Pikey e a de Keynes, onde o úlimo afirma a não validade da Lei de Say, a ausência de limies naurais para o desemprego no capialismo, o primeiro afirma a não validade da Lei de Kuznes, a ausência de limies naurais para a desigualdade no capialismo Foser e Yaes, 2014). Essas explicações apresenadas por Pikey para os novos faos empíricos, ano em Pikey, 2014), quano principalmene em Pikey e Zucman, 2015), dividem-se em duas pares. A primeira, procura explicar a evolução da razão capial sobre produo e ambém a evolução da disribuição da renda enre os faores de produção, aravés de numa versão do modelo de crescimeno de Solow-Swan, onde a função de Cobb-Douglas é subsiuída por uma função de produção com elasicidade de subsiuição consane e onde ano o produo, quano o invesimeno são quanidades líquidas de depreciação e a axa líquida de poupança é considerada consane. A segunda, procura esabelecer

15 1.1. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA 7 a relação enre a desigualdade de riqueza enre indivíduos e o diferencial enre a axa real de reorno do capial e a axa real de crescimeno do produo aravés de um modelo onde agenes heerogêneos esão sujeios a choques aleaórios idiossincráicos nas suas axas líquidas de poupança. Nese capíulo, para se eviar repeições desnecessárias, as proposições da presene disseração serão ciadas enre parêneses, sem maiores referências. 1.1 Disribuição Funcional da Renda Nesa seção, apresenamos os principais dados empíricos e as principais explicações eóricas dadas por Pikey sobre a evolução da disribuição da renda enre os faores de produção. Figura 1.1: Evolução de β na Inglaerra 800% 700% 600% 500% Capial líquido no exerior Ouros capiais domésicos Capial imobiliário Terras agrícolas 400% 300% 200% 100% 0%

16 8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Iniciamos considerando a evolução de longo prazo da razão capial pelo produo líquido β e sua decomposição em erras agrícolas, capial imobiliário, ouros capiais domésicos e o capial líquido no exerior. Durane oda essa disseração, o capial acumulado é medido em ermo do seu valor a preços de mercado, de modo que adoaremos a idenificação uilizada por Pikey enre capial e riqueza. Quesionamenos em relação a esse procedimeno são abordados em dealhes na segunda seção do úlimo capíulo da presene disseração. Os gráficos das Figuras 1.1, 1.2, 1.3 foram elaborados a parir dos gráficos, respecivamene, 15.1, 15.2, 15.3 de Pikey e Zucman, 2015). Figura 1.2: Evolução de β na França 800% 700% 600% 500% Capial líquido no exerior Ouros capiais domésicos Capial imobiliário Terras agrícolas 400% 300% 200% 100% 0% É níida a similaridade da evolução de β ocorrida na França e na Inglaerra, um ano diferene do que ocorreu nos Esados Unidos. Os dois primeiros já eram economias desenvolvidas no século XIX, enquano o úlimo ainda

17 1.1. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA 9 Figura 1.3: Evolução de β nos Esados Unidos 700% 600% 500% Capial líquido no exerior Ouros capiais domésicos Capial imobiliário Terras agrícolas 400% 300% 200% 100% 0% se desenvolvia, e foram muio mais duramene afeadas pela Primeira Guerra Mundial, que foi uma guerra essencialmene europeia. Enreano, em odos os rês exemplos, é níida a diminuição da imporância relaiva das erras agrícolas em relação ao crescene papel do capial imobiliário e dos ouros capiais domésicos. Também é níida a diminuição da paricipação do capial líquido no exerior na França e na Inglaerra com o desmanelameno dos seus impérios coloniais, com a Primeira Guerra Mundial, no caso da França, e com a Segunda Guerra Mundial, no caso da Inglaerra. Vamos agora considerar a evolução nas úlimas quaro décadas da razão capial pelo produo líquido β, fração do produo líquido que remunera o capial α e da axa real de reorno líquida do capial r de um conjuno de oio países desenvolvidos. Os gráficos das Figuras 1.4, 1.5, 1.6 foram elaborados a parir

18 10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO dos gráficos 15.8, 15.25, de Pikey e Zucman, 2015). Figura 1.4: Evolução de β em oio países desenvolvidos 800% 700% 600% 500% EUA Alemanha Inglaerra Canada Japão França Iália Ausrália 400% 300% 200% 100% Em linhas gerais, a explicação apresenada por Pikey para esses dados se baseia nos choques exógenos produzidos pela duas Guerras Mundiais e pela Grande Depressão e pelas denominadas Leis Fundamenais do Capialismo, inroduzidas por ele. A Primeira Lei Fundamenal é de fao uma idenidade conábil confira a Proposição 2.1), que relaciona as variáveis dos rês gráficos: r = α β 1.1) A Segunda Lei Fundamenal pode ser obida aravés de alguma versão do modelo de crescimeno neoclássico, onde ano o produo, quano o invesimeno são quanidades líquidas de depreciação confira as Proposições 2.2 e 2.6). Nesse

19 1.1. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA 11 40% Figura 1.5: Evolução de α em oio países desenvolvidos 35% 30% 25% 20% 15% EUA França Ausrália Japão Inglaerra Iália Alemanha Canada 10% caso, a razão capial pelo produo líquido β se aproxima no longo prazo de β = s g 1.2) onde s é a axa líquida de poupança no esado esacionário e g é a axa de crescimeno do produo ambém no esado esacionário, dada essencialmene pela axa de crescimeno demográfico mais a axa de crescimeno da produividade do rabalho. Após os choques ocorridos na primeira meade do século XX, a razão capial pelo produo líquido β vola a se aproximar do valor dado pela Segunda Lei. Além disso, a axa de crescimeno g se reduz subsancialmene do período enre 1945 e 1975, a denominada Era Dourada do Capialismo, para o período subsequene enre 1975 e 2010, principalmene devido a uma fore redução do crescimeno demográfico. Essa redução em g e uma cera esabilidade em s explicariam enão o crescimeno de β para paamares próximos

20 12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 12% Figura 1.6: Evolução de r em oio países desenvolvidos 10% 8% 6% 4% 2% EUA França Ausrália Japão Inglaerra Iália Alemanha Canada 0% aos regisrados anes da Primeira Guerra Mundial. Como a derivada axa real de reorno líquida do capial pela razão capial pelo produo líquido é dada por d r d β = r 1.3) β de modo que é sempre negaiva, enão esse crescimeno de β explicaria o decrescimeno de r confira a Proposição 2.9). Finalmene, como a derivada da fração do produo líquido que remunera o capial pela razão capial pelo produo líquido é dada por d α d β = 1) r 1.4) o crescimeno simulâneo de α e β seria explicado pela elasicidade de subsiuição líquida ser maior do que a unidade no longo prazo. Esse é um dos ponos de maior conrovérsia nas explicações dadas por Pikey, como abor-

21 1.2. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA 13 dado em dealhes na erceira seção do úlimo capíulo da presene disseração. Ouro pono conroverido é que Pikey realiza esáicas comparaivas assumindo que a axa líquida de poupança no esado esacionário s é consane em relação a g. Como observado em Krusell e Smih, 2015) e abordado em dealhes na quara seção do úlimo capíulo da presene disseração, essa hipóese pressupõe uma eoria de poupança muio pouco defensável, principalmene nas exrapolações feias por Pikey para o século XXI. 1.2 Disribuição Individual da Renda e da Riqueza Nesa seção, apresenamos os principais dados empíricos e as principais explicações eóricas dadas por Pikey sobre a evolução da disribuição da renda e da riqueza enre os indivíduos. Tabela 1.1: Desigualdade nas Disribuições dos Salários Exraos Escandinávia ) Europa 2010) EUA 2010) 10% de cima 20% 25% 35% 1% superior 5% 7% 12% 9% seguines 15% 18% 23% 40% do meio 45% 45% 40% 50% de baixo 35% 30% 25% Gini 19% 26% 36% Iniciamos apresenando a seguines abelas, elaboradas a parir das abelas de Pikey, 2014), que são versões simplificadas uilizadas por Pikey das curvas de Lorenz das disribuições dos salários, da renda oal e do capial

22 14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO acumulado, e incluem seus respecivos coeficienes de Gini. Informações sobre curva de Lorenz e coeficiene de Gini se enconram no primeiro capíulo do apêndice da presene disseração. Pikey uiliza a seguine erminologia para os diferenes exraos sociais: os 10% de cima formam a classe ala, os 40% do meio formam a classe média e os 50% de baixo formam a classe baixa. A classe ala, por sua vez, pode ser subdividida nos 1% superior, que formam a classe dominane, e nos 9% seguines, denominados simplesmene de abasados. Tabela 1.2: Desigualdade nas Disribuições da Renda Toal Exraos Escandinávia ) Europa 2010) EUA 2010) 10% de cima 25% 35% 50% 1% superior 7% 10% 20% 9% seguines 18% 25% 30% 40% do meio 45% 40% 30% 50% de baixo 30% 25% 20% Gini 26% 36% 49% Podemos idenificar dois padrões claros em relação aos níveis de desigualdade. Primeiro, em relação às rês disribuições, a Escandinávia na década de 1970 possui as menores desigualdades, seguida pela Europa em 2010, que por sua vez é seguida pelos Esados Unidos ambém em 2010, a mais desigual das regiões. Segundo, em relação às rês regiões, a disribuição dos salários possui as menores desigualdades, seguida da disribuição da renda oal, que por sua vez é seguida pela disribuição do capial acumulado, a mais desigual enre as disribuições.

23 1.2. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA 15 Tabela 1.3: Desigualdade nas Disribuições do Capial Acumulado Exraos Escandinávia ) Europa 2010) EUA 2010) 10% de cima 50% 60% 70% 1% superior 20% 25% 35% 9% seguines 30% 35% 35% 40% do meio 40% 35% 25% 50% de baixo 10% 5% 5% Gini 58% 67% 73% Figura 1.7: Evolução de parcelas do capial acumulado na França 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 10% de cima 1% superior 0% Agora apresenamos a evolução nos úlimos dois séculos da disribuição do capial acumulado, focando na classe ala os 10% de cima) e na classe dominane os 1% de cima). Como uma regra práica, o percenual acumulado pelos 10% de cima fornece uma razoável aproximação para o coeficiene de Gini. Os

24 16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO gráficos das Figuras 1.7, 1.8, 1.9, 1.10 foram elaborados a parir dos gráficos 15.11, de Pikey e Zucman, 2015). 100% 90% 80% 70% 60% 50% Figura 1.8: Evolução de parcelas do capial acumulado na Inglaerra 40% 30% 20% 10% de cima 1% superior 10% 0% É níida a similaridade da evolução da paricipação das classes ala e dominane na disribuição do capial acumulado ocorrida na França, na Inglaerra e na Suécia, um pouco diferene do que ocorreu nos Esados Unidos. Nos países europeus, a paricipação das classes ala e dominane na disribuição do capial acumulado foi exremamene elevada aé %-90% e 50%-70%), quando se inicia uma persisene redução aé 1970, aingindo um paamar subsancialmene menor 60%-70% e 20%), e depois um ligeiro crescimeno aé Nos Esados Unidos, essa paricipação das classes ala e dominane saiu de um paamar não muio elevado em % e 25%) para valores bem mais elevados em % e 40%), ainda que menores do que os níveis exremos prevalecenes nos países europeus no século XIX, quando se inicia uma persisene

25 1.2. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA % 90% 80% 70% 60% 50% Figura 1.9: Evolução de parcelas do capial acumulado na Suécia 40% 30% 20% 10% de cima 1% superior 10% 0% % 90% 80% 70% 60% 50% 40% Figura 1.10: Evolução de parcelas do capial acumulado nos EUA 30% 20% 10% 10% de cima 1% superior 0%

26 18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO redução aé 1970, essencialmene reornando aos valores de 1810, e depois um subsancial crescimeno aé 2010, volando ao paamar de A explicação apresenada por Pikey para esses dados ambém se baseia nos choques exógenos produzidos pela duas Guerras Mundiais e pela Grande Depressão, mas devido a sua influência ano na desruição de capial, quano na criação da ribuação progressiva sobre a renda e a herança. Esses faores provocaram a subsancial redução do diferencial r g enre a axa real de reorno líquida do capial e a axa real de crescimeno do produo e a consequene redução na desigualdade da disribuição do capial acumulado, como explicado abaixo. Se levarmos em cona os efeios da ribuação, esse diferencial passou a ser negaivo nos úlimos cem anos, período que coincide com a redução da paricipação das classes ala e dominane na disribuição do capial acumulado. Uma das principais preocupações expressas na obra magna de Pikey é que reduções da ribuação, devido a dispusas globais pela aração de capiais, e ambém reduções nas axas de crescimeno demográfico e do crescimeno da produividade do rabalho possam levar a um aumeno do diferencial r g, com o consequene reorno da desigualde da disribuição do capial acumulado a níveis próximos aos prevalecenes anes da Primeira Guerra Mundial. Os gráficos das Figuras 1.11 e 1.12 foram elaborados a parir dos gráficos e de Pikey e Zucman, 2015). A jusificaiva eórica para a ligação enre o diferencial r g e a paricipação das classes ala e dominane na disribuição do capial acumulado se dá aravés de um modelo de crescimeno e disribuição relaivamene simples, com agenes heerogêneos, onde a axa de reorno líquida do capial r é consane e dada exogenamene e a axa de poupança líquida pode variar enre os indiví-

27 1.2. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA 19 6% Figura 1.11: Evolução de r e g pré-ribuação no mundo 5% 4% 3% axa de reorno líquida do capial pré-ribuação) axa de crescimeno 2% 1% 0% Figura 1.12: Evolução de r e g pós-ribuação no mundo 6% 5% 4% 3% axa de reorno líquida do capial pós-ribuação) axa de crescimeno 2% 1% 0%

28 20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO duos aravés de choques aleaórios idiossincráicos. O capial acumulado pelos indivíduos saisfaz o que é conhecido na lieraura como processo de Kesen e sua disribuição converge para uma disribuição esacionária cuja cauda superior se aproxima assinoicamene de uma disribuição de Pareo Kesen, 1973, 1974; Goldie, 1991). Se a disribuição da axa de poupança líquida é igual a s/p com probabilidade p e é igual a zero com probabilidade 1 p, o correspondene expoene de Pareo é dado por P = log1/p) ) 1.5) s 1 + r log p 1 + g que esá inversamene relacionado à desigualdade confira a Proposição 3.8). Nesse caso mais simples, segue enão que um aumeno no diferencial r g diminui o expoene P, consequenemene aumenando a desigualdade. Os dealhes desse modelo de Pikey são apresenados na úlima seção do erceiro capíulo da presene disseração, enquano informações sobre processo de Kesen e disribuição de Pareo se enconram no primeiro capíulo do apêndice da presene disseração. O fao de Pikey apresenar um modelo macroeconômico onde a axa de reorno líquida do capial r é consane e dada exogenamene, foi alvo de críicas por pare de alguns auores Sigliz, 2015). Uma possível resposa a essas críicas é a versão do modelo de Solow-Swan com agenes heerogêneos apresenada em Nirei, 2009; S. Aoki e M. Nirei, 2015a), onde cada agene em acesso à mesma ecnologia dada por uma função de Cobb-Douglas esá sujeio a choques aleaórios idiossincráicos na produividade do rabalho. Nesse modelo, o capial acumulado pelos indivíduos ambém é um processo de Kesen, de modo que sua disribuição ambém converge para uma disribuição esacio-

29 1.3. PRINCIPAIS RESULTADOS 21 nária cuja cauda superior se aproxima assinoicamene de uma disribuição de Pareo, cujo coeficiene ambém depende do diferencial r g. Os dealhes desse modelo de Nirei são apresenados na penúlima seção do erceiro capíulo da presene disseração. Uma dealhada panorâmica sobre modelos econômicos que produzem disribuições do capial acumulado com cauda superior de Pareo é apresenada em Benhabib e Bisin, 2016). Como veremos na próxima seção, uma das principais conribuições da presene disseração é generalizar e aperfeiçoar os modelos de Nirei e de Pikey. 1.3 Principais Resulados O primeiro objeivo dessa disseração sempre foi o de fornecer uma inrodução clara e concisa a esse assuno exenso e de fundamenal imporância, sobre a evolução da desigualdade das disribuições de renda e riqueza. Além de apresenar um resumo dos principais faos empíricos sobre esse assuno e das explicações oferecidas por Pikey na inrodução, bem como apresenar com cero dealhe as principais conrovérsias relacionadas no úlimo capíulo, a disseração procura apresenar de forma auo-conida, as definições, os modelos e os resulados analíicos que fornecem o fundameno desse debae. Por exemplo, diversas fórmulas relacionando as principais variáveis nas suas versões líquida e brua, muio uilizadas nas argumenações, são apresenadas de forma organizada e com suas respecivas demonsrações. Além desse objeivo prioriário, alguns resulados novos aparecem nos dois capíulos écnicos da pare principal, como ambém no apêndice. Cada um dos dois capíulos écnicos possui um respecivo capíulo no apêndice, de modo que odas as demonsrações

30 22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO que envolvem écnicas de cálculo diferencial e inegral são deixadas para o respecivo capíulo do apêndice, enquano demonsrações que envolvem apenas écnicas algébricas, como manipulação com expoenes, permanecem no corpo principal da disseração. Vamos agora apresenar os principais resulados novos que aparecem na disseração. No segundo capíulo, apresenamos uma versão um pouco mais geral do modelo de crescimeno neoclássico, onde a axa de poupança brua pode ser uma função do esoque de capial por empo de rabalho efeivo. A dinâmica do esoque de capial por empo de rabalho efeivo é dada por 1 + g )k +1 = 1 δ)k + sk )f k ) 1.6) onde g é a axa de crescimeno da quanidade de empo de rabalho efeivo, δ é a axa de depreciação, k é esoque de capial por empo de rabalho efeivo no empo, sk ) axa de poupança brua no período enre e + 1 e y = f k ) é a renda brua por empo de rabalho efeivo no período enre e +1. Nesse modelo mais geral, ambém obemos a Segunda Lei Fundamenal do Capialismo de Pikey, mencionada na primeira seção desa inrodução confira a Proposição 2.6). O ineressane dessa abordagem mais geral, é que conseguimos uma descrição concisa e unificada do modelo neoclássico padrão, onde a axa de poupança brua é consane e dada por sk ) = s confira a Proposição 2.12), do modelo implício uilizado por Pikey, conforme a inerpreação dada em Krusell e Smih, 2015), onde a axa de poupança líquida s é consane e axa de poupança brua é dada por k sk ) = s + δ1 s) f k ) 1.7) confira as Proposições 2.13 e 2.14), bem do como do modelo que surge da agre-

31 1.3. PRINCIPAIS RESULTADOS 23 gação do modelo desagregado apresenado no erceiro capíulo da presene disseração e descrio a seguir. No erceiro capíulo, apresenamos um modelo de disribuição que pode ser considerado a versão desagregada do modelo agregado apresenado no capíulo anerior. Esse modelo generaliza e aperfeiçoa os modelos apresenados em Pikey e Zucman, 2015) e em Nirei, 2009; S. Aoki e M. Nirei, 2015a) nos seguines aspecos: 1. Os esoques de capial associados às famílias são inroduzidos expliciamene como variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas, o que orna mais precisa a ligação enre o modelo e a realidade e facilia fuuras simulações compuacionais. Esse pono não é sequer mencionado nos modelos de Nirei e de Pikey. 2. O processo de herança e o crescimeno populacional são inroduzidos expliciamene no modelo, de modo micro-fundamenado, e inerconecados. Nos modelos de Nirei e de Pikey os indivíduos vivem infiniamene, não havendo porano processo de herança, enquano que o crescimeno é inroduzido de maneira ad hoc no nível agregado. 3. Assim como no modelo de Nirei e diferenemene do modelo de Pikey, a axa de reorno do capial é deerminada endogenamene aravés de uma função de produção. 4. A função de produção possui elasicidade de subsiuição brua consane e maior ou igual a um 1). No modelo de Nirei, a função de produção é Cobb-Douglas, de modo que a elasicidade de subsiuição é igual a um = 1).

32 24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 5. Assim como no modelo de Nirei, o processo de produção esá sujeio à choques de produividade inroduzidos como variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas com esperança igual a um. No modelo de Nirei, esses choques de produividade são conhecidos anes do processo de produção, de modo que a possibilidade de prejuízos é compleamene excluída do modelo. No modelo desenvolvido na presene disseração, esse choques são conhecidos apenas depois do processo produivo. A inspiração concrea para esse modelo vem de uma economia agrária, onde os produores sofrem, em cada período, choques de produividade aleaórios devido, por exemplo, a quesões climáicas ou ao aparecimeno de pragas. Além de um maior realismo, o modelo desenvolvido na presene disseração evia inconsisências inernas presenes no modelo de Nirei e apresenadas ao final da penúlima seção do erceiro capíulo. 6. Diferenemene do modelo de Nirei, as axas de depreciação do capial associadas às famílias são inroduzidas como variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas com esperança consane. 7. Assim como no modelo de Pikey e diferenemene do modelo de Nirei, as axas de poupança associadas às famílias são inroduzidas como um conjuno de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas. Essas as axas de poupança podem esar correlacionadas com os choques de produividade. 8. Diferenemene do modelo de Nirei, ao se inroduzir a ribuação da renda e da herança, os efeios no esado esacionário do modelo agregado são

33 1.3. PRINCIPAIS RESULTADOS 25 correamene considerados. A agregação do modelo desagregado descrio acima é um caso paricular do modelo geral apresenado no segundo capíulo da presene disseração com as seguines caracerísicas: 1. A axa de poupança brua agregada é dada por sk ) = s y 1 s w )1 α)f k ) 1 1.8) onde s w e s y são as esperanças das axas de poupança associadas, respecivamene, aos salários e à produção confira a Proposição 3.2). 2. Mesmo sem a hipóese do agene represenaivo e sem a exisência de mercado de capiais, a axa média real de reorno bruo do capial é aproximadamene igual a r = f k ), coincidindo com a esperança da axa real de reorno bruo do capial obida por uma dada família no período enre e + 1 confira a Proposição 3.1). 3. Obemos expressões explícias para o esoque de capial por empo de rabalho efeivo no empo no esado esacionário para os seguines valores da elasicidade de subsiuição = 1 e 2 confira a Proposição 3.3). Em relação às disribuição esacionárias do modelo desagregado, além de verificar sua exisência, mosramos que elas apresenam as seguines caracerísicas: 1. A cauda superior da disribuição esacionária do esoque de capial das famílias por empo de rabalho efeivo é aproximadamene igual à cauda

34 26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO de uma disribuição de Pareo, cujo expoene P é uma função decrescene do diferencial r g confira a Proposição 3.4). Assim como no modelo de Pikey, um aumeno no diferencial r g diminui o expoene P, consequenemene aumenando a desigualdade. 2. Temos a seguine relação enre as curvas de Lorenz das disribuições, respecivamene, da renda líquida oal e do esoque de capial LỸ x) = α L K x) + 1 α )x 1.9) e ambém a seguine relação enre seus coeficienes de Gini GỸ = α G K 1.10) onde α é a fração do produo líquido que remunera o capial confira a Proposição 3.5). O mesmo resulado vale rocando-se as variáveis líquidas pelas variáveis bruas. Esse resulado mosra que, no modelo desenvolvido na presene disseração, a desigualdade na disribuição do capial acumulado é muio maior do que a desigualdade na disribuição da renda oal, o que é corroborado pelos faos empíricos apresenados nas abelas da segunda seção da presene inrodução. Em paricular, esá incorrea a afirmação apresenada em Nirei, 2009, página 10) de que as disribuições do capial acumulado e da renda oal seriam as mesmas. O úlimo resulado apresenado acima em relação ao modelo segue de fao da seguine proposição mais geral demonsrada nas Proposições A.1 e A.3.

35 1.3. PRINCIPAIS RESULTADOS 27 Proposição 1.1 Se as ordens do capial acumulado e dos salários coincidem e se a axa real de reorno líquido do capial r é consane em relação ao esoque de capial acumulado, enão LỸ x) = α L K x) + 1 α )L w x) 1.11) e GỸ = α G K + 1 α )G w 1.12) onde LỸ,L K,L w são as curvas de Lorenz e GỸ Y,G K,G w são os coeficienes de Gini das disribuições das disribuições, respecivamene, da renda líquida oal, do capial acumulado e dos salários e α é a fração do produo líquido que remunera o capial. Esse resulado é verificado aproximadamene pelo dados empíricos, conforme mosram as seguines abelas, elaboradas a parir das abelas apresenadas na segunda seção da presene inrodução, e onde as médias são calculadas a parir da proposição acima. Tabela 1.4: Desigualdade na Escandinávia ) Exraos Salários Capial Renda Toal Média α = 20%) 10% de cima 20% 50% 25% 26% 1% superior 5% 20% 7% 8% 9% seguines 15% 30% 18% 18% 40% do meio 45% 40% 45% 44% 50% de baixo 35% 10% 30% 30% Gini 19% 58% 26% 27%

36 28 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Tabela 1.5: Desigualdade na Europa 2010) Exraos Salários Capial Renda Toal Média α = 30%) 10% de cima 25% 60% 35% 35% 1% superior 7% 25% 10% 12% 9% seguines 18% 35% 25% 23% 40% do meio 45% 35% 40% 42% 50% de baixo 30% 5% 25% 23% Gini 26% 67% 36% 38% Tabela 1.6: Desigualdade nos EUA 2010) Exraos Salários Capial Renda Toal Média α = 30%) 10% de cima 35% 70% 50% 46% 1% superior 12% 35% 20% 19% 9% seguines 23% 35% 30% 27% 40% do meio 40% 25% 30% 35% 50% de baixo 25% 5% 20% 19% Gini 36% 73% 49% 47% 1.4 Próximos Passos Nesa seção, apresenamos de forma concisa e não exausiva alguns próximos passos que podem ser ineressanes em fuuras pesquisas: 1. Realizar as esáicas comparaivas a parir dos resulados apresenados na Proposição 3.3, o que não foi feio na presene disseração.

37 1.4. PRÓXIMOS PASSOS Desenvolver uma versão muli-seorial do modelo apresenado, como defendido em Sigliz, 2015) e em Pikey, 2015, página 81). Iniciar incluindo um bem não produzido e que não se deprecia, como a erra. 3. Desenvolver uma versão do modelo apresenado que leve em cona algum ipo de grau de monopólio, de modo a explicar, por exemplo, a esagnação do salário médio, mesmo com o aumeno da produividade do rabalho, como defendido em Sigliz, 2015). 4. Desenvolver uma versão do modelo apresenado em economia abera, de modo a se analisar os possíveis efeios da globalização na evolução das desigualdades. 5. Aperfeiçoar a modelagem do processo de herança e deerminar o grau de mobilidade social na disribuição esacionária dos modelos, ou seja, a parcela do esoque de capial de origem herediária. Diversos rabalhos podem ser ineressanes nese pono, ais como Becker e Tomes 1979; Becker e ali, 2015; Benabou e Ok, 2001; Bevan, 1979; Cowell, 1998; Fields e Ok, 1999). 6. Realizar simulações compuacionais para se deerminar o que ocorre fora da cauda superior das disribuições e fazer comparações com resulados empíricos e eóricos apresenados, por exemplo, em Moura e Ribeiro, 2009, 2013), onde essa pare da disribuição da renda oal é descria pela denominada curva de Gomperz, e em Moura, Ribeiro e Soares, 2016), onde a disribuição ineira da renda oal é descria em ermos da denominada esaísica de Tsallis. Nese pono, alvez seja ineressane conhecer melhor os méodos da Física-Esaísica uilizados para analisar

38 30 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO as disribuições de renda e de riqueza, como apresenados em Aoki e Yoshikawa, 2007; Chakrabari e ali, 2013). 7. Analisar se os dados empíricos confirmam aproximadamene as hipóeses da Proposição 1.1 e, no caso dessa confirmação, analisar as possíveis explicações eóricas. Diversos ouros rabalhos recenes desenvolvem modelos com agenes heerogêneos e podem ser fone de boas ideias para o desenvolvimeno de novos modelos. Por exemplo, em Aoki e Nirei, 2015a), onde uma versão do modelo de Ramsey é consruído, em Benhabib, Bisin e Zhu, 2011), onde um modelo com agenes com vida finia é desenvolvido, em Benhabib, Bisin e Zhu, 2015), onde uma versão do modelo de Bewley é apresenado, e em Aoki e Nirei, 2015b), onde um modelo explicando conjunamene a Lei de Zipf e a Lei de Pareo pode ser enconrado.

39 Capíulo 2 Disribuição Funcional da Renda 2.1 Leis Fundamenais do Capialismo de Pikey Nesa seção, consideramos uma economia fechada e sem governo e uma dinâmica de empo discreo, onde pode esar descrevendo, por exemplo, anos, rimesres, ou meses. A denominada Primeira Lei Fundamenal do Capialismo de Pikey é apenas uma idenidade conábil. Denoando o produo líquido no período enre e +1 por Ỹ, o esoque de capial no empo por K e a fração do produo líquido que remunera o capial no período enre e + 1 por α, emos que a axa real de reorno líquida do capial no período enre e +1 é dada por r = α Ỹ K 2.1) Denoando a razão capial pelo produo líquido no período enre e + 1 por β = K Ỹ 2.2) e dividindo o numerador e o denominador da equação 2.1) por Ỹ, o seguine resulado segue imediaamene. 31

40 32 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA Proposição 2.1 Vale a seguine idenidade conábil r = α β 2.3) Já a denominada Segunda Lei Fundamenal do Capialismo de Pikey do seguine modelo simples de acumulação de capial onde o produo líquido é dado exogenamene. Denoando a poupança líquida no período enre e + 1 por S, emos que K +1 = K + S 2.4) uma vez que poupança líquida é igual ao invesimeno líquido numa economia fechada. A axa de poupança líquida no período enre e + 1 é dada por s = S Ỹ 2.5) enquano a axa de crescimeno do produo líquido enre o período enre e +1 e o período enre + 1 e + 2 é dada por de modo que g = Ỹ+1 Ỹ Ỹ 2.6) Ỹ +1 = 1 + g )Ỹ 2.7) Finalmene, dividindo a equação 2.4) por Ỹ +1, obemos que β +1 = β + s 1 + g 2.8) O resulado seguine é a Segunda Lei Fundamenal do Capialismo de Pikey. Proposição 2.2 Se a axa de poupança líquida s é uma consane s 0 e a axa de crescimeno do produo líquido g é uma consane g > 0, enão a razão capial pelo produo líquido β se aproxima no longo prazo da razão s/ g.

41 2.2. MODELO DE DISTRIBUIÇÃO AGREGADO 33 Prova: Pela equação 2.8), emos que β +1 s/ g = β + s 1 + g s g = g β + s g s g s = β s/ g g 1 + g ) 1 + g 2.9) Dessa equação, segue enão, por uma indução imediaa, que β s/ g = β 0 s/ g 1 + g ) 2.10) que ende para zero, quando ende para o infinio, uma vez que 1 + g > 1, mosrando que β se aproxima no longo prazo de s/ g. 2.2 Modelo de Disribuição Agregado Uma das principais críicas ao modelo por rás da Leis Fundamenais de Pikey é que ele é simples demais, uma vez que as principais variáveis são exógenas, deixando de considerar imporanes relações enre elas. Nessa seção, apresenamos o denominado modelo de crescimeno neoclássico, que procura endogeneizar algumas das variáveis do modelo anerior. Novamene consideramos uma economia fechada e sem governo e uma dinâmica de empo discreo e agora ambém uma função de produção Y = F K, A L ) 2.11) onde Y é a renda brua no período enre e + 1, K é o esoque de capial no empo, A é o faor de produividade de uma unidade de empo de rabalho no período enre e + 1, L é a quanidade de empo rabalho no período enre e + 1 e A L é denominado quanidade empo de rabalho efeivo. Vamos supor

42 34 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA que a função de produção possui reornos de escala consanes, de modo que F λk,λa L ) = λf K, A L ) 2.12) para odo faor de escala λ > 0. Denoando a renda brua por empo de rabalho efeivo no período enre e +1 por y, o esoque de capial por empo de rabalho efeivo no empo por k, e dividindo a equação 2.11) pelo empo de rabalho efeivo, obemos que y = f k ) 2.13) onde f k ) = F k,1) 2.14) de modo que F K, A L ) = A L f k ) 2.15) Denoando a poupança brua no período enre e + 1 por S, emos que K +1 = 1 δ)k + S 2.16) onde δ é a axa de depreciação, uma vez que poupança brua é igual ao invesimeno bruo numa economia fechada. A axa de poupança brua no período enre e + 1 é dada por s = S Y = sk ) 2.17) onde esamos supondo que a axa de poupança brua é uma função do esoque de capial por empo de rabalho efeivo. Assim como no caso da Primeira Lei Fundamenal do Capialismo de Pikey, exise uma relação conábil enre a fração do produo bruo que remunera o capial no período enre e + 1, denoada por α, a axa real de reorno brua do capial no período enre e + 1,

43 2.2. MODELO DE DISTRIBUIÇÃO AGREGADO 35 dada por r = α Y K 2.18) e a razão capial pelo produo bruo no período enre e + 1, dada por β = K Y 2.19) O seguine resulado segue da equação 2.18), basando dividir o numerador e o denominador por Y. Proposição 2.3 Vale a seguine idenidade conábil r = α β 2.20) O próximo resulado relaciona as principais variáveis nas suas versões líquidas e bruas. Proposição 2.4 A razão enre as frações do produo líquido e bruo que remuneram o capial é dada por 1 α 1 δr = 2.21) α 1 δβ a razão enre as razões capial pelo produo líquido e bruo é dada por β 1 = 2.22) β 1 δβ a razão enre as axas reais de reorno líquido e bruo do capial é dada por r r = 1 δr ) e a razão enre as axas de poupança líquida e brua é dada por s = 1 δβ s ) s 1 δβ

44 36 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA Além disso, emos que r = r + δ 2.25) e ambém que β 1 = β 1 + δ 2.26) Prova: A relação enre as poupanças líquida e brua é dada por S = S δk 2.27) enquano que a relação enre os produos líquido e bruo é dada por Ỹ = Y δk 2.28) A razão enre as razões capial pelo produo líquido e bruo é obida aravés das seguines igualdades β = K = β 2.29) Y δk 1 δβ onde a úlima igualdade é obida dividindo-se o numerador e o denominador por Y. Já a razão enre as axas reais de reorno líquido e bruo do capial é obida aravés das seguines igualdades r K = α Ỹ = α Y δk 2.30) Dividindo-se essa equação por K, segue que r = α β δ = r δ 2.31) onde a úlima igualdade é obida aravés da equação 2.20). A razão enre as frações do produo líquido e bruo que remuneram o capial é obida aravés das seguines igualdades α α = r β r β = r r β β 2.32)

45 2.2. MODELO DE DISTRIBUIÇÃO AGREGADO 37 onde a primeira igualdade é obida aravés das equações 2.3) e 2.20). A equação 2.21), segue enão das equações 2.22) e 2.23). A razão enre as axas de poupança líquida e brua é obida aravés das seguines igualdades s = S Ỹ e s = S Y 2.33) dadas pelas equações 2.5) e 2.17), de modo que, usando as equações 2.27) e 2.28), segue que s = s Y δk Y δk = s δβ 1 δβ 2.34) onde a úlima igualdade é obida dividindo o numerador e o denominador por Y. Finalmene, a equação 2.25) segue direamene da equação 2.31), enquano a equação 2.26), segue inverendo-se os dois lados da equação 2.29). Vamos agora supor que o faor de produividade de uma unidade de empo de rabalho A possui uma axa de crescimeno consane igual a a e que a quanidade de empo de rabalho L possui uma axa de crescimeno consane igual a l, de modo a ober o seguine resulado. Proposição 2.5 A dinâmica do esoque de capial por empo de rabalho efeivo é dada por 1 + g )k +1 = 1 δ)k + sk )f k ) 2.35) onde g = a + l + al 2.36) é a axa de crescimeno consane da quanidade de empo de rabalho efeivo. Prova: Subsiuindo a equação 2.17) na equação 2.16), obemos que K +1 = 1 δ)k + sk )Y 2.37)

46 38 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA Dividindo essa equação pela quanidade de empo de rabalho efeivo A L, segue que Como segue que K +1 A L = 1 δ)k + sk )y 2.38) A +1 A = 1 + a, L +1 L = 1 + l 2.39) A +1 L +1 A L = 1 + a)1 + l ) = 1 + g 2.40) mosrando que g é de fao a axa de crescimeno consane da quanidade de empo de rabalho efeivo. Subsiuindo essa equação na equação 2.38), obemos que K g ) = 1 δ)k + sk )y 2.41) A +1 L +1 que é equivalene a equação 2.35), uma vez que y = f k ). Agora vamos apresenar alguns resulados que fornecem condições suficienes para a exisência e unicidade de equilíbrios da dinâmica do esoque de capial por empo de rabalho efeivo, que corresponde a exisência e unicidade de esados esacionários da dinâmica de esoque de capial. Proposição 2.6 Suponha que sk ) e f k ) são funções conínuas de k e que exisem conanes k > k > 0 ais que k < k +1 < k 2.42) sempre que k k < k, e ambém que k < k +1 < k 2.43)

47 2.2. MODELO DE DISTRIBUIÇÃO AGREGADO 39 sempre que k > k. Enão enão o esoque de capial por empo de rabalho efeivo k se aproxima no longo prazo de k, sempre que o esoque inicial de capial por empo de rabalho efeivo saisfizer k 0 k. Temos que k é o único equilíbrio da dinâmica do esoque de capial por empo de rabalho efeivo e é caracerizado como sendo a única solução da equação δ + g )k = sk)f k) 2.44) para k k. Além disso, a razão capial pelo produo bruo β se aproxima no longo prazo de β = sk) δ + g a axa de poupança líquida s se aproxima no longo prazo de sk)g s = δ1 sk)) + g 2.45) 2.46) e a razão capial pelo produo bruo β se aproxima no longo prazo de β = s g 2.47) Prova: Vamos primeiro mosrar que k é a única solução da equação 2.44). Subraindo 1 + g )k em ambos os lados da equação 2.35), segue que 1 + g )k +1 k ) = sk )f k ) δ + g )k 2.48) Essa idenidade juno com as desigualdades 2.42) e 2.43) mosram enão que k é a única possível solução da equação 2.44). De fao, fazendo k se aproximar de k pela direia, pela desigualdade 2.43), emos que k +1 ambém se aproxima de k, de modo que, pela equação 2.48) e pela coninuidade de sk )f k ), segue que 0 = sk)f k) δ + g )k 2.49)

48 40 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA mosrando que k é de fao a única solução da equação 2.44). Pela equação 2.48), k = k é o único equilíbrio da dinâmica do esoque de capial por empo de rabalho efeivo. Vamos agora mosrar que o esoque de capial por empo de rabalho efeivo k se aproxima no longo prazo de k. Se k k 0 < k, enão segue da desigualdade 2.42), por uma indução imediaa, que a sequência k é crescene e limiada superiormene por k. Logo k se aproxima de uma consane k al que k < k k. Pela equação 2.48) e pela coninuidade de sk )f k ), segue que 0 = sk )f k ) δ + g )k 2.50) mosrando que k é solução da equação 2.44), de modo que k = k, pois já mosramos que a solução é única. Se k 0 > k, a demonsração é compleamene análoga. Pela coninuidade de sk ) e f k ), segue que β = k f k ) 2.51) se aproxima no longo prazo de β = k f k) = sk) δ + g 2.52) onde a úlima igualdade segue da equação 2.44). Pela equação 2.34), emos que que se aproxima no longo prazo de s = sk ) δβ 1 δβ 2.53) s = sk) δβ 1 δβ = sk)g δ1 sk)) + g 2.54)

49 2.2. MODELO DE DISTRIBUIÇÃO AGREGADO 41 onde a úlima igualdade segue da equação 2.45). Pela equação 2.29), emos que que se aproxima no longo prazo de β = β 1 δβ 2.55) β = β 1 δβ = sk) δ1 sk)) + g 2.56) onde a úlima igualdade segue da equação 2.45). A equação 2.47) segue enão direamene da equação 2.46). A equação 2.47) é equivalene à Segunda Lei Fundamenal do Capialismo de Pikey, uma vez que no esado esacionário, as axas de crescimeno líquida e brua coincidem. O próximo resulado, cuja demonsração se enconra na Proposição B.1), fornece condições que implicam nas condições da proposição anerior e que são mais fáceis de serem verificadas em exemplos concreos. Proposição 2.7 Suponha que exisem consanes ˆk > k > 0 ais que s k)f k) δ + g ) k > ) e que s ˆk)f ˆk) δ + g ) ˆk < ) Se sk ) e f k ) são funções deriváveis de k e se a função sk )f k ) possui derivada primeira posiiva e derivada segunda negaiva para odo k k, enão exise uma consane k > k al que as condições da Proposição 2.6 são saisfeias.

50 42 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA A análise da disribuição funcional da renda no modelo agregado é geralmene realizada sob a denominada hipóese do agene represenaivo e da exisência de mercados de capiais e de rabalho sob concorrência perfeia. Essas duas hipóeses são difíceis de serem acomodadas conjunamene, uma vez que o mesmo agene deve auar simulaneamene como comprador e vendedor de capial e de rabalho. Esse ipo de dificuldade desaparece no modelo no modelo desagregado apresenado no próximo capíulo, onde a hipóese do agene represenaivo não é uilizada, uma vez que o modelo é desenvolvido a parir de agenes heerogêneos. A demonsração do próximo resulado se enconra na Proposição B.2). Proposição 2.8 Sob a hipóese do agene represenaivo e supondo que exisem mercados de capiais e de rabalho sob concorrência perfeia e que a função de produção é uma função derivável, emos que a axa real de reorno bruo do capial é dada por r = f k ) 2.59) de modo que a fração do produo bruo que remunera o capial é dada por α = k f k ) f k ) 2.60) Se função de produção é crescene em relação ao esoque de capial e em relação ao número de rabalhadores efeivos, emos que r > 0 e ambém que 0 < α < 1. Quando a função de produção é uma função derivável, o comporameno da fração do produo bruo que remunera o capial α em relação ao esoque de capial por empo de rabalho efeivo k depende da denominada elasicidade de subsiuição brua, dada por = M /k d M /dk 2.61)

51 2.2. MODELO DE DISTRIBUIÇÃO AGREGADO 43 onde M = F A L F K 2.62) é denominada axa marginal de subsiuição écnica. A denominada elasicidade de subsiuição líquida é definida de forma análoga, basano rocar a função de produção brua F K, A L ), pela função de produção líquida F K, A L ) = F K, A L ) δk. A demonsração do próximo resulado se enconra na Proposição B.3). Proposição 2.9 Sob a hipóese do agene represenaivo e supondo que exisem mercados de capiais e de rabalho sob concorrência perfeia e que a função de produção é uma função derivável, emos que elasicidade de subsiuição brua é dada por = f k )k f k ) f k )) k f k )f k ) = r α 1) k f k ) 2.63) que a derivada da fração do produo bruo que remunera o capial pelo capial por empo de rabalho efeivo é dada por dα dk = f k )β 1) 2.64) que a derivada da fração do produo bruo que remunera o capial pela razão capial pelo produo bruo é dada por dα dβ = 1) r 2.65) e ambém que a derivada axa real de reorno brua do capial pela razão capial pelo produo bruo é dada por r dr = 2.66) dβ β

52 44 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA O mesmo resulado vale rocando-se as variáveis bruas pelas variáveis líquidas. Além disso, a razão enre as elasicidades de subsiuição líquida e brua é dada por 1 1 δr = 2.67) 1 δβ Vamos nos concenrar em modelos onde a função de produção possui elasicidade de subsiuição brua) consane, denominadas CES, do inglês Consan Elasiciy of Subsiuion. A proposição seguine, caraceriza esse ipo de função de produção. Nesse caso, a fração do produo bruo que remunera o capial α é crescene, ou decrescene ou consane em relação ao esoque de capial por empo de rabalho efeivo k se a elasicidade de subsiuição é, respecivamene, maior, ou menor, ou igual a um. Observamos que sempre podemos escolher uma unidade para medir o capial por empo de rabalho efeivo al que f 1) = 1, o que será feio de agora em diane. A demonsração do próximo resulado se enconra na Proposição B.4). Proposição 2.10 Uma função de produção derivável com reornos de escala consanes possui elasicidade de subsiuição consane = se e somene se exise uma consane 0 < α < 1 al que f k ) = αk 1 ) α 2.68) quando 1, ou f k ) = k α 2.69) quando = 1. Em paricular, a axa real de reorno bruo do capial é dada por r = αβ )

53 2.3. TAXA DE POUPANÇA BRUTA CONSTANTE 45 de modo que a fração do produo bruo que remunera o capial é dada por α = αβ ) Além disso, emos que f k ) > 0 e ambém que f k ) < 0 para odo k > 0. O próximo resulado segue direo da proposição anerior e da equação 2.15). Proposição 2.11 Uma função de produção derivável com reornos de escala consanes possui elasicidade de subsiuição consane = se e somene se exise uma consane 0 < α < 1 al que F K, A L ) = αk 1 ) + 1 α)a L ) ) quando 1, ou F K, A L ) = K α A L ) 1 α 2.73) quando = 1, denominada função de Cobb-Douglas. 2.3 Taxa de Poupança Brua Consane Nesa seção, vamos considerar o denominado modelo de Solow-Swan, que aqui será raado como um caso paricular do modelo apresenado na seção anerior, onde a função de produção é derivável e possui elasicidade de subsiuição conane > 0 e a axa de poupança brua ambém é uma consane s > 0. Proposição 2.12 No modelo de Solow-Swan, o esoque de capial por empo de rabalho efeivo k se aproxima no longo prazo de k = 1 α ) 1 δ + g α s )

54 46 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA quando 1, ou de quando = 1, sempre que s k = δ + g δ + g s ) 1 1 α 2.75) ) 1 > α 2.76) e sempre que o esoque inicial de capial por empo de rabalho efeivo for posiivo. Em paricular, a razão capial pelo produo bruo β se aproxima no longo prazo de β = s δ + g a axa real de reorno bruo do capial r se aproxima no longo prazo de s α δ + g ) ) 2.78) e a fração do produo bruo que remunera o capial α se aproxima no longo prazo de s α δ + g ) 1 Além disso, a axa de poupança líquida s se aproxima no longo prazo de sg s = δ1 s) + g 2.79) 2.80) e a razão capial pelo produo líquido β se aproxima no longo prazo de s β = δ1 s) + g 2.81) Prova: A demonsração de que sk ) = s e f k ) saisfazem as hipóeses da Proposição 2.7 se enconra na Proposição B.5. As equações 2.77), 2.80) e 2.81) seguem enão direamene da Proposição 2.6 e 2.7, uma vez que esamos supondo que sk ) = s. As expressões dadas pelas equações 2.78) e 2.79) seguem enão da equação acima e das equações 2.70) e 2.71).

55 2.4. TAXA DE POUPANÇA LÍQUIDA CONSTANTE 47 Para a deerminação da equação 2.74), quando 1, basa noar que, nesse caso, a equação 2.44) é dada por ) s αk α = δ + g )k 2.82) de modo que Segue enão que ) 1 αk 1 δ + g α = k 2.83) s k 1 = 1 α ) 2.84) 1 δ + g α de modo que a equação 2.74) é obida elevando os dois lados a s 1. Para a deerminação da equação 2.75), quando = 1, basa noar que, nesse caso, a equação 2.44) é dada por sk α = δ + g )k 2.85) de modo que k 1 α = s δ + g A equação 2.75) é enão obida elevando os dois lados a 1 1 α. 2.86) 2.4 Taxa de Poupança Líquida Consane Krussell e Smih 2015) inerpream as explicações apresenadas por Pikey 2014) aravés de um modelo de disribuição onde é a axa de poupança líquida que é manida consane. Esse modelo ambém pode ser raado como um caso paricular do modelo apresenado na segunda seção desse capíulo. O próximo

56 48 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA resulado mosra que, se a axa de poupança líquida é manida consane, enão a axa de poupança brua é uma função do esoque de capial por empo de rabalho efeivo. Proposição 2.13 Se a axa de poupança líquida é um consane s = s, enão a axa de poupança brua s é dada por k sk ) = s + δ1 s) f k ) 2.87) Prova: Pela equação 2.34), segue que s δ sβ = s δβ 2.88) de modo que k s = s + δ1 s)β = s + δ1 s) f k ) 2.89) A dinâmica do esoque de capial por empo de rabalho efeivo com a axa de poupança líquida manida consane é equivalene à dinâmica do esoque de capial por empo de rabalho efeivo com a axa de poupança brua manida consane, onde a axa de depreciação é modificada adequadamene. Proposição 2.14 Se a axa de poupança líquida é um consane s = s, enão a dinâmica do esoque de capial por empo de rabalho efeivo é dada por 1 + g )k +1 = 1 δ s)k + s f k ) 2.90) Prova: Pela equação 2.35), emos que 1 + g )k +1 = 1 δ)k + sk )f k ) 2.91)

57 2.4. TAXA DE POUPANÇA LÍQUIDA CONSTANTE 49 Pela equação 2.87), segue enão que de modo que 1 + g )k +1 = 1 δ)k + s + δ1 s) é equivalene a equação 2.90). k f k ) ) f k ) 2.92) 1 + g )k +1 = 1 δ)k + s f k ) + δ1 s)k 2.93) Supondo que a função de produção é derivável e possui elasicidade de subsiuição conane > 0, o resulado seguine segue direamene das Proposições 2.12 e Proposição 2.15 Se a função de produção é derivável e possui elasicidade de subsiuição conane > 0 e a axa de poupança líquida é um consane s = s, enão o esoque de capial por empo de rabalho efeivo k se aproxima no longo prazo de quando 1, ou de quando = 1, sempre que k = 1 α δ s + g s ) 1 s k = δ s + g δ s + g s α ) 1 1 α ) 2.95) ) 1 > α 2.96) e sempre que o esoque inicial de capial por empo de rabalho efeivo for posiivo. Em paricular, a razão capial pelo produo bruo β se aproxima no longo

58 50 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO FUNCIONAL DA RENDA prazo de s β = δ s + g a axa real de reorno bruo do capial r se aproxima no longo prazo de s α δ s + g ) ) 2.98) a fração do produo bruo que remunera o capial α se aproxima no longo prazo de s α δ s + g ) 1 e a axa de poupança brua s se aproxima no longo prazo de s = sδ + g ) δ s + g 2.99) 2.100) Prova: A menos da úlima equação, odas as demais seguem imediaamene das equações da Proposição 2.12, basando subsiuir s por s e ambém δ por δ s. Para a úlima, pela equação 2.87), emos que s se aproxima no longo prazo de Como, pela equação 2.97), emos que segue que de modo que k s = s + δ1 s) f k) k f k) = β = s δ s + g s s = s + δ1 s) δ s + g sδ s + g ) + δ1 s) s s = δ s + g que, após cancelamenos, é equivalene à equação 2.100) ) 2.102) 2.103) 2.104)

59 Capíulo 3 Disribuição Individual da Renda e da Riqueza 3.1 Modelo de Disribuição Desagregado Nessa seção, vamos apresenar um modelo de disribuição que pode ser considerado a versão desagregada do modelo agregado apresenado no capíulo anerior. Vamos supor que as unidades econômicas são famílias que se formam assim que seus respecivos pais se aposenam. Os casamenos se dão enre pares de indivíduos com os mesmos esoques de capial, herdados dos seus respecivos pais assim que eles se aposenam. Vamos considerar o esoque de capial de cada família i no empo como sendo uma variável aleaória K i,. Como veremos mais à frene, a dinâmica do modelo é al que, se os esoques iniciais de capial acumulado pelas famílias K i,0 são variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas enre as famílias, os esoques de capial das famílias K i, são variáveis aleaórias independenes e idenicamene disri- 51

60 52 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA buídas enre as famílias para odo empo. Com isso, se o número de famílias é grande, enão o soreio de odas essas variáveis aleaórias K i, apresenará uma disribuição muio próxima da disribuição comum enre elas, o que permie inclusive simular o modelo numericamene. Vamos supor que não exise desemprego e que o mercado de rabalho se desenvolve sob concorrência perfeia, de modo que odos os indivíduos recebem o mesmo salário w. Todas as famílias em acesso à mesma ecnologia dada por uma função de produção derivável e com elasicidade de subsiuição conane, de modo que o produo bruo obido pela família i no empo é dado por quando 1, ou ) Y i, = ε i, αk α)a i, L i, ) ) Y i, = ε i, K α i, A L i, ) 1 α 3.2) quando = 1, onde A é o faor de produividade de uma unidade de empo de rabalho, L i, é a quanidade de rabalho conraado pela família i no período enre e +1 e ε i, é o choque de produividade sofrido pela família i no período enre e + 1, e esses choques formam uma sequência de variáveis aleaórias não negaivas, independenes e idenicamene disribuídas enre as famílias e enre os empos, e possuem esperança um. Cada família i conraa uma quanidade de rabalho L i, de modo a maximizar a esperança de seus lucros, dada por Z i, w L i, 3.3) onde Z i, = αk 1 i, ) + 1 α)a L i, ) )

61 3.1. MODELO DE DISTRIBUIÇÃO DESAGREGADO 53 quando 1, ou quando = 1, sujeio a resrição orçamenária Z i, = K α i, A L i, ) 1 α 3.5) w L i, 1 δ i, )K i, 3.6) onde δ i, é a axa de depreciação do capial sofrida pela família i no período enre e +1, e essas axas formam uma sequência de variáveis aleaórias enre zero e um, independenes e idenicamene disribuídas enre as famílias e enre os empos, e possuem esperança δ. A depreciação do capial pode ocorrer devido a faores físicos ou devido a decisões por pare da família de se uilizar pare da riqueza para o consumo. A inspiração concrea para esse modelo vem de uma economia agrária, onde os produores sofrem, em cada período, choques de produividade aleaórios devido, por exemplo, a quesões climáicas ou ao aparecimeno de pragas. Cada família fornece uma unidade de empo de rabalho por período, de modo que a quanidade de empo rabalho agregado disponível na economia no empo é igual ao número de famílias L no empo. Como L i=1 L i, deve ser aproximadamene igual a L, emos que a esperança de L i, deve ser igual a um. Seja y a esperança do produo bruo obido pela família i no período enre e + 1 pelo faor de produividade y i, = Y i, /A, e seja k a esperança do esoque de capial da família i no empo pelo faor de produividade k i, = K i, /A. Proposição 3.1 Suponha que k 1 e que ε i, e K i, são variáveis aleaórias independenes. Se 1 e δ i, < α, enão a quanidade de rabalho conraada pela família i no empo é dada por L i, = k i, k 3.7)

62 54 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA sua resrição orçamenária é aendida esriamene w L i, < 1 δ i, )K i, 3.8) enquano o produo obido pela família i no período enre e + 1 pelo faor de produividade é dado por y i, y = ε i, k i, k 3.9) a axa real de reorno bruo do capial obida pela família i no período enre e + 1 é dada por r i, = Y i, w L i, K i, o salário pelo faor de produividade é dado por e ambém = ε i, y A w k A 3.10) w A = 1 α)y ) y = f k ) 3.12) onde quando > 1, ou por f k ) = αk 1 ) α 3.13) f k ) = k α 3.14) quando = 1. Além disso, emos que y é aproximadamene igual ao produo agregado por empo de rabalho efeivo 1 L Y i, 3.15) A L i=1 enquano k é aproximadamene igual ao esoque de capial agregado por empo de rabalho efeivo 1 L K i, 3.16) A L i=1

63 3.1. MODELO DE DISTRIBUIÇÃO DESAGREGADO 55 e, mesmo sem a hipóese do agene represenaivo e sem a exisência de mercado de capiais, a axa média real de reorno bruo do capial é aproximadamene igual a r = f k ) 3.17) que coincide com a esperança da axa real de reorno bruo do capial r i, obida pela família i no período enre e + 1. Prova: Na Proposição C.1, mosramos que, no caso da resrição orçamenária ser aendida esriamene, a condição de primeira ordem para o problema de maximização resolvido pela família i implica que Z i, w = A L i, 1 α)a Além disso, quando > 1, pela equação 3.4), emos que ) = µ 3.18) µ = α Ki, A L i, ) α ) ) de modo que K i, 1 = A L i, α µ 1 e, quando = 1, pela equação 3.5), emos que + 1 α ) 1 = ν 3.20) α de modo que ) α Ki, µ = 3.21) A L i, K i, A L i, = µ 1 α = ν 3.22) Como a experança de L i, é igual a um, pelas equações 3.20) e 3.22), segue enão que k = ν.

64 56 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA As equações 3.20) e 3.22) são enão equivalenes à equação 3.7), uma vez que k i, = K i, /A. Além disso, pela equação 3.18) e como Y i, = ε i, Z i,, segue que y i, = µ ε i, L i,, de modo que y = µ. De fao, emos que L i, é independene de ε i,, pois é uma função de K i,. Segue enão que a esperança de ε i, L i, é o produo das esperanças de ε i, e L i,, que são ambas iguais a um. A equação 3.9) segue enão das equações 3.18), 3.20) e 3.22), enquano a equação 3.10) segue das equações 3.7) e 3.9), a equação 3.11) segue da equação 3.18) e a equação 3.12) segue das equações 3.19) e 3.21). Agora vamos mosrar que a resrição orçamenária é aendida esriamene. Pela equação 3.11, emos Quando > 1, pela equação 3.13), segue que Se k 1, emos que k 1 w 1 α) A αk 1 w A = 1 α)y ) w = 1 α) A αk 1 1, de modo que Quando = 1, pela equação 3.14), segue que ) α 3.24) ) + 1 α)k = 1 α)k 1 α)k 3.25) w A = 1 α)k α 3.26) Se k 1, emos enão que Segue enão que w A 1 α)k 3.27) w A k 1 α < 1 δ i, 3.28)

65 3.1. MODELO DE DISTRIBUIÇÃO DESAGREGADO 57 de modo que a desigualdade 3.8) segue enão da desigualdade acima e da equação 3.7). As aproximações de y e k seguem direo da Lei dos Grandes Números. Agora vamos deerminar a axa média real de reorno bruo do capial. Temos que a fração do produo bruo que remunera o capial é dada por α = 1 L i=1 w L i, L i=1 Y i, 1 w L y A L 3.29) onde denoa a relação de uma quanidade ser aproximadamene igual a oura quanidade. Pela equação 3.11), segue enão que α 1 1 α)y 1 1 = y 1 ) y 1 1 α) 3.30) Quando > 1, pela equação 3.13), segue enão que ) 1 k α α y 1 = αβ 3.31) que ambém é evidenemene válida, quando = 1. Segue enão que r = α αβ 1 = f k ) 3.32) β onde a úlima igualdade segue da demonsração da Proposição B.4. Pela equação 3.10), a esperança da axa real de reorno bruo do capial obida pela família i no período enre e + 1 é dada por y A w k A = 1 β ) 1 1 α)y 1 1 = 1 αβ 1 = f k ) 3.33) β onde usamos a equação 3.11) na primeira igualdade e a equação 3.13) na segunda igualdade como acima.

66 58 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA O processo de acumulação ou de herança de capial é dado por λ i, K i,+1 = 1 δ i, )K i, w L i, + s y i, Y i, + s w i, w 3.34) onde λ i, esá ligado ao processo de herança, como explicado mais abaixo, enquano s y i, e sw i, são, respecivamene, as axas de poupança do produo e do salário escolhidas pela família i no período enre e + 1, e essas axas formam duas sequências de variáveis aleaórias enre zero e um, independenes e idenicamene disribuídas enre as famílias e enre os empos, e possuem, respecivamene, esperanças s y e s w. Observe que as axas de poupança s y i, e s w i, podem esar correlacionadas e aé mesmo ser funções dos choques de produividade ε i,, o que seria esperado que ocorresse em siuações concreas. Os λ i, ambém formam uma sequência de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas enre as famílias e enre os empos e esão relacionado ao processo de acumulação ou herança de capial da seguine forma. Se não ocorre aposenadoria, enão o processo é apenas de acumulação simples e λ i, = 1. Se ocorre aposenadoria, enão o processo é de herança e λ i, = n i, 2, onde n i, 1 é o número de filhos da família i no empo. Como L i=1 λ i, deve ser aproximadamene igual a L +1, emos que a esperança de λ i, deve ser igual a L +1 /L. Vamos agora analisar a dinâmica do esoque de capial agregado por empo de rabalho efeivo. Como no capíulo anerior, vamos supor que o faor de produividade de uma unidade de empo de rabalho A possui uma axa de crescimeno consane igual a a e que a quanidade de empo rabalho agregado L possui uma axa de crescimeno consane igual a l, de modo a ober o seguine resulado.

67 3.1. MODELO DE DISTRIBUIÇÃO DESAGREGADO 59 Proposição 3.2 Se 1, δ i, < α 1/2 e ambém k 1, enão a dinâmica do esoque de capial agregado por empo de rabalho efeivo é dada por 1 + g )k +1 = 1 δ)k + sk )f k ) 3.35) onde a axa de crescimeno da quanidade empo de rabalho agregado efeivo é dada por g = a + l + al 3.36) e a axa de poupança brua agregada é dada por sk ) = s y 1 s w )1 α)f k ) ) Além disso, o esoque de capial agregado por empo de rabalho efeivo k se aproxima no longo prazo da única solução k 1 da equação δ + g )k = sk)f k) 3.38) sempre que s y 1 s w )1 α) > δ + g > ) que s y 1 s w > ) e sempre que o esoque inicial de capial agregado por empo de rabalho efeivo for maior ou igual a um. Prova: Pelo processo de acumulação ou de herança de capial, emos que K i, é função de K i, 1, de L i, 1 e de Y i, 1 e porano é função dos choques aleaórios que ocorreram em empos aneriores a. Segue enão que ε i, e K i, são

68 60 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA variáveis aleaórias independenes, de modo que podemos uilizar a Proposição 3.1. Dividindo a equação 3.34) por A e usando que A +1 = 1+a)A, segue que λ i, 1 + a) K i,+1 = 1 δ i, ) K i, L i, w + s y Y i, + s w w A +1 A A i, i, 3.41) A A Tomando-se a esperança em ambos os lados da equação, usando que λ i, e K i,+1, que δ i, e K i, e que s y i, e Y i, são pares de variáveis aleaórias independenes e que a esperança de λ i, é dada por segue que L +1 L = 1 + l 3.42) 1 + l )1 + a)k +1 = 1 δ)k w 1 A + s y y + s w Usando a equação 3.11) e que 1 + l )1 + a) = 1 + g, segue que w A 3.43) 1 + g )k +1 = 1 δ)k 1 α)y 1 que é equivalene à equação 3.35), se observarmos que + s y y + s w 1 α)y ) sk )f k ) = s y y 1 s w )1 α)y ) A demonsração de que as funções sk ) e f k ) saisfazem as hipóeses da Proposição 2.7 se enconra na Proposição C.2. A úlima afirmação do enunciado segue enão das Proposições 2.6 e 2.7. O próximo resulado fornece fórmulas explícias do esoque de capial por família por empo de rabalho efeivo de equilíbrio em ermos dos parâmeros exógenos do modelo para alguns valores de elasicidade de subsiuição.

69 3.1. MODELO DE DISTRIBUIÇÃO DESAGREGADO 61 Proposição 3.3 Suponha que 1, que δ i, < α 1/2, que as desigualdades 3.39) e 3.40) são saisfeias e que o esoque inicial de capial agregado por empo de rabalho efeivo for maior ou igual a um. Enão o esoque de capial agregado por empo de rabalho efeivo k se aproxima no longo prazo de s y 1 s w )1 α) k = δ + g ) 1 1 α 3.46) quando = 1, se aproxima no longo prazo de 1 s w s y k = 2s y 1 s w ) ) 1 α ) α quando = 2 e ambém δ + g = s y α 2, e se aproxima no longo prazo de 2s y 1 s w ))α + 1 s w ) 2 α 2 4δ + g )1 s w s y ) k = 2δ + g s y α 2 ) 1 α)) ) quando = 2 e ambém δ + g s y α 2. Prova: Quando = 1, a equação 3.38) é dada por δ + g )k = s y 1 s w )1 α))k α 3.49) de modo que k 1 α = s y 1 s w )1 α) δ + g 3.50) que é equivalene à equação 3.46). Quando = 2, a equação 3.38) é dada por δ + g )k = s y f k) 1 s w )1 α)f k) ) Como nesse caso f k) = αx + 1 α) 2, onde x = k 1 2, segue que a equação acima é equivalene a δ + g )x 2 = s y αx + 1 α) 2 1 s w )1 α)αx + 1 α) 3.52)

70 62 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA que pode ser escria como δ + g s y α 2 )x s w 2s y )α1 α)x + 1 s w s y )1 α) 2 = ) Se δ + g = s y α 2, essa é uma equação do primeiro grau cuja solução é dada por x = 1 sw s y 1 α 2s y 1 s w ) α 3.54) Se δ + g s y α 2, essa é uma equação do segundo grau cuja solução é dada por x = 2s y 1 s w ))α + 1 s w )α 2 4δ + g )1 s w s y ) 2δ + g s y α 2 1 α) 3.55) ) obida aravés da fórmula de Bhaskara. As equações 3.47) e 3.48) são obidas elevando-se ao quadrado as equações, respecivamene, 3.54) e 3.55), uma vez que k = x Disribuições da Renda e da Riqueza Vamos agora analisar a dinâmica da disribuição enre as famílias do esoque de capial pelo faor de produividade. Proposição 3.4 Se 1 e δ i, < α, enão a dinâmica da disribuição do esoque de capial da família i no empo pelo faor de produividade k i, é dada por 1 + a)λ i, k i,+1 = 1 δ i, w ) + s y A k i, ε y i, k i, + s w w i, 3.56) k A Além disso, supondo ambém que α 1/2, enão a disribuição do esoque de capial da família i no empo pelo faor de produividade k i, se aproxima no

71 3.2. DISTRIBUIÇÕES DA RENDA E DA RIQUEZA 63 longo prazo de uma única disribuição esacionária, independenemene da disribuição inicial do esoque de capial desagregado pelo faor de produividade, sempre que as desigualdades 3.39) e 3.40) forem saisfeias e sempre que o esoque inicial de capial agregado por empo de rabalho efeivo for maior ou igual a um. A cauda superior dessa disribuição esacionária é aproximadamene igual à cauda de uma disribuição de Pareo, cujo expoene P é a única consane posiiva al que a variável aleaória 1 δ i, w/a k + s y i, ε y i, k 1 + a)λ i, P 3.57) possui esperança igual a um, onde as consanes y, k e w/a são os valores de equilíbrio, respecivamene, do produo bruo agregado por empo de rabalho efeivo, do esoque de capial agregado por empo de rabalho efeivo e do salário pelo faor de produividade. Essa condição é aproximadamene equivalene ao expoene P ser a única consane posiiva al que a variável aleaória 1 δ i, + r ) 1 s y i, ε i, 1 + a)λ i, β 1 P 3.58) possui esperança igual a um, onde as consanes r e β são os valores de equilíbrio, respecivamene, da axa média real de reorno bruo do capial e da razão capial pelo produo bruo. Prova: Dividindo a equação 3.34) por A, usando que A +1 = 1 + a)a e ambém as equações 3.7) e 3.9), segue que 1 + a)λ i, k i,+1 = 1 δ i, )k i, w A k k i, + s y i, ε i, y k k i, + s w i, w A 3.59)

72 64 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA que é equivalene à equação 3.56). Para a segunda pare, vamos supor que a desigualdade 3.39) é saisfeia e que o esoque inicial de capial agregado por empo de rabalho efeivo é maior ou igual a um. Para a convergência de k i,, primeiro observamos que a equação 3.56) pode ser escria como k i,+1 = µ i, k i, + ν i, 3.60) onde e µ i, = 1 δ i, w /A + s y k i, ε y i, k 3.61) 1 + a)λ i, ν i, = sw i, w /A ) 1 + a)λ i, 3.62) Como k se aproxima de k no longo prazo, pelas equações 3.11) e 3.12), emos que, no longo prazo, y se aproxima de y e que w /A se aproxima de w/a. Logo µ i, converge em média para enquano ν i, converge em média para 1 δ i, w/a µ i, = k + s y i, ε y i, k 3.63) 1 + a)λ i, Tomando a esperança da equação 3.60), emos que ν i, = sw i, w/a) 1 + a)λ i, 3.64) k +1 = µ k + ν 3.65) onde µ e ν são as esperanças, respecivamene, de µ i, e ν i,. Segue enão que µ = k +1 k ν k 3.66)

73 3.2. DISTRIBUIÇÕES DA RENDA E DA RIQUEZA 65 Por um lado, emos enão que µ converge para a esperança µ de µ i,. Por ouro lado, emos que µ converge para 1 ν/k, onde ν é a esperança de ν i,. Isso mosra que k i, é um processo de Kesen assinóico, como definido no apêndice. Pelas Proposições A.5, A.6 e A.7, segue que a disribuição do esoque de capial da família i no empo pelo faor de produividade k i, se aproxima no longo prazo de uma única disribuição esacionária, independenemene da disribuição inicial do esoque de capial desagregado pelo faor de produividade e que a cauda superior dessa disribuição esacionária é aproximadamene igual à cauda de uma disribuição de Pareo, cujo expoene P é a única consane posiiva al que a esperança de µ P é igual a um. Basa enão observar que essa i, condição é equivalene à equação 3.57) para a disribuição esacionária. A expressão 3.58) segue enão da equação 3.29), uma vez w /A k = w y 1 α )β 1 = β 1 r 3.67) y A k Subsiuindo o correspondene valor de equilíbrio w/a β 1 r 3.68) k na equação 3.57) e observando que y/k = β 1, obemos a equação 3.58). Observe que o expoene P dado pela proposição anerior é uma função decrescene do diferencial r g. De fao, emos que 1 + r = 1 + r δ i, aparece no numerador e 1 + a)λ i,, que possui esperança 1 + g, aparece no denominador da base da variável aleaória que deermina o expoene P. Assim como no modelo de Pikey, um aumeno no diferencial r g diminui o expoene P, consequenemene aumenando a desigualdade. Agora vamos deerminar a

74 66 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA relação, no modelo desagregado, enre as curvas de Lorenz e os coeficienes de Gini das disribuições de esoque de capial acumulado e de renda oal. Proposição 3.5 Temos que L Y x) = α L K x) + 1 α )x 3.69) e ambém que G Y = α G K 3.70) onde L Y,L K são as curvas de Lorenz e G Y,G K são os coeficienes de Gini das disribuições, respecivamene, da renda oal e do esoque de capial acumulado e α é a fração do produo bruo que remunera o capial. O mesmo resulado vale rocando-se as variáveis bruas pelas variáveis líquidas. Prova: Pela equação 3.10), a axa real de reorno bruo do capial obida pela família i no período enre e +1 é independe esoque de capial K i, da família i no empo e o conjuno dessas axas formam uma sequência de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas enre as famílias e enre os empos. Agora considere o conjuno das famílias cujo esoque de capial K i, é aproximadamene igual a um dado K. A soma das respecivas rendas do capial é enão dada por r i, K, enquano a soma dos respecivos capiais acumulados é dada por N K, onde N é o número dessas famílias. A axa média real de reorno bruo dessas famílias é enão dada por ri, K ri N K =, N 3.71) que, pela Lei dos Grandes Números é aproximadamene igual a esperança de r i,, dada por r = f k ) pela equação 3.17). Segue enão que a axa real de

75 3.3. TRIBUTAÇÃO DA RENDA E DA HERANÇA 67 reorno do capial r é consane em relação ao esoque de capial acumulado. Além disso, como o salário é o mesmo para odas as famílias, segue que as ordens do capial acumulado e dos salários coincidem, que L w x) = x e ambém que G w = 0. O resulado segue enão das Proposições A.1 e A Tribuação da Renda e da Herança Nessa seção, inroduzimos as políicas de disribuição da renda e da riqueza baseadas na ribuação da renda e da herança. O imposo de renda incide apenas sobre os lucros, de modo que a família i paga τ y Y i, w L i, ) 3.72) de imposo de renda no empo, onde τ y é axa única de imposo de renda. Observamos que o imposo de renda não alera as decisões de conraação de quanidade de rabalho, uma vez que o novo problema de maximização possui a mesma solução que original. Além disso, quando a família sofre um prejuízo, o imposo de renda funciona como uma espécie de seguro parcial, aenuando choques de produividade muio desfavoráveis. Já o imposo de herança incide sobre a riqueza herdada, de modo que os herdeiros da família i pagam τ b b i, K i, 3.73) de imposo de herança no empo, onde τ b é axa única de imposo de herança e b i, é igual a um quando o processo é de herança e é igual a zero quando o processo é de acumulação simples, formando uma sequência de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas enre as famílias e enre os

76 68 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA empos. O processo de redisribuição afea ano a dinâmica do esoque de capial agregado por empo de rabalho efeivo, quano a dinâmica da disribuição enre as famílias do esoque de capial pelo faor de produividade. Proposição 3.6 Suponha que 1, que δ i, + τ b b i, < α e que τ y < s y i,, sempre que ε i, w A y. Se a arrecadação dos imposos de renda e de herança é disribuída igualmene enre as famílias e poupada com uma axa de poupança s τ i,, enão a dinâmica da disribuição do esoque de capial da família i no empo pelo faor de produividade k i, é dada por 1 + a)λ i, k i,+1 = 1 δ i, τ b b i, τy +s τ i, k τ b bk + τ y y w A ε i, y w A )) + s w i, ) w y ) k i, + + s y A k i, ε i, k w 3.74) A onde b é a esperança de b i,, que é igual à probabilidade de haver o processo de herança, enquano a dinâmica do esoque de capial agregado por empo de rabalho efeivo é similar à dinâmica descria pela Proposição 3.2, devendo-se apenas subsiuir a esperança das axas de depreciação do capial e de poupança do produo e do salário, respecivamene, por δ τ = δ + 1 s τ )τ b b s y τ = s y 1 s τ )τ y s w τ = s w + 1 s τ )τ y 3.75) onde s τ é a esperança de s τ. Além disso, supondo ambém que α 1/2, en- i, ão a disribuição do esoque de capial da família i no empo pelo faor de produividade k i, se aproxima no longo prazo de uma única disribuição esacionária, independenemene da disribuição inicial do esoque de capial desagregado pelo faor de produividade, sempre que as desigualdades 3.39) e 3.40)

77 3.3. TRIBUTAÇÃO DA RENDA E DA HERANÇA 69 forem saisfeias e sempre que o esoque inicial de capial agregado por empo de rabalho efeivo for maior ou igual a um. A cauda superior dessa disribuição esacionária é aproximadamene igual à cauda de uma disribuição de Pareo, cujo expoene P é a única consane posiiva al que a variável aleaória 1 δ i, τ b b i, τy ) w τ /A τ εi, y τ w τ /A τ + s y k τ k i, ε y τ i, τ k τ 1 + a)λ i, P 3.76) possui esperança igual a um, onde as consanes y τ, k τ e w τ /A τ são os valores de equilíbrio sob a presença da ribuação, respecivamene, do produo bruo agregado por empo de rabalho efeivo, do esoque de capial agregado por empo de rabalho efeivo e do salário pelo faor de produividade. Em paricular, quando s τ = 1, a desigualdade de riqueza na cauda superior da disribuição é uma função decrescene da axa de imposo de herança. Prova: Como a arrecadação de imposos é disribuída igualmene enre as famílias, além do salário w, cada família recebe 1 L τ y ) Y i, w L i, L i=1 3.77) devido ao imposo de renda redisribuído e ambém 1 L τ b b i, K i, 3.78) L i=1 devido ao imposo de herança redisribuído. Pela Lei dos Grandes Números, essas rendas devidas à redisribuição são aproximadas pelas respecivas esperanças, que são dadas, respecivamene, por τ y A y w ) e τ b b A k 3.79)

78 70 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA Levando-se em cona o que a família i paga e recebe devido ao processo redisribuivo, o processo de acumulação ou de herança de capial é dado por λ i, K i,+1 = 1 δ i, )K i, τ b b i, K i, w L i, + s y i, Y i, τ y ) Y i, w L i, + +s w i, w + s τ i, τ b b A k + τ y ) ) A y w 3.80) de modo que a dinâmica da disribuição do esoque de capial da família i no empo pelo faor de produividade k i, é obida dividindo-se a equação acima por A, lembrando-se das equações 3.7) e 3.9) e de que A +1 = 1+a)A. Tomando-se a esperança da equação 3.74), obemos que 1 + a)1 + l)k +1 = 1 δ τ b b τy y w ) que pode ser reescria como 1 + g )k +1 = k A +s τ τ b bk + τ y y w A w A k + s y y k ) k + )) + s w w A 3.81) ) 1 δ 1 s τ )τ b b k + s y 1 s τ )τ y) y 1 s w 1 s τ )τ y) w A 3.82) de modo que, usando as equações 3.11) e 3.12), a dinâmica do esoque de capial agregado por empo de rabalho efeivo é enão dada por onde 1 + g )k +1 = 1 δ τ )k + sk )f k ) 3.83) sk ) = s y τ 1 sτ w ) 1 α)f k ) ) Finalmene, quando s τ = 1, emos que y τ = y, que k τ = k e que w τ /A τ = w/a, de modo que o expoene P é uma função crescene da axa de imposo de herança, de modo que a desigualdade de riqueza na cauda superior da disribuição é enão uma função decrescene da axa de imposo de herança.

79 3.4. MODELO DE NIREI Modelo de Nirei O modelo apresenado na seção anerior pode ser viso como uma evolução do modelo inroduzido em Nirei, 2009; S. Aoki e M. Nirei, 2015a). A seguir apresenamos as principais diferenças enre os modelos: 1. No modelo de Nirei, a função de produção é Cobb-Douglas, de modo que a elasicidade de subsiuição é sempre = Os choques ocorrem na produividade do rabalho e não na produividade oal. 3. O agenes conhecem os choques na produividade do rabalho anes de resolverem seu respecivo problema de maximização, de modo que as famílias nunca sofrem prejuízos. 4. As axas de poupança do produo e do salário são consanes e iguais enre si e a axa de poupança do produo incide sobre o lucro, que é sempre não negaivo. 5. A axa de depreciação do capial ambém é consane. 6. Os agenes possuem vida infinia e a quanidade de empo de rabalho agregado em crescimeno nulo, de modo que g = a. Quando a função de produção é Cobb-Douglas, é equivalene os choques ocorrerem na produividade do rabalho ou na produividade oal, uma vez que Y i, = K α i, ɛ i, A L i, ) 1 α 3.85)

80 72 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA se e só se Y i, = ε i, K α i, A L i, ) 1 α 3.86) onde ε i, = ɛ 1 α i, 3.87) Cada família i conraa uma quanidade de rabalho L i, de modo a maximizar seus lucros, dados por Y i, w L i, 3.88) A equação de acumulação de capial é dada por K i,+1 = 1 δ)k i, + sy i, w L i, ) + sw 3.89) Proposição 3.7 No modelo de Nirei, a dinâmica da disribuição do esoque de capial da família i no empo pelo faor de produividade k i, é dada por 1 + a)k i,+1 = 1 δ + sα ɛi, y ) 1 α ) α k i, + s w 3.90) A enquano a dinâmica do esoque de capial agregado por empo de rabalho efeivo é da por onde onde ɛ é a esperança de ɛ 1 α α i, 1 + a)k +1 = 1 δ)k + s y 3.91) y = ɛk α 3.92) elevada a α. A disribuição do esoque de capial da família i no empo pelo faor de produividade k i, se aproxima no longo prazo de uma única disribuição esacionária, independenemene da disribuição inicial do esoque de capial desagregado pelo faor de produividade. A cauda superior dessa disribuição esacionária é aproximadamene igual à cauda de uma

81 3.4. MODELO DE NIREI 73 disribuição de Pareo, cujo expoene P é a única consane posiiva al que a variável aleaória ) 1 α ɛi, α 1 δ + sα y 1 + a P 3.93) possui esperança igual a um, onde a consane y é o valor de equilíbrio do produo bruo agregado por empo de rabalho efeivo. Prova: Na Proposição C.3, mosramos que a condição de primeira ordem para o problema de maximização resolvido pela família i implica que y i, w = = y 3.94) L i, 1 α)a onde a úlima igualdade segue muliplicando a equação por L i, e omando a esperança. Por ouro lado, dividindo a equação 3.85) por A L i,, obemos que ) y α i, ki, = ɛ 1 α i, 3.95) L i, L i, de modo que, igualando as equações 3.94) e 3.95), segue que ɛ 1 α α i, k i, L i, = y 1 α 3.96) Muliplicando essa equação por L i, e omando a esperança, segue que ɛ 1 α k = y 1 α 3.97) que é equivalene à equação 3.92). Dividindo a equação 3.94) pela equação 3.96), obemos que y i, = ɛ 1 α α k i, i, ) y α α ɛi, α = y 3.98)

82 74 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA Dividindo a equação de acumulação de capial por A, segue que 1 + a)k i,+1 = 1 δ)k i, + s y i, w ) L i, + s w 3.99) A A Pela equação 3.94), essa equação é equivalene a 1 + a)k i,+1 = 1 δ)k i, + sαy i, + s w A 3.100) de modo que a equação 3.90) segue enão da equação 3.98). As demais afirmações seguem das Proposições 2.12, A.5, A.6 e A.7, como na demonsração da Proposição 3.4. Além da hipóese dos agenes conhecerem os choques de produividade anes de resolverem seu respecivo problema de maximização não ser muio realisa, o modelo de Nirei sofre da seguine inconsisência. Seja d é a axa de depreciação do capial quando o capial não é uilizado na produção. Como d < δ, se o choque de produividade for suficienemene adverso, poderia ocorrer que 1 d)k i, > 1 δ)k i, + Y i, w L i, 3.101) de modo que seria racional não conraar qualquer quanidade de rabalho, nem uilizar qualquer quanidade de capial, o que modificaria compleamene o modelo, dando origem a não linearidades. De fao, basa que δ d ɛ i, < α ) α 1 α y 3.102) Concluímos essa seção observando que, em Nirei, 2009, página 15), a ribuação é inroduzida no modelo de forma incorrea, de modo que a ribuação não afea o esado esacionário do modelo agregado, diferenemene do que se verifica na Proposição 3.6.

83 3.5. MODELO DE PIKETTY Modelo de Pikey Nesa seção, apresenamos o modelo inroduzido em Pikey 2015), cujas principais caracerísicas são apresenadas a seguir: 1. A axa de reorno líquida do capial r é consane e dada exogenamene. 2. O salário w em crescimeno igual ao do faor de produividade A. 3. A axa de poupança s i, incide sobre odo o capial acumulado e formam uma sequência de variáveis aleaórias enre zero e um, independenes e idenicamene disribuídas enre as famílias e enre os empos. 4. Os agenes possuem vida infinia e a quanidade de empo de rabalho agregado em crescimeno nulo, de modo que g = a. A equação de acumulação de capial é dada por K i,+1 = s i, 1 + r )Ki, + w ) 3.103) Proposição 3.8 No modelo de Pikey, a dinâmica da disribuição do esoque de capial da família i no empo pelo faor de produividade k i, é dada por Se a esperança de variável aleaória 1 + a)k i,+1 = s i, 1 + r )k i, + s i, w A 3.104) s i, 1 + r ) 1 + a 3.105) é menor do que um, enão a disribuição do esoque de capial da família i no empo pelo faor de produividade k i, se aproxima no longo prazo de uma

84 76 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO INDIVIDUAL DA RENDA E DA RIQUEZA única disribuição esacionária, independenemene da disribuição inicial do esoque de capial desagregado pelo faor de produividade. A cauda superior da disribuição esacionária é aproximadamene igual à cauda de uma disribuição de Pareo, cujo expoene P é a única consane posiiva al que a variável aleaória ) si, 1 + r ) P 3.106) 1 + a possui esperança igual a um, que é similar à condição 3.58). Quando s i, é igual a s/p com probabilidade p e é igual a zero com probabilidade 1 p, enão P = log1/p) ) 3.107) s 1 + r log p 1 + a Prova: A dinâmica da disribuição do esoque de capial da família i no empo pelo faor de produividade k i, é obida dividindo-se a equação de acumulação de capial por A. As duas afirmações seguines seguem das Proposições A.5, A.6 e A.7, uma vez que w /A se aproxima de uma consane. Quando s i, é igual a s/p com probabilidade p e é igual a zero com probabilidade 1 p, a esperança da variável aleaória ) si, 1 + r ) P 3.108) 1 + a é dada por ) s 1 + r ) P p 3.109) p 1 + a A úlima afirmação segue igualando-se a expressão acima a um e isolando P.

85 Capíulo 4 Críicas aos Resulados de Pikey Nese capíulo, a principal fone de ciações será a obra magna de Pikey, o livro Capial in he 21s Cenury. Por essa razão, para se eviar repeições desnecessárias, apenas no caso dessa obra, suas páginas serão ciadas enre parêneses, sem maiores referências. 4.1 Conrovérsias do Capial Uma das críicas mais comumene apresenadas por auores heerodoxos à abordagem eórica uilizada por Pikey é sua opção em adoar a eoria macroeconômica neoclássica para explicar seus dados empíricos, passando por cima das diversas objeções apresenadas nas denominadas Conrovérsias do Capial da década de 1960 Barbosa-Filho, 2016; Galbraih, 2014; López-Bernardo e ali, 2016; Michl, 2016; Taylor, 2014; Varoufakis, 2014). Em paricular, Pikey adoa modelos macroeconômicos neoclássicos, onde exise apenas um único bem, cuja produção Y é deerminada ecnicamene por uma função da quanidade 77

86 78 CAPÍTULO 4. CRÍTICAS AOS RESULTADOS DE PIKETTY acumulada K do próprio bem e da quanidade rabalho empregada L, denominada função de produção e denoada por Y = F K,L). Pikey não ignora as Conrovérsias do Capial da década de 1960, dedicando uma seção ineira do sexo capíulo do seu livro a esse assuno. No enano, afirma equivocadamene que o debae se resringia à críica de que o modelo neoclássico ignorava os descompassos enre as decisões de poupança e invesimeno e as decorrenes fluuações de curo prazo no emprego, e conclui erroneamene que o modelo neoclássico foi o grande viorioso ao final do debae página 231): Conroversy coninued, however, in he 1950s and 1960s beween economiss based primarily in Cambridge, Massachuses including Solow and Samuelson, who defended he producion funcion wih subsiuable facors) and economiss working in Cambridge, England including Joan Robinson, Nicholas Kaldor, and Luigi Pasinei), who no wihou a cerain confusion a imes) saw in Solow s model a claim ha growh is always perfecly balanced, hus negaing he imporance Keynes had aribued o shor-erm flucuaions. I was no unil he 1970s ha Solow s so-called neoclassical growh model definiively carried he day. Mais do que isso, Pikey acredia que o debae ocorreu em grande medida pela deficiência de dados empíricos disponíveis na época página 232): In my view, he virulence and a imes seriliy of he Cambridge capial conroversy was due in par o he fac ha paricipans on boh sides lacked he hisorical daa needed o clarify he erms of he debae. Na verdade, o principal pono em dispua nesse debae era sobre a possibilidade ou impossibilidade em se definir os conceios de capial agregado e de função de produção agregada de modo logicamene independene da axa de

87 4.1. CONTROVÉRSIAS DO CAPITAL 79 reorno do capial. Como explicado em López-Bernardo e ali, 2016, página 200): More echnically, he quesion was wheher a muli-secor economy wih a rich se of possible inpu echnologies, which profi-maximising capialiss can choose from, can in a meaningful way be described by a well-behaved) aggregae producion funcion. The main resul was ha i canno: he same echnology can be used by a profi maximising economy a boh high and low wages known as capial reswiching and capial reversal). A rise in wages can lead o a decrease or an increase in he observed capial-labour raio. No general negaive relaionship beween echniques capial-labour raio) and he profi rae can be derived. Em 1966, o próprio Samuelson reconheceu a circularidade lógica da abordagem macroeconômica neoclássica. Esse pono é paricularmene imporane, pois a função de produção é uilizada por Pikey jusamene na explicação dos movimenos da razão capial pelo produo, da axa real de reorno do capial e da fração do produo que remunera o capial. Apesar de uilizar a eoria da produividade marginal para explicar a remuneração do capial página 213), Pikey é expliciamene críico em se aplicar essa eoria para se explicar os super-salários, devido a presença de informações imperfeias, que impossibiliam a própria definição de produividade marginal do rabalho. A visão dessa disseração é que modelos macroeconômicos neoclássicos, no seu aual eságio de desenvolvimeno, não se consiuem boas aproximações da realidade, pois necessiam de um nível maior de desagregação seorial e ambém de incorporar algum grau de poder de barganha para se ober uma

88 80 CAPÍTULO 4. CRÍTICAS AOS RESULTADOS DE PIKETTY eoria que explique melhor a remuneração dos diversos faores produivos. Enreano, esses modelos macroeconômicos exremamene idealizados podem ser úeis em esclarecer alguns ponos em debae, especialmene auxiliando a descarar ceras proposições econômicas que podem ser verdadeiras em ceros modelos de equilíbrio parcial, mas que não são válidas em modelos de equilíbrio geral, mesmo se uilizando das hipóeses mais irrealisas. O próprio Pikey parece er uma opinião semelhane, como revelado em López-Bernardo e ali, 2016, página 199): However, in an exchange o he auhors, Pikey himself has made very clear his posiion regarding he use of he neoclassical producion model: [a]ll I am saying is ha even if he world was working as in he one-secor neoclassical model wih perfec compeiion, hen his would cerainly no imply ha we live in an harmonious or desirable place in any meaningful sense. 4.2 Capial e Riqueza Um ouro pono muio criicado, agora ano por auores heerodoxos Foser e Yaes, 2014; López-Bernardo e ali, 2016; Rowhorn, 2014; Semieniuk, 2014; Varoufakis, 2014), quano por auores orodoxos Bonne e ali, 2014; Homburg, 2015; Rognlie, 2014), é a idenificação enre os conceios de capial e riqueza uilizada por Pikey para esabelecer a ligação enre a eoria e os dados empíricos. Esse pono é de fao esreiamene ligado à impossibilidade da agregação do capial de modo logicamene independene da axa de reorno do capial, que foi mencionada na seção anerior. Para Pikey e para os auores orodoxos, a quesão é se deerminar qual medida empírica do capial se aproximaria

89 4.2. CAPITAL E RIQUEZA 81 melhor do conceio de capial uilizado nos modelos macroeconômicos neoclássicos. Pikey argumena que, no longo prazo, o valor nominal de odos os bens acumulados é uma boa aproximação para o valor empírico do capial página 211): Make no misake: I am obviously no denying ha inflaion can in some cases have real eff ecs on wealh, he reurn on wealh, and he disribuion of wealh. The effec, however, is largely one of redisribuing wealh among asse caegories raher han a long-erm srucural effec. Essa parece ser ambém a opinião do próprio Solow num arigo de 2014: There is a small ambiguiy here. Pikey uses wealh and capial as inerchangeable erms.... In a recession, he wealh-income raio may fall noiceably, alhough he sock of producive capial, and even is expeced fuure earning power, may have changed very lile or no a all. Bu as long as we sick o longerrun rends, as Pikey generally does, his difficuly can safely be disregarded. Ouros auores argumenam que os efeios de ganho de capial deveriam ser desconados para a correa deerminação do valor empírico de K. Pikey observa correamene que página 211): Bu i would no make much sense o deduc inflaion from he reurn on all forms of capial wihou adding capial gains, which on average amply make up for he effecs of inflaion. Por exemplo, em Bonne e ali, 2014) a parcela da riqueza referene ao seor imobiliário é muliplicada pela razão enre os índices de aluguel e de preços de imóveis, de modo a se corrigir os efeios de ganho de capial. Enreano esse procedimeno é problemáico, pois essa razão fornece a axa de reorno médio do capial imobiliário, de modo que a sua muliplicação pelo capial imobiliário

90 82 CAPÍTULO 4. CRÍTICAS AOS RESULTADOS DE PIKETTY fornece a remuneração anual do capial imobiliário e não o capial imobiliário propriamene dio. Uma abordagem alernaiva é realizada em Rognlie, 2014), onde os efeios de ganho de capial são corrigidos medindo-se a riqueza aravés do seu valor conábil. Aqui parece haver uma inconsisência enre os modos como são medidos o numerador e o denominador, uma vez que o produo é foremene influenciado pelas variações de preços excluídas da mensuração da riqueza. Figura 4.1: Evolução de βe excluindo os bens imobiliários 500% 450% 400% 350% EUA Alemanha Inglaerra Canada Japão França Iália Ausrália 300% 250% 200% 150% 100% Devido aos subsanciais efeios de ganho de capial nos bens imobiliários, alguns auores Rognlie, 2014; Semieniuk, 2014) analisam os efeios da complea exclusão dos bens imobiliários na deerminação do valor empírico de K. Com essa exclusão e a parir dos dados empíricos, concluem que a razão capial sobre o produo eve um crescimeno muio mais modeso do que o anunciado

91 4.2. CAPITAL E RIQUEZA 83 por Pikey. Por exemplo, em Rognlie, 2014, página 16) os seguines dados são apresenados, relacionados ao gráfico da Figura 4.1: Using daa from Pikey and Zucman 2013), Figures 8 and 9 break he domesic capial/income raio from 1970 o 2010 ino wo componens: housing capial and all oher forms of capial. Figure 8 shows an increase in he housing capial/income raio of over 100 percenage poins for all counries in he sample excep he US, which had a 43pp increase. By conras, he oher capial/income raio in Figure 9 only increased by over 100pp in Japan, and acually decreased in Canada and Germany. Across all eigh counries in he sample, he average increase in housing capial/income was 186pp, while he average increase in oher capial/income was only 44pp making housing responsible for roughly 80pp of he overall increase. Esse procedimeno ambém é problemáico, pois excluir os bens imobiliários apenas do numerador, enquano sua conribuição ao denominador permanece inalerada, reduz arificialmene a razão capial sobre o produo. Isso é comprovado pelos próprios dados apresenados em Rognlie, 2014, página 17), relacionados ao gráfico da Figura 4.2: For he sample as a whole, he average increase in he housing share from 1970 o 2010 is 3.4pp, while he non-housing capial share has shown an average decrease of 1.9pp. Ne housing income hus accouns for over 100pp of he increase in he ne capial share in his period. O mais correo, nesse caso, parece ser proceder como sugerido por Sigliz 2015 e reformular o modelo macroeconômico neoclássico, desagregando bens escassos que não são produzidos, como a erra, do capial K e esabelecer a relação precisa enre a fração do produo que remunera a riqueza, a razão riqueza

92 84 CAPÍTULO 4. CRÍTICAS AOS RESULTADOS DE PIKETTY e excluindo os bens imobiliários Figura 4.2: Evolução de α 35% 30% 25% 20% 15% EUA Alemanha Inglaerra Canada 10% 5% 0% Japão França Iália Ausrália pelo produo e a axa real de reorno da riqueza. 4.3 Elasicidades de Subsiuição A explicação neoclássica de Pikey para os dados empíricos enconrados, o crescimeno ano da fração do produo que remunera o capial, quano da razão capial pelo produo, e o decrescimeno da axa real de reorno do capial, depende da elasicidade de subsiuição enre capial e rabalho ser maior do e, βe e re, é a que 1. De fao, como Pikey rabalha com a variáveis líquidas α e que deve ser maior do que 1. Pikey não apresena uma elasicidade líquida esimaiva numérica, mas afirma página 221):

93 4.3. ELASTICIDADES DE SUBSTITUIÇÃO 85 I is obviously quie difficul o predic how much greaer han one he elasiciy of subsiuion of capial for labor will be in he weny-firs cenury. On he basis of hisorical daa, one can esimae an elasiciy beween 1.3 and 1.6. Como apresenado em Rognlie 2014 página 5) e demonsrado na Proposição 2.9, a razão enre as elasicidades líquida e brua é dada por 1 1 δr = 4.1) 1 δβ Essa razão é sempre menor do 1, uma vez que r β = α < 1 e o valor esimado para os EUA em 2013 é igual a 0,66. Porano, para que a elasicidade líquida seja maior do que 1, a elasicidade brua deve ser maior do que 1,5, o que parece conradizer os resulados obidos em diversos rabalhos aneriores. Por exemplo, em Rognlie, 2014, página 7) enconramos a seguine afirmação: Chirinko 2008) provides an excellen summary of he empirical lieraure, lising esimaes from many differen sources and empirical sraegies. Of he 31 sources lised for he gross elasiciy, fully 30 ou of 31 show < 2, 29 ou of 31 show < 1.5, and 26 ou of 31 show < 1. The median is = 0.52, and Chirinko concludes ha he weigh of he evidence suggess ha lies in he range beween 0.40 and Em seguida esses resulados são qualificados Rognlie, 2014, página 7): Clearly, he lieraure is imperfec and inconclusive, and no all esimaes direcly correspond o he aggregae elasiciy ha ineress us. Furhermore, if some subsiuion beween labor and capial only akes place in he very long erm, i is possible ha he sudies in Chirinko 2008) sysemaically undersae he rue long-run elasiciy. Por ouro lado, em Acemoglu e Robinson, 2015, página 10), afirma-se o seguine:

94 86 CAPÍTULO 4. CRÍTICAS AOS RESULTADOS DE PIKETTY However, he vas majoriy of exising esimaes indicae a shor-run elasiciy of subsiuion significanly less han one... Though his elasiciy could be higher in longer horizons... In his conex, i is worh noing ha he only recen paper esimaing an elasiciy of subsiuion greaer han one, Karabarbounis and Neiman 2014), uses long-run cross-counry variaion relaed o changes in invesmen prices, making heir esimaes much more likely o correspond o endogenous-echnology elasiciies. As esimaivas feias a parir dos próprios dados empíricos apresenados por Pikey sofrem de dois problemas. Primeiro, a exclusão dos bens imobiliários apenas do numerador, enquano sua conribuição ao denominador permanece inalerada, reduz arificialmene a razão capial sobre o produo, como aponado na seção anerior, e por consequência reduz arificialmene a elasicidade de subsiuição. Segundo, a hipóese de elasicidade líquida consane implica que a função de produção enha a forma f k ) = αk 1 Em Semieniuk, 2014, página 12), a equação ) α + δk 4.2) logβ ) = logr ) + c + ε 4.3) que segue direo da equação 2.70) aplicando-se o logarimo, é uilizada para se esimar ano a elasicidade líquida, quano a elasicidade brua. Parece que o mais correo seria esimar primeiro a elasicidade brua e depois uilizar a equação 4.1) para se deerminar a elasicidade líquida. Conhecendo-se o valor de δ, é possível passar facilmene dos valores líquidos para os valores bruos, como apresenado na Proposição 2.4. Além disso, dois resulados são apresenados, denoados, respecivamene, por W e K, dependendo de β ser calcu-

95 4.4. TEORIAS DE POUPANÇA 87 lado com e sem os bens imobiliários. Além da exclusão dos bens imobiliários apenas do numerador, enquano sua conribuição ao denominador permanece inalerada, reduzir arificialmene a elasicidade de subsiuição, a axa de reorno r = α /β é em ambos casos deerminada com β calculado com os bens imobiliários Semieniuk, 2014, página 13), o que é oura inconsisência. 4.4 Teorias de Poupança Nas análises de esáica comparaiva apresenados por Pikey, a axa de poupança líquida é manida consane página 167): For example, given a savings rae of 12 percen, if he rae of growh falls o 1.5 percen a year insead of 2 percen), hen he long-erm capial/income raio β = s/g will rise o eigh years of naional income insead of six). If he growh rae falls o 1 percen, hen β = s/g will rise o welve years, indicaive of a sociey wice as capial inensive as when he growh rae was 2 percen. In one respec, his is good news: capial is poenially useful o everyone, and provided ha hings are properly organized, everyone can benefi from i. In anoher respec, however, wha his means is ha he owners of capial - for a given disribuion of wealh - poenially conrol a larger share of oal economic resources. In any even, he economic, social, and poliical repercussions of such a change are considerable. Algumas das previsões mais sombrias formuladas por Pikey dependem dessa hipóese páginas 195 e 196): The mos ineresing quesion concerns he exrapolaion of his curve ino he fuure. Here I have used he demographic and economic growh predicions

96 88 CAPÍTULO 4. CRÍTICAS AOS RESULTADOS DE PIKETTY presened in Chaper 2, according o which global oupu will gradually decline from he curren 3 percen a year o jus 1.5 percen in he second half of he weny-firs cenury. I also assume ha he savings rae will sabilize a abou 10 percen in he long run. Wih hese assumpions, he dynamic law β = s/g implies ha he global capial/income raio will quie logically coninue o rise and could approach 700 percen before he end of he weny-firs cenury, or approximaely he level observed in Europe from he eigheenh cenury o he Belle Époque. In oher words, by 2100, he enire plane could look like Europe a he urn of he wenieh cenury, a leas in erms of capial inensiy. Obviously, his is jus one possibiliy among ohers. As noed, hese growh predicions are exremely uncerain, as is he predicion of he rae of saving. These simulaions are neverheless plausible and valuable as a way of illusraing he crucial role of slower growh in he accumulaion of capial. Como bem observado em Krussel e Smih, 2014), a hipóese da consância da axa de poupança líquida é uma eoria de poupança problemáica por duas razões principais. Em primeiro lugar, os dados empíricos fornecem muio mais supore à hipóese da consância da axa de poupança brua, implícia na eoria de poupança do modelo clássico de Sollow-Swan, que é em geral apresenado nos livro-exos. Os gráficos das Figuras 4.3 e 4.4 foram reirados de Krussel e Smih, 2014, gráficos 2 e 3). Em segundo lugar, sob a hipóese da consância da axa de poupança líquida, pela equação 2.100), a axa de poupança brua no longo prazo é dada por s = sδ + g ) δ s + g 4.4) que se aproxima de 1, quando a axa de crescimeno se aproxima de 0, que é

97 4.4. TEORIAS DE POUPANÇA 89 Figura 4.3: Evolução de s acima) e de s abaixo) nos EUA jusamene o caso limie de maior ineresse para Pikey páginas 227 a 279): For Marx, he cenral mechanism by which he bourgeoisie digs is own grave corresponded o wha I referred o in he Inroducion as he principle of infinie accumulaion : capialiss accumulae ever increasing quaniies of capial, which ulimaely leads inexorably o a falling rae of profi i.e., reurn on capial) and evenually o heir own downfall. Marx did no use mahemaical models, and his prose was no always limpid, so i is difficul o be sure wha he had in mind. Bu one logically consisen way of inerpreing his hough is o consider he dynamic law β = s/g in he special case where he growh rae g is zero or very close o zero....

98 90 CAPÍTULO 4. CRÍTICAS AOS RESULTADOS DE PIKETTY Figura 4.4: Regressão de s acima) e de s abaixo) em relação a g nos EUA Where here is no srucural growh, and he produciviy and populaion growh rae g is zero, we run up agains a logical conradicion very close o wha Marx described. If he savings rae s is posiive, meaning he capialiss insis on accumulaing more and more capial every year in order o increase heir power and perpeuae heir advanages or simply because heir sandard of living is already so high, hen he capial/income raio will increase indefiniely. More generally, if g is close o zero, he long-erm capial/income raio β = s/g ends oward infiniy. And if β is exremely large, hen he reurn on capial r mus ge smaller and smaller and closer and closer o zero, or else capial s share of income, α = r β, will ulimaely devour all of naional income. The dynamic inconsisency ha Marx poined ou hus corresponds o a real

99 4.4. TEORIAS DE POUPANÇA 91 difficuly, from which he only logical exi is srucural growh, which is he only way of balancing he process of capial accumulaion o a cerain exen). Only permanen growh of produciviy and populaion can compensae for he permanen addiion of new unis of capial, as he law β = s/g makes clear. Oherwise, capialiss do indeed dig heir own grave: eiher hey ear each oher apar in a desperae aemp o comba he falling rae of profi..., or hey force labor o accep a smaller and smaller share of naional income, which ulimaely leads o a prolearian revoluion and general expropriaion. In any even, capial is undermined by is inernal conradicions. Enreano, como observado acima, a hipóese da consância da axa de poupança líquida é inconsisene com uma axa de crescimeno nula, pois nesse caso o consumo ambém seria nulo. Por ouro lado, sob a hipóese clássica da consância da axa de poupança brua, pelas equações 2.80) e 2.81), a axa de poupança líquida e a razão capial pelo produo líquido no longo prazo são dadas, respecivamene, por sg s = δ1 s) + g e β = s δ1 s) + g 4.5) de modo que, se a axa de crescimeno for nula, enão s = 0 e β = s δ1 s) 4.6) ou seja, a axa de poupança líquida seria nula e a a razão capial pelo produo líquido seria limiada. Como bem ressalado em Krussel e Smih, 2014, páginas 745 e 746): These inernal conradicions he noion ha capialism naurally and ineviably generaes exreme wealh inequaliy are arguably he cenral heme

100 92 CAPÍTULO 4. CRÍTICAS AOS RESULTADOS DE PIKETTY of Pikey s book, and as his passage makes clear, hey are inimaely relaed o his second law as we have porrayed i here. These wo passages also poin o anoher cenral issue, largely absen from Pikey s book, namely, he role of depreciaion in macroeconomics. Depreciaion is clearly a hrea o capialiss : i eas up heir capial and limis heir abiliy o build i up. Bu i is also a hrea o Pikey s vision of capialism s purpored inernal conradicions: depreciaion desroys capial and forces capialiss o devoe resources no o is accumulaion bu raher simply o is mainenance. The phrase permanen addiion of new unis of capial in he jusquoed passage is elling: i is in fac difficul o conceive of such addiions, because wheher hrough physical decay or economic obsolescence, all capial depreciaes. Throughou his book Pikey rails agains he disproporionae imporance of wealh accumulaed in he pas see, e.g., p. 166 in his book), he laer phrase appearing no fewer han nine imes in his book. Bu depreciaion erodes wealh, and in our view i is criical o incorporae his corrosive force explicily in any analysis of wealh accumulaion. Concluímos essa seção com uma observação sobre a eoria de poupança implícia no modelo de disribuição desagregado apresenado por Pikey. A equação de acumulação de capial é dada por K i,+1 = s i, 1 + r )Ki, + w ) 4.7) de modo que a axa de poupança s i, incide sobre odo o capial acumulado. Essa eoria de poupança deermina um expoene de Pareo P na disribuição do esoque de capial enre as famílias dado por P = log1/p) ) 4.8) s 1 + r log p 1 + a

101 4.5. EFICIÊNCIA DE PARETO 93 Se a axa de poupança s i, incidisse apenas sobre a renda líquida, a equação de acumulação de capial seria dada por K i,+1 = K i, + s i, r Ki, + w ) 4.9) Essa eoria de poupança desagregada seria mais consisene com eoria de poupança agregada uilizada por Pikey e deerminaria um expoene de Pareo P na disribuição do esoque de capial enre as famílias dado por P = log1/p) ) 4.10) s r log p 1 + a 4.5 Eficiência de Pareo Um ouro pono basane comenado é a relação eórica enre a desigualdade r > g e a eficiência de Pareo ineremporal da economia. Alguns auores orodoxos afirmam que a relação r > g seria apenas consequência dessa eficiência ineremporal. Por exemplo, em Homburg, 2015, página 1403) enconramos a seguine afirmação: As a final remark concerning his poin, he relaionship beween r and g is imporan for no only capialisic socieies bu also socialis economies, where r represens an impued capial renal rae. In boh sysems, a reurn on capial in excess of he growh rae is no a problem bu is socially useful because i prevens dynamic inefficiency: In he opposie case r > g, one could make a paricular generaion beer off wihou making oher generaions worse off, as is well known. Essa mesma opinião aparece em Ray, 2014, página 4), onde a desigualdade r > g é denominada Terceira Lei Fundamenal do Capialismo de Pikey:

102 94 CAPÍTULO 4. CRÍTICAS AOS RESULTADOS DE PIKETTY...he law iself is a simple consequence of a mild efficiency crierion ha has been known for many decades in economics. Alguns auores heerodoxos ambém parecem er opinião similar, como em López-Bernardo e ali, 2016, página 195): The remarkable aspec of he Cambridge formulaion is ha i shows ha he famous inequaliy r > g is no jus a possible oucome in a capialis economy, bu raher an oucome ha is o be expeced; excep for he limi case s c = 1, he rae of profi will always be higher han he growh rae of he economy, casing well-founded doubs abou alernaive heories... where he opposie inequaliy, r < g called in hese formulaions dynamic inefficiency) is heoreically equally valid and sands on he same fooing. Em Pikey, 2015, página 74), enconramos a seguine observação: The inequaliy r < g would correspond o a siuaion which economiss ofen refer o as dynamic inefficiency : in effec, one would need o inves more han he reurn o capial in order o ensure ha one s capial sock keeps rising as fas as he size of he economy. In infinie horizon models wih perfec capial markes, his canno happen. In effec, r < g would violae he ransversaliy condiion: he ne presen value of fuure resources would be infinie, so ha raional agens would borrow infinie amouns in order o consume righ away. However, in models wih oher saving moives, such as finie-horizon overlapping generaion models, i is possible for r < g. Já em Acemoglu e Robinson, 2015, páginas 10 e 11), enconramos a seguine afirmação: Theoreically, in an economy wih an exogenous saving rae, or wih overlapping generaions..., or wih incomplee markes..., he ineres rae need no

103 4.5. EFICIÊNCIA DE PARETO 95 exceed he growh rae. I will do so in an economy ha is dynamically efficien, meaning in an economy in which i is impossible o increase he consumpion a all daes hus achieving a Pareo improvemen). Wheher an economy is dynamically efficien is an empirical maer for example, Geerolf 2013) suggess ha several OECD economies migh be dynamically inefficien and dynamic inefficiency becomes more likely when he capial-oupu raio is very high as Capial in he Tweny-firs Cenury predics i o be in he fuure. Solow, num arigo de 2014, exerna uma visão semelhane, que ambém é comparilhada pela presene disseração: There is no logical necessiy for he rae of reurn o exceed he growh rae: a sociey or he individuals in i can decide o save and o inves so much ha hey and he law of diminishing reurns) drive he rae of reurn below he long-erm growh rae, whaever ha happens o be. I is known ha his possible sae of affairs is socially perverse in he sense ha leing he sock of capial diminish unil he rae of reurn falls back o equaliy wih he growh rae would allow for a permanenly higher level of consumpion per person, and hus for a beer social sae. Bu here is no invisible hand o seer a marke economy away from his perversiy. Ye i has been avoided, probably because hisorical growh raes have been low and capial has been scarce. We can ake i as normal ha he rae of reurn on capial exceeds he underlying growh rae.

104 96 CAPÍTULO 4. CRÍTICAS AOS RESULTADOS DE PIKETTY

105 Apêndice A Disribuições e Desigualdades A.1 Curva de Lorenz A denominada curva de Lorenz foi inroduzida por Max Lorenz em 1905 para descrever as desigualdades na disribuição da renda oal, mas ambém pode ser uilizada para descrever as desigualdades na disribuição do capial acumulado ou dos salários, enre ouras variáveis não negaivas. A Figura A.1, reirada de Sanos e Ugá, 2006, figura 2), apresena a curva de Lorenz da disribuição da renda oal no Brasil em 2002 segundo os dados da Pesquisa de Orçamenos Familiares do IBGE. A curva de Lorenz é o gráfico da função Lx), cujo domínio e imagem são dados pelo inervalo [0%,100%] e cuja consrução é dada da seguine forma. Cada indivíduo da população deve esar associado a um dado valor da variável considerada, por exemplo, capial acumulado ou salários. Os indivíduos são enão ordenados em ordem crescene desses valores, de modo que, no domínio, o inervalo [0, x] corresponde aos indivíduos que esão enre os x associados aos menores valores da variável considerada, enquano o 97

106 98 APÊNDICE A. DISTRIBUIÇÕES E DESIGUALDADES inervalo [x,100%] corresponde aos indivíduos que esão enre os 100% x associados aos maiores valores. Enão Lx) fornece o percenual da variável considerada acumulado pelos indivíduos correspondenes ao inervalo [0, x] em relação ao oal acumulado por odos os indivíduos da população. É imediao que L0%) = 0% e ambém que L100%) = 100%. Além disso, o inervalo [x, y] corresponde aos indivíduos que esão enre os y associados aos menores valores da variável considerada e que esão enre os 100% x associados com os maiores valores e Ly) Lx) fornece o percenual da variável considerada acumulado pelos indivíduos correspondenes ao inervalo [x, y]. A função Lx) é claramene crescene e convexa e, se o gráfico de Lx) é uma rea no inervalo [x, y], enão odos os indivíduos correspondenes a esse inervalo esão associados ao mesmo valor da variável considerada. As abelas apresenadas por Pikey com as disribuições individuais de capial acumulado, salário e renda oal, são versões simplificadas das respecivas curvas de Lorenz, como explicado na abela A.1, onde na úlima coluna aparecem os dados do exemplo apresenado na Figura A.1. Tabela A.1: Nomeclaura usada por Pikey e a curva de Lorenz Nomeclaura Domínio Curva de Lorenz Exemplo Os 10% de cima [90%, 100%] 100% L90%) 100% 53, 90% = 46, 10% Os 1% superior [99%, 100%] 100% L99%) 100% 86, 86% = 13, 14% Os 9% seguines [90%, 99%] L99%) L90%) 86, 86% 53, 90% = 32, 96% Os 40% do meio [50%, 90%] L90%) L50%) 53, 90% 13, 74% = 40, 16% Os 50% de baixo [0%,50%] L50%) 13,74% A seguir, um resulado que relaciona as curvas de Lorenz das disribuições

107 A.1. CURVA DE LORENZ 99 Figura A.1: Curva de Lorenz da disribuição da renda oal no Brasil em ,23 63,99 58,52 61,12 56,10 53,90 100,00 86,86 80,10 75,09 70, , ,65 1,00 2,91 9, , , , do capial acumulado e dos salários com a disribuição da renda oal. Proposição A.1 Se as ordens do capial acumulado e dos salários coincidem e se a axa real de reorno bruo do capial r é consane em relação ao esoque de capial acumulado, enão L Y x) = α L K x) + 1 α )L w x) A.1) onde L Y,L K,L w são as curvas de Lorenz das disribuições, respecivamene, da renda brua oal, do capial acumulado e dos salários e α é a fração do produo bruo que remunera o capial. O mesmo resulado vale rocando-se as variáveis bruas pelas variáveis líquidas. Prova: Como as ordens do capial acumulado e dos salários coincidem, para odo x, o inervalo [0, x] corresponde aos indivíduos que esão enre os x asso-

108 100 APÊNDICE A. DISTRIBUIÇÕES E DESIGUALDADES ciados aos menores valores do capial acumulado e ambém dos salários. Denoe por K x) e por W x) os valores, respecivamene, do capial acumulado e dos salários acumulados pelos indivíduos correspondenes ao inervalo [0, x]. Como a axa real de reorno do capial r é consane em relação ao esoque de capial acumulado, emos que r K x) é o valor acumulado pelos indivíduos correspondenes ao inervalo [0, x] da renda do capial, de modo que Y x) = r K x) +W x) A.2) é o valor da renda oal acumulado pelos indivíduos correspondenes ao inervalo [0, x]. Por ouro lado, emos que L Y x) = Y x) Y, L K x) = K x) K, L w x) = W x) W A.3) onde Y = Y 100%), K = K 100%), W = W 100%) A.4) Subsiuindo a equação A.3) na equação A.2), segue enão que Y L Y x) = r K L K x) +W L w x) A.5) de modo que L Y x) = r K Y L K x) + W Y L w x) A.6) O resulado segue, uma vez que α = r K /Y e ambém 1 α = W /Y. Pela Proposição 2.4, as axa real de reorno líquido e bruo do capial diferem pela axa de depreciação, de modo que, se uma delas for consane em relação ao esoque de capial acumulado, a oura ambém será.

109 A.1. CURVA DE LORENZ 101 Concluímos essa seção com algumas fórmulas no caso em que a disribuição é descria por uma função de densidade. Se f Z ) é a função de densidade associada à disribuição da variável considerada, sua função de disribuição acumulada é dada por Z F Z ) = f z)d z A.7) e fornece o percenual dos indivíduos ais que os respecivos valores associados da variável considerada se enconram abaixo do valor Z. Proposição A.2 Se f Z ) é posiiva para odo Z Z 0 e igual a zero caso conrário, enão a respeciva curva de Lorenz é dada por onde Lx) = 1 µ F 1 x) Z 0 z f z)d z A.8) µ = z f z)d z A.9) Z 0 é a quanidade acumulada da variável considerada por odos os indivíduos da população. Além disso, emos que L x) = F 1 x) µ A.10) que L 1 x) = µf F 1 A.11) x)) e duas variáveis possuem a mesma curva de Lorenz se e só se as inversas das suas funções de disribuição acumulada são proporcionais. Prova: Temos que Z Z 0 z f z)d z A.12)

110 102 APÊNDICE A. DISTRIBUIÇÕES E DESIGUALDADES fornece a quanidade acumulada da variável considerada pelos indivíduos ais que os respecivos valores associados da variável considerada se enconram abaixo do valor Z. Segue enão que µ = z f z)d z A.13) Z 0 fornece a quanidade acumulada da variável considerada por odos os indivíduos da população. Como x = F Z ) fornece o percenual dos indivíduos ais que os respecivos valores associados da variável considerada se enconram abaixo do valor Z, segue enão que LF Z )) = 1 µ Z Z 0 z f z)d z A.14) que é equivalene à equação A.8), observando que Z = F 1 x). Derivando a equação A.14), segue que L F Z ))f Z ) = 1 µ Z f Z ) A.15) onde usamos o Teorema Fundamenal do Cálculo para ober o lado direio da equação e ambém para ober que F Z ) = f Z ). Cancelando f Z ) em ambos os lados da equação A.15), obemos que L F Z )) = 1 µ Z A.16) que é equivalene à equação A.10), usando que Z = F 1 x). Derivando a equação A.14), segue que L F Z ))f Z ) = 1 µ A.17) que é equivalene à equação A.10), novamene usando que Z = F 1 x). Se duas variáveis possuem a mesma curva de Lorenz L 1 x) = L 2 x), pela equação

111 A.1. CURVA DE LORENZ 103 A.10), segue enão que F1 1x) 1 = L 1 µ x) = F L 2 2 x) = x) A.18) 1 µ 2 mosrando que as inversas das suas funções de disribuição acumulada são proporcionais. Por ouro lado, as inversas das suas funções de disribuição acumulada são proporcionais, enão F x) = cf2 x) A.19) de modo que Z1 0 = F ) = cf2 0) = c Z 2 0. Derivando a equação A.19), segue que 1 f 1 F1 1x)) = c 1 f 2 F2 1x)) A.20) Escrevendo Z = F2 1 x), segue enão que f 2 Z ) = c f 1 c Z ) A.21) de modo que µ 2 = = = 1 c Z2 0 = µ 1 c Z2 0 Z 0 1 z f 2 z)d z zc f 1 cz)d z z f 1 z)d z A.22) Pela equação acima e pelas equações A.10) e A.19), segue enão que L 1 Como L 1 0) = L 2 0) = 0, segue que L 1 x) = L 2 x). 1 F1 x) = x) = F 2 1x) = L 2 x) A.23) µ 1 µ 2

112 104 APÊNDICE A. DISTRIBUIÇÕES E DESIGUALDADES A.2 Coeficiene de Gini O denominado coeficiene de Gini foi inroduzido por Corrado Gini em 1912 como uma medida da desigualdade na disribuição da renda oal, mas ambém pode ser uilizada para medir a desigualdade na disribuição do capial acumulado ou dos salários, enre ouras. Das propriedade apresenadas na seção anerior, haveria perfeia igualdade se a curva de Lorenz coincidisse com a rea ligando o pono 0%,0%) e o pono 100%,100%), denominada linha de perfeia igualdade. A disância enre a curva de Lorenz e a linha de perfeia igualdade na norma da média é dada por 1 0 x Lx)d x = Lx) d x 0 A.24) e é igual à área da região cinza apresenada na Figura A.2. Figura A.2: Disância enre a curva de Lorenz e a linha de perfeia igualdade