4 Modelos de Equações Estruturais

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1 4 Modelos de Equações Estruturas 4. Introdução Este capítulo é dedcado aos fundamentos teórcos sobre os Modelos de Equações Estruturas baseados em Estruturas de Covarâncas (CSM) e em Mínmos Quadrados Parcas (PLS), e também sobre os seus respectvos métodos de estmação de escores de varáves latentes. A ênfase será dada aos problemas estatístcos da Identfcação, Estmação e Valdação do modelo. No caso dos modelos CSM, exstem dferentes tpos de estruturas de covarâncas que são consderadas casos especas do Modelo Geral. Além dos Modelos de Equações Estruturas, estão ncluídos nesta relação os Modelos de Testes Congenércos, Modelos de Análse Fatoral (exploratóros e confrmatóros), Modelos de Estmação de Componentes de Varâncas e Covarâncas e Modelos de Regressão com erros de meddas (cf. Jöreskog, 978). Os Modelos de Equações Estruturas anda são obetos de ntensa pesqusa. Uma de suas característcas báscas é que se pode testar uma teora de natureza causal entre um conunto de varáves. No caso da Satsfação do Consumdor, a teora estabelece que o Desempenho nfluenca a Desconfrmação e que esta pode levar à Satsfação. Esta técnca oferece ao pesqusador a possbldade de nvestgar o poder de explcação das varáves predtoras em relação à varável dependente e anda avalar a mportânca dessas varáves. O capítulo está organzado da segunte manera. A seção 4. revsa os modelos baseados em estruturas de covarâncas (CSM), em partcular, o Modelo Geral e os Modelos de Equações Estruturas. A seção 4.3 apresenta os métodos de estmação de escores de varáves latentes para os modelos CSM. O capítulo termna na seção 4.4 com uma revsão dos Modelos de Equações Estruturas baseados no PLS, nclusve dos seus métodos de estmação de escores de varáves latentes.

2 59 4. Análse Estrutural de Matrzes de Covarânca e de Correlação De acordo com Jöreskog (978), a pesqusa por estruturas em varáves pscológcas correlaconadas é um dos grandes obetvos na pscometra. Tradconalmente esta pesqusa era realzada utlzando a Análse Exploratóra de Fatores para detectar e avalar fontes latentes de varações e covarações nas meddas observadas. No entanto, verfcou-se que este tpo de análse tem maor utldade nos prmeros estágos da expermentação ou do desenvolvmento dos testes, quando se tem pouco conhecmento acerca da natureza da medda pscológca. Freqüentemente exstem estruturas nos dados que podem ser postuladas prevamente e estas estruturas podem não ser consstentes com o Modelo de Análse Fatoral. Tas estruturas podem surgr, por exemplo, por causa de uma teora baseada em hpóteses especfcadas, ou por condções expermentas conhecdas, ou por resultados provenentes de estudos anterores com números dados. Exstem casos onde as varáves observadas são ordenadas através do tempo, como nos estudos com dados longtudnas, ou defndas de acordo com um determnado esquema causal, como nos Modelos de Equações Estruturas, ou classfcadas como varáves dependentes e ndependentes, como nos estudos de predção. O fato é que, nestes casos, a Análse Exploratóra de Fatores pode conduzr a conclusões enganosas, havendo necessdade de se aplcar outras técncas, como no caso da estmação da Satsfação do Consumdor, onde a Satsfação fo defnda como uma varável latente de caráter multdmensonal. 4.. O Modelo Geral Qualquer estrutura de covarânca pode ser defnda especfcando as varâncas e covarâncas populaconas das varáves observadas como certas funções dos parâmetros θ, θ,..., θ t a serem estmados a partr dos dados, sto é, σ = σ (θ), ou em forma matrcal, Σ = Σ(θ) 0. Este modelo assume, por hpótese, 0 Σ é a matrz de covarânca e σ é um elemento dessa matrz que corresponde à covarânca entre a varável da lnha com a varável da coluna.

3 60 que as funções σ (θ) e a suas respectvas dervadas de prmera ordem são contínuas, a matrz Σ é postvo-defnda em cada ponto θ do espaço paramétrco admssível e a dstrbução das varáves observadas é multvarada com o seu vetor de médas µ e a sua matrz de covarânca Σ(θ) não-restrngdos. Além dsso, a dstrbução dos dados deve ser sufcentemente bem descrta pelos momentos de prmera e segunda ordem, de forma que as nformações sobre θ contdas nos momentos de ordem superor possam ser gnoradas. Na maora dos casos, esperase que a dstrbução dos dados sea Normal Multvarada. A estrutura de correlação é defnda do mesmo modo: as correlações populaconas das varáves observadas são funções ρ = ρ (θ) de θ. A estrutura de correlação é defnda conforme a equação 4.. Σ = D σ Ρ(θ)D σ (4.) Onde: D σ é a matrz dagonal dos desvos padrões populaconas σ, σ,..., σ p das varáves observadas, consderados como parâmetros lvres, e Ρ(θ) é a matrz de correlação. A estrutura de covarânca 4. tem parâmetros σ, σ,..., σ p, θ, θ,..., θ t, que serão estmados a partr dos dados, cabendo observar que a estmatva de σ =,...,p, não será necessaramente gual ao desvo padrão correspondente na amostra Identfcação O problema da dentfcação consste essencalmente em verfcar se o vetor de parâmetros θ será exclusvamente determnado por Σ. Cada θ no espaço paramétrco admssível gera uma matrz Σ, porém dos ou mas θ s podem gerar a mesma matrz Σ. O modelo é dto dentfcado se para quasquer dos vetores θ e θ de uma regão do espaço paramétrco (localmente ou globalmente), θ θ mplca que Σ(θ ) Σ(θ ), ou sea, a matrz Σ é gerada por um e somente um θ. Isto mplca que todos os parâmetros são dentfcados. Entretanto, mesmo se o modelo como um todo não for dentfcado, anda assm alguns parâmetros poderão ser. Se o modelo não for completamente dentfcado, restrções

4 6 apropradas deverão ser mpostas a θ para garantr a dentfcação, porém a escolha dessas restrções poderá afetar a nterpretação dos resultados de um modelo estmado. Para examnar o problema da dentfcação de um modelo, consdere a equação 4.. σ = σ (θ), (4.) Nesta equação exstem ½p(p+) equações com t ncógntas. Logo, uma condção necessára para a dentfcação de todos os parâmetros será: t ½p(p+) (4.3) Se um parâmetro θ pode ser determnado de Σ através da resolução da equação 4. ou de um subconunto dela, então este parâmetro é dentfcado, do contráro, o parâmetro é não-dentfcado. Freqüentemente alguns parâmetros podem ser determnados de Σ de váras formas, sto é, utlzando dferentes conuntos de equações. Isto dá orgem às condções de sobre-dentfcação em Σ, que pode acontecer se o modelo for verdadero. As equações em 4. freqüentemente são não-lneares e, na maora das vezes, as soluções são dfíces e demoradas. Neste caso, soluções explíctas (analítcas) raramente exstem. No entanto, exstem métodos empírcos baseados na Matrz de Informação de Fsher (cf. Bollen, 989) desenvolvdos para testar a dentfcação do modelo. Se a matrz de nformação é postvo-defnda então é quase certo que o modelo é dentfcado, mas se essa matrz é sngular, então o modelo será não-dentfcado e o rank dessa matrz mostrará os parâmetros nãodentfcados Estmação A população é caracterzada pelo vetor de médas µ e pela matrz de covarânca Σ, que é função de θ, ambos consderados não-restrngdos. Na prátca

5 6 θ é desconhecdo devendo ser estmado a partr de uma amostra contendo N observações ndependentes de um vetor aleatóro x de ordem p (varáves observadas). Sea S = (s ) a matrz de covarânca amostral de ordem (p p), baseada em n = N- graus de lberdade. A nformação provenente de S também pode ser representada pela matrz de correlação R = (r ) e um conunto de desvos padrões s,..., s p, onde s = (s ) ½ e r = s / s s. A matrz de correlação é aplcada, normalmente, em problemas onde as orgens ou as undades das escalas de meddas das varáves observadas são arbtráras ou rrelevantes. Já que não exstem restrções para o vetor de médas e os momentos de ordem superor podem ser gnorados, o problema da estmação se resume austar a matrz Σ da forma Σ(θ) para a matrz de covarânca observada (amostral) S. Os métodos clásscos normalmente empregados para se fazer este auste são: Mínmos Quadrados Ordnáros, Mínmos Quadrados Generalzados e Máxma Verossmlhança, conforme descrtos nas equações 4.4, 4.5 e 4.6 respectvamente. F ULS = ½ tr (S - Σ) (4.4) F GLS = ½ tr (I S - Σ) (4.5) F ML = tr (S - Σ) log Σ - S - p (4.6) Onde: Σ é a matrz de covarânca do modelo e S é a matrz de covarânca amostral. tr(a) é o traço da matrz A; A representa o determnante da matrz A. O auste perfeto se dá quando o valor de F = 0, ou sea, quando Σ = S. As funções F ULS, F GLS e F ML são mnmzadas com respeto a θ e, na ausênca de uma solução analítca, este processo pode ser realzado Referencados na lteratura estrangera como ULS (unweghted least square), GLS (generalzed least square) e ML (maxmum lkelhood) respectvamente.

6 63 numercamente através de métodos computaconas, tal como o Método de Scorng de Fsher (cf. Andrade et al, 000 ). Em geral, o processo de mnmzação é ncado atrbundo-se valores arbtráros para os parâmetros θ (). Em seguda são gerados sucessvos valores θ (), θ (3),... tal que F(θ (k+) ) < F(θ (k) ). A convergênca é obtda quando a dferença F(θ (k+) ) - F(θ (k) ) < ε, onde ε é um valor dado, normalmente menor do que zero. Os métodos GLS e ML não dependem das escalas das varáves observadas, ou sea, F(S, Σ) = F(DSD, DΣD) para qualquer matrz dagonal D de fatores de escala postvos. Já o método ULS não goza desta propredade. Sob a hpótese do vetor de observações x apresentar dstrbução normal multvarada e o tamanho da amostra ser sufcentemente grande, os métodos GLS e ML produzrão estmatvas não-vesadas e consstentes para os parâmetros. No entanto, ambos os métodos requerem que a matrz de covarânca S sea postvo-defnda Valdação A valdade do modelo pode ser testada através do teste da razão de verossmlhança. O logartmo desta razão é smplesmente ( N ) vezes o valor mínmo das funções F ULS ou F GLS ou F ML. Esta razão segue uma dstrbução χ com d = ½ p(p+)- graus de lberdade, sueta às condções do modelo e ao tamanho da amostra. Após a valdação do modelo, dversas hpóteses estruturas poderão ser testadas, por exemplo: () certos θ s podem ser defndos para serem guas a determnados valores; e () certos θ s podem ser defndos para serem guas em determnados grupos de modelos. Essas hpóteses conduzem para uma estrutura de covarãncas Σ(ν), onde ν é um subconunto de u < t elementos de θ. Sea F ν o mínmo de F sob a hpótese estrutural e sea F θ o mínmo de F sob o modelo geral. Então ( N ) (F ν - F θ ) segue aproxmadamente uma dstrbução χ com (t u) graus de lberdade.

7 Modelos de Equações Estruturas Os Modelos de Equações Estruturas se consttuem numa vasta classe de modelos que ncluem varáves latentes, erros de meddas nas varáves dependentes e ndependentes, múltplos ndcadores, causas recíprocas, smultanedade e nterdependênca. Os métodos ncluem como casos especas: procedmentos para análse confrmatóra de fatores, regressão múltpla, análse de camnhos (path), modelos de dados dependentes no tempo, estruturas de covarâncas, modelos recursvos e não recursvos para dados de corte e dados longtudnas. Os modelos de equações estruturas são útes para resolver problemas em cêncas socas e do comportamento humano, sendo aplcados no marketng e nas tradconas áreas de socologa, pscologa, educação e econometra (cf. Jöreskog e Sörbom, 98). Este modelo normalmente é empregado quando o fenômeno sob estudo está especfcado em termos de varáves de causas e efetos. Cada equação no modelo representa uma lgação causal ao nvés de uma mera assocação empírca entre as varáves. Os parâmetros estruturas representam característcas do processo (mecansmo) que gera as varáves observadas. Goldberger (973) apud Jöreskog e Sörbom (98), mencona três stuações que requerem o emprego das equações estruturas ao nvés dos modelos de regressão lnear: () quando as varáves observadas contêm erros de meddas e quando os nteresses estão centrados nos relaconamentos entre as varáves verdaderas, () quando exste nterdependênca ou causas smultâneas entre as varáves de respostas observadas, e (3) quando varáves explcatvas mportantes não foram observadas ou omtdas. Um Modelo de Equações Estruturas com varáves latentes é defndo conforme a equação 4.7 (cf. Bollen, 989): η = α + Βη + Γξ + ζ y = µ y + λ y η + ε x = µ x + λ x ξ + δ (4.7)

8 65 A prmera equação é a parte estrutural do modelo e as outras duas são as partes das meddas. Os vetores aleatóros η = (η,...,η m ) e ξ = (ξ,...,ξ n ) não são observáves e representam as varáves latentes dependentes (endógenas) e ndependentes (exógenas) respectvamente. O vetor α é o ntercepto da equação estrutural, no entanto ele não aparecerá no modelo se as varáves latentes e as observadas forem tomadas desvadas de suas respectvas médas. As matrzes Β(m m) e Γ(m n) são as matrzes de coefcentes e ζ = (ζ,...,ζ m ) é o vetor de resíduos ou dstúrbos aleatóros (erros na equação estrutural). Os elementos de Β representam os efetos causas dretos das varáves η em outras η e os elementos de Γ representam os efetos dretos das varáves ξ nas varáves η. As matrzes Φ(n n) e Ψ(m m), não representadas na equação, são as matrzes de covarânca de ξ e ζ respectvamente. As hpóteses do modelo são: ζ é não correlaconado com ξ; ζ é homocedástco e não possu autocorrelações; I-Β é não sngular. As outras duas equações contêm os vetores observáves y = (y,...,y p ) e x = (x,...,x q ). Os vetores µ y e µ x são os nterceptos da equação (médas das varáves). Os vetores ε e δ são os erros de meddas de y e x respectvamente. As matrzes λ y (p m) e λ x (q n) são as matrzes de regressão de y em η e de x em ξ respectvamente. É convenente chamar y e x de varáves observadas e η e ξ de varáves latentes. As matrzes Θ ε (p p) e Θ δ (q q), não representadas na equação, são as matrzes de covarâncas de ε e δ respectvamente. Por hpótese os erros de meddas são não correlaconados com η, ξ e ζ, mas podem ser correlaconados entre s. Conforme menconado acma, o modelo de equações estruturas engloba outros tpos de modelos. Por exemplo, se as varáves y e η não forem especfcadas, o modelo se resumrá na equação 4.8, ou sea, num modelo clássco de análse fatoral. x = λ x ξ + δ (4.8) Se as varáves x e ξ não forem especfcadas, então o modelo se resumrá na equação 4.9, ou sea, também num modelo de análse fatoral com a vantagem

9 de se poder manpular as relações entre os fatores através da especfcação da estrutura da matrz Β. 66 y = λ y η + ε η = Βη + ζ (4.9) Se a varável x não for especfcada e a matrz Β = 0, então o modelo se transforma num modelo de análse fatoral de segunda ordem, conforme a equação 4.0. y = λ y (Γξ + ζ) + ε (4.0) Se as matrzes λ y = λ x = I e as matrzes ε = δ = 0, então o modelo se transforma num modelo para sstemas ndependentes, conforme a equação 4.. y = Βy + Γx + ζ (4.) 4... Identfcação O prmero passo na modelagem de equações estruturas é a especfcação das hpóteses multvaradas usando dagramas de camnhos e equações smultâneas. Porém, antes da estmação dos parâmetros deve-se demonstrar que o modelo está especfcado de tal forma que exste uma solução dentfcada. Conforme menconado acma, um modelo estatístco é dentfcado quando os seus parâmetros podem ser expressos como funções ndependentes das nformações conhecdas e que estão dsponíves. Se exstr apenas uma função para cada um dos parâmetros, então a solução (valores) para os parâmetros será únca. Se exstr mas de uma função pelo menos para um dos parâmetros, então a solução não será únca (embora uma sea escolhda como a solução ótma) e, neste caso, o modelo é consderado sobre-dentfcado. Normalmente sto ocorre quando exstem mas nformações conhecdas do que parâmetros a serem estmados. Por últmo, ser houver mas parâmetros a serem estmados do que nformações

10 67 conhecdas, exstrão nfntas soluções para os parâmetros e, neste caso, o modelo é consderado sub-dentfcado ou não-dentfcado. A dentfcação neste últmo caso só poderá ser efetuada mpondo restrções aos parâmetros do modelo. A menos que o modelo estea dentfcado, estmatvas coerentes para os parâmetros não poderão ser obtdas, mesmo com um número grande de observações. Do ponto de vsta matemátco, os modelos de equações estruturas são conuntos de equações lneares smultâneas, onde as equações representam as hpóteses sobre como as covarâncas ou correlações entre as varáves observadas são produzdas. Logo, para resolver um conunto de equações smultâneas deve-se ter nformações sufcentes (valores conhecdos ou restrções mpostas ao modelo) para estmar os valores dos parâmetros desconhecdos. Geralmente, as nformações conhecdas são as característcas da dstrbução populaconal das varáves observadas que neste caso são as varâncas e covarâncas da dstrbução dos dados observados, á que as mesmas contam com estmadores amostras consstentes. A dentfcação poderá ser realzada, de modo algébrco, exprmndo os parâmetros como funções ndependentes dos elementos da matrz de covarânca ou correlação dos dados observados. Infelzmente, este processo resulta num grande esforço, sueto nclusve a erros, em modelos mas complexos, tornando este tpo de solução nvável. Para contornar este problema, fo crado um conunto de regras para serem segudas, a fm de garantr a dentfcação do modelo. Essas regras estão lstadas abaxo (cf. Bollen, 989) Regras de Identfcação Exstem regras somente para a dentfcação da parte estrutural do modelo e somente para a parte das meddas. Esta dvsão tem por obetvo smplfcar o problema da dentfcação. Algumas regras são condções necessáras mas não são sufcentes para garantr a dentfcação do modelo. Outras são condções sufcentes, porém não são necessáras e, fnalmente, outras são condções necessáras e sufcentes para a dentfcação. A dentfcação da parte estrutural dos modelos que possuem varáves latentes e observadas é tratada da mesma forma dos modelos que possuem somente varáves observadas. As regras para

11 68 dentfcação da parte das meddas são para modelos de Complexdade, sto é, cada ndcador está assocado a um únco fator ou varável latente, e com erros de meddas não correlaconados entre s Regra-t Esta regra é aplcada na parte estrutural do modelo e é uma condção necessára, mas não sufcente para a dentfcação. Ela estabelece que o modelo deve ter mas nformações (varáves) conhecdas do que parâmetros a serem estmados, sto é, o número de elementos não redundantes da matrz de covarânca ou de correlações das varáves observadas deve ser maor ou gual ao número de parâmetros lvres em θ a serem estmados. Se esta condção for satsfeta então o modelo poderá ser (mas não necessaramente) dentfcado. Do contráro, será não-dentfcado. Este é um teste fácl de ser aplcado e através dele se descobre rapdamente se o modelo é ou não-dentfcado. A equação da regra encontra-se na equação abaxo: t ½ (p+q) (p+q+) (4.) Onde (p+q) é o número de varáves observadas e t é o número de parâmetros lvres em θ a serem estmados Regra Β = 0 (nulo) Esta regra é aplcada na parte estrutural do modelo e é uma condção sufcente, porém não necessára para a dentfcação. O modelo será dentfcado se a matrz Β = 0, ou sea, se não exstr relações de causas e efetos entre as varáves latentes endógenas no modelo. Logo, as matrzes Φ, Γ e Ψ poderão ser escrtas como funções das matrzes de covarâncas dentfcadas das varáves observadas (Σ xx, Σ yy, Σ xy ). Se a matrz Β = 0 e a matrz Ψ dagonal, sto é, os erros

12 das varáves endógenas não são correlaconados entre s, então o modelo poderá ser desagregado em modelos separados para cada varável dependente Regra Recursva Esta regra é smlar à regra anteror. O modelo será dentfcado se a matrz Β é trangular nferor, sto é, não exstem causas recíprocas entre as varáves endógenas, e a matrz Ψ dagonal. Logo, as matrzes Β, Φ, Γ e Ψ poderão ser escrtas como funções das matrzes de covarâncas dentfcadas das varáves observadas (Σ xx, Σ yy, Σ xy ) Condções de Posto e de Ordem Estas regras são aplcadas na parte estrutural do modelo e são condções necessáras e sufcentes para a dentfcação, sendo, portanto, a mas geral delas. Ela pode ser aplcada em qualquer modelo, nclusve nos que falham nas regras anterores. Estas condções ldam com o modelo equação a equação e nformam onde o modelo deve ser modfcado para satsfazer a dentfcação, sendo, portanto, de grande utldade. A Ordem é a condção necessára desta regra e é defnda do segunte modo: sea p o número de varáves endógenas do modelo. Para cada equação de uma varável endógena Y, no mínmo (p-) varáves não deverão ser causas dretas da varável que está sendo avalada. Isto é fácl de ser verfcado, pos basta contar a quantdade de varáves Y, observar ndvdualmente cada equação de Y e verfcar se ela omte (p-) varáves causas, ou sea, devem exstr (p-) varáves X e Y que não causam efetos dretos na varável Y em questão. Outra forma de verfcar esta regra é através da matrz C, que é unão (unção) das matrzes (I-Β) e (- Γ). Cada lnha dessa matrz deverá conter pelo menos (p-) elementos com valor zero. O Posto é a condção sufcente desta regra e é avalada observando ndvdualmente cada lnha da matrz C anteror. Como cada lnha dessa matrz

13 70 nforma sobre uma das varáves dependentes, então uma nova matrz poderá ser formada a partr de cada lnha da matrz C orgnal, bastando exclur todas as colunas cuo valor na lnha que está sendo avalada sea gual zero. Daí segue que, para cada matrz crada a partr das lnhas da matrz C, se o seu posto for (p-), então a condção de Posto estará satsfeta. O modelo será dentfcado se satsfazer ambas as condções de Ordem e de Posto Regra dos Três Indcadores Esta regra é aplcada na parte das meddas e é uma condção sufcente, porém não necessára para a dentfcação. O modelo das meddas para um fator (ou varável latente) será dentfcado se as seguntes condções forem satsfetas smultaneamente: () se exstr somente um elemento dferente de zero em cada lnha da matrz Λ x ou Λ y (assumndo a hpótese de que cada varável observada estea assocada à um únco fator); () se exstrem três ou mas ndcadores por fator com coefcentes de Carga (Loadngs) dferentes de zero; e (3) se a matrz Θ δ ou Θ ε for dagonal, sto é, os erros de meddas não são correlaconados entre s. Com mas de três ndcadores por fator o modelo será sobre-dentfcado. Este tpo de modelo de medda normalmente é orundo de pesqusas que possuem múltplas questões (perguntas) para medr cada varável latente. No próxmo capítulo, esta regra será utlzada para dentfcar a parte das meddas do modelo da Satsfação que servrá de base para a avalação das metodologas de estmação de escores. Logo, cabe apresentar esta regra de forma explícta através de um exemplo de um modelo de meddas: Sea o modelo Fatoral contendo apenas uma varável latente ξ e 3 ndcadores do tpo reflexvos: x, x e x 3 (cf. Bollen, 989). Então, a matrz de covarânca das varáves observadas x em função dos parâmetros θ, representada como Σ(θ), pode ser obtda do segunte modo: [( Λ xξ + δ)( ξ' Λ x ' + δ' )] = Λ xφλ x ' Θ δ Σ ( θ) = E( xx' ) = E( +

14 7 Cuas matrzes estão defndas abaxo: x x = x, x 3 Φ = [ Φ ] λ Λ x = λ, λ 3 δ = δ δ 3 δ, = [ ] ξ, ξ Θ δ var( δ) = 0 0 var( δ ) 0 var( δ ) 3 Onde: x é o vetor de dados observados, Λ x = é o vetor de cargas, ξ é o vetor de varáves latentes, Φ é a matrz de covarânca de ξ, δ é a matrz de erros de meddas e Θ δ é a matrz de covarânca dos erros de meddas. Este modelo de meddas também pode ser representado através das seguntes equações: x x x 3 E(δ = λ = λ = λ 3 ξ ξ ξ ) = 0, + δ + δ + δ 3 cov ( ξ,δ ) = 0, cov ( δ,δ ) = 0, para Onde: Σ = Σ(θ) é determnado do segunte modo: var(x) Σ = cov(x, x) cov(x 3, x) var(x ) cov(x, x 3 ) var(x 3 ) λφ Σ( θ) = λ λ 3 + var( δ ) λ λ φ φ λ φ λ 3 + var( δ λ φ ) λ 3 φ + var( δ ) 3

15 7 Na gualdade Σ = Σ(θ), percebe-se claramente que exstem mas parâmetros a serem determnados na matrz Σ(θ) (7 parâmetros) do que dados fornecdos pela matrz Σ (6 nformações). Logo será necessáro mpor restrções aos parâmetros da matrz Σ(θ) para garantr a dentfcação do modelo. Uma restrção normalmente utlzada é: λ =. Isto equvale a gualar a escala da varável latente ξ com a escala de um dos seus ndcadores, neste caso, com a de x. Outra forma de garantr a dentfcação é assumr que a varânca da varável latente ξ sea gual a, ou sea, φ =. Neste caso as varáves observadas deverão estar padronzadas Regra dos Dos Indcadores Esta regra é smlar à regra anteror. O modelo das meddas será dentfcado se as seguntes condções forem satsfetas smultaneamente: () se exstr mas de uma varável latente; () se cada varável latente é correlaconada no mínmo com outra latente; (3) se exstr somente um elemento dferente de zero em cada lnha da matrz Λ x ou Λ y; (4) se exstrem dos ou mas ndcadores por fator; e (3) se a matrz Θ δ ou Θ ε for dagonal. Este tpo de modelo de medda normalmente é orundo da Análse Confrmatóra de Fatores ou de estudos onde exste uma quantdade de varáves exógenas correlaconadas. Estas duas regras não se aplcam caso Θ x ou Θ y não é dagonal. Esta stuação freqüentemente ocorre quando os mesmos ndcadores são utlzados em estudos de Panel Estmação Na estmação dos parâmetros, assume-se que a dstrbução das varáves observadas pode ser descrta através do seu vetor de médas e da sua matrz de covarânca, gnorando-se os momentos de ordem superor. Como não há restrções para o vetor de médas, a estmação dos parâmetros pode ser realzada

16 73 através do auste da matrz de covarânca mposta pelo modelo (Σ), para a matrz de covarânca amostral (S). Assumndo que a dstrbução dos dados sea Normal Multvarada, estmadores de Máxma Verossmlhança dos parâmetros poderão ser obtdos. Outros métodos de estmação dos parâmetros tas como: Mínmos Quadrados Generalzados e Mínmos Quadrados não Ponderados, não fazem uso da hpótese de normaldade dos dados (cf. Bollen, 989; Jöreskog e Sörbom, 98). A estmação, defnda de acordo com a verossmlhança, é efetuada mnmzando a função F abaxo: (cf. Bollen, 989). F ML = log Σ + tr(sσ - ) log S - (p+q) (4.3) Onde: Σ é a matrz de covarânca do modelo e S é a matrz de covarânca amostral. A representa o determnante de uma matrz A. tr(a) é o traço da matrz A. O auste perfeto se dá quando o valor de F = 0, ou sea, quando Σ = S. O método dos Mínmos Quadrados Generalzados é defndo conforme a equação 4.4. F GLS = ½ tr ({[S - Σ(θ)]W - } } (4.4) Onde W - é a matrz de pesos para a matrz resdual. O método dos Mínmos Quadrados não Ponderados é um caso especal deste método, onde W - = I. As equações 4.3 e 4.4 acma são consderadas funções ndependentes dos parâmetros θ, sto é, dos parâmetros lvres e lmtados em Λ x, Λ y, Β, Γ, Φ, Ψ, Θ δ e Θ ε, que serão mnmzadas em relação a eles. Uma exgênca para o método da máxma verossmlhança é que a matrz S sea postvo-defnda e os valores ncas para as estmatvas dos parâmetros seam dados de tal forma que a matrz Σ sea também postvo-defnda. Esta exgênca não é necessára para os métodos GLS e ULS.

17 74 Nos métodos de estmação ULS, GLS e ML, a função de auste F(θ) será mnmzada através de um processo teratvo, tomando-se uma estmatva ncal para os parâmetros θ (), e gerando sucessvamente novos pontos θ (), θ (3)..., dentro do espaço paramétrco permtdo de tal forma que: F(θ (n+) )< F(θ (n) ). Este processo contnua até que a convergênca sea obtda, ou sea, F(θ (n+) ) - F(θ (n) ) < ε, onde ε é um valor postvo dado e normalmente menor do que zero. Os métodos de otmzação fazem uso das dervadas de prmera ordem da função F e das aproxmações (lmtes em probabldades - plm) das dervadas de segunda ordem de F. No caso do método ML, a aproxmação das dervadas de segunda ordem é também conhecda como Matrz de Informação, que é sempre postvo-defnda em modelos dentfcados. A Matrz de Informação também poderá ser calculada e utlzada para computar os erros padrões de todos os parâmetros do modelo. A estmatva da matrz de covarânca ou correlação de todos os parâmetros estmados também poderá ser obtda. Város mínmos locas poderão ser encontrados durante o processo de otmzação da função de auste. De acordo com Jöreskog & Sörbom, (98), a únca forma de evtar este problema é ter um modelo que sea aproprado para os dados além de uma amostra aleatóra de tamanho grande. No entanto, experêncas ndcam que múltplas soluções poderão ser encontradas, mas normalmente elas se encontrarão na frontera ou fora do espaço paramétrco admssível Valdação Nesta etapa procura-se avalar se os coefcentes e as magntudes dos efetos estmados estão de acordo com as hpóteses prevamente levantadas sobre o modelo. Para esta fnaldade, fo crada uma sére de meddas com o obetvo de avalar o auste do modelo aos dados sendo categorzadas em meddas de avalação geral e meddas de avalação ndvdual. A prmera e mas óbva forma de verfcar o auste do modelo é examnar os resultados das seguntes quantdades: () estmatvas dos parâmetros; () erros padrões das estmatvas (apenas para o método de máxma verossmlhança); (3) correlações múltplas quadrátcas; (4) coefcentes de determnação e (5)

18 75 estmatvas das correlações dos parâmetros (também apenas para o método de máxma verossmlhança). Valores duvdosos para essas quantdades ndcam que o modelo está fundamentalmente errado e não está bem austado aos dados. Por exemplo, varâncas negatvas, correlações maores do que (um) e matrzes de covarânca e correlação que não são postvo-defndas. Outros ndcadores de austes runs são: correlações múltplas quadrátcas e coefcentes de determnação com valores negatvos, erros padrões de grande magntude ou estmatvas dos parâmetros altamente correlaconadas entre s. Esses valores sgnfcam que o modelo é nãodentfcado e que alguns parâmetros não poderão ser determnados a partr dos dados. Estas meddas são defndas do segunte modo: a) A Correlação múltpla quadrátca da -ésma varável observada é dada pela equação abaxo: ˆ θ S (4.5) Onde: ˆθ é a varânca do erro e s é a varânca observada da -ésma varável. b) O coefcente de determnação é defndo conforme a equação abaxo: θ (4.6) S Onde: θ é o determnante de θ e S é o determnante da matrz de covarânca das varáves observadas. Estas meddas mostram como as varáves observadas servem, separadamente ou conuntamente, como nstrumentos de meddas das varáves latentes. Estes coefcentes varam de zero a um e, quanto mas próxmo de um, melhor o auste do modelo. A correlação múltpla quadrátca e o coefcente de determnação da equação estrutural são defndos de acordo com as equações abaxo:

19 76 Var(ζ ) / Var(η ) (4.7) - ψ / Cov (η) (4.8) Para uma avalação geral do auste do modelo aos dados, as seguntes estatístcas poderão ser utlzadas: χ, GFI, AGFI e RMR (cf. Jöreskog & Sörbom, 98). O valor da estatístca χ pode ser obtdo multplcando-se (N-) (tamanho da amostra menos ) pelo valor resultante da função de auste do modelo estmado (F ML ou F GLS ). Se o modelo está correto e a amostra possu tamanho sufcentemente grande, então esta medda equvale ao teste estatístco da razão da verossmlhança, normalmente empregado para testar a hpótese de que a matrz Σ é da forma nsnuada pelo modelo contra a hpótese alternatva que consdera a matrz Σ não restrngda. A quantdade de graus de lberdade da estatístca χ é calculada através da equação abaxo: d.f. = ½ k (k+) t (4.9) Onde: k é o número de varáves observadas analsadas e t é o total de parâmetros ndependentes estmados. O valor da estatístca χ equvale a probabldade de se obter um valor χ maor do que o valor realmente obtdo, dado que modelo está correto. Jöreskog & Sörbom (98), enfatzam a lmtação do uso da estatístca χ por váras razões, dentre elas, as condções que devem ser atenddas na prátca para a valdade do teste: () todas as varáves observadas devem ter dstrbução normal multvarada; () a análse deve ser baseada na matrz de covarânca amostral (padronzações não são permtdas); e (3) o tamanho da amostra deve ser grande. As outras meddas menconadas acma para a avalação geral do auste do modelo são defndas conforme as equações 4.0, 4. e 4..

20 77 GFI ML ˆ tr( S I) = (4.0) tr( ˆ S) AGFI ML = [k(k+)/df](-gfi) (4.) RMR q = = = (s σˆ ) k(k + ) (4.) Onde Σˆ é a matrz austada, k é o número de varáves observadas e df é a quantdade de graus de lberdade. As meddas GFI (goodness-of-ft ndex) e AGFI (Adusted goodness-of-ft ndex) varam de 0 a e medem o total relatvo da varânca e covarânca em S que é explcada por Σˆ. A medda AGFI é austada para a quantdade de graus de lberdade de um modelo relatvo à quantdade de varáves observadas. Para um dado valor de GFI e k, a medda AGFI smplesmente recompensa os modelos com poucos parâmetros. Ambas as meddas atngem o seu valor máxmo quando S = Σˆ. Ao contráro da medda χ, as meddas GFI e AGFI são ndependentes do tamanho da amostra e relatvamente robustas em relação a desvos da normaldade dos dados, embora suas dstrbuções estatístcas não seam conhecdas. Ambas as meddas podem ser utlzadas tanto para comparar o auste de modelos dferentes para os mesmos dados quanto para comparar o auste de modelos para dferentes dados. Para os métodos de estmação ULS e GLS, essas equações são lgeramente modfcadas (cf. Bollen, 989). A medda RMR (root mean square resdual) refere-se a uma méda dos resíduos e pode ser nterpretada somente em relação aos tamanhos das varâncas e covarâncas observadas em S. Se a hpótese mantda pelo modelo, ou sea, Σ = Σ(θ) (chamada de H 0 ) for verdadera, então a matrz de covarânca resdual da população será gual a zero. Qualquer resíduo dferente de zero para a matrz de covarânca da população sgnfca que exste um erro na especfcação do modelo, embora os resíduos seam estmados com base na matrz de covarânca amostral S, á que não se tem a matrz de covarânca da população Σ. Quanto mas próxmos de zero estverem os valores dos resíduos, melhor o auste do

21 78 modelo e, resíduos postvos sgnfcam que o modelo está subestmando as covarâncas entre duas varáves, enquanto valores negatvos sgnfcam que o modelo está superestmando essas covarâncas. Esta medda pode ser utlzada nclusve para comparar o auste de dferentes modelos para os mesmos dados. 4.3 Escores de Varáves Latentes 4.3. Escores de Fatores Na Análse de Fatores, os nteresses estão centrados geralmente nos parâmetros do modelo de fatores, no entanto, os valores estmados dos fatores comuns, chamados de Escores Fatoras, também podem ser utlzados para fns de dagnóstcos e também como dados de entrada em análses subseqüentes. Escores Fatoras não são estmatvas dos parâmetros desconhecdos no sentdo habtual, pelo contráro, eles são as estmatvas dos valores dos Fatores aleatóros não observados (cf. Johnson & Wchern, 998). O modelo de análse fatoral é apresentado, genercamente, em forma matrcal através da equação 4.3: X µ = LF + ε (4.3) Onde: X = (X,...,X p ) é um vetor transposto de varáves aleatóras observáves, µ = (µ,...,µ p ) é um vetor transposto de médas da varável observada X, F = (F,...,F r ) é um vetor transposto (r < p) de varáves não observáves ou fatores; L uma matrz (p r) de coefcentes fxos ou cargas fatoras (loadngs) e ε = (ε,..., ε p ) um vetor transposto de erros aleatóros. A Análse Fatoral tem propredades mportantes. A prmera é que E(ε) = E(F) = 0 e a segunda refere-se aos fatores, que devem ser ortogonas. Nem sempre a estrutura ncal das estmatvas das cargas fatoras é defntva, empregando-se normalmente as cargas estmadas rotaconadas.

22 79 A estmação dos Escores Fatoras, após a rotação ortogonal da estrutura fatoral ncal, stua cada observação no espaço dos fatores comuns. Assm, para cada fator F, o -ésmo Escore Fatoral a ser extraído é defndo por f expresso por: n f = b X, com =,...,p (4.4) = Onde: b são os coefcentes de regressão e X as p varáves observáves. Para estmar a varável f, que não é observável, utlza-se a técnca de análse fatoral por meo da matrx X de varáves observáves. A forma matrcal empregada é a equação (4.5), devdamente reestruturada: f = X B (4.5) (nxq) (nxp) (pxq) Os Escores Fatoras são afetados pelas undades em que as varáves X são meddas, tornando-se convenente trabalhar com varáves normalzadas. Desta forma, substtu-se a varável X pela normalzada Z, expressando em desvos padrões os desvos das observações orgnas em relação à sua méda, conforme a equação 4.6: Z X = µ x σ x (4.6) Onde: µ x é a méda de X e o σ x o seu desvo padrão. A equação 4.5 é então modfcada, sendo reescrta da segunte forma: f = (4.7) ( nxq) Z (nxp) β (pxq) Como as varáves estão normalzadas em ambos os lados da equação o vetor dos coefcentes da regressão B é substtuído pelo vetor β. Multplcando-se os dos lados da equação 4.7 por (/n)z, obtém-se a equação 4.8: ' ' ( / n) Z f = (/ n) Z Zβ (4.8) Onde: n é o número de observações e Z a matrz transposta de Z.

23 80 O segundo membro da equação 4.8 é a matrz de correlação entre os termos de X, que, a partr de agora, será representada por R. Já o prmero membro da equação representa a correlação entre os escores fatoras e os própros fatores e será dentfcada por Λ. Assm, pode-se reescrever a equação 4.8 da segunte forma: Λ = Rβ (4.9) Supondo que a matrz R sea não-sngular, em que R 0, então multplcando ambos os lados da equação 4.9 por R -, que é a nversa de R, temse: β = R Λ (4.30) Fnalmente, estmado o vetor β, pode-se substtuí-lo na equação 4.5, para obtermos os escores fatoras de cada observação Escores de Varáves Latentes dos Modelos CSM Os escores das varáves latentes podem ser obtdos somente para as varáves exógenas, tal como na Análse Confrmatóra de Fatores, ou para as varáves exógenas e endógenas smultaneamente. No prmero caso, os escores são obtdos através de uma função ponderada das varáves observadas, como uma regressão hpotétca de ξ em x (método dervado da Análse Fatoral para estmar os Escores Fatoras - conforme descrto no tem anteror). Isso conduz ao segunte resultado (cf. Bollen, 989): ξˆ ' = ΦΛ ˆ ˆ Σˆ x (4.3) x Onde ξˆ é a estmatva de ξ. O peso que pré-multplca x é o estmador de mínmos quadrados ordnáros dos coefcentes da regressão hpotétca de ξ em

24 x. As matrzes Φˆ, Λˆ ' x e Σˆ 8 são respectvamente as estmatvas da matrz de covarânca das varáves latentes exógenas, da matrz de cargas e da matrz de covarânca mposta pelo modelo às varáves observadas. No segundo caso, os escores das varáves latentes exógenas e endógenas podem ser obtdos através do método de Jöreskog (cf. Jöreskog, 000). Da equação 4.7, seam as seguntes matrzes: k é o vetor de médas de ξ; Φ e Ψ são as matrzes de covarânca de ξ e de ζ; Θ ε e Θ δ são as matrzes de covarânca de ε e δ; Θ εδ é a matrz de covarânca de ε e δ. Mantendo-se as hpóteses assumdas para o modelo de equações estruturas, defne-se o vetor ξ* = (η, ξ ), englobando todas as varáves latentes do modelo. Para este vetor, sea k* o seu vetor de médas e Φ* a sua matrz de covarânca, defndas conforme as equações 4.3 e 4.33 abaxo: k * (I B) (α + Γk) = k (4.3) Φ * A( ΓΦΓ' + Ψ) A' = ΦΓ' Α' AΓΓ Φ (4.33) Onde: A = (I-B) -. O obetvo do método é obter escores ndvduas para as varáves latentes η e ξ, de forma que o vetor de médas e a matrz de covarânca dos escores seam respectvamente k* e Φ*. O modelo pode envolver todas as matrzes de parâmetros: κ, α, τ y, τ x, Λ y, Λ x, Β, Γ, Φ, Ψ, Θ ε, Θ δ, Θ εδ, cuos elementos podem ser de três espéces: Parâmetros fxos, cuos valores são especfcados; Parâmetros restrngdos, cuos valores são desconhecdos, porém são funções lneares e não-lneares de um ou mas parâmetros; Parâmetros lvres, cuos valores são desconhecdos e não-restrngdos.

25 8 O modelo assume que todas essas matrzes são conhecdas, sto é, todos os parâmetros á foram estmados. Na seqüênca, os modelos das meddas na equação 4.7 podem ser combnados de acordo com a equação 4.34 ou, de forma análoga, com a equação Aplcando-se as seguntes transformações: ξ = ξ* - κ*, x = x* - τ - Λκ* e δ = δ*, a equação 4.35 transforma-se na equação 4.36 (fazendo uso da mesma notação). Deste modo, estmar ξ* é equvalente a estmar ξ. y τ = x τ y x Λ + 0 y 0 η ε + Λ x ξ δ (4.34) x* = τ + Λξ * + δ* (4.35) x = Λξ + δ (4.36) Então, dado uma amostra de observações denotada por x = x,..., x N, onde N é o tamanho da amostra, os escores poderão ser obtdos através da mnmzação da equação 4.37 sueto à restrção 4.38 (cf. Anderson e Rubn 956, apud Jöreskog, 000). N ( x a Λξ a )' Θ ( x a Λξ a ) (4.37) n= n ' ( ) ξ Φ a ξ a = N (4.38) a= Onde: a matrz Θ, defnda conforme a equação 4.39, é a matrz de covarânca de δ. ' Θ ε Θ δε Θ = (4.39) Θ δε Θ δ

26 83 A solução deste problema é a equação 4.40, onde n representa o tamanho da amostra e as matrzes UDU e VL -/ V são decomposções em valores sngulares N = / ' / das matrzes Φ e D U' Λ'Θ ( x x ) Θ ΛUD respectvamente. / / / ξˆ = UD VL V'D U' Λ'Θ x =...n (4.40) Em termos de x* e ξ* a solução é a equação 4.4. ˆ * * / / * * ξ = k + UD Z D U'Λ'Θ (x µ Λk ) =...n (4.4) Onde: Z = VL / V' Fnalmente, através da equação 4.4, pode ser verfcado que: E(ˆ ξ ˆ * * * *' * ) = k e ξ ξ ) = Φ (4.34) E(ˆ Ou sea, os escores preservam as relações entre as varáves latentes no modelo. 4.4 Modelos de Equações Estruturas Baseados no PLS A metodologa do PLS fo desenvolvda prncpalmente por Herman Wold (cf. Wold, 985). Jan-Bernd Lohmöller (989) aprmorou os aspectos computaconas dessa metodologa e adconou desenvolvmentos teórcos. Wynne W. Chn (998) desenvolveu um novo software com nterface gráfca além de técncas avançadas de valdação dos modelos PLS. Este modelo é descrto por um modelo de meddas, também chamado de modelo exteror, relaconando as varáves observadas nas varáves latentes correspondentes, e por um modelo estrutural, também chamado de modelo nteror, relaconando as varáves latentes endógenas em outras varáves latentes, que podem ser endógenas e exógenas.

27 O modelo para tratar causaldades entre varáves latentes (parte estrutural) é descrto conforme a equação J ξ = β 0 + = β ξ + ζ, =...J (4.35), Onde: J é a quantdade de varáves latentes, ξ e ξ são as varáves latentes, β 0 é o termo constante, β são os coefcentes da regressão e ζ é o termo resdual. A varável latente que nunca aparece como uma varável dependente é chamada de exógena, as demas de endógenas. O modelo do PLS é do tpo recursvo, sto é, não permte relaconamentos recíprocos entre varáves latentes. O modelo de meddas admte duas formas de relaconamentos entre as varáves observadas e as latentes: o modo Reflexvo, onde as varáves latentes se manfestam através das varáves observadas (as setas no dagrama de camnhos apontam na dreção das varáves observadas), e o modo Formatvo, onde as varáves latentes são defndas como uma combnação lnear exata dos seus ndcadores empírcos (as setas no dagrama de camnhos apontam na dreção das varáves latentes). Neste caso, as varáves latentes são consderadas como se fossem índces (ndcadores) produzdos pelas varáves observadas. O modo Reflexvo é uma formação típca da Teora Clássca de Testes e da Análse Fatoral, cua tentatva é estmar as varâncas e/ou covarâncas observadas. O modo Formatvo não é desgnado para as varáves observadas, pelo contráro, ele é utlzado para mnmzar os resíduos nos relaconamentos estruturas. As equações 4.36 e 4.37 mostram as equações do modelo de meddas para o modo Reflexvo e Formatvo respectvamente. x h = π h0 + π h ξ + ε h, =...J (4.36) ξ = k h= ϖ h x h + δ (4.37) Onde: na prmera equação, J é a quantdade de varáves latentes, h é a quantdade de ndcadores vnculados à varável latente, π h0 é o termo constante, π h são os coefcentes da regressão, ε h é o termo resdual. Na segunda equação,

28 85 ϖ h são os coefcentes da regressão múltpla e δ é o termo resdual. Os vetores π e ω são chamados respectvamente de Cargas e de Pesos. No PLS as varáves observadas devem ser construídas de tal forma que cada varável x h fque postvamente correlaconada com a sua varável latente ξ. Isto mplca que os snas das Cargas π h ou dos Pesos ϖ h serão postvos. No entanto, como não exstem restrções para estes snas nos algorítmos do PLS, então snas não esperados para as Cargas ou para os Pesos podem ndcar problemas nos dados sugerndo ações corretvas, como por exemplo, a remoção destas varáves dos dados. As varáves latentes no PLS devem ser normalzadas. A normalzação adotada por Wold (985) e por Lohmöller (984) assume que ξ têm desvo padrão gual a (um). Fornell (99) adotou um outro tpo de normalzação para estmar a Satsfação do Consumdor, porém as varáves latentes no modelo de Fornell e no de Wold são co-lneares. Detalhes sobre a metodologa de Fornell podem ser vstos em Bayol et. al. (000) Estmação Conforme menconado no capítulo anteror, o problema da dentfcação não ocorre no PLS, haa vsta que as varáves latentes são tratadas como combnações lneares ponderadas das varáves observadas. Os modelos baseados no PLS são estmados de acordo com os seguntes procedmentos: () padronzação das varáves observadas; () estmação externa, sto é, as varáves latentes padronzadas são estmadas como combnação lnear de suas varáves observadas, com os pesos externos (lgação entre as observadas e as latentes) prevamente ncalzados; (3) estmação nterna, sto é, cada varável latente é novamente estmada como uma combnação lnear das varáves latentes que estão conectadas a ela nesta etapa são estmados os pesos ou coefcentes nternos; (4) estmação dos pesos externos, sto é, os pesos prevamente ncalzados no prmero passo são atualzados utlzando as varáves latentes estmadas no passo anteror; (5) todo este procedmento é teratvo até a convergênca dos pesos externos (não garantda, porém sempre encontrada),

29 86 resultando nas varáves latentes estmadas; (6) no últmo passo são estmadas as relações estruturas do modelo através de regressões lneares com as varáves latentes, sto é, com os seus escores. Segue abaxo uma descrção mas detalhada de cada um dos passos da estmação Padronzação das varáves observadas Em geral, as varáves observadas podem ser padronzadas de quatro formas dstntas. A escolha de uma delas dependerá de três condções que deverão ser verfcadas através dos dados: a) Condção : as escalas das varáves observadas devem ser comparáves. Por exemplo, no modelo da Satsfação do Consumdor, as escalas de todos os tens de avalações varam de a 0 (cf. capítulo ), sendo, portanto, comparáves. Por outro lado, pesos meddos em toneladas e velocdades meddas em km/h são exemplos de escalas não comparáves. b) Condção : as médas das varáves observadas devem ser nterpretáves. Por exemplo, se a dferença entre duas varáves observadas não for nterpretável, então os seus respectvos parâmetros de locação não têm sgnfcado. c) Condção 3: as varâncas das varáves observadas refletem a sua mportânca. Se a condção não se verfcar, então as varáves observadas deverão ser padronzadas (méda 0 e varânca ). Se a condção se verfcar, então os resultados deverão ser obtdos com base nos dados brutos. Entretanto, os cálculos dos parâmetros do modelo dependerão da valdade de outras condções:

30 87 a) As condções e 3 não se verfcam e as varáves observadas estão padronzadas (méda 0 e varânca ) para a fase de estmação dos parâmetros. Neste caso deve-se redefnr (retornar) as escalas das varáves observadas para as suas médas e varâncas orgnas para a expressão fnal dos Pesos e das Cargas. b) A condção se verfca, porém a 3 não, e as varáves observadas estão padronzadas com varânca (um) mas não estão centradas na méda para a fase de estmação dos parâmetros. Neste caso se redefne as escalas das varáves observadas para as suas varâncas orgnas para a expressão fnal dos Pesos e das Cargas. c) As condções e 3 se verfcam: Neste caso deve-se utlzar as varáves orgnas. As condções acma podem ser resumdas na Tabela 4.. Tabela 4. Condções para Padronzação das Varáves Observadas Escalas das Varáves são Comparáves? Médas das Varáves são Interpretáves? Importânca Relaconada c/ Varânca Méda Varânca Redefnr Escala? Não Não Sm Não Não 0 Sm Sm Sm Não Orgnal Sm Sm Sm Sm Orgnal Orgnal Estmação das Varáves Latentes As varáves latentes são estmadas de acordo com os seguntes procedmentos:

31 Estmação Externa Y das Varáves Latentes Padronzadas (ξ m ) As varáves latentes padronzadas (méda = 0 e varânca = ) são estmadas como combnações lneares de seus ndcadores centrados na méda, conforme a equação k h= ( x x ) Y ϖ (4.38) h h h Onde: o símbolo sgnfca que a varável à esquerda representa a varável dreta padronzada. A varável latente padronzada é fnalmente escrta conforme a equação k h= ( x x ) Y = ϖ ~ (4.39) h h h A méda m é estmada pela equação k mˆ = ϖ ~ x (4.40) h= h h E a varável latente ξ pela equação 4.4. k ξ ˆ = ϖ~ x = Y + mˆ (4.4) h= h h Onde: ~ϖ h são chamados de Pesos Exterores.

32 Estmação Interna Z das Varáves Latentes Padronzadas (ξ m ) De acordo com o algortmo orgnal do PLS de Wold (985) e de Lohmöller (989), a estmação nterna de Z das varáves latentes padronzadas (ξ m ) é defnda de acordo com a equação 4.4. Z = e Y (4.4) : ξ é conectado em ξ k Onde: os pesos nternos e podem ser escolhdos entre três esquemas: () lgação ponderada; () centróde; e (3) fator ponderado. Duas varáves latentes são conectadas se exste uma lgação entre elas, sto é, exste uma seta que aponta de uma para a outra no dagrama de camnhos que descreve o modelo causal. Estes três esquemas são defndos da segunte forma: a) Esquema da lgação ponderada: as varáves latentes conectadas em ξ são dvddas em dos grupos: as predecessoras de ξ (que explcam ξ ) e as segudoras (que são explcadas por ξ ). Para uma predecessora ξ da varável latente ξ, o peso nterno e será gual ao coefcente da regressão de Y na regressão múltpla de Y em todos os Y s relaconados às predecessoras de ξ. Se ξ é uma sucessora da varável ξ então o peso nterno e será gual à correlação entre Y e Y. b) Esquema do centróde: os pesos nternos e serão guas aos snas da correlação entre Y e Y. Esta fo a escolha orgnal de Wold, entretanto ela apresenta uma desvantagem no caso da correlação ser aproxmadamente zero, pos o snal pode modfcar em função de pequenas varações nas varáves. c) Esquema do fator ponderado: os pesos nternos e serão guas às correlações entre Y e Y.

33 Estmação dos Pesos w h s Exstem três formas de estmação dos pesos w h, chamados de modo A, B e C. No modo A, o peso w h é o coefcente de regressão de Z em uma smples regressão de x h na estmação nterna Z, conforme a equação ŵ h = cov(x h, Z ) / Var(Z ) (4.43) No modo B, o vetor w de pesos w h é o vetor coefcente de regressão na regressão múltpla de Z nas varáves observadas x h, relaconadas com a mesma varável latente ξ, conforme a equação ' ' ( X X ) X Z wˆ = (4.43) Onde: X é a matrz com as colunas defndas pelas varáves observadas x h relaconadas com a -ésma varável latente ξ. O modo C é um caso especal do modo B e refere-se prncpalmente aos ndcadores do tpo formatvo. No algortmo do PLS de Lohmöller, o processamento é ncado atrbundose em cada bloco, o valor (um) para o vetor de pesos w h em todas as varáves observadas, exceto na últma varável, cuo valor atrbuído é. Esta escolha é a prncpal razão para eventuas estmatvas negatvas dos pesos exterores, especalmente no caso quando exstem poucas varáves observadas num bloco (duas ou uma varável). Estes pesos são padronzados para se obter varáves latentes com varânca untára. A ncalzação do vetor de pesos com valores guas a (um) em todas as varáves observadas devera ser a opção mas razoável, na hpótese de correlação postva entre elas. Alternatvamente, o vetor de pesos ncalzado com o valor gual a (um) na prmera varável observada e 0 (zero) nas demas devera ser a forma mas fácl do ponto de vsta computaconal.