4 Reconhecimento de Padrões

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1 46 4 Reconhecmento de Padrões Este capítulo apresenta de forma lustrada os concetos báscos do Reconhecmento de Padrões e vsa mostrar o potencal desta ferramenta em dversas aplcações. Trata-se de um texto ntrodutóro e expostvo, recheado de exemplos, voltado para não-especalstas em área da Cênca da Computação. O Reconhecmento de Padrões é o campo da cênca que tem por objetvo a classfcação de objetos em um determnado número de categoras ou classes a partr da observação de suas característcas (Theodords & Koutroumbas, 2003). O Reconhecmento de Padrões vsa construr uma representação mas smples de um conjunto de dados através de suas característcas mas relevantes, possbltando sua partção em classes (Duda et al., 2001). As técncas de Reconhecmento de Padrões podem ser usadas para classfcar os objetos (pxels, fases, regões, etc.) presentes em uma magem. Esta é a abordagem empregada no presente trabalho. Contudo, suas aplcações podem ser tão varadas quanto os objetos e dados em questão. A análse dgtal de magens consttu-se, neste caso, em uma ferramenta utlzada para a extração de atrbutos (característcas) dos objetos, ou seja, para a obtenção de meddas. Dado um conjunto de objetos com característcas mensuráves, a classfcação consste em tentar dscrmná-los em classes. Tas característcas formam um espaço multdmensonal (espaço de característcas), onde cada objeto é representado por um vetor de característcas (padrão), um ponto neste espaço. Assm, a tarefa da classfcação pode ser geometrcamente entendda como o reconhecmento de agrupamentos no espaço de característcas. A Fgura 18 mostra um espaço formado por três característcas (C 1, C 2 e C 3 ), trdmensonal portanto, onde é claramente possível dentfcar dos grupos dstntos de objetos.

2 47 Fgura 18 - Espaço de característcas. As técncas de classfcação dvdem-se em dos grandes grupos, classfcação supervsonada e classfcação não-supervsonada. Na classfcação supervsonada, as classes são defndas a partr de uma base de conhecmento formada por exemplos dos padrões conhecdos. São fornecdos os exemplos e suas respectvas classfcações com as quas o sstema é trenado. Já, na classfcação não-supervsonada, não há nenhuma nformação préva sobre as classes às quas os padrões na amostra pertencem. Dado um conjunto de padrões, métodos não supervsonados os agrupam em função de sua dsposção no espaço de característcas. A comparação entre a Fgura 19 e a Fgura 20 lustra esta dferença. Na Fgura 19, pode-se observar um conjunto de objetos representados em um espaço de característcas bdmensonal. Como a legenda ndca, estes objetos são conhecdos e foram prevamente rotulados (classe 1, classe 2, classe 3). Assm, a partr desta base de conhecmento, pode ser atrbuída uma classe a um objeto desconhecdo através de um procedmento de classfcação supervsonada. No exemplo contdo nesta fgura, o objeto desconhecdo é classfcado como pertencente à classe 2. O crtéro utlzado é a proxmdade, no espaço de característcas, aos objetos desta classe.

3 48 Fgura 19 - Classfcação supervsonada. A Fgura 20 mostra a classfcação não-supervsonada. Nela, um outro conjunto de objetos está representado no espaço de característcas bdmensonal, contudo, agora os padrões dos objetos não são conhecdos. Um procedmento de classfcação não-supervsonada procura por objetos smlares e os agrupa em classes. No exemplo em questão, os objetos foram dvddos entre duas classes dstntas (classe A e classe B). Fgura 20 - Classfcação não-supervsonada. Cabe aqu ressaltar que a classfcação não-supervsonada foge ao escopo deste trabalho. 4.1.Classfcação supervsonada A classfcação supervsonada atrbu uma classe a um objeto desconhecdo através de uma medda de smlardade deste objeto com objetos conhecdos prevamente rotulados (conjunto de trenamento). A partr da medção de

4 49 determnadas característcas dos objetos do conjunto de trenamento, estmam-se os parâmetros que caracterzam cada classe no espaço de característcas. No domíno do espaço de característcas opera uma função dscrmnante, também chamada classfcador, que, baseada na nformação denotada pelo conjunto de trenamento, determna a semelhança de um novo padrão a uma das classes. Geometrcamente, o trabalho do classfcador pode ser entenddo como a tarefa de partconar o espaço de característcas em sub-espaços, cada qual domíno de uma classe. Assm, a um objeto desconhecdo, é atrbuída uma classe a partr do seu posconamento no espaço de característcas. Pode-se recorrer a um exemplo (adaptado de Russ, 1990) a fm de facltar a compreensão. Imagne um sstema para classfcação de quatro espéces de fruta (amexas, maçãs, lmões, melões). As classes seram estas (amexas, maçãs, lmões, melões), mas quas seram as característcas? Pensando em um sstema baseado em análse de magens, as característcas poderam ser o tamanho (dâmetro médo) e a vermelhdão, uma medda de quão vermelha é a fruta. A escolha das característcas adequadas à classfcação deve feta a partr da observação dos objetos conhecdos e de suas respectvas classes, ou seja, do conjunto de trenamento. Conhecendo-se o domíno do problema, as frutas em questão, fca evdente que o tamanho pode ser usado para dscrmnar maçãs e melões entre s e das demas classes. No entanto, amexas e lmões têm tamanhos semelhantes e assm vram a ser confunddos. Deste modo, utlza-se também uma segunda característca, vermelhdão, capaz de dstngur amexas de lmões. Na prátca, raramente uma únca característca é sufcente em um sstema de classfcação. O conjunto de trenamento é composto por amexas, maçãs, lmões e melões prevamente rotulados. O sstema mede as característcas (dâmetro médo e vermelhdão ) de cada um destes objetos do conjunto de trenamento e os representa no espaço de característcas, como mostrado na Fgura 21. A partr daí, pode-se reconhecer uma fruta desconhecda (não rotulada). O sstema mede suas característcas e então o classfcador estma meddas de smlardade entre esta fruta desconhecda e as classes de frutas do conjunto de trenamento. Desta forma, é determnado a qual classe ela pertence, ou seja, que fruta ela é.

5 50 Fgura 21 - Exemplo de classfcação supervsonada (classfcação de frutas). Na Fgura 21, pode-se observar que uma certa fruta desconhecda apresenta característcas smlares às dos lmões do conjunto de trenamento, fcando, portanto, próxma a eles no espaço de característcas. Assm, o classfcador provavelmente classfcara esta fruta desconhecda como um lmão. Em Cênca dos Materas, um exemplo da utlzação da classfcação supervsonada alada à análse dgtal de magens é a classfcação de partículas de grafta em ferro funddo (Gomes, 2001; Gomes & Pacornk, 2005). A norma ISO- 945 apresenta ses classes para caracterzar as dferentes formas de partículas de grafta e fornece ses magens sntétcas de referênca para representá-las (Fgura 22). Fgura 22 - Imagens de referênca da norma ISO-945.

6 51 Os objetos desenhados nestas magens da Fgura 22 são usados para formar o conjunto de trenamento. Como característcas, são empregados dversos parâmetros descrtores de forma e tamanho, consttundo, portanto, um espaço de característcas multdmensonal. O classfcador trena o sstema com as magens do conjunto de trenamento. A partr daí, o sstema está pronto para classfcar partículas de grafta em magens de ferro funddo obtdas em mcroscópo óptco com 100x de magnfcação, de acordo com a norma ISO-945. A Fgura 23 apresenta uma magem de ferro funddo ao lado de uma representação pctórca do resultado da classfcação de suas partículas de grafta. As cores referem-se às ses classes defndas na norma ISO μm Classe I II III IV V VI Fgura 23 - Classfcação de partículas de grafta em ferro funddo. Deste modo, fornecendo-se um conjunto de trenamento e um conjunto de característcas a um classfcador, o reconhecmento de um objeto desconhecdo pode ser feto automatcamente em um típco procedmento de classfcação supervsonada (Duda et al., 2001; Gonzalez & Woods, 2002). Contudo, é usual avalar o desempenho do sstema de classfcação antes de classfcar objetos desconhecdos. Esta avalação é feta através de uma etapa de valdação, também conhecda como etapa de teste. Assm, na verdade, um procedmento de classfcação supervsonada deve ser composto por três etapas consecutvas: trenamento, valdação e classfcação. A valdação estma o desempenho do sstema de classfcação e verfca sua capacdade de generalzação. Toussant (1974) descreve e avala dversos métodos de valdação. Um dos métodos mas smples é a auto-valdação (resubsttuton estmate). A autovaldação é realzada através da classfcação dos objetos do conjunto de trenamento e consegunte medção da taxa de acerto desta classfcação. No entanto, a autovaldação fornece apenas uma estmatva superestmada do desempenho do sstema e não avala sua capacdade de generalzação.

7 52 Um método mas aproprado é a valdação cruzada (holdout estmate). Neste método de valdação, os objetos conhecdos dsponíves são partconados em dos conjuntos complementares: o conjunto de trenamento e o conjunto de valdação. Após o trenamento, os objetos do conjunto de valdação são classfcados e a taxa de acerto é determnada. É mportante notar que, em geral, a taxa de acerto da valdação cruzada será nferor à obtda em um procedmento de auto-valdação. Todava, se o número total de objetos conhecdos for pequeno, o resultado da valdação cruzada será fortemente dependente da escolha específca dos objetos de cada conjunto (trenamento e valdação). Assm, quando exstem poucos objetos conhecdos dsponíves, são fetas dferentes partções, com tamanhos fxos, destes objetos; a valdação é realzada váras vezes e a taxa de acerto méda é utlzada como resultado (Toussant, 1974; Duda et al., 2001). Caso a etapa de valdação ndque, com altas taxas de acerto, que o trenamento fo bem suceddo, a classfcação é então possível. Um novo conjunto de trenamento é formado, com todos os objetos conhecdos à dsposção, e o trenamento é feto outra vez. A partr daí, objetos desconhecdos podem ser classfcados. 4.2.Classfcação supervsonada de pxels A defnção de objeto em uma magem pode ser um tanto dfícl. Uma defnção bem genérca é a de que um objeto é qualquer porção da magem que tenha pelo menos uma característca mensurável que a dference do restante da magem. Neste contexto, regões podem ser categorzadas como objetos por terem determnado tamanho ou até mesmo por apresentarem certa forma, como no caso, ctado anterormente, das partículas de grafta em ferro funddo. Os pxels de uma magem também podem ser consderados objetos. Apesar de possuírem ndstntamente a mesma forma e tamanho em uma magem, os pxels podem apresentar dferentes cores ou ntensdades. Deste modo, os pxels podem ser classfcados como quasquer outros tpos de objetos. A classfcação de pxels em magens consttu-se em um procedmento de segmentação. A segmentação por classfcação supervsonada de pxels é uma técnca de segmentação espectral que pode ser utlzada em magens mult-componente. De fato, ela é bastante usada, por exemplo, em Sensoramento Remoto para a análse de magens mult-espectras.

8 53 Contudo, para a análse de magens de materas obtdas por técncas de mcroscopa, a segmentação por classfcação supervsonada de pxels não é muto comum. Na lteratura, são encontrados alguns exemplos, em mcroscopa eletrônca de varredura, referentes prncpalmente a magens de mapeamento de raos X (EDS e WDS), além de outros snas, como BSE e catodolumnescênca (Tovey & Krnsley, 1991; Bonnet, 1995; Bonnet et al., 1997; MacRae et al., 2001; Kotula et al., 2003; MacRae & Wlson, 2005). No entanto, em mcroscopa óptca de materas, os exemplos são poucos (Prard & Bertholet, 2000; Komenda, 2001; Prard, 2004). As mplementações podem ser as mas dversas. Mas, bascamente, o que se tem é a seleção manual, geralmente através do cursor do mouse em uma nterface gráfca, de regões de cada fase ou classe de nteresse em uma ou mas magens. A partr destas regões seleconadas, são construídas magens para representar as classes. Nestas magens das classes, cada pxel consttu-se de fato em um objeto prevamente classfcado, de modo que estas magens formam o conjunto de trenamento. Em seguda, escolhe-se um espaço de característcas e um classfcador adequados. Daí, meddas as característcas dos padrões de cada classe, o sstema poderá classfcar pxels de magens desconhecdas, ou seja, segmentá-las. No caso das magens colordas, como as adqurdas ao mcroscópo óptco, as característcas dos pxels podem ser justamente as três componentes das magens: R, G e B. A Fgura 24 mostra uma magem de mnéro de cobre, obtda ao mcroscópo óptco, ao lado de sua representação no espaço de característcas bdmensonal formado por R e G. Neste espaço, um classfcador podera segmentar a magem, partconando-o em sub-espaços, cada um domíno de uma fase, como ndcado pelas fronteras de decsão (lnhas azus).

9 54 Fgura 24 - Imagem RGB e sua representação no espaço de característcas RG. Cabe aqu uma nota. A segmentação por lmarzação, muto comumente usada e largamente dsponível nos programas analsadores de magem, consttu-se na verdade em um caso específco da segmentação por classfcação de pxels. Neste contexto, a segmentação por lmarzação é conhecda como classfcador de função paralelepípedo, pos o que ela realmente faz é partconar o espaço de característcas formando paralelepípedos. Na Fgura 25, pode-se ver o espaço de característcas da magem apresentada acma, agora com os respectvos hstogramas undmensonas das componentes R e G mostrados junto aos exos. Assm, a lmarzação é realzada através da delmtação do espaço por lmares em cada dmensão, representados neste exemplo pelas lnhas tracejadas horzontas e vertcas. Uma lmarzação undmensonal é feta apenas com as lnhas tracejadas horzontas (componente R) ou vertcas (componente G). Já uma lmarzação em duas dmensões (R e G) é realzada utlzando a ntersecção dos setores delmtados por estes pares de lnhas, ou seja, o retângulo azul. Note que o retângulo é o correspondente bdmensonal do paralelepípedo, daí a denomnação deste método.

10 55 Fgura 25 - Segmentação por classfcação de função paralelepípedo. Ao se observar a Fgura 24 e a Fgura 25, fca evdente a superordade da classfcação de pxels frente à lmarzação para a segmentação de magens multcomponente. Isto ocorre pos a partção do espaço de característcas através das fronteras de decsão mostradas na Fgura 24 consegue representar melhor as classes. A regão delmtada pelo retângulo azul (Fgura 25) claramente contém padrões de duas classes dstntas. Todava, há anda um outro aspecto a ser consderado, pos na segmentação de magens colordas há duas questões fundamentas: qual método de segmentação e qual sstema de cores devem ser utlzados (Cheng et al., 2001). O sstema de cores é o artfíco matemátco usado para codfcar cor através de componentes. No caso do RGB, cada cor é representada por um vetor de três elementos que armazena suas ntensdades nas três cores prmáras (vermelho, verde e azul). Ao se utlzar a classfcação supervsonada de pxels como método de segmentação, o sstema de cores pode ser usado para defnr o espaço de característcas. Deste modo, cada componente denota uma característca. Entretanto, estas característcas orundas do sstema de cores orgnal nem sempre são as mas apropradas para o sstema de classfcação. Assm sendo, pode-se converter a magem, para que seja representada em outro sstema de cores, dando orgem a novas característcas (Vandenbroucke et al., 2003). O sstema de cores RGB é o mas utlzado por câmeras dgtas e montores de vídeo, porém ele geralmente não é adequado à segmentação. Exste uma alta correlação entre as componentes do RGB, pos elas são fortemente dependentes da

11 56 ntensdade (Lttmann & Rtter, 1997). Além dsso, o sstema RGB não representa as dferenças entre as cores em uma escala unforme, o que mpossblta a medção da smlardade entre duas cores através de sua dstânca no espaço RGB (Cheng et al., 2001). Exstem dversos sstemas de cores (Sharma & Trussell, 1997). Na verdade, partndo-se do sstema RGB, pode-se defnr quantos sstemas de cores se quera, através de transformações lneares e não-lneares (Vandenbroucke et al., 2003). No Apêndce A, são apresentados quatro sstemas de cores baseados em transformações não-lneares do RGB (rgb, HSI, L * a * b * e L * u * v * ). As característcas destes sstemas são geralmente mas adequadas à classfcação. 4.3.Escolha das característcas A escolha das característcas adequadas à classfcação é feta a partr da observação dos objetos conhecdos e de suas respectvas classes, ou seja, do conjunto de trenamento. O conjunto de característcas deve, por s só, descrever bem os objetos, agrupando os objetos smlares e separando os objetos dstntos. Ele precsa ser robusto para tolerar as dferenças dentro de cada classe e ser sensível bastante para dscrmnar essas classes. Assm, as característcas são escolhdas vsando a separação das classes de modo a facltar a tarefa do classfcador. Na prátca, raramente uma únca característca é sufcente para dstngur duas ou mas classes, sendo geralmente utlzado um conjunto com váras característcas. Por outro lado, a adção de mas característcas não sgnfca sempre uma melhora no desempenho do classfcador (Chen, 1973). O aumento da dmensonaldade do espaço de característcas, ou seja, do número de característcas, torna o sstema mas complexo, custa um maor tempo de trenamento e pode reduzr a capacdade de generalzação do sstema (Theodords & Koutroumbas, 2003). Além dsso, um grande número de característcas tende a gerar redundânca de nformação, vndo também a prejudcar o desempenho do sstema. Adconalmente, o número de elementos do conjunto de trenamento precsa crescer exponencalmente com o aumento da dmensonaldade do espaço de característcas (Raudys & Jan, 1991; Duda et al., 2001). Contudo, nem sempre é possível obter mas objetos conhecdos para amplar o conjunto de trenamento. O caso extremo deste aumento do número de característcas sem o correspondente aumento do conjunto de trenamento leva ao Teorema do Patnho

12 57 Feo de Watanabe (1985). Depreende-se dele que dos objetos aleatóros parecerão smlares se forem descrtos por um número sufcentemente grande de característcas. Assm, um csne e um pato e um par de csnes podem fcar gualmente smlares (Kanal, 1993). Este fenômeno de queda no desempenho do classfcador devda ao aumento da dmensonaldade do espaço de característcas é conhecdo como a maldção da dmensonaldade (curse of dmensonalty). Segundo ele, dado um conjunto de trenamento, a classfcação só melhora até um determnado número ótmo de dmensões, a partr do qual, o desempenho do classfcador pora (Jan et al., 2000; Marques de Sá, 2001). Há anda a questão de não se poder vsualzar objetos flutuando em um espaço de característcas com mas de três dmensões, o que dfculta a compreensão e conseqüentemente o projeto do sstema (Bonnet, 2000). Tudo sso enfatza a necessdade de uma cudadosa escolha do conjunto de característcas. A redução da dmensonaldade do espaço de característcas consttu-se assm em uma mportante etapa do projeto de um sstema de classfcação. Na prátca, esta questão pode ser resumda em se utlzar um número pequeno de característcas, seleconando e/ou compondo as característcas mas adequadas, a partr de todas as característcas dsponíves. Para sso, a redução de dmensonaldade é levada a cabo através de técncas de seleção e de combnação de característcas. A seleção de característcas pode ser feta através da busca exaustva do conjunto de característcas que obtenha o melhor desempenho na classfcação, o conjunto ótmo. No entanto, quando se tem um grande número de característcas dsponível, na prátca não é factível o teste de todos os conjuntos possíves. Assm, busca-se um conjunto que apresente um desempenho sub-ótmo. A busca de um conjunto sub-ótmo a partr das característcas que soznhas apresentam as melhores taxas de acerto não é uma garanta de bons resultados. Dversos métodos de seleção de característcas são encontrados na lteratura (Kudo & Skalansky, 2000). Nos problemas do presente trabalho, o número de característcas dsponíves é relatvamente pequeno e assm não são empregados métodos subótmos de seleção de característcas. Para a combnação de característcas, duas técncas clásscas são a Análse Dscrmnante de Fsher (FDA) e a Análse de Componentes Prncpas (Fukunaga, 1990; Duda et al., 2001). Ambas reduzem a dmensonaldade do espaço de

13 58 característcas, compondo novas característcas, através de combnações lneares das característcas orgnas. No presente trabalho, a técnca utlzada para a redução de dmensonaldade é a Análse Dscrmnante de Fsher Local (LFDA), uma varante da FDA que também costuma apresentar bons resultados quando exstem classes multmodas no problema (Sugyama, 2007). Geometrcamente, a combnação lnear de característcas ocorre como no exemplo mostrado na Fgura 26. Nesta fgura, pode-se observar um espaço de característcas com duas dmensões onde exstem três classes de objetos. As classes cor-de-rosa e cor-de-laranja não são dstnguíves a partr da observação de apenas uma das característcas orgnas, C 1 ou C 2. No entanto, a nova característca (N 1 ) parece ser capaz de, soznha, separar todas as classes. Fgura 26 - Redução de dmensonaldade. 4.4.Classfcador O classfcador é a função que calcula as meddas de smlardade entre os objetos no espaço de característcas. Na classfcação supervsonada, a um objeto desconhecdo é atrbuída uma determnada classe a partr da smlardade deste objeto com os objetos representantes da classe no conjunto de trenamento. Exstem números classfcadores dferentes e a escolha ou projeto do mas adequado depende especfcamente de cada caso. De forma geral, pode-se dvdr os classfcadores em dos tpos prncpas: os estatístcos (paramétrcos e não-paramétrcos) e os conexonstas (redes neuras). Nos classfcadores estatístcos, os objetos do conjunto de trenamento são utlzados para estmar certos parâmetros estatístcos de cada classe. Estes parâmetros

14 59 especfcam o classfcador. Além dsso, os classfcadores estatístcos paramétrcos precsam estmar ou assumr uma determnada dstrbução para cada classe. Os classfcadores estatístcos não-paramétrcos são os classfcadores mas smples e ntutvos. Eles utlzam uma função de dstânca como medda de smlardade, atrbundo, a um objeto desconhecdo, a classe que menos se dstanca dele no espaço de característcas. Dos classfcadores estatístcos não-paramétrcos comumente usados são o de dstânca eucldana e o de dstânca de Mahalanobs. O classfcador de dstânca eucldana é especfcado pelo vetor méda de cada classe, estmado a partr dos objetos da classe no conjunto de trenamento. Ele atrbu a um objeto desconhecdo a classe cujo centróde (vetor méda) estver à menor dstânca eucldana do padrão do objeto no espaço de característcas. Dado um objeto x, em um espaço de característcas multdmensonal, a dstânca eucldana ao quadrado do padrão deste objeto ao centróde da classe é dada pela segunte equação: 2 DE = x x (4) onde x é o padrão do objeto x e x é o vetor méda da classe. Como se pode ver, o classfcador de dstânca eucldana é bem smples e de fácl compreensão, sendo portanto de grande valor ddátco. No entanto, só há garanta que ele apresente bons resultados caso todas as classes tenham a mesma varânca em todas as característcas. Além dsso, as característcas têm que ser descorrelatadas. Em um espaço com apenas duas dmensões, sto equvale a dstrbuções em forma de círculos, todos com o mesmo rao. Na prátca, sto raramente ocorre. A Fgura 27 exemplfca esta lmtação, mostrando um espaço de característcas bdmensonal onde as dstrbuções de duas classes têm formas aproxmadamente elíptcas. Nesta fgura, o objeto desconhecdo é atrbuído à classe 2 pelo classfcador de dstânca eucldana. Contudo, o bom senso provavelmente levara uma pessoa a atrbuí-lo à classe 1. Esta dcotoma exste porque, ao contráro do classfcador de dstânca eucldana, a pessoa em questão consderara a forma das dstrbuções das classes, quando da sua tomada de decsão.

15 60 Fgura 27 - Dstânca eucldana x Mahalanobs. Este tpo de problema é mas bem atenddo pelo classfcador de dstânca de Mahalanobs. Ele é especfcado pelo vetor méda e pela matrz de covarânca de cada classe e, assm, leva em consderação a forma das dstrbuções das classes. A dstânca de Mahalanobs ao quadrado do padrão de um objeto x à classe é calculada de acordo com a segunte equação: 2 DM = T 1 ( x x ) C ( x x ) onde x é o padrão do objeto x; x é o vetor méda da classe e covarânca da classe, defnda como: x ω N é número de objetos da classe e (5) C é a matrz de 1 T C = ( x x )( x x ) (6) N 1 onde Na verdade, os classfcadores de dstânca eucldana e de Mahalanobs são casos muto especas do classfcador de Bayes (Schowengerdt, 1983), que é um classfcador estatístco paramétrco, como mostrado a segur. O classfcador de Bayes, também conhecdo como classfcador bayesano, atrbu, a um dado objeto, a classe que tem maor probabldade de ser a verdadera, dadas as característcas deste objeto. Esta probabldade é chamada probabldade a posteror P( x) e pode ser calculada segundo a Regra de Bayes (Duda et al., 2001): p( x )P() P( x ) = (7) p( x) onde n é número de classes; P() é a probabldade a pror; p(x ) é a função densdade de probabldade da classe ; e ω representa a classe.

16 61 p(x) é a densdade de probabldade, defnda como: n p( x ) = p( x )P() (8) = 1 Todava, como a densdade de probabldade p(x) está presente na equação da probabldade a posteror para todas as classes, ela pode ser elmnada da regra de decsão. Assm, o classfcador de Bayes atrbu, a um dado objeto x, a classe que apresentar a maor função de decsão d (x), calculada conforme a equação a segur: d ( x ) = p( x )P() (9) O classfcador de Bayes é consderado o classfcador ótmo, pos mnmza a probabldade méda de erro na classfcação (Duda et al., 2001). No entanto, para que ele realmente seja ótmo, devem ser conhecdas, para cada classe, a probabldade a pror P() e a função densdade de probabldade p(x ). As probabldades a pror das classes (P()) podem, mutas vezes, ser nferdas a partr de algum conhecmento externo do problema. Quando sto não é possível, na prátca, assume-se que todas as classes têm a mesma probabldade a pror, por exemplo, 0,5 para um problema de duas classes. Obvamente, o classfcador tende a apresentar melhores resultados no prmero caso (Schowengerdt, 1983). As funções densdade de probabldade das classes (p(x )) precsam ser estmadas. Contudo, na prátca, esta estmação é dfícl, especalmente se o conjunto de trenamento for pequeno ou se as dstrbuções das classes forem malcomportadas. Assm, va de regra, o classfcador de Bayes assume uma determnada dstrbução para cada classe, geralmente a dstrbução normal (gaussana). Quanto mas próxma da realdade for esta assunção, mas o classfcador de Bayes se aproxmará do classfcador ótmo (Gonzalez & Woods, 2002). A partr das dstrbuções assumdas, o classfcador de Bayes adota as expressões analítcas das respectvas funções densdade de probabldade e estma os parâmetros estatístcos de cada classe. No caso de assumr dstrbuções normas, o então classfcador bayesano-gaussano é especfcado pelo vetor de méda e pela matrz de covarânca de cada classe no conjunto de trenamento. A segur, é mostrada a expressão da função de decsão do classfcador bayesano-gaussano: d ( x) = ln 1 2 [ ] T 1 ( P() ) ln C ( x x ) C ( x x ) onde P() é a probabldade a pror; x é o padrão do objeto x; x é o vetor méda da classe ; e 1 2 C é a matrz de covarânca da classe. (10)

17 62 Os chamados classfcadores conexonstas são redes neuras artfcas. As redes neuras artfcas consttuem classfcadores mas complexos, nsprados na estrutura neural de organsmos ntelgentes, que aprendem por experênca. A escolha do tpo de classfcador a ser empregado depende especfcamente do problema em questão. Os classfcadores estatístcos são mas adequados quando os objetos nas váras classes estão dstrbuídos no espaço de característcas de acordo com topologas smples e preferencalmente conhecdas. Por outro lado, as redes neuras possuem capacdade de se ajustar a qualquer topologa de classes. Assm, as redes neuras são mas ndcadas para os casos onde há classes com dstrbuções malcomportadas (Marques de Sá, 2001; Gonzalez & Woods, 2002). Para os problemas de classfcação supervsonada de pxels aqu estudados, os classfcadores estatístcos são efcazes. Deste modo, as redes neuras não fazem parte do escopo deste trabalho.