COMBINAÇÃO DE MÚLTIPLOS CLASSIFICADORES PARA IDENTIFICAÇÃO DE MATERIAIS EM IMAGENS RUIDOSAS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO COMBINAÇÃO DE MÚLTIPLOS CLASSIFICADORES PARA IDENTIFICAÇÃO DE MATERIAIS EM IMAGENS RUIDOSAS MOACIR PEREIRA PONTI JUNIOR Dssertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Cênca da Computação do Centro de Cêncas Exatas e Tecnologa da Unversdade Federal de São Carlos, como parte dos requstos para a obtenção do título de Mestre em Cênca da Computação. Campo de pesqusa: Reconhecmento de Padrões. 67 p. SÃO CARLOS 2004

2 Fcha catalográfca elaborada pelo DePT da Bbloteca Comuntára da UFSCar P8cm Pont Junor, Moacr Perera. Combnação de múltplos classfcadores para dentfcação de materas em magens rudosas / Moacr Perera Pont Junor. -- São Carlos : UFSCar, p. Dssertação (Mestrado) -- Unversdade Federal de São Carlos, Processamento de magens. 2. Reconhecmento de padrões. 3. Combnação de classfcadores. 4. Tomografa computadorzada. I. Título. CDD: (20 a )

3 Agradecmentos A Deus pela vda e pela cração do mundo de forma tão magnífca e perfeta; Ao Nelson, meu orentador, por guar-me entre os camnhos da pesqusa com grande conhecmento e uma memóra nfalível; A Embrapa, especalmente ao Professor Dr. Paulo Estevão Cruvnel pela aqusção e orentações acerca das magens utlzadas no trabalho; Ao Murllo pelas dúvdas soluconadas, revsões, conversas sobre o proeto, métodos e resultados; A todos os professores do PPG-CC; A Paula pelo enorme apoo antes e durante este curso; A meus pas e aos querdos famlares pelo apoo ncessante; Á famíla da Casa de Jesus; Aos colegas do laboratóro GAPIS; A todos os alunos da turma 2002, prncpalmente aos amgos: Anderson, Pablo, Eduardo, Rcardo, Bel, Lucas, Matheus, Lúco, Isabel, Tacana, etc. pela amzade e companhersmo, sem os quas sera muto mas dfícl termnar este curso; Aos colegas das outras turmas, conqustados durante o mestrado; Aos amgos Emlano, Eugêno, Baltazar e todos outros que de alguma forma audaram e me deram forças durante todo o curso e na execução deste trabalho.

4 Sumáro. INTRODUÇÃO.... ORGANIZAÇÃO DO TEXTO TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA PRINCÍPIOS BÁSICOS COEFICIENTE DE ATENUAÇÃO LINEAR RECONSTRUÇÃO DE IMAGENS APLICAÇÃO DIRETA DA TRANSFORMADA DE FOURIER RETROPROJEÇÃO FILTRADA IMAGENS MULTIESPECTRAIS DE TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA CLASSIFICAÇÃO RECONHECIMENTO DE PADRÕES CLASSIFICADORES CLASSIFICADOR BAYESIANO LINEAR CLASSIFICADOR LOGÍSTICO CLASSIFICADOR PARZEN CLASSIFICADOR -VIZINHOS MAIS PRÓXIMOS ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS PARA AS TÉCNICAS DE CLASSIFICAÇÃO PARZEN E K-VIZINHOS MAIS PRÓXIMOS AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DOS CLASSIFICADORES VALIDAÇÃO CRUZADA COEFICIENTE KAPPA COMBINAÇÃO DE MÚLTIPLOS CLASSIFICADORES CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTOS TEÓRICOS REGRA DO PRODUTO REGRA DA SOMA DERIVAÇÕES DAS REGRAS DE PRODUTO E SOMA REGRA DO MÁXIMO REGRA DO MÍNIMO REGRA DA MEDIANA REGRA DA VOTAÇÃO POR MAIORIA VOTAÇÃO DOS COMBINADORES MATERIAL E MÉTODOS AQUISIÇÃO DAS IMAGENS TOMÓGRAFO CORPO DE PROVA (PHANTOM) IMAGENS OBTIDAS E CARACTERÍSTICAS CLASSIFICAÇÃO DAS IMAGENS...38

5 5.2. FERRAMENTAS UTILIZADAS CLASSIFICAÇÃO DAS IMAGENS RESULTADOS AVALIAÇÃO DOS CLASSIFICADORES COEFICIENTE KAPPA DOS CLASSIFICADORES E COMBINADORES ESTIMAÇÃO DE ERRO POR VALIDAÇÃO CRUZADA DOS CLASSIFICADORES E COMBINADORES IMAGENS CLASSIFICADAS IMAGEM 40 ev IMAGEM 60 ev IMAGEM 85 ev IMAGEM 662 ev IMAGEM ev IMAGEM ev IMAGEM ev IMAGEM ev IMAGEM ev IMAGEM ev IMAGEM ev IMAGEM ev IMAGEM ev IMAGEM ev IMAGEM ev DISCUSSÃO CONCLUSÕES TRABALHOS FUTUROS...64 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...65

6 Índce de Fguras FIGURA 2. Modelo Usado na Reconstrução da Imagem f(x,y)...7 FIGURA 3.2 Esquema de Estmação de Erro Utlzando Leave-One-Out Cross-Valdaton2 FIGURA 4. Dagrama de um Sstema de Combnação de Classfcadores...26 FIGURA 5. Mntomógrafo...34 FIGURA 5.2 Dagrama da Construção do Corpo de Prova (Phantom) Imageado...35 FIGURA 5.3 Curvas do Coefcente de Atenuação Lnear em Função da Energa para a Água, Alumíno, Cálco e Fósforo FIGURA 5.4 Imagens Indvduas Adqurdas Com Energas de 40, 60, 85 e 662 KEV FIGURA 6. Comparação dos Classfcadores e Combnadores pela Méda do Kappa...43 FIGURA 6.2 Comparação dos Classfcadores e Combnadores pela Méda do Erro...45 FIGURA 6.3 Imagens Temátcas para a Classfcação da Banda de 40 KEV...46 FIGURA 6.4 Imagens Temátcas para a Classfcação da Banda de 60 KEV...47 FIGURA 6.5 Imagens Temátcas para a Classfcação da Banda de 85 KEV...47 FIGURA 6.6 Imagens Temátcas para a Classfcação da Banda de 662 KEV...48 FIGURA 6.7 Imagens Temátcas para a Classfcação das Bandas de 40 e 60 KEV...48 FIGURA 6.8 Imagens Temátcas para a Classfcação das Bandas de 40 e 85 KEV...49 FIGURA 6.9 Imagens Temátcas para a Classfcação das Bandas de 40 e 662 KEV...49 FIGURA 6.0 Imagens Temátcas para a Classfcação das Bandas de 60 e 85 KEV...50 FIGURA 6. Imagens Temátcas para a Classfcação das Bandas de 60 e 662 KEV...50 FIGURA 6.2 Imagens Temátcas para a Classfcação das Bandas de 85 e 662 KEV...5 FIGURA 6.3 Imagens Temátcas para a Classfcação das Bandas de 40, 60 e 85 KEV...5 FIGURA 6.4 Imagens Temátcas para a Classfcação das Bandas de 40, 60 e 662 KEV.52 FIGURA 6.5 Imagens Temátcas para a Classfcação das Bandas de 40, 85 e 662 KEV.52 FIGURA 6.6 Imagens Temátcas para a Classfcação das Bandas de 60, 85 e 662 KEV.53 FIGURA Imagens Temátcas para a Classfcação das Bandas 40, 60, 85 e 662 KEV.53 FIGURA 7. Dvsão do Espaço de Atrbutos por Dferentes Classfcadores: (a) Bayesano Lnear, (b) Logístco, (c) K-Vznhos, (d) Parzen...56 FIGURA 7.2 Dvsão do Espaço de Atrbutos pelos Combnadores: (a) Produto (maor performance), (b) Mínmo (menor performance)...57 FIGURA 7.3 Dvsão do Espaço de Atrbutos da Imagem de 60 e 662 KEV Pelos Combnadores: (a) Soma, (b) Máxmo...59

7 Índce de Tabelas TABELA 3. Interpretação para Resultados do Coefcentes Kappa TABELA 5. Coefcentes de Atenuação Lnear em Função das Energas 40, 60, 85 E 662 KEV Para a Água, Alumíno, Cálco e Fósforo TABELA 5.2 Cores Assocadas às Classes nas Imagens Temátcas...39 TABELA 6. Coefcentes Kappa dos Classfcadores para Cada Imagem...42 TABELA 6.2 Coefcentes Kappa dos Combnadores para Cada Imagem...43 TABELA 6.3 Estmação do Erro dos Classfcadores para Cada Imagem...44 TABELA 6.4 Estmação do Erro dos Combnadores para Cada Imagem...45

8 Resumo A dentfcação de materas em magens vem sendo explorada por dversas áreas para aplcações muto nteressantes. Neste trabalho utlzamos magens multespectras rudosas obtdas por tomografa computadorzada adqurdas com múltplas energas no propósto de estudos de cênca do solo. Através das magens fo possível desenvolver uma sstema de reconhecmento de padrões de forma a dentfcar os materas do corpo mageado. Para esta tarefa foram utlzadas dversas técncas de classfcação. Os classfcadores ndvduas: Parzen, -vznhos mas próxmos, logístco e Bayesano lnear foram combnados de modo a estudar o comportamento de técncas de combnação de classfcadores. Foram utlzados os combnadores de regra fxa: votação por maora, máxmo, mínmo, medana., soma e produto. Fo também proposto e utlzado um segundo estágo de combnação, utlzando a votação dos combnadores. O desempenho dos classfcadores fo analsado através da estmação de erro pelo método da valdação cruzada leave-one-out e pelo coefcente Kappa. Foram demonstradas as vantagens da utlzação de múltplas energas nos problemas de dentfcação de magens e estudados os comportamentos de cada método de combnação. Os resultados apontaram que a combnação de classfcadores possblta melhor capacdade de generalzação e resultados mas estáves que os classfcadores ndvduas, aprovetando as nformações fornecdas por todos os classfcadores ndvduas, nclusve os mas fracos, sendo recomendada na classfcação de dados escassos ou dfíces em que apresentam ambgüdade ou altos índces de ruído.

9 Abstract Materal dentfcaton n mages has been explored n multple areas and very nterestng applcatons are arsng n ths feld. Ths wor uses nosy multspectral mages from a computerzed tomograph scanner acqured wth multple energes for sol scences applcatons and developes a recognton system to dentfy materals on the scanned body. Technques of statstcal classfcaton were used. The ndvdual classfers: Parzen, -nearest neghbors, logstc and lnear Bayesan were combned n order to study the behavor of classfer combnaton technques. For ths tas, we used the fxed rules combners: maorty votng, maxmum, mnmum, medan, sum and product. Also, a second stage of combnaton was consdered and used, the maorty votng of combners. The performance of the classfers was analyzed through the leave-one-out cross-valdaton error estmaton method and the Kappa coeffcent. The advantages of the use of multple energes n the problems of dentfcaton of mages and the behavor of each combnaton method are also demonstrated. The results ponted out that the combnaton of classfers gves better capacty of generalzaton and more stable results than the ndvdual classfers, usng nformaton suppled for all ndvdual classfers, ncludng the weaest one, beng recommended n classfcaton of scarce, dffcult dscrmnaton data, on the presence of ambguty or hgh nose levels.

10 . Introdução Aprendzado é o processo pelo qual é adqurdo o conhecmento sobre o meo, enquanto a memóra é o processo pelo qual este conhecmento é codfcado, armazenado e depos resgatado (KANDEL; SCHWARTZ, 987). O aprendzado é parte determnante do desenvolvmento humano, começa na vda ntra-uterna e estende-se até a morte. É resultado da ntegração de ações pré-programadas da espéce, dos estímulos recebdos do ambente e mpostos pelas tarefas e das reações do organsmo e suas conseqüêncas. Ao longo desse processo, todas as nformações recebdas pelo ndvíduo são nterpretadas e assocadas a um sgnfcado. Ocorre, a partr daí, a fxação do conhecmento pela memóra e a capacdade de assocá-lo a dferentes estímulos. (SHUMWAY-COOK; WOOLLACOTT, 2003) Reconhecmento de Padrões é o estudo de como as máqunas podem observar o ambente e aprender a dstngur padrões de nteresse entre uma sére de nformações. Em quase 50 anos de pesqusas mantém sua característca multdscplnar que permte explorar aplcações em dversas áreas (JAIN et al., 2000). Desde então mutas técncas surgram, mas o desafo até hoe permanece em generalzar as técncas, de modo a superar as dfculdades e dsponblzar aos usuáros ferramentas sóldas para trabalhar. O desenvolvmento de um sstema de reconhecmento de padrões pode ser realzado em dversas abordagens, cuas mas conhecdas são: estatístca, estrutural, sntátca e redes neuras e envolve essencalmente três aspectos: aqusção de dados e pré-processamento, representação dos dados e tomada de decsão. Na abordagem estatístca, cada padrão é representado em termos de n atrbutos ou meddas e é vsto como um ponto em um espaço n- dmensonal. Para classfcar, dvde-se este espaço de atrbutos utlzando um método de classfcação, gerando lmtes de decsão de forma a separar os dados. Quando há um problema de classfcação muto dfícl, com poucos dados ou altas taxas de ruído, o uso de apenas um classfcador torna-se nsufcente. Para aprovetar as vantagens de dversos esquemas de classfcação, fo proposto combnar múltplos classfcadores para melhorar a performance. As prmeras formulações teórcas de modelos de combnação surgram por volta de 990. No níco os classfcadores eram utlzados seqüencalmente, de forma que

11 . Introdução 2 cada um oferecesse nformação complementar ao outro (NADAL et. al., 990). As prmeras aplcações voltaram-se para reconhecmento de escrta manual, uma tarefa dfícl, para a qual dversos métodos são propostos (XU et. al., 992). Desde então, mutas formas de combnar classfcadores foram desenvolvdas, e uma das mas ntutvas é através de meddas estatístcas em que, por exemplo, a partr dos resultados das classfcações ndvduas (probabldades a posteror), atrbu-se o padrão à classe mas votada, ou à probabldade a posteror mas próxma da méda (KITTLER et. al., 998). É possível pensar em mutas aplcações que utlzem técncas de classfcação e mutas são as nformações possíves de se classfcar, entre elas magens dgtas. O uso de magens para classfcação é usado em medcna (dagnóstcos clíncos em raos-x, ultrassonografa, etc.), botecnologa (sequencamento genétco em chps de DNA), bologa (reconhecmento de mcroorgansmos e células), sensoramento remoto (classfcação de terrenos, detecção de fenômenos metereológcos, etc.). As magens obeto de classfcação podem ser obtdas por dferentes sensores, desde câmeras comuns até aparelhos de tomografa computadorzada. A Tomografa Computadorzada (TC) é uma técnca muto nteressante, pos utlza um método não-destrutvo para obter nformações sobre a estrutura de um corpo. A tomografa computadorzada ncou-se em 972 com as pesqusas de Godfrey Housfeld, que, em 979, fo laureado com o prêmo Nobel de medcna por suas pesqusas (Allan Cormac dvdu o prêmo com Hounsfeld por ter descoberto alguns algortmos ndependentemente). A evolução dos computadores auxlou na evolução da tomografa, pos, quanto mas rápdos e mas poderosos se tornavam, os aparelhos de TC se tornam mas velozes e capazes de realzar exames amas magnados anterormente como a angotomografa, colono-grafa e reconstruções em 3D. Apesar da TC ter sdo extensamente utlzada na medcna e áreas afns, há uma mensa gama de outras aplcações que são exploradas atualmente, como em Cêncas de Solos (CRUVINEL et. al., 990). A utlzação de magens de TC para dentfcação de materas também vem sendo recentemente explorada (ROUX; UDUPA, 2003). De acordo com o cenáro apresentado, em uma aplcação de Cêncas de Solo, magens multespectras rudosas de TC foram adqurdas e utlzadas para o estudo de técncas de classfcação, em especal as de combnação de múltplos classfcadores, no ntuto de observar o comportamento e o potencal destas técncas com as magens sob a presença de ruído, apresentando formalmente os modelos utlzados e a relevânca de seu uso para este tpo de problema.

12 . Introdução 3. ORGANIZAÇÃO DO TEXTO Esta dssertação está organzada da segunte manera: Capítulo trata da ntrodução ao obetvo do trabalho; Capítulos 2, 3 e 4 explanam uma revsão da lteratura, apresentando a teora dos métodos utlzados neste trabalho; Capítulo 5 descreve os materas e métodos utlzados, detalhando a forma de aqusção das magens e realzação dos expermentos; Capítulo 6 apresenta os resultados obtdos; Capítulo 7 dscute os resultados apresentados; Capítulo 8 realza a conclusão do trabalho através de todos os resultados obtdos, comparações com a lteratura e oferece sugestões para trabalhos futuros.

13 2. Tomografa Computadorzada Este trabalho utlzou magens obtdas através de tomografa computadorzada (TC) de transmssão. Iremos relatar os prncpas aspectos desta tecnologa e as característcas que a tornam nteressante de ser explorada na tarefa de classfcação de magens. Detalhes teórcos podem ser encontrados em (KAK; SLANEY, 988), (MACOVSKI, 983) e (PARKER, 990). 2. PRINCÍPIOS BÁSICOS Tomografa computadorzada é um método não-destrutvo para obter nformações sobre a estrutura de um corpo através do mageamento de uma secção deste obeto. O mpacto desta técnca na medcna fo revoluconáro, mas, apesar de dfunddo em larga escala para aplcações médcas, há númeras outras aplcações que utlzam os métodos da tomografa computadorzada. A base da tomografa é reconstrur a magem de um corpo através de suas proeções, que representam as nformações dervadas da transmssão ou reflexão de energas em um obeto, ncdndo em um determnado ângulo, gerando uma magem bdmensonal da seção transversal de um corpo. A solução para o problema de reconstrur uma função pelas suas proeções fo publcada por Radon, em 97. Porém, fo apenas em 973 que Hounsfeld concretzou o mageamento por tomografa computadorzada (HOUNSFIELD, 973), que vra a revoluconar o dagnóstco médco e a nvestgação da estrutura de obetos. Os tomógrafos podem ser classfcados em gerações, sendo que até o presente momento temos cnco gerações. O desenvolvmento das arquteturas referentes a estas gerações deve-se, prncpalmente, à busca de menor tempo de aqusção das proeções para a tomografa. Isto é estudado de forma a vablzar as aplcações em dversas áreas do conhecmento humano como, por exemplo, em aplcações médcas, onde o pacente não pode fcar exposto por um tempo prolongado às radações ncdentes. Os tempos de aqusção são sgnfcatvamente menores nas gerações mas recentes com relação às prmeras, no entanto, o tamanho da magem, entre outros parâmetros, exerce nfluênca sobre o tempo de aqusção.

14 2. Tomografa Computadorzada 5 Os algortmos matemátcos mas comuns para reconstrução tomográfca são baseados em dados da proeção. No caso de tomografa por transmssão utlzada neste trabalho, estas proeções representam a atenuação dos raos-x ou raos-γ que passam através de um obeto. Os dados da proeção, por natureza, são um resultado da nteração entre a radação e a substânca da qual o obeto em questão é composto. 2.. COEFICIENTE DE ATENUAÇÃO LINEAR Este conceto está bem relaconado com a TC, e seu uso fo observado como sendo muto convenente em aplcações de engenhara (CRUVINEL et. al., 990) bem como de reconhecmento de padrões (HOMEM et. al., 2000). O coefcente de atenuação lnear pode ser entenddo como o grau de dfculdade que um fexe de fótons, de uma radação com determnada energa, encontra para atravessar um corpo. Esta dfculdade rá depender de város parâmetros, como a energa empregada, a composção e a densdade dos materas encontrados no corpo em estudo. Durante a passagem pelo corpo, o fexe é atenuado devdo aos fótons que estão sendo absorvdos pelos átomos do materal, ou sendo dspersos, afastados de seu sentdo orgnal do curso. Os mecansmos responsáves por estas duas ocorrêncas são os efetos fotoelétrco e Compton como relatado em (KAK; SLANEY, 988). A nteração com efeto fotoelétrco é predomnante para baxas energas e elementos de elevado número atômco. Este efeto consste na nteração entre os fótons e os elétrons da camada mas externa do materal. O elétron absorve a energa de um fóton, usando-a em parte para superar a força que o mantém preso ao átomo, e a energa restante aparece como energa cnétca. O efeto Compton, dferentemente do fotoelétrco, ocorre normalmente com elétrons lvres, ou fracamente lgados. A conseqüênca desta nteração é o espalhamento do fóton para um sentdo dferente do orgnal, com alguma perda de energa, absorvda pelo elétron, que também é espalhado. É predomnante para radações de energas ntermedáras. Os efetos Compton e fotoelétrco são dependentes da energa. Isto sgnfca que a probabldade de um fóton se perder de seu fexe orgnal, devdo à absorção ou espalhamento, é uma função da energa deste fóton. Porém, a absorção fotoelétrca é mas dependente da energa do que o espalhamento do efeto Compton.

15 2. Tomografa Computadorzada RECONSTRUÇÃO DE IMAGENS A reconstrução é o últmo passo e resulta na prncpal fnaldade da tomografa que é a geração da magem que esperamos observar. Há dversos métodos e cada técnca de mageamento se basea em dferentes teoras. Aqu descreveremos brevemente os métodos de reconstrução chamados genercamente de métodos da transformada, váldos para os fenômenos onde as proeções podem ser descrtas pela ntegral de lnha, que representa a ntegral de algum parâmetro do obeto ao longo de uma lnha. Como descreve KAK e SLANEY (988), um exemplo de processo que gera esta stuação é a atenuação de raos-x. Neste caso o obeto é modelado como uma dstrbução bdmensonal (ou trdmensonal) da constante de atenuação do rao-x e uma ntegral de lnha representa a atenuação total sofrda pelo fexe de rao-x enquanto vaa em lnha reta através do obeto. Tas métodos são soluções analítcas para a obtenção da nversa da transformada de Radon (PARKER, 990). Toda a formulação teórca envolve funções contínuas, mas é realzada dscretzação para a mplementação dgtal. Sea f ( x, y) uma função representando uma seção transversal de um corpo em estudo, o problema consste na recuperação da nformação contda em f ( x, y) através de proeções desta função em dferentes ângulos APLICAÇÃO DIRETA DA TRANSFORMADA DE FOURIER O método apresentado é conhecdo como Aplcação Dreta da Transformada de Fourer. Para sto, utlzaremos a teora descrta por KAK e SLANEY (988) e aplcada na reconstrução de magens em CRUVINEL et. al. (990). A teora, apesar de ser apresentada formalmente através de funções contínuas, é dscreta na aplcação real, sendo possível utlzar a Transformada Rápda de Fourer (conhecda como FFT) ao nvés da Transformada de Fourer. Para ncar, utlza-se a transformada de Radon da função f ( x, y) : g ( t θ ) f ( x, y) δ ( x cosθ + y senθ t), = dxdy (2.) onde δ (). é a função delta de Drac, como lustrado na Fgura 2., onde, para um θ fxo, a Equação 2. é a ntegral de lnha sobre a reta L a qual está a uma dstânca t da orgem. Esta ntegral é denomnada rao soma ou rao proeção. O conunto completo de raos soma para cada ângulo θ recebe a denomnação de proeção.

16 2. Tomografa Computadorzada 7 Tomando-se a transformada de Fourer (TF) undmensonal de uma proeção, nota-se que é gual a uma fata da TF bdmensonal do obeto orgnal. Esta conclusão permte, através dos dados da proeção, estmar o obeto realzando uma transformada de Fourer nversa (TFI) bdmensonal. FIGURA 2. Modelo usado na reconstrução da magem f(x,y) Sendo I ( ) a Transformada de Fourer de x, a transformada undmensonal de x g ( t,θ ) na prmera varável é dada pela equação (2.4): ( ρ θ ) I { g( t, θ )} = g( t θ ) + 2πρt =, e dt G, (2.2) G + f x y 2πpt (, ) δ ( x cosθ + y senθ t e dt dxdy (2.3) + + = ) + G = f ( x, y) e + 2πp( x cosθ + y senθ ) dxdy (2.4) Pela defnção da TF: (, ) F( u, v) G ρθ = (2.5) onde u = ρ cosθ e u = ρ cosθ A magem reconstruída pode ser obtda por: f + ( ux+ vy) ( x y) F( u, v) e 2π +, = dudv (2.6)

17 2. Tomografa Computadorzada RETROPROJEÇÃO FILTRADA Este método consste em fltrar as proeções de cada ângulo através da convolução no domíno do espaço e realzar em seguda a retroproeção que é equvalente a encontrar as reconstruções elementares correspondentes a cada proeção fltrada menconada acma. Substtundo-se a equação (2.5) em (2.6) e realzando mudança de varáves, temos: f ( x y) F( ρ cosθ, ρ senθ ) = π + 2πρt e 0, ρ dρdθ (2.7) onde t = x cosθ + y senθ Pode ser anda mostrado por: π + (, ) (, ) 2πρt f x y = G ρθ ρ e dρ dθ 0 (2.8) E fnalmente por: [ ] π (, ) = (, ) I { } f x y g t θ ρ dθ 0 (2.9) observando que a TF da função rampa não exste, por ser um problema não ntegrável, e deste modo usa-se na prátca outros fltros como o Ram-La. A Equação 2.9 representa o método da Convolução-Retroproeção que fltra os dados de cada ângulo das proeções no domíno do espaço e realza a retroproeção A Equação 2.8 pode ser usada dretamente e é conhecda como Retroproeção Fltrada, método usado para a reconstrução das magens deste trabalho. 2.3 IMAGENS MULTIESPECTRAIS DE TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA Para que tenhamos uma magem dgtal, é necessáro adqur-la por um sstema de mageamento que mede, através de seus sensores, a luz ncdente. A resposta de um sensor depende não só da quantdade de luz ncdente, mas também da freqüênca da mesma. Um sensor é então caracterzado por sua curva de resposta espectral, a qual dá a ntensdade da resposta do sensor para cada freqüênca. Portanto, uma magem multespectral representa uma

18 2. Tomografa Computadorzada 9 coleção de magens de uma mesma cena, em um mesmo nstante, obtda por sensores com respostas espectras dferentes. Cada magem que compõe uma magem multespectral é nserda em um canal ou banda. As magens que são obtdas por apenas um sensor são dtas magens monocromátcas, ou smplesmente magens. Uma magem pode ser defnda como uma função bdmensonal na forma f ( x, y). O valor (ou ampltude) de f em coordenadas espacas ( x, y) é um número escalar postvo cuo sentdo físco é determnado pela orgem da magem. Quando uma magem é gerada por um processo físco, seus valores são proporconas à energa rradada de uma fonte físca neste caso raos-x e raos-γ. As magens são formadas, portanto, por transmssão de energa através do obeto onde teríamos uma função coefcente de atenuação lnear no ponto ( x, y). Consdere um obeto, uma fonte emssora de radação e um detector. Sea I 0 o número de fótons emtdos pela fonte e que ncdem sobre o obeto. Anda, sea I o número de fótons que atravessam o obeto em estudo atngndo o detector em um ntervalo de tempo t. A relação entre I e I 0 é dada por: I I 0 = e rao µ ( x, y) ds (2.0) onde µ ( x, y) é a função coefcente de atenuação lnear no ponto ( x, y).

19 3. Classfcação Classfcação de magens é o tema prncpal desta pesqusa, que vsa estudar dversas abordagens explorando-as em uma aplcação de análse de materas em magens de tomografa computadorzada, cuas característcas foram expostas no capítulo 2. Este capítulo ntroduz e descreve a teora dos métodos utlzados nos expermentos, escolhdas por possuírem bases teórcas dferentes e, por conseqüênca, gerarem resultados bem dferentes uns dos outros, de forma que forneçam nformações complementares uma às outras e possam ser exploradas pelos combnadores descrtos no capítulo RECONHECIMENTO DE PADRÕES Reconhecmento de padrões o ato de, tendo nformações desconhecdas, tomar uma decsão baseada na categora (ou classe) de um padrão tem sdo crucal para nossa sobrevvênca, e através dos dez últmos mlhões de anos, desenvolvemos sstemas neuras e cogntvos altamente sofstcados para estas tarefas. (DUDA et. al., 2000) A déa de capactar uma máquna para classfcar padrões está sendo desenvolvda desde meados do século XX e mutas aplcações surgram para ncentvar as pesqusas: reconhecmento de fala, reconhecmento de caracteres, dentfcação de mpressões dgtas, análse de terrenos em magens de satélte, entre outras. Dversas áreas tratam destes problemas e algumas delas são Reconhecmento de Padrões, Aprendzado de Máquna e Vsão Computaconal. O obetvo prncpal de reconhecmento de padrões é classfcar obetos de nteresse em uma categora ou classe dentre um número fnto de categoras ou classes. Os obetos de nteresse são chamados, genercamente, de padrões. Para realzar a classfcação é necessáro encontrar meddas e característcas nerentes a cada classe que possam ser usadas para dferencar um obeto do outro. A estas característcas chamamos atrbutos. Para cada aplcação dversas característcas podem ser utlzadas, a depender do número de nformação que temos. Por exemplo, no caso de uma aplcação de reconhecmento facal, poderíamos utlzar como atrbutos: posção dos olhos,

20 3. Classfcação boca e narz; formato da face; dstânca entre os olhos; etc. O mportante é utlzar atrbutos que possam dferencar o melhor possível os dferentes obetos em estudo. Após a escolha dos atrbutos, é precso escolher o modelo para a classfcação, que pode ser dvdda em dos tpos: supervsonada e não supervsonada. Neste trabalho utlzamos apenas classfcação supervsonada, que consste em utlzar amostras conhecdas de cada classe para encontrar um classfcador de forma que ele possa ser utlzado posterormente para rotular obetos desconhecdos. O processo de geração do classfcador através de amostras conhecdas é chamado trenamento e o conunto destas amostras é chamado conunto de trenamento. A classfcação então pode ser realzada, e pode ser entendda, de manera geral, pela partção do espaço de atrbutos em um número fnto de regões de tal forma que obetos de uma mesma classe recaam, pelo menos em tese, sempre dentro de uma mesma regão. Tendo os dados rotulados é precso então testar a efcênca da classfcação, o que pode ser feto através de testes em amostras cuas classes são conhecdas. Este conunto de amostras é chamado de conunto de testes. Uma forma de analsar a performance do reconhecmento é a matrz de confusão (ou matrz de erros), técnca utlzada geralmente em aplcações de sensoramento remoto que representa as amostras pertencentes em cada classe e as classes para as quas foram atrbuídas (CONGALTON; GREEN, 999). Este é o resumo de uma tarefa de reconhecmento de padrões, mas há anda dversas outras etapas que podem ou não fazer parte do processo como: pré-processamento, extração de atrbutos, seleção de atrbutos, entre outros. Na lteratura há lvros excelentes que tratam de dversos detalhes e apresentam bases teórcas para o reconhecmento de padrões, entre os quas podemos destacar: (DUDA et. al., 2000), (FUKUNAGA, 990), (DEVJVER; KITTLER, 982) e (DUDA; HART, 973). Outra fonte nteressante é o artgo recente de JAIN et. al. (2000), que faz revsão da área de reconhecmento estatístco de padrões, revelando as recentes pesqusas e desafos da área. 3.2 CLASSIFICADORES Como apresentado anterormente, é precso defnr os modelos de classfcação a serem utlzados. Cada modelo é baseado em uma teora dferente e neste trabalho utlzamos apenas classfcadores baseados em teoras estatístcas. Serão apresentados dos classfcadores

21 3. Classfcação 2 baseados em funções dscrmnantes: Bayesano lnear e logístco, e dos classfcadores nãoparamétrcos baseados em estmação de densdade: Parzen e vznhos mas próxmos CLASSIFICADOR BAYESIANO LINEAR A representação deste classfcador é dada pela forma de funções dscrmnantes, ele basea-se na Teora de Decsão Bayesana sob densdade normal, e assume matrzes de covarânca guas para todas as classes. Os detalhes teórcos estão bem fundamentados na lteratura (DUDA; HART, 973). Entre as mas conhecdas maneras de se representar um classfcador de padrões é em termos de um conunto de funções dscrmnantes g ( x ), =,..., c, para c classes. O processo de classfcação é realzado pela geração de funções dscrmnantes para cada vetor de atrbutos x observado. Este vetor é atrbuído à classe dscrmnante. ω que forneça a máxma função Utlza-se a probabldade a posteror de, dado x, a classe correta ser ω, ou sea P( ω x). Desta forma, estabelecendo-se g ( x) = P( ω x), a máxma função dscrmnante corresponderá à máxma probabldade a posteror. A escolha da função dscrmnante não é únca. Em tratando-se de obter-se o mínmo erro, qualquer das escolhas abaxo geram resultados dêntcos, por terem o denomnador comum (DUDA et. al., 2000): p( x ω ) P( ω ) g ( x ) = P( ω x) = c p( x ω ) P( ω ) = (3.) g x ) = p( x ω ) P( ω ) (3.2) ( g x ) = ln p( x ω ) + ln P( ω ) (3.3) ( onde ln corresponde ao logartmo natural. Assm como funções dscrmnantes podem ser reescrtas em uma varedade de formas, as regras de decsão também podem. O obetvo das regras de decsão é dvdr o espaço de atrbutos em c regões de decsão, R,...,Rc. Se g ( x) > g ( x) para todo,

22 3. Classfcação 3 então x está em lmtes de decsão. R, e a decsão será atrbur x à classe ω. As regões são separadas por A estrutura de um classfcador bayesano é determnada pelas densdades condconas e probabldades a pror. É convenente utlzar-se da função de densdade multvarada normal (ou Gaussana). Isto porque o tratamento matemátco é smples, pos pode ser determnada completamente através da méda e da varânca, possundo propredades de nteresse para problemas de classfcação. A densdade normal multvarada em d dmensões é dada por: p( x) = d / 2 (2π ) Σ / 2 t exp ( x µ ) Σ ( x µ ) 2 (3.4) onde x é um vetor de d componentes, µ é o vetor méda de d componentes, Σ é a matrz de covarânca (de tamanho d x d), onde os componentes da dagonal prncpal varâncas de x e os elementos fora da dagonal σ são as covarâncas de x e elementos Σ e σ são as x. Os Σ são, respectvamente, determnante e nversa da matrz de covarânca. O t termo ( x µ ) Σ ( x µ ) é chamado de dstânca quadrátca de Mahalanobs entre x e µ. Para smplfcar, podemos abrevar a equação 3.4 para p( x ) N( µ, Σ), caracterzando a densdade normal. Formalmente temos: µ Ε[ x] = xp ( x) dx (3.5) e t Σ Ε[( x µ )( x µ ) ] (3.6) onde os valores esperados do vetor e da matrz podem ser obtdos calculando-se os valores t esperados de seus componentes, ou sea, µ = Ε x ] e σ = Ε[( x µ )( x ) ] [ µ Como observado, podemos ter uma classfcação que oferece o mínmo erro utlzando funções dscrmnantes na forma da equação 3.3. A expressão da equação 3.3 pode ser avalada consderando que as densdades são normas multvaradas, ou sea, p( x ω ) N( µ ι, Σ ). Neste caso, da equação 3.4, teremos:

23 3. Classfcação 4 t d g ( x ) = ( x µ ) Σ ( x µ ) ln 2π ln Σ + ln P( ω ) (3.7) Se assumrmos que as classes possuem matrzes de covarânca guas, mas arbtráras, teremos uma stuação geométrca na qual as amostras carão em clusters hperelpsodas de gual tamanho e formato, e o cluster para a -ésma classe estará centrado sobre o vetor méda µ. Sendo os termos Σ e (d 2)ln 2π ndependentes de na equação 3.4, e assumndo ι probabldade a pror gual para todas as classes, os termos podem ser gnorados, resultando em: t g ( x) = ( x µ ) Σ ( x µ ) (3.8) 2 Isto sgnfca que a decsão ótma pode ser obtda através da dstânca de Mahalanobs entre x e os c vetores méda, atrbundo x à categora mas próxma em dstânca. Este classfcador resulta em uma dscrmnante lnear. Assume-se probabldades a pror gual para todas as classes quando não há qualquer nformação a pror, pos qualquer conhecmento prévo pode alterar fortemente o resultado, gerando melhores performances CLASSIFICADOR LOGÍSTICO Desenvolvdo por ANDERSON (982), modela as probabldades a posteror das c classes através de funções lneares em x, assegurando ao mesmo tempo de que somem e permaneçam no ntervalo [0,]. Este ntervalo é garantdo através da especfcação do modelo em termos de c- log-probabldades como demonstrado por HASTIE et. al. (200). A classfcação é feta através de um conunto de valores formados de transformações lneares de varáves. Estas transformações lneares podem ser determnadas por um procedmento de máxma-verossmlhança. De acordo com WEBB (999) esta é uma técnca ntermedára entre as funções dscrmnantes lneares e métodos não-lneares, como Parzen wndows e vznhos mas próxmos. A suposção básca para este classfcador é que a razão log-verossmlhança é lnear para qualquer par de probabldades: p( x ω ) log = p x β ( ω c ) 0 τ + β x, =,..., c (3.9) ι

24 3. Classfcação 5 As probabldades a posteror para este caso são modeladas por funções logístcas: exp( β + β x) p ω, =,..., c (3.0) t + β x) t 0 ( x) = C + exp( β = 0 ( c x) = C + t exp( β + = 0 ) β x p ω (3.) onde β = β + log( p( ω ) p( ω )). 0 0 c classe ω se: A regra de decsão depende uncamente das funções lneares β 0 + β t x, atrbundo x à t t { + β x} = β + β x 0 max β 0 0 > =,..., c (3.2) senão atrbu x à classe ω c. As transformações lneares são usualmente obtdas por máxma-verossmlhança. A verossmlhança das observações é dada por: L = c n s s= r= p( x ω ) (3.3) sr s onde x sr é a observação r da classe s e n s é o número de observações para a classe s. Maxmzar L é equvalente a maxmzar: log( L ) = c n = r= log( p( ω x )) (3.4) r o gradente de log(l ) relatvo aos parâmetros é: log( L ) β 0 = n p( ω x) x (3.5) log( L ) ( β ) l n = ( x r ) l r= x p( ω x) x l (3.6)

25 3. Classfcação 6 Para classes separáves, a máxma verossmlhança é conseguda em um ponto no nfnto no espaço de parâmetros, mas o algortmo termna quando a separação completa ocorre (WEBB, 999) CLASSIFICADOR PARZEN Parzen-wndow é uma técnca não-paramétrca conhecda orgnalmente para estmação de densdade e parte da déa que, para estmar a densdade em x, forma-se uma seqüênca de regões R,... que contêm x - a prmera regão a ser usada com uma, R 2 amostra, a segunda com duas amostras, e assm por dante. Sea V n o volume de R n, n o número das amostras que caem em R, e p (x) a n-ésma estmatva para p (x), teremos: n n p = n n n (x) (3.7) Vn A abordagem Parzen-wndow de estmação pode ser ntroduzda supondo que uma regão R é um hpercubo d-dmensonal cuos lados tem tamanho h e volume dado por d V n = h n. Podemos obter uma expressão analítca para n o número de amostras que caem no hpercubo defnndo a segunte função anela: ϕ (u) = 0 u / 2, =,..., d (3.8) caso contráro Esta função defne um hpercubo centrado na orgem. A função ϕ(( x x ) / hn ) é gual a se o ponto x ca dentro de um hpercubo de volume V n centrado em x, e gual a 0 caso contráro. O número de amostras no hpercubo é dado por: n = n = x x ϕ (3.9) hn Ao substturmos esta na equação 3.7 obteremos a estmação: n x x p = n ( x) ϕ (3.20) n = Vn hn

26 3. Classfcação 7 Podemos tratar esta estmação de densdade como consstndo da superposção de N cubos de tamanho h, com cada cubo centrado em uma das amostras. Em geral, se a função satsfaz ( u) 0 ϕ e ϕ ( u) d( u) =, e mantver-se a relação (3.20) também rá satsfazer as condções necessáras. função δ (x) d V n = h n, então a estmação em Examnando o efeto que o tamanho da anela h n exerce sobre p n (x), e defnndo a n podemos reescrever p (x) como a méda: n x δ = n ( x) ϕ (3.2) Vn hn n pn ( x) = δ n ( x x ) (3.22) n = d sendo V n = h n, é possível ver claramente que h n afeta a ampltude e o tamanho de δ n (x), e sua escolha exerce um efeto crucal na estmação. O classfcador baseado no método de Parzen-wndow (FUKUNAGA, HAYES, 989) estma as densdades para cada categora e classfca um ponto de teste pelo obeto que corresponde à máxma a posteror. As regões da decsão para este classfcador dependem naturalmente da escolha da função anela (também chamada de ernel), como vsto anterormente. O ernel Gaussano é uma escolha aproprada devdo à ndependênca estatístca do modelo, entre outras característcas (DUDA et. al., 2000), como vsto na seção Segundo DUDA et. al. (2000) quando há amostras sufcentes, é assegurada a convergênca de uma densdade complexa. Entretanto, o número das amostras necessáras pode ser muto grande, muto maor do que sera requerdo se fosse conhecda a forma da densdade desconhecda. Há pouca ou nenhuma redução de dados o que conduz a um alto custo computaconal para o armazenamento e trenamento. Além dsso, a demanda para um

27 3. Classfcação 8 grande número amostras cresce exponencalmente com a dmensonaldade do espaço de atrbutos, restrngndo a aplcação prátca CLASSIFICADOR -VIZINHOS MAIS PRÓXIMOS O classfcador -vznhos mas próxmos fo desenvolvdo a partr das técncas de vznhos mas próxmos até ser estabelecdo por PATRICK e FISCHER (970) um classfcador generalzado para múltplas classes. Assm como o Parzen, é uma técnca não paramétrca que se basea em uma teora de estmação de densdade, da qual se extra dretamente um classfcador. Segundo HASTIE et. al. (200), este classfcador geralmente obtém sucesso quando a superfíce de decsão deal é rregular. Sua precsão depende anda da quantdade de amostras. É possível encontrar um classfcador baseado dretamente na técnca dos vznhos mas próxmos por uma modfcação demostrada em BISHOP (995). Voltando à equação (3.7) como ponto de partda, vamos agora fxar n e varar o volume V n. Consdere uma pequena hperesfera centrada em um ponto x, de forma que sea possível aumentar o rao desta hperesfera até que ela contenha precsamente n amostras. Estas n amostras são os n vznhos mas próxmos de x. Se a densdade é alta na regão próxma a x, então as células serão pequenas, se a densdade é baxa então a célula aumenta até entrar em uma regão de alta densdade. Neste caso age como o parâmetro de suavzação e assm como o h no caso da densdade estmada por Parzen wndows, há um valor ótmo para a escolha de. (DUDA, et al., 2000) Suponha que um conunto de amostras contenha n pontos na classe ω e n pontos no total, ou sea, n = n. É desenhada uma hperesfera em volta de x, a qual crcunda pontos (ndependente da classe a qual pertencem). Se esta esfera de volume V contém pontos da classe ω, podemos usar (3.7) para obter aproxmações para a densdade condconal na forma: p( x ω ) = (3.23) n V A densdade ncondconal pode ser smlarmente estmada por: Este fenônemo é conhecdo como curse of dmensonalty e possu dversos aspectos extensamente estudados na lteratura, apresentados com mas detalhes em JAIN et. al. (2000).

28 3. Classfcação 9 A probabldades a pror podem ser estmadas por: p (x) = (3.24) nv n P(ω ) = (3.25) n Então, para mnmzar a probabldade de erro de classfcação de um novo vetor x, o atrbuímos à classe mas votada entre os n pontos de menor dstânca ao ponto x. Este procedmento é conhecdo como a regra de classfcação dos vznhos mas próxmos. No caso de = temos o caso partcular denomnado regra do vznho mas próxmo, que smplesmente atrbu x à classe do ponto mas próxmo no espaço de atrbutos. 3.3 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS PARA AS TÉCNICAS DE CLASSIFICAÇÃO PARZEN E -VIZINHOS MAIS PRÓXIMOS Os classfcadores não-paramétrcos ctados anterormente, Parzen e vznhos mas próxmos (seções e 3.2.4), necesstam da escolha de um valor ncal que defne substancalmente o desempenho da classfcação. No caso do classfcador Parzen é necessáro escolher o tamanho do ernel (h n ) e no vznhos mas próxmos faz-se necessáro defnr a quantdade de vznhos (). Para que sea possível obter uma boa performance sem escolher estas meddas por tentatva e erro, FUKUNAGA e HUMMELS (989) desenvolveram um método que possblta estmar estes parâmetros através de um procedmento de estmação de erro por valdação cruzada para cada amostra. O trabalho de Fuunaga e Hummels vsou obter uma versão da estmação de erro por valdação cruzada para técncas não paramétrcas, mas especfcamente para Parzen e - vznhos mas próxmos e afrmava que a estmação dos parâmetros (ernel e quantdade de vznhos) feta usando os mesmos dados usados para o trenamento do classfcador pode gerar estmações de erro com vés alto, muto otmstas. Por sto apresentam uma forma de utlzar valdação cruzada leave-one-out para estmar o erro com dferentes tamanhos de ernel e -amostras. Desta déa, utlzamos métodos de leave-one-out para testar as dversas escolhas possíves de h n e, utlzando os parâmetros que obtveram o menor erro global.

29 3. Classfcação AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO DOS CLASSIFICADORES A avalação do desempenho dos classfcadores é um passo mportante em um sstema de reconhecmento de padrões. Através de métodos de medção do erro obtemos números que ndcam quas foram as performances obtdas pelos classfcadores que utlzamos. Entre os dversos métodos de estmar o erro, remos apresentar a valdação cruzada e o coefcente Kappa VALIDAÇÃO CRUZADA Quando um classfcador é utlzado, geralmente, espera-se que a utlzação de maor número dados em seu trenamento melhore sua exatdão, e que usando mas dados em seu teste a estmação de sua taxa de erro será também mas precsa. No entanto, há um lmte prátco para o tamanho do conunto de dados dsponível. O tamanho lmtado de dados dsponíves e a necessdade de dvd-lo em conuntos de teste e trenamento, são fatores que podem lmtar a performance das fases de trenamento e teste da classfcação de padrões. Uma técnca utlzada para pequenos conuntos de dados, que funcona de forma a vencer esta dfculdade, é a valdação cruzada (cross-valdaton), formalzada por STONE (974). Neste procedmento, ao nvés de utlzar uma parte dos dados para trenamento e outra para teste, são utlzados todas as n amostras de um conunto de dados para trenamento. Para estmar o erro são realzados n expermentos. Em cada um deles amostra do conunto de dados é retrada e o classfcador é trenado utlzando as n amostras restantes. A amostra que fo retda é então testada. Este procedmento é repetdo dexando de fora uma amostra dferente a cada teração, até que se tenham n dferentes classfcações cada qual usando n amostras (Fgura 3.2). A taxa de erro da classfcação fnal é dada por: E = n n = e( ) (3.26) onde e() é uma função do erro em cada teração, gual a 0 para classfcações corretas e para erros. Desta forma o trenamento aprovetará todo o conunto de amostras e a estmação da taxa de erro será tão exata quanto possível, pos todos as amostras foram utlzadas para o teste. Apesar das vantagens apresentadas, este procedmento possu alto custo computaconal.

30 3. Classfcação 2 FIGURA 3.2 Esquema de estmação de erro utlzando leave-one-out cross-valdaton COEFICIENTE KAPPA Através de uma matrz de confusão (ou matrz de erros), onde é possível vsualzar a taxa de erro comparando com cada classe, coefcentes de concordânca podem ser calculados para avalar o desempenho dos classfcadores. Estes coefcentes são sensíves não só à perda do desempenho global, mas também às varações de abstenção 2 (não utlzada neste trabalho) e confusão 3 médas, o que torna nteressante utlzá-los. O coefcente Kappa fo desenvolvdo por Cohen, ctado por CONGALTON (99) e é bastante utlzado em aplcações de sensoramento remoto, apresentando-se muto nteressante para medr o desempenho em sstemas de reconhecmento de padrões. Este método determna a concordânca esperada a posteror, ou sea, dadas amostras prevamente rotuladas pela amostragem, qual a concordânca destes rótulos com os gerados pelo classfcador. A concordânca esperada somente poderá ser determnada após a construção de uma matrz de confusão, e esta por sua vez é obtda após a verfcação dos resultados obtdos na classfcação dgtal. Os valores que caem na dagonal prncpal da matrz de confusão correspondem aos acertos, e fora da dagonal prncpal é possível analsar a confusão entre as classes. A fórmula para obter o coefcente é dada por: K P P P O C = (3.27) C ou 2 Amostras não classfcadas ou reetadas pelo classfcador por dferrem muto do restante das amostras. A utlzação de abstenção/reeção é opconal. 3 Amostras de uma determnada classe que são classfcadas como sendo de outra classe.

31 3. Classfcação 22 K N M X X = = + + = 2 M N = + X + M X X (3.28) onde M P O = X = (3.29) é a concordânca observada e: P C = M = ( X X ) (3.30) + + I é a concordânca esperada, sendo que X + é a soma dos elementos da lnha e X + a soma dos elementos da coluna, realzando uma concordânca entre os elementos pertencentes a uma classe e a quas classes cada um deles fo atrbuído. N é o total de observações e M o total de classes. O coefcente Kappa pode apresentar valores entre - e +. A nterpretação dos coefcentes de concordânca é subetva. CONGALTON (99) apresenta uma sugestão de nterpretação (Tabela 3.) que é utlzada normalmente. No entanto, cada aplcação requer um nível dferente de acerto, o que modfca a nterpretação. TABELA 3. Interpretação para resultados do coefcentes Kappa. Resultado Interpretação do desempenho do classfcador K 0 Péssmo 0 < K 0,2 Mau 0,2 < K 0,4 Razoável 0,4 < K 0,6 Bom 0,6 < K 0,8 Muto Bom 0,8 < K,0 Excelente

32 4. Combnação de Múltplos Classfcadores Uma das propredades mas mportantes de um classfcador está naturalmente em sua capacdade de resposta ao tentar reconhecer novos padrões, ou sea, sua capacdade de generalzação. Mutas vezes são mplementados város e dferentes classfcadores, cada um deles possundo dferentes lmares de decsão e generalzando de modo dferencado, e são escolhdos então os classfcadores que se apresentam mas efcazes (frente a um conunto de testes), para realzar a tarefa de futuras classfcações. Contudo, como fo descrto por város autores, essa estratéga pode desperdçar nformações ao gnorar classfcadores (por menos efcazes que seam). Para utlzar plenamente a nformação de todo um grupo de classfcadores, a saída de cada classfcador pode ser combnada com as restantes, permtndo uma decsão fnal que em grande parte dos casos melhora as capacdades de generalzação e a establdade da classfcação. 4. CARACTERÍSTICAS Combnar múltplos classfcadores para resolver um problema de reconhecmento de padrões é um procedmento convenente em casos partculares. Alguns deles são apresentados por JAIN et. al. (2000):. Acesso a dferentes classfcadores, cada um deles desenvolvdos em um dferente contexto e utlzando dferentes representações/descrções de um mesmo problema como, por exemplo, a dentfcação de pessoas pela voz, face e mpressão dgtal, 2. Dsponbldade de mas de um conunto de trenamento, coletados em tempo ou ambentes dferentes. Estes conuntos podem usar anda dferentes atrbutos. 3. Dferentes classfcadores trenados em um mesmo conunto de dados que podem não apenas ter performances dferentes, mas apresentar dferenças locas, de forma que cada classfcador tenha uma regão no espaço de atrbutos para a qual seu desempenho é o melhor,

33 4. Combnação de Múltplos Classfcadores No caso de redes neuras, é possível ter redes com dferentes ncalzações. Ao nvés de utlzar apenas uma e descartar as outras, a combnação podera utlzar as vantagens de cada uma delas. Estes casos sugerem o uso de combnadores devdo à dsponbldade de classfcadores ou dados. No entanto, para mutas aplcações a escolha de um classfcador que possua um bom desempenho é sufcente para resolver o problema. Quando há problemas complexos a serem resolvdos, envolvendo um grande conunto de classes, conuntos de atrbutos com dmensonaldades e característcas dferentes ou anda dados rudosos, a escolha de um únco classfcador pode se tornar dfícl, pos provavelmente lmtara a capacdade de reconhecmento do sstema. Exemplos de aplcações complexas, e para as quas á foram exploradas técncas de combnação de classfcadores são: reconhecmento de caracteres manuscrtos (XU et. al., 992) e reconhecmento de pessoas (KITTLER et. al., 998). Nestes casos e outros casos complexos, combnar classfcadores pode ser nteressante: Freqüentemente um classfcador combnado dá resultados melhores do que classfcadores ndvduas, por combnar com o uso de alguma técnca as decsões ndependentes de cada classfcador e, por conseqüênca, as vantagens dos classfcadores ndvduas na solução fnal, resultando em consderável melhora no acerto geral. (DUIN; TAX, 2000) Um grande número de esquemas de combnação fo proposto na lteratura, nclundo métodos de ranng, Borda count e regressão logístca (HO et. al., 994), teora da ncerteza de Dempster-Shafer (XU et. al., 992), baggng (BREIMAN, 996) e regras fxas (KITTLER et. al., 998). Cada modelo realza suas suposções sobre os atrbutos, os classfcadores e faz exgênca de determnadas nformações. Segundo XU et. al. (992), cada classfcador oferece um nível dferente de nformação como saída, e que será usada pelo combnador. São os níves:. Abstrato: o classfcador r apenas ndca um rótulo, que é a classe escolhda para o padrão; 2. Ranng: r faz um ranng com todas as classes, colocando em uma lsta na qual a classe do topo é a prmera escolha. 3. Medda (confança): r atrbu uma medda a cada classe, que é o grau de confança de x pertencer a cada classe.

34 4. Combnação de Múltplos Classfcadores 25 O nível 3 (medda) é o que oferece nformação mas relevante e o nível (abstrato) menos nformação sobre a decsão a ser tomada. Iremos tratar problemas referentes ao nível 3 pos todos os classfcadores aqu abordados fornecem este nível de nformação. A combnação de classfcadores é especalmente útl se os classfcadores ndvduas são teorcamente ndependentes em suas representações (JAIN et. al., 2000), ou sea, se possuem atrbutos dferentes, como num caso do reconhecmento de uma pessoa, os atrbutos: voz, face e mpressão dgtal. Apesar de mutas aplcações possuírem esta característca, esta condção de ndependênca pode ser garantda pelo uso de atrbutos dferentes, uso de conuntos de trenamento dferentes, pela dferença entre os classfcadores ndvduas ou pode ser crado artfcalmente através de técncas como baggng (BREIMAN, 996), boostng (SCHAPIRE, 990) e stacng (WOLPERT, 992). Uma das mas usadas é o stacng que nsere pesos nos vetores de atrbutos dependendo da localzação do obeto, de forma a emplhar os dferentes métodos de trenamento e melhorar a performance da classfcação quando combnados. Na Fgura 4. pode-se verfcar o funconamento de um sstema de múltplos classfcadores aplcado a magens. Um conunto de classfcadores é aplcado a uma magem de entrada. Cada um deles produz uma classfcação de um conunto de classes. Um subconunto de classes é escolhdo (entre as melhores classfcadas), por lmares de decsão contdos em cada classfcador. A unão destes subconuntos passa pelo combnador, que produz a classfcação fnal dos padrões. 4.2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS Apesar de uma área recente, exstem dversos trabalhos sendo publcados. Em lvro recente, KUNCHEVA (2004) classfca a área de combnação de classfcadores como uma bagunça e admte que não há consensos e embasamento aproprado que regule a maora destas técncas. Desta forma, neste trabalho fo realzado o estudo dos métodos de combnação de forma a utlzar a mesma base teórca para todas as regras de combnação, como será apresentado. Fundamentando de manera geral a teora dos sstemas de combnação de classfcadores por regra fxa, consdere um problema onde um obeto y tem de ser atrbuído a uma das c classes possíves. Temos R classfcadores, cada qual representando o padrão atual

35 4. Combnação de Múltplos Classfcadores 26 por um vetor de atrbutos dstntos. Vamos supor que o vetor de atrbutos usado pelo ésmo classfcador é x. No espaço de atrbutos, cada classe ω, =,...,c é modelada pela função de densdade de probabldade p x ω ) e a probabldade a pror de sua ocorrênca é denotada por P( ω ). ( FIGURA 4. Dagrama de um sstema de combnação de classfcadores De acordo com a teora Bayesana, dados os vetores de característcas para cada representação dos R classfcadores: x, =,...,R o padrão y tem de ser atrbuído à classe que provê o máxmo da probabldade a posteror. Ou sea: ω atrbur y ω se P( ω x,..., x R ) = max P( ω x,..., x R ) (4.) A regra de decsão Bayesana (4.) ndca que, a fm de utlzar corretamente toda a nformação dsponível para alcançar uma decsão, é essencal computar as probabldades das

36 4. Combnação de Múltplos Classfcadores 27 váras hpóteses consderando todas as meddas smultaneamente. Esta exgênca é naturalmente correta para o problema de classfcação, mas pode ser mpratcável. A computação das probabldades a posteror depende do conhecmento de meddas estatístcas de ordem elevada descrta em termos de funções densdade de probabldade conuntas p( x,..., x R ω ), as quas seram dfíces de nferr. De forma a smplfcar a regra acma, remos expressá-la em termos das decsões executadas pelos classfcadores ndvduas, cada um explorando somente a nformação dada pelo seu vetor x. Desta forma buscaremos, através de regras de combnação smples, uma regra de decsão de fácl tratamento computaconal. Bayes temos: Descrevendo a probabldade a posteror P ω x,..., x ) usando o teorema de ( R P( ω p( x,..., x ω ) P( ω ) R x,..., x R ) = c (4.2) = p( x R P,..., x ω ) ( ω ) onde o denomnador representa p x,..., x ), a densdade de probabldade conunta ncondconal. ( R Consdere as probabldades a posteror determnadas por cada classfcador como p (x), =,..., R, lmtadas entre 0 e e calculadas para cada obeto x para as classes, =,...,c. Estes números são calculados de forma que: c p ( x ) =, =,..., R (4.3) A confança q (x) para a classe é dada por: q ( x) = regra( p ( x)) q ( x ) = q ( x) q ( x) (4.4) Dversas regras podem ser usadas na Equação 4.4, e elas serão abordadas nos próxmos tens. A classfcação fnal é dada pela segunte equação: ω ( x) = arg max ( q ( x)) (4.5)

37 4. Combnação de Múltplos Classfcadores 28 As teoras de combnação de classfcadores fazem mutas suposções acerca dos dados a serem classfcados e dos erros produzdos pelos classfcadores ndvduas. Isto se torna nevtável para que as equações seam aproxmadas e tenham embasamento teórco correto. Nos próxmos tens, examnaremos com mas detalhe cada uma das regras a partr das regras do produto e da soma, que consttuem os esquemas báscos de combnação dos quas podem ser dervados dversos outros. As mplcações de suas suposções serão dscutdas no Capítulo REGRA DO PRODUTO Para fundamentar teorcamente esta regra, assummos que as representações dos dados usadas por cada classfcador possuem erros estatstcamente ndependentes, ou sea, cometem erros dferentes na classfcação (o uso de classfcadores com característcas bem dferentes ou representações dferentes para os vetores de atrbutos pode garantr sto em mutos casos). Podemos defnr a regra do produto a partr de: R,..., x R ω ) = p( x ) = p( x ω (4.6) onde p x ω ) é o modelo para a -ésma representação. Substtundo (4.6) em (4.2): ( = c R = ) P( ω ) p( x ω ) P( ω x,..., x R ) R (4.7) P( ω p( x ω ) e aplcando (4.7) em (4.), em termos das probabldades a posteror obtdas pelos classfcadores ndvduas, teremos: R = atrbur = y ω se c = R P( ω ) P( ω x ) = max P( ω ) P( ω x ) = (4.8) A regra acma quantfca a probabldade de uma hpótese combnando as probabldades a posteror geradas por cada classfcador por meo de uma regra do produto. Segundo KITTLER et. al (998) e DUIN e TAX (2000), esta regra é severa pos depende da ndependênca dos atrbutos de cada classfcador a seus respectvos erros, mprovável em aplcações prátcas mas que pode ser aproxmada em grande parte dos casos.

38 4. Combnação de Múltplos Classfcadores REGRA DA SOMA Estabelecda a partr da regra do Produto (4.8), supõe que as probabldades a posteror computadas por cada classfcador não rão se desvar muto das probabldades a pror. KITTLER et. al (998) consdera que esta suposção é rígda mas pode ser satsfeta quando a nformação dsponível é altamente ambígua, por exemplo, devdo a um alto nível de ruído. Com sto, podemos expressar as probabldades a posteror na forma: P ω x ) = P( ω )( + δ ) (4.9) ( onde δ satsfaz δ <<. Substtundo (4.9) nas probabldades a posteror em (4.8): R = R P( ω ) P( ω x ) = P( ω ) ( + δ ) (4.0) Se expandrmos o produto e neglgencarmos os termos de segunda ou mas alta ordens, podemos aproxmar o lado dreto da Equação (4.0) por: = soma: R = P( ω ) ( + δ ) = P( ω ) + P( ω ) δ (4.) Fnalmente, substtundo (4.) e (4.9) na regra do produto (4.8), obtemos a regra da R = atrbur y ω se R c R P( ω ) + P( ω x ) = max P( ω ) + P( ω x = = = ) (4.2) KITTLER et. al. (998) avsa que a suposção que dá orgem a Equação (4.9) não será realsta na maora das aplcações. Quando o vetor de observações fornecer nformação dscrmnatóra sufcente e as probabldades a posteror crescerem, a aproxmação do produto para a regra da soma rá ntroduzr erros grosseros de aproxmação. No entanto o autor demonstra que esta aproxmação será nteressante, mostrando que a regra da soma é menos sensível ao erro dos classfcadores do que a regra do produto.

39 4. Combnação de Múltplos Classfcadores DERIVAÇÕES DAS REGRAS DE PRODUTO E SOMA Através da relação: ) ( max ) ( ) ( mn ) ( R R R R P P R P P x x x x ω ω ω ω = = = = (4.3) estabelecda por KITTLER et. al. (998), as regras de produto e soma podem ser aproxmadas para seus lmtes máxmos e mínmos. Pode-se também estabelecer uma manera de obter valores bnáros a partr dos classfcadores ndvduas: = 0 se ) ( max ) ( c P P x x ω ω = = caso contráro (4.4) resultando em nformações no nível abstrato de nformação (XU et. al., 992), como vsto na seção 3.3, permtndo utlzar estratégas outras que combnar probabldades a posteror. Nas próxmas seções vamos descrever as regras dervadas destas relações REGRA DO MÁXIMO A partr da Equação (4.2), aproxmando a soma pelo máxmo das probabldades a posteror e assumndo guas probabldades a pror, obtemos: atrbur ω y se ) ( max max ) ( max R c R P P x x ω ω = = = = (4.5) REGRA DO MÍNIMO A partr da Equação (4.8), lmtando o produto das probabldades a posteror pelo seu máxmo e assumndo guas probabldades a pror, obtemos: atrbur ω y se ) ( max mn ) ( mn R c R P P x x ω ω = = = = (4.6)

40 4. Combnação de Múltplos Classfcadores REGRA DA MEDIANA A regra da soma, supondo conhecmento a pror gual para as classes, pode ser calculada pela méda das probabldades a posteror de cada classe sobre todas as saídas dos classfcadores: R R = atrbur P( ω x y ω se c ) = max P( ω x = R ) (4.7) Então a regra atrbu um padrão à classe cua méda das probabldades a posteror é máxma. Se qualquer das saídas dos classfcadores para alguma classe tver um valor muto dferente dos demas rá afetar a méda e poderá levar a uma decsão ncorreta. Baseando a decsão da combnação na medana das probabldades a posteror obtemos uma estmação mas robusta e obtemos a regra: R atrbur med P( ω x = y ω se c ) = max med P( ω x = R = ) (4.8) REGRA DA VOTAÇÃO POR MAIORIA Partndo da Equação (4.2), supondo guas probabldades a pror e obtendo nformações dos classfcadores a partr de (4.4), podemos defnr: atrbur R = y ω se c = max = R = (4.9) Note que para cada classe a soma no lado dreto da equação acma smplesmente conta os votos recebdos para esta hpótese pelos classfcadores ndvduas. A classe que recebe o maor número de votos é então seleconada por um consenso ou decsão da maora VOTAÇÃO DOS COMBINADORES A Votação dos Combnadores representa um segundo estágo de combnação em que, tendo dsponíves nformações de dversos combnadores, verfca-se qual a classe mas votada entre os combnadores aplcando-se a Equação (4.9) na saída dos classfcadores, ou sea, tomando-se a moda das classes escolhdas.

41 4. Combnação de Múltplos Classfcadores 32 Com este procedmento, espera-se obter um método que forneça resultados mas constantes, realzando sempre performances boas ou ótmas. Permtndo anda observar se os combnadores em geral acertaram. Esta técnca é otmsta no sentdo que supõe que a maora dos combnadores rá realzar uma classfcação correta dos padrões.

42 5. Materal e Métodos O presente trabalho propõe um método para a dentfcação de materas em magens multespectras rudosas de tomografa de transmssão utlzando múltplas energas. A proposta consstu em, tendo adqurdo magens tomográfcas de um corpo em estudo através de váras energas e, a partr da construção de magens multespectras com as bandas de energas correspondentes, utlzar a nformação pertnente a cada banda do espectro para explorar técncas de classfcação e combnação de classfcadores. Através dos expermentos, foram fetas comparações e estudos teórcos sobre as técncas utlzadas. 5. AQUISIÇÃO DAS IMAGENS 5.. TOMÓGRAFO O mntomógrafo utlzado para a aqusção das magens é um equpamento de prmera geração em que a fonte de rao-x ou rao-γ (provenente de materas com decamento radoatvo como Céso e Ameríco), e o detector (de crstal) são fxos, enquanto são empregados os movmentos de rotação e translação ao corpo em estudo. O detector é acoplado a um pré-amplfcador e a uma fotomultplcadora. Um mcrocomputador é assocado ao sstema e a saída é dada em forma de uma matrz retangular contendo as proeções tomográfcas cada lnha da matrz corresponde a uma proeção e o número de colunas corresponde ao número de pontos por proeção. O software de reconstrução gera esta matrz, cuos valores são nteros, representando os coefcentes de atenuação lnear multplcados por um fator 000. Este mntomógrafo é o resultado de um trabalho desenvolvdo para a Embrapa, cuos detalhes podem ser vstos em CRUVINEL et. al. (990). Vea foto na Fgura 5..

43 5. Materal e Métodos 34 FIGURA 5. Mntomógrafo 5..2 CORPO DE PROVA (PHANTOM) Corpo de prova ou phantom é um obeto confecconado especalmente para realzar algum expermento. Neste caso, o phantom fo construído com uma base de plexglass um tpo de polímero em forma clíndrca, o qual tem quatro espaços também em forma clíndrca onde foram nserdos quatro materas: cálco, fósforo, alumíno e água. O phantom tem 60mm de dâmetro, sendo que as amostras de cálco e água possuem 9mm de dâmetro e as amostras de fósforo e alumíno, 22mm de dâmetro, como lustrado na Fgura 5.2. As tomografas deste corpo de prova foram mageadas utlzando o mntomógrafo de prmera geração ctado na seção anteror (5..). Estas magens consttuem os obetos de pesqusa deste trabalho.

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