Mecânica Quântica. Ensino e aprendizagem de mecânica quântica. Leituras recomendadas

Transcrição

1 Esio e apredizagem de mecâica quâtica Mecâica Quâtica Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Esio de Física stituto de Física - UFRJ º período letivo, 04 Dificuldades coceituais Superposição quâtica Probabilidade subjetiva x objetiva Complemetaridade O problema da medida Realismo vs. localidade Dificuldades matemáticas Vetores Números complexos Espaços vetoriais complexos Operadores, autovalores, autovetores Dimesão ifiita, operadores difereciais, fuções especiais C.E.Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 Sobre o esio e apredizagem de mecâica quâtica D. F. Styer, Commo miscoceptios regardig quatum mechaics, America Joural of Physics 64, 3, D. Johsto, K. Crawford, P. R. Fletcher, Studet difficulties i learig quatum mechaics, teratioal Joural of Sciece Educatio 0, 47, 998. S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Studet uderstadig of the wave ature of matter: Diffractio ad iterferece of particles, America Joural of Physics 68, S4, 000. G. reso, The quatum uderstadig of pre-uiversity physics studets, Physics Educatio 35, 5, 000. M. A. Moreira,. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao esio da mecâica quâtica itrodutória, vestigações em Esio de Ciêcias 6, 9, 00.. M. Greca, M. A. Moreira, V.E.Herscovitz, Uma proposta para o esio de mecâica quâtica, Revista Brasileira de Esio de Física 33, 444, 00. C. Sigh, Studet uderstadig of quatum mechaics, America Joural of Physics 69, 885, 00. E. Cataloglu, R. W. Robiett, Testig the developmet of studet coceptual ad visualizatio uderstadig i quatum mechaics through the udergraduate career, America Joural of Physics 70, 38, 00. K. Maila,. T. Kopoe, J. A. Niskae, Buildig a picture of studets coceptios of wave- ad particle-like properties of quatum etities, Europea Joural of Physics 3, 45, 00. R. Müller, H. Wieser, Teachig quatum mechaics o a itroductory level, America Joural of Physics70, 00, 00; ver também Am. J. Phys. 70, 887, 00. Sobre o esio e apredizagem de mecâica quâtica. M. Greca,O. FreireJr, Does a emphasis o the cocept of quatum states ehace studets uderstadig of quatum mechaics?, Sciece& Educatio, 54, 003. F. Osterma, T. F. Ricci, Costruido uma uidade didática coceitual sobre mecâica quâtica: um estudo a formação de professores de física, Ciêcia & Educação 0, 35, 004. D. T. Brookes, E. Etkia, Usig coceptual metaphor ad fuctioal grammar to explore how laguage used i physics affects studet learig, Physical Review Special Topics -Physics Educatio Research 3, 0005, 007. S. B. McKaga, K. K. Perkis, C. E. Wiema, Why we should teach the Bohr model ad how to teach it effectively, Physical Review Special Topics -Physics Educatio Research 4, 003, 008. C. Sigh, Studet uderstadig of quatum mechaics at the begiig of graduate istructio, America Joural of Physics 76, 77, 008. C. Sigh, teractive learig tutorials o quatum mechaics, America Joural of Physics 76, 400, 008. L. D. Carr, S. B. McKaga, Graduate quatum mechaics reform, America Joural of Physics 77, 308, 009. M. Dubso, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkis, Faculty Disagreemet about the Teachig of Quatum Mechaics, 009 Physics Educatio Research Coferece, AP Coferece Proceedigs 79, 37, 009. C. Baily, N. D. Fikelstei, Developmet of quatum perspectives i moder physics, Physical Review Special Topics - Physics Educatio Research 5, 006, 009. C. Baily, N. D. Fikelstei, Teachig ad uderstadig of quatum iterpretatios i moder physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Educatio Research 6, 00, 00. C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 3 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 4 Sobre o esio e apredizagem de mecâica quâtica S. B. McKaga, K. K. Perkis, C. E. Wiema, Desig ad validatio of the Quatum Mechaics Coceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Educatio Research 6, 00, 00. L. Deslauriers, C. E. Wiema, Learig ad retetio of quatum cocepts with differet teachig methods, Physical Review Special Topics - Physics Educatio Research 7, 000, 0. M. Ayee, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality ad ucertaity priciple: Pheomeographic categories of descriptio of tertiary physics studets depictios, Physical Review Special Topics - Physics Educatio Research 7, 003, 0. G. Zhu, C. Sigh, mprovig studets uderstadig of quatum mechaics via the Ster Gerlach experimet, America Joural of Physics 79, 499, 0. G. Zhu, C. Sigh, mprovig studets uderstadig of quatum measuremet.. vestigatio of difficulties, Physical Review Special Topics -Physics Educatio Research 8, 07, 0. G. Zhu, C. Sigh, mprovig studets uderstadig of quatum measuremet.. Developmet of research-based learig tools, Physical Review Special Topics -Physics Educatio Research 8, 08, 0. O. Levrii, P. Fatii, Ecouterig Productive Forms of Complexity i Learig Moder Physics, Sciece & Educatio,895, 03. A. Kohleet al., A ew itroductory quatum mechaics curriculum, Europea Joural of Physics 35, 0500, 04. J. Castrillo, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecáica cuática fudametal, ua propuesta didáctica, Revista Brasileira de Esio de Física 36, 505, 04. Leituras recomedadas R. P. Feyma, R. B. Leighto, M. Sads, Lições de Física de Feyma, vol., Bookma, 008. R. P. Feyma, QED - A estraha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 988. H. M. Nussezveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quâtica, Blucher, 00. O. Pessoa Jr, Coceitos de Física Quâtica, Livraria da Física, 003. A. Zeiliger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 005. M. Le Bellac, The Quatum World, World Scietific, 03. T. Hey, P. Walters, The New Quatum Uiverse, Cambridge UP, 003. V. Scarai, Quatum physics: a first ecouter, Oxford UP, 006. B. Roseblum,F. Kutter, Quatum Eigma: Physics Ecouters Cosciousess, Oxford UP, 006. L. Susskid, A. Friedma, Quatum Mechaics: The Theoretical Miimum, Basic Books, 04 A. Rae, Quatum Physics: llusio or Reality?, Cambridge UP, 0. J. Polkighore, Quatum Theory: A Very Short troductio, Oxford UP, 00. D. F. Styer, The Strage World of Quatum Mechaics, Cambridge UP, 000. D. Mctyre, C. A. Maogue, J. Tate, Quatum Mechaics: A Paradigms Approach, Addiso- Wesley, 0. M. Le Bellac, Quatum Physics, Cambridge UP, 006. C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 5 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 6

2 Simulações teret terferômetro de Mach-Zehder(Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul) Experiêcia de Ster-Gerlach (Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul) QuatumLab(Uiversität Erlage-Nürberg) PhET(Uiversity of Colorado) SPNS (Orego State Uiversity) Quatum physics(école Polytechique) Quatum Physics(oP) Quatum Mechaics(Leoard Susskid) Quatum Etaglemet(Leoard Susskid) AdvacedQuatum Mechaics(Leoard Susskid) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 7 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 8 Sumário Feômeos Quâticos. Feômeos quâticos. Pricípios da mecâica quâtica 3. Sistemas quâticos simples: aplicações 4. Realismo, cotextualidade e ão-localidade 5. Partículas idêticas 6. Operadores, autovalores e autovetores 7. Simetrias 8. Posição e mometum 9. Partícula em uma dimesão ão estão estas otas Charles Addams, New Yorker, 940 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 9 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 0 Um experimeto com a luz Resultado do experimeto D detetores de luz Os detectores uca disparam ao mesmo tempo: apeas um, oud oud, é ativado a cada vez. espelho D D D feixe lumioso pouco iteso D ou D espelho semiespelho (50-50%) 50% 50% probabilidade C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04

3 Se a luz fosse uma oda Se a luz é composta por partículas D D D D D ou D... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.... ou D dispara, ou D dispara. C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 3 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 4 Coclusão A luz é composta por partículas: os fótos. O detector que dispara apota qual camiho o fóto tomou. O experimeto de Gragier, Roger & Aspect Experimeto realizado pela primeira vez em 986 por Philippe Gragier, Gérard Roger e Alai Aspect. A fote lumiosa de pouco itesa usada o experimeto ão é fácil de costruir. D camiho D átomo de cálcio τ 4,7 s ν ν camiho C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 5 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 6 O experimeto de Gragier, Roger & Aspect Resultado do experimeto de Gragier et al. w 9 s P. Gragier, G. Roger, A. Aspect, Experimetal evidece for a photo aticorrelatio effect o a beam splitter: A ew light o sigle-photo iterfereces, Europhysics Letters, 73 (986) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 7 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

4 Sobre o esio do coceito de fóto Outro experimeto com a luz Os experimetos de aticoicidêcia forecem evidêcia simples e direta da atureza corpuscular da luz. Mais fácil de discutir (pricipalmete o esio médio) que o efeito fotoelétrico. Ao cotrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóto ão é ecessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compto. G. Beck, Zeitschrift für Physik 4, 443 (97) E. Schroediger, Aale der Physik 8, 57 (97) feixe lumioso fóto a fóto D iterferômetro de Mach-Zehder D segudo semiespelho C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 9 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 0 Prelimiares: um feixe bloqueado O outro feixe bloqueado 50% 5% 5% 5% 5% 50% C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 Resultado fácil de eteder com partículas De volta ao iterferômetro 50% 5% 5% D D camiho do fóto C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 3 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

5 Resultado do experimeto: Difícil de eteder se os fótos seguem camihos defiidos 00% camiho camiho D 0% 5% 5% D 5% 5% Seofótosegueocamiho() ãodevefazerdifereça seocamiho() estáabertooufechado, eportatovale o resultado do experimeto prelimiar. C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 5 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 6 Proposição:* Cada fóto segue ouo camiho ouo camiho Teste da Proposição Experimetalmete: cosequêcia: P P + P D () D () D P ( ) D P ( ) D PD 5% 5% 00% P ( ) D P ( ) D PD 5% 5% 0% probabilidade do detetord disparar apeas o camiho aberto apeas o camiho aberto P P + P D () D () D * The Feyma Lectures o Physics, v.3, p.-5 a proposição é falsa! C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 7 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 8 Repetido: Por ode vai o fóto? A afirmativa o fóto segue oupelo camiho oupelo camiho é falsa. e \ um feômeo que é impossível, absolutamete impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecâica quâtica. R. P. Feyma, The Feyma Lectures o Physics, v.3, p.- ou ou em em C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 9 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

6 Por ode vai o fóto? Experimetalmete,aopção ouou éfalsa. Se os dois camihos forem fechados, ehum fótochegaaosdetetores.logo, emem também ão é aceitável. Parece restar apeas a opção e : o fóto segue os dois camihos ao mesmo tempo. Uma resposta melhor Não faz setido falar sobre o camiho do fóto o iterferômetro, pois a motagem experimetal ão permite distiguir os camihose. Aperguta qualocamihodofóto? sófazsetidofreteaum aparato capaz de produzir uma resposta. Quadoalguémdesejaserclarosobreoquequerdizercom as palavras posição de um objeto, por exemplo do elétro (em um sistema de referêcia), ele deve especificar experimetos determiados com os quais pretede medir tal posição; do cotrário essas palavras ão terão sigificado. -W. Heiseberg, The physical cotet of quatum kiematics ad mechaics (o artigo de97 sobre o pricípio da icerteza) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 3 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 3 Fácil de eteder um modelo odulatório Comprimetos variáveis P D iterferêcia costrutiva D P D L D iterferêcia destrutiva L L, L comprimetos ajustáveis dos braços do iterferômetro C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Resultado experimetal: O experimeto de Gragier, Roger & Aspect P D P D 0 L L 0 L L (liha tracejada: ou ou P D () + P D () ) Padrão de iterferêcia: é possível defiir um comprimeto de oda. Sóháumfótodecadavezoiterferômetro:ofóto iterferecom elemesmo. Se cada fóto seguisse um úico camiho (ou ou ), o comprimeto do outro camiho ão deveria iflueciar o resultado. P. Gragier, G. Roger, A. Aspect, Experimetal evidece for a photo aticorrelatioeffect o a beam splitter: A ew light o sigle-photo iterfereces, Europhysics Letters, 73 (986) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

7 O experimeto de Gragier, Roger & Aspect terferêcia de êutros L L (λ/50) L L (λ/50) iterferômetro de êutros S. A. Werer, Neutro iterferometry, Physics Today 33, 4 (dezembro980) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / terferêcia de átomos terferêcia de elétros iterferômetro de átomos A. D. Croi, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics ad iterferometry with atoms ad molecules, Reviews of Moder Physics 8, 05 (009) A. Toomura et al., Demostratio of sigle-electrobuild-up of a iterferecepatter, Am. J. Phys. 57, 7 (989) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / E se os camihos forem distiguíveis? E se os camihos forem distiguíveis? iterferêcia desaparece! Massa 0 camiho idetificado ão há padrão de iterferêcia N Massa Massa camiho ão idetificado padrão de iterferêcia difereça de camihos (ajustável) P. Bertetet al., A complemetarityexperimet with a iterferometer at the quatum-classical boudary, Nature 4, 66 (00) P. Bertet et al., A complemetarity experimet with a iterferometer at the quatum-classical boudary, Nature 4, 66 (00) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 4 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

8 E se a iformação sobre o camiho for apagada? Quado há iterferêcia? impossível determiar o camiho Resultado pode ser obtido de duas maeiras alterativas, idistiguíveis experimetalmete iterferêcia ( e ) iterferêcia Resultado pode ser obtido de duas maeiras alterativas, distiguíveis experimetalmete ( ou ou ) P. Bertet et al., A complemetarity experimet with a iterferometer at the quatum-classical boudary, Nature 4, 66 (00) ão há iterferêcia C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Pricípios da Mecâica Quâtica Pricípios da Mecâica Quâtica Vetores de estado e o pricípio da superposição A regra de Bor Complemetaridade e o pricípio da icerteza Colapso do vetor de estado Evolução uitária Sistemas de N estados Sistemas compostos. Emarahameto C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Sistemas de dois estados Vetores de Estado e o Pricípio da Superposição esquerda / direita horizotal / vertical para cima / para baixo sim / ão 0 / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

9 Sistemas de dois estados Sistemas de dois estados fóto refletido gradeza física observável: a A a a a cara coroa fóto trasmitido A? a a ou medidor de A a a C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 5 Sistemas clássicos Sistemas quâticos: vetores de estado Sistema clássico de dois estados, A a e A a. Represetação dos estados: potos o eixo A sistema tem A a a a sistema tem A a A Sistema quâtico de dois estados, A a e A a. Represetação dos estados: vetores ortogoais (e de comprimeto uitário) em um espaço de duas dimesões sistema tem A a a a sistema tem A a C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 5 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / A otação de Dirac O que muda? vetor L idetificação Passar de dois potos em uma reta para dois vetores perpediculares ão parece ser mais do mudar o sistema de etiquetagem dos estados.? a a a 0 a a A a exemplos: b O que muda é o seguite: esquerda direita C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

10 O Pricípio da Superposição Sigificado de ψ Qualquer combiação liear dos vetores a e a represeta um estado físico do sistema. a ψ c + a ca ψ a a ψ A a ea a? esquerda e direita? horizotal e vertical? sim eão? 0 e? a C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / O espaço de estados é grade Um sistema quâtico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem ifiitos estados. Os estados a e a formam uma base do espaço de estados. Pricípio da Superposição: formulação geral Se ϕ e χ são vetores de estado, qualquer combiação liear deles represeta um estado físico do sistema. ψ αϕ +βχ a χ ψ ϕ a C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Uma complicação As costates c e c podem ser úmeros complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo). Deve-se ter cuidado com figuras como esta: c a ψ Outras complicações Qual o sigificado de ortogoalidade um espaço vetorial complexo? Como se defie comprimeto de um vetor esse espaço? a? a c a C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

11 Produto escalar O produto escalar ϕ ψ dos vetores ϕ e ψ é um úmero complexo com as seguites propriedades:. ψ ψ + ψ ϕ ψ ϕ ψ + ϕ ψ. χ c ψ ϕ χ c ϕ ψ 3. ψ ϕ ϕ ψ * (* idica o cojugado complexo) 4. ψ ψ 0 (ote que (3) implica em ψ ψ real) Produto escalar Forçado um pouco a otação de Dirac, podemos escrever as propriedades () e () como. ϕ ψ +ψ ϕ ψ + ϕ ψ. ϕ cψ c ϕ ψ 5. ψ ψ 0 ψ 0 ( 0 é o vetor ulo) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 6 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Produto escalar É importate otar que um espaço vetorial complexo o produto escalar ão é comutativo; pela propriedade (3), a ordem dos fatores altera o produto. Ortogoalidade Os vetores ϕ e ψ são ortogoaisse seu produto escalar é zero: Uma cosequêcia disso é que o produto escalar é atiliearo primeiro argumeto: ϕ ψ 0 cϕ ψ c* ϕ ψ C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Norma A orma ψ do vetor ψ é defiida por ψ ψ ψ ψ é o comprimeto, tamaho, módulo do vetor ψ χ c ψ χ c ψ ψ 0 ψ 0 outra otação: ψ ψ O produto escalar em termos das compoetes ψ c a ϕ d a + c + d Usado as propriedades (), () e (3): ϕ ψ d + * * * * c a a + dc a a + dc a a dca a Como a e a são ortogoais, a a a a 0 e portato ϕ ψ d + a a * * c a a dc a a Como a e a têm comprimeto uitário, a a a a, temos fialmete que: ϕ ψ d + * * c dc C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 67

12 As compoetes em termos do produto escalar A orma em termos das compoetes ψ c + a ca Usado as propriedades () e () temos a + Como a a e a a 0, Da mesma forma, ψ ca a c a a c a c a ψ ψ ψ ψ ϕ ψ d + * * c dc * * c+ cc c c c + ψ c c + Ou seja: c a ψ,, C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / A Regra de Bor c ψ ψ c + a ca a A Regra de Bor a c A probabilidade de uma medida da gradeza física Aresultar em A a é P(a) c c + c (, ) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 7 A Regra de Bor A regra de Bor ψ c + a ca Como c a ψ a a P(a) c c + c e ψ c c + ψ a a a regra de Bor pode ser escrita de forma idepedete das coordeadas: medidor de A a a P(a) c c + c P(a ) a C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 7 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 73

13 Probabilidade total Normalização do vetor de estado Φ λ c c P(a ) + P(a) + c + c c + c c + a ca Φ λc a + λca Só há dois resultados possíveis, ou a ou a. A probabilidade da medida resultar ou em a ou em a é (00%) Φ λ c Φ c + c λc P (a) λc + λc P (a ) Φ e têm ormas diferetes mas represetam o mesmo estado físico! C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Normalização do vetor de estado Vetores ormalizados: a Regra de Bor Todos os vetores ao logo de uma dada direção represetam o mesmo estado físico. ψ c + a ca (ormalizado) ) c P (a Podemos trabalhar apeas com vetores ormalizados : a a P (a) c ψ a a ou seja, c a + ca, c + c Note que a e a já estão ormalizados: a a medidor de A a a P (a ) c C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Vetores ormalizados: a Regra de Bor Amplitude de probabilidade Em termos do produto escalar, se está ormalizado a probabilidade é dada por: c a amplitude de probabilidade probabilidade amplitude de probabilidade P(a ) a fução de oda: (x ) x P(x ) (x) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

14 Amplitude de probabilidade Frequêcia dos resultados de medidas De forma mais geral: Φ amplitudede probabilidade de uma medida resultar em Φ, para um sistema o estado P( Φ) Φ probabilidade de uma medida resultar em Φ, para um sistema o estado P( Φ) P(Φ ) embora Φ Φ ( Φ Φ *) a a a a a a Nmedidas de A (N ) c + a ca podemos prever a frequêcia dos resultados: N N N N N a N a P(a c ) P(a c ) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 8 Valor médio dos resultados certeza a a a a a a valor médio de A: Na + Na A N c + a ca a c a A c + Se c a c a a c, c ou a c 0, c 0 c + a ca c, c 0 impossível prever o resultado de uma medida possível prever o resultado (probabilidade 00%): valor de A bem defiido C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 8 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / certeza c + a ca A icerteza de Ao estado ( A A ) ( A) A A Complemetaridade e o Pricípio da certeza A 0 a ou a C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

15 Complemetaridade Gradezas compatíveis e icompatíveis a a a A e B compatíveis a b b duas gradezas físicas: A e B A a a b a b A e B icompatíveis b b b B b A e B complemetares: icompatibilidade máxima a C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / O Pricípio da certeza O Pricípio da certeza A bem defiido, B icerto ( A 0, B 0) A e B icompatíveis ehum estado com A 0 e B 0 b a b A e B icertos ( A 0, B 0) B bem defiido, A icerto ( B 0, A 0) b a b a a C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Exemplo: posição e mometum Resumo da ciemática quâtica x x X duas posições: x, x ( aqui, ali ) dois estados de movimeto: p, p ( repouso, movimeto ) estado físico vetor o espaço de estados x p p impossível ter um estado com posição e mometum bem defiidos gradeza física sistema de eixos (uma base ) o espaço de estados x C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

16 Resumo da ciemática quâtica probabilidade de uma medida da gradeza Aresultar em A a ou A a a a projeção do vetor de estado o eixo a probabilidade da medida resultar em A a Como o vetor de estado muda com o tempo? Colapso durate uma medida Evolução uitária (equação de Schroediger) gradezas físicas icompatíveis (complemetares) diferetes sistemas de eixos o espaço de estados C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 9 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Colapso do vetor de estado Colapso do Vetor de Estado a a ates da medida a a a depois da medida C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Colapso do vetor de estado a resultado A a resultado A a medida de Aresulta em a logo após a medida o vetor de estado do sistema é a a Colapso do vetor de estado O colapso garate que a medida é repetível: se obtemos A a e imediatamete refazemos a medida, ecotramos A a ovamete com 00% de probabilidade. O estado a é o úico em que a ova medida resultará em A a com 00% de probabilidade. a : a medida causa uma alteração imprevisível e icotrolável do estado quâtico; versão modera do salto quâtico. O colapso aplica-se a medidas ideais (medidas de voneuma, ou projetivas). Na prática, muitas vezes ão faz setido falar em colapso. Por exemplo: Um fóto geralmete é absorvido durate sua detecção ão há mais fóto após a primeira medida. Medidas de gradezas cotíuas como posição e mometum ão têm resultados absolutamete precisos; os detectores ecessariamete possuem uma resolução fiita. C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

17 Medidas simultâeas de duas gradezas b b ( A 0, B 0) Φ ( A 0, B 0) a a (A, B) Evolução Uitária Se A e B são icompatíveis (complemetares), ão existe estado Φ com A 0 e B 0. É impossível realizar um experimeto o qual A e B são medidos simultaeamete (de forma reprodutível). C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / A equação de Schroediger A (solução da) equação de Schroediger Evolução temporal do vetor de estado: (0) (t) Sistema de dois estados Dois íveis de eergia: E, E E E Diâmica quâtica: determiada pela eergia do sistema(o coceito de força é pouco relevate). ( t 0) c + E ce ie t/ h iet/ h ( t) ce E + ce E C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 0 A (solução da) equação de Schroediger Propriedades da equação de Schroediger ћcostatedeplack( π) 0-34 Js Números complexos são ievitáveis. Mesmo que as compoetesdovetordeestadosejamreaisemt0, parat 0elasserãocomplexas: c (t) c e iet/ h Liearidade: (0) (t) a (0) (t) b a b 0) α (0) +β (0) ( a b t) α (t) +β (t) ( a b Aevolução (0) (t) ditadapelaequaçãode Schroediger é cotíua (sem saltos quâticos ) e determiista(sem elemetos probabilísticos). t 0 t 0 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 0 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

18 Demostração da liearidade (0) α a (0) c E + c E a b (0) d E + d E (0) +β (0) ( αc +βd) E + ( αc +βd ) E (t) ( αc +βd)e α α b iet/ h iet/ h iet/ h iet/ h ( ce E + ce E ) +β( ce E + ce E ) (t) +β (t) a ie b t / h E + ( αc +βd )e ie t / h E Propriedades da equação de Schroediger Coservação da orma do vetor de estado: ( t) (0) tamaho ão muda (t) Coservação daortogoalidadeetre vetores: dois vetores perpediculares cotiuam perpediculares Φ(t) Φ(0) (0) (t) (0) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Coservação do produto escalar Propriedades da equação de Schroediger Φ (t) ce Φ(t) de ie ie * t/ h t/ h E + c e E + de * ie ie * + iet/ h iet/ h * iet/ h iet/ h ( t) (t) (de )(ce ) + (de )(ce dc + dc Φ( t) (t) Φ(0) (0) t/ h t/ h E E ) Determiismo Cotiuidade Liearidade Coservação da orma Coservação da ortogoalidade evolução uitária coservação da orma: ( t) (0) coservação da ortogoalidade: Φ( 0) (0) 0 Φ(t) (t) 0 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Estados estacioários Coservação da eergia Estado de eergia bem defiida E : ( 0) E ie t / h ( t) e (0) e (t) represetam o mesmo estado físico. Estados de eergia bem defiida são estacioários. E mesma direção que E ie t/ h iet/ h ( t) ce E + ce E ie t / h e P(E,t) c c E E ( t) (0) P(E,t)E + P(E,t)E ( t) c E c E E + P(E,t) P(E,t 0) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

19 Eq. de Schroediger x Processos de medida Equação de Schroediger: cotíua determiista válida equato ão se faz uma medida Colapso do vetor de estado: descotíuo probabilístico ocorre durate a medida Eq. de Schroediger x Processos de medida Dois tipos de evolução temporal? Equação de Schroediger: iteração do sistema quâtico com outros sistemas quâticos. A a e A a Colapso do vetor de estado: iteração do sistema quâtico com um aparato clássico, o aparelho de medida (o observador ). A a ou A a C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 0 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 O problema da medida Por que o aparelho de medida ão é regido pela eq. de Schroediger? aparelho de medida: a a a a Descrição quâtica do aparelho de medida: a a a a a a equação de Schroediger: c + a + ca ca ca o poteiro apota em duas direções ao mesmo tempo! O problema da medida Porque as superposições quâticas ão são ecotradas o mudo macroscópico? Jamais se observou um poteiro macroscópico apotado em duas direções ao mesmo tempo. Umgatoãopodeestarsimultaeametevivoemorto. Como cociliar o espaço quâtico de ifiitos estados com a observação de apeas algus poucos estados macroscópicos? Uma descrição do processo de medida baseada a equação de Schroediger deve dar respostas a essas questões. C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 3 Física quâtica x física clássica Por medida, a mecâica quâtica, ós etedemos qualquer processo de iteração etre objetos clássicos e quâticos L. Ladau & E. Lifshitz, Quatum Mechaics os istrumetos de medida, para fucioarem como tal, ão podem ser propriamete icluídos o domíio de aplicação da mecâica quâtica. N. Bohr, carta a Schroediger, 6 de outubro de 935 o aparato ãodeveriaserseparadodorestodomudoem uma caixa preta, como se ão fosse feito de átomos e ão fosse goverado pela mecâica quâtica. J. Bell, Agaist measuremet Física quâtica x física clássica física clássica física quâtica a mecâica quâtica ocupa um lugar muito icomum etre as teorias físicas: ela cotém a mecâica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação... - L. Ladau & E. Lifshitz, Quatum Mechaics C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 4 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

20 Sistemas de N Estados Sistemas de 3 estados a Três valores possíveis para a gradeza A: Você está em todo lugar a a a a 3 a 3 c + a + ca c3a3 P( a ) c,,, 3 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 6 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 7 Sistemas de N estados Sistemas de ifiitos estados a 3 a...a N (impossível desehar N eixos perpediculares) a N P(a ) c, N valores possíveis para a gradeza A: c a,, KN a a... a N N pode ser ifiito: c a N pode ser ifiito, e ater valores cotíuos: da c(a) a desidade de probabilidade: p (a) c(a) probabilidade: P(a,a ) a a da c(a) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 8 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 9 Sistemas de ifiitos estados Sistemas de ifiitos estados Exemplo: a x posição de uma partícula dx (x) x fução de oda: (x) desidade de probabilidade: p(x) (x) x probabilidade: P(x,x) dx (x) x A gradeza apode ter valores discretos e cotíuos: ca + da c(a) a Exemplo: a E eergia de uma partícula ce + de c(e) E C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 0 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 0

21 Produto escalar Produto escalar N c a c a,, N Φ b a Φ b a Φ Φ N b* c b* c Φ c b E E + + dec(e)e deb(e)e dx (x) x, Φ dx Φ(x) x b* c + Φ deb*(e)c(e) Φ dxφ*(x) (x) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 3 Sistemas Compostos Sistemas compostos a b s sistema sistema ϕ αa χ βsb s s C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 4 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 5 Sistemas compostos Produto tesorial a, b s a, b s a b s a b s subsistema subsistema sistema composto A otação do produto tesorial tora evidetes algumas propriedades que os estados do sistema composto devem ter.,s c,s a, b s C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 6 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 7

22 Produto tesorial Por exemplo: sistema o estado ϕ sistema o estado χ αa βsb sistema composto o estado ϕ, χ ϕ χ,s,s α β s α β s a b a,b s α s s a s s β s b s Produto tesorial Note que a,b ϕ, χ α β s ou, de maeira geral, s a ϕ ϕ, χ ϕ, χ ( α β α β,s ϕ ϕ χ χ Uma cosequêcia disso é P(a,b ) b s χ s)*( αβs) * α s* βs s s P(a ) P(b ) s C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 8 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 9 Estados separáveis Estado geral do sistema composto: Estados separáveis (estados produto ou fatorizáveis ): ϕ χ sistema o estado ϕ, sistema o estado χ αβs a, b c,s,s α β s s,s c,s a, b Nem todo estado é separável, pois em sempre c α β.,s s s Estados emarahados Exemplo: o estado a,b + a, b ão é separável, do cotrário deveríamos ter α β αβ e αβ αβ 0 o que é impossível. A primeira equação diz que todos os α s e β s são diferetes de 0 e a seguda diz que pelo meos dois deles são ulos. Estados ão-separáveis são chamados de estados emarahados. C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 3 Estados emarahados Outro exemplo: a fução de oda de duas partículas dxdx(x,x) x, x O estado é separável se pois esse caso x,x ) ϕ(x ) (x ) ( χ ( dxϕ(x) x ) ( dxχ(x) x ) ϕ χ Se x,x ) ϕ(x ) ( χ (x ) o estado é emarahado. Emarahameto Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas idividuais. O emarahameto pode ocorrer mesmo quado os subsistemas estão separados por distâcias macroscópicas, Um dos mais estrahos e surpreedetes aspectos da mecâica quâtica. O melhor cohecimeto possível de um todo ão iclui o melhor cohecimeto possível de suas partes, em mesmo quado essas estão completamete separadas umas das outras e o mometo ão iflueciam umas às outras. - E. Schrödiger, The Preset Situatio i Quatum Mechaics (o artigo de 935 ode apareceu o gato de Schroediger) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 3 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 33

23 Aplicações a sistemas simples formação quâtica C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Aplicações a sistemas simples terferômetro de Mach-Zehder Medida sem iteração O problema de Deutsch Molécula de H + Bezeo, amôia Polarização do fóto Oscilação de eutrios Spi ½ formação quâtica aida ão estão estas otas terferômetro de Mach-Zehder terferêcia de uma partícula Descrição quâtica do iterferômetro terferêcia e idistiguibilidade Defasagem C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / O iterferômetro de Mach-Zehder O iterferômetro de Mach-Zehder D 00% iterferêcia costrutiva 0% odas iterferêcia destrutiva 50% 5% 5% D D e D uca disparam em coicidêcia partículas C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

24 Descrição quâtica do iterferômetro Espaço de estados (camiho ) c + c (camiho ) P c probabilidades: P c C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 4 Semiespelho Semiespelho + + probabilidade de reflexão probabilidade de trasmissão / evolução uitária sial egativo: evolução uitária coserva a ortogoalidade C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 4 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / terferômetro terferômetro D Estado iicial: D Primeiro semiespelho: + C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

25 terferômetro Segudo semiespelho: ou seja, o estado fial é iterferêcia costrutiva + + iterferêcia destrutiva P 00% P 0% O que iterfere? + + (--) (--) (--) (--) soma das amplitudes de probabilidade associadas a camihos alterativos idistiguíveis C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Camiho bloqueado Camiho bloqueado D Estado iicial: D Primeiro semiespelho: + Bloqueio: + + fóto bloqueado C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Camiho bloqueado Por que ão há iterferêcia? Segudo semiespelho: ou seja, o estado fial é + + (--) (--) (-- ) + + P 5% P 5% P 50% ão há camihos alterativos para cada um dos estados fiais ão há iterferêcia C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

26 Camihos alterativos distiguíveis Camihos alterativos distiguíveis D R, R, M, M, : camiho do fóto R: espelho em repouso M: espelho em movimeto mola D Estado iicial: R Primeiro semiespelho: R R + M C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 5 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Camihos alterativos distiguíveis Segudo semiespelho: R + + M R + R M M ou seja, o estado fial é R + M + R M Apagado a iformação sobre o camiho D 00% D 0% mola P P(, R) + P(, M) 50% P P(, R) + P(, M) 50% soma de probabilidades, ão de amplitudes C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Apagado a iformação sobre o camiho Segudo semiespelho: R + M R + M + R M Defasagem As probabilidades P e P depedem de difereças etre os dois camihos. ou seja, o estado fial é R a iformação sobre o camiho foi apagada e a iterferêcia restabelecida L L (λ/50) distâcia percorrida desidade do material atravessado C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

27 Defasagem Defasagem características do camiho percorrido fase D iϕ e ϕ D iϕ e ϕ ϕ ϕ C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Defasagem Estado iicial: Defasagem Segudo semiespelho: Primeiro semiespelho: + e i iϕ iϕ iϕ e e + + ϕ e + Defasadores: ϕ iϕ + i e + e ou seja, e iϕ iϕ iϕ iϕ iϕ iϕ e e + e e e + + C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 6 Defasagem Defasagem Após o segudo semiespelho: c + c i e c e ϕ iϕ + i e c e ϕ iϕ Probabilidades: P c [ + cos( ϕ ϕ) ] P c [ cos( ϕ ϕ) ] λ L L (λ/50) π ϕ L kl λ P P após uma distâcia extra x: e ikx 0 π ϕ ϕ 0 π ϕ ϕ C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 6 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

28 Medida sem iteração O palito de fósforo quâtico fósforo bom fóto fósforo ruim fóto C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / O palito de fósforo quâtico Teste clássico palito bom queimado palitos bos e ruis misturados Problema: como echer uma caixa de fósforos apeas com palitos bos? palito ruim C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Teste quâtico Palito ruim D 00% D trasparete D 0% D palito ruim D uca dispara C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

29 Palito bom 50% D 5% Teste quâtico D fósforo bom itacto D 5% D fósforo bom itacto ou fósforo ruim Fósforo acede fósforo bom queimado palito bom D dispara em 5% das vezes, e o fósforo permaece itacto Dos fósforos bos: 5% estão idetificados e itactos 50% foram queimados 5% em dúvida Retestado os casos duvidosos é possível idetificar /3 dos fósforos bos. C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 7 O problema de Deutsch Como saber se uma moeda é hoesta ou viciada? O problema de Deutsch Resposta clássica : olhado os dois lados ª lado ª lado ª lado ª lado ª lado ª lado hoesta 4 possibilidades moeda hoesta moeda viciada viciada C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 7 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / O problema de Deutsch Vedo os dois lados da moeda com um úico fóto Podemos espiar os dois lados da moeda com um úico fóto? cara: ϕ 0 coroa: ϕ π D ϕ ϕ D Aparetemete, ão! C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

30 Vedo os dois lados da moeda com um úico fóto Vedo os dois lados da moeda com um úico fóto cara: ϕ 0 coroa: ϕ π D P c [ + cos( ϕ ϕ) ] P c ϕ [ cos( ϕ )] D moeda viciada: ϕ ϕ ϕ ϕ 0 fóto em D ϕ ϕ D ϕ ϕ D moeda hoesta: ϕ ϕ ϕ ϕ ±π fóto em D C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / O iício da computação quâtica Realismo, Cotextualidade e Localidade f: {0,} {0,} x 0 x f 0 0 f f 3 0 f 4 0 f costate f balaceada É possível descobrir se a fução é costate com um úico cálculo de f? D. Deutsch, Quatum theory, the Church-Turig priciple ad the uiversal quatum computer, Proceedigs of the Royal Society A 400, p (985). D. Deutsch,R. Jozsa. Rapid solutios of problems by quatum computatio, Proceedigs of the Royal Society of Lodo A 439, p (99). R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quatum algorithms revisited,proceedigs of the Royal Society of Lodo A 454, p (998). Eu só gostaria de saber que diabos está acotecedo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acotecedo! Você sabe que diabos está acotecedo? C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 8 Variáveis ocultas Experimetos com um sistema composto Medidas: revelam um valor preexistete? criam o resultado ecotrado? A ± A ± A( λ) icompatíveis gradeza medida o experimeto variável oculta que determia o valor de A B ± compatíveis B ± C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 8 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

31 Quatro experimetos com um sistema composto Quatro experimetos com um sistema composto Quatro experimetos possíveis: ) Medida de A e A A + e A + ecotrado algumas vezes ) Medida de A e B A + e B + uca ecotrado 3) Medida de B e A B + e A + uca ecotrado 4) Medida de B e B B - e B - uca ecotrado ) P(A +, A +) (em %) ) P(A +, B +) 0 3) P(B +, A +) 0 4) P(B, B ) 0 grau de emarahameto A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, NomaximallyEtagled States: Productio, Characterizatio, ad Utilizatio, Physical Review Letters 83, 303 (999) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Experimetos com um sistema composto Se os valores de A, A, B e B já existiam ates das medidas: A + A + Estados de Hardy 3 ( B+,B + + B+,B + B, B + ) estado emarahado sempre B - B -!! P(B, B ) 0 experimeto 4 Mas B B - uca é ecotrado (exp. 4)! L. Hardy, Quatum Mechaics, Local Realistic Theories, ad Loretz- variat Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 98 (99). L. Hardy, Nolocalityfor two particles without iequalities for almost all etagled states, Physical Review Letters 7, 665 (993) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / Estados de Hardy Estados de Hardy Experimetos, e 3: B+ B ( A+ + A ) ( A+ + A ) B A B+ A+ 3) ) Experimetos, e 3: ) 6 6 ( B+,A + B,A + + B, A ) ( A,B + + A +,B + A, B ) ( A +,A + + A +,A + A,A + + 3A, A ) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /

32 Cotextualidade Cotextualidade A λ (,C ) b b B λ (,C ) A λ (,C ) B λ (,C ) a a (A, B) o que está sedo medido em (A ou B ) A ( λ,c) B( λ,c) o que está sedo medido em (A ou B ) o que está sedo medido em (A ou B ) C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 9 Não-localidade O teorema de Bell A A Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecâica quâtica é ecessariamete ão-local. B B C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica / 04 9 C.E. Aguiar / Mecâica Quâtica /