Mecânica Quântica. Uma Abordagem Conceitual. Carlos Eduardo Aguiar

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1 Mecânica Quântica Uma Abordagem Conceitual Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física, Universidade Federal do Rio de Janeiro 2016 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

2 Mecânica Quântica: Uma Abordagem Conceitual Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Fenômenos Quânticos Princípios da Mecânica Quântica Sistemas Quânticos Simples Realismo, Contextualidade e Não-localidade C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

3 Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

4 Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Sumário Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Dificuldades na aprendizagem de mecânica quântica Estrutura do curso Fenômenos Quânticos Princípios da Mecânica Quântica Sistemas Quânticos Simples Realismo, Contextualidade e Não-localidade C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

5 Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Dificuldades na aprendizagem de mecânica quântica Dificuldades na aprendizagem de mecânica quântica Dificuldades conceituais Superposição quântica Probabilidade subjetiva x objetiva Complementaridade Transição quântico-clássico Realismo vs. localidade... Dificuldades matemáticas Vetores Números complexos Espaços vetoriais complexos Operadores, autovalores, autovetores Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais... C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

6 Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Dificuldades na aprendizagem de mecânica quântica Dificuldades na aprendizagem de mecânica quântica Entre os estudantes as dificuldades matemáticas ganham proeminência pela necessidade de adquirir domínio operacional da teoria, essencial a aplicações. Como veremos, é possível expor a teoria quântica, sem descaracterizá-la, reduzindo as ferramentas matemáticas a vetores e um pouco de números complexos. Com isso, torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais. Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos em física, por exemplo). C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

7 Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Estrutura do curso Estrutura do Curso 1. Fenômenos quânticos 2. Princípios da mecânica quântica 3. Aplicações a sistemas simples 4. Realismo, contextualidade e não-localidade 5. Operadores, autovalores e autovetores 6. Simetrias e leis de conservação 7. Posição e momentum 8. Partícula em uma dimensão 9. Partículas idênticas C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

8 Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Estrutura do curso Leituras recomendadas: livros Alguns livros com abordagens semelhantes à adotada no curso: Nível introdutório R. P. Feynman, QED A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, B. Rosenblum, F. Kuttner, Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP, A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

9 Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Estrutura do curso Leituras recomendadas: livros (cont.) Nível intermediário R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, Original em inglês disponível em H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, I. M. Greca, V. E. Herscovitz, Introdução à Mecânica Quântica, UFRGS, Disponível em O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

10 Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Estrutura do curso Leituras recomendadas: livros (cont.) Nível avançado J. S. Townsend, A modem approach to quantum mechanics, USB, G. Greenstein, A. G. Zajonc, The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of Quantum Mechanics, Jones & Bartlett, M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-Wesley, M. Beck, Quantum Mechanics: Theory and Experiment, Oxford UP, F. Laloë, Do We Really Understand Quantum Mechanics?, Cambridge UP, J. Pade, Quantum Mechanics for Pedestrians (2 vols.), Springer, C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

11 Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Estrutura do curso Simulações em computador Programas didáticos sobre mecânica quântica: QuVis (University of St. Andrews) Interferômetro de Mach-Zehnder (UFRJ) Experiência de Stern-Gerlach (UFRGS) PhET (University of Colorado) quantum-phenomena SPINS (Oregon State University) html Quantum physics (École Polytechnique) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

12 Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Estrutura do curso Material didático na internet Vídeos e hipermídia sobre mecânica quântica: QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg) Quantum Physics (IoP) Quantum Mechanics (Leonard Susskind) /winter Quantum Entanglement (Leonard Susskind) /fall Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind) advanced-quantum-mechanics/2013/fall C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

13 Fenômenos Quânticos Fenômenos Quânticos Charles Addams, The New Yorker, 1940 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

14 Fenômenos Quânticos Sumário Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Fenômenos Quânticos Fótons Interferência de fótons Interferência de partículas Interferência e indistinguibilidade Princípios da Mecânica Quântica Sistemas Quânticos Simples Realismo, Contextualidade e Não-localidade C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

15 Fenômenos Quânticos Fótons Um experimento com a luz D 1 detetores de luz espelho D 2 feixe luminoso pouco intenso semi-espelho (50% 50%) espelho C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

16 Fenômenos Quânticos Fótons Resultado do experimento Os detetores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um (D 1 ou D 2 ) é ativado a cada vez. D 1 D 1 D 2 D 2 probabilidade = 50% probabilidade = 50% C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

17 Fenômenos Quânticos Fótons Se a luz fosse uma onda D 1 D 2... os detetores deveriam disparar simultaneamente. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

18 Fenômenos Quânticos Fótons Se a luz for composta por partículas D 1 D 1 D 2 D 2... ou D 1 dispara, ou D 2 dispara. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

19 Fenômenos Quânticos Fótons Conclusão A luz é composta por partículas: os fótons. D 1 caminho 2 D 2 caminho 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

20 Fenômenos Quânticos Fótons O experimento de anticorrelação de Grangier et al. Realizado em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect. A fonte luminosa pouco intensa usada no experimento não é fácil de construir. átomo de cálcio τ = 4,7ns ν 2 ν 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

21 Fenômenos Quânticos Fótons O experimento de anticorrelação de Grangier et al. w = 9 ns P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986). C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

22 Fenômenos Quânticos Fótons Resultado do experimento de anticorrelação C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

23 Fenômenos Quânticos Fótons Versão multimídia do experimento de anticorrelação QuantumLab é um multimídia online interativo feito a partir de fotografias de experimentos reais. Os dados mostrados não são simulações, e sim resultados experimentais armazenados em um servidor. QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg) (Para o experimento de anticoincidência, vá até experiments: existence photon.) A motivação pedagógica do QuantumLab e detalhes sobre sua montagem estão em P. Bronner et al., Interactive screen experiments with single photons, Eur. J. Phys. 30, 345 (2009). C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

24 Fenômenos Quânticos Fótons Sobre o ensino do conceito de fóton Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta do comportamento corpuscular da luz. Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico. Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton. G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927) E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

25 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Outro experimento com a luz D 1 segundo semi-espelho D 2 feixe luminoso fóton a fóton Interferômetro de Mach-Zehnder C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

26 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Preliminares: um feixe bloqueado 25% 50% 25% 2 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

27 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons O outro feixe bloqueado 25% 25% 2 50% 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

28 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Resultado fácil de entender com partículas 25% 50% 25% 2 1 = caminho do fóton C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

29 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons De volta ao experimento com o interferômetro D 1 D 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

30 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Resultado do experimento O detetor D 1 nunca dispara. Apenas D 2 registra a chegada dos fótons. D 1 0% 100% D 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

31 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos caminho 1 D 1 25% caminho 2 D 1 25% 2 D 2 25% 2 D 2 25% 1 1 Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deveria fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado. Portanto, deveria valer o resultado do experimento preliminar. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

32 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons A proposição de Feynman Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2. N D = N (1) D + N (2) D número de fótons no detetor D chegam a D pelo caminho 1 chegam a D pelo caminho 2 The Feynman Lectures on Physics III, p. 1-5 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

33 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons A proposição de Feynman Em termos das probabilidades: P D = P (1) D + P (2) D probabilidade de chegar ao detetor D probabilidade de chegar a D pelo caminho 1 probabilidade de chegar a D pelo caminho 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

34 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Teste da proposição No interferômetro de Mach-Zehnder obtemos experimentalmente: P D1 = 0% P D2 = 100% Nos experimentos preliminares encontramos: P (1) D 1 = 25% P (1) D 2 = 25% P (2) D 1 = 25% P (2) D 2 = 25% P Dn P (1) D n + P (2) D n = a proposição é falsa! C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

35 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Repetindo... A afirmativa o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2 é falsa.... um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica. - R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics III, p.1-1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

36 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Por onde vai o fóton? e 2 ou 1 ou 2 nem 1 nem 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

37 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Por onde vai o fóton? Experimentalmente, a opção ou 1 ou 2 é falsa. Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detetores. Logo, nem 1 nem 2 também não é aceitável. Parece restar apenas a opção 1 e 2 : o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

38 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Uma resposta melhor Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2. A pergunta qual o caminho do fóton? só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta. Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras posição de um objeto, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado. - W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics (o artigo de 1927 sobre o princípio da incerteza) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

39 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Fácil de entender num modelo ondulatório interferência destrutiva D 1 D 2 interferência construtiva C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

40 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Caminhos de comprimentos variáveis P D1 P D2 L 2 L 1 L 1 e L 2 = comprimentos ajustáveis dos braços do interferômetro C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

41 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Padrão de interferência Resultado experimental: as probabilidades P D1 e P D2 dependem de L 1 L 2. P D1 1 detetor 1 P D2 1 detetor 2 0,5 0,5 L 1 L 2 L 1 L 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

42 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons Padrão de interferência As probabilidades não dependem de L 1 + L 2, apenas de L 1 L 2. O padrão de interferência permite definir um comprimento de onda. Só há um fóton por vez no interferômetro: o fóton interfere com ele mesmo. A linhas tracejadas correspondem a P D1 = P D2 = 0.5, ou seja, à hipótese de que o fóton seguiu um único caminho (ou 1 ou 2). A discordância com o resultado experimental mostra novamente que essa hipótese é falsa. Dito de outra maneira: se o fóton seguiu por um único caminho, como ele poderia saber o comprimento do outro caminho (por onde não passou)? Entretanto, é isso que determina a probabilidade dele chegar aos diferentes detetores. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

43 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons O experimento de Grangier, Roger & Aspect P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986). C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

44 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons A dualidade onda-partícula Você tinha que saber qual experimento estava analisando para dizer se a luz era onda ou partícula. Esse estado de confusão foi chamado de dualidade onda-partícula... - R. P. Feynman, QED The Strange Theory of Light and Matter C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

45 Fenômenos Quânticos Interferência de fótons A dualidade onda-partícula C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

46 Fenômenos Quânticos Interferência de partículas Interferência de nêutrons Interferômetro de nêutrons S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33 (12), 24 (1980) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

47 Fenômenos Quânticos Interferência de partículas O experimento de Young com elétrons Feynman Lectures on Physics III, fig. 1-1 Partículas clássicas passam ou pela fenda 1 ou pela fenda 2 = P 12 (x) = P 1 (x) + P 2 (x) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

48 Fenômenos Quânticos Interferência de partículas O experimento de Young com elétrons Resultado do experimento: Feynman Lectures on Physics III, fig. 1-3 P 12 (x) P 1 (x) + P 2 (x) = o elétron não passa ou pela fenda 1 ou pela fenda 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

49 Fenômenos Quânticos Interferência de partículas O experimento de Young com elétrons Formação do padrão de interferência elétron a elétron R. Bach et al., Controlled double-slit electron diffraction, New J. Phys. 15, (2013) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

50 Fenômenos Quânticos Interferência de partículas O experimento de Young com elétrons Medida das distribuições P 1 (x), P 2 (x) e P 1,2 (x) R. Bach et al., Controlled double-slit electron diffraction, New J. Phys. 15, (2013) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

51 Fenômenos Quânticos Interferência e indistinguibilidade E se os caminhos forem distinguíveis? O padrão de interferência desaparece! φ diferença de caminhos P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

52 Fenômenos Quânticos Interferência e indistinguibilidade E se os caminhos forem distinguíveis? massa 0 caminho identificável não há interferência massa caminhos indistinguíveis interferência N massa P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

53 Fenômenos Quânticos Interferência e indistinguibilidade E se a informação sobre o caminho for apagada? A interferência retorna! impossibilidade de determinar o caminho = interferência P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

54 Fenômenos Quânticos Interferência e indistinguibilidade Quando há interferência? Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente interferência ( 1 e 2 ) Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente ( ou 1 ou 2 ) não há interferência C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

55 Fenômenos Quânticos Interferência e indistinguibilidade Distinguibilidade indistinguibilidade 1 B A 2 1 e 2 distinguíveis: P(A B) = P 1 (A B) + P 2 (A B) 1 e 2 indistinguíveis: P(A B) P 1 (A B) + P 2 (A B) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

56 Princípios da Mecânica Quântica Princípios da Mecânica Quântica C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

57 Princípios da Mecânica Quântica Sumário Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Fenômenos Quânticos Princípios da Mecânica Quântica Vetores de estado e o princípio da superposição A regra de Born Complementaridade e o princípio da incerteza Redução do vetor de estado Evolução unitária Resumo: cinemática e dinâmica quânticas O processo de medida e a transição quântico-clássico Sistemas com mais de dois estados C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

58 Princípios da Mecânica Quântica Sumário (cont.) Sistemas compostos e emaranhamento Sistemas Quânticos Simples Realismo, Contextualidade e Não-localidade C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

59 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Vetores de Estado e o Princípio da Superposição C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

60 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Sistemas de dois estados esquerda / direita horizontal / vertical para cima / para baixo sim / não 0 / 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

61 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Sistemas de dois estados fóton refletido cara coroa fóton transmitido C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

62 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Sistemas de dois estados Grandeza física observável: A = { a1 a 2 a 1 a 2 A =? a 1 a 2 medidor de A a 1 a 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

63 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Sistemas clássicos Sistema clássico de dois estados, A = a 1 e A = a 2. Representação dos estados: pontos no eixo dos valores de A. sistema tem A = a 1 sistema tem A = a 2 A C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

64 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Sistemas quânticos: vetores de estado Sistema quântico de dois estados, A = a 1 e A = a 2. Representação dos estados: vetores ortogonais (de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões. a 2 sistema tem A = a 2 a 1 sistema tem A = a 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

65 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição A notação de Dirac vetor identificação exemplos: a 1 a aqui ali C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

66 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição O que muda? Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais que uma mudança no sistema de etiquetagem dos estados.? a 1 a 2 A a 2 a 1 O que muda é o seguinte: C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

67 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição O princípio da superposição Qualquer combinação linear dos vetores a 1 e a 2 representa um estado físico do sistema. ψ = c 1 a 1 + c 2 a 2 a 2 ψ a 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

68 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Significado de ψ? a 2 a 1 ψ A = a 1 e A = a 2? fóton pelo caminho 1 e pelo caminho 2? C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

69 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição O espaço de estados é grande Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados. Os estados a 1 e a 2 formam uma base do espaço de estados. a 2 a 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

70 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Princípio da superposição: formulação geral Se φ e χ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema. ψ = α φ + β χ χ ψ φ C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

71 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Uma complicação Os números que multiplicam os vetores (os escalares ) podem ser números complexos: o espaço de estados é um espaço vetorial complexo. Deve-se ter cuidado com figuras como esta: c 2 ψ a 2 a 1 c 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

72 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Mais complicações Qual o significado de ortogonalidade num espaço vetorial complexo? Como se define comprimento de um vetor nesse espaço? a 2? a 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

73 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição O produto escalar O produto escalar (ou produto interno) de dois vetores φ e ψ é um número complexo φ ψ com as seguintes propriedades: 1. ψ = ψ 1 + ψ 2 = φ ψ = φ ψ 1 + φ ψ 2 2. ψ = c χ = φ ψ = c φ χ 3. φ ψ = ψ φ (o asterisco indica o conjugado complexo) 4. ψ ψ 0 (devido a (3), ψ ψ deve ser real) 5. ψ ψ = 0 ψ = 0 ( 0 é o vetor nulo) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

74 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição O produto escalar Forçando um pouco a notação de Dirac podemos escrever as propriedades (1) e (2) como: 1. φ ψ 1 + ψ 2 = φ ψ 1 + φ ψ 2 2. φ cψ = c φ ψ Podemos também reuni-las numa só expressão: φ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 φ ψ 1 + c 2 φ ψ 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

75 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição O produto escalar É importante notar que num espaço vetorial complexo o produto escalar não é comutativo. Pela propriedade (3), a ordem dos fatores altera o produto. Uma consequência disso é que o produto escalar é antilinear no primeiro argumento: cφ ψ = c φ ψ ou, de maneira mais geral, c 1 φ 1 + c 2 φ 2 ψ = c 1 φ 1 ψ + c 2 φ 2 ψ C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

76 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Ortogonalidade Dois vetores φ e ψ são ditos ortogonais se seu produto escalar for zero: φ ψ = 0 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

77 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Norma A norma do vetor ψ é definida por ψ = ψ ψ ψ comprimento, tamanho, módulo do vetor ψ ψ = c φ = ψ = c φ ( c é o módulo do número c) ψ = 0 ψ = 0 algumas vezes escreveremos ψ em vez de ψ C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

78 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição Ortonormalidade da base associada a uma grandeza física Ao introduzir os vetores a 1 e a 2 que representam os estados com A = a 1 e A = a 2, postulamos que eles seriam ortogonais entre si e teriam norma unitária (formam um conjunto ortonormal): a 1 a 2 = 0, a 1 = a 2 = 1 Podemos escrever essas condições de forma mais sucinta e útil: a i a j = δ ij onde o delta de Kronecker é definido por { 1 se i = j δ ij = 0 se i j C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

79 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição O produto escalar em termos das componentes ψ = c 1 a 1 + c 2 a 2 φ = d 1 a 1 + d 2 a φ ψ = di c j a i a j = di c j δ ij i,j=1 i,j=1 φ ψ = d 1c 1 + d 2c 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

80 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição A norma em termos das componentes φ ψ = d 1c 1 + d 2c 2 ψ ψ = c 1c 1 + c 2c 2 = c c 2 2 ψ = c c 2 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

81 Princípios da Mecânica Quântica Princípio da superposição As componentes em termos do produto escalar ψ = c 1 a 1 + c 2 a a i ψ = c j a i a j = c j δ ij j=1 j=1 c i = a i ψ C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

82 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born A Regra de Born C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

83 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born A regra de Born c 2 ψ ψ = c 1 a 1 + c 2 a 2 a 2 a 1 c 1 Para um sistema no estado ψ = c 1 a 1 + c 2 a 2, a probabilidade de uma medida de A resultar em a n (n = 1, 2) é P(a n ) = c n 2 c c 2 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

84 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born A regra de Born ψ = c 1 a 1 + c 2 a 2 a 1 a 2 P(a 1 ) = c 1 2 c c 2 2 ψ a 1 a 2 medidor de A a 1 a 2 P(a 2 ) = c 2 2 c c 2 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

85 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born A regra de Born Como e ψ = c n = a n ψ c c 2 2 a regra de Born pode ser escrita como P(a n ) = a n ψ 2 ψ 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

86 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born A probabilidade de qualquer resultado A probabilidade da medida resultar em qualquer um dos resultados possíveis é 100%, como não poderia deixar de ser, pois P(a 1 ) + P(a 2 ) = c 1 2 c c c 2 2 c c 2 2 = 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

87 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born Normalização do vetor de estado ψ φ = λ ψ P(φ a n ) = a n φ 2 φ 2 = λ 2 a n ψ 2 λ 2 ψ 2 = P(ψ a n ) = ψ e φ representam o mesmo estado físico! C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

88 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born Vetores normalizados ψ Todos os vetores ao longo de uma dada direção (um raio no espaço de estados) representam o mesmo estado físico. Podemos trabalhar apenas com vetores normalizados: ψ = 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

89 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born Vetores normalizados Para normalizar (à unidade) um vetor de estado ψ, basta dividir o vetor pela sua norma: ψ ψ ψ Em termos das componentes,. c n c n c1 2 + c 2 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

90 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born Fases global e relativa Mesmo com a normalização, ainda não há um único vetor representando o estado. Por exemplo, o estado físico descrito pelo vetor normalizado ψ é igualmente representado pelo vetor normalizado ψ. De maneira mais geral, os vetores ψ θ = e iθ ψ representam o mesmo estado físico para qualquer valor (real) da fase θ, já que e iθ = 1. Um vetor de estado normalizado é definido a menos de um fator de fase global. Ao contrário da fase global, fases relativas em uma superposição de estados têm significado físico: os vetores ψ θ = φ 1 + e iθ φ 2 não têm todos a mesma direção e representam estados físicos diferentes (considere φ 1 ± φ 2, por exemplo). C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

91 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born A regra de Born para vetores normalizados ψ = c 1 a 1 + c 2 a 2 (normalizado) = P(a n ) = c n 2 a 1 a 2 P(a 1 ) = c 1 2 ψ a 1 a 2 medidor de A a 1 a 2 P(a 2 ) = c 2 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

92 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born A regra de Born para vetores normalizados Em termos do produto escalar, se ψ está normalizado a probabilidade é dada por P(a n ) = a n ψ 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

93 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born Amplitude de probabilidade c n = a n ψ amplitude de probabilidade probabilidade = amplitude de probabilidade 2 Exemplo: a função de onda (grandeza física = posição x) ψ(x n ) = x n ψ P(x n ) = ψ(x n ) 2. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

94 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born Amplitude de probabilidade De maneira mais geral: φ ψ = amplitude de probabilidade de uma medida feita sobre um sistema no estado ψ ter como resultado o estado φ. P(ψ φ) = φ ψ 2 = probabilidade de uma medida feita sobre um sistema no estado ψ ter como resultado o estado φ. P(ψ φ) = P(φ ψ), embora ψ φ φ ψ (são conjugados). C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

95 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born O resultado de muitas medidas ψ a 1 a 2 ψ a 1 a 2. N medidas de A (N ) N 1 a 1 N 2 a 2 ψ a 1 a 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

96 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born Frequência de resultados em muitas medidas Mesmo conhecendo o vetor de estado ψ = c 1 a 1 + c 2 a 2 geralmente é impossível prever o resultado da próxima medida. A regra de Born prevê a frequência dos resultados em um número muito grande de medidas: N 1 N = P(a 1) = c 1 2 N 2 N = P(a 2) = c 2 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

97 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born Valor médio de muitas medidas O valor médio de A nas N medidas é A = N 1a 1 + N 2 a 2 N Com a regra de Born podemos prever o valor médio de A: A = c 1 2 a 1 + c 2 2 a 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

98 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born Incerteza ψ = c 1 a 1 + c 2 a 2 c 2 a 2 ψ a 1 c 1 c 1, c 2 0 impossível prever o resultado da medida c } 1 = 0 ( = c 2 = 1) é possível prever o resultado c 2 = 0 ( = c 1 = 1) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

99 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born Incerteza Se é possível prever o resultado da medida, dizemos que o valor de A está bem definido no estado ψ. Se não é possível prever o resultado da medida, dizemos que o valor de A tem uma incerteza. Incerteza A no estado ψ ( A) 2 = (A A ) 2 = A 2 A 2. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

100 Princípios da Mecânica Quântica A regra de Born Incerteza nula A = 0 é possível prever o resultado de uma medida de A c 1 = 0 ou c 2 = 0 a 2 A = 0 a 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

101 Princípios da Mecânica Quântica Complementaridade Complementaridade e o Princípio da Incerteza C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

102 Princípios da Mecânica Quântica Complementaridade Complementaridade Duas grandezas físicas: A e B a 2 a 1 a 2 a 1 b 2 b 1 b 2 b 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

103 Princípios da Mecânica Quântica Complementaridade Grandezas compatíveis e incompatíveis A e B compatíveis a 2 b 2 b 1 a 1 A e B incompatíveis b 2 a 2 b 1 a 1 A e B complementares: incompatibilidade máxima C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

104 Princípios da Mecânica Quântica Complementaridade Princípio da incerteza b 2 a 2 ψ ( A 0, B 0) b 1 ( B = 0, A 0) a 1 ( A = 0, B 0) A e B incompatíveis = nenhum estado ψ com A = 0 e B = 0 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

105 Princípios da Mecânica Quântica Complementaridade Exemplo: posição e momentum x 1 x 2 x Duas posições: x 1 e x 2 ( aqui e ali ) Dois estados de movimento: p 1 e p 2 ( repouso e movimento ) p 2 x 2 p 1 x 1 é impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

106 Princípios da Mecânica Quântica Redução do vetor de estado Redução do Vetor de Estado C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

107 Princípios da Mecânica Quântica Redução do vetor de estado O vetor de estado após a medida antes da medida ψ a 1 a 2 a 1 a 2 a 2 depois da medida C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

108 Princípios da Mecânica Quântica Redução do vetor de estado Redução do vetor de estado Se uma medida resulta em A = a n, logo após a medida o estado do sistema deve ser a n. a 2 A = a 2 ψ A = a 1 a 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

109 Princípios da Mecânica Quântica Redução do vetor de estado Repetibilidade O colapso para a n garante que a medida é repetível: se a refizermos logo em seguida encontraremos A = a n novamente, com 100% de probabilidade. Na prática, em muitos aparatos de medida, o colapso correspondente ao resultado A = a n não leva ao estado a n, mas para algum outro estado χ n. Por exemplo: Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção; não há mais fóton após a primeira medida e o estado final é zero fótons. A energia de um nêutron pode ser medida pelo recuo de um próton com o qual o nêutron colide (em uma câmara de bolhas, por exemplo). Após a colisão a energia do nêutron não tem mais o valor inicial. Em casos como esses há um colapso mas a medida não é repetível. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

110 Princípios da Mecânica Quântica Redução do vetor de estado Preparação de estados A redução do vetor de estado permite colocar o sistema em um estado conhecido. Preparação da condição inicial em experimentos.? a 1 a 2 ψ = a 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

111 Princípios da Mecânica Quântica Redução do vetor de estado Medidas simultâneas de duas grandezas A e B incompatíveis: É impossível construir um aparato capaz de realizar medidas simultâneas e repetíveis de A e B. É impossível construir um aparato capaz de preparar o sistema em um estado com A e B bem definidos. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

112 Princípios da Mecânica Quântica Evolução unitária Evolução Unitária C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

113 Princípios da Mecânica Quântica Evolução unitária Dinâmica quântica Evolução temporal do vetor de estado: ψ(0) ψ(t) A dinâmica quântica é determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante). C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

114 Princípios da Mecânica Quântica Evolução unitária A (solução da) equação de Schroedinger E 2 Sistema de dois estados Dois niveis de energia: E 1 e E 2 ψ E 1 ψ(0) = c 1 E 1 + c 2 E 2 ψ(t) = c 1 e ie 1t/ E 1 + c 2 e ie 2t/ E 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

115 Princípios da Mecânica Quântica Evolução unitária A (solução da) equação de Schroedinger = constante de Planck (/2π) Js Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas: c n (t) = c n e ient/ A evolução ψ(0) ψ(t) ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem saltos quânticos ) e determinística (sem elementos probabilísticos). C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

116 Princípios da Mecânica Quântica Evolução unitária Propriedades da (solução da) equação de Schroedinger Linearidade ψ(0) = α φ(0) + β χ(0) } φ(0) φ(t) χ(0) χ(t) = ψ(t) = α φ(t) + β χ(t) χ(0) ψ(0) χ(t) ψ(t) φ(0) φ(t) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

117 Princípios da Mecânica Quântica Evolução unitária Propriedades da (solução da) equação de Schroedinger Demonstração: φ(0) = c 1 E 1 + c 2 E 2, χ(0) = d 1 E 1 + d 2 E 2 = ψ(0) = α φ(0) + β χ(0) = (αc 1 + βd 1 ) E 1 + (αc 2 + βd 2 ) E 2 = ψ(t) = (αc 1 + βd 1 )e ie1t/ E 1 + (αc 2 + βd 2 )e ie2t/ E 2 ( ) = α c 1 e ie1t/ E 1 + c 2 e ie2t/ E 2 ( ) + β d 1 e ie1t/ E 1 + d 2 e ie2t/ E 2 = α φ(t) + β χ(t) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

118 Princípios da Mecânica Quântica Evolução unitária Propriedades da (solução da) equação de Schroedinger Conservação do produto escalar φ(t) ψ(t) = φ(0) ψ(0) = Conservação da norma ψ(t) = ψ(0) = Conservação da ortogonalidade ψ(0) ortogonal a φ(0) ψ(t) ortogonal a φ(t) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

119 Princípios da Mecânica Quântica Evolução unitária Propriedades da (solução da) equação de Schroedinger Demonstração: ψ(t) = c 1 e ie 1t/ E 1 + c 2 e ie 2t/ E 2, φ(t) = d 1 e ie 1t/ E 1 + d 2 e ie 2t/ E 2 = φ(t) ψ(t) = (d ) 1 e ie ( ) 1t/ c 1 e ie 1t/ + (d ) 2 e ie ( ) 2t/ c 2 e ie 2t/ = d 1c 1 + d 2c 2 = φ(0) ψ(0) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

120 Princípios da Mecânica Quântica Evolução unitária Propriedades da (solução da) equação de Schroedinger Evolução unitária: Determinismo Continuidade Linearidade Conservação do produto escalar Conservação da norma Conservação da ortogonalidade C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

121 Princípios da Mecânica Quântica Evolução unitária Estados estacionários Estado de energia bem definida E n : ψ(0) = E n = ψ(t) = e ient/ E n ψ(0) e ψ(t) diferem por um fator de fase = ψ(0) e ψ(t) representam o mesmo estado físico. Estados de energia bem definida são estados estacionários. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

122 Princípios da Mecânica Quântica Evolução unitária Conservação da energia ψ(t) = c 1 e ie 1t/ E 1 + c 2 e ie 2t/ E 2 P(E n, t) = c n e ient/ 2 = c n 2 E ψ(t) = c 1 e ie 1t/ 2 E 1 + c 2 e ie 2t/ 2 E 2 = c 1 2 E 1 + c 2 2 E 2 = { P(En, t) = P(E n, 0) E ψ(t) = E ψ(0) A energia é conservada, em média. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

123 Princípios da Mecânica Quântica Resumo: cinemática e dinâmica quânticas Resumo: cinemática e dinâmica quânticas estado físico vetor no espaço de estados grandeza física sistema de eixos (base) no espaço de estados C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

124 Princípios da Mecânica Quântica Resumo: cinemática e dinâmica quânticas Resumo: cinemática e dinâmica quânticas a 2 probabilidade de uma medida de A resultar em a n a 1 proximidade do vetor de estado ao eixo a n grandezas físicas incompatíveis diferentes sistemas de eixos no espaço de estados C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

125 Princípios da Mecânica Quântica Resumo: cinemática e dinâmica quânticas Resumo: cinemática e dinâmica quânticas a 2 medida resultando em A = a n a 1 colapso para o eixo a n t > 0 evolução temporal t = 0 evolução unitária (equação de Schroedinger) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

126 Princípios da Mecânica Quântica Transição quântico-clássico O Processo de Medida e a Transição Quântico-Clássico C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

127 Princípios da Mecânica Quântica Transição quântico-clássico Redução do vetor de estado evolução unitária Redução do vetor de estado: Descontínua Probabilística Ocorre durante o processo de medida Evolução unitária: Contínua Determinística Válida enquanto não se faz uma medida C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

128 Princípios da Mecânica Quântica Transição quântico-clássico Dois tipos de evolução temporal? Redução do vetor de estado: Interação do sistema quântico com um aparato clássico, o aparelho de medida ou observador. A = a 1 ou a 2 (medida resulta em um único valor) Evolução unitária: Interação do sistema quântico com outro sistema quântico. A = a 1 e a 2 (superposição quântica de estados) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

129 Princípios da Mecânica Quântica Transição quântico-clássico O problema da medida Por que o processo de medida não segue a evolução unitária? Descrição quântica do aparelho de medida: a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

130 Princípios da Mecânica Quântica Transição quântico-clássico O problema da medida Se aparato é um bom aparelho de medida: antes da medida a 1 a 1 a 2 a 2 depois da medida Se a evolução unitária for aplicável ao aparelho de medida: c 1 a 1 + c 2 a 2 c 1 a 1 + c 2 a 2 = o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo! C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

131 Princípios da Mecânica Quântica Transição quântico-clássico O problema da medida Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico? Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em duas direções ao mesmo tempo. Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto. Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos? Uma descrição do processo de medida baseada na evolução unitária deve necessariamente dar resposta a essas questões. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

132 Princípios da Mecânica Quântica Transição quântico-clássico Física quântica física clássica Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos... L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics... os instrumentos de medida, para funcionarem como tal, não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica. N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de o aparato não deveria ser separado do resto do mundo em uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica. J. Bell, Against measurement C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

133 Princípios da Mecânica Quântica Transição quântico-clássico Física quântica física clássica... a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação... L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

134 Princípios da Mecânica Quântica Transição quântico-clássico Os gatos de Schroedinger C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

135 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas com mais de dois estados Sistemas com Mais de Dois Estados C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

136 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas com mais de dois estados Sistemas de 3 estados Três valores possíveis para a grandeza A: a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 base ortonormal: a m a n = δ mn, m, n = 1, 2, 3 superposição: ψ = c 1 a 1 + c 2 a 2 + c 3 a 3 amplitude de probabilidade: c n = a n ψ probabilidade P(a n ) = c n 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

137 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas com mais de dois estados Sistemas de N estados N valores possíveis para a grandeza A: a 1 a 2... an base ortonormal: a m a n = δ mn, m, n = 1, 2,..., N N superposição: ψ = c n a n n=1 amplitude de probabilidade: c n = a n ψ probabilidade P(a n ) = c n 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

138 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas com mais de dois estados Sistemas de infinitos estados N pode ser infinito: base ortonormal: a m a n = δ mn, m, n = 1, 2, 3,... superposição: ψ = c n a n n=1 amplitude de probabilidade: c n = a n ψ probabilidade P(a n ) = c n 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

139 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas com mais de dois estados Sistemas de infinitos estados N pode ser infinito, e os valores de a contínuos: superposição: ψ = da c(a) a amplitude de probabilidade: c(a) = a ψ densidade de probabilidade: ρ(a) = c(a) 2 probabilidade: P(a 1, a 2 ) = a2 a 1 da c(a) 2 base ortonormal: a a = δ(a a ) função delta de Dirac C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

140 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas com mais de dois estados A função delta de Dirac Definição : { 0, x c δ(x c) =, x = c dx f (x)δ(x c) = f (c) Comparação com a delta de Kronecker: { 0, m n δ mn = 1, m = n F m δ mn = F n m= C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

141 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas com mais de dois estados Sistemas de infinitos estados: a função de onda Exemplo: x = posição de uma partícula base ortonormal: x x = δ(x x ) superposição: ψ = dx ψ(x) x amplitude de probabilidade: ψ(x) = x ψ função de onda densidade de probabilidade: ρ(x) = ψ(x) 2 probabilidade: P(x 1, x 2 ) = x2 x 1 dx ψ(x) 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

142 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas com mais de dois estados Onipresença quântica C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

143 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Sistemas Compostos e Emaranhamento C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

144 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Sistemas individuais ψ sistema 1 ϕ sistema 2 ψ : estado do sistema 1 ϕ : estado do sistema 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

145 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Sistema composto ψ, ϕ subsistema 1 subsistema 2 sistema composto Estados separáveis: ψ, ϕ : subsistema 1 no estado ψ, subsistema 2 no estado ϕ C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

146 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Estados separáveis Superposição no subsistema 1: aψ + bψ, ϕ = a ψ, ϕ + b ψ, ϕ Superposição no subsistema 2: ψ, cϕ + dϕ = c ψ, ϕ + d ψ, ϕ Essas propriedades tornam natural definir um produto de estados. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

147 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Produto tensorial ψ, ϕ ψ 1 ϕ 2 ψ 1 ϕ 2 O produto tensorial é, por definição, linear : ) (a ψ 1 + b ψ 1 ϕ 2 = a ψ 1 ϕ 2 + b ψ 1 ϕ 2 ) ψ 1 (c ϕ 2 + d ϕ 2 = c ψ 1 ϕ 2 + d ψ 1 ϕ 2 = resultado esperado para a superposição em um dos subsistemas C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

148 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Base do espaço de estados do sistema composto Base ortonormal no espaço do sistema 1: a m, m = 1, 2,... Base ortonormal no espaço do sistema 2: b n, n = 1, 2,... Base ortonormal no espaço de estados do sistema composto: Relação de ortonormalidade: a m, b n = a m 1 b n 2 a m, b n a i, b j = δ mi δ nj C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

149 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Espaço de estados do sistema composto Vetor do espaço de estados do sistema composto: Ψ = c mn a m, b n c mn a m 1 b n 2 m,n m,n Amplitude de probabilidade: c mn = a m, b n Ψ Espaço de estados do sistema composto: H = H 1 H 2 produto tensorial dos espaços de estados dos sistemas 1 e 2 dimensão de H 1 = N, dimensão de H 2 = M = N vetores na base a m, M vetores na base b n = N M vetores na base a m, b n = dimensão de H = N M C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

150 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Estados separáveis Estados dos sistemas 1 e 2: ψ 1 = m α m a m 1, ϕ 2 = n β n b n 2 Estado separável do sistema composto: ψ, ϕ = ψ 1 ϕ 2 ( ) ( ) = α m a m 1 β n b n 2 m n = α m β n a m 1 b n 2 m,n = α m β n a m, b n m,n C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

151 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Amplitudes em estados separáveis Amplitudes do estado separável: c mn = α m β n ou, em termos dos produtos escalares, De forma geral: a m, b n ψ, ϕ = a m ψ 1 1 b n ϕ 2 2 ψ, ϕ ψ, ϕ = ψ ψ 1 1 ϕ ϕ 2 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

152 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Estados emaranhados Nem todo estado é separável, pois nem sempre é possível encontrar números α m e β n tais que c mn = α m β n. Estados não-separáveis, para os quais c mn α m β n, são chamados de estados emaranhados. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

153 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Estados emaranhados Exemplo de estado emaranhado: Ψ = 1 2 a 1, b a 2, b 1 Se Ψ fosse separável deveríamos ter α 1 β 2 = α 2 β 1 = 1/ 2, α 1 β 1 = α 2 β 2 = 0, o que é impossível, pois a primeira equação diz que todos os α s e β s são diferentes de zero, e a segunda diz que pelo menos dois deles são nulos. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

154 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Estados emaranhados Outro exemplo: a função de onda de duas partículas Ψ = dx 1 dx 2 Ψ(x 1, x 2 ) x 1, x 2 O estado Ψ é separável se Ψ(x 1, x 2 ) = ψ(x 1 )ϕ(x 2 ) Se Ψ(x 1, x 2 ) ψ(x 1 )ϕ(x 2 ), o estado Ψ é emaranhado. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

155 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Estados emaranhados Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais. Os subsistemas emaranhados devem ser tratados como um único objeto, mesmo quando estão separados por distâncias macroscópicas. O emaranhamento é responsável por alguns dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da mecânica quântica. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

156 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Emaranhamento O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo quando essas estão completamente separadas umas das outras e no momento não influenciam umas às outras. E. Schroedinger, The Present Situation in Quantum Mechanics (o artigo de 1935 onde aparece o gato de Schroedinger) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

157 Princípios da Mecânica Quântica Sistemas compostos e emaranhamento Par emaranhado C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

158 Sistemas Quânticos Simples Sistemas Quânticos Simples C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

159 Sistemas Quânticos Simples Sumário Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Fenômenos Quânticos Princípios da Mecânica Quântica Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Caminhos indistinguíveis no interferômetro Medida sem interação O problema de Deutsch Realismo, Contextualidade e Não-localidade C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

160 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Interferômetro de Mach-Zehnder C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

161 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Interferômetro de Mach-Zehnder D 1 0% 100% D 2 Ondas D 1 : interferência destrutiva D 2 : interferência construtiva C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

162 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Anticoincidência D 1 25% 50% 25% D 2 Partículas D 1 e D 2 nunca disparam simultaneamente C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

163 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Descrição quântica do interferômetro 1 (caminho 1) 2 (caminho 2) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

164 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Espaço de estados 2 ψ = c c probabilidades: { P1 = c 1 2 P 2 = c 2 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

165 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Transmissão e reflexão pelo semiespelho t 1 + r 2 2 r 1 + t 2 t = amplitude de transmissão pelo semiespelho r = amplitude de reflexão pelo semiespelho C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

166 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Evolução unitária no semiespelho 1 S 1 = t 1 + r 2 2 S 2 = r 1 + t 2 S 1 S 1 = S 2 S 2 = t 2 + r 2 S 1 S 2 = t r + r t Evolução unitária: Linearidade: c c 2 2 c 1 S 1 + c 2 S 2 Conservação do produto escalar: 1 1 = 2 2 = 1 = t 2 + r 2 = = 0 = t r + r t = 0 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

167 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Amplitudes de transmissão e reflexão Fases de r e t: r = r e iα, t = t e iβ t r + r t = 0 = e 2i(α β) = 1 = α β = ±π/2 Semiespelho 50 50%: r = t r 2 + t 2 = 1 = r = t = 1/ 2 r = e iα / 2 = t = e iβ / 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

168 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Amplitudes de transmissão e reflexão Escolha das fases: α = π/2, β = 0 = r = i 2 t = S 1 = i S 2 = i C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

169 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Interferômetro de Mach-Zehnder D 1 0% D 2 100% 1 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

170 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Passagem pelo interferômetro Estado inicial: ψ inicial = 1 Primeiro semiespelho: 1 S 1 = i C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

171 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Passagem pelo interferômetro Segundo semiespelho: i 2 1 S i 2 S 2 = 1 ( i ) 2 + i ( i ) ( 1 = 2 1 ( i 1 + 2) 2 2) + i 2 = i 2 interferência destrutiva interferência construtiva C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

172 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Saída do interferômetro Estado final: ψ final = i 2 Amplitudes de probabilidade: 1 ψ final = 0 2 ψ final = i Probabilidades: P(D 1 ) = 0 P(D 2 ) = i 2 = 1 O mesmo resultado do experimento! C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

173 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Caminho bloqueado D 1 25% 50% D 2 25% 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

174 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Caminho bloqueado Estado inicial: ψ inicial = 1 Primeiro semiespelho: i Bloqueio: i i 2 fóton bloqueado C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

175 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Caminho bloqueado Segundo semiespelho: i 1 ( i ) 2 + i 2 2 Estado final: ψ final = i i 2 Não há interferência. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

176 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Caminho bloqueado Amplitudes de probabilidade: 1 ψ final = 1/2 2 ψ final = i/2 ψ final = i/ 2 Probabilidades: P(D 1 ) = 1/4 = 25% P(D 2 ) = 1/4 = 25% P( ) = 1/2 = 50% O mesmo resultado do experimento! C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

177 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Caminhos alternativos distinguíveis D 1 50% 50% 2 mola D 2 1 mola não perturbada caminho 1 mola vibrando caminho 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

178 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Caminhos alternativos distinguíveis Quatro estados: 1, Z caminho 1, mola não perturbada 1, V caminho 1, mola vibrando 2, Z caminho 2, mola não perturbada 2, V caminho 2, mola vibrando Estado inicial: ψ inicial = 1, Z Primeiro semiespelho: 1, Z 1 1, Z + i 2, V 2 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

179 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Caminhos alternativos distinguíveis Segundo semiespelho: 1 1, Z + i 2, V 2 2 ( , Z + i ) 2, Z + i ( i 1, V + 1 ) 2, V Estado final: ψ final = 1 2 1, Z + i 2 2, Z 1 2 1, V + i 2 2, V A interferência desapareceu! C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

180 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Caminhos alternativos distinguíveis Amplitudes de probabilidade: 1Z ψ final = 1/2, 1V ψ final = 1/2 2Z ψ final = i/2, 2V ψ final = i/2 Probabilidades: P(D 1, Z) = P(D 1, V ) = P(D 2, Z) = P(D 2, V ) = 1/4 = 25% P(D 1 ) = P(D 1, Z) + P(D 1, V ) = 50% = P(D 2 ) = P(D 2, Z) + P(D 2, V ) = 50% = o mesmo resultado do experimento! C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

181 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Apagando a informação sobre o caminho D 1 0% 100% 2 D 2 mola 1 mola não perturbada caminhos (1-1-1) e (1-2-1) mola vibrando caminhos (1-1-2) e (1-2-2) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

182 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Apagando a informação sobre o caminho Estado inicial: ψ inicial = 1, Z Primeiro semiespelho: 1, Z 1 1, Z + i 2, V 2 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

183 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Apagando a informação sobre o caminho Segundo semiespelho: Estado final: 1 1, Z + i 2, V 1 ( 1 2 1, Z + i ) 2, V ( i i 1, Z + 1 ) 2, V ψ final = ( ( i 1, Z + 2) 2 2) + i 2, V = i 2, V interferência destrutiva interferência construtiva não há informação sobre o caminho = interferência reaparece! C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

184 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Apagando a informação sobre o caminho Amplitudes de probabilidade: 1Z ψ final = 0, 1V ψ final = 0 2Z ψ final = 0, 2V ψ final = i Probabilidades: P(D 1, Z) = P(D 1, V ) = P(D 2, Z) = 0, P(D 2, V ) = 100% P(D 1 ) = P(D 1, Z) + P(D 1, V ) = 0% = P(D 2 ) = P(D 2, Z) + P(D 2, V ) = 100% = o mesmo resultado do experimento! C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

185 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Defasagem As probabilidades P(D 1 ) e P(D 2 ) dependem de diferenças entre os dois caminhos no interferômetro. diferença de comprimentos diferença de densidades C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

186 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Defasagem Características do caminho percorrido fase ϕ 1 e iϕ 1 1 ϕ 1 2 e iϕ 2 2 ϕ 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

187 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Defasagem D 1 D 2 ϕ 2 ϕ 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

188 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Defasagem Estado inicial: ψ inicial = 1 Primeiro semiespelho: i Defasadores: i 2 1 e iϕ i 2 e iϕ 2 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

189 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Defasagem Segundo semiespelho: 1 e iϕ i e iϕ ( e iϕ i ) ( i e iϕ 2 i ) Estado final: ψ final = 1 2 ( ) e iϕ 1 e iϕ i ( ) e iϕ 1 + e iϕ C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

190 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Defasagem Amplitudes de probabilidade: 1 ψ final = 1 ( 2 e iϕ 1 e iϕ ) 2 2 ψ final = i ( 2 e iϕ 1 + e iϕ ) 2 Probabilidades: P(D 1 ) 1 P(D 1 ) = 1 2 [1 cos(ϕ 1 ϕ 2 )] P(D 2 ) = 1 2 [1 + cos(ϕ 1 ϕ 2 )] P(D 2 ) 1 0 ϕ 1 ϕ 2 0 ϕ 1 ϕ 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

191 Sistemas Quânticos Simples Interferômetro de Mach-Zehnder Defasagem distância λ L 1 L 2 (λ/50) ϕ = 2π λ L = kl = ϕ 1 ϕ 2 = k(l 1 L 2 ). C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

192 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Caminhos indistinguíveis no interferômetro C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

193 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Interferômetro de Mach-Zehnder D 1 0% D 2 100% 1 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

194 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro O que interfere no interferômetro? 1 1o semiesp. t 1 + r 2 2 o semiesp. t ( t 1 + r 2 ) ( ) + r r 1 + t 2 = (tt + rr) 1 + (tr + rt) 2 caminhos: C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

195 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro A amplitude de cada caminho Amplitude de probabilidade para cada caminho: A 1 (1 1) = t t = = A 2 (1 1) = r r = i i = (1-1-1) (1-2-1) A 1 (1 2) = t r = 1 i = i A 2 (1 2) = r t = i 1 2 = i 2 2 (1-1-2) (1-2-2) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

196 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Soma sobre caminhos Amplitude total = soma das amplitudes de cada caminho: A(1 1) = A 1 (1 1) + A 2 (1 1) = = 0 A(1 2) = A 1 (1 2) + A 2 (1 2) = i 2 + i 2 = i Probabilidade: P(D 1 ) = A(1 1) 2 = A 1 (1 1) + A 2 (1 1) 2 = 0 P(D 2 ) = A(1 2) 2 = A 1 (1 2) + A 2 (1 2) 2 = 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

197 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Interferência de amplitudes Se a e b são pontos de entrada e saída do interferômetro (a, b = 1, 2): P(a b) = A 1 (a b) + A 2 (a b) 2 = A A A 1A 2 + A 1 A 2 = P 1 (a b) + P 2 (a b) + 2 R(A 1A 2 ) caminho (a-1-b) caminho (a-2-b) interferência C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

198 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Caminho bloqueado D 1 25% 50% D 2 25% 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

199 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Por que não há interferência? 1 1o semiesp. t 1 + r 2 bloqueio t 1 + r 2 o ( ) semiesp. t t 1 + r 2 + r = tt 1 + tr 2 + r caminhos: C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

200 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Apenas um caminho Amplitude de probabilidade para cada caminho: A(1 1) = t t = 1/2 (1-1-1) A(1 2) = t r = i/2 (1-1-2) A(1 ) = r = i/ 2 (1-2- ) Só há um caminho entre os pontos inicial e final = não há diferentes amplitudes a serem somadas = não há interferência! Probabilidades: P(D 1 ) = A(1 1) 2 = 1/4 P(D 2 ) = A(1 2) 2 = 1/4 P( ) = A(1 ) 2 = 1/2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

201 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Caminhos alternativos distinguíveis D 1 50% 50% 2 mola D 2 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

202 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Caminhos alternativos distinguíveis 1Z interf. tt 1Z + rr 1V + tr 2Z + rt 2V caminhos: 1Z-1Z-1Z 1Z-2V-1V 1Z-1Z-2Z 1Z-2V-2V 1 2 Z,V Z,V C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

203 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Caminhos alternativos distinguíveis Amplitudes de probabilidade: A(1Z 1Z) = t t = 1/2 (1Z-1Z-1Z) A(1Z 1V ) = r r = 1/2 (1Z-2V-1V) A(1Z 2Z) = t r = i/2 (1Z-1Z-2Z) A(1Z 2V ) = r t = i/2 (1Z-2V-2V) Apenas um caminho entre os estados inicial e final. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

204 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Caminhos alternativos distinguíveis (cont.) Probabilidades: P(1Z 1Z) = A(1Z 1Z) 2 = 1/4 P(1Z 1V ) = A(1Z 1V ) 2 = 1/4 P(1Z 2Z) = A(1Z 2Z) 2 = 1/4 P(1Z 2V ) = A(1Z 2V ) 2 = 1/4 Soma de probabilidades: { P(D1 ) = P(1Z 1Z) + P(1Z 1V ) = 1/2 P(D 2 ) = P(1Z 2Z) + P(1Z 2V ) = 1/2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

205 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Apagando a informação sobre o caminho D 1 0% 100% 2 D 2 mola 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

206 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Apagando a informação sobre o caminho 1Z interf. (tt + rr) 1Z + (tr + rt) 2V caminhos: 1Z-1Z-1Z 1Z-2V-1Z 1Z-1Z-2V 1Z-2V-2V 1 2 Z,V 2 Z,V 2 Z,V 1 1 Z,V 1 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

207 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Apagando a informação sobre o caminho Dois caminhos para um mesmo estado final. Amplitudes de probabilidade: A 1 (1Z 1Z) = t t = 1/2 A 2 (1Z 1Z) = r r = 1/2 A 1 (1Z 2V ) = t r = i/2 A 2 (1Z 2V ) = r t = i/2 A n (1Z 1V ) = A n (1Z 2Z) = 0 (1Z-1Z-1Z) (1Z-2V-1Z) (1Z-1Z-2Z) (1Z-2V-2V) (não há caminho) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

208 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Apagando a informação sobre o caminho Soma sobre caminhos: A(1Z 1Z) = A 1 (1Z 1Z) + A 1 (1Z 1Z) = 0 A(1Z 2V ) = A 1 (1Z 2V ) + A 1 (1Z 2V ) = i A(1Z 1V ) = A(1Z 2Z) = 0 (zero caminhos) Interferência retorna! C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

209 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Regras de Feynman no interferômetro Reflexão por um semiespelho amplitude = i 2 Transmissão por um semiespelho amplitude = 1 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

210 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Regras de Feynman no interferômetro (cont.) Propagação (defasagem por deslocamento) L amplitude = e ikl Defasagem (geral) ϕ amplitude = e iϕ Reflexão por um espelho amplitude = i C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

211 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Exemplo: interferômetro de Mach-Zehnder D 1 1 ϕ 1 A 1 (1 D 1 ) = 1 2 e iϕ = eiϕ 1 2 D 1 1 ϕ 2 A 2 (1 D 1 ) = i e iϕ 2 i = eiϕ C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

212 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Exemplo: interferômetro de Mach-Zehnder D 1 1 ϕ 2 ϕ 1 A(1 D 1 ) = A 1 + A 2 = 1 2 ( ) e iϕ 1 e iϕ 2 P(1 D 1 ) = A 1 + A 2 2 = 1 2 [1 cos(ϕ 1 ϕ 2 )] C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

213 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Soma sobre histórias 1 b a 2... N Amplitude de uma história: A n (a b) = produto das amplitudes correspondentes a cada etapa da história n N histórias indistinguíveis: soma das amplitudes de cada história A(a b) = A 1 (a b) + A 2 (a b) + + A N (a b) P(a b) = A 1 (a b) + A 2 (a b) + + A N (a b) 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

214 Sistemas Quânticos Simples Caminhos indistinguíveis no interferômetro Soma sobre histórias Há 31 anos Feynman falou-me a respeito da soma sobre histórias, sua versão da mecânica quântica. O elétron faz o que desejar, disse. Ele vai em qualquer direção com qualquer velocidade,... do jeito que quiser, e então você soma as amplitudes e encontra a função de onda. Eu disse, Você está maluco. Mas ele não estava. Freeman Dyson, 1980 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

215 Sistemas Quânticos Simples Medida sem interação Medida sem interação C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

216 Sistemas Quânticos Simples Medida sem interação O palito de fósforo quântico São acesos pela absorção de um único fóton! C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

217 Sistemas Quânticos Simples Medida sem interação O palito de fósforo quântico Fósforo bom Fósforo ruim C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

218 Sistemas Quânticos Simples Medida sem interação Um problema fósforos bons e ruins misturados Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons? C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

219 Sistemas Quânticos Simples Medida sem interação Solução clássica C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

220 Sistemas Quânticos Simples Medida sem interação Solução quântica D 1 D 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

221 Sistemas Quânticos Simples Medida sem interação Palito ruim D 1 0% transparente D 2 100% palito ruim = D 1 nunca dispara C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

222 Sistemas Quânticos Simples Medida sem interação Palito bom D 1 25% 50% D 2 25% palito bom = D 1 dispara 25% das vezes e o fósforo permanece intacto C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

223 Sistemas Quânticos Simples Medida sem interação Teste quântico Resultados: fósforo acende = fósforo era bom mas agora está queimado D 1 dispara = fósforo bom intacto D 2 dispara = fósforo ruim ou fósforo bom intacto Dos fósforos bons: 50% foram queimados 25% estão identificados como bons e permanecem intactos 25% em dúvida C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

224 Sistemas Quânticos Simples Medida sem interação Teste quântico Conclusão: É possível encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons! C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

225 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch O problema de Deutsch C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

226 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch O outro lado da moeda Como saber se uma moeda é honesta ou viciada? 1 o lado 2 o lado 1 o lado 2 o lado moeda honesta moeda viciada C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

227 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch O outro lado da moeda Resposta: olhando dos dois lados 1 o lado 2 o lado moeda honesta 4 possibilidades moeda viciada C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

228 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch Os dois lados da moeda É possível espiar os dois lados da moeda com um único fóton? Aparentemente, seriam necessários no mínimo dois fótons. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

229 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch Os dois lados da moeda D 1 Defasagens: cara = ϕ = 0 coroa = ϕ = π D 2 ϕ 2 ϕ C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

230 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch Montagem equivalente cara = ϕ = 0 coroa = ϕ = π D 1 D 2 ϕ 2 ϕ 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

231 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch Os dois lados da moeda P(D 1 ) = 1 2 [1 cos(ϕ 1 ϕ 2 )] P(D 2 ) = 1 2 [1 + cos(ϕ 1 ϕ 2 )] D 1 moeda honesta: ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 = ±π fóton em D 1 ϕ 2 D 2 moeda viciada: ϕ 1 = ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 = 0 ϕ 1 fóton em D 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

232 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch O problema de Deutsch Seja uma função f : {0, 1} {0, 1}. quatro possibilidades x = 0 x = 1 f f f f f constante f balanceada É possível descobrir se a função é constante com um único cálculo de f? O problema cuja solução (o algoritmo de Deutsch) foi um dos marcos iniciais da computação quântica. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

233 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch Calculadora clássica x f f (x) bit bit variável que só pode assumir dois valores: 0 ou 1 Para determinar se f é constante ou balanceada, temos que usar a calculadora duas vezes: uma com x = 0 e outra com x = 1. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

234 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch Calculadora quântica? x f f (x) qbit qbit sistema quântico cujo vetor de estado pode ser 0, 1 ou uma superposição de 0 e 1 1 base computacional 0 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

235 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch Calculadora quântica? x f f (x) Processo quântico = a operação x f (x) deve corresponder a uma evolução unitária. Se f (x) é constante, o produto escalar não é conservado: 0 1 = 0 f (0) f (1) = 1 = a operação não é unitária C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

236 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch A calculadora quântica x, y f x, y f (x) estados de dois qbits adição módulo 2: 0 0 = = 1 0 = = 0 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

237 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch A calculadora quântica A transformação x, y x, y f (x) conserva o produto escalar: x, y x, y x, y f (x ) x, y f (x) δ x,x δ y,y δ x,x x, y f (x) x, y f (x) = δ x,x δ y,y já que y f (x) = y f (x) y = y. A função f (x) pode ser calculada tomando y = 0: x, 0 x, f (x) mas, aparentemente, ainda são necessários de dois cálculos para determinar se f (x) é constante. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

238 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch Superposições de estados de dois qbits Dois sistemas de dois estados: x, y primeiro qbit (x = 0, 1) segundo qbit (y = 0, 1) Base computacional: 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1 Superposição de estados do segundo qbit: c 0 x, 0 + c 1 x, 1 = x (c c 1 1 ) Superposição de estados do primeiro qbit: c 0 0, y + c 1 1, y = (c c 1 1 ) y Superposição de estados dos dois qbits: c 00 0, 0 + c 10 1, 0 + c 01 0, 1 + c 11 1, 1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

239 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch Computação de superposições Outra base para os qbits: ± = 1 2 ( 0 ± 1 ) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

240 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch Computação de superposições Estados + e no segundo qbit: x, ± = 1 2 ( x, 0 ± x, 1 ) Processamento de x, + : x, + Processamento de x, : x, f 1 ( x, 0 f (x) + x, 1 f (x) ) = x, + 2 f 1 ( x, 0 f (x) x, 1 f (x) ) = ( 1) f (x) x, 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

241 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch Computação de superposições Superposição também no primeiro qbit: ±, + = 1 2 ( 0, + ± 1, + ) ±, = 1 2 ( 0, ± 1, ) Processamento de ±, + : ±, + f 1 2 ( 0, + ± 1, + ) = ±, + C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

242 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch Computação de superposições Processamento de ±, : ±, f 1 [ ] ( 1) f (0) 0, ± ( 1) f (1) 1, 2 ( 1)f (0) [ ] = 0, ± ( 1) f (1) f (0) 1, 2 = f constante = ±, f ( 1) f (0) ±, f balanceada = ±, f ( 1) f (0), C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

243 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch A solução do problema de Deutsch +, f ( 1) +, f constante ( 1) f (0), f balanceada Um único cálculo de f : primeiro qbit = + primeiro qbit = = f constante = f balanceada C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

244 Sistemas Quânticos Simples O problema de Deutsch O computador quântico C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

245 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo, Contextualidade e Não-localidade C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

246 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Sumário Ensino e Aprendizagem de Mecânica Quântica Fenômenos Quânticos Princípios da Mecânica Quântica Sistemas Quânticos Simples Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Contextualidade e não-localidade C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

247 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Realismo e Variáveis Ocultas C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

248 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Estados e grandezas físicas Física clássica Estado do sistema: r, p (uma partícula) Grandeza física: A( r, p) Por exemplo: energia, E( r, p) = p 2 /(2m) + V ( r) momento angular, L( r, p) = r p A grandeza A tem sempre um valor bem definido, determinado pelo estado do sistema. Uma medida revela o valor de A, que existe independentemente da observação ser ou não realizada. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

249 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Estados e grandezas físicas Mecânica quântica Estado do sistema: vetor ψ no espaço de estados Grandeza física: base { a n, n = 1, 2,... } no espaço de estados O vetor de estado não determina o valor da grandeza física A; em geral não faz sentido falar do valor de A no estado ψ. O estado ψ determina apenas a probabilidade de uma medida de A resultar em A = a n. A grandeza A não tem um valor antes da medida. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

250 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Realidade e observação A ideia de um mundo real objetivo cujas menores partes existem objetivamente no mesmo sentido em que pedras e árvores existem, independentemente de nós as observarmos ou não [...] é impossível. W. Heisenberg Observações não apenas perturbam o que está sendo medido, elas o produzem! P. Jordan C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

251 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Realidade e observação Quando perguntado sobre se o algoritmo da mecânica quântica espelharia um mundo quântico subjacente, Bohr respondia, Não há um mundo quântico. Há apenas uma descrição abstrata dada pela física quântica. É errado pensar que a tarefa da física seja descobrir como a natureza é. A física se ocupa do que podemos dizer sobre a natureza. A. Petersen, The Philosophy of Niels Bohr Uma (não)visão de (não)mundo, se algum dia houve alguma. N. D. Mermin C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

252 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Realidade e observação Física clássica: a medida revela um valor preexistente. Mecânica quântica: a medida cria o resultado obtido. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

253 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Variáveis ocultas É possível atribuir valores a grandezas físicas independentemente da realização de medidas? A(ψ, λ) A valor da grandeza física ψ estado quântico ( preparação do sistema) λ variável oculta que determina o valor de A C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

254 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Teste experimental das teorias de variáveis ocultas A 1 A λ incompatíveis B 1 B 2 compatíveis A 1 (λ), B 1 (λ), A 2 (λ), B 2 (λ) = ±1 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

255 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Teste experimental das teorias de variáveis ocultas Quatro experimentos possíveis = I. Medida de A 1 e A 2 : A 1 = +1 e A 2 = +1 encontrado algumas vezes II. Medida de A 1 e B 2 : A 1 = +1 e B 2 = +1 nunca encontrado III. Medida de B 1 e A 2 : B 1 = +1 e A 2 = +1 nunca encontrado IV. Medida de B 1 e B 2 : B 1 = 1 e B 2 = 1 nunca encontrado C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

256 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Teste experimental das teorias de variáveis ocultas I. P(A 1 +, A 2 +) (em %): II. P(A 1 +, B 2 +) = 0 III. P(B 1 +, A 2 +) = 0 IV. P(B 1, B 2 ) = 0 A. G. White et al., Phys. Rev. Lett. 83, 3013 (1999) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

257 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Teste experimental das teorias de variáveis ocultas Se A 1 (λ), A 2 (λ), B 1 (λ) e B 2 (λ) já existem antes das medidas: A 1 (λ) = +1 A 2 (λ) = +1 sempre B 1 (λ) = 1 B 2 (λ) = 1 A 1 (λ) = A 2 (λ) = +1 = B 1 (λ) = B 2 (λ) = 1 Entretanto, embora A 1 (λ) = A 2 (λ) = +1 seja encontrado, B 1 (λ) = B 2 (λ) = 1 nunca é encontrado. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

258 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Teste experimental das teorias de variáveis ocultas Nenhuma teoria simples de variáveis ocultas é compatível com resultados experimentais bem estabelecidos. A mecânica quântica descreve esses resultados sem dificuldades, como veremos a seguir. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

259 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Estado de Hardy A 1 A 2 Ψ B 1 B 2 Ψ = 1 ( ) B 1 +, B B 1 +, B 2 + B 1, B C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

260 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Estado de Hardy: experimento IV Ψ = 1 ( ) B 1 +, B B 1 +, B 2 + B 1, B B 1, B 2 Ψ = 0 = P(B 1, B 2 ) = 0 experimento IV C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

261 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Estado de Hardy: autoestados de A n A n B n B n + A n + B n + = 1 ) ( A n + A n 2 B n = 1 ) ( A n + + A n 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

262 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Estado de Hardy: experimento III Ψ = 1 ( ) B 1 +, B B 1 +, B 2 + B 1, B B 1 +, A 2 + Ψ = 1 ( ) + 0 = = P(B 1 +, A 2 +) = 0 experimento III C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

263 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Estado de Hardy: experimento II Ψ = 1 ( ) B 1 +, B B 1 +, B 2 + B 1, B A 1 +, B 2 + Ψ = 1 3 ( ) = 0 = P(A 1 +, B 2 +) = 0 experimento II C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

264 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Estado de Hardy: experimento I Ψ = 1 ( ) B 1 +, B B 1 +, B 2 + B 1, B A 1 +, A 2 + Ψ = 1 ( ) = = P(A 1 +, A 2 +) = 1 12 experimento I C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

265 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Realismo e variáveis ocultas Realismo e mecânica quântica Nenhuma teoria simples de variáveis ocultas pode descrever a mesma física que um estado de Hardy, ou seja, todas são incompatíveis com a mecânica quântica. Há alguma forma mais elaborada das teorias de variáveis ocultas que seja compatível com a mecânica quântica? C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

266 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Contextualidade e não-localidade Contextualidade e Não-localidade C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

267 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Contextualidade e não-localidade Contextualidade Teorias de variáveis ocultas contextuais: A(ψ, λ, C) A valor da grandeza física medida no experimento ψ estado quântico (preparação do sistema) λ variável oculta C o contexto, as demais grandezas medidas no experimento C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

268 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Contextualidade e não-localidade Contextualidade Experimento I: A 1 (λ, I ), A 2 (λ, I ) Experimento II: A 1 (λ, II ), B 2 (λ, II ) Experimento III: B 1 (λ, III ), A 2 (λ, III ) Experimento IV: B 1 (λ, IV ), B 2 (λ, IV ) C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

269 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Contextualidade e não-localidade Contextualidade O argumento usado para mostrar que qualquer teoria simples (não-contextual) de variáveis ocultas é incompatível com os estados de Hardy não é mais válido. Uma teoria contextual de variáveis ocultas pode fazer as mesmas previsões que a mecânica quântica. C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271

270 Realismo, Contextualidade e Não-localidade Contextualidade e não-localidade Contextualidade e não-localidade A 1 A 2 B 1 B 2 C. E. Aguiar (UFRJ) Mecânica Quântica / 271