TRATAMENTO DE INCERTEZAS

Transcrição

1 RAAMENO DE INCEREZAS JUAN LAZO LAZO Algumas dos méodos uilizados ara o raameno de incerezas: Equações diferenciais Arvores de decisão e Programação dinâmica Cenários Lógica fuzzy Analise inervalar Simulação Mone Carlo Simulação Mone Carlo Fuzzy

2 Equações Diferenciais: O rocedimeno é formular um conjuno de ED ara o roblema considerando as incerezas como rocesso esocásico ou disribuição de robabilidade. A solução esas equações diferencias nos dará soluções analíicas ara o roblema. Equações Diferenciais: Ex. Qual é o valor de um rojeo? F(). Para um invesimeno (I), se o reorno do rojeo () segue um Mov. Geomérico Browniano d = α d σdz dz = ε d ε ~ N ( 0,) incremeno de Wiener α drif (consane) σ volailidade (consane)

3 Equações Diferenciais:Ex. Qual é o valor de um rojeo? F(). Invesimeno (I). Reorno do rojeo () segue um Mov. Geomérico Browniano 0 π π π 3 π π F Lucro em cada eriodo alor do rojeo F 0 E[ π] E[ π ] ρ ( ρ) E[ π ]... ( ρ) E[ F ] ( ρ) = emo Discreo F(, ) π (, ) E[ F d ] max ρd ρd = A oorunidade de invesimeno no gera fluxo de caixa F( ) E[ F d ] ρd = F ρfd = E[ F d π ( x, ) = 0 ] ρfd = E[ F ] F d ρfd = E[dF] 3 F F F df = d d d Alicando a Exansão de aylor F F ρfd = E d d ' '' = E F ( ) d F ( ) d Lembrado que segue um MGB d = α d σdz 3

4 ' ρfd = E F ( ) dz '' { αd σdz} F ( ){ αd σ } ' ρfd = E F ( ) dz Alicando o valor eserado '' { αd σdz} F ( ){ α d αdσdz σ } ' '' ρ Fd = F ( ) αd F ( ) σ d Rearrumando ρ F = F α ) σ ' '' ( ) F ( '' ' σ F ( ) αf ( ) ρf = 0 Eq. Diferencial de ordem '' ' σ F ( ) αf ( ) ρf = 0 Eq. Diferencial de ordem Forma Geral A solução desa Equação β d β F ( ) = A A b c e c '' ' a F bf cf = d e a = σ b = α c = ρ d = 0 e = 0 A solução se reduz a: β F ( ) = A A β Condições de conorno: F( 0) = 0 F * = * ' * ( ) I F ( ) = 4

5 Da rimeira condição, ara garanir F() 0 quando 0, e como β <0, o coeficiene A em que ser Zero, ois se não for F() quando 0. Logo: A = 0 E a solução será da forma: A * ( I ) * β ( ) F ( ) = A ( β ) β ( β ) I β = = β [ ] β α β = σ α σ ρ σ > α β = σ α σ ρ σ < 0 Diferencias Finias: ese méodo é usado ara a resolução de equações diferencias arciais. A equação diferencial é converida num conjuno de equações de diferença que são resolvidas ieraivamene. 5

6 Arvores de Decisão: é um rocedimeno numérico ara o raameno de incerezas. Consise em consruir uma arvore onde cada ramo reresena um ossível valor da incereza com uma deerminada robabilidade de ocorrência. O número de ramos que odem sair de um ono esá deerminado ela recisão desejada. Arvores de Decisão: As arvoreis binomiais são as mais comuns. Parindo de num ono, considera que o valor da variável ode subir com uma robabilidade () ou que ode descer com uma robabilidade (-). u = u - d = d 6

7 Para o caso de er vários eríodos u u - ud u 3 u d - d ud d d Para realizar os cálculos, segundo o roblema ode-se fazer uso da rogramação dinâmica. Nese caso consruída a arvore são realizados os cálculos de forma recursiva, iso é, começa nos exremos da arvore razendo os valores aé o ono inicial da arvore. 7

8 Programação Dinâmica: Ex. Uma firma deseja invesir no aumeno da rodução (exansão de lana), duvida dadas as fluuações da demanda do mercado deve invesir e quando? Dados: demanda ode subir u=0.5 com robabilidade (=0.6), demanda descer d=0.5 com rob (-=0.4) Invesimeno I=000, Função decisão de invesir F = max{-i,0 } : valor de venda da rodução ara uma deerminada demanda. I : Invesimeno. Considera-se dois esados Programação Dinâmica: Produção Inicial =000 u=(0.5)000 = 3000 u u d=(-0.5)000 = ud uu=(0.5)3000 = d ud=du=(-0.5)3000 =500 dd=(-0.5)000=500 0 d 8

9 Programação Dinâmica: Produção Inicial =000 u=(0.5)000 = d=(-0.5)000 = uu=(0.5)3000 = ud=du=(-0.5)3000 =500 dd=(-0.5)000= Programação Dinâmica: Alicando a função de decisão F = max{-i,0 } em F uu =max( , 0) F ud =max( , 0) F dd =max( , 0)

10 Programação Dinâmica:O valor eserado em da decisão de invesimeno E u = F uu (-)F ud E u = 0.6* *500 E u =00 00=300 E d = F ud (-)F dd E d = 0.6* *0 = A decisão de invesir em considera o invesimeno feio em com a ossibilidade de invesir só em 0 0 Programação Dinâmica: Alicando a função de decisão em (invese em ou invese em ) F u =max( , 300) F u =300 F d =max( , 300) Fu F d = Fd 000 Em concluí devo deixar ara invesir em 0 0 0

11 Programação Dinâmica: O valor eserado em 0 da decisão de invesimeno E 0 = F u (-)F d E 0 = 0.6* *300 E 0 =380 0= = A decisão de invesir em 0 F 0 =max( , 500)= Conclui-se que é referível invesir em Exisem variações dese méodo ano inroduzindo mais ramos, considerando equenos deslocamenos nos ramos u 3 Programação dinâmica esocásica Programação dinâmica dual esocásica - u u - ud d u d ud d d

12 Cada divisão de S em cada corresonde aum ono da arvore S (Preço da ação) C =S -X C =S -X C 3 =S 3 -X S - S * C N =0 =0 = = emo Enconra-se o decisão óima ara cada (curva de decisão) S (Preço da ação) S - S * - S * =0 = = emo

13 Sobre a curva de decisão é simulada uma oura variável esocásica S (Preço da ação) S * S 0 =0 = = emo Cenários: ese rocedimeno cria um conjuno equeno de cenários ara a incerezas a modo de er uma sensibilidade. Normalmene assumem-se rês cenários ara a incereza: Cenário ara o ior caso Cenário ara o melhor caso Cenário ara o mais rovável dos caso 3

14 Gao, Lun S., he Fuzzy Arihmeic Mean, Fuzzy Ses and Sysems ol. 07, 999, Carlsson, Chriser, Fullér, Rober, On Possibilisic Mean alue and ariance of Fuzzy Numbers, Fuzzy Ses and Sysems ol., 00, Dong, W.M., Wong, F.S. Fuzzy Weighed Averages and Imlemenaion of he Exension Princile, Fuzzy Ses and Sysems ol., 987, Hanss, Michael; Willner, Kai, On Using Fuzzy Arihmeic o Solve Problems wih Uncerain Model Parameer. Proceedings of he Inernaional Colloquium on Numerical Modelling of Uncerainies, alenciennes, France, 999, Pedrycz, Wiold; Gomide Fernando, An Inroducion o Fuzzy Ses: Analysis and Design, MI Press, Aril 0, 998, ISBN: Collan, Mikael; Carlsson, Chriser and Majlender, Péer, Fuzzy Black and Scholes Real Oions Pricing, h Mini Euro Conference, Aril, - 5, 00, Brussels Belgium. h:// Dias, Marco Anonio G., Real Oion Evaluaion: Oimizaion under Uncerainy wih Geneic Algorihms and Mone Carlo Simulaion, Working aer, D. of Elecrical Engineering, PUC-Rio, Brazil, July Dias, Marco Anonio G., Invesmen in Informaion for Oil Field Develomen Using Evoluionary Aroach wih Mone Carlo Simulaion, 5h Annual Inernaional Conference on Real Oions heory Mees Pracice, UCLA, Los Angeles, USA, July 3-4, 00. Lazo, Juan G. Lazo; Pacheco, Marco Aurélio C.; ellasco, Marley Maria R.; Dias, Marco A. G., Real Oion Decision Rules for Oil Field Develomen Under Marke Uncerainy Using Geneic Algorihms and Mone Carlo Simulaion, Proceedings 7h Annual Inernaional Conference on Real Oions - heory Mees Pracice, Washingon DC,USA, July 0-,

15 Hammersley, J. M. e Handscomb, D. C. Mone Carlo Mehods. Mehuen & Co., Londres, 964. Boyle, P. Oions: A Mone Carlo Aroach, Journal of Financial Economics, ol. 4, 977, Boyle, P., Broadie, M., Glasserman, P. Mone Carlo Mehods for Securiy Pricing, Journal of Economic Dynamics and Conrol, ol., 997, Lazo, Juan G. Lazo, Deerminação do alor de Oções Reais or Simulação Mone Carlo com Aroximação or Números Fuzzy e Algorimos Genéicos, PhD. hesis Douoral Dearmen of Elecrical Engineering of Ponifical Caholic Universiy of Rio de Janeiro - PUC-Rio, 004. Boyle, P., Broadie, M., Glasserman, P. Mone Carlo Mehods for Securiy Pricing, Journal of Economic Dynamics and Conrol, ol., 997, McKay, M. D., Conover, W. J. and Beckman, R. J., A Comarison of hree Mehods for Selecing alues of Inu ariables in Analysis of Ouu from a Comuer Code, echno merics,, 979, Owen, A. B., Orhogonal Arrays for Comuer Exerimens, Inegraion and isualizaion. Saisica Sinica,, 99, ang, B., Orhogonal Array-based Lain Hyercube, Journal of he American Saisical Associaion, 88, 993,