4 Metodologia para Otimização de Carteiras de Investimento

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1 4 Meodologia para Oimização de Careiras de Invesimeno A seguir, é descria uma meodologia que permie oimizar a composição de uma careira de aivos reais, em paricular projeos de invesimenos com opções. Esa oimização se dá em função da medida Omega (Ω), que leva em cona níveis de risco e reorno desejados. A meodologia proposa consa de rês eapas Eapa I: Modelando a Informação A conformação de uma careira de aivos reais se orna mais complicada do que no caso de aivos negociáveis no mercado. Iso porque não exise, geralmene, um hisórico de projeos similares nos quais se poderia assumir um deerminado comporameno do seu reorno e/ou volailidade. E, mesmo que exisisse um projeo parecido, o conexo fuuro ceramene será diferene, fazendo, em princípio, cada invesimeno ser único. Nesa primeira eapa é apresenada uma seqüência de passos que permiirá recompilar e modelar a informação em relação aos projeos que compõem a careira, para poseriormene oimizar a sua composição Primeiro passo: Idenificação dos Faores de Risco nos Projeos Os faores de risco são aquelas variáveis que esão sujeias a incereza, e que causam um impaco relevane nos fluxos de caixa do projeo. Sua adequada esimaiva é de vial imporância, viso que deerminará a viabilidade ou não de um empreendimeno. As incerezas podem ser classificadas principalmene em rês ipos: a) Incereza Econômica: a qual se origina direamene dos movimenos gerais do ambiene econômico, sendo que não se em quase nenhum conrole sobre os resulados fuuros que podem apresenar. Ese ipo de incereza gera o

2 68 risco de mercado do projeo. Por exemplo, podem ser consideradas variáveis com incereza econômica o preço das commodiies, axa de juros, axa cambial, demanda de produos pelo mercado, e ouras mais do ambiene exerno. b) Incereza Técnica: esa incereza não se enconra relacionada aos movimenos econômicos exernos, e sim aos que a própria companhia possui. Ese ipo de incereza gera o Risco Privado do projeo. A incereza écnica não se revela com o empo, como aconece com as incerezas econômicas, e são necessários efeuar invesimenos seqüenciais, para idenificar melhor o verdadeiro cenário. Por exemplo, exise incereza écnica no volume de minério de uma mina nova, nas reservas de peróleo de uma jazida, nos cusos envolvidos em projeos de Pesquisa e Desenvolvimeno. c) Incereza Esraégica: É resulado das ações de ouras empresas no mercado. Por exemplo, aquisições, fusões de empresas, leilões de privaização do governo, enrada de novos concorrenes, o ingresso de empresas oferecendo produos subsiuos ou complemenares. Esa incereza é modelada aravés da eoria de jogos, enconrando um pono de equilíbrio que permia lidar saisfaoriamene diane de evenuais ações dos ouros jogadores. A meodologia apresenada exemplificará basicamene variáveis sujeias a risco de mercado as quais são enconradas em quase a maioria dos projeos de invesimeno. A meodologia preende ser o mais geral possível e poseriormene poderia ser esendida para ouros casos onde sejam consideradas incerezas écnicas e esraégicas Segundo passo: Modelagem das Variáveis com Incereza Uma vez idenificadas as variáveis sujeias a risco de mercado, o seguine passo consise em enconrar um modelo que preveja seu comporameno fuuro. Para isso pode se recorrer a diversas écnicas, enre as principais, em-se: A) Modelagem Economérica: Na qual são explorados principalmene os modelos de regressão simples ou múliplas, endo como o méodo de esimaiva mais uilizado os Mínimos Quadrados Ordinários e a Máxima Verossimilhança. As diversas modelagens economéricas 5 baseiam-se principalmene na análise de séries hisóricas, e a 5 Consule-se Johnson e Dinardo (1997).

3 69 parir delas procura-se esimar seu comporameno fuuro. Não são levados em cona cenários favoráveis ou desfavoráveis que são previsos para o fuuro, os quais poderiam mudar significaivamene o comporameno hisórico da variável em esudo. Recomenda-se esa modelagem quando exisem ciclos sazonais na demanda ou nos preços (se uiliza muio no seor elérico) ou quando são idenificados efeios causados direamene por cenários passados, defasados por algum período de empo. B) Modelagem por processos esocásicos: A modelagem de uma variável por processos esocásicos geralmene leva em consideração seu comporameno hisórico, o qual serve como uma primeira esimaiva para o cálculo dos seus parâmeros. Dependendo de como o cenário fuuro se vislumbre podem se fazer ajuses periódicos aos parâmeros, já seja por meio de esimaivas analíicas baseadas em aualizações dos dados hisóricos, ou, se for o caso, definidos pelo bom senso do analisa. Cabe ressalar que a meodologia concenra-se basicamene na modelagem das variáveis de risco por meio de processos esocásicos. A seguir, descrevem-se os processos esocásicos mais difundidos na lieraura. 1) Movimeno Geomérico Browniano (MGB) Modelo proposo inicialmene por Black e Scholes (1973) e Meron (1973). O modelo é represenado pela Equação (34). ds /S = αd σ dz, (34) onde S é o preço do aivo subjacene observado no insane inicial, α é a axa esperada de crescimeno do preço, σ a volailidade da axa de crescimeno do preço (variância proporcional ao empo), e, dz = ε (d) 1/2 é o incremeno do processo de Wiener com ε ~ NID(0,1) e d é o diferencial do empo. 2) Processos de Reversão à Média Uma das críicas feias ao modelo MGB é jusamene relacionada à não esacionariedade implícia do processo (a média e a variância crescem exponencialmene com o empo). Pressões compeiivas de oferas e demandas, observadas principalmene em preços de commodiies, endem a reverer para algum nível susenável de preço no longo prazo. Enre os principais, em-se o processo de Reversão à Média Ariméico e o Geomérico.

4 70 (2a) Processo de Ornsein-Uhlenbeck Ariméico Ese processo é modelado aravés da Equação (35): ds = η(s S)d σdz, (35) onde o parâmero η corresponde à velocidade de reversão e S é a média de longo prazo. Ese modelo às vezes é criicado porque S pode omar valores negaivos. (2b) Processo de Ornsein-Uhlenbeck Geomérico Desenvolvido inicialmene por Dixi e Pindyck (1994), apresena a forma da Equação (36): ds = η(s S)d σdz, (36) S onde η é a velocidade de reversão e S é a média de longo prazo. Nese processo esocásico, a variável S somene pode omar valores posiivos. 3) Processos com Salos De forma a modelar a lepocurose presene nas séries de preços das ações, Meron (1976) inroduziu pioneiramene um arigo em que preços apresenavam desconinuidades, modelo que possuía mais aderência à realidade. Isso foi realizado adicionando um ermo de salos (jumps) esocásicos e imprevisíveis modelados como um eveno de Poisson. Inicialmene proposo para precificação de ações, de axas de juros e de axa de câmbio, esse modelo foi poseriormene desenvolvido para evolução dos preços do peróleo em Dias e Rocha (1999). (3a) Modelo de Meron O modelo de Meron (1976) esá dado pela Equação (37): onde: dq = 0, com probabilidade (1-λd), Y-1, com probabilidade (λd), ds = (α -λk)d σdz dq, (37) S k=e(y-1), e, Y~Lognor(k1,δ 2 ),

5 71 onde λ é a freqüência dos salos (variável de Poisson), Y é variável que represena a magniude do salo que em disribuição lognormal de média k1 e variância δ 2, e dq e dz são variáveis não correlacionadas. Observe que o modelo é compensado na endência no senido que o ermo de salo não influencia a axa de crescimeno dos reornos do preço, ou seja, o valor esperado do preço evolui de acordo com a axa exponencial αd. (3b) Modelo de Das Inicialmene proposo para evolução de axas de juros o modelo de Das (1998) propõe reversão à média com possibilidade de salos e volailidade ipo ARCH. O modelo na sua forma em empo discreo é dado pela Equação (38): S = η(s S) σ z dq, (38) onde: σ [ S E( S ] 2 2 = a 0 a1 ), dq = 0, com probabilidade (1-λ ), Y-1, com probabilidade ( ), k=e(y-1), e, Y~N(k,δ 2 ). A esimaiva dos parâmeros dos diversos processos esocásicos é sempre um desafio. Muias das vezes o bom senso do analisa ajuda muio nese rabalho. Se basear a esimaiva dos parâmeros em dados hisóricos, uma maneira basane práica é pela maximização da função de máximaverossimilhança, como feio em Das (1998) Terceiro passo: Deerminação das Correlações enre as Variáveis de Risco dos projeos da Careira Uma vez idenificadas as variáveis sujeias a risco e poseriormene modeladas esocasicamene, pode-se deerminar a correlação que exise enre elas analisando o seu comporameno hisórico. Esa é a maneira mais apropriada de deerminar a correlação em variáveis sujeias a risco de mercado, nas quais a meodologia se concenra. Iso é muio imporane viso que a careira de projeos será simulada com odos os projeos simulaneamene, e a

6 72 correlação enre as variáveis com incereza deve ser levada em cona, viso que sua influência será refleida nos oupus de cada projeo denro da careira, para capurar assim o grau de ieração enre eles. Para o cálculo da mariz de correlações, suponham-se que exisam J variáveis de risco (VR 1, VR 2,..., VR J ) e em-se o hisórico das suas realizações enre o período є {1, 2,...,M}. Em primeiro lugar calculam-se as variâncias de cada aivo j individualmene: M [ VR E[VR j] ] j, VAR = prob, (39) j = 1 onde, VR j, represena o valor que a variável de risco j oma no período, e prob, é a probabilidade de ocorrência do eveno no período. A seguir, calcula-se a covariância (COV) enre duas VR, j e j : M [( VR E[VR j] ) x( VR E[VR j' ] ).prob ] j, j', COV =. (40) jj' = 1 A covariância represena a forma posiiva ou negaiva em que duas VR se enconram relacionadas, quanificando al relação. Mas às vezes resula em um número de difícil inerpreação, por isso é melhor uilizar a correlação, a qual é uma covariância padronizada, cujos resulados variam de 1 a 1 (-1 indica perfeia correlação negaiva enre as variáveis, 1 perfeia correlação posiiva). Maemaicamene é calculada de acordo com a Equação (41): jj' jj' ( VAR VAR ) j 2 ρ = COV, (41) onde, ρ jj é a correlação enre j e j chamado ambém de coeficiene de j' correlação de Pearson, COV jj é a covariância enre j e j, VAR é o desvio- j padrão de j (raiz quadrada da variância de j), e, VAR é o desvio-padrão de j. j' Dado que o desvio-padrão é sempre posiivo, a correlação conserva o sinal da covariância. Quano mais próximo da unidade (posiiva ou negaiva), indicará uma correlação mais fore enre duas variáveis. Assim, a mariz de correlações, apresena a seguine forma: VR J 1 1 ρ ρ 1J 2 ρ ρ 2J J ρ J1 ρ J2... 1

7 73 A rigor, o coeficiene de correlação de Pearson deve se empregar em variáveis cujas disribuições sejam elípicas. Uma disribuição elípica é aquela que possui densidade consane em forma de elipsóides. Em duas dimensões, as linhas de conorno da superfície da densidade são elipses. Por exemplo, a Disribuição Normal Mulivariada é elípica. Pelo exposo em Embrechs e al. (1999) em siuações não elípicas, para capurar com alo grau de precisão as relações de dependência enre duas variáveis, sugere a uilização de Cópulas. Em Joe (1997) e Nelsen (1999) aborda-se amplamene a eoria relacionada com as Cópulas, o qual é uma alernaiva nos casos em que as disribuições não sejam elípicas. A uilização da correlação de Pearson gera muias vanagens em quesão da sua praicidade e facilidade de cálculo, e embora de maneira linear, consegue capurar as relações de dependência enre duas variáveis, fornecendo informação imporane para a modelagem e que pode poseriormene ser afinado com méodos mais sofisicados, mas compuacionalmene inensos. A mariz de correlações deerminada é levada em cona no momeno de fazer as simulações dos fluxos de caixa dos projeos da careira, para deerminar o valor dos projeos. As variáveis de risco ao serem modeladas esocasicamene, no seu faor de aleaoriedade sofrerão uma aleração devido a esa correlação. A maneira de exemplo, uilizando a Simulação de Mone Carlo, consideremse duas variáveis de risco modeladas por um processo esocásico de Movimeno Geomérico Browniano. A forma discreizada para simular ese processo é dada pela Equação (42): VR = VR - exp [(α 1/2 σ 2 ) σ( ) 1/2 ε ], (42) onde, VR é o valor da variável de risco no empo, é o incremeno de empo de um período para ouro, α é o drif ou endência, σ é a volailidade do processo, e ε ~N(0,1). Para duas variáveis de risco correlacionadas, (Haung, 1998) suas respecivas equações de simulação em empo discreo seriam: VR 1, = VR 1,- exp [(α 1 1/2 σ 1 2 ) σ 1 ( ) 1/2 ψ 1, ], (43) VR 2, = VR 2,- exp [(α 2 1/2 σ 2 2 ) σ 2 ( ) 1/2 ψ 2, ], (44) onde, VR j, é o valor da variável de risco j no período, ψ 1, = ε 1,, e, ψ 2, = 2 ρ 12 ε 1, ε 2, 1 ρ 12, sendo que ρ 12 é a correlação enre VR 1 e VR 2.

8 74 Por meio dese exemplo, com duas variáveis correlacionadas, observa-se como a correlação se juna ao faor de aleaoriedade (ε ) e influencia direamene nos resulados que ambas as VR apresenarão nas simulações. Porano, ao simular os fluxos de caixa, sempre se devem levar em cona as correlações das VR presenes no projeo e as provenienes de ouros projeos da careira. A simulação deve-se realizar de maneira conjuna, não isoladamene para cada projeo Eapa II: Oimização da Careira sem Opções Reais A segunda eapa consise em oimizar a careira de projeos, mas ainda sem considerar as opções que os projeos possuem. Seguindo o espírio da suposição MAD (Markeed Asse Disclaimer, Copeland e Anikarov (2001)), em que o valor de mercado do projeo é o valor esperado dos seus fluxos de caixa (desconados com axa ajusada ao risco) sem considerar as opções, faz-se um paralelo esendendo esa suposição ao nível de um porfólio de projeos de invesimenos 6. Enão, primeiro deve-se deerminar o valor do porfólio sem considerar nenhuma opção real. Para a seleção dese porfólio, faz-se uma oimização em função da medida de performance Omega (Ω) com o inuio de idenificar o período em que cada projeo deveria ser iniciado, de al forma que se maximize a performance da careira sem opções e se obenha um pono de parida inicial para cada projeo. Nesa segunda eapa, a oimização só deermina o melhor período para iniciar cada projeo e não deixa fora da careira nenhum deles. Resrições que limiem a escolha de alguns projeos só deverão ser levadas em cona na Eapa III, quando as opções esejam inseridas, viso que um projeo considerado ruim sem a exisência de opções, poderia resular ineressane na careira ao serem inroduzidas opções Considerações Prévias O programa de oimização apresenado na seção 3.4 sofrerá algumas modificações, viso que ele é mais orienado a oimização em careiras de aivos, em que se podem escolher proporções de ceros aivos para invesir neles. No 6 Abordar-se-á com maiores dealhes a suposição MAD no passo 1 da Eapa III.

9 75 caso de projeos de invesimeno, em princípio, não se esaria considerando a possibilidade de o projeo poder ser dividido em proporções. Considera-se que a decisão é binária, iso é, se oma ou se deixa o projeo, e se é omado deve ser por ineiro 7. Por ouro lado, é necessário definir previamene o empo de execução do projeo. Na maioria dos casos, a decisão de execuar um projeo pode ser adiada alguns períodos. Ao considerar faores de risco esocásicos, exise incereza nos fluxos de caixa fuuros, podendo ser mais favorável não exercer imediaamene. Para deerminar o empo de exercício de um projeo por Simulação de Mone Carlo, uma alernaiva seria previamene esimar a curva de gailho e realizar simulações do valor do projeo e calcular assim um empo médio de exercício da opção, al como é feio para uma opção de compra americana. Mas não se opa por ese procedimeno porque: 1) Já esaria sendo inserida uma opção e o porfólio deve ser avaliado inicialmene sem opções. Nesa eapa considera-se que odos os projeos devem ser iniciados em algum período discreo, sem nenhuma opção embuida. 2) O empo médio de exercício da Opção de Adiar (opção de compra americana) dá uma idéia de quando aproximadamene deverá ser iniciado o invesimeno, mas para fins de oimizar a careira com opções (Eapa III) é necessário previamene esipular o período em que cada projeo será execuado (em empo discreo), visualizando os fluxos de caixa que aconecem a parir desse período de al maneira que se possa calcular o seu valor de mercado para aquele período (a ser explanado na Eapa III). Viso como opção, o valor do projeo se incremenaria com o valor calculado pela opção de espera, mas ese incremeno não corresponde a um período específico, senão a uma média dos VPL (in he money) de diferenes períodos de exercício razidos a valor presene 8 (esa lógica é bem exemplificada no méodo de Longsaff e Schwarz (2001) para o cálculo de uma opção americana). Conseqüenemene não é possível aribuir ese incremeno ao início em um período específico, senão a uma conjunção de diversas possibilidades de exercício que ouorgam jusamene valor pela espera. 3) O fao de esipular um período discreo para o início do projeo, permie calcular com maior precisão a esruura do fluxo de caixa do projeo e assim 7 Nese eságio ainda não é considerada a opção de reduzir a escala do projeo. 8 Consule Casro e al.(2008), em que se dealha o procedimeno para o cálculo de uma opção americana por simulação.

10 76 avaliar o valor que o projeo omará (em média) ao ser iniciado em disinos períodos, levando em consideração as mudanças em valor das variáveis modeladas esocasicamene. A aleaoriedade inserida nas variáveis de risco, ceramene faz com que o valor esperado do projeo (E[VP]) mude em função do período no qual é iniciado. Como será explanado na Eapa III, baseado na suposição MAD, é muio vanajoso o fao de aproveiar as planilhas radicionais do fluxo de caixa que usam as empresas, e observar nelas, como a aleaoriedade das variáveis de risco fazem mudar o valor do projeo (e ceramene a sua disribuição) dependendo do período em que ese é iniciado. Em relação à axa ajusada ao risco que se deve empregar para desconar os fluxos de caixa, na lieraura exise um amplo debae sobre qual deveria ser essa axa em novos projeos. Em princípio pode-se considerar igual ao cuso de capial (Weighed Average Cos of Capial WACC) da firma já esabelecida. O porquê diso, refere-se ao exposo por Schroeder e al. (2005): Considera-se que o cuso de capial é, porano, a Taxa Mínima de Araividade (TMA) mais apropriada para a avaliação de novos projeos de invesimeno da firma. Se os fornecedores de capial omaram a decisão de financiar a empresa em dado momeno por um cuso de capial, com expecaivas de reorno no longo prazo, enão, ese mesmo cuso de capial pode ser uma referência - a TMA, para a avaliação de novos invesimenos. Porano, a TMA referenciada no cuso de capial da firma, pode servir como deerminane na aceiação ou não de novos projeos de invesimeno, adicionando ambém valor à firma. Obviamene, a inrodução de novos projeos evenualmene aleraria a esruura aual de capial da firma, mas apesar dessa limiação a uilização do cuso de capial da firma como axa mínima de araividade em novos projeos seria um criério mais objeivo eviando-se direcionamenos a favor ou conra de projeos pelos quais os gerenes esejam mais inclinados em aceiar ou rejeiar. Enfim, esse é um debae que permanece abero e embora se enha inclinado a favor de um criério, deixa-se ao analisa escolher a deerminação da axa ajusada ao risco da forma que considere que se ajuse melhor à realidade do projeo em quesão, e moiva-se a coninuar desenvolvendo as pesquisas nesa direção. Porano, para ober o valor do projeo (VP) em cada simulação, os fluxos de caixa simulados devem ser desconados pelo WACC. Assim: T FCk, i VP, i =, (45) k (1 WACC) k=

11 77 onde, VP,i represena o valor do projeo sem risco avaliado no período resulane da simulação i (iє {1,...,M} sendo M um número grande), e, FC k,i é o valor do fluxo de caixa (na simulação i) para o período k є {,1,..,T}. Dessa maneira deermina-se para cada projeo uma disribuição de VP, os quais serão de uilidade na análise da performance da careira. O VPL é calculado a parir do VP: VPL, i VP, i I =, (46) onde, VPL,i é o valor presene líquido do projeo avaliado no período resulane da simulação i, e, I é o invesimeno feio no período quando se inicia o projeo. Em relação ao uso da medida Omega (Ω), na lieraura exisene esa medida de performance é sempre aplicada a nível de disribuições de reornos. Nese rabalho, avalia-se a medida Omega (Ω) com as disribuições de VPL provenienes das simulações dos fluxos de caixa dos projeos que compõem a careira (simulações simulâneas levando em cona as correlações das variáveis de risco). Enão, dadas as considerações prévias, o programa de oimização proposo se descreve a seguir O Modelo de Oimização Sefair e Medaglia (2005) propõem um modelo de oimização de careiras de projeos com risco, em que são avaliados diferenes períodos de inícios para os projeos, e o programa deermina os períodos em que os projeos devem ser execuados, de al forma a maximizar o VPL esperado da careira ou minimizar sua variância. O programa de oimização proposo nesa eapa, leva em cona a essência da modelagem apresenada por esses auores. Muda-se a função objeivo, pela maximização da medida Omega (Ω). Seja P um conjuno de projeos a serem selecionados na careira, e seja L o VPL mínimo desejado pelos invesidores para invesir na careira. A função objeivo seria: ECP (L) max Ω(L) = P ES (L) P, (47)

12 78 onde: ESP (L) = E[Max(L - VPL0P, i;0)] = Perda Média Esperada da careira P ou Expeced Shorfall, ECP (L) = E[Max(VPL0P, i - L;0)] = Ganho Médio Esperado da careira P ou Excess Chance. Sendo que, VPL0 (s) P, i = VPL0 j(s), i w j(s) j P (s) = (s) = VPL da Careira P no período (0), na simulação i, iє{1,...,m} sendo M um número grande, onde, w j(s) = 1, se o projeo j (jєp) começa no ano (s) ( (s) є {(s) -,...,(s) }, sendo que (s) - é o período mais cedo em que o projeo pode ser iniciado, e (s) é o período máximo em que pode ser adiado al invesimeno). Ambos os (s) - e (s) devem ser esipulados previamene para cada projeo, w j(s) = 0, em ouro caso, (s) = v j 1 FC j (ωi ) VPL0 j(s), i I (s) (0) (s) j(s), (48) (1 TLR) = (s) (1 WACC) é o VPL em (0) do projeo j iniciado em (s) na simulação i. Na Equação (48), FC j (ω i ) é o fluxo de caixa do projeo j no período ( є {(s),...,(s)v j }, sendo v j o empo de vida do projeo), resulane de uma realização das variáveis de risco ω na simulação i (considere ao fazer as simulações a mariz de correlações enre variáveis de risco, calculada no passo 3 da Eapa1). Observa-se que o faor de descono para os fluxos de caixa FC j (ω i ) é o WACC, e uma vez calculado o VPL no período (s) (que é a expressão que fica no parênesis na referida Equação) para desconar ao período (0) deve-se usar a axa livre de risco (TLR), viso que enre (0) e (s) o projeo ainda não esá iniciado e por conseguine não se lhe pode ouorgar risco nesse inervalo. Por ouro lado, I j(s), é o valor do invesimeno do projeo j feio no empo (s).

13 79 Lembre-se que um dado projeo j só pode ser iniciado uma vez, num deerminado (s) ((s) є {(s) -,...,(s) }). Porano, a única resrição lógica que deveria ser considerada no programa de oimização nesa eapa seria: (s) w - (s) = (s) j(s) = 1. (49) Depois de realizadas as M simulações, obêm-se uma disribuição de VPL0 para cada projeo j e uma disribuição de VPL0 da careira. O valor esperado desa disribuição é igual ao valor de mercado da careira, o qual seria a soma do valor de mercado dos projeos da careira, viso que eles ambém são calculados desconando seus respecivos fluxos de caixa esperados pela axa ajusada ao risco. Desa forma, aravés da função objeivo (47) e a resrição (49) se consegue maximizar a performance da careira, empregando a medida Omega (Ω), para o conjuno de projeos de invesimeno sem opções. Aravés dese programa de oimização, são deerminados os valores dos coeficienes w j(s), os quais vão indicar em qual período discreo deve ser iniciado cada projeo. O fao de inserir opções, o qual será feio na eapa seguine, não faz que mude a decisão em relação ao empo de início de cada projeo da careira, deerminado nesa eapa. Ao inserir as opções o valor do projeo aumena em cera proporção. Viso que sem a presença de opções foi enconrado que o projeo j deve ser exercido em um empo (s), isso significa que ao ser iniciado em ouros períodos ofereceria resulados inferiores para a careira. Colocando as opções, um projeo iniciado em um empo não óimo elevaria sua performance, mas o mesmo projeo iniciado no empo óimo (deerminado sem opções), com a presença daquelas mesmas opções ambém faria com que eleve sua performance em relação à siuação inicial (sem opções), e dado que sua siuação inicial foi a melhor enre odas, porano sempre sua performance ficará na frene, inserindo ou não as opções. Teses experimenais realizados comprovam ese raciocínio, que resula ser inuiivo e lógico Eapa III: Oimização da Careira com Opções Reais Uma vez deerminado o período de execução de cada projeo da careira é o momeno de inserir as opções nos projeos, e realizar uma nova oimização da

14 80 careira, em função da medida Omega (Ω), levando em cona as resrições que caracerizam a careira em paricular. A função Omega (Ω) sempre é avaliada uilizando a disribuição de VPL0. Nesa eapa ambém serão calculados eses VPL0 para cada um dos projeos, mas agora considerando as opções reais. Uiliza-se a denominação VPL0 para referir eses VPL em (0) com opções Primeiro passo: Deerminação do Valor de Mercado dos Projeos e sua Volailidade A suposição MAD (Markeed Asse Disclaimer), apresenada em Copeland e Anikarov (2001) considera que o valor presene do valor esperado dos fluxos de caixa do projeo, sem nenhuma flexibilidade (sem opções), é a melhor esimaiva do seu valor de mercado, podendo ser modelada assim com se fosse um aivo negociável. De acordo com Dias (2006), esa abordagem raz muias vanagens práicas, enre elas, permiir aproveiar as planilhas radicionais do fluxo de caixa que habiualmene as empresas usam nas suas decisões. Se o projeo for posergado, os preços e os cusos modelados esocasicamene irão oscilar no mercado e o VPL (assim como o VP) irá mudar (como foi viso na Eapa II, o que permiiu escolher o período de início de cada projeo). Adicionalmene, Copeland e Anikarov (2001) assumem nesa abordagem que o valor do projeo, calculado assim, deverá seguir um processo esocásico MGB, baseado em Samuelson (1965), e pelo qual concluem que, apesar dos componenes esocásicos que deerminam o fluxo de caixa, ais como preços, cusos, índices de mercado, ou ouros, possam seguir processos esocásicos diversos (movimeno de reversão à média, processos com salos de Poisson, processos com dois ou mais faores esocásicos, ec.), simulados em conjuno resulam em um VP aproximadamene lognormal e, porano, pode ser modelado esocasicamene por um MGB. Brandão e al. (2005a) apresenam um esudo no qual esima-se o valor de mercado de um projeo por meio da Simulação de Mone Carlo, baseado na suposição MAD, iso é, o valor esperado dos fluxos de caixa do projeo (sem

15 81 opções) desconado pela axa ajusada ao risco. Seja projeo no empo, enão: k= VP o valor esperado do T E[FCk ] VP =, (50) k (1 WACC) onde E[FC k ] é o valor esperado do fluxo de caixa no período k є {,1,..,T} e WACC é seu cuso médio ponderado de capial. A disribuição de valores do projeo VP, é lognormal. Por meio da Equação (50) calculam-se os valores de mercado dos projeos da careira, no período (s) deerminado para cada um deles na Eapa II. Lembrese, ao realizar as simulações dos fluxos de caixa, esas devem realizar-se conjunamene para odos os projeos (em simulâneo), omando em cona as correlações das variáveis de risco. Uma vez calculados os valores de mercado dos projeos, a parir daí se consideraria o projeo como se fosse um aivo negociável, com esse valor inicial e modelado aravés de um processo esocásico de Movimeno Geomérico Browniano (MGB). Em relação à esimaiva da volailidade, o MAD apresenado em Copeland e Anikarov (2001) uiliza a expressão: VP1 FC1 V 1(FC2,..., FCn ) z = ln = ln, (51) VP0 VP0 sendo que a volailidade do valor do projeo σ é o desvio-padrão de z. Na Equação (51): - FC i, iє{1,...,n} é o fluxo de caixa do período i (FC i esá afeado por um ou mais faores aleaórios), - V 1 é o valor presene do projeo no primeiro período considerando os fluxos FC 2 aé FC n, - VP 1 é o valor presene do projeo no primeiro período considerando os fluxos FC 1 aé FC n, - VP 0 é o valor de mercado do projeo no período inicial (consane). Teses realizados por Smih (2005) demonsram que empregando a equação (51) se sobreesima o valor da volailidade. Uma maneira fácil de demonsrar esa deficiência, é aravés de um exemplo hipoéico no qual se

16 82 analise um projeo que possui uma única variável de risco (VR), VP=αVR, com uma dada volailidade (σ VR ). Sendo que os fluxos de caixa provêem exclusivamene da variabilidade dessa única variável esocásica, a volailidade do valor do projeo deveria, em eoria, ser a mesma volailidade da única variável esocásica (modelada por um MGB). Empregando o MAD apresenado em Copeland e Anikarov (2001) nese simples ese, calcula-se um valor da volailidade para o projeo maior do que a volailidade da única variável esocásica. Smih (2005) e Brandão e al. (2005b) corrigem a maneira de calcular a volailidade, fazendo que a variabilidade de VP 1 seja causada exclusivamene pelos movimenos de FC 1 e especificando FC 2,...FC n como valores esperados: VP1 FC1 V 1(E1(FC2 ),...,E n (FCn ) FC1) z = ln = ln. (52) VP0 VP0 Desa forma, capura-se a variabilidade de VP 1 gerada apenas pelas variações do fluxo de caixa nesse período e não pelas variações de períodos subseqüenes que fazem que a volailidade se eleve subsancialmene. Para o exemplo hipoéico descrio nos parágrafos acima, aplicando a Equação (52), as volailidades do projeo e da única variável esocásica erão o mesmo valor. Oura maneira igualmene saisfaória de calcular a volailidade do projeo, baseado na suposição MAD, é o méodo chamado de MAD Modificado, proposo por Dias (2006) o qual ambém corrige o defeio apresenado no MAD original. O MAD Modificado faz simulações de VP 1 (VP 1 igual ao considerado por Brandão e al. (2005b)) e assumindo a disribuição de VP 1 aproximadamene lognormal, com a fórmula de valor esperado do MGB ira-se o drif de VP, e com a fórmula da variância do MGB e o drif exrai-se a volailidade σ. Tais fórmulas são: [ VP ] VP exp( α ) E 1 0 VAR VP =, daqui se exrai o drif α, (53) 2 2 [ ] = VP0 exp( 2 )( exp( σ ) 1) 1 α. (54) Da equação (54) se exrai a volailidade σ. Ambos os méodos abordados para o cálculo da volailidade por Simulação de Mone Carlo, convergem em resulados muio similares sempre que as simulações do valor do projeo (VP) não dêem valores negaivos. Caso isso aconecer, o méodo de Dias (2006) consegue lidar melhor com ese ipo de siuações. Mas o méodo de Brandão e al. (2005) pode ainda ser uilizado

17 83 fazendo só um deslocameno à direia dos valores simulados de al maneira que os valores negaivos sejam rasladados a oura escala. Isso se consegue somando aos VP simulados um valor consane, suficienemene grande que impeça ober VP negaivos. No momeno de fazer as simulações para deerminar a volailidade de cada projeo individualmene, deve-se simular sempre a careira em conjuno, levando em cona as correlações dos faores de risco Segundo passo: Deerminação das Correlações enre Projeos Simulam-se simulaneamene os fluxos de caixa dos projeos que compõem a careira (iniciados nos períodos deerminados na Eapa anerior), com as variáveis de risco modeladas esocasicamene e suas correlações. Para o cálculo do valor do projeo em cada simulação, os fluxos de caixa simulados devem ser desconados pela WACC: T FCk, i VP, i =, (55) k (1 WACC) k= onde, VP,i represena o valor do projeo no período na simulação i, onde iє {1,...,M} sendo M um número grande, e, FC k,i é o valor do fluxo de caixa (na simulação i) para o período k є {,1,..,T}. As disribuições de VP dos projeos vão permiir calcular a mariz de correlações enre eles. Iso é, calculam-se as correlações dos oupus de cada projeo denro do conexo do porfólio. O modo de calcular esas correlações é de maneira análoga ao dealhado no passo 3 de Eapa I, em que se calculam as correlações enre as variáveis de risco (VR). Mas ao invés de rabalhar com dados hisóricos, a correlação se realiza com os valores simulados de VP dos projeos (simulados sempre conjunamene). Assumindo que exisam P projeos na careira, a mariz de correlações apresenaria a seguine forma: VP P 1 1 ρ ρ 1P 2 ρ ρ 2P P ρ P1 ρ P2... 1

18 84 Esas correlações enre os VP dos projeos vão ser necessárias no cálculo do valor de mercado dos projeos com opções Terceiro passo: Deerminação do Valor de Mercado dos Projeos com Opções No passo 1 desa eapa foi calculado o valor de mercado e a volailidade de cada projeo da careira no seu respecivo período de execução. Com ese valor de mercado é possível modelar o projeo como se fosse um aivo negociável, seguindo um processo esocásico MGB. Ese projeo, considerado agora como aivo negociável, pode ser simulado (neuro ao risco) por meio da Simulação de Mone Carlo, aravés da expressão: onde: VP 2 = VP j exp[( ϕ -σ / 2) σ ε ], (56) j, j j VP j, é o valor de mercado do projeo j simulado no período,. φ = TLR-δ é o drif ou endência neura ao risco, sendo TLR a axa livre de risco e δ a axa de dividendos, σ j é a volailidade do projeo j, ε ~ NID(0,1). As simulações começam em =(s), período em que o projeo deve ser iniciado, com o seu valor de mercado nesse período VP (s), e se gera um caminho de valores aé =(s)v j (v j é o empo de vida do projeo). As opções são inseridas ao longo dos caminhos simulados pela Equação (56), e avaliadas dependendo do ipo de opção. No Apêndice 3 é explicado o procedimeno para calcular por Simulação de Mone Carlo o valor de quaro opções européias muio comuns: Diferir, Abandono, Conração Expansão, e, em Casro e al.(2008) são abordados méodos de Simulação de Mone Carlo para precificação de opções americanas. Seja OR j (s) = E[Op(VP j (s) )] o valor pela flexibilidade que resulou após a avaliação das opções embuidas no projeo j. A função Op( VP j (s) ) represena o valor que a opção real oma em cada caminho simulado do valor de mercado do

19 85 projeo VP j (s) usando a Equação (56). Conseqüenemene Op( VP j (s) ) apresena uma disribuição de valores, sendo seu valor esperado, OR j (s), o valor conjuno de suas opções reais. Desa forma: VP j (s) = VP j (s) OR j (s), (57) onde j (s) VP é o valor de mercado do projeo j (iniciado em (s)) com opções reais embuidas. Ese valor é no mínimo igual a VP j (s), caso a Opção não enha nenhum valor. Procede-se desa maneira a deerminação do valor de mercado com opções de cada um dos projeos da careira, simulando conjunamene odos eles de forma correlacionada (usando a mariz de correlações enre projeos, calculada no passo anerior) Deerminação dos VPL0 Os VPL0 se referem à disribuição de VPL em (0) levando em cona o exercício de opções. Iso é, para cada projeo, deve-se enconrar uma disribuição de VPL0, endo como objeivo empregar esas disribuições na oimização da composição da careira usando a medida Omega (Ω) como foi feio na Eapa II, só que agora se esá considerando as opções. Uiliza-se a seguine equação para calcular os VPL0 s: 1 VPL0 = j(s), i VPL0 j(s), i Op(VP (s) (0) j(s) ) i, (58) (1 TLR) onde: (s) = v j 1 FC j (ωi ) VPL0 j(s), i I (s) (0) (s) j(s) (59) (1 TLR) = (s) (1 WACC) é o VPL em (0) do projeo j iniciado em (s) na simulação i. Ese já foi calculado e explicado suas variáveis na Eapa II, E[FC j (ωi )] VP j(s) = (s) (60) (1 WACC) (s) v j = (s)

20 86 é o valor de mercado do projeo j iniciado em (s), e, Op( VP j(s) ) i é o valor da opção real calculado na simulação i do caminho gerado para VP j(s) ao longo do inervalo de empo {(s), (s),...,(s)v j } (v j é o empo de vida do projeo). A Equação (58) adiciona à disribuição de VPL0 j(s) a disribuição dos valores das opções geradas a parir da simulação de caminhos de VP j(s), obendo dessa forma uma disribuição de em (s). Ressala-se que quando calcular VPL0 j(s) para cada projeo j iniciado Op( VP j (s) ), deve ser feio por simulações conjunas enre odos os projeos da careira, levando em cona as correlações enre projeos calculadas no passo 2 desa Eapa. i O Modelo de Oimização com Opções O programa de oimização proposo nesa eapa é basane similar ao programa da Eapa II. Mas nesa eapa são acrescenadas as resrições próprias da careira e a medida Omega (Ω) é oimizada com base nas disribuições dos VPL0 dos projeos, dos quais já se deerminaram seus respecivos períodos de início. Seja P um conjuno de projeos a serem selecionados na careira, e seja L o VPL mínimo desejado pelos invesidores para invesir na careira. A função objeivo seria: ECP (L) max Ω(L) = P ES (L) P, (61) onde: ES (L) = E[Max(L - VPL0 ;0)] = Perda Média Esperada da careira P P P, i com Opções ou Expeced Shorfall, EC (L) = E[Max(VPL0 - L;0)] = Ganho Médio Esperado da careira P P P, i com Opções ou Excess Chance. Sendo que,

21 87 VPL0 P, i = VPL0j(s),i w j(s) j P = VPL em (0) da Careira P com Opções na simulação i, iє{1,...,m} sendo M um número grande, onde, VPL0 represena o VPL com Opções no período (0), para o projeo j j(s), i que inicia no período (s) (valor obido na simulação i). Calcula-se ese valor empregando a Equação (58), w j(s) = 1, se o projeo j (jєp), que começa no ano (s), deve ser incluído na careira óima, w j(s) = 0, se o projeo não deve ser considerado. Depois de realizadas as M simulações, obém-se uma disribuição de VPL0 para a careira ( VPL0 ). Maximiza-se a medida Omega uilizando essa disribuição. P Em relação às resrições, o primeiro conjuno se refere a que um deerminado projeo j poderia ou não ser selecionado na careira P. Iso pode ser expresso por meio da inequação (62): w j(s) 1, para j є P. (62) O número de projeos na careira pode ser conrolado definindo um número mínimo de projeos a serem aceios N min e um número máximo N max : N w N. (63) min j P j(s) As resrições orçamenárias são referidas ao capial (K) disponível para realizar os invesimenos I j(s), (invesimeno do projeo j feio no empo (s)). Suponha-se que no empo (0) se dispõe de K unidades moneárias para os invesimenos, o que não for gaso em (0) fica disponível para os próximos períodos, mas ganhando um axa igual à axa livre de risco. Por ouro lado, suponha-se que o valor a ser invesido no projeo ambém se incremena período a período à axa livre de risco. Viso que ano o capial K e o valor a ser invesimeno nos projeos crescem periodicamene a axa livre de risco, enão, independene de quando o projeo for execuado, deve-se saisfazer a resrição (64): max

22 88 j P I w K, (64) j(0) j(s) onde I j(0) é o invesimeno necessário para realizar o projeo j no empo (0), e K é o capial disponível. As resrições apresenadas nas inequações (62), (63) são comuns à maioria de projeos de invesimeno. No caso da resrição (64) poderia mudar para cada caso em paricular, iso é, não necessariamene os invesimenos e o capial disponível devem crescer à mesma axa, nem ficar o capial disponível em odos os períodos, ou ser ese a única fone para financiar os invesimenos. Para cada caso em paricular se requer uma cuidadosa análise, mas a forma como foi apresenada a resrição orçamenária pela inequação (64) é uma maneira simplificada de generalizar o conceio dese limiane. Além das resrições aé aqui apresenadas podem ser acrescenadas ouras mais específicas para cada caso em paricular. Por exemplo, em alguns casos podem ser definidos projeos obrigaórios, muuamene associados ou muuamene exclusivos. Um projeo obrigaório é aquele, que, necessariamene em que ser execuado por moivos esraégicos embora possa gerar VPL negaivos ou prejudicar os ganhos e/ou aumenar o risco da careira. Para a modelagem desa obrigaoriedade, deve-se adicionar para cada projeo j obrigaório uma resrição: w j(s) = 1. (65) As resrições de projeos associados represenam um grupo de projeos que em uma só decisão de invesimeno, iso é, o grupo odo de projeos deve ser execuado ou nenhum deles seria considerado na careira de invesimenos. Para modelar ese ipo de resrição, seja P(a) o conjuno de projeos j muuamene associados e N a o número deles, acrescena-se ao modelo a resrição: j P(a) w j(s) = {0 ou Na}. (66) As resrições de projeos muuamene exclusivos indicam um grupo de projeos no qual somene um deles poderá ser considerado na careira de invesimenos. Para modelar ese ipo de resrição, seja P(e) o conjuno de projeos j muuamene exclusivos, acrescena-se ao modelo a resrição:

23 89 j P(e) w j(s) 1. (67) As resrições (65), (66) e (67) poderiam se apresenar em deerminados casos e foi mosrada a forma de serem modeladas denro do programa de oimização da careira. Obviamene, podem exisir ouras resrições dependendo do caso paricular a ser analisado, cabendo ao analisa idenificar ais resrições e modelá-las no espírio da proposa que esá sendo apresenada. Aravés dese programa de oimização, serão deerminados os valores dos coeficienes w j(s), os quais vão indicar quais projeos considerar denro da careira.