A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO ARCH PARA MODELAR A VARIÂNCIA CONDICIONAL DA BOLSA DE VALORES DO RIO DE JANEIRO: UMA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA

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1 1 A UTILIZAÇÃO DO MÉTODO ARCH PARA MODELAR A VARIÂNCIA CONDICIONAL DA BOLSA DE VALORES DO RIO DE JANEIRO: UMA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA T01E009 RESUMO The ARCH Auoregressive Condiional Heeroscdasiciy models have been applied wih large success in he financial marke of Brazil, wih he inen of assess invesigaing he compormen volailiy of asses prices. This aricle search o model he condiional variance using daily raes of reurns of Rio de Janeiro Sock Exchange Index searching assess he volailiy of referred series. The resuls indicae ha he model esimaed show he presence of ARCH wih 5% criical value for he Lagrange Muliplier es. Laer, he modeling of condiional variance was obained by FGLS Feasible Generaed Leas Square. Furhermore, he Dickey-Fuller es and Dickey-Fuller Augmened es confirmed he presence of one roo uni on he series, preferring iself a work wih raes of reurns of index for o sabiliy he residual variance and o make he model convergen. ÁREA: PESQUISA OPERACIONAL E GESTÃO ECONÖMICA KEYWORDS: ARCH (Auo-regressive Condiional heeroscedasiciy), Dinamic Model and Tes Uni Roo. 1. INTRODUÇÃO Os modelos conendo a variância condicional heeroscedásica ARCH são basane úeis para avaliar o comporameno do risco e reorno no mercado acionário, a variabilidade das axas de câmbio, as axas de juros, as axas de inflação e os índices de mercados em disinos países, enre ouras séries financeiras, durane deerminados inervalos de empo. Esses modelos são obidos possuindo uma média igual a zero, e são derivados de um processo auo-correlacionado com variância condicional não consane no passado, mas com variância não condicional consane em cada processo (op. ci. Engle). O ese diagnósico desa anomalia em séries de empo é o LM (muliplicador de Lagrange), e a sua modelagem é obida ano pelo Méodo dos Mínimos Quadrados Ordinários (OLS) como por Máxima Verossimilhança (FIML), com relaivo ganho de eficiência na esimação dos parâmeros por FIML do que por OLS. Conudo, uma saída plausível é esimar o modelo auoregressivo por OLS e salvar o quadrado dos resíduos da primeira esimação, procedendo poseriormene a esimaiva de ARCH, aravés de defasagem dos resíduos quadrados ou uiliza-se de méodos não lineares não convencionais (FIML) com visas a ober a modelação da variância condicional. Ese arigo, procura modelar a variância condicional do respecivo índice, uilizandose da écnica ARCH (Heeroscedasicidade Condicional Auoregressiva) aravés de um modelo AR(p), para dados das axas de reornos diários num período compreendido enre 1

2 1995 a 1998, de modo a não violar a hipóese de variância consane dos erros ao longo das unidades amosrais. O rabalho foi dividido em quaro seções. A segunda seção ecerá considerações sobre o ese de Heeroscedasicidade Auoregessiva Condicional (ARCH) e sua generalização. A erceira seção abordará o ese de raiz uniária Dickey-Fuller e Dickey- Fuller Ampliado apresenando odos os resulados empíricos enconrados. Finalmene a Quara seção conclui ecendo algumas considerações sobre a referida abordagem.. TESTE ARCH.1. Como deecar ARCH O ese e/ou modelo ARCH êm sido largamene uilizados na lieraura de finanças, uma vez que os financisas observaram que a melhor maneira de esimar a variabilidade em preços de aivos era modelar a média e variância condicional dos resíduos. Baseando-se na equação Y = β 1 + β * Y 1 + µ, pode-se deerminar os procedimenos necessários para deecar a presença de ARCH, como segue: a) Primeiramene esima-se a equação acima por OLS, resulando em Y b) salva-se o resíduo e, esimando-o aravés de FGLS ou FIML a seguine equação: Onde: e = 1 * 1 ω + ω e + δ e = Variância do erro (h ) no empo ; e -1 = Variância do erro (h ) no empo -1; δ = Erro. O ineresse maior é observar se ω é esaisicamene significaivo, endo como hipóeses as seguines alernaivas: H 0 : ω = 0 H 1 : ω 0 Hipóese de homoscedasicidade Hipóese de heeroscedasicidade O ese acima, baseia-se numa disribuição Qui-quadrado, com P graus de liberdade, dado por R * n (Muliplicador de Lagrange). Ou seja: Onde: R * n ~ χ P P = Número de defasagens em e ; n = Número de observações; R = Coeficiene de deerminação da equação esimada... Como modelar ARCH A eoria econômica sugere que os agenes econômicos respondem não somene pela média, mas ambém, pelos mais alos momenos das variáveis econômicas aleaórias. Em

3 3 finanças, a média e variância das axas de reorno são deerminanes de decisões em porfólio. Assim, o que o modelo ARCH propõe é que a hipóese de variância consane ao longo das unidades amosrais, no caso o empo, pode não ser verdadeira ambém em séries emporais. O que comprova exisir uma relação de dependência enre o erro presene e o erro passado conudo, verifica-se ambém uma relação paricular onde a variância é não consane ao longo da diagonal principal. Tomando-se o modelo do ipo AR(1), Y = φ * Y + ε (4) 1 Com Var(ε ) = σ e Cov (ε ε j ) = 0, com j. Assim, a equação acima possui uma média igual a zero e uma variância não condicional dado por: Var (Y ) = Var ( φ * Y -1 + ε ) Var (Y ) = Var (φ * Y -1 ) + Var ( ε ) Var (Y ) = φ * Var ( Y -1 ) + σ ε Impondo esacionaridade, a equação (4) ou seja φ < 1, é possível afirmar que Y -1 = Y, e ober a sua variância não condicional. Enão: σ = φ * σ + σ ε σ ( 1-φ ) = σ ε Var ( Y σ ε ) = 1 φ Por ouro lado, a média condicional dependene do empo será: Já a variância Condicional é dada por: E(Y ) = E( φ *Y -1 + ε ) E(Y ) = φ * E(Y -1 ) + E(ε ) E(Y ) = φ * Y -1 Var (Y /Y -1 ) = E[(Y -1 E(Y -1 )] Var (Y /Y -1 ) = E(ε -1 ) Var ( Y / ) = σ Y 1 Aravés de um conjuno de informações relevanes (ψ) é possível, enão, modelar a variância h do componene ARCH, uilizando-se (q) defasagens de empo Engle(198), al como segue: VAR ( µ ) = E µ / ψ = = + * µ 1 h α 0 q α i i = 1 A variância condicional acima, poderá ser modelada baseando-se num conjuno de informações relevanes, uilizando-se o Méodo dos Mínimos Quadrados Generalizados Viável (FGLS) ou de forma ineraiva, aravés do Méodo de Máxima verossimilhança 1 3

4 4 (FIML), objeivando a minimização dos riscos incorridos no mercado acionário brasileiro em razão de sua volailidade. Em esudos realizados por Bollerslev (1986), observou-se ainda que as aplicações envolvendo a meodologia ARCH pode, ambém, uilizar uma esruura de defasagens de longos comprimenos, visando capar influências que por venura ocorram no passado. Ese modelo é conhecido como ARCH generalizado ou GARCH (p; q), dado por: Onde: µ 1 VAR( ) = E[ / ] = = + * + * + ' * δ T µ ψ h α 0 q p α i µ 1 i= 1 j= 1 W = Veor de ouras variáveis pré-deerminadas que afeam a variância condicional. Já a modelagem GARCH leva em consideração não somene a esruura auoregressiva mas ambém a esruura de médias móveis descrio pela úlima parcela do modelo acima, podendo ambém afear a variância condicional quando esa for esimada. 3. O TESTE DA RAIZ UNITÁRIA Um grande número de rabalhos economéricos sobre raízes uniárias em surgido na lieraura de finanças com o objeivo de verificar a esacionaridade das séries, visando não ornar os modelos explosivos. A parir do exposo, vê-se que um processo esocásico será esacionário se possuir média e variância independenes do empo, conudo erá covariâncias dependenes das diferenças enre os insanes de empo. Por ouro lado, VAR ( Y ) = VAR ( ) ε, ou seja VAR ( Y ) = * σ, sendo crescene ao j = 1 j longo do empo, o que implica que a série é não esacionária. Em ouras palavras,, possuindo com isso uma raiz uniária ou uma endência. Ver Dickey e Fuller VAR ( Y ) = * Y (1979). Assim, se: α < 1 Y será esacionária; α 1 Y será não esacionária, possuindo um caminho aleaório explosivo. Conquano é possível ornar uma série não esacionária em esacionária, omando-se as suas diferenças, de modo a orná-la um ruído branco. Os eses uilizados para verificação da exisência de uma raiz uniária é o Dickey-Fuller DF e Dickey-Fuller Aumenado ADF. O procedimeno para a uilização dese ese é dado por: γ j h j W Y = β * Y -1 + ε Y = Y -1 ( 1 + β) + ε As hipóeses assumidas para a realização do ese DF serão: H 0 : β 0 Y Será pelo menos I(1), exisindo raiz uniária; H 1 : β < 0 Y ~ I(0), sendo esacionária. Por ouro lado, a regra de decisão para verificar a presença de raízes uniárias será: Se β < DF Críico Aceiação de H 0 ; 4

5 5 Se β > DF Críico Rejeição de H 0. O procedimeno para a uilização do ese ADF é análogo ao ese DF, adicionando valores defasados da variável dependene Y, bem como uma endência e uma consane, endo como regra de decisão o ese DF acima Resulados Empíricos Tese de raízes uniárias Os eses DF e ADF com e sem endência indicam a deerminação de oio defasagens de modo a ornar as variáveis IBV-RJ e a sua axa de reorno um ruído branco. Os valores mosram que a série do IBV-RJ foi não esacionária ao nível de 5%, o que corrobora para rabalharmos com as axas de reorno do referido índice que foi esacionária ao nível de 1% de significância. Os resulados dos eses enconram-se no quadro 01 abaixo. QUADRO 01 Tese de raiz uniária para IBV-RJ e Taxa de Reorno do IBV-RJ D(0) ÍNDICES S/ endência ** Com endência * DF ADF(8) DF ADF(8) IBV-RJ -0,891-0,85 -,189 -,4 TX. RET. IBV-RJ -,68-8,046 -,664-8,040 (*) Indicam os valores críicos de 5%=-3,418 e 1%= -3,976 (**) Indicam os valores críicos de 5% = -,866 e 1% = -3,44 Os eses convencionais acima ciados foram calculados e os resulados confirmam a presença de uma raiz uniária na variável IBV-RJ, indicando ser não esacionárias ao nível de significância de 5%. Ou seja, a variância dos resíduos é crescene ao longo do empo, com a série sendo explosiva, como mosra a figura 1 abaixo. Figura 1 - Comporameno do IBV-RJ a 1998 Fone: Economáica Sofware Para Invesimenos LTDA. UFSC/Fpolis, SC Já as axas de reorno do IBV-RJ diferenças enre os logarimos do IBV-RJ mosrou-se esacionária ao nível de significância de 1% sendo I(0), ou esacionária em orno de uma endência. A figura abaixo mosra a esacionaridade da variável Taxa de reorno do IBV-RJ. 5

6 6 Figura - Esacionaridade das axas de reorno do IBV-RJ a Fone: Economáica Sofware Para Invesimenos LTDA. UFSC/Fpolis, SC O ese e modelagem de ARCH por OLS (Ordinary Leas Square) Primeiramene, procedeu-se a esimação do modelo auo-regressivo de erceira ordem ou AR(3), enconrando-se no quadro 0. Em seguida os resíduos desa esimação foram quadrados variância, e foram defasados poseriormene. Os criérios para a deerminação das respecivas defasagens na variância dos resíduos foram o criério de SC (Schwarz) e o criério de HQ (Hannan-Quinn), para em seguida aplicar o ese LM e deecar a presença de ARCH. Os resulados da variância condicional enconra-se no quadro 03 abaixo. QUADRO 0 Modelando as Taxas de Reorno do IBV-RJ para deecar ARCH Variáveis Coeficienes Erro Padrão -Value -Prob. Consane 0, , ,398 0,0000 Tx. ReIbv-RJ -1 0,1634 0, ,594 0,0000 Tx. ReIbv-RJ -3-0, , ,04 0,078 R = 3,60%; DW =,01; F(, 697) = 13,01 (0,0000). Os coeficiene esimados para o modelo auo-regressivo acima foram escrios lieralmene abaixo. Vale salienar que o coeficiene referene a Segunda defasagem foi reirado do modelo uma vez que não apresenava significância esaísica de 5%. Por ouro lado, os parâmeros significaivos na equação esimada garanem a convergência do modelo com as esaísicas -Suden basane consisenes. Tx. ReIBV ˆ 0, ,16915* 0,08759* = Y = + Y 1 Y 3 (17,398) (4,594) (,04) + ε Após a esimação dos coeficienes apresenados acima, procedeu-se à modelagem da variância condicional, visando deecar a presença de ARCH. Os criérios de informação uilizados esabeleceram oio defasagens para deerminar a modelagem da variância condicional (e ). Ademais o quadro 04 aplica o ese LM Muliplicador de Lagrange onde procura deecar a presença de ARCH, permiindo observar a significância dos parâmeros esimados, aravés do ese -Suden a parir do Méodo dos Mínimos Quadrados Generalizados Viável(FGLS). 6

7 7 QUADRO 04 Modelagem da variância condicional (e ) das Taxas de Reorno do IBV-RJ por FGLS Variáveis Coeficienes Erro Padrão -Value -Prob. Consane 0, , ,19 0,0015 e -1 0,0875 0, ,17 0,0300 e - 0,3614 0, ,336 0,0000 e -3 0,1941 0, ,95 0,0000 e -4-0, , ,37 0,0180 e -8 0, ,03701,950 0,0033 R = 0,15176; F(5, 686) = 37,616 [0.0000]; DW =,0. Chi Calculado(5) = 15,5598; Chi Tabelado(5) = 11,07 Desa forma, o modelo esimado da variância condicional das axas de reorno do IBV-RJ pode ser expresso como: e = e e 0, , , ,1941 0, , (3,19) (3,17) (9,336) (4,95) (,37) (,950) Após modelarmos a variância das axas de reorno do IBV-RJ o ese LM indica a exisência de ARCH (8) na série emporal analisada, com um Qui-quadrado calculado igual a 0,15176 * 709 = 15,5598 conra um Qui-quadrado abelado em orno de 11,07, rejeiando-se a hipóese nula de que os resíduos desa série emporal são homoscedásicos. e e e Figura 3 - Comporameno da variância condicional das axas de reorno do IBV-RJ a Fone: Economáica Sofware Para Invesimenos LTDA. UFSC/Fpolis, SC Aravés da figura acima, observa-se que os parâmeros esimados da variância condicional mosram-se insáveis ao longo das unidades amosais, com disinas variâncias em cada inervalo do empo. Após deecar ARCH (8) a série da axa de reorno do IBV-RJ deve ser ransformada com o objeivo de raar al anomalia e realizar novas esimações [Ver Greene (1997)]. 7

8 8 4. CONCLUSÕES A idéia básica dese rabalho foi apresenar de modo didáico a uilização do modelo de variância condicional (ARCH) Heeroscedasicidade Condicional Auoregressiva, aplicado às axas de reorno diárias do Índice da Bolsa de Valores do Rio de Janeiro (IBV- RJ) para um período compreendido enre 1995 a Aravés dos resulados enconrados foi possível perceber que as esimaivas da variância condicional levam em consideração a evolução da volailidade do mercado refleido nos parâmeros esimados, enando com isso prever a incereza. Após a modelagem da variância e com o raameno de ARCH é possível enão, fazer com que os agenes invesidores possam formular expecaivas fuuras baseados em informações passados. Vale ressalar que foram inroduzidas algumas variáveis dummys no modelo AR(3) mas, esas não foram significaivas ao nível de 5%. Ourora, os parâmeros esimados pelo Méodo dos Mínimos Quadrados Ordinários (OLS) apresenam ouliers em deerminados ponos da amosra. Porém, maiores ganhos de eficiência em suas esimaivas poderiam ser apresenados por méodos ineraivos, como Máxima Verossimilhança (FIML). 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AKGIRAY, Veda. Condiional heeroskedasiciy in ime series of socks reurns: evidence and forecass, Jornal of business, 6, 55-80, BOLLERSLEV, T. Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 31, , DICKEY, D. A. and FULLER, W. A. Likelihood raio saisics for auorgressive ime series wih a uni roo. Economerica, 49, , DOORNICK, J. A; HENDRY, D.F. PcGive 8.0 An Ineracive Economeric Modelling Sysem., Insiue of Economics and Saisics Universiy of Oxford. Chapman e Hall, ENGLE, Rober F. Auoregressive Condiional heerosckedasiciy wih esimaes of he variance of unied kingdom inflaion. Economerica, vol 50, n 0 04, july, 198. ENGLE, Rober F. Modelling he persisence of condiional variances: A reply, Economeric reviews, 5, 81-87, GREENE, William H. Economeric Analysis. New York Universiy, HASHEM, P. M. ; BAHRAM, P.; Working Wih Microfi 4.0. Ineracive Economeric Analysis. Oxford Universiy Press McCLAIN, Kaherine T. Humphreys, H. Bre and BOSCAN, Aahunpa. Measuring risk in he mining secor wih arch models wih imporan observaions on sample size. Journal of empirical finance, 3 (1996), NELSON, Daniel B. Condiional Heeroskedasiciy in asse reurns: A new approach. Economerica, vol. 59, n 0 0, march, (1991),