as variações de curto prazo dos preços, ( ξ χ

Transcrição

1 3. Árvore e Evenos A árvore e evenos é ma as meoologias mais saas no areçameno e oções evio a sa faciliae e so versailiae e recisão. Uilizaa ara moelos e emo iscreo são reresenaos or árvores com nós e incereza qe escrevem os ossíveis comoramenos os faores esocásicos e oem ser reresenaas e forma simlificaa o or rees com iversas ramificações. A ilização e ramificações é flexível oeno ser aaaa qano se alera a siação inicial. Essa flexibiliae orna a sa ilização araiva ara alicações e moelagem e oções. A rincial esvanagem srge qano as ramificações aingem granes imensões o qe oe ificlar a sa consrção e avaliação. Cox e al. 979 foram os recrsores na avaliação e oções aravés e árvores e evenos aresenano m moelo qe generaliza o reslao e Black e Scholes 973. Os aores roseram a moelagem iscrea or árvore binomial recombinane ara avaliar oções esse moelo somene se alica a rocessos qe segem m MGB. Na aboragem e Cox e al. 979 os nós as ramificações se recombinam o movimeno e sbia é o inverso o e escia fazeno com qe em caa asso N obenham-se N nós e não N caso não hovesse recombinação. O esenvolvimeno a árvore binomial e Cox e al. 979 se enconra no aênice B. Boyle 988 foi o rimeiro a ilizar a aboragem e Cox e al. 979 em m moelo rinomial ara avaliação e oções com m aivo objeo e roôs ambém m moelo enanomial ara avaliar oções com ois aivos objeos. Ao ilizar rocessos esocásicos e ois faores Boyle 988 inrozi o conceio e árvore bi-variável qe foi segio or Nelson e Ramaswamy 990 nm méoo e seqência binomial e m moelo abrangene qe oe ser ilizao ara rocessos esocásicos qe segem ano m MGB qano m MRM iscreos. Coelan e Anikarov 00 aresenaram ma aboragem qarinomial como ma árvore binária com as incerezas correlacionaas ambas segino m MGB. Baseao em árvores qarinomiais Hahn 005 ilizo m moelo com ois faores e incereza ara moelar o reço o eróleo e calclar ma oção

2 6 e abanono e m oço e eróleo. Branão e al. 005 ambém saram árvores binomiais ara valorar oções e invesimeno moelano o reço o eróleo como m MGB. Já Basian-Pino e al. 007 esenvolveram ma árvore qarinomial ilizano ma aroximação ara m MRM rooso or Nelson e Ramaswamy 990 ara avaliar ma oção e roca e in no seor scroalcooleiro. Já Branão e Dyer 009 moelaram os riscos rivao e e mercao e m rojeo or ois MGB correlacionaos. Mais recenemene Hahn e Dyer 0 moelaram rocessos com ois faores em emo iscreo aravés e árvores binomiais bi-variáveis ilizano m formao e árvores bi-imensional ara os mesmos roblemas analisaos or Schwarz e Smih 000. A rimeira generalização ara k variáveis e incereza foi feio or Boyle e al. 989 m caso com rês aivos e não aresenava garania qano à osiiviae o valor as robabiliaes. Kamra e Richken 99 aeneram e forma mais objeiva e generalizaa à emana or méoos e avaliação e erivaivos mliimensionais com a ilização e árvores e evenos. Um moelo iscreo rinomial ara m faor como o MRM foi consrío or Hll e Whie 994a e sao or Jaille e al. 004 ara a revisão o reço o GN e cálclo e oções e swing. Simões e al. 0 ambém ilizaram m moelo e árvore rinomial ara m faor segino o MRM a fim e calclar oções e swing no mercao brasileiro e energia elérica. Como exensão o rimeiro moelo Hll e Whie 994b esenvolveram m moelo e árvore rinomial ara ois faores ambos evem segir m MRM. Com esse moelo não é ossível esenvolver a árvore ara o moelo e ois faores e Schwarz e Smih 000 one m faor sege o MGB e oro o MRM. Árvores rinomiais sgerias or Hll e Whie 994a e 994b Clewlow e Sricklan 999 e Tseng e Lin 007 são e ifícil imlemenação envolveno rogramação comlexa e com inensiae comacional. A seção segine escreve o moelo iscreo e árvores e evenos relevane ao resene rabalho oras árvores e evenos e ineresse esão escrias no aênice B.

3 7 3.. Árvore Binomial ara Dois Faores Hahn e Dyer Como alernaiva Hahn e Dyer 0 esenvolveram m méoo ara a consrção e ma árvore binomial saa ara o moelo e ois faores e Schwarz e Smih 000. Reescreveno o moelo esenvolvio na seção.. ln S Y κ z µ z z z ρ Seno as variações e cro razo os reços o reço e eqilíbrio e longo razo os arâmeros κ µ x e consanes e z e z são rocessos arões e Wiener com correlação insanânea ρ. Uma aboragem binomial e as imensões oe ser esenvolvia ara esse rocesso reslano nma árvore com qaro ramificações. Na árvore biimensional os ois faores segem os rocessos esocásicos ineenenes e correlacionaos. O rimeiro asso é consrir as árvores binomiais ara os ois rocessos e e. Na árvore obia caa nó erá qaro ramificações evio à combinação os ramos as árvores e e como mosra a figra. Figra - Ramificações a árvore binomial e ois faores Para efinir as robabiliaes conjnas ara caa m os nós Hahn e Dyer 0 assmem os incremenos e e as enências e ara caa m os faores a segine forma:

4 8 µ κ Essas robabiliaes conjnas as ramificações reresenam as qaro ossíveis combinações e sbia e escia os ois faores. Usano o mesmo méoo emregao or Boyle 988 ara ma aroximação lognormal al as robabiliaes ara os qaro nós reslanes oem ser obias com a combinação as méias e variâncias os ois faores esocásicos conforme emonsrao or Hahn e Dyer 008 e 0. Assim ρ 4 ρ 4 ρ 4 ρ 4 Esse moelo é baseao em Nelson e Ramaswamy 990 ara ma aroximação binomial geral. Poe ser necessário inzir m eerminao esvio ara os reslaos e longo razo nos nós one as robabiliaes sejam maiores qe o menores qe zero. Caso a robabiliae calclaa com base nas eqações acima seja maior o qe ajsa-se acrescenano m esvio negaivo e forma qe essa robabiliae asse a aoar o valor e. Segno Hahn e Dyer 0 a imlemenação esse moelo iscreo é comacionalmene mais eficiene alicano recombinações biimensionais. Alica-se a regra e Bayes ara ecomor as robabiliaes conjnas no roo as robabiliaes marginal e conicional o seja. As robabiliaes marginais e sbia e escia em nível e eqilíbrio são resecivamene:

5 9 Porano as robabiliaes conicionais oem ser calclaas. ρ ρ ρ ρ Esse moelo iscreo é ma seqência e ois nós. Um nó binomial ara o MGB a variável e cro razo segio e nós binomiais conicional ara o MRM a variável e longo razo. A solção é reresenar a árvore como o roo e rocesso binomial ara e m rocesso binomial conicional ara como mosra a figra. / / / / MGB MRM Figra Ramificações or ares a árvore binomial e ois faores Para esconar essa árvore à axa livre e risco é necessário consierar os rêmios e risco e. Os rêmios e risco enalizam as enências os ois faores e incereza a segine forma:

6 30 µ κ Seno assim e acoro com Pino 009 as robabiliaes marginais na forma nera ao risco são: µ µ E as robabiliaes conicionais oem ser reescrias a segine forma: ρ ρ ρ ρ Hahn e Dyer 0 alicaram esse moelo iscreo ara o mesmo exemlo iscio or Schwarz e Smih 000. No resene rabalho será alicao esse moelo ara o reço o GN e avaliação e oções e swing em conraos e GN.