SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a 11 de novembro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A PESQUISA OPERACIONAL E AS CIDADES

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1 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Rio de Janeiro/RJ MODELOS PARA CURVAS DE CRESCIMENTO: APLICAÇÃO A SÉRIES BRASILEIRAS Rosângela Nunes de Sousa Ponifícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro DEE PUC/RJ Av. Marquês de São Vicene,, 4-04, Rio de Janeiro RJ rnunes@ele.puc-rio.br Reinaldo Casro Souza Ponifícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro DEE PUC/RJ Av. Marquês de São Vicene,, 4-04, Rio de Janeiro RJ reinaldo@ele.pcu-rio.br Guemberg Hespanha Brasil Universidade Federal do Espírio Sano Deparameno de Esaísica UFES/ES Av Fernando Ferrari, s/n, ghbrasil@erra.com.br Resumo Traaremos da seleção e esimação de curvas maemáicas de crescimeno. Esas curvas são uilizadas para esabelecer o comporameno no passado e sugerir, por exrapolação, o comporameno no fuuro de um processo. Para ajusar a endência uilizaremos a família exponencial modificada, onde suas mais expressivas represenanes são a Logísica e a Gomperz. O objeivo principal é analisar as aproximações exisenes para modelar a série e propor um modelo paricular com base no procedimeno do Modelo Linear Dinâmico (DLM) denro de um enfoque Bayesiano. Apresenaremos rês abordagens: i) Clássica Esáica - Esima os parâmeros por MQP (Mínimos Quadrados Ponderados); ii) Clássica Dinâmica - Via FK (Filro de Kalman), que uiliza parâmeros variando no empo. iii) Dinâmica Bayesiana com faores de descono - Adicionamse faores de descono para modelar a variabilidade dos parâmeros. Aplicaremos a meodologia acima para a série real: Número de Noificações de Casos de AIDS no Brasil. A performance de previsão será medida pelos criérios MAD (Mean Absolue Deviaion) e MAPE (mean absolue percenage error) bem como eses para auocorrelações dos resíduos. Palavras Chaves: Curvas de Crescimeno, Logísica, Gomperz, Abordagem Bayesiana, Auocorrelação dos Resíduos. Absrac This paper deals wih he selecion and esimaion of mahemaical growh curves. These curves are used o esablish he mos adequae behavior in he pas which allows exrapolaion ino he fuure. To adjus he rend i will be used he modified exponenial family, wihin which he mos expressive represenaives are he Logisic and Gomperz. The main ask is o analyze he exisen approaches and o propose an alernaive model based on he Bayesian Dynamic Linear Model (DLM for shor). We will discuss hree approaches: i) Classical Saic Model- parameers esimaed by Weighed Leas Square; ii) Classical Dynamics uses he Kalman Filer, which allows ime varying parameers. iii) Dynamic Bayesian wih discoun facors o cope wih parameers variabiliy. We apply he above models o he following se of real daa; i.e. he noified number of AIDS cases in Brazil. The forecas performance is measured by he following crieria: MAD (Mean Absolue Deviaion) and MAPE (Mean Absolue Percenage Error) as well as ess for residual auocorrelaions. Key-Words: Growh Curves, Logisic, Gomperz, Bayesian Approach, Residual Auocorrelaion.

2 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Rio de Janeiro/RJ. Inrodução A arefa de analisar séries emporais não é fácil, pois muios faores influenciam nesa análise. Os faores que influenciam em um deerminado mercado não necessariamene influenciarão ouro. A arefa fica mais difícil se a previsão são vários passos à frene. Para resolver ese problema usamos curvas maemáicas para a endência. Esas curvas são uilizadas para esabelecer o comporameno no passado e sugerir, por exrapolação, o comporameno no fuuro de um deerminado fenômeno. Curvas de crescimeno são uilizadas para observações monoonicamene crescenes. Para ajusar a endência uilizaremos a família exponencial modificada, onde suas mais expressivas represenanes são a logísica e a gomperz. No campo da análise de séries emporais podemos observar várias aproximações que ajuda na melhoria da previsão de séries emporais. Hoje em dia podemos classificar as séries em 3 modelos a ciar: (i) Modelos Univariados emos disponíveis os dados hisóricos da série de ineresse. (ii) Modelos Causais ou Modelo de Função de Transferência além dos dados hisóricos da série de ineresse incluímos ambém oura série de empo que causa ou explica o fenômeno que é modelado. (iii) Modelos Mulivariados é uma misura dos modelos aneriores, conendo um veor da série de empo sem qualquer indicação de causalidade enre a série e o veor. O nosso ineresse é o modelo univariado conhecida como curvas de crescimeno em forma de S, i.é., uma série que pode ser descria da seguine maneira: X = f() + ε Onde: X é a série de ineresse; é o índice do empo; f() é a curva de crescimeno, com a seguine propriedade: lim f() consane, i.e., f() ende para uma consane (nível de sauração=a) ε é a componene de erro do modelo, assume média zero e variância consane. O objeivo principal é analisar as aproximações exisenes para modelar f() e propor um modelo paricular com base no procedimeno do Modelo Linear Dinâmico (DLM) denro de um enfoque Bayesiano. Apresenaremos uma abordagem esáica, dinâmica clássica e dinâmica Bayesiana com faores de descono e aplicaremos a meodologia exposa a séries reais. (i) Abordagem Clássica Esáica Esima os parâmeros por MQP (Mínimos Quadrados Ponderados); são apresenados 4 ipos de ponderadores e as implicações de cada um sobre a variância de cada curva. (ii) Abordagem Clássica Dinâmica Via FK (Filro de Kalman), o qual resolve a consância dos parâmeros no empo. Fazendo com que os parâmeros sejam re-esimados, com isso se adapando a mudanças ocorridas. (iii) Abordagem Bayesiana com Faores de Descono. Adicionam-se faores de descono para modelar a variabilidade dos parâmeros.. Curvas de Crescimeno Para modelos de curvas de crescimeno como uma função de empo adoamos a família exponencial modificada generalizada dada por: X =[a + b.exp(-c)]φ (.) Onde a, b, c > 0 e φ R são os hiperparâmeros do modelo com as seguines especificações: aφ - nível de sauração; b indicador do pono de início; c - indicador do crescimeno do processo.

3 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Rio de Janeiro/RJ Para cada valor de φ R, emos um membro da curva de crescimeno da família geral dada pela equação (.). Enreano, os rês mais populares membros da família são quando emos φ =, φ = - e φ como mosramos abaixo: (i) Exponencial Modificada Simples Obemos da equação (.) com φ = : X =[a - b.exp(-c)] (.) Para esa curva não eremos dificuldade para mosrar a axa de crescimeno dx/d é dada por: dx/d = c(a X) (.3) A figura abaixo mosra a curva sobre diferenes valores de a (nível de sauração), b (indicador inicial) e c (indica a velocidade do crescimeno). Variando a (nível de sauração) Variando b (marco inicial) Variando c (cresimeno do processo) (ii) Logísica Obemos da equação (.) com φ = -: X = /[a + b.exp(-c)] (.4) Não eremos dificuldade para mosrar que esa curva é simérica com o pono de inflexão x = a/. Também, a axa de crescimeno é dada por:

4 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Rio de Janeiro/RJ dx/d = c X [(a- X)/ X] (.) A figura abaixo mosra a curva sobre diferenes valores de a (nível de sauração), b (indicador inicial) e c (indica a velocidade do crescimeno). Logísica Variando a (nível de sauração) Variando b (marco inicial) Variando c (cresimeno do processo) (iv) Gomperz Obemos da equação (3.0) com φ : X = a.exp(-b[exp(-c)]) (.) Esa curva de crescimeno é assimérica com o pono de inflexão x = a/. A axa de crescimeno é dada por: dx/d = c X log[exp(a) / X] (.7) A figura abaixo mosra a curva sobre diferenes valores de a (nível de sauração), b (indicador inicial) e c (indica a velocidade do crescimeno).

5 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Rio de Janeiro/RJ Variando a (nível de sauração) Variando b (marco inicial) Variando c (cresimeno do processo) Seleção da Curva Apropriada Escolher uma curva apropriada levando em consideração o criério de ajuse, i. e., escolher a curva que minimiza uma medida de erro al MSE, MAPE, ec. Porém iso significa ajusar odas as curvas de fao para os dados sem qualquer enaiva para idenificação anerior das curvas. Considerando só a idenificação da curva de crescimeno anerior para o passo de esimação de hiperparâmeros nós podemos mencionar dois méodos, iso é,: (i) Méodo (idenificação) Ese méodo explora as caracerísicas maemáicas de cada curva, proposo por Gregg (4), usa médias móveis de amanho p+ (em geral p =, 7 ou ) como: X p X + p MM = ( p + ) E a axa média de mudanças no insane com um período p+: A média móvel e a axa média de mudanças são aproximações de X e a axa de crescimeno dx / d TM p. X p... X + X + =. p.( p + ).( p + ) p. X + p

6 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Rio de Janeiro/RJ respecivamene. O gráfico das funções desas esimaivas versus dá indicação da curva mais apropriada enre os rês modelos (Exponencial Modificada Simples, Logísica e Gomperz). O Algorimo consise de: () Fazer o gráfico de log (TM ) x ; () Fazer o gráfico de log (TM /MM ) x ; (3) Fazer o gráfico de log (TM /MM ) x ; (4) ( φ ) Fazer o gráfico de log (TM )-.log( MM ) x; φ () Se o gráfico feio em () for uma rea inclinada para a direia, ou seja, uma função linear decrescene, há indícios que o processo analisado possa er o mesmo comporameno de uma curva exponencial modificada; () Se o gráfico feio em () se aproximar de uma rea, a sugesão é a gomperz; (7) Se o gráfico feio em (3) se aproximar mais de uma rea, a sugesão é a logísica; (8) Se o gráfico feio em (4) se aproximar de uma rea, a sugesão é a exponencial modificada com o φ respecivo (ii) Méodo (idenificação) Nese méodo usam-se os dados originais (não ransformados), proposo por Young & Ord (8), o inconveniene dese méodo é exigir uma aproximação do nível de sauração. Caso o valor suposo eseja próximo o méodo funciona perfeiamene. As curvas são idenificadas por uma ransformação linear do modelo, ou seja, os dados esão próximos de uma rea. Fazemos o gráfico da função g(x) versus, onde g(x) é uma ransformação linearizada de X. Acrescenou-se a ese méodo a possibilidade de selecionar-se a curva exponencial modificada simples e exponencial generalizada com φ esimado. A forma geral para modelos de previsão: (A) X = F(, θ ) + ε, V ( X ) V( ε ) = σ (B) Z = g x ) = 0 + β = ( β + ε, onde: θ = f(a,b,c) veor paramérico g(.) denoa uma ransformação linearizane. σ V ( Y ) = dg(.) Dx Para Modelo Exponencial Modificado; g( ) = log( x a) Para Modelo Gomperz g ( ) = log( log( log( x / a') Para o Modelo Logísica, g3 ( ) = log( x /( a x )) Para Modelo Exponencial com φ conhecido a - Nível se sauração φ g 4 ( ) = log(( x ) a). O MÉTODO DE YOUNG & ORD PARA SELEÇÃO DAS CURVAS CONSISTE DE: (i) Selecionar enre os modelos (exponencial modificada, gomperz, logísica ou exponencial modificada com φ conhecido); e, (ii) Selecionar enre as esruuras de erros.

7 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Rio de Janeiro/RJ Noe que (A) e (B) implicam em esquemas esocásicos diferenes. De (A) emos: Var( y) = Var( E) = σ. Conudo de (B) emos que : σ Var( y) = [ dg( )/ dy], a qual aumena à medida que aumena. ALGORITMO () Transformar os dados aplicando g, g, g3 e g; 4 () Fazer os gráficos das ransformações em função de. (3) Opar em () pelo gráfico que mais se aproxima de uma rea. (4) Fazer o gráfico dos pseudo-resíduos (pr ), onde: (pr ) = Y ( y + y + y+ ) = Y 3 3 () Se o gráfico de pr versus for consane ao longo do empo, aceia-se a hipóese de variância consane (homocedasicidade) e conserva-se a decisão omada em (3), caso conrário, aceia-se a hipóese de heerocedasicidade e a necessidade de ransformação dos dados adoando g, g, g3 ou g; 4 dependendo da decisão em (3). Uma das desvanagens do procedimeno acima é a suposição de conhecimeno prévio do nível de sauração a. 4. Abordagens para a Esimação As meodologias serão desenvolvidas usando-se o Pc-Malab. Para a esimação dos hiperparâmeros da idenificação da curva de crescimeno, podemos seguir rês procedimenos dos quais são descrios abaixo: (i) Méodo de Esimação Abordagem Clássica Esáica Ese é clássico procedimeno de mínimo quadrado adapado para a presene curva de crescimeno. Devemos escolher os hiperparâmeros a, b e c de al modo pela função objeivo dada (forma geral): = [Xj (a + bec)] é minimizado. Os pesos wj são al que: Exponencial Modificada: wj = k/v(xj) Logísica: Gomperz: wj = kx / V(Xj) wj = k(.308xj) / V(Xj) Onde V(Xj) é a variância dos dados e k uma consane posiiva arbirária. O procedimeno não só dá o pono mais apropriado esimado para a, b e c, como ambém a mariz de covariância dos hiperparâmeros correspondenes e inervalos de confiança aproximados. (ii) Méodo de Esimação Abordagem Clássica Dinâmica (DFK) Esa é uma aproximação basane diferene proposa por Nigel & Meade (8) onde o empo se baseia nas curvas de crescimeno como apresenou nas equações (.), (.4) e (.), as curvas são reformuladas de uma base emporal direa para uma base observacional garanindo a monoonicidade da série na hora da exrapolação e uso do Filro de Kalman esendido permiindo lidar com os parâmeros varianes no empo. A abordagem dinâmica vem raar de rês principais limiações da abordagem clássica esáica. São elas:

8 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Rio de Janeiro/RJ () Consância dos coeficienes No desenvolvimeno de um fenômeno, um comporameno esável implicado pela consância dos coeficienes é indesejável. A suposição de consância raz uma esimação média sobre o conjuno de observações, o que conduzirá a imprecisões na hora da previsão. () Inconsisência enre recenes observações e previsões Embora um mercado de bens duráveis, por exemplo, seja um processo monoonicamene crescene nenhuma garania se em disso. Se X N, a mais recene observação, é maior que a esimaiva de mínimos quadrados enão é concebível que a esimaiva de X N+ deverá ser menor que X N, ou seja, um decréscimo no mercado é previso. (3) Medidas de Incereza O ajuse para mínimos quadrados não reconhece a naureza seqüencial dos dados, o que implica em inervalos de confiança para X quando N ão amplos, ou mais amplos do que para >N, onde X N é a úlima observação. Quando o experimeno pode ser repeido muias vezes ese comporameno é esperado, mas no desenvolvimeno de um mercado o experimeno ocorre somene uma vez, com a incereza concenrada na região >N. A mudança da base emporal para a base observacional vem superar o defeio apresenado em () e a uilização do FK esendido permie resolver (). X = f(a, b, c, ) X = h(b, b, X-, X-) + v Onde a função h(.) é da família das 3 curvas de crescimeno reformuladas: Exponencial Modificado h EM (β, β, X-) = (β + β*x-) (4.) onde: β = a.[ exp( c)] e β = exp( c ) Logísica h LOG (β, β, X-) = onde: β = x (4.) ( β + β * X ) exp( c ) e β = a.( exp( c)) Gomperz h GOM (β, β, X-) = β.x- (4.7) onde: log( β ) = [ exp( b)]. a e β = exp( c ) Sendo β > 0 e 0 < β < e relacionado para forma original dos hiperparâmeros a, b e c. As esimaivas dos parâmeros de ineresse β e β é levado seqüencialmene via algorimo Filro de Kalman Esendido adoando o veor de esado b = (b b). No seguine sisema de equações dinâmicas: X = H β + e β+ = Iβ + w ; Var( e ) = R ; Var( w ) = Q (4.8) onde: H h( β ) = β ^ β = β / o qual é obido direamene para cada curva como esado nas equações (4.) aé (4.7). O uso seqüencial do filro de Kalman [Wes & Harrison, (8)], a cada insane condicional esimados do veor de esado.

9 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Rio de Janeiro/RJ (iii) Méodo 3 de Esimação Abordagem Bayesiana Dinâmica: Filro de Kalman Esendido com Faores de Descono (BDM). Esa úlima formulação pode ser visa como uma melhoria da prévia dando uma inerpreação Bayesiana ao Modelo Linear Dinâmico mosrado na equação (4.8). Fazendo assim, a esimação de veor de esado é obida direamene pelo mesmo algorimo do Filro de Kalman. Porém, nós podemos usar o esquema de faor de descono agora para subsiuir a arefa de valores de colocação para as discrepâncias de ruído R e Q e o princípio de análise de referência para fixar a disribuição anerior para o veor esaal.. Aplicações Apresenaremos imporanes resulados do procedimeno descrio para modelos de curvas de crescimeno para O Número de Noificações de Casos de AIDS no Brasil. noificações de casos de AIDS no Brasil. Procedimeno: () Escolha das curvas sugeridas pelos méodos de Gregg e all e Young & Ord; () Esimação via abordagem esáica dos modelos sugeridos; Gregg e all (4); (3) Esimação via abordagem dinâmica, Meade (8), do melhor modelo esimado em (). (4) Esimação via abordagem dinâmica Bayesiana com faores de descono. () Gráfico da série, melhor modelo esáico, modelos dinâmicos, A seleção do melhor modelo foi feia segundo o SQE (Soma dos quadrados dos resíduos) e o EMPP (MAPE), dado por (para previsões com a mesma origem ): MAPE = 00. n + n = + Y Yˆ / + n X X p 00 ( ) =. Y n X = + Noação: X p () é o valor previso para X no insane. X é o valor real de X no insane. n é o número de observações usadas no ajuse. Todas as séries êm amanhos (n + T); separou-se os úlimos T dados para esar o desempenho prediivo do modelo. Série - Número de noificações de casos de aids no Brasil (0/8-08/8) e foram usados de Janeiro/8- Agoso/8 para esar a capacidade prediiva do modelo. Méodo [Gregg e all] Logísica φ =. 3. Méodo [Young & Ord] Logísica. ^

10 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Rio de Janeiro/RJ Esimação do Modelo Modelos Esáicos SQE MAPE $a )Logísica 4 Wj = 0 Y j / α j α= 0. Y j = X j Limie =470 )Logísica 4 Wj = 0 Y j / α α= 0. j Y j = X j Limie=88 j j σ a $b σ b $c σ c Mariz de Correlação Modelos Dinâmicos Condições Iniciais SQE MAPE 3)Logísica (Clássico) R = )Logísica com Faores de Descono Bayesiano) = 0 I x 0 Q = 3. I x β 0 = [ ] α = 0. β 0 Nm, C onde m 0 = [ ] C = 0 ( ) ( ) I x V 0 = β (x) = diag[ ] α = (I) Validade do Modelo A curva logísica foi indicada por ambos processos de escolha. Esudamos o caso com c>0, iso é, supondo que o número de noificações possuam um limie assinóico. (II) Validade Esaísica do Modelo O ajuse é razoável no início e basane bom na meade final; somene os modelos dinâmicos acompanham as mudanças ocorridas no período Fevereiro/87 Junho/87. A não significância dos parâmeros a e c e a sua ala correlação, sugere que além de um dos dois parâmeros acima não esar explicando nada, ouras curvas com parâmeros levemene diferenes ajusarão com a mesma precisão. (III) Capacidade de Previsão

11 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Rio de Janeiro/RJ Todos modelos apresenam boa capacidade prediiva, levemene melhores que o apresenado por Gamermann e Migon, onde MAPE Logísica =.4%, MAPE Gomperz =.0% e MAPE Exponencial =.434%, conra o nosso MAPE Modelo4 =.08%.. Conclusões O uso de peso na esimação como proposo por Gregg (), em duas vanagens: (i) Dá mais peso às mais recenes observações; (ii) E ambém permie uma checagem coninua no incremeno da discrepância de observação (são melhores que o decaimeno exponencial). Isso fez com que obivéssemos resulados razoáveis com o méodo esáico. Os dois méodos de idenificação da curva de crescimeno discuidos aqui são imporanes dando informação preciosa anes do ajuse da curva aual. Observe-se que esa pré-seleção funciona como se ivéssemos um especialisa ajudando na escolha de uma curva S apropriada. Também ineressane nesa escolha esá o fao que ambos produziram a mesma idenificação de curva pelo exemplo discuido aqui. O procedimeno alernaivo de Gregg e all (4), em esimar φ na equação: X =[a + b.exp(-c)] φ Demonsrou-se saisfaório nos eses realizados, principalmene para a logísiica (φ = -), Exponencial Modificada (φ = ) e Exponencial Modificada Generalizada (φ dado). De acordo com as ouras aproximações a dinâmica é melhor no senido de que são mais adapáveis a mudanças nos dados. Porém, para um ajusameno melhor e um desempenho de predição melhor deses modelos o usuário deveria se familiarizar com a escolha dos faores de descono. Como mosrou em ouros casos a curva de crescimeno que produz os melhores ajusamenos (menor SQE) não necessariamene produz as melhores previsões. Uma vez mais deve ser enfaizado que o objeivo principal dese esudo era mosrar que o modelo dinâmico para curva de crescimeno adoando qualquer um dos dois, um bayesiano ou uma filosofia clássica parece produzir resulados melhores que o procedimeno radicional. A série de AIDS esá sendo aualizada e ambém aplicaremos a meodologia exposa a séries reais brasileiras: Percenual de Domicílios com Telefones no Brasil e Crescimeno da Uilização de Telefones Celular no Brasil. 7. Referências Bibliográficas ANDERSON, Brian D. O.; MOORE, John B. (7) Opimal Filering, Prenice-Hall, New Jersey. BASS, Frank M. () A New Produc Growh for Model Consumer Durables, Managemen Science, Vol.,-7. BRESTSCHNEIDER, S. and BOZEMAN, B. (8), Adapaive diffusion modes for he growh of roboics in New York Sae Indusry, Technologial Forecasing and Social Change, 30, -. FRANSES, Philip Hans (00) Tesing for residual auocorrelaion in growh curve models, Tecnological Forecasing and Social Change,, -04. GAMERMANN, Dani e MIGON, Helio S. (88) Forecasing he Number of AIDS case in Brazil, Technical Repor Nº 3, ENCE. GAMERMANN, Dani e MIGON, Helio S. (8) Generalized Exponenial Growh Models: a Bayesian approach, Technical Repor nº 4, Laboraório de Esaísica, Federal Universiy of Rio de Janeiro.

12 SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a de novembro de 00, Rio de Janeiro/RJ GAMERMANN, Dani e MIGON, Helio S. (a), Forecasing he number of AIDS cases in Brazil, The Saisician, 40, GAMERMANN, Dani e MIGON, Helio S. (b), Tracors in Spain - A dynamic reanalysis, J. Opl. Res. Soc,, Vol 4, N, -4. GREGG, J. V.; HOSSEL, C. H.; RICHARDSON,J. T. (4) Mahemaical Trend Curves: An Aid o Forecasing, Oliver & Boyd, Edinburgh. HARVEY, A. C. (84) Time Series Forecasing Based on he Logísic Curve, Journal Operaional Research Sociey, Vol. 3, nº 7, 4-4. MAR-MOLINERO, C. (80) Tracors in Spain: A Logísic Analysis Journal Operaional Research Sociey, Vol. 3, 4-. MEADE, Nigel (84) The Use of Growh Curves in Forecasing Marke Developmen: A Review and Appraisal, Journal of Forecasing, Vol. 3, 4-4. MEADE, Nigel (8) Forecasing Using Growh - An Adapaive Approach, Journal Operaional Research Sociey, Vol. 3, 03-. MEADE, Nigel; Islam Towhidul () Forecasing wih Growh Curves: An Empirical Comparasion, Inernaional Journal of Forecasing, Vol., -. MEADE, Nigel; Islam Towhidul (8) Tchenological Forecasing Model Selecion, Model Sabiliy and Combinig Models, Managemen Science, Vol. 44, -30. OLIVER, F. R. 8) Tracor in Spain: a Furher Logísic Analysis, Journal Operaional Research Sociey, Vol., 4-0. OLIVER, Rober M. (87) A Bayesian Model o Predic Sauraion and Logísic Growh, Journal Operaional Research Sociey, Vol.38, nº, 4-. SAUER, Leandro () Curvas de Crescimeno Uma Visão Geral, Disseração de Mesrado PUC-RJ. WEST, Mike; HARRISON,P. Jeff e MIGON, Hélio S. (8) Dynamic Generalized Linear Models and Bayesian Forecasing, Journal of he American Saisical Associaion, Vol. 80, nº 38, ISLAM, Towhidul () Forecasing Developmen of he Marke for Business Telephones in he U.K., Managemen Science, vol. 47, 0-8. WEST, Mike; HARRISON, Jeff (8) Bayesian Forecasing and Dynamic Models