UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS CARLOS AUGUSTO MOREIRA FILHO

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS CARLOS AUGUSTO MOREIRA FILHO Anális stática não linar plana d ponts staiadas dtrminação das frquências naturais modos d vibração. São Carlos 214

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3 CARLOS AUGUSTO MOREIRA FILHO Anális stática não linar plana d ponts staiadas dtrminação das frquências naturais modos d vibração. Dissrtação aprsntada ao Dpartamnto d Engnaria d Estruturas da EESC-USP como part intgrant dos rquisitos para obtnção do título d Mstr m Engnaria d Estruturas. Orintador: Prof. Titular Dr. José Elias Lair Vrsão corrigida A vrsão original ncontra-s na Escola d Engnaria d São Carlos São Carlos 214

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7 Aos mus avós Manol Victor Tlls Morira, Flora Naslavsky Morira Luiz Carlos da Costa Mnzs, Lúcia Maria Mota d Mnzs.

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9 AGRADECIMENTOS À mina família, spcialmnt, mus pais Carlos Augusto Morira, Ana Lic Mnzs Morira, mu irmão, Mané, ao irmão do coração, Nando, plo apoio incondicional. À mina namorada, Nazina, plo amor comprnsão nssa tapa da mina vida, smpr ao mu lado m incntivando, indpndntmnt da distância, uma vrdadira companira. Ao mu orintador, Prof. Titular José Elias Lair, plas sugstõs paciência durant a ralização dst trabalo. Aos profssors Lopoldo Pisanlli, Waltr Libardi, por acitarm a participação na banca xaminadora, plas contribuiçõs aprsntadas ao trabalo. Ao mu tio, Ivan, qu smpr m incntivou m guiou com sus sábios conslos, smpr s procupado com o andamnto da psquisa. Aos profssors do dpartamnto, m spcial aos profssors Rodrigo Ribiro Paccola, por star smpr disposto a sanar minas dúvidas, ao profssor Edson Dnnr Lonl, também s mostrando smpr solícito, ao profssor Humbrto Brvs Coda, plas sugstõs fitas na qualificação. Aos amigos d infância os amigos qu fiz no Dpartamnto d Estruturas qu ajudaram a passar o tmpo nsta confraria d doidos. Em ordm alfabética, Andrzão, Artur, Ayrton, Barrtos, Kétson, Carlos Orozco, Clilson, El Niño, Elias, Emrson, Frnandão, Frnando (Colombiano), Hnriqu, Hugão, Marcll, Matus, Nicollas, Pablito, Ricardo, Sérgio (Colombiano), Srjão,, até msmo, Grg o Intruso. Aos profssors da UFPE qu participaram da mina formação, Brnardo Horowitz, Silvana Maria Bastos, Paulo Régis, Tibério Wandrly, Ézio da Roca, João Rcna, Wasington. Aos mus colgas d trabalo da Engdata Tcomat, Dr. Patrocinio, Dr. Sérgio Osório, Dr. Antônio Alvs, Eldny, Manola, Vrônica, Hnriqu, Marcla, Silvania, Emília, Adriano, Frnando, Wsly, Jairo, Nto, Gabrila, Dr. Anglo Just. À CAPES pla bolsa d studos concdida.

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11 RESUMO MOREIRA FILHO, C. A. Anális Estática Não Linar Plana d Ponts Estaiadas Dtrminação das Frquências Naturais Modos d Vibração. Dissrtação d mstrado Escola d Engnaria d São Carlos, Univrsidad d São Paulo, São Carlos, 214. As ponts staiadas são xmplos d struturas sbltas flxívis ond a capacidad d utilização dos matriais tm grand importância. Nst sntido, para garantir a mlor utilização dos matriais nvolvidos (aço concrto, por xmplo), é prciso dtrminar as forças d protnsão aplicadas aos cabos. A mlor distribuição dos momntos fltors no tabuliro d pont é aqula obtida com uma viga contínua. Ponts staiadas forncm apoios lásticos ao tabuliro. O prsnt trabalo mprga o método da anulação dos dslocamntos, MAD, para obtr as forças axiais a qu os cabos starão submtidos d modo a aproximar o comportamnto do tabuliro ao d uma viga contínua. O método MAD. proporciona uma strutura conomicamnt mais viávl. O código computacional dsnvolvido raliza análiss stática modal por mio do método dos lmntos finitos, MEF. A anális stática utilizada é a não linar gométrica, considrando as não linaridads do fito d catnária do cabo, dos lmntos submtidos à comprssão. O matrial é assumido no campo do rgim lástico linar. A pont é modlada por lmntos d trliça plana com módulo d lasticidad d Discingr, para simular os cabos, lmntos d pórtico plano para os lmntos do tabuliro da torr. O carrgamnto da strutura considra a atuação apnas do pso-próprio dos lmntos struturais. O código computacional dsnvolvido prmit, também, a anális modal da strutura a fim d dtrminar suas frquências naturais modos d vibração. A anális modal pod sr ralizada com a matriz d massa concntrada, ou consistnt. Em rlação à matriz d rigidz, a anális modal da strutura pod utilizar a matriz d rigidz linar, para uma anális d vibraçõs livrs, ou a matriz d rigidz tangnt para as análiss d vibração sob tnsõs iniciais. Exmplos ncontrados na litratura são rsolvidos com o código computacional dsnvolvido para vrificação validação. Palavras-cav: Método dos lmntos finitos. Anális não linar gométrica. Anális modal. Método da anulação dos dslocamntos. Ponts staiadas.

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13 ABSTRACT MOREIRA FILHO, C. A. Nonlinar Static Analysis of Plan Cabl-Stayd Bridgs and Dtrmination of Natural Frquncis and Vibration Mods. Mastr s Tsis Escola d Engnaria d São Carlos, Univrsidad d São Paulo, São Carlos, 214. T cabl-stayd bridgs ar xampls of slndr and flxibl wr t usability of t matrials is vry important structurs. In tis sns, to nsur t bst us of t matrials involvd (stl and concrt, for xampl), on must dtrmin t forcs applid to t prstrssing cabls. A bttr distribution of t bnding momnts in t bridg dck is obtaind wit a continuous bam. Cabl-stayd bridgs provid lastic support to t dck. Tis work mploys t zro displacmnt mtod, ZDM, to dtrmin t axial forcs tat t cabls will b subjctd to in ordr to approximat t bavior of t dck to t on as a continuous bam. T ZDM mtod provids an conomically viabl structur. T computational cod prforms static and modal analysis, wic ar prformd by using t finit lmnt mtod, FEM. T static analysis is a nonlinar gomtric analysis wic considrs t nonlinaritis of t cabl sag, and t comprssion ffcts on t lmnts. T matrial is assumd in t fild of linar lastic rgim. T bridg is modld by lmnts of plan truss wit Discingr s lasticity modul, to simulat cabls and plan fram lmnts for t dck and t towr lmnts. T structur is subjctd to slf-wigt of t lmnts. T computr cod dvlopd also prforms t modal analysis of t structur to dtrmin tir natural frquncis and mod saps. T modal analysis can b carrid out wit t concntratd or consistnt mass matrix. In rlation to t stiffnss matrix, modal analysis of t structur may us a linar stiffnss matrix for analysis of fr vibration analysis or t tangnt stiffnss matrix for t analysis of vibration undr initial strss. Exampls in t litratur ar solvd wit t computational cod dvlopd for vrification and validation. Kywords: Finit lmnto mtod. Nonlinar gomtric analysis. Modal analysis. Zro displacmnt mtod. Cabl-stayd bridgs.

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15 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO CONSIDERAÇÕES INICIAIS OBJETIVOS JUSTIFICATIVA METODOLOGIA ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 23 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ESTADO DA ARTE 25 3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA FORMULAÇÃO DOS ELEMENTOS FINITOS MATRIZ DE RIGIDEZ E MATRIZ DE MASSA DO ELEMENTO FINITO VETOR DE CARREGAMENTOS NODAIS DO ELEMENTO FINITO 59 4 ANÁLISES ENVOLVIDAS E O MÉTODO DA ANULAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS (MAD) ANÁLISES ENVOLVIDAS ANÁLISE ESTÁTICA LINEAR ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE NÃO AMORTECIDA ANÁLISE DE VIBRAÇÕES SOB TENSÕES INICIAIS A ESCOLHA DO MÉTODO DA ANULAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS MAD DESCRIÇÃO DO MÉTODO MAD CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON FORMULAÇÃO DO MÉTODO MAD 78 5 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO PORTAL DE VOIGT 84

16 ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR ANÁLISE MODAL PONTE ESTAIADA ASSIMÉTRICA COM DOIS ESTAIS ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR ANÁLISE MODAL PONTE ESTAIADA SIMÉTRICA EM CONFIGURAÇÃO DE HARPA ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR ANÁLISE MODAL PONTE ESTAIADA SIMÉTRICA EM CONFIGURAÇÃO DE LEQUE ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR ANÁLISE MODAL CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÃO VALIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL ANÁLISE ESTRUTURAL PROPOSTAS DE DESENVOLVIMENTO 14 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 141 APÊNDICE A MANUAL DE UTILIZAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL DESENVOLVIDO 145

17 1 INTRODUÇÃO O prsnt capítulo tm como finalidad ftuar a aprsntação da tmática da psquisa. São xpostas considraçõs iniciais, com o intuito d promovr contxtualização do tma m studo. Ainda são aprsntados os objtivos do trabalo, justificativa do tma, a mtodologia adotada, a organização do trabalo. 1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS Com o aprimoramnto d técnicas construtivas, os avanços tcnológicos obtidos nos matriais mprgados na construção civil, intnsifica-s a busca por struturas qu proporcionm mnor consumo d matrial, qu sjam mais rsistnts, sbltas, ond o aspcto stético passa a tr grand rlvância na concpção d um projto. As ponts viadutos passaram a tr uma importância, além d sua função principal, qu é transpor obstáculos, d figurar como modladors da paisagm d uma cidad, ou país, srvindo d marcos arquittônicos locais. Os modlos struturais d ponts qu stão m dstaqu na atualidad, tanto pla blza quanto pla ficiência strutural, são as ponts com suport d cabos. Essas ponts são concidas por transporm grands vãos com uso d pouca quantidad d matrial. Nsta catgoria d ponts, ncontram-s as ponts staiadas as ponts suspnsas, também concidas como pênsis. A principal distinção ntr as ponts suspnsas as ponts staiadas, sgundo Troitsky (1988), é a forma como os cabos são capazs d promovr a sustntação dos lmntos struturais. Troitsky (1988) afirma qu o tabuliro, nas ponts suspnsas, são sustntados por cabos vrticais qu stão fixados a um cabo principal qu stá frouxamnt pndurado, nquanto qu as ponts staiadas o tabuliro é sustntado dirtamnt plas torrs com os 15

18 cabos, o qu confr às ponts staiadas uma strutura mais contravntada qu as ponts pênsis. O prsnt trabalo tm como nfoqu as ponts staiadas, cada vz mais populars ntr os projtistas. Os cabos possum um comportamnto xtrmamnt não linar gométrico provnint do fito d catnária. Então, para obtr a rsposta mcânica da strutura d forma mais condiznt com a ralidad, faz-s ncssário lvar m considração o comportamnto não linar dos stais na modlagm da strutura. Com o aumnto da complxidad das struturas, as rprsntaçõs matmáticas dos problmas passam a tr soluçõs analíticas cada vz mais difícis d s obtr, dvido ao alto grau d complxibilidad das quaçõs difrnciais nvolvidas, das condiçõs d contorno a srm obdcidas. O modlo matmático d rprsntação dv nglobar as rlaçõs constitutivas dos matriais, as rlaçõs d quilíbrio as rlaçõs dslocamntos/dformaçõs. Para s obtr as soluçõs d struturas complxas, foram dsnvolvidos métodos numéricos, qu buscam uma solução aproximada com uma boa xatidão prcisão [Figura 1.1], dsd qu discrtizado d forma corrta, com lmntos d aproximação adquada. Figura Exmplos d xatidão prcisão. (a)inacurado imprciso; (b)acurado imprciso; (c) inacurado prciso; (d) acurado prciso [Capra Canal, 28]. Nss sntido, um dos métodos numéricos mais difundidos é o Método dos Elmntos Finitos (MEF). Sgundo Holland (1974) o método do lmnto finito tv sua 16

19 primira aplicação m 1943 com a publicação d um artigo do matmático Ricard Courant sobr anális d torção. Holland (1974) cita, também, outro matmático, Syng, qu aprofundou o método m 1952, lançou um livro m Mas, d acordo com Assan (23), foi apnas m 1956, com a publicação dos trabalos dsnvolvidos por Turnr, Cloug, Martin Topp, qu o método dos lmntos finitos tv sua formulação dsnvolvida da forma mprgada até oj. Além dsts, Holland (1974) cita também Zinkiwicz Argyris como os principais noms nvolvidos com o dsnvolvimnto do método dos lmntos finitos. Assan (23) afirma qu Cloug du o nom d método dos lmntos finitos para difrnciar do método dos lmntos infinitsimais utilizados no cálculo difrncial. O método MEF pod sr mprgado tanto na solução d sistmas d quaçõs linars, bm como não linars. A rsolução dos sistmas não linars s faz d forma itrativa até s obtr uma rsposta dntro d uma tolrância spcificada (ε s ). As ponts staiadas são struturas d grand port d alta complxibilidad. É prciso tr cuidados spciais para garantir o bom funcionamnto da strutura. Uma das formas d s monitorar st comportamnto é por mio d nsaios dinâmicos. Os nsaios dinâmicos possum carátr não dstrutivo, isto é, são nsaios qu implicam danos imprcptívis ou nulos à strutura. Mta Montiro (28) afirmam qu xist um grand intrss m dsnvolvimnto d nsaios não dstrutivos para avaliar struturas d concrto. Ests nsaios não dstrutivos podm sr stndidos para struturas civis m gral, como struturas d aço, mistas, d matriais compósitos. Os autors obsrvaram qu o aprfiçoamnto dsss métodos pod grar grand conomia para os cofrs públicos tndo m vista qu métodos mais ficints para dtcção d danos podm ncontrar dfitos no concrto ants qu o custo d manutnção s torn alto dmais, ou até inviávl. Os nsaios dinâmicos visam obtr dados físicos da strutura in-loco, mais comumnt a aclração grada pla aplicação d uma solicitação dinâmica. Rn, Png Lin (25) citam como principais tsts dinâmicos os nsaios d vibração forçada, vibração livr vibração ambintal. Através dos dados d aclração, é possívl obtr o modlo modal xprimntal da strutura. O modlo modal prmit dscrvr as caractrísticas dinâmicas da strutura, traduzidas através das frquências naturais, os sus modos d vibrar, as razõs d amortcimnto viscoso da strutura. 17

20 A anális do comportamnto dinâmico não é tão xplorada na ngnaria civil brasilira quanto m outros paíss. Isto ocorr porqu o país ncontra-s m uma rgião privilgiada, não avndo grands problmas rlacionados a sismos. No ntanto, o concimnto do comportamnto da strutura ant os fitos dinâmicos pod rvlar-s d xtrma valia ao s monitorar struturas já xistnts, ou m fas construtiva. Isso porqu as frquências naturais da strutura são função da rigidz da massa da strutura. O modlo modal tórico da strutura pod sr obtido por mio d procssos numéricos. É important obtr o modlo modal numérico a fim d s ralizar comparaçõs com o modlo xprimntal obtido in-loco. Com os dois modlos, é possívl comparar as rspostas spradas (modlo tórico/numérico), com as rspostas rais mdidas com a strutura ral. Est trabalo s propõ a modlar ponts staiadas plo método MEF, a fim d ralizar a anális stática sob ação do pso-próprio da strutura, obtnção dos parâmtros modais. Como a strutura é dimnsionada pra tr uma dtrminada rigidz massa, qualqur altração nstas caractrísticas produz altração nos valors das frquências naturais. No caso d um dano na strutura ral, l pod sr prcbido pla diminuição da frquência natural, visto qu struturas mais rígidas possum frquências naturais mais altas. Com as caractrísticas dinâmicas da strutura, além da dtcção d danos, é possívl fazr o control d xcução da obra, a fim d garantir qu os parâmtros d projto sjam rspitados durant a tapa construtiva. Figura 1.2 Gráfico da aclrância d um sistma d um grau d librdad [Varoto, 211 ]. 18

21 Quando uma strutura é xcitada armonicamnt próximo d sua frquência natural la passa a tr amplituds d rsposta bastant altas, msmo qu stas forças d xcitação sjam pqunas, conform mostra a Figura 1.3. Nla, o fator d amplificação dinâmica da rsposta para um sistma d um grau d librdad, sgundo Cloug Pnzin (23) é dado por: D = x x máx stático = [(1 β 2 ) 2 + (2γβ) ] 2 1/ 2 (1.1) ond D é o fator d amplificação dinâmica, dado pla razão ntr o dslocamnto máximo da anális dinâmica (x máx ) o dslocamnto obtido pla anális stática (x stático ), β é a razão ntr a frquência d xcitação (ω) a frquência natural (ω n ), γ é a razão d amortcimnto do sistma. Para sistmas amortcidos, as amplituds rduzm tm su máximo pouco ants qu a razão d xcitação sja 1. As frquências d rssonância são as frquências ond o sistma possui amplitud máxima. O valor d β para o qual o fator d amplificação dinâmica é máximo, é dado, sgundo Cloug Pnzin (23) por: β ω rssonância rssonância = = 2 ωn 1 γ 2 (1.2) Cloug Pnzin (23) afirmam qu, na prática, a maior part das struturas civis corrnts possum um fator d amortcimnto γ,2, o qu implica qu as frquências rssonants das struturas ocorrm praticamnt quando s xcita a strutura m suas frquências naturais. 19

22 Figura Amplitud d Rsposta x Razão ntr frquência d xcitação frquência natural [Cloug Pnzin, 23 adaptado]. Com o modlo modal da strutura é possívl concr as frquências rssonants, dtcção d danos, ralizar o control xcutivo da strutura. Assim, sta é a importância d ftuar anális modal, tanto d forma numérica (MEF), quanto d forma xprimntal. Caso dtct-s alguma anomalia ntr os parâmtros afridos os sprados, á a possibilidad d ralizar a intrvnção da strutura ainda nas primiras tapas, minimizando custos não planjados. 1.2 OBJETIVOS O objtivo gral dsta psquisa é a obtnção dos sforços intrnos do modlo modal da strutura, via método dos lmntos finitos, a partir da configuração dslocada inicial da strutura, obtida por mio d uma anális stática não linar gométrica. O objtivo spcífico é o dsnvolvimnto d uma frramnta computacional, dotada d uma intrfac gráfica para ntrada d dados, qu sja capaz d obtr sta caractrização dinâmica da strutura. Em rlação às frquências naturais, tm-s intrss no studo das frquências d vibração globais da strutura, ond o modlo adotado é simplificado não fornc os modos locais d vibração dos cabos. D poss do modlo modal da strutura, é possívl ralizar análiss com rlação às solicitaçõs dinâmicas. 2

23 O programa pod sr utilizado, para a dtcção d danos, por mio d uma anális comparativa ntr as caractrísticas dinâmicas ncontradas xprimntalmnt, da strutura ral, com os dados obtidos com a anális do modlo numérico. Para a anális stática não linar, o código dsnvolvido mprga o método da anulação dos dslocamntos, MAD, proposto por Wang, Tsng Yang (1993). O método tm por objtivo liminar ou tornar suficintmnt pqunos os dslocamntos vrticais do tabuliro m pontos d control scolidos plo usuário. Com isso, é possívl aproximar o comportamnto do tabuliro da pont staiada a um tabuliro contínuo. O método fornc as forças axiais atuants nos cabos qu são capazs d promovr a condição d dslocamnto vrtical nulo m dtrminados pontos. Dsta forma, é possívl utilizar o programa dsnvolvido como subsídio ao studo prliminar d projto d novas ponts staiadas, pois st é capaz d forncr as forças iniciais a qu os lmntos stão submtidos a fim d dtrminar as sçõs transvrsais dos lmntos struturais da pont. 1.3 JUSTIFICATIVA Est projto promov uma contribuição à tmática d linas d psquisas já dsnvolvidas plo Dpartamnto d Estruturas da Escola d Engnaria d São Carlos (SET/EESC), como Método dos Elmntos Finitos, Anális Não linar, Dinâmica das Estruturas Estruturas Espciais. O trabalo gra uma continuidad d studos nsta lina d psquisa d modo a aprfiçoar o código computacional qu srá dsnvolvido, com postrior implmntação d lmntos spaciais (3-D) d pórtico trliça, não linaridad física, anális das caractrísticas dinâmicas durant as divrsas tapas construtivas, com considraçõs d fitos dpndnts do tmpo, bm como sr capaz d ralizar anális d carrgamntos dinâmicos d origm alatória, como vntos, vículos tc. O prsnt studo pod trazr bnfícios à indústria da construção civil, pois é capaz d proporcionar até struturas mais lvs, com uma concpção strutural mais racional otimizada, o qu rduz os custos construtivos da obra. Com os dados d frquências naturais, é possívl vrificar s as condiçõs m campo são capazs d mobilizar stas frquências, ralizar a mitigação ncssária. 21

24 1.4 METODOLOGIA A mtodologia mprgada busca a gração d um código computacional, com auxílio do MATLAB, FORTRAN, utilizando a toria já stablcida d lmntos finitos. Os lmntos da pont srão modlados sgundo lmntos clássicos d trliça plana, para simular os stais, lmntos d pórtico plano, para a viga as torrs. A anális srá fita considrando-s apnas os carrgamntos d pso-próprio dos lmntos struturais. O stai possui um comportamnto não linar, não rsist a forças d comprssão,, quanto mnor for a catnária do stai, maior srá o módulo d lasticidad ftivo do lmnto. A modlagm do cabo srá ralizada por mio d um único lmnto finito d trliça plana com módulo d lasticidad quivalnt, concido também por módulo d lasticidad d Discingr, para simular o fito da catnária. Os sistmas não linars d quaçõs srão rsolvidos d forma incrmntalitrativa, utilizando o método d Nwton-Rapson. Os rsultados obtidos srão validados pla comparação d xmplos d ponts staiadas modladas bidimnsionalmnt (2-D) ncontrados na litratura. As frquências naturais os modos d vibrar são obtidos pla solução do problma d autovalors autovtors do sistma strutural submtido à vibração sob tnsõs iniciais. Esta tapa d procssamnto é ralizada plo MATLAB. O programa conta com uma intrfac gráfica para a ntrada d dados, rfrnt à tapa d pré-procssamnto, dsnvolvido m ambint MATLAB, com visualização da strutura na configuração d rfrência. O procssamnto da anális stática (linar não linar) é ralizado plo FORTRAN, nquanto o procssamnto rfrnt à anális modal é ralizado plo MATLAB. A anális stática não linar da strutura é rsponsávl por obtr a configuração dslocada inicial, também as tnsõs iniciais a qu os lmntos starão submtidos, a partir daí obtr as caractrísticas dinâmicas pla anális modal. O pós-procssamnto conta com uma saída gráfica, um arquivo d txto para cada uma das duas análiss ftuadas (stática modal). O pós-procssamnto gráfico da anális stática mostra os dslocamntos sforços intrnos da strutura, qu são salvos na saída d txto. Para a anális modal, a saída d txto aprsnta as frquências naturais xtraídas m Hrtz, ou radianos/sgundo, nquanto a saída gráfica mostra o modo d vibrar da strutura suas frquências naturais corrspondnts m Hrtz. 22

25 1.5 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO O trabalo stá struturado m sis capítulos. A squência dos capítulos é organizada para a mlor assimilação das idias dsnvolvidas. No primiro capítulo, foram ralizadas as considraçõs iniciais, assim como dscritos os objtivos, a justificativa a mtodologia mprgada no trabalo. O capítulo 2 aprsnta uma brv rvisão bibliográfica a crca do stado da art das ponts staiadas, no qual é mostrada a importância da anális modal, a aplicabilidad dos critérios modais para dtcção d danos à strutura. Est capítulo aprsnta vários studos sobr a modlagm d cabos para anális strutural. Um apanado sobr as classificaçõs xistnts d ponts staiadas mostra a volução dst sistma strutural. O capítulo 3 mostra a rlvância do método dos lmntos finitos na ngnaria strutural xpõ a fundamntação matmática dos lmntos finitos clássicos d pórtico, trliça, qu são mprgados no código computacional dsnvolvido. Ests lmntos srão utilizados para discrtização das vigas/colunas da pont, cabos, rspctivamnt. As análiss qu são dsnvolvidas no código computacional são aprsntadas no capítulo 4. Est capítulo faz uma abordagm sucinta das análiss mprgadas, dando ênfas ao método itrativo d Nwton-Rapson, ao método da anulação dos dslocamntos (MAD), qu obtém as forças d protnsão dos cabos para uma dada configuração d rfrência. São aprsntados os critérios d convrgência mprgados no código computacional. Após aprsntada a fundamntação tórica para o dsnvolvimnto do trabalo, o capítulo 5 dsnvolv xmplos d validação, qu são ncontrados nas litratura, sndo um pórtico, comparando os rsultados obtidos com os aprsntados por Connor t al. (1968), Mantilla (1974), Nvs (199), três ponts staiadas aprsntadas por Wang, Tsng Yang (1993), obtndo-s as rspostas státicas modal para os xmplos. Finalmnt, o capítulo 6 é dstinado à conclusão, propostas para continuação da psquisa aprfiçoamnto do código computacional dsnvolvido. 23

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27 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Nst capítulo é aprsntada uma brv rvisão do stado da art com bas na rvisão bibliográfica ralizada. É abordado o istórico das primiras obras qu utilizaram struturas smlants às ponts staiadas, bm como a volução das ponts staiadas. É citado o sinistro da pont d Tacoma como xmplificação dos problmas qu struturas sbltas podm star sujitas. A importância do concimnto das caractrísticas dinâmicas é abordada, bm como a utilização da anális modal numérica x anális modal xprimntal d struturas xistnts com finalidad d dtcção d danos. São mostradas as classificaçõs xistnts dos sistmas struturais d ponts staiadas quanto à configuração dos cabos, posição da torr, tipo d suspnsão do tabuliro. São mostrados trabalos qu tratam as divrsas formas d modlagm dos stais, bm como as não linaridads prsnt nst tipo d strutura sua rlvância para a anális strutural d ponts staiadas. Por fim, são aprsntados studos qu visam a rdução dos sforços no tabuliro. 2.1 ESTADO DA ARTE Troitsky (1988) afirma qu o uso d cordas corrnts como forma d sustntação d struturas é uma idia qu vm dsd a antiguidad, sndo qu os gípcios aplicaram st concito para a construção d sus barcos à vla [Figura 2.1]. 25

28 Figura Barco à vla gípcio [Troitsky, 1988]. O primiro rgistro qu s tm d ponts staiadas como uma forma rgular d s transpor obstáculos data d 1617, quando, sgundo Troitsky (1988), Faustus Vrantius propôs uma pont com tabuliro d madira, suportada por barras d aço inclinadas, conform mostra a Figura 2.2. Figura Pont projtada por Faustus Vrantius, Itália, 1617 [Troitsky, 1988]. Virlogux (1999) afirma qu a primira pont staiada modrna m concrto armado foi projtada por Eduardo Torroja, ngniro spanol, m 1926 quando construiu o aquduto d Tmpul, m Jrz d la Frontra. Waltr t al. (1998) crdita a introdução dos aços d alta rsistência ao aquduto d Tmpul, situado na Espana. Mas, sgundo o autor, a grand volução dst sistma strutural vio com os studos publicados plo almão Franz Discingr. Waltr t al.(1998) rlata a introdução d stais inclinados protndidos por Discingr no projto da pont suspnsa sobr o rio Elba, m Os autors afirmam qu 26

29 Discingr propôs utilizar cabos d aço d alta rsistência submtido a altas tnsõs provocadas por carrgamnto d pso próprio. O dsnvolvimnto, no âmbito intrnacional, das ponts staiadas s du na década d 7,, a partir da década d 9, passaram a figurar ntr os sistmas struturais capazs d transpor grands vãos, passando a comptir com as ponts suspnsas (VIRLOGEUX, 1999). Na Figura 2.3, é possívl obsrvar o istórico da volução dos vãos livrs das ponts staiadas dsd 1952 até 212. A figura original d Virlogux (1999) mostra a volução até 1999, as ponts d Sutong Russky foram adicionadas a fim d atualizar a volução das ponts staiadas. O dsnvolvimnto d tabuliros mais sbltos flxívis possibilitaram às ponts staiadas comptir com outros sistmas d ponts, com sus vãos crscndo rapidamnt, a ponto d concorrr com as ponts suspnsas. No ntanto, para consguir suprar os vãos das ponts suspnsas srá prciso dominar as forças do vnto (VIRLOGEUX, 1999). Figura Evolução dos vãos livrs das ponts staiadas 1952 a 212 [Virlogux, adaptado]. Um xmplo d acidnt ocasionado por ação do vnto, como o citado por Virlogux (1999), é o da pont suspnsa do strito d Tacoma. Pugsly (1968) a dscrv como uma pont suspnsa d aproximadamnt 85 mtros d xtnsão, qu ntrou m colapso dvido a oscilaçõs xcssivas provocadas por vnto transvrsal à pont com crca d 65 quilômtros por ora. 27

30 Miyata (23) atribui o colapso da pont do strito d Tacoma a um mcanismo d xcitação do modo d vibração torcional da pont. Sgundo Miyata (23), a xcitação foi provocada por um vórtic causado pla itração do vnto com a viga principal qu grava rgiõs altrnadas d baixa prssão sincronizadas com o movimnto torcional, como s pod obsrvar na Figura 2.4, o qu provocou uma auto-xcitação da strutura. O concimnto prévio do comportamnto arodinâmico das frquências naturais da pont d Tacoma podria tr vitado o colapso da strutura. Waltr (1998) afirma qu, para ponts d pqunas dimnsõs ou para projto prliminar, as frquências fundamntais torcionais flxionais dvm distanciar-s d um fator d 2,5. Waltr (1998) alga qu para uma strutura ral dv-s utilizar o túnl d vnto para o studo dtalado do comportamnto arodinâmico. Figura Colapso da pont do strito d Tacoma, (a) o modo d vibração torcional lvou ao colapso, (b) fluxo d itração do vnto com a strutura criando rgiõs d baixa prssão [Miyata, 23 - adaptado]. Outra aplicação do concimnto das caractrísticas dinâmicas das struturas pod sr a dtcção d danos. Como Maas t al. (212) obsrvam, a frquência natural d um dado sistma é uma propridad constant invariant, na qual, ao s iniciar a fissuração do matrial as frquências naturais do sistma são altradas m dcorrência da rdução da rigidz. Os autors afirmam qu st é um fito bastant concido utilizado como indicador d dano da strutura, ntrtanto só é ficint após o surgimnto das primiras fissuras. 28

31 Zu, Li H (211) abordam os métodos xistnts para dtcção d danos basados nos modos d vibração, concidos como MAC (modal assuranc critrion) COMAC (coordinat modal assuranc critria). Os autors citam qu o MAC pod indicar a prsnça d danos, no ntanto st é insnsívl a danos simétricos m struturas simétricas. Já o COMAC pod sr utilizado para dtctar, localizar a posição do dano, mas a quda no valor do COMAC não indica a magnitud do dano. Jassim t al. (213) afirmam qu os valors MAC obtidos d uma strutura indicam a corrlação ntr dois modos, sus valors variam ntr, ond não á corrlação ntr os modos d vibração analisados, 1, ond a corrlação ntr os modos d vibração é prfita. Sgundo os autors, o dsvio do valor do MAC do valor d 1 é uma indicação d dano à strutura, quanto maior a magnitud do dano, maior o distanciamnto do valor d corrlação prfita ntr os modos d vibração. A dtrminação do MAC para dois modos d vibração sjam sts o modlo numérico o modlo ral (danificado ou não), é dado por: 2 n '' φ jφ j j= 1 = n n 2 '' 2 φ j φ j j= 1 j= 1 MAC (2.1) ond φ é o vtor do modo d vibração obtido com a modlagm numérica da strutura, φ" é o vtor modal da strutura ral, j varia d 1 a n qu é o númro d pars d modos d vibraçõs corrspondnts. Como mncionado por Zu, Li H (211) o MAC é capaz d indicar prsnça ou não d danos, ou inconstâncias da strutura, mas não é possívl localizar a sua posição. Para dtrminação da posição do dano, usa-s o COMAC. Jassim t al. (213) afirmam qu o COMAC dtcta variaçõs da rigidz d cada grau d librdad, ond o mnor valor do COMAC m qualqur ponto da strutura indica a posição mais provávl d s dtctar o dano, nquanto o MAC é capaz d idntificar variaçõs na rigidz da strutura. O cálculo do COMAC é ralizado para cada grau d librdad, comparando-s a strutura ral a strutura obtida com o modlo numérico sgundo a quação a sguir para o grau d librdad j: 29

32 2 n '' φ jiφij j= 1 j = n n 2 '' 2 φ ji φ ji j= 1 j= 1 COMAC (2.2) ond φ é o vtor do modo d vibração obtido com a modlagm numérica da strutura, φ" é o vtor modal da strutura ral, i é o valor do j-ésimo modo d vibração m um ponto d mdição, n é o númro d pars d modos d vibraçõs corrspondnts. Com rspito ao sistma strutural das ponts staiadas, st pod sr dividido m quatro componnts principais, a longarina, o sistma d cabos, a torr o bloco d ancoragm, ncontrados na Figura 2.5. Figura 2.5 Principais componnts struturais da pont staiada [Gimsing, adaptado]. As ponts staiadas sustntam o tabuliro por cabos inclinados, camados stais, prsos a uma torr. Tanto as torrs quanto o tabuliro podm sr d concrto, ou aço. Até o início d 212, a pont staiada m Sutong, na Cina, possuía o maior vão livr com 1.88 mtros. Em julo dss msmo ano, foi inaugurada a pont staiada d maior vão cntral livr até ntão, com 1.14 mtros. A pont russa, qu liga o continnt à ila d Russky sobr o strito d Bósforo [Figura 2.7] é a primira a ultrapassar a marca d 1.1 mtros d vão cntral. O primiro projto d pont staiada no Brasil foi a Pont d Porto Alncastro sobr o rio Paranaíba, qu spara os stados d Minas Grais Mato Grosso do Sul (Ytza, 29). Em 28, foi inaugurada uma das obras qu marcam a capital paulistana, a pont Octávio Frias d Olivira sustntada por 144 stais [Figura 2.6]. 3

33 Figura Vista aéra da pont Octávio Frias d Olivira. [W.Filo, Adão, Disponívl m: <ttp://portoimagm.wordprss.com/212/5/18/porto-algr-vai-ganar-dois-viadutos-staiados-nos-proximosanos-mas-ja-xist-gnt-contra/>. Acsso m: 2/1/212] Figura Pont Russky sobr o strito d Bósforo. [Disponívl m: <ttp:// Acsso m: 28/9/212] As ponts staiadas possum divrsos arranjos struturais, tanto plo arranjo dos cabos, quanto plo arranjo dos mastros. Troitsky (1988) classifica as ponts staiadas sgundo a configuração longitudinal dos cabos como ponts com a configuração m lqu, smi-arpa, ou arpa. Já os arranjos dos mastros, podm sr m um plano simpls, com o mastro cntral ou latral, com os cabos vrticais ou inclinados [Figura 2.8]. 31

34 Figura Arranjo transvrsal longitudinal dos cabos [Ytza, 29]. As ponts staiadas com os cabos s conctando à torr m forma d lqu não é a opção stética mais aprazívl, mas, m trmos struturais, é a mais intrssant, pois a configuração prmit o uso d ângulos maiors, qu produzm componnts d forças orizontais rduzidas no tabuliro. Esta configuração tm como principal dsvantagm a ancoragm dos cabos na torr. A rgião d fixação fica bastant conturbada plo grand númro d cabos, dificultando a convrgência dos cabos,, também, o grand númro d cabos gra tnsõs bastant lvadas nsta rgião. As ponts staiadas do tipo arpa não são a mlor solução strutural conômica, apsar d sr a solução stética mais agradávl por conta d sua posição paralla ntr os cabos. Est sistma é pouco indicado para ponts d grands vãos, uma vz qu a inclinação dos cabos introduzirá grands solicitaçõs axiais no tabuliro, podndo causar a instabilidad da strutura (TORNERI, 22). Um sistma íbrido ntr o sistma m lqu arpa é o sistma d smi-arpa, qu tnta associar os dois sistmas, agrgando as vantagns d cada um, mas sm as suas dsvantagns. Os cabos ficam dispostos na part suprior da torr, vitando o problma da convrgência dos cabos, como ocorr no sistma m lqu, aumntando a inclinação dos cabos, m rlação ao sistma m arpa, para rduzir as forças orizontais no tabuliro. As forças d comprssão crscm a mdida qu os vãos aumntam, isso s torna o principal limitador das ponts staiadas, dvido à prda d stabilidad causada por lvadas solicitaçõs axiais atuando no tabuliro. Tornri (22) diz qu o mprgo d ponts staiadas fica limitado a 1.5 mtros, dvido às forças d comprssão, além das dificuldads d xcução qu surgm. Waltr t al. (1998) classificam as ponts staiadas sgundo a configuração transvrsal m sistmas com suspnsão m um plano cntral, sistmas com suspnsão 32

35 latral. O sistma com suspnsão latral pod sr classificado como rto, ou inclinado, d acordo com a posição do stai m rlação ao tabuliro [Figura 2.8]. Para os sistmas com suspnsão cntral, stticamnt, não xist a sobrposição dos planos dos cabos, struturalmnt, são sistmas qu prcisam tr uma rigidz à torção do tabuliro maior qu o sistma com suspnsão latral. Caso o spaçamnto ntr os cabos sja pquno, a capacidad à flxão do tabuliro não é compltamnt xplorada. O sistma d suspnsão cntral possui a torr no cntro da sção transvrsal da pont, isto rqur qu o tabuliro sja mais largo m rlação ao sistma d suspnsão latral [Figura 2.9]. Para sts sistmas é ncssário prvr uma carga d impacto dvido ao tráfgo, ou posicionar barriras d sgurança ao rdor da ancoragm dos stais, a fim d mantr a intgridad da strutura. Figura Pont Brotonn com sistma d suspnsão cntral. [Disponívl m: < ttp:// _dsc&usr= >. Acsso m: 3/1/212] Sgundo Vargas (27), ss sistma d suspnsão causa baixas cargas d fadiga nos cabos, pois um tabuliro rígido à torção rpart cargas concntradas d forma mais ficint, mas para grands vãos, ou tabuliros muito largos, dv-s adotar o sistma d suspnsão latral. Para o sistma com dois ou mais planos d suspnsão, a grand dsvantagm é o grand númro d lmntos, causando uma confusão visual da strutura. Entrtanto, não á 33

36 problmas com o gabarito do tabuliro,, struturalmnt, são mais ficints qu o sistma d suspnsão cntral. Dntro da suspnsão latral, a suspnsão vrtical possui como principal vantagm a conomia na construção das torrs. Em trmos struturais, a utilização d torrs m forma d A com as colunas ligadas ao topo [Figura 2.1] mloram a rigidz a stabilidad da strutura, pois, o tabuliro, junto com as torrs, comporta-s como uma sção fcada rígida (VARGAS, 27). Figura Pont da Normandia com suspnsão latral torr m forma d "A"[ Disponívl m: < ttp:// >. Acsso m: 3/1/212] Estruturas d grands vãos rqurm torrs d grands alturas. Para mlorar a stabilidad rigidz da strutura é comum unir o topo das torrs, a fim d ofrcr maior rsistência às solicitaçõs latrais do vnto, além das forças dos stais. Sgundo Troitsky (1988) os sguints fators foram rsponsávis plo sucsso do dsnvolvimnto do sistma strutural das ponts staiadas: a) dsnvolvimnto d métodos d anális d struturas staticamnt indtrminadas o uso d computadors. b) dsnvolvimnto d tabuliros ortotrópicos d aço. 34

37 c) xpriência absorvida d antigas ponts contndo lmntos básicos das ponts staiadas. d) uso d aços d alta rsistência, novos métodos d fabricação, também, dsnvolvimnto d novas técnicas construtivas. ) capacidad d analisar ssas struturas por mio d studo d modlos. O stai é um dos principais agnts d sustntação, é capaz, assim como as cordas d um violão, d aumntar a rigidz com o aumnto da tração aplicada. Quando submtido à comprssão, o stai não ofrc rsistência. Durant a tapa construtiva, os stais vão sndo tracionados aos poucos, isso proporciona ao stai uma caractrística não linar muito fort. Para contornar ss problma, Pyrot Goulois (1979) afirmam sr comum a modlagm do stai como divrsos lmntos finitos d trliça intrligados, simulando uma catnária, utilizando métodos computacionais para rsolução d sistmas não linars. Outros studos, como Flming (1979), Nvs (199), Wang, Tsng Yang (1993), Wang Yang (1996), Wang, Lin Tang (22), fazm uso do lmnto d trliça com módulo d lasticidad quivalnt, ou módulo d lasticidad d Discingr. Est pod sr utilizado quando o incrmnto da carga é pquno, d forma a não altrar, significativamnt, a rigidz axial do cabo. O módulo d lasticidad d Discingr é dado por: E q E = (w L ) 1+ 12T 2 3 EA (2.3) ond E q é o módulo d lasticidad quivalnt do stai, E é o módulo d lasticidad do aço, w o pso por unidad d comprimnto do cabo, L é o comprimnto do stai m projção orizontal, A é a ára da sção transvrsal do cabo, Τ é a força d tração no cabo. Waltr t al. (1998) analisa a quação (2.3) graficamnt conform a Figura As curvas são plotadas para tnsõs aplicadas nos cabos qu variam d,5 σ a,5σ, ond σ é a tnsão d ruptura do cabo. 35

38 Figura Variação da razão ntr módulo d lasticidad quivalnt do cabo o módulo d lasticidad ral com rlação ao comprimnto orizontal do cabo [Waltr t al., adaptado]. Pla anális gráfica, nota-s qu, para um comprimnto orizontal do cabo d 4 mtros, aproximadamnt 8% da rigidz do cabo pod sr obtida aplicando-s,25σ. O gráfico é plotado no intrvalo até,5σ, pois a tnsão máxima prmitida no cabo dv sr d,45σ, m casos xcpcionais,,5σ como rlata Waltr t al.(1998). A Figura 2.12 mostra a posição inicial do cabo, com uma catnária f, a final, após a aplicação d uma força axial. Nota-s qu á um dslocamnto do cabo d L. Ess dslocamnto aumnta a tnsão do cabo,, consquntmnt, a sua rigidz como s obsrva na quação (2.3). 36

39 Figura Arranjo do cabo inclinado [Troistky, adaptado]. Flming (1979) Wang Yang(1996) utilizam a abordagm d um único lmnto rto d trliça com módulo d lasticidad quivalnt para simular o comportamnto do cabo. Ests autors afirmam qu uma anális puramnt linar é capaz d dtrminar a configuração d quilíbrio inicial. Wang Yang (1996) obtivram qu as forças nos stais obtidas na anális linar, para os xmplos numéricos studados (pont staiada assimétrica com 2 cabos, pont staiada simétrica m forma d arpa com 12 cabos, pont staiada simétrica com 12 cabos m forma d lqu), difrm da solução xata ntr 2 1%. A solução xata dos autors é tida como a anális m qu as não linaridads do fito d catnária, grands dslocamntos fito viga-coluna stão prsnts. Nvs (199) afirma qu a intnsidad da não linaridad d um sistma strutural é d fraca a modrada ond o carrgamnto stático promov tração adicional m todos os cabos, na qual a configuração dformada final não é muito difrnt da inicial. Já para sistmas qu á afrouxamnto dos cabos, a não linaridad é maior. Em rlação aos parâmtros dinâmicos da strutura, Nvs (199) diz qu o stado d tnsão inicial do sistma xrc uma influência sobr as caractrísticas dinâmicas tanto maior quanto maior for a flxibilidad do sistma. O autor afirma qu sistmas struturais staiados, por srm flxívis, ncssitam qu a rsposta dinâmica no tmpo sjam calculadas a partir dos modos d vibração obtidos com a strutura sob um stado d tnsõs iniciais. Yamaguci Jayawardna (1992) propusram uma forma analítica d stimar o amortcimnto istrético, ou amortcimnto strutural, d sistmas com um, ou vários cabos. 37

40 Por mio d uma anális não linar m lmntos finitos é dfinida a dformação dinâmica do cabo,, com la, obtém-s uma stimativa analítica do amortcimnto istrético. Os autors caractrizam a dformação dinâmica como sndo a dformação obtida quando o cabo ating o dslocamnto máximo no procsso d vibração. Wang Yang (1996) fizram um studo paramétrico das não linaridads xistnts nas ponts staiadas. Analisaram a não linaridad causada pla catnária dos cabos, grands dslocamntos, plo fito viga-coluna. Com o studo, cgaram à conclusão qu a busca pla configuração dslocada inicial ra obtida com boa xatidão por todos os modlos [Figura 2.13]. Em rlação às forças nos stais, os modlos qu lvam m considração o fito da catnária s aproximam da solução xata, nquanto o modlo sm a considração do fito da catnária obtv uma rsposta na vizinança da rsposta linar [Figura 2.14]. Figura Busca pla configuração inicial d uma pont staiada tipo arpa [Wang Yang, adaptado]. 38

41 Figura Evolução das forças dos modlos durant as itraçõs d forma [Wang Yang, adaptado]. Karoumi (1999) aprsnta a formulação d um lmnto d cabo, qu driva da solução analítica do lmnto d cabo com catnária lástica faz uma comparação ntr o lmnto d cabo, o lmnto d trliça com módulo d lasticidad quivalnt, com a discrtização do cabo m 2 lmntos d viga com momntos d inércia muito baixos para simular o comportamnto do cabo [Figura 2.15]. O xmplo dsnvolvido por Karoumi (1999) para obtnção do gráfico aprsntado pla Figura 2.15 trata d um único cabo sob a ação do pso-próprio sujito a aplicação d força d tração m ambas as xtrmidads. Os xtrmos do cabo distam ntr si 34,8 mtros, a força aplicada no cabo d 17,794 kn. A catnária no mio do vão, rsultant da força aplicada, é d 3,48 mtros (1% do vão). Nota-s, pla anális da Figura 2.15, qu o lmnto d barra com módulo d lasticidad quivalnt é bm mais flxívl qu as outras abordagns para simular o comportamnto do cabo. Karoumi (1999) atribui sta difrnça ao fato qu o lmnto d barra com módulo d lasticidad quivalnt lva m considração o fito da catnária. Entrtanto, o fito d nrijcimnto, dcorrnt dos grands dslocamntos, não é lvado m considração. 39

42 Figura 2.15 Rspostas ntr as abordagns do lmnto d cabo, trliça com módulo d lasticidad quivalnt, 2 lmntos d vigas com momntos d inércia difrnts [Karoumi, adaptado]. Kim L (21) aprsntam um lmnto finito d cabo, formulado a partir das soluçõs analíticas do lmnto d cabo com catnária lástica. No studo, a configuração dslocada inicial é comparada com a solução obtida por Wang, Tsng Yang (1993) para uma pont staiada do tipo lqu com 12 cabos. Est lmnto aprsntou distribuição d momntos fltors mais uniforms no tabuliro qu o modlo d Wang, Tsng Yang (1993) com o módulo d lasticidad quivalnt [Figura 2.16]. A rsposta obtida por Kim L (21) s aproximou bastant da rsposta idalizada com apoios indslocávis na posição d ancoragm do cabo. Figura Momnto Fltor no tabuliro [Kim L, 21 - adaptado]. 4

43 No studo d Kim L (21) foi possívl adotar uma tolrância d 1-1, nquanto no studo proposto por Wang, Tsng Yang (1993) a tolrância d 1-4 foi dfinida como critério d convrgência do studo. Isso rsultou, para o studo d Kim L (21), m uma configuração dslocada inicial mais próxima da configuração d rfrência, como é possívl obsrvar na Figura Figura Dslocamntos do tabuliro [Kim L, 21 - adaptado]. Como os dslocamntos no tabuliro obtidos com a anális proposta por Kim L (21) difrm dos rsultados obtidos por Wang, Tsng Yang (1993), isto rflt forças nos stais, também, difrnts. A Figura 2.18 mostra a gomtria da pont staiada m lqu, com o quadro das forças obtidas nos stais plos dois studos. Figura Gomtria da pont staiada analisada, as forças obtidas plos studos d Kim L (21) Wang, Tsng Yang (1993) [Kim L, 21 - adaptado]. Tornri (22) abordou problmas d pré-dimnsionamnto dos stais como a fadiga dos stais, a dtrminação das forças d protnsão inicial dos cabos, a laboração d modlos simplificados d anális prliminar do comportamnto, tanto do tabuliro, como da 41

44 torr. Foi fito, também, um studo com difrnts propostas d concpção strutural, com o intuito d ofrcr subsídios para a tomada d dcisõs durant a tapa d projto. Tornri (22) considrou, para anális paramétrica, a configuração dos cabos, difrnts dimnsõs do vão latral, o spaçamnto ntr os stais, altura da torr, configuraçõs transvrsal da torr (torr m pórtico, mastro único a configuração m diamant, camada nst trabalo d configuração m A ), por fim a configuração transvrsal do tabuliro, qu vão dpndr da configuração adotada para a torr. Wang, Lin Tang (22) obtivram as análiss modais d uma msma strutura lvando m considração duas análiss státicas difrnts m rlação à itração d forma (por mio do método da anulação dos dslocamntos, MAD), uma linar outra não linar. O primiro procdimnto, camado d linar, os autors aplicam o método MAD d uma forma linar, isto é, o módulo d lasticidad do cabo utilizado é o linar, sm considração das não linaridads d grands dslocamntos do fito viga-coluna, ond a itração d forma é ralizada sm considrar a itração d quilíbrio da strutura, apnas a raplicação das forças d protnsão. O sgundo procdimnto, camado d procdimnto não linar, considra todas as não linaridads prsnts numa pont staiada (fito viga-coluna, fito d catnária grands dslocamntos). A rsolução do quilíbrio do sistma s dá itrativamnt plo método d Nwton. Os autors conclum qu, ao analisar ponts staiadas com um grand númro d cabos, xistm difrnças significativas ntr as frquências naturais ncontradas quando s toma como configuração dslocada a strutura obtida pla anális linar, da dslocada da strutura obtida pla anális não linar. Por consguint, afirmam qu a manira corrta d s dtrminar as frquências fundamntais modos d vibrar é por mio da configuração dslocada obtida da anális não linar. Wang, Tang Zng (24) formularam um procsso d anális da configuração da strutura durant a tapa construtiva. A xcução da pont é ralizada por balanços sucssivos, foram ftuadas duas análiss, uma sguindo a ordm construtiva, uma rtroanális, partindo da configuração inicial da pont, obtida na primira anális, xcutando a rtirada dos lmntos até s cgar à primira fas construtiva. Sgundo Rn Png (25) a posição d quilíbrio inicial d ponts staiadas pod sr obtida por uma anális stática m pqunos dslocamntos. 42

45 Para a anális da strutura, Rn Png (25), citam dois passos para obtr o modlo modal da strutura: a) A anális stática é ralizada com o pso próprio da strutura a pré-tnsão dos cabos. O objtivo dst passo é consguir a configuração d quilíbrio dslocada da pont na qual os lmntos struturais stão submtidos à tnsão inicial; b) Em sguida, a anális modal é ralizada, sndo iniciada da configuração d quilíbrio dslocada, obtida na anális antrior. Rn, Png Lin (25) afirmam qu as baixas frquências naturais (-1 Hz) os modos d vibrar rlativamnt dnsos dntro dss domínio são típicos das ponts staiadas. Nvs (25) aprsnta a criação d um programa computacional para ralizar a otimização d ponts staiadas por mio d programação com funçõs multi-objtivo. Vargas (27) obtém o comportamnto dos fitos d sgunda ordm nos lmntos struturais das ponts staiadas, analisando a não linaridad física da sção d concrto strutural quando solicitado por flxão oblíqua composta não linaridad gométrica. No studo, Vargas (27) afirma qu a não linaridad gométrica do stai pod sr obtida considrando o módulo d lasticidad scant E f, analisado como lmnto d barra. O módulo d lasticidad scant considra a possibilidad d mais d um nívl d tnsão atuar no cabo, o qu torna o uso dst mais intrssant ao s fazr análiss com cargas variávis ond o nívl d tnsão atuant no cabo varia considravlmnt. O studo proposto por Hassan, Nassf El Damatty (212) otimiza, por mio d algoritmos gnéticos, as forças atuants nos cabos das ponts staiadas. No studo, os autors cgam à conclusão qu o parâmtro principal qu influi na não linaridad gométrica, na dtrminação das forças nos cabos é provnint do fito da catnária. 43

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47 3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) Na ngnaria strutural, procura-s dscrvr o comportamnto mcânico d um corpo submtido a um dtrminado carrgamnto, a condiçõs d contorno spcíficas, buscando-s concr os campos d dslocamntos, dformação tnsão. Para a maioria dos problmas d ngnaria, não xistm soluçõs analíticas fácis d s obtr, nm xplicitávis na maioria dos casos práticos. Isso ocorr pla complxidad dcorrnt da modlagm matmática, nvolvndo sistmas d quaçõs difrnciais parciais. Os modlos matmáticos, sgundo Rddy (24), podm sr dfinidos como um conjunto d rlaçõs ntr variávis qu xprssam as caractrísticas ssnciais d um sistma ou procsso físico m trmos analíticos. O modlo matmático, no caso m qustão, dv contr as rlaçõs d quilíbrio, condiçõs d compatibilidad d dslocamntos o modlo constitutivo. Com os modlos matmáticos dsnvolvidos, foram criados métodos aproximados para sua solução. Tais métodos são d naturza numérica, são capazs d lidar com um grand númro d quaçõs, incluindo não linaridads gomtrias complxas, qu ocorrm com frquência na ngnaria. Os principais métodos dsnvolvidos são o método das difrnças finitas, método dos lmntos finitos, o método dos lmntos d contorno. Os métodos numéricos utilizam rlaçõs d aproximação para transformar um sistma d quaçõs difrnciais m quaçõs algébricas. Com a volução dos computadors, ouv a difusão dsss métodos, os computadors passaram a sr frramntas auxiliars importants para a solução d divrsos problmas da ngnaria. O método dos lmntos finitos, MEF, qu faz part d um dsss métodos dsnvolvidos, passou a sr bastant difundido. Consist m transformar um domínio, 45

48 também camado d domínio d intgração, m divrsos subdomínios camados d lmntos finitos. Rddy (24) lista três razõs para um ngniro studar o MEF, são las: a) o MEF é o método numérico mais podroso já concbido para anális d problmas d ngnaria. É capaz d lidar com domínios gomtricamnt complicados, divrsas condiçõs d contorno, não linaridads, fnômnos acoplados qu são comuns nos problmas práticos. Concr o funcionamnto do método mlora a capacidad d anális do ntndimnto do problma a sr rsolvido. b) pacots d softwars comrciais basados no MEF são comumnt utilizados na indústria, psquisa instituiçõs acadêmicas para a solução d uma gama d problmas cintíficos d ngnaria. O uso intlignt corrto da intrprtação dos rsultados é frquntmnt basado no concimnto da toria por trás do método. c) não é incomum ncontrar modlos matmáticos m psquisas pssoais qu não podm sr avaliados com a utilização d programas computacionais comrciais. Nsss casos o ntndimnto do lmnto finito concimnto d programação podm auxiliar no dsnvolvimnto d programas para rsolvr os modlos matmáticos. Os itns subsqunts ilustrarão os concitos matmáticos do MEF, mostrarão a formulação dos lmntos finitos utilizados. 3.1 FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA O método dos lmntos finitos é formado por duas parts sndo qu a primira consist na mtodologia d rsolução das quaçõs, a sgunda é a técnica dos lmntos finitos. A técnica dos lmntos finitos é a técnica d gração d polinômios d aproximação, nos quais os parâmtros dos polinômios são os dslocamntos nodais. A mtodologia para rsolução aproximada podm tr várias abordagns, dntr las as principais são plo princípio dos trabalos virtuais, P.T.V.,, a mtodologia abordada nsta sção, o método da nrgia. A formulação aqui aprsntada pod sr ncontrada m livros clássicos d lmntos finitos como Zinkiwicz Taylor (2), Assan(23), Rddy (24) com a formulação m 46

49 campos d dslocamntos qu, como Zinkiwicz Taylor (2) afirmam, é a abordagm mais popular d mais fácil ntndimnto. O método da nrgia é aqui mprgado no sntido d s formular o método dos lmntos finitos. Nss sntido, formula-s a nrgia potncial total d um sistma strutural, qual sja: Π = U + Ω ond Π é a nrgia potncial total, U é a parcla da nrgia d dformação da strutura, Ω a nrgia potncial das cargas atuants. A nrgia d dformação é a nrgia qu um corpo absorv para dformar-s sob a atuação d um carrgamnto. É obtida plo cálculo do trabalo das forças intrnas sobr os dslocamntos corrspondnts. Os dslocamntos são originados a partir da dformação da strutura. A nrgia d dformação, por sua vz, pod sr xprssa por: 1 U = ( σ xε x + σ yε y + σ zε z + τ xyγ xy + τ xzγ xz + τ yzγ yz ) dv (3.2) 2 V (3.1) ond σ x, σ, σ y z, τ xy, τ xz, τ são as componnts d tnsão, ε yz x, ε, ε y z, componnts d dformação, V é o volum da strutura. A quação da nrgia potncial das forças xtrnas é dada por: N P 2 Ω = ( b v dv + q v ds + Pi v i + v' dx) 2 V S i= 1 γ, γ xy xz, γ as yz (3.3) ond b são as forças d volum, q o carrgamnto distribuído na suprfíci, P as cargas concntradas aplicadas na strutura, sndo a última parcla a contribuição do fito não linar. O lmnto finito clássico d pórtico plano dispõ d 3 graus d librdad por nó, sndo 2 translaçõs 1 rotação. O lmnto d pórtico é obtido plo acoplamnto d um lmnto d viga (com as librdads d translação vrtical rotação), com um lmnto d barra (com librdad d translação orizontal). Por ssa razão, é mostrado, no qu s sgu, a fundamntação matmática do lmnto d viga barra, postriormnt, o acoplamnto m qustão. Adota-s o rgim d pqunos dslocamntos dformaçõs, o matrial é considrado lástico-linar. A sção transvrsal é assumida indformávl m su plano, as dformaçõs causadas plo cisalamnto no plano da sção são dsprzadas (as sçõs planas 47

50 prmancm planas ortogonais ao su ixo). Os dslocamntos axiais para a viga são dsprzados. sr rscrita como: Portanto, para um matrial com comportamnto lástico-linar, a quação (3.2) pod 1 2 U = E ε x dv (3.4) 2 V ond E é o módulo d lasticidad do matrial, s considra qu as dmais componnts d tnsão dformação são nulas. Para o caso d barra, tm-s qu a componnt d dformação εx é dada por: ε x u(x) = x sndo u(x) o movimnto axial da barra. Tndo-s m conta qu, no caso d viga, a rlação u(x) pod sr ilustrada pla Figura 3.1, scrita como: u(x) = u v'(x) y ond u é a posição inicial d um ponto P qualqur sgundo o ixo da viga, v '(x) é a rotação da sção (drivada do dslocamnto transvrsal), y a ordnada do ponto m considração. (3.5) (3.6) Figura Variação da posição u do ponto P com um giro positivo θ. 48

51 Com ssas considraçõs, é possívl rscrvr a dformação na dirção x para o caso d viga como sndo: ε x 2 u(x) v(x) = = y 2 x x assim sndo, após intgrar a nrgia d dformação na ára, pod-s scrvr a nrgia d dformação d barra como: U barra = 1 2 x u(x) E A dx x 2 ond A é a ára da sção transvrsal. Para a nrgia d dformação da viga, tm-s U viga = 1 2 x 2 v(x) E I dx 2 x sndo I o momnto d inércia da sção. 2 O sistma ncontra-s m quilíbrio quando satisfizr o 1º torma variacional qu é dmonstrado plo princípio da stacionaridad, ou minimização da nrgia potncial total do sistma, dado por: δ Π = δu + δω = (3.7) (3.8) (3.9) (3.1) ou sja, a dformação da strutura por ação das forças xtrnas não altra a nrgia total do sistma. 3.2 FORMULAÇÃO DOS ELEMENTOS FINITOS Com as nrgias d dformação da barra, da viga dfinidas, é possívl adotar aproximaçõs para a formulação dos lmntos finitos mprgando a técnica dos lmntos finitos. A solução xata é dfinida por u(x) (para o caso d barras), v(x) (para vigas). As soluçõs aproximadas são dnotadas d u ap (x) v ap (x). O domínio d intgração é dividido m subdomínios mnors, os lmntos finitos. Esss lmntos, no caso dst studo, possum 2 nós, um no início do lmnto, um ao final. As soluçõs aproximadas nos lmntos finitos são rprsntadas por: u ap (x) = n i= 1 φ (x) u i i para os lmntos finitos d barra,, para os lmntos finitos d viga, como sndo: (3.11) 49

52 v ap (x) = n i= 1 φ (x) v i i (3.12) nos quais u ap (x) é o dslocamnto aproximado na dirção axial, v ap (x) o dslocamnto aproximado na dirção transvrsal, n é o númro d lmntos finitos, φ i (x) são as funçõs d forma corrspondnts a cada uma das aproximaçõs, u i v i são os dslocamntos nodais rais. As funçõs d forma possum aproximaçõs difrnts para a barra, a viga. Como obsrvado na quação (3.8), a qu s rfr a nrgia d dformação da barra, a solução rqur a xistência da primira drivada, xistm 2 incógnitas (dslocamntos nodais no nó inicial, no nó final). Enquanto para quação (3.9), qu rprsnta a nrgia d dformação da viga, a função tm qu tr continuidad até a sgunda drivada, xistm 4 incógnitas (1 dslocamnto transvrsal uma rotação por nó do lmnto). A Figura 3.2 ilustra um lmnto finito d barra os sus graus d librdad. Para a gração da função aproximadora do campo d dslocamntos do lmnto finito d barra é adotado uma função linar, ou sja: Figura Graus d librdad do lmnto finito d barra rprsntação da coordnada local x. u ap (x) = u 1 φ 1 (x) + u 2 φ 2 (x) (3.13) ond u ap(x) é o função aproximada para o campo d dslocamnto axial do lmnto finito d barra, u 1 u 2 são os dslocamntos das xtrmidads inicial, final do lmnto, 1 1 rspctivamnt, φ (x) φ (x) são as funçõs d forma, dadas por: φ φ 1 2 x 2 x (x) = x x (x) = 1 (3.14) (3.15) 5

53 ond x 1 é a coordnada do nó inicial do lmnto, x 2 a coordnada do nó final do lmnto, é o tamano do lmnto finito, dado por: = x 2 x 1 (3.16) Figura Graus d librdad do lmnto finito d viga rprsntação das coordnadas locais x y. A Figura 3.3 rprsnta um lmnto finito d viga sus graus d librdad. A função aproximada para os dslocamntos da viga é dado por: v ap (x) = v 1 φ 1 (x) + v' 1 φ 11 (x) + v 2 φ 2 (x) + v' 2 φ 21 (x) (3.17) sndo v ap (x) é a função aproximada para o campo d dslocamnto transvrsal do lmnto finito d viga, v 1 v 2 são os dslocamntos transvrsais das xtrmidads inicial, final do lmnto, rspctivamnt, v ' 1 v ' 2 são as rotaçõs dos nós inicial, final do lmnto, rspctivamnt, φ 1 (x), φ 11 (x), φ 2 (x), φ 21 (x) são as funçõs d forma, tal qu: φ φ φ φ x x ( x) = x x (x) = 2 + x 2 3 x x ( x) = x x ( x) = (3.18) (3.19) (3.2) (3.21) As quaçõs (3.13), (3.17), podm sr scritas matricialmnt, d manira mais compacta, como: 51

54 u ap φ (x) = φ 1 2 (x) (x) T u u 1 2 = ϕ barra (x) T { δ } barra (3.22) φ φ (x) = φ φ 1 (x) (x) (x) (x) T v v' v v' 2 = ϕ 11 1 T v ap 2 viga ( x) { δ viga } (3.23) Com a dfinição das aproximaçõs utilizadas para os campos d dslocamntos, é possívl montar a quação d nrgia potncial total [quação (3.1)] d um lmnto finito, utilizando as funçõs aproximadas [quaçõs (3.3), (3.22), (3.23)], considrando qu não á forças d volum atuando no sólido, sndo assim rdigida: Π barra = 1 2 T T T { δ } [E A] ϕ' barra (x){ δ } dx ( q ϕ barra (x){ δ } ϕ' barra (x) barra barra barra ds + i= 1 x S 2 P i (3.24) Π viga = 1 2 T T T { δ viga } [E I] ϕ' ' viga (x){ δ viga } dx ( q ϕ viga (x){ δ viga } 2 ϕ' ' viga (x) dx + x x i= 1 T N(x) T { δ } ϕ' viga (x){ δ } + ϕ' viga (x) viga viga dx) 2 P i (3.25) MATRIZ DE RIGIDEZ E MATRIZ DE MASSA DO ELEMENTO FINITO Para montagm da matriz d rigidz da barra, qu simulará o cabo da pont, srá utilizado o módulo d lasticidad d Discingr [quação (2.3)]. A montagm da matriz d rigidz das barras utilizadas para o lmnto d pórtico (viga+barra) utilizará o módulo d lasticidad ral dos lmntos. A matriz d rigidz tangnt da viga (K T-viga ) srá formada d 2 parclas, a matriz d rigidz linar (K L-viga ) junto com a matriz d rigidz gométrica (K σ-viga ). Martins (1997) faz um studo das não linaridads gométricas aprsnta um comparativo d algumas das divrsas matrizs gométricas xistnts na litratura, ond formula um quadro rsumo d cada uma. 52

55 Com bas nas caractrísticas das matrizs gométricas qu Martins (1997) aprsnta, foi scolida a matriz gométrica a qu o autor atribui a Cook t al. (1989), mostrada na quação (3.29), ond N é força axial atuando no lmnto finito. A matriz d rigidz, no caso d barra, é ntão dada por: EA (x)dx = EA EA EA = ϕ T K L barra ' barra (x)[e A] ϕ' barra (3.26) a matriz d rigidz gométrica por: K σ N N = ϕ T ϕ = L L barra N ' barra (x) ' barra (x)dx N N (3.27) L L No caso d viga, tm-s a matriz d rigidz xprssa por: K L viga = ϕ '' viga (x)[e I] ϕ'' T viga 12EI 3 6EI 2 (x)dx = 12EI 3 6EI 2 6EI 2 4EI 6EI 2 2EI 12EI 3 6EI 2 12EI 3 6EI 2 6EI 2 2EI 6EI 2 4EI (3.28) a matriz gométrica é assim rdigida: K σ 6N N 6N N N 2N N N = ϕ = ϕ T viga N ' viga (x) ' viga (x)dx 6N N 6N N (3.29) N N N 2N

56 sndo qu s obtém a matriz d rigidz tangnt pla soma da matriz d rigidz linar a gométrica, ou sja: K T barra = K L barra + K σ barra (3.3) K T viga = K L viga + K σ viga (3.31) Como citado antriormnt, pod-s agrupar os lmntos d barra viga a fim d montar o lmnto d pórtico, como ilustrado na Figura 3.4. Figura Formação do lmnto d pórtico. Assim sndo, a matriz d rigidz do lmnto pórtico, no sistma local d coordnadas do lmnto, é, ntão, dada por: 54

57 55 = pórtico L 4EI 6EI 2EI 6EI 6EI 12EI 6EI 12EI EA EA 2EI 6EI 4EI 6EI 6EI 12EI 6EI 12EI EA EA K (3.32) a matriz gométrica é scrita como: = σ 15 2N 1 N 3 N 1 N 1 N 5 6N 1 N 5 6N 3 N 1 N 15 2N 1 N 1 N 5 6N 1 N 5 6N K pórtico pórtico pórtico pórtico pórtico pórtico pórtico pórtico pórtico pórtico pórtico pórtico pórtico pórtico pórtico pórtico (3.33), no caso da barra, qu rprsnta o lmnto d trliça, a rigidz passa a sr xprssa por: = A E A E A E A E K q q q q trliça (3.34)

58 a matriz d rigidz gométrica como: K N = N trliça N N N N σ trliça trliça N (3.35) trliça trliça trliça trliça N trliça trliça ond, para a matriz d rigidz do lmnto tmos qu E é o módulo d lasticidad do matrial, I o momnto d inércia da sção, A é a ára da sção transvrsal, E q é o módulo d lasticidad quivalnt dvido ao fito da catnária do cabo, N é a força axial prsnt no lmnto finito, obtida por: N pórtico = E A (L L i L ) (3.36) N trliça = E q A (L L i L ) (3.37) m qu L i é o comprimnto atual do lmnto, L é comprimnto inicial do lmnto, obtido pla gomtria indslocada da strutura. Para dtrminação das caractrísticas dinâmicas da strutura é prciso dfinir a matriz d massa dos lmntos d pórtico trliça. Cloug Pnzin (23) afirmam qu a matriz d massa concntrada é a forma mais simpls d s dtrminar as propridads d massa d uma strutura, consist m supor a massa da strutura concntrada nos pontos ond á graus d librdads translacionais [Figura 3.5]. Sgundo Cloug Pnzin (23) os trmos fora da diagonal principal, dnotados por m ij, da matriz dsaparcm, pois a aclração d qualqur massa produz uma força inrcial qu atua somnt no ponto. Uma força inrcial no ponto i, dvido a uma aclração unitária do ponto i, é igual à massa concntrada naqul ponto, ntão a matriz d massa concntrada pod sr dada por: 56

59 57 Figura Massa concntrada nos graus d librdad translacionais. = 2 w 2 w 2 w 2 w Mconc. pórtico (3.38) ond w =ρ.a, ond ρ é a massa spcífica do matrial, A é a ára da sção transvrsal do lmnto finito, portanto w é a massa por unidad d comprimnto do lmnto finito. Outra formulação possívl é a rprsntação da matriz d massa consistnt, qu rcb st nom porqu utiliza as msmas funçõs d forma dos polinômios aproximadors utilizados para rprsntar os dslocamntos qu ocorrm na strutura. O procdimnto para obtr a matriz d massa consistnt é o msmo utilizado para dfinir a matriz d rigidz dos lmntos finitos, por xmplo, pla quação (3.28), d ond obtm-s a matriz d massa consistnt por:

60 58 = 15 w 21 11w 14 w 42 13w 21 11w 35 13w 42 13w 7 9w 3 w 6 w 14 w 42 13w 15 w 21 11w 42 13w 7 9w 21 11w 35 13w 6 w 3 w Mconsis pórtico (3.39), para o caso d barra, tm-s a matriz d massa concntrada scrita como: = 2 w 2 w Mconc. trliça (3.4) a matriz d massa consistnt por: = 3 w 6 w 6 w 3 w Mconsis. trliça (3.41)

61 3.2.2 VETOR DE CARREGAMENTOS NODAIS DO ELEMENTO FINITO O vtor d carrgamntos nodais s faz ncssário para anális não linar stática, ond s busca a configuração dformada da strutura sob o carrgamnto d pso-próprio. A montagm do vtor d carrgamntos nodais s dá plo msmo procdimnto qu a montagm da matriz d rigidz, ou sja, introduz-s as funçõs d forma na quação (3.3), minimizando a nrgia potncial das forças xtrnas, postriormnt, m rlação aos parâmtros nodais. Os carrgamntos dos lmntos finitos do pórtico srão considrados sgundo o ixo local do lmnto, ond o pso-próprio é constant m todo o lmnto. Para o psopróprio do lmnto d trliça, a contribuição srá dirtamnt no vtor d carrgamnto global do lmnto, sndo distribuído mtad d su carrgamnto total para cada nó do lmnto d trliça [Figura 3.6]. Figura Disposição da força nodal quivalnt do lmnto d trliça sgundo as coordnadas globais. Para o lmnto d pórtico, submtido ao carrgamnto indicado na [Figura 3.7], a quação (3.3) passa a sr rscrita, dsprzando-s as forças d volum, como: 59

62 6 Figura Carrgamnto no lmnto d pórtico. { } [ ] = δ ϕ = Ω 12 q 2 q 2 q 12 q 2 q 2 q v' v u v' v u dx) (x) q ( 2 y x y 2 y y x j j j i i i T (3.42) ond, q x q y são os carrgamntos uniformmnt distribuídos ao longo do lmnto finito nas dirçõs dos ixos locais x y do lmnto. Finalmnt, drivando-s a quação (3.42) m rlação aos parâmtros nodais (δ), irmos ncontrar o vtor d forças nodais (P ). O vtor d forças nodais é o vtor obtido como rsultado da minimização da parcla linar do funcional da quação (3.1), isto é, o trmo indpndnt dos parâmtros nodais após a minimização.

63 61 { } = 12 q 2 q 2 q 12 q 2 q 2 q P 2 y x y 2 y y x pórtico (3.43)

64 62

65 4 ANÁLISES ENVOLVIDAS E O MÉTODO DA ANULAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS (MAD) Est capítulo aborda as análiss prsnts no código computacional dsnvolvido, fazndo comntários sobr cada uma. Após os brvs comntários sobr as análiss nvolvidas, mostra-s o método da anulação d dslocamntos, qu srá o algoritmo mprgado para dtrminação da configuração dslocada da strutura m rlação à configuração d rfrência. 4.1 ANÁLISES ENVOLVIDAS Existm divrsas técnicas d anális d struturas, ntr las pod-s citar, anális stática linar, stática não linar, anális d vibração livr, anális d vibraçõs sob tnsõs iniciais, anális dinâmica linar, dinâmica não linar outras. O programa dsnvolvido ralizará as 4 primiras análiss, ond a d vibração livr stará conjugada a anális linar, a anális d vibraçõs sob tnsõs iniciais srá ralizada a partir da configuração dslocada obtida por mio do método da anulação dos dslocamntos, MAD ANÁLISE ESTÁTICA LINEAR Na anális stática linar, assum-s avr linaridad ntr os conjugados força dslocamnto. Esta anális admit, ainda, qu a configuração dslocada da strutura não dv 63

66 difrir da sua posição inicial. Com isto as quaçõs d quilíbrio são formuladas sgundo a posição inicial (configuração d rfrência) do sistma strutural. Esta é uma considração bastant razoávl nos casos práticos, aplicada a grand part das struturas corrnts. Como a suprposição d fitos é válida quando s considra a anális linar, isto prmit ralizar uma séri d combinaçõs d carrgamntos, rsolvndos cada caso d carrgamnto, m sparado, suprpondo-s os rsultados ao final para obtr as combinaçõs apropriadas. Na anális linar, tm-s como ipótss básicas qu a strutura stá submtida a pqunos dslocamntos, pqunas dformaçõs. A ipóts d pqunos dslocamntos xig qu os movimntos d translação rotação da strutura sjam pqunos m rlação às dimnsõs da strutura, o qu implica m pqunas dformaçõs na strutura. Mas não s pod afirmar qu tndo pqunas dformaçõs, a strutura não tna sofrido grands dslocamntos. Como Nvs (199) afirma, a ipóts d pqunos dslocamntos acaba sndo mais rstritiva. O comportamnto do matrial também dv aprsntar lis constitutivas linars, caso contrário avrá a introdução d não linaridad física no problma. Portanto, o rgim linar implica também qu o matrial dv sguir a li d Hook. Troitsky (1988) afirma qu a anális linar para ponts staiadas é d naturza aproximada, podndo-s utilizá-la como anális prliminar para o pré-dimnsionamnto da strutura quando os vãos não form tão significativos. Todavia, para o caso d grands vãos a considração d linaridad do comportamnto passa a sr contra a sgurança. Essa afirmação d Troistky (1988) dixa claro qu, para grands vãos, os fitos não linars podm conduzir a uma prda d rigidz da strutura ou instabilidad strutural, qu podm rduzir bastant a margm d sgurança da strutura. A quação básica a sr satisfita, no caso da anális stática linar, é dada por: { δ} { P} K L = (4.1) ond, K L é a matriz d rigidz lástica linar da strutura, { δ } é o vtor d dslocamntos sgundo os graus d librdad considrados, { P } o vtor das cargas aplicadas sgundo tais dslocamntos. 64

67 4.1.2 ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR O studo do comportamnto não linar da strutura stá sndo bastant dsnvolvido uma vz qu as struturas stão ficando cada vz mais sbltas. Isso obriga a maior ddicação d formulaçõs não linars para simular da mlor forma possívl o comportamnto ral da strutura, lvando os matriais a sua máxima capacidad d utilização. O prsnt studo abordará a não linaridad gométrica ofrcida plo fito d aumnto d rigidz do cabo d sustntação da pont, o stai, ss fito srá rprsntado plo módulo d lasticidad d Discingr [quação (2.3)]. O fito d lmntos comprimidos também srá considrado, com a utilização da matriz d rigidz gométrica, vid na quação (3.33). A li d Hook é assumida para o matrial (rlação linar ntr as componnts do stado d tnsão dformação). A não linaridad gométrica s aprsnta quando não á comportamnto linar ntr carga aplicada os dslocamntos rsultants da aplicação da carga, como pod sr visto na Figura 4.1. É possívl notar qu o comportamnto da curva b da Figura 4.1 é não linar. No ntanto, caso os dslocamntos (δ) sjam pqunos, o comportamnto s sobrpõ ao aprsntado plo caso linar (curva a). Figura (a) Comportamnto linar ntr o conjugado força - dslocamnto; (b) Comportamnto não linar ntr o conjugado força - dslocamnto. A solução do sistma não linar é ralizado d forma incrmntal-itrativa, sndo a quação a sr satisfita (quação incrmntal d quilíbrio), scrita como sgu: 65

68 { δ} = { } K T R (4.2) ond, K T é a matriz d rigidz tangnt da strutura, { δ} é o vtor d dslocamntos incrmntais, { R} rprsnta o vtor d dsquilíbrio, ou dsbalancamnto nodal ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE NÃO AMORTECIDA As vibraçõs qu ocorrm m struturas são indsjávis, pois são fonts d ruídos, movimntos dsagradávis, qu podm lvar os matriais da strutura a ruptura por fadiga dvido à variação cíclica d tnsão. A anális dinâmica dv sr smpr confrida m struturas ond o carrgamnto dinâmico é imprativo, como ação d vntos, abalos sísmicos, ação d corrntza, ntr outros. A anális modal objtiva dtrminar as caractrísticas dinâmicas da strutura. A quação difrncial d movimnto a sr satisfita é dada por: { δ} + M{ δ } { } K L = (4.3) sndo K L a matriz d rigidz lástica linar da strutura, { δ } o vtor d dslocamntos d todos os graus d librdad da strutura, { δ } o vtor d aclração d todos os graus d librdad da strutura, M a matriz d massa da strutura. Como mostrado por Cloug Pnzin (23) a suposição d qu o movimnto pod sr dscrito por uma função armônica simpls, como a da quação a sguir: { } = { δˆ } sn( ω t + θ) δ (4.4) 66 n ond, { δˆ } rprsnta o vtor das amplituds dos dslocamntos nodais, naturais angular, θ é o ângulo d fas. ω n é uma frquência Com isso, a quação (4.3) pod sr rscrita m função dos dslocamntos frquências naturais. Tndo-s m vista qu o vtor d dslocamntos é um vtor não nulo, tmos um problma d autovalors (frquências naturais), auto-vtors (modos d vibração). { δˆ } { } (K L ωn M) = 2 (4.5) ond, o { δˆ } xprssa os valors dos modos d vibração para o sistma corrspondnt.

69 4.1.4 ANÁLISE DE VIBRAÇÕES SOB TENSÕES INICIAIS No caso das ponts staiadas, os lmntos ncontram-s submtidos a um stado d tnsõs iniciais. Essas tnsõs são provnints do carrgamnto d pso próprio da strutura, também d forças d protnsão. Quando as tnsõs iniciais são muito lvadas, a anális d vibração livr não amortcida pod não sr adquada. Os cabos das ponts staiadas stão submtidos à altas tnsõs. Como os cabos são inclinados, ls transfrm componnts orizontais d forças para o tabuliro, para a viga. Caso a magnitud dssas forças sjam muito altas, pod avr um fito não linar gométrico dvido a posição dslocada da strutura a força d comprssão aplicada. A introdução d forças d comprssão no tabuliro da pont pod rduzir a rigidz da strutura. A introdução das tnsõs iniciais é fita pla utilização da matriz d rigidz gométrica (K G ), qu, m dcorrência dst fato, pod sr camada d matriz d rigidz com tnsõs iniciais. A considração é qu a strutura ncontra-s m rgim d pqunos dslocamntos, ntão a matriz d rigidz tangnt (K T ) é a dada pla quação (3.3). Portanto, a quação qu soluciona o problma d vibraçõs sob tnsõs iniciais pod sr scrita utilizando a quação (4.5) como bas, sgundo a quação a sguir. { δˆ } { } (K T ωn M) = 2 (4.6) A quação (4.6) possibilita ncontrar as frquências naturais não amortcidas, modos d vibração d uma strutura d comportamnto não linar gométrico m torno da configuração dformada inicial, para a qual a rigidz do sistma strutural é dado pla matriz d rigidz tangnt. Wang, Tsng Yang (1993) afirmam qu a configuração dslocada inicial da strutura dv sr obtida para qu s dtrminm as forças d protnsão xistnt nos cabos, a gomtria inicial da strutura. 4.2 A ESCOLHA DO MÉTODO DA ANULAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS MAD Divrsos métodos foram propostos para obtnção das forças atuants nos stais da pont, ntr ls pod-s citar os métodos aprsntados por Ytza (29), o Método do Tabuliro Articulado m todos os stais (M.T.A.), o Método da Anulação dos Dslocamntos 67

70 (MAD), o Método da Anulação das Raçõs m Apoios Fictícios (M.A.R.), o Método da Anulação dos Dslocamntos ao Longo do Procsso Construtivo (MAD volutivo). O intuito dst trabalo é implmntar o método MAD, qu aparc pla primira vz dscrito no trabalo d Wang, Tsng Yang (1993). O objtivo dst método é dtrminar as forças nos stais com o objtivo d atndr a uma dtrminada configuração inicial, camada d configuração d rfrência, qu é, normalmnt, a configuração do projto arquittônico. Na Figura 4.3(a) é possívl vr a configuração d rfrência m cinza, quando não s impõ uma protnsão aos stais, já na Figura 4.3(b) a configuração dslocada s sobrpõ à configuração do projto arquittônico. A scola do método MAD sobr os dmais métodos s du dvido ao studo d Ytza (29), ond a autora conclui qu os valors dos momntos no tabuliro na torr são mlors para st método, o método M.A.R. aprsnta bons valors para os momntos no tabuliro, valors não tão bons para os momntos nas torrs [Figura 4.2]. Figura a) Pilar analisado; b) Distribuição d momntos fltors sm protnsão dos stais; c) Distribuição dos momntos após aplicação do M.A.R.; d) Distribuição dos momntos após aplicação do MAD (momntos m knm) [Ytza, 29 - adaptado]. 68

71 Figura (a) Configuração d rfrência (cinza), dslocada sm as forças d protnsão (azul); (b) Configuração d rfrência (cinza), dslocada com as forças do MAD [Ytza, 29]. Est método pnaliza os stais, no sntido d qu as forças atuants nls são maiors qu quando s obtém as forças pla anális não linar pura apnas com o psopróprio, isto é, sm a busca da configuração d rfrência. Em contra partida, os momntos fltors atuants no tabuliro s aproximam ao d uma viga contínua, os momntos fltors atuants nos pilars são bastant rduzidos, como s pod obsrvar na Figura 4.4. Mnors momntos fltors, tanto no tabuliro, quanto na torr podm rduzir significativamnt a quantidad d matrial (aço /ou concrto) utilizado na construção, grando conomia significant ao custo da obra. Entrtanto, maiors forças nos stais rsultam maiors forças d comprssão no tabuliro na torr. Em trmos d caractrísticas dinâmicas da strutura, o aumnto significativo das forças d comprssão diminui a rigidz da strutura. Ess dcréscimo d rigidz gra frquências naturais mais baixas qu as frquências naturais d uma strutura ond o fito das forças d comprssão xistnts nos lmntos não é considrado. 69

72 Figura (a) Pilar m forma d smi-arpa;(b) Momnto fltor no pilão sm protnsão dos stais;(c) Momnto fltor no pilão com forças do MAD (unidads m knm) [Ytza,29]. Em sguida, srá dscrito o método, com o algoritmo nvolvido, os critérios d convrgência adotados, uma abordagm sobr o método d solução adotado para rsolução do sistma não linar, o Método d Nwton-Rapson. 4.3 DESCRIÇÃO DO MÉTODO MAD O método MAD tm como objtivo anular os dslocamntos d dtrminados pontos da strutura, camado pontos d control. Em gral, os pontos d control, ond o dslocamnto dv sr nulo a fim d coincidir com a configuração d rfrência, são os pontos d conxão ntr os stais o tabuliro. O método dtrmina itrativamnt quais as forças atuants nos stais d modo qu o critério d convrgência, dscrito no itm 4.4, sja atndido. O método da anulação dos dslocamntos é um método itrativo qu, sgundo Wang, Lin Tang (22), convrg monotônicamnt. O objtivo do método é ncontrar a mnor distribuição d momntos fltors no tabuliro; aqul qu s aproxima ao máximo d uma viga contínua. No studo proposto por Wang, Tsng Yang (1993), os autors analisam 3 modlos d ponts staiadas, sndo uma assimétrica, uma simétrica com configuração m arpa, a última com a msma configuração da pont m arpa, mas com a configuração dos stais m lqu. Ests xmplos são rproduzidos no capítulo 5 para validação do código computacional. 7

73 O método possui 2 ciclos itrativos, sndo o primiro a itração d quilíbrio da strutura, sguida da itração d forma, qu vrifica s os dslocamntos dos pontos d control da configuração dslocada da strutura foram atndidos. Com o método, os autors foram capazs d ncontrar uma distribuição d momntos fltors mais uniforms, o qu possibilita uma strutura conomicamnt mais viávl. As forças axiais impostas plos stais mostrou dpndr considravlmnt da configuração do arranjo dos stais, s m lqu, ou m arpa. Após atingir a configuração d rfrência, a difrnça ntr os valors d solicitaçõs axiais do tabuliro, a configuração d quilíbrio sm as forças nos stais do método MAD, variou muito pouco na configuração m lqu, significativamnt na configuração m arpa [Figura 4.5]. Isso ra d s sprar, uma vz qu a configuração m lqu produz a mlor distribuição da contribuição vrtical da força do stai. É notávl, m ambos os casos d configuração d pont staiada, a rdução do diagrama d momntos fltors quando s utiliza o MAD Figura Dslocamntos sforços intrnos ants dpois da itração d forma d uma pont m arpa (squrda) m lqu (dirita) [Wang, Tsng Yang, adaptado]. 71

74 A sguir é mostrado um fluxograma qu dscrv o procdimnto mprgado plo método MAD para obtr a configuração dslocada inicial da strutura [Figura 4.6]. Ond o passo Itração d forma é aprsntado no itm 4.6. Início Gomtria propridads do matrial Pso-próprio dos lmntos struturais, uma pquna força inicial nos cabos Equilíbrio itrativo plo Método d Nwton- Rapson Itração d forma As forças axiais dos lmntos passam a sr as forças axiais iniciais Convrgência Não Sim Fim Figura Fluxograma do método MAD 72

75 4.4 CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA Uma tapa important da rsolução d qualqur procsso itrativo é a dtrminação do critério d parada, qu stá ligado dirtamnt à prcisão da rsposta. Como a solução ral do problma não é concida d antmão, Capra Canal (28) sugrm a utilização d um rro porcntual aproximado, camado d ε a. Como critério d parada, é utilizado uma tolrância pré-spcificada, um valor baixo,, nst caso, positivo. Esta tolrância pré-dtrminada srá dnotada por ε s, o critério d convrgência é mostrado a sguir. εa ε s (4.7) Existm vários critérios d parada ncontrados na litratura, dsd variação d dslocamntos ntr uma itração outra, até variação da nrgia d dformação do corpo ntr itraçõs. As mais comuns, sgundo Krnk (29), são os critérios do vtor d dsquilíbrio nodal, o critério d dslocamntos. Os valors sugridos por Krnk (29) para tolrância pré-dtrminada ( ε s ) é ntr No studo proposto por Wang, Tsng Yang (1993), por s tratar d dois procssos itrativos, um para obtnção do quilíbrio da strutura plo método d Nwton-Rapson, outro para obtnção da configuração d rfrência. São propostos 2 cálculos d ε a, dnotadas por ε ε Nwton Rapson a Itração. Forma a, qu é a tolrância para convrgência do método d Nwton-Rapson,, qu rprsnta a tolrância da configuração d rfrência, scritas como: ε Nwton Rapson a = R F (4.8) Itração Forma ε a = Dslocamnto Vrtical no ponto d control Vão Principal (4.9) ond, R é o vtor d dsquilíbrio ou dsbalancamnto nodal, F é o vtor d incrmnto d carrgamnto. Como é possívl obsrvar das quaçõs (4.8) (4.9), st trabalo vai abordar dois critérios d convrgência difrnts. O primiro para dtrminação do quilíbrio da strutura, basado no módulo do vtor d dsquilíbrio nodal, o sgundo para dtrminação da 73

76 configuração dslocada da strutura após as itraçõs d forma, com critério d parada m dslocamntos. 4.5 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON O método d Nwton-Rapson pod sr dduzido com bas na séri d Taylor, sja, por xmplo, uma função f(x) xpandida m séri d Taylor, assim scrita: i f f (x) = f (x ) + x i x x + Θ 2 = (4.1) i ond, f(x) é uma função qualqur da variávl x, f (x ) é o valor da função no ponto i x, sndo i o númro da itração. O trmo d ordm suprior Θ 2 srá dsprzado (considrado aproximadamnt nulo). Assim sndo, o incrmnto x é dado por: x = x i+ 1 x i (4.11) ond, i 1 x + prvr o valor d x é a posição x na itração i+1, i+ 1 i 1 x + i i f (x ) = x f x i x é a posição na itração i. Com isso, é possívl com bas nos valors atuais da itração i, como: i x (4.12) Esta é a ssência do método d Nwton-Rapson. Podmos rscrvr as quaçõs d forma a solucionar a quação algébrica d um lmnto finito, ond a solução inicial (i=1) passa a sr a posição indslocada da strutura. Assim, pod-s scrvr a rlação d quilíbrio ntr as forças xtrnas as forças intrnas como: R ( ) = δ ) = K ( δ δ F (4.13) ond, R é o vtor d dsbalancamnto ntr as forças xtrnas aplicadas as forças intrnas rsistnts, F é o vtor d forças xtrnas, K a matriz d rigidz, δ o vtor d dslocamntos nodais. Assim, analogamnt, o vtor d dsbalancamnto pod sr scrito como a função f(x) da quação (4.1), ntão, tm-s qu: R ( δ) = R i 1 ( δ ) R + δ i 1 δ δ + Θ 2 (4.14) 74

77 Assum-s qu o vtor d dsbalancamnto ntr as forças xtrnas aplicadas as forças intrnas dvrá sr zro (R (δ) =), com isso a quação (4.14) pod sr rscrita isolando-s a parcla do incrmnto ( δ i ), como sgu: δ i = R δ R ( i 1 δ ) i 1 δ (4.15) na qual, a variação do rsíduo m rlação ao dslocamnto é dscrito como a matriz d rigidz tangnt (K T ), scrita a sguir. K T R = δ i 1 δ (4.16) A quação (4.15) pod sr rscrita utilizando a quação (4.13), a quação (4.16), como mostrado a sguir: δ i = (K T( δ i 1 ) ) 1 (F K ( δ i 1 ) δ i 1 ) (4.17), com o valor do i-ésimo incrmnto, por: i δ, calcula-s o valor do i-ésimo dslocamnto, dado δ i = δ i 1 + δ i (4.18) m sguida, submtndo-o aos critérios d convrgência das quaçõs (4.7), (4.8). O método d Nwton-Rapson calcula a matriz d rigidz tangnt da strutura a cada itração. Isso pod aumntar bastant o custo computacional, uma altrnativa é modificar o método, camando-o d método d Nwton-Rapson modificado. A principal difrnça ntr os métodos é qu o método Nwton-Rapson modificado, como Rddy (24) cita, a matriz d rigidz é calculada apnas no comço d cada passo d carga fixo, mantndo-s a matriz d rigidz tangnt constant, nquanto o vtor d dsbalancamnto é atualizado m cada itração, fazndo a atualização da matriz d rigidz tangnt a cada númro fixo d itraçõs, ou até qu a taxa d convrgência s torn baixa. O númro d itraçõs para s atingir a convrgência plo método d Nwton- Rapson modificado é maior qu o método d Nwton-Rapson. É possívl obtr um gano, m trmos d custo computacional, apsar do maior númro d itraçõs, principalmnt m sistmas struturais com muitos graus d librdad. Isso porqu s calcula uma matriz d 75

78 rigidz tangnt única para cada passo d carga, m contraposição ao cálculo da matriz d rigidz tangnt m cada itração no método d Nwton-Rapson. Wang Yang (1996) afirmam qu a anális não linar com aplicação plna da carga irá, frquntmnt, falar. Por isso, dv-s ralizar um procsso incrmntal-itrativo, ond avrá passos d carga, as itraçõs d quilíbrio srão ralizadas m cada passo d carga. A Figura 4.7 ajuda a mostrar a difrnça ntr ambos os métodos. Figura (a) Método d Nwton-Rapson; (b) Método d Nwton-Rapson Modificado [Rddy, 24 - adaptado]. O método d Nwton-Rapson, mbora sja muito ficint, á casos particulars, ilustrados na Figura 4.8, ond o método não aprsnta convrgência, ou qu sua convrgência sja muito lnta. Capra Canal (28) afirmam qu sua convrgência dpnd da naturza da função da aproximação inicial, sndo scolr um valor inicial suficint próximo da raiz a mlor forma d vitar a não convrgência do método. Figura Exmplos d divrgência do método d Nwton-Rapson [Capra Canal, 28 adaptado]. 76

79 A aproximação inicial adotada é a indslocada da strutura, imagina-s sr um bom ponto incial, visto qu não são sprados grands dslocamntos da strutura m comparação com o tamano do vão principal. A Figura 4.9 mostra o fluxograma do método d Nwton- Rapson. Figura Fluxograma do passo d carga do método d Nwton-Rapson. 77

80 No método d Nwton-Rapson o cálculo da matriz d rigidz tangnt aparc dntro d um loop, isso significa qu a cada itração uma nova matriz tangnt é calculada montada. 4.6 FORMULAÇÃO DO MÉTODO MAD Para obtr a configuração dslocada inicial o vtor d forças xtrnas srá composto apnas d componnts rfrnts ao pso próprio dos lmntos struturais, ond a não linaridad da catnária do cabo é lvada m considração plo módulo d lasticidad quivalnt, como mostrado pla quação (2.3). Para pqunas ponts staiadas a stimativa inicial dos cabos não é rlvant, o rsultado obtido ao s stimar forças iniciais pqunas ou grands srão bastant próximos, como mostra Wang, Lin Tang (22). Entrtanto, a convrgência do método pod não sr obtida quando s trabala com ponts staiadas d grand scala, stimativas qu stão long da rsposta ral. Por isso, a stimativa inicial é a primira tapa a sr ralizada. Wang, Lin Tang (22) sugrm o uso d 2 métodos qu s mostraram convrgnts para ponts staiadas d grands vãos. O primiro método é stimar a força atuant m todos os cabos quando a razão ntr o E q /E é d,8 scrito como: E E q 1 =,8 = 2 (w.l ) E.A T (4.19) ond L é o comprimnto do cabo m projção orizontal, w é o pso do cabo por unidad d comprimnto, E o módulo d lasticidad do cabo, A a ára do cabo T é a força d tração. Dsnvolvndo-s a quação (4.19), cga-s qu a força d tração no cabo para stimativa inicial é dada a sguir. E.A.(w.L 2 3 T = (4.2) 3 ) 78

81 Figura Curva da stimativa inicial da força do cabo m função do comprimnto m projção orizontal do cabo para uma rlação Eq/E d,8 para o cabo com os dados forncido no gráfico. O sgundo método proposto por Wang, Lin Tang (22) para stimar as forças iniciais nos cabos consist m utilizar o primiro método não para todos os cabos, sim apnas para os cabos do vão principal, nquanto as forças dos cabos nos vãos adjacnts são calculados plo dsbalancamnto das forças orizontais na torr conform mostra a Figura Figura Estimativa das forças nos cabos do vão adjacnt basado no dsquilíbrio das forças orizontais [Wang, Lin Tang, 22 - adaptado]. 79

82 Ond as forças nos cabos do vão scundário podm sr dadas por: T s i m Ti cosα = cosβ i i (4.21) ond s T i é a stimativa da força no cabo do vão scundário, vão principal obtida plo primiro método, m T i é a stimativa da força do α i é o ângulo ntr o cabo do vão principal a orizontal, β i é o ângulo ntr o cabo do vão scundário a orizontal. O código computacional dsnvolvido utiliza o primiro método para obtnção das stimativas iniciais das forças no cabo. O passo sguint é rsolvr as quaçõs d quilíbrio como mostrado no itm 4.5. Obtém-s as forças intrnas dos lmntos. Nst ponto, a strutura ncontra-s m quilíbrio, ntrtanto não atnd aos rquisitos d convrgência da itração d forma. Então, as forças axiais d todos lmntos (cabos viga/coluna) são as forças d protnsão iniciais a qu a strutura stá submtida. Com isso, o novo vtor d forças xtrnas nas coordnadas globais é dado por: P i i 1 = F Fprot (4.22) ond i P é o vtor d forças xtrnas da i-ésima itração d forma, xtrnas inicial dvido à ação do pso-próprio da strutura, i 1 F prot F é o vtor d forças é o vtor das forças axiais dos lmntos obtido na itração i-1 rotacionado para o sistma d coordnadas globais. Com o novo vtor d forças xtrnas, F i, um novo ciclo itrativo d quilíbrio é ralizado para obtr a nova posição dslocada d quilíbrio da strutura. Com ssa nova posição d quilíbrio, a vrificação d convrgência é ralizada para os pontos d control scolidos, d acordo com a tolrância spcificada na quação (4.9). O procdimnto d itração d forma é rsumido d acordo com o algoritmo aprsntado na Figura Ond para o procsso d quilíbrio itrativo via o método d Nwton-Rapson as matrizs d rigidz dos lmntos são obtidas considrando as forças axiais dvido à protnsão dos cabos obtidas no procsso d itração d forma. A tapa ciclo itrativo d quilíbrio via Nwton-Rapson do fluxograma da Figura 4.12, ncontra-s rprsntado pla Figura

83 Figura Fluxograma do procsso d itração d forma. 81

84 82

85 5 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL Est capítulo tm por objtivo validar o código computacional por mio d xmplos obtidos na litratura. Srão dsnvolvidos 4 xmplos d validação, ond o xmplo 1 rfrs a um pórtico carrgado, a fim d validar o algoritmo não linar implmntado, bm como as rspostas modais ncontradas. Os dmais xmplos têm por objtivo validar o método MAD, comparando os rsultados obtidos com os publicados por Wang, Tsng Yang (1993). A anális modal trá por foco as frquências naturais da strutura. São ralizadas as análiss d vibração livr não amortcida (itm 4.1.3), a anális d vibração da strutura sob tnsõs iniciais (itm 4.1.4). O primiro xmplo srá o caso d um pórtico plano com cargas concntradas vrticais, próximas à carga crítica, uma prturbação orizontal, dnominado Portal d Voigt. Os xmplos sguints corrspondrão a ponts staiadas planas variando a gomtria dos stais, tamano dos vãos simtria. O sgundo xmplo srá o caso d uma pont staiada assimétrica com dois stais. O trciro srá o d uma pont staiada simétrica com configuração m arpa com um total d doz stais. Por fim, o último xmplo d validação srá a msma gomtria do xmplo 3 com a configuração dos stais m lqu. Os xmplos rfrnts a ponts staiadas trão 2 tapas. A primira tapa é a vrificação das forças axiais obtidas plo método implmntado no código computacional (capítulo 4), além dos dslocamntos vrticais, momntos fltors no tabuliro. A sgunda tapa rfr-s à vrificação das frquências naturais obtidas. 83

86 5.1 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO PORTAL DE VOIGT O portal d Voigt é uma strutura aporticada plana constituída d duas colunas, uma viga. Os nós d ncontro dos lmntos vrticais com o lmnto orizontal são carrgados vrticalmnt até a carga d bifurcação da strutura, ond á uma prturbação orizontal, provocada por uma carga muito mnor qu as cargas vrticais [Figura 5.1]. As caractrísticas da gomtria dos matriais do problma são mostradas na Tabla 5-1. Tabla Propridads gométricas dos matriais. L (m) P E (MPa) ρ(t/m³) Ára (m²) I (cm 4 ) g (m/s²) 3,5 P/1 21 7,85 7,59 x ,87 P P P δ L L Figura Esquma rprsntativo do portal d Voigt. 84

87 ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR São ralizadas análiss com aumnto gradual das cargas P, até obtnção da instabilidad numérica do problma. Os rsultados obtidos são comparados com as rspostas obtidas nos trabalos d Connor t al. (1968), Mantilla (1974), Nvs (199), com o programa AcadFram, dsnvolvido no Dpartamnto d Estruturas da Escola d Engnaria d São Carlos, com a rsposta linar da strutura. Est xmplo tm por objtivo vrificar a solução obtida da quação (4.2). O pórtico foi discrtizado m 9 lmntos finitos d pórtico d msmo tamano, ond os nós 1 1 possum vínculos d ngast, o nó 4 possui uma carga vrtical uma carga orizontal, o nó 7 apnas a carga vrtical. O gráfico da rsposta força x dslocamnto foi obtido com o dslocamnto orizontal do nó do topo (δ ) m função da solicitação vrtical (P). Figura Rsposta stática do pórtico plano. 85

88 É visívl a difrnça do mprgo da toria linar, da não linar ao s obsrvar o comportamnto d struturas bastant solicitadas. As análiss linar não linar comçam a difrir para um carrgamnto vrtical d 1 tonladas, crca d 5% da carga crítica. O gráfico mostra boa concordância dos rsultados do prsnt trabalo com os trabalos d Connor t al. (1968), Nvs (199). Como discutido antriormnt, a toria não linar mprgada foi m pqunos dslocamntos, lvando m conta a não linaridad apnas sob o aspcto da solicitação axial dos lmntos, como visto na formulação da nrgia potncial das forças xtrnas da quação (3.3). Est tipo d considração da matriz tangnt (K T = K L + K σ ), sgundo Nvs (199) é dirigida a solução d problmas modradamnt não linars, qu são, gralmnt, o caso d struturas d pórticos staiados, qu são o objto d studo dst trabalo. Todas as análiss, com xcção da linar, aprsntam rsultados smlants até aproximadamnt a carga d 15 tonladas, ond o AcadFram comça a aprsntar uma não linaridad mais acntuada, os dmais modlos prmancm com rspostas similars, mas mais rígidos qu o AcadFram. Há nova sparação das rspostas dos modlos próximo da carga crítica, aproximadamnt 2 tonladas. Os modlos matmáticos adotados plo AcadFram por Mantilla (1974) são modlos não linars mais compltos qu nvolvm a considração da não linaridad provocada por grands dslocamntos. A rsposta obtida pla prsnt anális foi capaz d captar a não linaridad dsnvolvida pla strutura com o aumnto da carga vrtical, aprsntou uma boa rsposta m rlação aos modlos qu possum a msma formulação m pqunos dslocamntos ANÁLISE MODAL Nst itm, o pórtico é analisado para obtnção das frquências naturais modos d vibração sob os aspctos da anális d vibração livr, a anális d vibração sob tnsõs iniciais. A anális sob tnsõs iniciais srá ralizada com a strutura submtida a carga vrtical d 21 tonladas. Esta anális foi ralizada prviamnt por Nvs (199) srá utilizada para validação das rspostas das quaçõs (4.5) (4.6). Cada anális trá duas rspostas, pois são vrificadas as rspostas obtidas com a matriz d massa concntrada consistnt implmntadas no código computacional 86

89 dsnvolvido, comparadas com os rsultados obtidos por Nvs (199), qu ralizou anális da frquência fundamntal com o mprgo da matriz d massa consistnt. Figura Comparação ntr as frquências fundamntais obtidas. É possívl obsrvar, plo gráfico d barras da Figura 5.3, uma boa corrlação das rspostas obtidas. As frquências fundamntais tm uma quda bastant acntuada quando comparada com as análiss d vibração sob tnsõs iniciais. Nvs (199) obtv uma rdução das frquências fundamntais d 82,3%. No código computacional implmntado a rdução foi d 81,9% para as duas análiss ralizadas (matriz d massa concntrada consistnt). Est xmplo mostra a importância da anális d vibração sob tnsõs iniciais, pois o carrgamnto da strutura influi na rigidz do conjunto. Forças d comprssão tornam as struturas mais flxívis, como consquência rdução das frquências naturais. Foi ralizada uma anális modal utilizando o ANSYS para vrificação das dmais frquências naturais utilizando as matrizs d massa concntrada consistnt, pois o trabalo d Nvs (199) aprsnta apnas os rsultados da frquência fundamntal (primira frquência natural). Os gráficos das Figura 5.4, Figura 5.5 mostram os rsultados das frquências naturais do pórtico analisado m rlação aos rsultados obtidos com o ANSYS sparando as análiss m função do tipo d matriz d massa utilizada. A modlagm no 87

90 ANSYS utiliza lmntos finitos BEAM3, qu são lmntos com 3 graus d librdad por nó, sndo 2 translaçõs, dirçõs x y, uma rotação m torno do ixo z do lmnto finito. A configuração utilizada no ANSYS para xtração das frquências naturais modos d vibração foi por Block Lanczos, altrando ntr as análiss com matriz d massa consistnt, matriz d massa concntrada. Os gráficos a sguir aprsntam os rsultados obtidos para anális d vibração livr vibraçõs sob tnsõs iniciais para a matriz d massa consistnt [Figura 5.4], matriz d massa concntrada [Figura 5.5]. Figura Comparação ntr as rspostas obtidas com a matriz d massa consistnt. Figura Comparação ntr as rspostas obtidas com a matriz d massa concntrada. 88

91 É possívl obsrvar boa concordância ntr os rsultados obtidos com ambas as matrizs d massa. A partir da 7ª frquência natural xtraída, os rsultados obtidos com a matriz d massa consistnt comçam a tr uma pquna disprsão m rlação ao ANSYS, mas sss valors aprsntam uma difrnça infrior a 4% PONTE ESTAIADA ASSIMÉTRICA COM DOIS ESTAIS Est é o primiro xmplo d validação d cuno prático do trabalo. Constitui uma pont staiada mtálica com as caractrísticas aprsntadas na Tabla 5-2. A pont é rprsntada por doz nós, com onz lmntos finitos d viga/coluna, dois lmntos finitos d trliça, simulando o comportamnto do cabo. Os dados d massa spcífica foram obtidos pla convrsão do carrgamnto uniformmnt distribuído aplicado no tabuliro m massa spcífica dos lmntos struturais. Os trabalos d Tang (1972), Nvs (199), Wang, Tsng Yang (1993), Wang Yang (1996) analisaram st xmplo, rprsntaram os carrgamntos distribuídos d pso-próprio para as vigas com 233,52 kn/m (16 kips/ft). Os cabos a torr tm sus psospróprios nglignciados, ntrtanto, suas massas spcíficas são considradas na anális modal, na considração do fito d catnária. A pont possui um vão principal d 121,92 mtros (4 pés), dois vãos adjacnts (scundários) d 3,48 mtros (1 pés). O pilar possui uma altura total d 26,82 mtros (88 pés), dos quais 24,38 mtros (8 pés) ncontram-s acima do tabuliro, no qual a ligação ntr o tabuliro o pilar é considrada rígida. Est pilar principal possui um apoio do sgundo gênro na cota -2,44 mtros, os dmais apoios são do primiro gênro [Figura 5.6] na cota, mtros, ond ncontra-s o tabuliro. Tabla Propridads gométricas dos matriais. Elmnto Estrutural E (MPa) ρ(t/m³) Ára (m²) I (cm 4 ) σ máx (MPa) g (m/s²) Viga ,45,743 3,884 x 1 7-9,87 Coluna (acima do tabuliro) ,45,279 1,726 x 1 7-9,87 Coluna (abaixo do tabuliro) ,45,929 1,726 x 1 8-9,87 Cabos ,377, ,87 89

92 Figura Gomtria da pont assimétrica com a numração dos lmntos finitos. A gomtria da pont rprsntada na Figura 5.6, foi dividida m 11 lmntos finitos d pórtico, 2 lmntos finitos d trliça. O tabuliro comprnd os nós 1 ao 9, os lmntos finitos E1 ao E8. A coluna possui os lmntos E9 ao E11, os nós 5,1, 11, 12, ond o nós 5 é o nó formado plo ncontro do tabuliro com a coluna. Os lmntos finitos E1 ao E4 possum um comprimnto d 3,48 mtros, nquanto os lmntos E5 a E8 têm 15,24 mtros. Os lmntos E9 E1 da coluna possum um tamano d 12,19 mtros, o lmnto E11 com 2,44 mtros ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR São ralizadas duas análiss não linars, na qual a primira obtém a configuração dslocada da strutura sob ação do pso-próprio dos lmntos struturais, mas sm aplicação d forças d protnsão. A sgunda anális utiliza a itração d forma, por mio do método MAD, a fim d tornar nulo o dslocamnto vrtical do nó 3 (nó ond os lmntos 2, 3 C1 são concorrnts). Os dados forncidos para itração d forma stão aprsntados na Tabla 5-3 a sguir. Tabla 5-3 Dados para ralização da itração d forma. Ponto d Control Dslocamnto vrtical (m) Tolrância (ε s ) Vão Principal (m) Nó 3, , Srão comparadas as forças nos cabos sm com aplicação do método M.A.D, bm como a rdução obtida nos dslocamntos vrticais dos nós do tabuliro. Nvs (199) aprsnta uma anális na qual são aplicadas forças d protnsão d 431 kn no cabo C1, 9

93 512 kn no cabo C2. Esss valors também são comparados com os obtidos na anális com o método M.A.D, fazndo-s uma comparação ntr os sforços normais, momntos fltors ncontrados nos lmntos do tabuliro. As configuraçõs dslocadas obtidas nas análiss stática não linar sm aplicação d força d protnsão, com aplicação da força d protnsão plo método MAD, são aprsntados na Figura 5.7, Figura 5.8, rspctivamnt, ond o fator d scala qu multiplica os dslocamntos é d 1 vzs. Figura Dslocamntos vrticais sm aplicação das forças d protnsão (fator d scala d 1 vzs). Figura Dslocamntos vrticais com aplicação das forças d protnsão plo método MAD (fator d scala d 1 vzs). A Figura 5.7 Figura 5.8 são obtidas no pós-procssamnto dos dslocamntos grados plo código computacional dsnvolvido. É notávl a difrnça ntr as configuraçõs dslocadas obtidas ao s ralizar uma anális sm aplicação das forças d 91

94 protnsão [Figura 5.7], m rlação à aplicação do método MAD para obtnção da configuração dslocada da strutura [Figura 5.8]. A Tabla 5-4 aprsnta a rdução prcntual d dslocamntos vrticais obtidos para os nós 2, 3 4 da strutura, qu são os nós qu aprsntam maior dslocamnto vrtical. Tabla 5-4 Rdução dos dslocamntos pla utilização do método M.A.D no prsnt trabalo. Nó Dslocamnto vrtical (m) Sm Protnsão Dslocamnto vrtical (m) Com Protnsão (MAD) Rdução Prcntual Rlativa (%) Nó 2 -,8187 -, ,77 % Nó 3 -,7548 -,352 99,6 % Nó 4 -,5179 -,125 76,73 % Os valors dos dslocamntos vrticais dos nós 2, 3 4 são comparados com os dslocamntos obtidos nos trabalos d Nvs (199), Wang, Tsng Yang (1993) Wang Yang (1996) no gráfico a sguir. Figura Dslocamntos vrticais dos nós das análiss ralizadas. 92

95 É possívl vr a difrnça dos dslocamntos com a aplicação do método MAD m rlação ao xmplo sm utilização d forças prévias d protnsão. Os valors d dslocamntos vrticais da prsnt anális com o método MAD coincid com os valors aprsntados por Wang, Tsng Yang (1993), Wang Yang (1996). Entrtanto, xist uma difrnça significativa ntr os dslocamntos vrticais sm força d protnsão ntr o prsnt studo os rsultados aprsntados por Wang, Tsng Yang (1993) m rlação aos valors obtidos por Wang Yang (1996). É obsrvávl qu o dslocamnto vrtical do nó 3 (nó d ancoragm do cabo com o tabuliro) na anális ralizada por Wang Yang (1996) é maior qu o dslocamnto do nó 2. Isto é contra-intuitivo, pois o cabo fornc um apoio lástico ao nó 3, forncndo uma maior rigidz ao dslocamnto vrtical nst ponto. Ao s insrir nos dados d ntrada do código computacional dsnvolvido um valor d massa spcífica do cabo 2 vzs suprior ao indicado na proposição do problma, os rsultados obtidos tornam-s bastant próximos aos aprsntados por Wang Yang (1996) [Figura 5.1]. Figura Dslocada da strutura com um valor d ρ 2 vzs suprior. Esta difrnça das dslocadas s dv ao módulo d lasticidad quivalnt utilizado inicialmnt. Um pso-próprio suprior ao forncido no problma acntua a não linaridad do fito da catnária do cabo. Est fito d catnária, quando não s aplica forças altas d protnsão, como é o caso da anális ond s manifstou a discrpância, fornc uma rigidz muito infrior do cabo, aumntando considravlmnt os dslocamntos. É possívl vr qu o nó 3 aprsntou dslocamntos vrticais maiors qu o nó 2, assim como na anális d Wang Yang (1996). 93

96 A Figura 5.11 aprsnta os prsnts rsultados os valors d Wang Yang (1996) obtidos para os dslocamntos vrticais sm protnsão, com aplicação do método MAD ao s adotar uma massa spcífica do cabo 2 vzs suprior. Figura Comparação dos dslocamntos vrticais ntr Wang (1996) a prsnt anális com massa spcífica do cabo 2 vzs suprior. Ao s aplicar o método MAD, para st xmplo, a dslocada as forças d protnsão nos cabos convrgiram para os msmos valors da prsnt anális, dos rsultados obtidos por Wang, Tsng Yang (1993). Nvs (199) raliza uma anális stática não linar, mas utiliza forças d protnsão stablcidas por Tang (1972). Os rsultados aprsntados por Nvs (199) são bm mlors qu os obtidos com a anális puramnt não linar dispnsando as forças d protnsão. No ntanto, com aplicação do método MAD é possívl rduzir significativamnt o dslocamnto vrtical do ponto d control, o qu, consquntmnt, gra mnors dslocamntos na strutura como um todo. A sguint anális tm por objtivo mostrar a difrnça das forças axiais xistnts nos cabos C1 C2, m função do tipo d anális adotada, conform a figura a sguir. O gráfico sguint aprsnta os rsultados com xcção dos obtidos por Wang Yang (1996), qu são comparados na Figura

97 Figura Comparação das forças nos cabos com as difrnts análiss. Figura Comparação das forças nos cabos ntr Wang (1996) a prsnt anális com massa spcífica 2 vzs suprior. Pla anális dos dslocamntos [Figura 5.9] das forças nos cabos [Figura 5.12], nota-s qu rsultados obtidos com mprgo do método MAD nst trabalo stão d acordo 95

98 com os rsultados sprados, obtidos por Wang, Tsng Yang (1993), qu são rspostas qu aproximam mlor o comportamnto do tabuliro ao d uma viga contínua. Os valors aprsntados nas Figura 5.1 Figura 5.13, comparam os dslocamntos vrticais as forças nos cabos, rspctivamnt, ntr a prsnt anális os rsultados obtidos por Wang Yang (1996). Vê-s uma boa concordância dos rsultados obtidos quando utiliza-s uma massa spcífica do cabo 2 vzs suprior. Os valors ncontrados para a anális sm forças d protnsão difrm bastant ntr os valors d Wang Yang (1996) Wang, Tsng Yang (1993). Isto lva a crr qu os dados d ntrada insridos no studo d Wang Yang (1996) possam tr sido quivocados. O prsnt trabalo considrou a massa spcífica do cabo 2 vzs suprior ao indicado no problma. Entrtanto, rsultados smlants a Wang Yang (1996) podm sr obtidos s altrando-s os valors das áras dos cabos. Os rsultados aprsntados a partir dst ponto não lvarão m considração as análiss d Wang Yang (1996), por acrditar qu os dados d ntrada insridos na anális do artigo difrm dos valors propostos das caractrísticas gométricas ou dos matriais do problma proposto. Tabla Forças d comprssão nos lmntos do tabuliro. Elm. Wang (1993) Sm Prot. (kn) Prsnt Sm Prot. (kn) Nvs (199) Com Prot. (kn) Wang (1993) Com Prot. (kn) Prsnt Com Prot. (kn) E1,,,,, E2,,,,, E3-346, ,89-399, -4132, ,838 E4-346, ,89-399, -4132, ,838 E5 * -3538,743-43, -4183, ,917 E6 * -3538,743-43, -4183, ,917 E7,,,,, E8,,,,, *- Informação não forncida plo autor. A Tabla 5-5 mostra os rsultados obtidos para os sforços axiais nos lmntos do tabuliro. É obsrvado um acréscimo d, aproximadamnt, 2% das forças normais do método MAD m rlação à anális sm as forças d protnsão nos cabos. 96

99 Os rsultados aprsntados por Wang, Tsng Yang (1993) são ncssários à comparação da mtodologia proposta do método MAD, a implmntada ao código. As rspostas obtidas por Nvs (199) são rlvants para dmonstrar a importância d uma mtodologia automatizada qu obtna as mlors forças d protnsão para um dtrminado sistma strutural. A difrnça ntr os momntos fltors obtidos com auxílio do código dsnvolvido as rspostas d Wang, Tsng Yang (1993) aprsntam bons rsultados, não sndo a difrnça suprior a 1,5% (nó 3) na anális sm as forças d protnsão [Tabla 5-6]. Com rspito à anális ond á o mprgo do método MAD, a difrnça torna-s mais tênu, próxima a 1% (nó 6). Tabla 5-6 Tabla d momntos fltors nodais dos lmntos finitos do tabuliro. Nó Wang (1993) Prsnt Nvs (199) Wang (1993) Prsnt Com Sm Prot. Sm Prot. Com Prot. Com Prot. Prot. (kn.m) (kn.m) (kn.m) (kn.m) (kn.m) 1,,,,, , 88728,783 71, 615, 693, , , , -9663, -9676,22 4 * 41859,391 * 3861, 3862, , -1349,161-6, -5292, ,75 6 * ,767 * -2299, -2275,544 7 * -3718, , -1653, ,542 8 * 25252,275 21, 1885, 18838,972 9,,,,, *- Informação não forncida plo autor. Ao s comparar os rsultados obtidos da anális plo método MAD com a anális ond não á aplicação da força d protnsão, torna-s vidnt a ficácia na rdução dos momntos fltors no tabuliro da pont plo método mprgado. A anális sm aplicação d protnsão fornc valor máximo d momnto fltor nos nós do tabuliro d kn.m, valor mínimo d kn.m, uma amplitud d kn.m. Ests valors são rduzidos para um máximo d 694 kn.m, mínimo d kn.m, ond a amplitud dos valors cga a kn.m, uma rdução d 18,39%. 97

100 D modo gral, ouv rdução dos momntos nos nós do tabuliro, com xcção dos nós 3 7, qu aumntaram os valors dos momntos fltors m rlação à situação inicial sm protnsão [Figura 5.14]. Ests nós corrspondm aos pontos ond os cabos stão fixados ao tabuliro. Figura 5.14 Momntos fltors nodais do tabuliro da pont staiada assimétrica ANÁLISE MODAL O prsnt trabalo raliza 3 possívis análiss modais para obtnção das frquências naturais, os modos d vibração para cada matriz d massa utilizada [Figura 5.15]. A primira anális é a d vibração livr. A sgunda d vibração sob tnsõs iniciais com ação do pso-próprio da strutura. A trcira é a anális d vibração sob tnsõs iniciais lvando m conta o stado d solicitação dos lmntos struturais obtidos pla aplicação do método MAD 98

101 Figura Análiss modais nvolvidas. Srão mostradas apnas a anális sob tnsõs iniciais com aplicação do método MAD na anális stática, pois os rsultados aprsntados por Wang, Lin Tang (22) considram apnas sta anális. Portanto, são aprsntados os rsultados dsta anális com as duas matrizs d massa xistnts no código, a fim d comparar as rspostas obtidas com os rsultado dos autors. A Figura 5.16 traz as rspostas das frquências naturais obtidas plas 3 análiss propostas. As três análiss possum boa corência nas 3 primiras frquências xtraídas. Já as rspostas ntr as frquências obtidas por Wang, Lin Tang (22) as obtidas com a matriz d massa consistnt possum rsultados bastant próximos para todas frquências naturais obtidas. A anális com a matriz d massa consistnt obtv 58 modos d vibração, mas o trabalo aprsntado por Wang, Lin Tang (22) aprsnta apnas os 12 primiros modos. Para mantr uma omognidad nos gráficos, são aprsntados apnas os 12 primiros modos obtidos com o código computacional dsnvolvido. 99

102 Figura Comparação ntr as frquências naturais na anális d vibração sob tnsõs iniciais com o método MAD Wang, Lin Tang (22) não spcificam qual a matriz d massa adotada no trabalo, mas pla boa corrlação dos rsultados da matriz d massa consistnt m todas as frquências xtraídas, assum-s qu sta foi mprgada no trabalo dos autors. O gráfico da Figura 5.17 mostra as difrnças prcntuais dos valors obtidos da matriz d massa consistnt do código computacional m rlação aos obtidos plos autors. Figura Difrnça Prcntual ntr os rsultados obtidos com a matriz d massa consistnt o trabalo d 1 Wang, Lin Tang (22).

103 Analisando-s o gráfico da Figura 5.17, obsrva-s uma difrnça prcntual máxima mnor qu 1,2% nas frquências naturais obtidas. A difrnça prcntual média das rspostas obtidas rsultou mnor qu,4%. A xplicação da matriz d massa concntrada aprsntar bons valors iniciais, m sguida aprsntar uma disprsão m rlação à matriz d massa consistnt é qu la não é capaz d captar todos os modos. Portanto, não á quivalência ntr o númro da frquência xtraída o modo d vibrar. Isto pod sr obsrvado pla comparação do 6º modo d vibração da matriz d massa concntrada, com o 7º modo da matriz d massa consistnt [Figura 5.18]. É possívl obsrvar no pós-procssamnto do código dsnvolvido qu são frquências próximas modos corrspondnts. Figura Frquências naturais corrspondnts das matrizs d massa concntrada consistnt para a anális d vibração sob tnsõs iniciais com aplicação do método MAD É important fazr uma anális cuidadosa, vrificando os valors das frquências naturais, buscando vrificar a corrspondência ntr os modos d vibração. 11

104 Os gráficos da Figura 5.19, Figura 5.2 mostram as variaçõs das frquências naturais obtidas com as difrnts análiss propostas plo código computacional. Figura Comparação ntr as análiss utilizando a matriz d massa concntrada. Figura Comparação ntr as análiss utilizando a matriz d massa consistnt. 12

105 Exist uma rdução das frquências naturais quando s compara uma anális d vibraçõs livrs a anális d vibração sob tnsõs iniciais, dcorrnt da atuação d forças d comprssão lvadas qu passam a sr considradas. Mas, caso os lmntos sjam tracionados, a anális sob tnsõs iniciais pod aprsntar frquências mais altas qu as obtidas pla anális d vibração livr não amortcida da strutura. As rspostas d vibração sob tnsõs iniciais não sofrram altraçõs significativas m rlação à aplicação do método MAD, msmo com aumnto das forças d comprssão no tabuliro na coluna. Os gráficos da Figura 5.21, Figura 5.22 mostram a rdução prcntual das frquências m rlação à rsposta da anális d vibração livr. As frquências naturais mais aftadas plo fito das forças d comprssão consistm nas frquências mais baixas, nquanto as frquências mais altas não ouv, praticamnt, altraçõs. Apsar das primiras frquências trm sido altradas, os valors prcntuais foram mnors qu 4%, nst caso, uma anális d vibração livr podria sr indicada a título d obtnção dos valors das frquências com rlativa prcisão. Figura Difrnça prcntual das análiss d vibraçõs sob tnsõs iniciais m rlação a anális d vibração livr utilizando a matriz d massa concntrada. 13

106 Figura Difrnça prcntual m rlação a anális d vibração livr utilizando a matriz d massa consistnt PONTE ESTAIADA SIMÉTRICA EM CONFIGURAÇÃO DE HARPA Est é um xmplo d uma pont staiada com xtnsão total d 69,6 mtros, ond o vão principal possui 335,28 mtros, os vãos latrais (scundários) 137,16 mtros cada. Cada um dos pilars possui uma altura d 6,96 mtros. A pont foi dividida m 21 nós, 2 lmntos finitos d pórtico plano, 12 lmntos d trliça plana, sgundo a rprsntação da Figura As condiçõs d contorno do problma são 4 apoios, sndo 3 do primiro gênro, 1 do sgundo gênro. Os apoios dos nós 1, 4, 12 são do primiro gênro, o nó 15 possui um apoio do sgundo gênro. 14

107 Figura Gomtria da pont staiada com configuração m arpa com ixo d simtria a numração dos lmntos finitos. Como no xmplo antrior, os dados d massa spcífica aprsntados foram obtidos plo carrgamnto uniformmnt distribuído aplicado nos trabalos d Wang, Tsng Yang (1993), do trabalo d Wang, Lin Tang (22). Ests trabalos srvirão como modlo d comparação d rsultados para a anális stática não linar, anális modal, rspctivamnt. Os lmntos finitos E1 ao E6, E9 ao E14 do tabuliro possum 45,72 mtros d comprimnto. Os lmntos finitos cntrais do tabuliro, E7 E8, possum 3,48 mtros. Os lmntos corrspondnts das torrs, E15 ao E2, possum 2,32 mtros cada. O tabuliro tm um carrgamnto d pso-próprio corrspondnt a 87,563 kn/m, os valors do pso-próprio das torrs dos cabos são nglignciados na anális stática, ntrtanto as massas spcíficas são considradas para as matrizs d massa da anális modal, para considração do fito d catnária. As caractrísticas dos matriais das propridads gométricas das sçõs são aprsntadas na tabla a sguir. Tabla Propridads gométricas dos matriais. Elmnto Estrutural E ρ (t/m³) Ára I (cm 4 ) (MPa) (m²) σ máx g (MPa) (m/s²) E1 E14 (tabuliro) ,92,32 1,131 x 1 8-9,87 E15 E18 (part infrior das ,92,269 4,315 x 1 7-9,87 colunas) E16 E19 (part do mio das ,92,228 3,452 x 1 7-9,87 colunas) E17 E2 (topo da coluna) ,92,23 2,16 x 1 7-9,87 C1, C6, C7 C ,83, ,87 C2 C5 C8 C ,92, ,87 15

108 ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR Dvido à simtria do xmplo, são utilizados apnas 3 nós para o procdimnto d itração d forma do método MAD Os dados forncidos para itração d forma stão aprsntados na tabla a sguir. Tabla 5-8 Dados para ralização da itração d forma. Ponto d Control Dslocamnto vrtical (m) Tolrância (ε s ) Vão Principal (m) Nó 6, , Nó 5, 1-4 Nó 7, 1-4 As configuraçõs dslocadas das análiss stática não linar sm aplicação d força d protnsão, com aplicação da força d protnsão plo método MAD são aprsntados a sguir na Figura 5.24, Figura 5.25, rspctivamnt, ond o fator d scala qu multiplica os dslocamntos é d 1 vzs. Figura Dslocamntos vrticais sm aplicação das forças d protnsão (fator d scala d 1 vzs). Figura Dslocamntos vrticais com aplicação das forças d protnsão plo método MAD (fator d scala d 1 vzs). 16

109 Nst xmplo, torna-s mais vidnt os bnfícios do método MAD, m trmos d rdução dos dslocamntos. Foi possívl tornar os dslocamntos nos pontos d control pqunos ao ponto d quas anular o dslocamnto no mio do vão principal (nó 8). A Tabla 5-9 aprsnta a rdução prcntual d dslocamntos vrticais obtidos para os nós 5, 6, 7 8 da strutura, qu são os nós qu aprsntam maior dslocamnto vrtical. Tabla 5-9 Rdução dos dslocamntos pla utilização do M.A.D no prsnt trabalo. Ponto d Control Dslocamnto vrtical (m) Sm Protnsão Dslocamnto vrtical (m) Com Protnsão (MAD) Rdução Prcntual Nó 5 -,564,242 14,74% Nó 6-1,64,375 12,89% Nó 7-1,351, ,19% Nó 8-1,423,829 1,58% Obsrva-s qu, nst xmplo, os valors da rdução prcntual ncontram-s acima d 1%. Isto porqu as forças d protnsão aplicadas suspndram o tabuliro acima da configuração d rfrência, ou sja, dslocamntos vrticais positivos. A comparação é ralizada tomando os rsultados dos nós 5, 6, 7. O gráfico da Figura 5.26 mostra o rsultado obtido com a anális não linar do prsnt trabalo afim d confrontar as difrnças ntr o método MAD implmntado, os rsultados obtidos pla rfrência do trabalo d Wang, Tsng Yang (1993). Figura Dslocamntos vrticais dos nós das análiss ralizadas. 17

110 É possívl vr a difrnça dos dslocamntos com a aplicação do método MAD m rlação ao xmplo sm utilização d forças prévias d protnsão. Com a aplicação do método MAD foi possívl nivlar os dslocamntos vrticais da strutura, mantndo-os próximo da configuração d rfrência. Obsrva-s qu as rspostas são razoavlmnt próximas, ond a maior difrnça ncontra-s na anális sm as forças d protnsão, ond o prsnt trabalo dsnvolv maiors dslocamntos vrtical no tabuliro da pont. A anális d Wang, Tsng Yang (1993) s mostrou mais rígida qu a prsnt anális. No ntanto, isto não é o sprado, visto qu Wang, Tsng Yang (1993) utilizam as 3 não linaridads xistnts na anális, nquanto o prsnt trabalo considra a catnária, o fito viga-coluna, nglignciando a trcira, corrspondnt a grands dslocamntos. Os autors afirmam qu o pso-próprio dos cabos é nglignciado (w=), mas o fito não linar da catnária é considrado. Caso a anális do código computacional dsnvolvido não considr o pso-próprio do cabo (w=), isto fornc o módulo d lasticidad linar do cabo. É ralizada sta comparação na Figura 5.27 m rlação aos rsultados obtidos plos autors. ond as rspostas obtidas plo código computacional nglignciou o pso-próprio dos cabos (w=) também para o cálculo do fito da catnária. 18 Figura 5.27 Comparação ntr dslocamntos vrticais dos nós quando w=.

111 Os rsultados aprsntados na Figura 5.27 parcm mais cornts com os rsultados sprados. Ao s nglignciar o pso-próprio também para o fito d catnária, a strutura assum um módulo d lasticidad quivalnt igual ao módulo d lasticidad linar do matrial. Ao comparar os rsultados obtidos com os dos autors, obsrva-s boa corrlação dos valors. Em rlação à anális com o pso-próprio dos cabos nglignciado para o fito d catnária, o código computacional dsnvolvido s mostra uma strutura lvmnt mais rígida qu rspostas obtidas plos autors[figura 5.27], por não aprsntar o fito d grands dslocamntos. É possívl qu os autors tnam nglignciado, inadvrtidamnt, o pso-próprio dos cabos (w=), também para o cálculo do fito d catnária. Pois, os rsultados dos autors ncontram-s mais próximos dsta anális sgundo os rsultados aprsntados nas Figura 5.26, Figura O código computacional dsnvolvido prmit a visualização do camino prcorrido durant a itração d forma do método MAD Dntr as rspostas qu são possívis d visualização stão os dslocamntos vrticais orizontais, as forças intrnas. A figura a sguir, grada plo pós-procssador dsnvolvido, mostra os dslocamntos vrticais dos nós 5, 6, 7 8 ao longo do procsso itrativo d itração d forma. Figura Dslocamntos vrticais dos nós ao longo da itração d forma na tapa d pós-procssamnto do código computacional dsnvolvido. 19

112 A sguint anális tm por objtivo mostrar a difrnça das forças d axiais xistnts nos cabos C1, C2 C3, m função do tipo d anális adotada, conform a figura a sguir. Obsrva-s pla Figura 5.29 qu os rsultados obtidos sm o método MAD obtivram forças um pouco difrnts, no ntanto, as forças com o método MAD são muito smlants. Ao s analisar a msma strutura considrando o pso-próprio dos cabos como zro (w=), a anális sm o MAD s aproxima bastant dos rsultados aprsntados por Wang, Tsng Yang (1993) [Figura 5.3]. A xmplo da pont assimétrica, os rsultados das forças nos cabos com a aplicação do método MAD forncu rsultados smlants ntr o prsnt trabalo o aprsntado por Wang, Tsng Yang (1993). Entrtanto, nst xmplo ouv uma pquna difrnça ntr as foças no cabo C1 na anális sm aplicação d forças d protnsão. Isto parc ocorrr dvido ao fito da catnária dst xmplo s sobrpor aos dmais fitos não linars, dcorrnt do maior númro d cabos xistnts na pont. Ao s fixar o pso-próprio dos cabos igual a zro para o fito d catnária, st é também nglignciado, passando a atuar a rigidz linar do cabo. Figura 5.29 Comparação ntr as forças nos cabos ntr Wang, Tsng Yang (1993) o prsnt trabalo. 11

113 Figura Comparação ntr as forças nos cabos com w= do prsnt trabalo Wang, Tsng Yang (1993). Plos rsultados aprsntados, as rspostas obtidas plo código computacional implmntado são mais próximos quando s considra a anális com o pso-próprio dos cabos nglignciados. As pqunas difrnças qu aparcm nsta anális (w=) podm sr confridas à considração d grands dslocamntos. As rspostas obtidas, m dslocamntos, com o método MAD foram muito próximas qur o pso-próprio dos cabos foss ou não nglignciados. As pqunas difrnças obtidas ntr ssas duas análiss podm sr atribuídas às difrnts condiçõs iniciais da aplicação das forças nos cabos, qu rsultam das difrnts configuraçõs iniciais propostas (obtidas após o primiro ciclo d quilíbrio d Nwton-Rapson). Isto é, os dslocamntos iniciais dsnvolvidos ao s considrar ou não o psopróprio dos cabos influm nas forças obtidas nos cabos para a primira itração d forma. Esta difrnça vai sndo propagada durant o procsso itrativo. As sguints análiss srão obtidas com a considração do pso-próprio (w ) dos cabos para o cálculo do fito da catnária no código computacional, comparando-s os rsultados aprsntados por Wang, Tsng Yang (1993). A Tabla 5-1 mostra os rsultados obtidos para os sforços axiais nos lmntos do tabuliro. O cabo C1 tv uma rdução na força d tração na anális com aplicação do método MAD, isto implica na rdução do sforço normal no lmnto E1 do tabuliro. Já os lmntos E2, E3 aumntaram m 8,5% 2%, aproximadamnt. 111

114 Tabla Forças d comprssão nos lmntos do tabuliro. Elm. Wang (1993) Prsnt Sm Wang (1993) Prsnt Com Sm Prot. (kn) Prot. (kn) Com Prot. (kn) Prot. (kn) E1 * ,52-177, -1742,772 E2 * , , ,353 E3-2358, , , ,818 *- Informação não forncida plo autor. A anális dos momntos fltors obtidos com auxílio do código dsnvolvido as rspostas d Wang, Tsng Yang (1993), com o mprgo do método MAD, rsultou m difrnças prcntuais rlativas com divrgência média infrior a 4%. Os rsultados aprsntados na Tabla 5-11 são os valors até o nó 8 (ponto médio do vão cntral) dvido à simtria da pont. A mtodologia proposta por Wang, Tsng Tang (1993) aprsnta as não linaridads d fito d catnária, fito viga-coluna, grands dslocamntos. A anális sm aplicação d protnsão fornc valors máximos d momntos fltors nos nós do tabuliro d 42944,521 kn.m, valor mínimo d -1972,12 kn.m, uma amplitud d kn.m. Ests valors são rduzidos para um máximo d 17497,927 kn.m, mínimo d ,498 kn.m, ond a amplitud dos valors cga a 4674 kn.m ao aplicar o método MAD, isto é, uma rdução d 73,36% na amplitud dos momntos fltors. Tabla 5-11 Tabla d momntos fltors nodais dos lmntos finitos do tabuliro. Nó Wang (1993) Sm Prsnt Sm Wang (1993) Com Prsnt Com Prot. (kn.m) Prot. (kn.m) Prot. (kn.m) Prot. (kn.m) 1,,,, 2 * 2279,26-179, -231,73 3 * -1292,1-17, -1143, , -1972, , -2289,482 5 * -971, , -1644,213 6 * 23999, , ,119 7 * 224,96-243, , , 42944, , 17497,927 *- Informação não forncida plo autor. 112

115 Houv uma rdução significativa da amplitud dos momntos fltors no tabuliro, é possívl constatar qu os momntos ficaram mais uniforms, isto é, distribuídos dntro d uma faixa mnor d amplitud [Figura 5.31]. A Figura 5.31 mostra o comportamnto dos momntos fltors nos nós do tabuliro para as análiss sm com aplicação do método MAD Figura 5.31 Momntos fltors nodais da pont m configuração m arpa ANÁLISE MODAL Est xmplo foi analisado por Wang, Lin Tang (22) com a considração apnas da anális sob tnsõs iniciais com a aplicação do método MAD Como obsrvado no xmplo do itm , a matriz d massa mprgada plos autors foi a matriz d massa consistnt. Portanto, não s faz ncssário valr-s d uma anális com a matriz d massa concntrada. A Figura 5.32 traz as rspostas das frquências naturais obtidas plos dois trabalos. As análiss possum boa corência nas frquências xtraídas, ond o gráfico das difrnças prcntuais rlativas das análiss ncontram-s xpostas na Figura

116 Figura Comparação ntr as frquências naturais. Figura Difrnça Prcntual Rlativa ntr os rsultados obtidos o trabalo d Wang, Lin Tang (22). Est xmplo possui uma difrnça prcntual rlativa m rlação ao trabalo d Wang, Lin Tang (22) mnor qu 3,5% para as frquências naturais xtraídas. A média da difrnça ficou m,836%. É um valor baixo, mas é prciso notar qu as difrnças mais altas ncontram-s xatamnt nas primiras frquências [Figura 5.33]. 114

117 Isto qur dizr qu a anális modal é muito snsívl a pqunas mudanças na matriz d rigidz d massa. Os autors Wang, Lin Tang (22) ralizaram dois procdimntos para xtração das frquências naturais, como citado no itm 2.1, um linar outro não linar. É possívl qu a difrnça ntr o prsnt trabalo o procdimnto não linar dos autors sja dcorrnt da simplificação adotada d pqunos dslocamntos. Ao xaminar as difrnças prcntuais rlativas dos rsultados obtidos, com os rsultados aprsntados plos autors das duas análiss citadas acima, é notávl qu os valors ncontram-s num intrvalo intrmdiário d frquências naturais [Figura 5.34]. Figura Frquências naturais xtraídas na prsnt anális x Wang (22) Procdimnto Não linar x Wang (22) Procdimnto Linar (Vibração sob tnsõs iniciais aplicando o método MAD). A anális a sguir mostra a variação das frquências naturais xtraídas com o código computacional dsnvolvido m rlação às análiss d vibração livr, vibração sob tnsõs iniciais, vibraçõs sob tnsõs iniciais aplicando o método MAD [Figura 5.35]. Est xmplo aprsnta uma rdução maior ao s considrar a matriz d rigidz tangnt para obtnção das frquências naturais. Isto porqu o númro d cabos xistnts é maior qu o xmplo antrior, xistm mais lmntos qu têm sua rigidz rduzida pla ação da comprssão. 115

118 Figura Comparação ntr as análiss. A aplicação do método MAD, novamnt, rduz os valors das frquências naturais obtidas, mas m comparação a anális d vibraçõs sob tnsõs iniciais, a rdução dmonstra sr pouco rprsntativa. O gráfico da Figura 5.36 mostra a rdução prcntual das frquências m rlação à rsposta da anális d vibração livr. As frquências naturais mais aftadas plo fito das forças d comprssão consistm nas frquências mais baixas, nquanto as mais altas a difrnça prcntual rlativa ncontra-s abaixo d 1%. Os valors das difrnças prcntuais rlativas, nas primiras frquências naturais, cgaram a quas 8% (MAD),, aproximadamnt, d 7,3% sm aplicação do método MAD m rlação à vibração livr. Nst caso, ouv uma difrnça significativa m rlação aos valors das primiras frquências naturais. O xmplo antrior sugr qu uma anális d vibração livr sria suficint para a dtrminação da frquência natural, mas o msmo não s aplica a st xmplo. Est xmplo, por aprsntar maior númro d lmntos comprimidos, por sr uma strutura mais flxívl, a anális sob tnsõs iniciais aprsntou difrnças significativas para as primiras frquências naturais. É possívl visualizar pla Figura 5.37 qu o valor absoluto da difrnça ntr a anális d vibração livr mantém uma distância quas qu constant (aproximadamnt,233 Hz sm alicação do método MAD,,241 Hz quando aplica-s o método MAD) m rlação às análiss d vibração sob tnsõs iniciais. Isto é, parc qu, nst xmplo, as forças d comprssão dslocam as frquências naturais por igual. 116

119 Figura Difrnça prcntual m rlação a anális d vibração livr. Figura Frquências naturais xtraídas com as difrnts análiss PONTE ESTAIADA SIMÉTRICA EM CONFIGURAÇÃO DE LEQUE Nst xmplo, a gomtria da pont é mantida igual a do xmplo 5.1.3, mudandos apnas a configuração dos stais. A anális modal dst xmplo não foi ralizada por Wang, Lin Tang (22), mas, dcorrnt dos rsultados cornts obsrvados nos xmplos antriors, a anális modal srá ntão ralizada utilizando o código computacional 117

120 dsnvolvido. Além das análiss ralizadas nos xmplos antriors, srão ftuadas análiss ntr as difrnts configuraçõs dos cabos (arpa lqu) a título comparativo. As análiss comparativas ntr as configuraçõs dos stais trão por objtivo avriguar a difrnça dos dslocamntos vrticais, os momntos fltors no tabuliro, as forças normais nos cabos tabuliro obtidas sm com aplicação das forças d protnsão plo método MAD A anális modal vrificará, também, as difrnças ntr as frquências naturais dos dois sistmas struturais m qustão. Em rlação à gomtria da pont, sta possui a msma xtnsão total d 69,6 mtros do itm 5.1.3, com os msmos 21 nós, 2 lmntos finitos d pórtico plano, 12 lmntos d trliça plana, sgundo a rprsntação da Figura As condiçõs d contorno do problma são 4 apoios, sndo 3 do primiro gênro, 1 do sgundo gênro. Os apoios dos nós 1, 4, 12 são do primiro gênro, o nó 15 possui um apoio do sgundo gênro. Figura Gomtria da pont staiada com configuração m lqu com ixo d simtria a numração dos lmntos finitos. Como nos xmplos antriors, os dados d massa spcífica aprsntados foram obtidos plo carrgamnto uniformmnt distribuído aplicado sgundo os valors dos trabalos d Wang, Tsng Yang (1993). O trabalo dsts autors srvirá como modlo d comparação dos rsultados da anális stática não linar. Os lmntos finitos E1 ao E6, E9 ao E14 do tabuliro possum 45,72 mtros d comprimnto. Os lmntos finitos cntrais do tabuliro, E7 E8, possum 3,48 mtros. Os lmntos corrspondnts das torrs, E15 ao E2, possum 2,32 mtros cada. O tabuliro tm um carrgamnto d pso-próprio corrspondnt a 87,563 kn/m, os valors do pso-próprio das torrs dos cabos são nglignciados na anális stática, ntrtanto as massas spcíficas são considradas para as matrizs d massa da anális modal, 118

121 para considração do fito d catnária. As caractrísticas dos matriais das propridads gométricas das sçõs são aprsntadas na tabla a sguir. Tabla Propridads gométricas dos matriais. E Ára Elmnto Estrutural ρ (t/m³) I (cm 4 ) (MPa) (m²) σ máx g (MPa) (m/s²) E1 E14 (tabuliro) ,92,32 1,131 x 1 8-9,87 E15 E18 (part infrior das ,92,269 4,315 x 1 7-9,87 colunas) E16 E19 (part do mio das ,92,228 3,452 x 1 7-9,87 colunas) E17 E2 (topo da coluna) ,92,23 2,16 x 1 7-9,87 C1, C6, C7 C ,83, ,87 C2 C5 C8 C ,92, , ANÁLISE ESTÁTICA NÃO LINEAR Srão utilizados os msmos nós tolrância do itm para o critério d parada da itração d forma. Ests dados são aprsntados na tabla a sguir. Tabla 5-13 Dados para ralização da itração d forma. Ponto d Control Dslocamnto vrtical (m) Tolrância (ε s ) Vão Principal (m) Nó 6, , Nó 5, 1-4 Nó 7, 1-4 As configuraçõs dslocadas das análiss stática não linar sm aplicação d força d protnsão com aplicação da força d protnsão plo método MAD, ncontram-s, rspctivamnt, na Figura 5.39, Figura 5.4, ond o fator d scala qu multiplica os dslocamntos é d 1 vzs. 119

122 Figura Dslocamntos vrticais sm aplicação das forças d protnsão (fator d scala d 1 vzs). Figura Dslocamntos vrticais com aplicação das forças d protnsão plo método MAD (fator d scala d 1 vzs). A Tabla 5-14 aprsnta a rdução prcntual d dslocamntos vrticais obtidos para os nós 5, 6, 7 8 da strutura, qu são os nós qu aprsntam maiors dslocamntos vrtical. Tabla 5-14 Rdução dos dslocamntos pla utilização do M.A.D no prsnt trabalo. Ponto d Control Dslocamnto vrtical (m) Sm Protnsão Dslocamnto vrtical (m) Com Protnsão (MAD) Rdução Prcntual Nó 5 -,3664 -, ,96% Nó 6 -,8355,4484 1,53% Nó 7-1,16,6583 1,57% Nó 8-1,247 -, ,89% 12

123 A comparação dos dslocamntos vrticais, ntr o prsnt trabalo o publicado por Wang, Tsng Yang (1993), é fita apnas para os nós 5, 6, 7, pois os autors não forncm o dslocamnto vrtical do nó 8. O gráfico da [Figura 5.41] mostra o rsultado obtido com a anális não linar do prsnt trabalo afim d confrontar as difrnças ntr o MAD implmntado, os rsultados obtidos pla rfrência Wang, Tsng Yang (1993). Figura Dslocamntos vrticais dos nós das análiss ralizadas. Novamnt, as rspostas obtidas m trmos d dslocamntos vrticais são próximas às rspostas aprsntadas plos autors, tanto sm aplicação do método MAD, como com a aplicação do método. Obsrva-s pla Figura 5.42 qu os rsultados para os cabos C1, C2 C3, obtidos com sm o método MAD foram forças próximas. A maior difrnça ncontra-s no cabo C3 ao s aplicar o método MAD, ntrtanto, sta difrnça é mnor qu 1%. 121

124 Figura 5.42 Comparação ntr as forças nos cabos ntr as análiss. Em rlação às forças axiais nos lmntos do tabuliro, a tabla com os valors aprsntados por Wang, Tsng Yang (1993) os ncontrados no prsnt trabalo ncontras rprsntada a sguir. Tabla Forças d comprssão nos lmntos do tabuliro. Elm. Wang (1993) Prsnt Sm Wang (1993) Prsnt Com Sm Prot. (kn) Prot. (kn) Com Prot. (kn) Prot. (kn) E1 * -1465, , -1353,96 E2 * , , ,822 E3-1832, -1836, , ,96 *- Informação não forncida plo autor. A Tabla 5-15 mostra os rsultados obtidos para os sforços axiais nos lmntos do tabuliro. O cabo C1 tv uma rdução na força d tração na anális com aplicação do método MAD, isto implica na rdução do sforço normal no lmnto E1 do tabuliro. Já os lmntos E2, E3 aumntaram m 5,46 % 7,34 %, aproximadamnt. 122

125 Os momntos fltors aprsntados por Wang, Tsng Yang (1993) são comparados com os obtidos com o código computacional dsnvolvido. As difrnças rlativas prcntuais ntr o prsnt trabalo os rsultados dos autors divrgm m média 2%. Dvido à simtria da strutura, são aprsntados os momntos fltors nodais até o nó 8 (ponto médio do vão cntral). Esss rsultados são aprsntados na Tabla 5-16 A anális sm aplicação d protnsão fornc valors máximos d momntos fltors nos nós do tabuliro d 5455,271 kn.m, valor mínimo d ,658 kn.m, uma amplitud d ,929 kn.m. Ests valors são rduzidos para um máximo nodal d 1734,127 kn.m, mínimo nodal d -2364,297 kn.m, ond a amplitud dos valors cga a 4674 kn.m ao aplicar o método MAD, msma amplitud obtida para sta pont com configuração dos stais m arpa. Tabla 5-16 Tabla d momntos fltors nodais dos lmntos finitos do tabuliro. Nó Wang (1993) Sm Prsnt Sm Wang (1993) Com Prsnt Com Prot. (kn.m) Prot. (kn.m) Prot. (kn.m) Prot. (kn.m) 1,,,, 2 * 2392,774-19, -1777,65 3 * , , , , , , ,724 5 * , , ,573 6 * 4725, , ,356 7 * 978, , -2364, , 5455, , 1734,127 *- Informação não forncida plo autor. A mtodologia proposta por Wang, Tsng Tang (1993) aprsnta as não linaridads d fito d catnária, fito viga-coluna, grands dslocamntos. Em função disso, os rsultados aprsntam pqunas difrnças, mas como dito antriormnt, a difrnça prcntual rlativa ntr o prsnt trabalo os rsultados dos autors é, m média, 2% para os valors dos momntos fltors. Novamnt, ouv uma rdução significativa da amplitud dos momntos fltors no tabuliro (aproximadamnt 65%), o qu promov uma distribuição mais uniform dos momntos fltors. A Figura 5.43 mostra o comportamnto dos momntos fltors nos nós do 123

126 tabuliro para as análiss sm/com aplicação do método MAD do código computacional dsnvolvido. Figura 5.43 Momntos fltors nodais da pont m configuração m lqu. As sguints comparaçõs ntr as configuraçõs m arpa m lqu são ftuadas lvando m conta as rspostas obtidas com o código computacional dsnvolvido. São comparados os dslocamntos vrticais sm com a aplicação do método MAD da configuração m arpa m lqu, bm como os sforços axiais nos cabos nos lmntos do tabuliro,, por fim, os rsultados obtidos dos momntos fltors nodais. A Figura 5.44 mostra os dslocamntos vrticais nodais das duas configuraçõs dos stais (arpa lqu), até o nó 8 d simtria da strutura. O valor zro do ixo das ordnadas rprsnta a configuração d rfrência. Quando s compara os dslocamntos das struturas sob atuação apnas do psopróprio, sm aplicação d forças d protnsão nos cabos, obsrva-s uma difrnça rlativa d 8,5 % maior nos dslocamntos obtidos da configuração m arpa m rlação à configuração m lqu. Os dslocamntos vrticais rsultants da aplicação do método MAD são mais uniforms para a configuração m lqu, principalmnt no vão scundário. No vão principal 124

127 os dslocamntos vrticais das duas configuraçõs dos stais s aproximam bastant [Figura 5.44]. Figura 5.44 Dslocamntos vrticais nodais das ponts com configuraçõs m arpa m lqu. A rspito dos sforços axiais dsnvolvido nos cabos ntr as duas configuraçõs dos stais, os valors são aprsntados na Figura Nota-s qu os cabos xtrnos obtivram uma mnor variação nas forças axiais solicitants. Para a configuração m arpa m rlação à configuração m lqu, a variação da rdistribuição das forças nos cabos sm com o método MAD foram muito maiors [Figura 5.45]. Isto ocorr plo mlor aprovitamnto da rlação força vrtical/força orizontal obtido com a configuração m lqu. Vrifica-s qu, para, aproximadamnt, uma msma configuração dslocada final com o método MAD, a configuração m arpa pod solicitar os cabos m até, aproximadamnt, 2 vzs qu a configuração m lqu como no caso dos cabos C3, C4 [Figura 5.45]. Os cabos da xtrmidad, C1 C6, por aprsntarm a msma inclinação nas duas configuração dos stais, aprsntaram valors próximos das forças nos stais após a aplicação do método MAD [Figura 5.45]. 125

128 Figura 5.45 Forças axiais nos cabos das ponts com configuraçõs m arpa m lqu. As forças nos cabos vão intrfrir dirtamnt na comprssão solicitant dos lmntos do tabuliro [Figura 5.46]. Figura 5.46 Forças axiais nos lmntos do tabuliro das ponts com configuraçõs m arpa m lqu. 126

129 Em s tratando dos momntos fltors obtidos no tabuliro, aprsnta-s na tabla a sguir os valors ants dpois da aplicação do método MAD das configuraçõs dos stais m arpa m lqu. Tabla 5-17 Tabla d momntos fltors nodais dos lmntos finitos do tabuliro. Nó Harpa Sm Prot. Lqu Sm Prot. Harpa Com Prot. Lqu Com Prot. (kn.m) (kn.m) (kn.m) (kn.m) 1,,,, , , , , , , , , , , , , , , , , ,9 4725, , , , , , , , , , ,127 A amplitud dos momntos fltors ants da aplicação do método MAD para a configuração m arpa é d kn.m, nquanto a configuração m lqu é mais rgular com uma amplitud d kn.m. Isto significa qu foi possívl rduzir a amplitud d atuação dos momntos fltors m, aproximadamnt, 2% apnas pla mudança da configuração dos stais, para st xmplo. A amplitud dos momntos fltors no tabuliro, sm aplicação do método MAD, da configuração m lqu s mostra mnos disprsa m rlação à configuração m arpa. Entrtanto, a amplitud final obtida no tabuliro para as duas configuraçõs dos cabos foram as msmas, isto é, 4764 kn.m. A difrnça ncontra-s no vão scundário, ond a distribuição dos momntos fltors da configuração m arpa aprsntou-s mais irrgular. No vão scundário a amplitud da configuração m arpa foi d 21151,513 kn.m, nquanto para a configuração m lqu sta amplitud foi 7781,219 kn.m, um valor 63% infrior à configuração m arpa. A Figura 5.47 mostra os valors dos momntos fltors nodais dos tabuliros das duas ponts staiadas. É possívl notar qu a rdução da pont m arpa foi mais significativa qu a pont m lqu, no ntanto as solicitaçõs nos lmntos do tabuliro nos cabos mostraram-s significativamnt maiors qu na configuração m lqu [Figura 5.45 Figura 5.46]. 127

130 Figura 5.47 Momntos fltors nodais da pont m configuração m arpa configuração m lqu. A Figura 5.48, a sguir, compara os momntos fltors obtidos com o método MAD, com os momntos fltors qu sriam obtidos caso o tabuliro s comportass como uma viga contínua, isto é, caso os cabos funcionassm como apoios fixos, não lásticos. Figura 5.48 Momntos fltors nodais da pont m configuração m arpa, configuração m lqu do tabuliro contínuo. 128

131 Os momntos fltors máximos mínimos ncontram-s próximos nas três análiss (configuração m arpa, lqu tabuliro com apoios fixos), assim como os momntos do vão principal (nó 4 ao 12). A maior difrnça dos rsultados ncontra-s no vão scundário (nós 1 ao 4, ou nós 12 ao 15). Isto porqu os nós scolidos para vrificação da convrgência do método ncontram-s no vão principal, tndo sus dslocamntos vrticais muito próximos a zro, condição qu ocorr com o apoio fixo do tabuliro contínuo. Para o vão scundário não á a anulação dos dslocamntos vrticais, por isso a maior difrnça ntr os momntos fltors qu ocorrm no vão scundário [Figura 5.44] ANÁLISE MODAL A pont com configuração m lqu não foi analisada no trabalo publicado por Wang, Lin Tang (22), caso citado antriormnt. Por isso, srá ralizada a anális ntr as frquências naturais obtidas com a anális d vibração livr, vibração sob tnsão inicial sm com aplicação do método MAD utilizando apnas os rsultados obtidos com o código computacional dsnvolvido. Para as análiss, são utilizadas as matrizs d massa consistnt. Em sguida, os rsultados obtidos são comparados com a pont staiada com configuração m arpa a título comparativo, para vrificar a influência da configuração dos cabos frnt às frquências naturais xtraídas. As análiss modais obtivram 58 modos d vibração suas frquências corrspondnts, mas srão aprsntadas apnas as 12 primiras para mantr um padrão das análiss ftuadas (itns ). A anális a sguir mostra a variação das frquências naturais xtraídas com o código computacional dsnvolvido m rlação às análiss d vibração livr, vibração sob tnsõs iniciais, vibraçõs sob tnsõs iniciais aplicando o método MAD [Figura 5.49]. O gráfico da Figura 5.5 mostra a rdução prcntual das frquências m rlação à rsposta da anális d vibração livr. Não ouv uma variação significativa nas primiras frquências, s comparado à pont m configuração m arpa (difrnças prcntuais rlativas 2 vzs maiors qu as obtidas na configuração m lqu). Entrtanto, nota-s uma maior variação nas frquências a partir d 1,6 Hz qu as obsrvadas na configuração m arpa. 129

132 Figura Comparação ntr as análiss utilizando a matriz d massa consistnt da pont com configuração dos cabos m lqu. Figura Difrnça prcntual m rlação a anális d vibração livr utilizando a matriz d massa consistnt. Para sta configuração dos cabos, as solicitaçõs axiais nos lmntos do tabuliro são significativamnt mais baixas qu as obtidas com a configuração m arpa. Isto xplica a pouca variação obtida nas frquências mais baixas, pois a variação passa a sr mais 13

133 rprsntativa quando a solicitação dos lmntos vai s aproximando das cargas críticas do lmnto strutural. Para as frquências ond á vibração dos pilars, stas sofrram maior rdução d sua frquência natural na configuração m lqu m comparação à configuração m arpa. Isto porqu, para a configuração m lqu, todo o pilar ncontra-s sob altas solicitaçõs, dvido a ancoragm dos cabos m su topo. Então, o pilar, ao longo d toda sua altura d 6 mtros, ncontra-s sob alta solicitação, nquanto o tabuliro ncontra-s solicitado axialmnt por uma comprssão d valors, rlativamnt, baixos. A configuração m arpa possui um aumnto gradual das solicitaçõs axiais na torr, ond mnos lmntos ncontram-s sob altas valors d forças d comprssão m comparação à configuração m lqu. A sguir é ralizada comparação ntr as análiss d vibração livr, anális sob tnsõs iniciais sm com aplicação do método MAD ntr as configuraçõs m arpa m lqu [Figura 5.51, Figura 5.52, Figura 5.54, Figura 5.55, Figura 5.56, Figura 5.57, Figura 5.58]. Figura Comparação ntr as frquências naturais da anális d vibração livr das configuraçõs m arpa m lqu. 131

134 As maiors difrnças prcntuais rlativas são ncontradas nas primiras frquências naturais, rfrnts à vibração do tabuliro [Figura 5.52]. Nota-s qu as frquências naturais da configuração m lqu são mais altas qu as obtidas pla configuração m arpa, ntrtanto, a partir da 8ª frquência natural ssa tndência invrt. A fixação d divrsos cabos m um único nó (configuração m lqu) parc rduzir a rigidz do pilar, pois possui mnos contravntamnto ao longo dl m comparação à configuração m arpa, bm como mais lmntos submtidos a altas forças d comprssão. Figura Difrnça Prcntual Rlativa ntr os rsultados da anális d vibração livr obtidos com configuração m lqu m rlação à configuração m arpa. O lmnto finito qu rprsnta o cabo podr sr substituído por um apoio lástico d rigidz quivalnt à do cabo nas coordnadas globais. Est apoio lástico quivalnt ao cabo trá uma rigidz vrtical maior quanto maior for o ângulo ntr o tabuliro o cabo. Já para a torr, além do contravntamnto forncido plo maior númro d apoios lásticos ao longo dla, a pont com configuração m arpa ainda fornc uma rigidz orizontal maior. Pois, quanto mnor o ângulo ntr o tabuliro o cabo, mais favorcido é a componnt orizontal da rigidz do cabo [Figura 5.53]. 132

135 Figura Rigidz do cabo transformadas m rigidz orizontal vrtical. Para a anális sob tnsõs iniciais, sguiu a tndência ond a pont m lqu possui frquências mais altas para a vibração do tabuliro, nquanto a configuração m arpa é mais rígida para vibraçõs da torr [Figura 5.54]. Figura Comparação ntr as frquências naturais da anális d vibração sob tnsõs iniciais das configuraçõs m arpa m lqu. As difrnças prcntuais rlativas ntr a configuração m lqu m arpa aumntaram para as primiras frquências para a anális sob tnsõs iniciais. Houv um aumnto da difrnça ntr as frquências obtidas com as configuraçõs dos cabos d 15% da anális d vibração livr, para 2% para anális vibração sob tnsõs iniciais da primira frquência [Figura 5.52 Figura 5.55]. 133

136 A sgunda frquência tm uma difrnça rlativa prcntual d, aproximadamnt, 54% ntr os dois arranjos struturais dos stais, subiu quas para 6% na anális sob tnsõs iniciais. A trcira frquência a difrnça ra m torno d 55% na anális d vibração livr, subindo para, aproximadamnt, 59% na anális sob tnsõs iniciais. A partir da trcira frquência, as difrnças prcntuais rlativas ntr as configuraçõs prmancm constants, msmo com a mudança do tipo d anális considrada. Volta a surgir alguma altração nas 8ª 9ª frquência natural, porém mnos significativa qu as difrnças obtidas nas três primiras frquências [Figura 5.55]. Figura Difrnça Prcntual Rlativa ntr os rsultados da anális d vibração sob tnsõs iniciais obtidos com configuração m lqu m rlação à configuração m arpa. A msma tndência é obsrvada nos rsultados com aplicação do método MAD [Figura 5.56, Figura 5.57], não sndo significativa a difrnça obtida ntr as análiss sob tnsõs iniciais com sm aplicação do método MAD 134

137 Figura Comparação ntr as frquências naturais da anális d vibração sob tnsõs iniciais com aplicação do método MAD das configuraçõs m arpa m lqu. Figura Difrnça Prcntual Rlativa ntr os rsultados da anális d vibração livr com aplicação do método MAD obtidos com configuração m lqu m rlação à configuração m arpa. As três análiss podm sr mlor vrificadas na Figura 5.58, ond são aprsntadas m conjunto. A maior difrnça prcntual rlativa ntr as configuraçõs dos cabos são obsrvadas nas primiras frquências. É, também, nas primiras frquências ond uma anális lvando m conta os sforços axiais nos lmntos mostra-s mais rlvant. 135

138 Figura Difrnça Prcntual Rlativa ntr todas as análiss ntr a configuração m lqu m rlação à configuração m arpa. 136

139 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÃO O objtivo principal do trabalo foi o dsnvolvimnto d um código computacional d simpls utilização para o usuário, dotado d intrfac gráfica, qu ralizass a anális stática, a anális modal da strutura. A anális stática dtrmina as solicitaçõs dvido ao pso-próprio da strutura. A anális stática pod sr ralizada por mio d solução dirta linar, ou não linar plo procsso incrmntal-itrativo d Nwton-Rapson com considração das não linaridads do fito da catnária, d viga-coluna. A scola da opção não linar abr ao usuário do código computacional a possibilidad d scola ntr aplicar, ou não, o método MAD Como aprsntado plos xmplos d validação, as análiss não linars com sm aplicação do método MAD obtv rsultados cornts m rlação aos xmplos ncontrados dscritos da litratura. Em rlação à anális modal, o capítulo 1 dscrv várias aplicaçõs do concimnto das frquências naturais modos d vibração da strutura. A anális modal implmntada possui as opçõs d matriz d massa concntrada, consistnt para obtr as frquências naturais modos vibracionais. 6.1 VALIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL Os rsultados obtidos do xmplo 1 mostram a validad da toria não linar mprgada, obtndo-s rspostas próximas a divrsos trabalos ncontrados na litratura. A variação nos valors d carga crítica obtida foram baixos. A maior difrnça foi m rlação ao programa ACADFRAME, qu utiliza uma toria não linar mais ampla, qu lva m 137

140 considração as não linaridads d grands dslocamntos, sndo mais snsívl à prturbação orizontal. Em rlação à anális modal, as frquências obtidas com o código computacional dsnvolvido, tanto com o mprgo da matriz d massa concntrada quanto com a matriz d massa consistnt, foram smlants às obtidas plo ANSYS para as duas análiss propostas (vibração livr vibraçõs sob tnsõs iniciais). O xmplo 1 foi útil para calibração das tapas mais básicas das análiss, isto é, a validação da toria não linar aplicada, a validação da obtnção das caractrísticas modais do sistma sob o aspcto das duas torias aprsntadas nos itns 4.1.3, Os xmplos 2, 3 4 validaram o método da anulação dos dslocamntos, MAD, implmntado ao código por mio d comparação dos rsultados com os obtidos plos autors do método. A difrnça ntr as rspostas obtidas plo código dsnvolvido o trabalo dos autors pod sr xplicada pla não linaridad d grands dslocamntos qu não foi mprgada no prsnt trabalo. Essas difrnças não foram rlvants para os xmplos aprsntados, mas não s pod concluir qu a não linaridad d grands dslocamntos dva sr xcluída da anális d ponts staiadas, pois é possívl qu, com o aumnto dos vãos, a não linaridad d grands dslocamntos s torn mais significativa. 6.2 ANÁLISE ESTRUTURAL Foi possívl notar as difrnças ntr ralizar uma anális d vibraçõs livrs, ou uma anális d vibraçõs sob tnsõs iniciais. Ponts staiadas são struturas qu possum uma alta solicitação axial, msmo qu apnas sob ação do pso-próprio da strutura, ao msmo tmpo m qu são muito flxívis. Por isso, é prfrívl qu as frquências naturais sjam obtidas por mio da anális utilizando a matriz tangnt obtida da tapa stática não linar. O método MAD é capaz d produzir uma strutura mais conômica, pois xist a rdução dos momntos fltors no tabuliro, sm qu a rigidz global da strutura sja aftada significativamnt. Isto pod sr vrificado pla anális sob tnsõs iniciais, qu ouv uma variação pquna ntr as frquências obtidas sm com aplicação do método MAD Ao s analisar os valors obtidos com a anális sob tnsõs iniciais sm aplicação do método MAD, as rspostas d frquências naturais foram muito próximas das obtidas com a 138

141 aplicação do método. Assim, a stimativa das frquências naturais com as forças d protnsão nos cabos pod sr ralizada pla anális sob tnsõs iniciais sm aplicação do método MAD Isto por qu foi obsrvado pouca variação nos xmplos studados ntr as frquências obtidas sm com aplicação do método. Entrtanto, para vãos númros d cabos mais significativos, dv-s avriguar a influência das novas forças d protnsão obtidas com o método MAD na anális d vibraçõs sob tnsõs iniciais. A rspito da configuração dos stais, foi aprsntado os bnfícios da configuração m lqu m rlação à configuração m arpa. A configuração m lqu aprsntou forças solicitants mnors no cabo, consquntmnt no tabuliro para obtr a msma configuração d rfrência. A configuração m lqu aprsntou mlor distribuição d momntos fltors no vão scundário da pont. No vão principal da pont, local ond foi aplicado o critério d parada dos dslocamntos vrticais, a distribuição dos momntos fltors da configuração m arpa m lqu foram smlants. A anális modal da configuração m lqu obtv rduçõs nos valors das frquências naturais infriors ao da pont staiada m arpa, principalmnt para as primiras frquências naturais. A pont m arpa possui frquências naturais mais altas para as vibraçõs rlacionadas ao movimnto da torr. As solicitaçõs axiais intrfriram principalmnt nas primiras frquências naturais, não mostrando muita intrfrência m frquências mais altas. Caso s stja intrssado m alguma frquência mais alta, a anális d vibração livr pod obtr os rsultados prtndidos. Concluiu-s qu uma configuração m lqu pod rqurr mnor númro d cabos, sçõs mais sbltas do tabuliro, dvido a sua mlor rlação ntr força vrtical/força orizontal obtida com o maior ângulo d inclinação dos cabos m rlação ao tabuliro da pont. No ntanto, a configuração m lqu possui um ponto fraco qu é a xcução da ancoragm dos cabos. Na prática, a xcução d uma pont m lqu é bastant complicada dvido ao grand númros d cabos ancorando m um msmo ponto, grando grands tnsõs localizadas. Portanto, a configuração m lqu dv sr prtrida, sndo substituída por uma configuração m smi-arpa. 139

142 6.3 PROPOSTAS DE DESENVOLVIMENTO Durant o dsnvolvimnto do trabalo, ouv intrss m adicionar divrsas análiss ao studo, não sndo possívl dvido ao curto príodo forncido para conclusão do trabalo. Esta sção tm por objtivo aprsntar sugstõs d dsnvolvimnto d novos trabalos no qu tangm a tmática abordada a fim d tornar o código dsnvolvido mais abrangnt. Implmntação da aplicação do método MAD lvando m considração as tapas construtivas d uma pont staiada convncional. Para isso, dv-s lvar a rtração a fluência dos matriais m qustão. Implmntação d modlos constitutivos d matriais para vrificar a influência da não linaridad física no comportamnto da strutura. Anális dinâmica com intgrador tmporal d Nwmark ou difrnças finitas, lvando m considração o movimnto d uma ou várias cargas móvis concntradas sm massa rigidz, para simular o trm-tipo andando sob uma vlocidad constant. Postriormnt, implmntando-s um comportamnto dinâmico não linar com a modlagm do trm-tipo com massa rigidz dfinidas influnciando a matriz d rigidz massa da strutura a cada instant d tmpo t. Estudo do gano, m trmos d custo, da aplicação do método MAD para struturas staiadas. Implmntação ao código computacional d métodos d dtcção d danos à strutura, como o MAC, /ou COMACS, por xmplo. Implmntação d lmntos finitos d cabos ao código computacional, vrificação das difrnças obtidas ntr as rspostas ncontradas com o módulo d lasticidad d Discingr dst prsnt trabalo. O dsnvolvimnto dsts novos studos, d forma gradual, irá aumntar a aplicabilidad do programa, bm como simplificará dsnvolvimntos futuros qu o código computacional possa vir a tr. 14

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146

147 APÊNDICE A MANUAL DE UTILIZAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL DESENVOLVIDO O manual tm por objtivo capacitar o usuário para utilização do código computacional dsnvolvido. O código dsnvolvido raliza análiss státicas, linars não linars, m pqunos dslocamntos,, também, a obtnção d parâmtros modais da strutura por mio d anális modal numérica. São aprsntadas as tapas d ntrada d dados, procssamnto, pós-procssamnto. O código foi dsnvolvido part m MATLAB, part m FORTRAN. A intrfac gráfica (GUI Grapical Usr Intrfac), rsponsávl pla itração com o usuário, foi dsnvolvida m MATLAB. A intrfac gráfica é rsponsávl pla aquisição dos dados da strutura, d sua visualização tanto no pré, como no pós-procssamnto. O procssamnto é fito m FORTRAN para as análiss státicas (linars não linars), m MATLAB para obtnção das caractrísticas modais da strutura (frquências naturais modos d vibração). A strutura do funcionamnto do programa stá rprsntada no fluxograma da Figura A.1. A anális modal da strutura só pod sr ralizada após a ralização da anális stática da strutura, pois a matriz d rigidz utilizada para obtnção dos parâmtros modais dpnd do tipo d anális ralizada prviamnt. Como a anális modal stá associada à anális stática ralizada antriormnt, é a anális stática qu vai forncr a matriz d rigidz para solução da anális modal. Isto é, ao s ralizar uma anális stática linar, a matriz d rigidz qu srá forncida ao código computacional dsnvolvido é a matriz K L. Portanto, a anális modal utiliza a matriz d rigidz linar, ralizando uma anális d vibração livr não amortcida da strutura (itm 4.1.3). As análiss não linars, tanto sm pontos d control, quanto com pontos d control (MAD), fornc à anális modal a matriz d rigidz tangnt, K T. Para a matriz d rigidz tangnt, a anális modal qu s mprga é a anális d vibraçõs sob tnsõs iniciais (itm 4.1.4). A solução do sistma d quaçõs não linars ncontra-s dtalado no itm 4.5,, m rsumo, no fluxograma da Figura

148 Figura A.1 - Fluxograma do código computacional dsnvolvido. A anális modal, por sua vz, stá dividida m rlação à matriz d massa qu o usuário dsja mprgar, sja a matriz d massa concntrada, ou matriz d massa consistnt, obtidas no itm A sguir, as tapas ncssárias para utilização do código computacional dsnvolvido são aprsntadas. 146

149 ENTRADA DE DADOS A intrfac d ntrada d dados é constituída d uma tla principal, ond xistm botõs supriors rlacionados a criação d um novo arquivo d projto, salvar o arquivo atual, insrir propridads das sçõs dos lmntos d viga-coluna, propridads dos lmntos d cabo, propridads dos matriais, anális stática, anális modal [Figura A.2]. Figura A.2 - Mnu suprior. A tla inicial do programa possui caixas d txto para insrir o nom do projto, os dados d númro d nós, númros d lmntos d cabos númro d lmntos d vigacoluna são insridos. Figura A.3 - Caixas d txto ditávis. Na tla principal xistm 3 tablas dinâmicas qu s rfrm a montagm da gomtria da strutura. A primira tabla é a ntrada das coordnadas cartsianas, m mtros, dos nós dos lmntos finitos. A sgunda tabla s rfr aos lmntos finitos d viga-coluna, ond dvm sr insridos os númros dos lmntos, as conctividads, númros da sção, númro do matrial s a sção rprsnta uma viga, ou coluna. A trcira tabla s rfr aos lmntos d cabos. Esta tabla só stará visívl s o númro d cabos insrido na caixa d txto for difrnt d zro. Nsta tabla dvrão sr insridos a conctividad dos cabos, o númro da propridad associado ao lmnto. 147

150 Figura A.4 - Tablas dinâmicas para gração da gomtria da strutura. Os dados d propridads das sçõs, matriais, propridad dos cabos dvrão sr insridos ao abrir os mnus mncionados na Figura A.2. Esss mnus stão rprsntados a sguir pla Figura A.5. No mnu dos matriais, dvrão sr insridos quantos matriais difrnts stão associados aos lmntos d viga-coluna, o su númro (na primira coluna da tabla), o módulo d lasticidad m MPa, a massa spcífica do matrial m tonlada/mtro cúbico. No mnu das propridads dos cabos, dvrá prncr a caixa d txto com o númro d propridad d cabos difrnts xistnt na strutura. A tabla com o númro da propridad, o módulo d lasticidad (MPa), a ára do cabo (m²), a massa spcífica (t/m³) a tnsão d ruptura do cabo (MPa). No mnu das propridads da sção dos lmntos d viga-coluna a caixa d txto dvrá sr prncida com o númro d sçõs difrnts xistnts. Na tabla o númro da sção, a ára (m²) a inércia da sção (cm 4 ). 148

151 Figura A.5 - Mnus das propridads dos matriais, cabos sçõs. Na tla principal do código dsnvolvido á na part infrior squrda a ntrada d dado das condiçõs d contorno da strutura. O númro d nós rstritos srá insrido na caixa d txto. Essa caixa d txto stá associada à tabla dinâmica adjacnt, ond dvrá sr prncido o númro dos nós rstritos, prncndo a tabla com 1 caso tna rstrição na coordnada indicada, ou caso a coordnada sja livr [Figura A.6]. Figura A.6 - Condiçõs d contorno. 149

152 O carrgamnto uniformmnt distribuído é calculado automaticamnt por mio dos dados insridos d massa spcífica ára da sção. Intrnamnt, a aclração dfault da gravidad utilizada plo é g=9,87 m/s². Caso quira-s adicionar algum carrgamnto uniform além do pso-próprio dos lmntos struturais, isto dvrá sr fito por mio da altração da massa spcífica, dvndo-s calcular propriamnt a massa spcífica corrspondnt ao novo carrgamnto uniformmnt distribuído. Exist a possibilidad da atuação d cargas concntradas. Para isto, xist um cckbox qu dvrá sr ativado. Ao ativar o cck-box rfrnt à prsnça d cargas concntradas, uma caixa d txto uma tabla dinâmica irão aparcr. A caixa d txto dvrá sr prncida com o númro d nós com carrgas concntradas. A tabla dinâmica possui uma coluna para prncr o númro do nó, os valors dos carrgamntos pontuais m kn nas coordnadas x y globais [Figura A.7]. Figura A.7 - Tabla dos carrgamntos concntrados xistnts. A aba do mnu camada d Girdr displacmnt control, ncontra-s, inicialmnt, inativa. Caso a anális não linar com os pontos d control d dslocamnto sja prtndida plo usuário, a possibilidad d controlar dslocamntos m pontos d control só é possívl com xistência d lmntos d cabo, pois são sss qu srão rsponsávis por combatr os dslocamntos vrticais. Para ativar o mnu, o númro insrido na caixa d txto rfrnt ao númro d lmntos d cabo dvrá sr difrnt d zro. Entrando-s no mnu Girdr Displacmnt Control, mostrado pla Figura A.8, o usuário irá ncontrar uma caixa d txto ond dvrá sr insrida o númro d pontos d control da viga. Os pontos d control são, gralmnt, pontos ond os cabos s intrsctam com a viga. 15

153 Em sguida, a tabla dinâmica dvrá sr prncida com o nó qu srá fito o control, bm como o dslocamnto vrtical prtndido para o nó. A tolrância prtndida pla itração d forma, qu já usa como padrão do código a tolrância d 1-4, qu pod sr altrado plo usuário. O tamano do vão principal dvrá sr insrido conform mostrado pla quação (4.9). Figura A.8 - Mnu para ntrada d dados do Método da Anulação dos Dslocamntos. São criados, para cada tapa citada, um arquivo d informaçõs tmporário d xtnsão.mat. São ls coordinats.mat, ond os dados das coordnadas dos nós são armaznados; scos.mat, com os dados das sçõs xistnts dos lmntos d viga-coluna; cabls.mat, ond é scrito as propridads dos cabos; matrials.mat, ond as caractrísticas físicas dos matriais dos lmntos d viga-coluna são scritos; cabllmnt.mat bamlmnt.mat, ond os dados insridos d conctividad, tipo d sção, númro dos lmntos são scritos; supportconditions.mat, ond os dados d condiçõs d contorno são scritos; controlnods.mat, caso tna sido prncido os dados do mnu da Figura A.8; conloads.mat, caso aja cargas concntradas. Após insridos todos os dados d gomtria matriais da strutura, é possívl vrificar s a gomtria ntrada stá corrta, plo botão posicionado na part infrior da tla principal do programa ( Visualiz Structur ). 151

154 SALVAR E ABRIR ARQUIVOS Ao salvar um arquivo, são criados 2 arquivos.mat, um com o nom do projto insrido plo usuário, o sgundo com o nom do projto insrido plo usuário sguido d Data. Por xmplo, ao salvar um projto intitulado Exmplo, são criados Exmplo.mat ExmploData.mat. O arquivo sm a trminação Data salva os dados da tla principal do programa, nquanto os dados dos matriais, qu são insridos via botõs do mnu suprior, são salvos no arquivo d trminação Data. Para carrgar um projto salvo antriormnt, o usuário dvrá clicar na aba mnu, m sguida Opn Projct Figura A.9]. Com isso, uma nova caixa d txto srá abrta na tla principal do programa, com 2 botõs ao lado, um para carrgar, o outro para canclar [Figura A.1]. O nom do arquivo dvrá sr scrito da msma forma como foi salvo. Não é prciso salvar o arquivo com a xtnsão, o código gra automaticamnt a xtnsão. Para carrgar o arquivo também não é prciso adicionar a xtnsão. Figura A.9 - Abrir um projto xistnt. Figura A.1 - Abrir um arquivo. Ao insrir o nom do arquivo dsjado, o programa busca dntro da pasta do programa os arquivos corrspondnts. Caso sja ncontrado, o código lê os dados salvos da strutura carrga. Caso não sja ncontrado o arquivo com o nom spcificado, é dado um aviso d rro ao usuário [Figura A.11]. 152

155 Figura A.11 - Erro d arquivo não ncontrado. PROCESSAMENTO DOS DADOS A intrfac conta com dois botõs na part suprior da tla principal rfrnt ao procssamnto da anális stática da strutura, da anális modal rspctivamnt, mostrados na Figura A.12. Figura A.12 - Os botõs rfrnts às análiss ralizadas plo código computacional. Ao abrir o mnu da anális stática da strutura, xist uma caixa d txto ond dvrá constar o nom dsjado para o arquivo d saída. É possívl scolr o tipo d anális (linar, não linar, não linar com os pontos d control). Caso sja slcionada as análiss não linar ou não linar com pontos d control, a part infrior do mnu dvrá sr dvidamnt prncida com os valors d númro d passos d carga, tolrância d convrgência do procsso d Nwton-Rapson [Figura A.13]. O usuário dv atntar qu o critério d convrgência é calculado plo módulo do vtor d dsbalancamnto, como mostrado na quação (4.8). Nst mnu, ainda é possívl dtrminar o fator d scala dos dslocamntos, o númro d divisõs intrnas para cada lmnto finito. Est númro d divisõs intrnas não corrspond a um rmalamnto dos lmntos finitos, apnas um artifício para o cálculo d um maior númro d valors d sforços intrnos. 153

156 Figura A.13 - Mnu para slção da anális stática prtndida. Postrior à anális stática, é possívl ralizar a anális modal da strutura com bas nos lmntos finitos. Caso a anális stática ralizada tna sido a linar, o problma d auto-valors auto-votrs qu srá rsolvido pla anális modal srá o problma abordado plo itm Entrtanto, para o caso das análiss státicas não linars, o problma qu srá solucionado srá o problma do itm 4.1.4, com a matriz d rigidz tangnt calculada ao final do procsso itrativo. O mnu da anális modal [Figura A.14] prmit o usuário scolr o númro d modos qu dsja visualizar. Caso o tamano da strutura sja muito grand, a visualização dos modos d vibração pod sr amplificada por mio da caixa d txto rfrnt ao fator d scala. O mnu d anális modal prmit ao usuário scolr qual a formulação qu dsja adotar para obtnção da matriz d massa, isto é, matriz d massa concntrada, ou matriz d massa consistnt, sgundo a formulaçõs aprsntadas no itm

157 Figura A.14 - Mnu d anális modal da strutura. PÓS-PROCESSAMENTO Est itm srá dividido m dois subitns rfrnts ao pós-procssamnto da anális stática, o sgundo para pós-procssamnto da anális modal. O pós-procssamnto do código computacional cria arquivos d txto para cada uma das análiss, salvando-os m pastas corrspondnts à anális. Os arquivos d saída são salvos dntro d uma pasta camada Output. Dntro da pasta Output xist duas pastas d saída d dados ond uma cama-s Static, ond os arquivos grados d análiss státicas d todas as struturas srão salvos, a pasta dos arquivos d anális modal srão salvos dntro da pasta Modal. PÓS-PROCESSAMENTO - ANÁLISE ESTÁTICA A anális stática é ralizada por mio do mnu da Figura A.13. A visualização das rspostas como dslocamntos, sforços intrnos grada após sr clicado o botão Analyz Structur. O cliqu nst botão raliza o cálculo da strutura, m sguida uma tla com a dslocada da strutura é mostrada, mas sm valors d dslocamntos, apnas a sua 155

158 configuração dslocada [Figura A.15]. A lina prta tracjada rprsnta a configuração indslocada da strutura, nquanto as linas cias é a posição da strutura após a aplicação dos sforços xtrnos. Figura A.15 Visualização da configuração dslocada (fator d scala = 1) d uma viga biapoiada. A aba Analysis mnu s torna ativa, prmitindo ao usuário a scola da visualização d dslocamntos (dslocamnto na dirção X, dslocamnto na dirção Y, ou o dslocamnto total), forças intrnas (sforço normal, sforço cortant, ou momnto fltor). Caso a anális com pontos d control tna sido slcionada, á um submnu Sap Itration qu s torna ativo. A visualização dos rsultados s dá por barras com gradints d cors, qu rprsntam a rsposta slcionada plo usuário (dslocamntos ou sforços intrnos) Figura A.16]. Os rsultados dos dslocamntos são xatos nos nós da strutura. Por isso, os valors dos nós são plotados na imagm do pós-procssamnto, já a rsposta dos dslocamntos intrnas ao lmnto finito são aproximadas d acordo com as quaçõs (3.13) para os dslocamntos axiais, (3.17) para os dslocamntos transvrsais. 156

159 Figura A.16 Visualização dos dslocamntos vrticais nos nós d uma viga biapoiada. Para visualização dos sforços intrnos, são mostrados os valors nodais d cada lmnto finito. Para os momntos fltors, além dos momntos fltors nos nós, é visualizado o momnto máximo mínimo d cada lmnto finito, bm como a posição local do momnto máxmio mínimo do lmnto finito [Figura A.17]. Figura A.17 - Visualização dos momntos fltors d uma viga biapoiada. 157

160 O submnu Sap Itration prmit obtr gráficos d dslocamntos orizontais, vrticais, forças axiais, momntos fltors, sforço cortant, d dtrminados nós da strutura ao longo do procsso itrativo d obtnção da configuração d rfrência [Figura A.18]. Est submnu possui um grupo d botõs ond o usuário scol a rsposta qu dsja obtr o gráfico (dslocamntos, ou forças intrnas) ond o ixo das abscissas é a itração d forma, o ixo das ordnadas é a rsposta prtndida plo usuário [Figura A.19]. Figura A.18 - Mnu d rspostas ao longo da itração d forma. As rspostas d forças intrnas dvm sr associadas a lmntos do tipo viga-coluna (1), ou cabo (2), pois o nó pod sr concorrnt aos dois tipos d lmntos. Já para as rspostas m dslocamnto, não importa o lmnto associado. A tabla dinâmica dv sr prncida com o númro do lmnto finito, o númro do nó o númro rfrnt ao tipo d lmnto. O númro d dados a sr plotados dvrá sr 158

161 prncido na caixa d txto acima da tabla dinâmica, num máximo d 21 dados possívis pla limitação da gração automática da lgnda. Figura A.19 - Exmplo d visualização dos dslocamntos orizontais dos nós a cada itração d forma. É possívl visualizar as rspostas via arquivo d txto grado automaticamnt. Cada anális stática (linar, não linar, não linar com os pontos d control) cria dntro da posta Static um arquivo d txto m formato.txt. O nom do arquivo d saída srá dado plo usuário, plo tipo d anális ralizada. A primira part do nom do arquivo é ntrado plo usuário na caixa d txto do mnu Analysis option mostrado na Figura A.13 (sm a xtnsão d saída). A sgunda part do nom do arquivo é dado plo tipo d anális scolida. As trminaçõs são - Linar.txt, - Non-linar.txt, - Non-linar CtrPoints. As unidads d saída são mtro kn. O arquivo d saída da anális linar é o mais simpls. Nl ncontram-s dados grais, como nom do arquivo, númro d lmntos d viga-coluna, númro d lmntos d cabos, númro d graus d librdad, as rspostas da strutura obtidas, como dslocamntos, raçõs, sforços intrnos [Figura A.2]. 159

162 Figura A.2 - Arquivo d saída d anális stática linar. Os dslocamntos raçõs são dados com rfrência nos nós. Já os sforços intrnos são dados para cada lmnto finito, ond os sufixos i, f dnotam nó inicial do lmnto, nó final do lmnto. O arquivo d saída da anális stática não linar possui dados d saída como o tmpo gasto pla anális, o númro d incrmntos d carga solicitado plo usuário, a tolrância adotada. O bloco das rspostas é idêntico ao da anális linar, com os dslocamntos obtidos, as raçõs, sforços intrnos. Entrtanto, ao final do arquivo xist a saída da anális itrativa, com dados d númro d itração, númro d itração acumulada, o rro (ε a ) ao final do ciclo d quilíbrio d cada passo d carga. 16

163 Figura A.21 - Arquivo d saída da anális stática não linar. Por último, o arquivo d saída da anális não linar com pontos d control (MAD) possui no campo inicial o númro d itraçõs d forma [Figura A.22] ralizadas para obtr a convrgência da anális. O bloco das rspostas da strutura (dslocamntos sforços intrnos) são os valors obtidos ao final do procsso d convrgência. Portanto a rsposta final da strutura m quilíbrio ond os pontos d control scolidos possum dslocamntos vrticais mnors qu a tolrância stablcida. A part final do arquivo [Figura A.23] ncontra-s a convrgência dos procssos itrativos, mostrando, para cada itração d forma, os númros d itração obtidos para o quilíbrio da strutura m cada passo d carga, o númro d itraçõs acumuladas, o rro aproximado (ε a ). 161

164 Figura A.22 - Campo inicial do arquivo da anális com pontos d control. Figura A.23 - Campo final do arquivo contndo as informaçõs rfrnts à convrgência da itração d forma. 162

165 PÓS-PROCESSAMENTO - ANÁLISE MODAL A saída visual da anális modal é mais simpls, visto qu só á dois tipos d anális (matriz d massa concntrada ou consistnt). No mnu da anális modal o usuário dv colocar o númro d modos d vibração qu intrssam sr visualizados. Caso sja insrido um númro d modos maior qu os xtraídos da strutura, só srão mostrados os modos xtraídos. Ao clicar no botão Prform Modal Analysis, srá mostrado ao usuário as animaçõs do modo d vibração rfrnt à frquência obsrvada [Figura A.24]. É possívl o usuário adiantar para animação sguint do modo d vibração plo cliqu do botão do mous, para rtornar para um modo d vibração antrior dv-s clicar m qualqur botão do tclado. O gráfico criado pla animação mostra os lmntos finitos m azul, os nós como marcadors vrds. O título informa qual a matriz d massa utilizada para a anális, na part infrior da animação ncontra-s o númro da frquência obsrvada su valor m Hz. Figura A.24 - Animação do 2º modo d vibração d uma viga biapoiada. 163

166 A tla d animaçõs srá finalizada quando o usuário clicar no mous no último modo vibracional insrido na caixa d txto do mnu d anális modal. Isto é, caso o númro d modos prtndidos plo usuário sja 2, ao tntar prossguir para o modo 3 por mio do cliqu do mous, as animaçõs são finalizadas. Caso o usuário stja visualizando o primiro modo d vibração tnt rtornar para o modo d vibração zro, por mio do tclado, uma mnsagm d rro srá xibida, informando qu não á modos antriors [Figura A.25]. Figura A.25 - Mnsagm d rro ao tntar acssar um modo antrior ao primiro modo d vibração. O arquivo d saída srá salvo dntro da pasta Modal. O nom do arquivo d saída possui 3 parts. A primira part do título arquivo é o nom insrido plo usuário no mnu Analysis Option [Figura A.13]. A sgunda part s rfr a anális stática ralizada prviamnt à anális modal, a part final do nom do arquivo rfr-s a matriz d massa utilizada para obtnção das frquências naturais. O arquivo d saída das análiss modais (matriz d massa concntrada, ou matriz d massa consistnt) são iguais, difrindo apnas no campo Modal Analysis [Figura A.26]. O arquivo possui na part suprior o nom do arquivo, a anális stática ralizada, a matriz d massa utilizada. Em sguida, são mostrados o númro d lmntos viga-coluna, númro d lmntos d cabo, númro d graus d librdad, o númro d modos d vibração xtraídos. A part cntral do arquivo é rsrvada para mostrar as propridads (ára, momnto d inércia, módulo d lasticidad do matrial, massa spcífica) d cada lmnto finito, sndo sparado m blocos d lmntos finitos d viga-coluna lmntos d cabo. A part final do arquivo numra as frquências naturais m ordm crscnt, ond a primira coluna rfr-s ao númro da frquência obtida, a sgunda coluna é o valor da 164