Fundamentos de Matemática I

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1 Trigonometria no triângulo retângulo8 Gil da Costa Marques 8.1 Trigonometria nos primórdios 8. Ângulos no triângulo retângulo: o grau 8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo 8.4 Propriedades dos senos e cossenos: a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos 8.5 Outras razões trigonométricas 8.6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveis Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Trigonometria nos primórdios Por alguma razão, o número 60 tinha um apelo místico para os babilônios. Como resultado, cerca de.000 anos antes da era cristã, já propunham um sistema de numeração cuja base era esse número. Tal sistema tornou-se conhecido como sexagesimal, uma vez que a base escolhida por eles era o número 60, ou seja, nesse sistema qualquer número poderia ser expresso como soma de potências de 60 multiplicadas por constantes adequadas. Os Babilônios propuseram a divisão da circunferência de um círculo em 360 partes iguais, daí resultando a unidade de medida de ângulo conhecida como grau. Dessa forma uma circunferência tem 360. Hiparco (cerca 140 a.c.) recebeu o crédito por ter iniciado a trigonometria, ou melhor, ter introduzido, de forma indireta, o conceito de seno de um ângulo. Hiparco era pesquisador no museu de Alexandria, a primeira instituição científica financiada pelo poder público. Transformou-se num dos maiores astrônomos da antiguidade. Sua principal contribuição à matemática teve a influência da matemática dos babilônios. Credita-se a ele a introdução, nos meios científicos relevantes na época, da medida de ângulo proposta pelos babilônios. Introduziu também a função seno utilizando o número 60. Considerando-se dois pontos (P 1, P ), ambos localizados sobre uma circunferência, é possível construir o segmento de reta determinado por esses dois pontos (veja Figura 8.1). Hiparco definia corda (Crd) como o comprimento desse segmento. Para medi-lo, Hiparco introduzia uma unidade de comprimento que dependia do raio da circunferência. Para isso, dividia o raio da circunferência em 60 partes iguais. Traçando duas semirretas a partir da origem, passando pelos dois pontos, P 1 e P, podemos agora introduzir o ângulo a medindo a inclinação dessas semirretas. Claramente, a corda depende desse ângulo. Temos assim: Figura 8.1: Definição de Corda associada a um ângulo. Crd = Crd( a) 8.1

3 164 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 A corda pode ser, nesse contexto, entendida como função do ângulo a. Adotando essa forma de caracterizar ângulos, ou de medi-los, podemos agora entender como Hiparco introduziu a função seno, como é definida nos dias de hoje. De fato, sua relação com a função comprimento da corda é bem simples: Escrevendo a corda como sendo dada por ( ) a Crd a a Crd a sen = sen R 10 = ( ) 8. Crd( a)= l 8.3 e utilizando o valor do raio, sem efetuar sua divisão em 60 partes, a função seno, definida a partir da função corda em 8., pode ser escrita como: sen a l = R 8.4 A rigor, Hiparco não estava introduzindo a função seno. Ele definia o que denominamos seno de um ângulo. Tal definição é análoga àquela obtida a partir das relações métricas de ângulos agudos num triângulo retângulo. Hiparco gerou uma tabela de cordas. Essa tabela é muito semelhante a uma tabela dos senos, desde que nos atenhamos a ângulos menores do que 180. A fim de determinar a posição dos corpos celestes, Hiparco teve a ideia de fazer a interpolação para gerar algo como a função corda. Ptolomeu publicou, em sua obra O Almagesto, uma tabela de cordas para ângulos variando dentro de intervalos de 0,5. 8. Ângulos no triângulo retângulo: o grau Um triângulo é retângulo quando possui um ângulo reto, isto é, dois de seus lados são perpendiculares. Esses lados são denominados catetos e aquele oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa. 8 Trigonometria no triângulo retângulo

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Para medir os ângulos de um triângulo retângulo utilizamos o grau como unidade de medida. Você lembra? 1 grau é a medida do ângulo central obtido ao dividir uma circunferência em 360 partes iguais. Observamos que, como o ângulo reto tem 90 por medida, os outros dois ângulos de um triângulo retângulo são complementares, ou seja, têm como medida de sua soma 90. Figura 8.: Lados e vértices do triângulo retângulo. No caso de um triângulo retângulo, vale o teorema de Pitágoras, ou seja, vale a relação: a + b = c 8.5 onde c é medida da hipotenusa, a e b são as medidas dos catetos. 8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo Considerando o ângulo A, por exemplo, o lado que é oposto a ele tem o nome de cateto oposto (o lado de medida a ou simplesmente o lado a), enquanto o lado adjacente a ele, e diferente da hipotenusa (o lado de medida b ou lado b), é denominado cateto adjacente a esse ângulo. Observe que, considerando agora o ângulo B, o lado b é o seu cateto oposto enquanto o lado a é o seu cateto adjacente. Figura 8.3: Lados de um triângulo retângulo.

5 166 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 A partir da notação, definimos o seno de um ângulo agudo do triângulo retângulo como sendo o quociente do cateto oposto pela hipotenusa: senθ= cateto oposto hipotenusa Figura 8.4: Seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo. Da definição anterior obtemos, na Figura 8.3: sena = a sen B = b c c 8.6 Podemos também definir o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo como sendo o quociente do cateto adjacente pela hipotenusa: cosθ= cateto adjacente hipotenusa Figura 8.5: Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo. Da definição anterior obtemos, na Figura 8.3: cos A = b cos B = a c c 8.7 Convém observar que num triângulo retângulo só temos como definir senos e cossenos para os ângulos agudos. 8 Trigonometria no triângulo retângulo

6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplos Exemplo 1 A partir do triângulo equilátero ABC de lado l e do quadrado de lado a da Figura 8.6, preencha as lacunas da tabela: Resolução: Observemos a Figura 8.6: Seno Cosseno a. Para o caso do triângulo equilátero ABC, de lado l: Lembrando que, num triângulo equilátero, a altura, bissetriz e mediana, traçadas a partir de um vértice, coincidem, consideremos CH a altura do triângulo equilátero ABC, relativa à base AB; pelo teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retângulo HBC, obtemos que de onde Portanto, temos que: Figura 8.6: O triângulo equilátero ABC e o quadrado DEFG. l h = h 3 ou h l = l = l 4 3 (não convém) l ACB sen30 sen sen 1 = HCB cateto oposto = = = = hipotenusa l

7 168 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 e l 3 ACB cos30 = cos HCB cateto adjacente h = cos = = = hipotenusa l l bem como: l 3 sen60 sen 3 = CBH cateto oposto h = = = = hipotenusa l l e l cos60 cos 1 = CBH cateto adjacente = = = hipotenusa l = 3 b. Para o caso do quadrado DEFG, de lado a: Consideremos DF a diagonal do quadrado; pelo teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retângulo isósceles DEF, obtemos que de onde Portanto, temos que: d d = a + a = a ou d = a (não convém) a a sen45 = cos45 = = = hipotenusa a Completando então a tabela: Seno 1 3 Cosseno 3 1 Convém notar que sen 30 = cos 60 e cos 30 = sen 60 que, alias, é uma propriedade válida para qualquer par de ângulos complementares, isto é sen α = cos (90 α) e e cos α = sen (90 α), como adiante veremos. 8 Trigonometria no triângulo retângulo

8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Propriedades dos senos e cossenos: a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos Uma propriedade notável do cosseno e seno de um ângulo agudo num triângulo retângulo é facilmente derivada a partir do teorema de Pitágoras. De fato, tomando os valores do seno e do cosseno do ângulo agudo A no triângulo retângulo da Figura 8.3, conforme as expressões 8.6 e 8.7, e, em seguida, somando os valores dos seus respectivos quadrados, obtemos: sen a A+ cos A= + c b a = c + b c 8.8 Utilizando o teorema de Pitágoras (8.5), resulta de 8.8 que, para qualquer ângulo agudo num triângulo retângulo, vale a relação: sen θ+ cos θ= A fim de poder estabelecer a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos, que são relações úteis entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer, não necessariamente retângulo, podendo ser acutângulo ou obtusângulo, vamos ampliar o conceito de seno e cosseno de um ângulo. Para tal, introduzimos as seguintes identidades: sen90 = cos90 = sen( 180 x) = sen x 8.1 cos( 180 x) = cos x 8.13

9 170 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Consideremos, em primeiro lugar, a Lei dos Senos a qual estabelece que, num triângulo ABC qualquer, vale a seguinte relação: a b c r sen = A sen B = senc = onde a, b, c indicam as medidas dos lados opostos aos ângulos de vértices A, B, C, respectivamente e r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. Figura 8.7: Triângulo ABC qualquer, inscrito numa circunferência de raio r. Considerando um triângulo ABC qualquer, inscrito numa circunferência de raio r, a partir do vértice B podemos encontrar, na circunferência, um ponto diametralmente oposto D; ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C, pois o ângulo BCD é inscrito numa semicircunferência. Os ângulos de vértices em A e D são inscritos na circunferência e determinam o mesmo arco BC, logo têm a mesma medida. Agora, no triângulo retângulo BCD, temos: sen D a = r de onde sen a A = r ou seja, a sen A = r Repetindo o raciocínio, para os ângulos de vértices B e C, teremos as relações: Logo, podemos concluir que: b r sen B = e c senc = r a b c r sen = A sen B = senc = 8 Trigonometria no triângulo retângulo

10 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Consideremos agora a Lei dos Cossenos, a qual estabelece que, num triângulo ABC, qualquer, valem as seguintes relações: a = b + c bc cos A b = a + c ac cos B c = a + b ab cosc onde a, b, c indicam as medidas dos lados opostos aos ângulos de vértices A, B, C, respectivamente. Vamos provar apenas a primeira das relações e isso será suficiente, pois as três são análogas. Analisemos as três possibilidades para o ângulo A (agudo, obtuso e reto). a. A é um ângulo agudo. Seja CH a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB. O triângulo AHC é retângulo e pelo Teorema de Pitágoras, Figura 8.8: Triângulo ABC em que o ângulo de vértice A é agudo. b = h + m O triângulo HBC também é retângulo e, novamente pelo Teorema de Pitágoras, a = h + n Além disso, m + n = c, e, eliminando h nas duas primeiras equações, obtemos: b m = a n Eliminando n obtemos: ( ) b m = a c m

11 17 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Portanto, b m = a c + cm m e daí a = b + c cm. Mas (m/b) = cos A ou m= b.cos A. de onde a = b + c bc.cos A. b. A é um ângulo obtuso. Figura 8.9: Triângulo ABC em que o ângulo de vértice A é obtuso. Seja CH a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB. O triângulo CHA é retângulo e assim, pelo teorema de Pitágoras, b = h + m Como o triângulo CHB é retângulo, pelo teorema de Pitágoras, a = h + (m + c) Eliminando h, temos: b m = a (m + c) Simplificando a última equação, temos: a = b + c + cm Mas m b = coshac = cos( 180 A) = cos A, ou seja, m = b.cos A Logo, a = b + c bc.cos A. 8 Trigonometria no triângulo retângulo

12 c. A é um ângulo reto. Este caso é o próprio teorema de Pitágoras, pois cos A = 0. Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplo 1. Determine o valor de x no triângulo abaixo. a. Figura 8.10: O triângulo dado. Resolução: Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo da Figura 8.10, temos: e, como sen 10 = sen 60 = 100 sen10 = x sen 45 3 e sen 45 = temos: x = = b. Figura 8.11: O triângulo dado. Resolução: Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo ABC da Figura 8.11, temos: 100 sen30 = x sen 45 uma vez que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180. Logo, como sen 30 = 1 e sen 45 =, temos x = 100

13 174 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 c. Figura 8.1: O triângulo dado Resolução: Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ABC da Figura 8.1, temos: x = cos 60 ou seja, como cos 60 = 1, temos: x = 1 ou seja, x = 1. Mostre que a área S de um triângulo, cujos lados são a, b e c, é dada por: S = p( p a)( p b)( p c), onde p é o semi-perímetro do triângulo. Essa relação é devida a Heron. Resolução: Consideremos a Figura Sabemos que a área do triângulo é dada por S c h = Também temos sen A h =. b E, pela Lei dos Cossenos, ou seja, Como sen A+ cos A= 1, temos: a = b + c bc.cos A cos A b c + a = bc h b c a b + + bc = 1 Figura 8.13: O triângulo ABC. 8 Trigonometria no triângulo retângulo

14 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo S b c a Ou seja, 1 bc + + bc =, pois h S =. c Multiplicando e dividindo por a primeira fração, temos ou seja, de onde resulta (4S) + (b + c a ) = (bc) 16S = (bc) (b + c a ) Uma vez que o segundo membro é uma diferença de quadrados, podemos escrever ou ainda, isto é, 16S = [bc (b + c a )].[bc + (b + c a )] 16S = [a (b + c bc)].[(b + c + bc)] a ] 16S = [a (b c) ].[(b + c) a ] Novamente, fatorando as diferenças de quadrados, ou Como p ou a b c = + + 4S b c a bc + + bc 16S = [a + b c]. [a b + c].[b + c + a].[b + c a] S é o semiperímetro, temos = 1 a b c a b c a b c b c a = S = (p c).(p b).p.(p a) S = ( p c).( p b). p.( p a) Ou, de outra forma, S = p.( p a).( p b).( p c).

15 176 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Outras razões trigonométricas Num triângulo retângulo, sempre no caso de um ângulo agudo, ainda podemos definir outras razões entre as medidas de seus lados, além daquelas que definem o seno e o cosseno. Definimos a tangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo como sendo o quociente do cateto oposto pelo cateto adjacente: cateto oposto tgθ= cateto adjacente 8.14 Figura 8.14: Tangente de um ângulo agudo do triângulo retângulo. Temos assim que, num triângulo retângulo, como o da Figura 8.3, definimos a tangente dos ângulos A e B, em termos dos catetos do triângulo retângulo: tg A = a tg B = b b a 8.15 Definimos também a cotangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo como sendo o quociente do cateto adjacente pelo cateto oposto ou o inverso da tangente do mesmo ângulo: cotgθ 1 cateto adjacente = = tgθ cateto oposto 8.16 Figura 8.15: Cotangente de um ângulo agudo do triângulo retângulo. Temos assim que a cotangente do ângulo A e a cotangente do ângulo B da Figura 8.3 são, em termos dos catetos a e b: cotg A = b cotg B = a a b Trigonometria no triângulo retângulo

16 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Definimos ainda o valor da secante de um ângulo agudo num triângulo retângulo como o inverso do cosseno do mesmo ângulo. Temos, pois, em termos dos lados do triângulo: secθ= hipotenusa cateto adjacente 8.18 Figura 8.16: Secante de um ângulo agudo do triângulo retângulo. Assim, para os ângulos A e B da Figura 8.3, temos: sec A = c sec B = c b a 8.19 Definimos a cossecante de um ângulo agudo num triângulo retângulo como o inverso do seno do mesmo ângulo: cossecθ= hipotenusa cateto oposto 8.0 Figura 8.17: Cossecante de um ângulo agudo do triângulo retângulo. Consequentemente, os valores da cossecante do ângulo A e da cossecante do ângulo B da Figura 8.3 são dados, em termos dos lados do triângulo cossec A = c cossec B = c a b 8.1 Conclui-se que, num triângulo retângulo, podemos definir diferentes valores associados a ângulos agudos, valores esses que são quocientes entre as medidas dos lados do triângulo.

17 178 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveis Medir é comparar. No cotidiano, a medida de distâncias é feita através de uma medida direta, isto é, comparando-se as dimensões de algo com uma unidade padrão. Usualmente, adotamos o metro como unidade padrão para medir distâncias. Na astronomia utilizamos outras unidades, as quais serão aqui apresentadas. Medidas diretas são inviáveis na Astronomia. Por isso, no caso dos objetos localizados fora da Terra as medidas são efetuadas de uma maneira indireta. Um dos métodos indiretos mais antigos de determinação das distâncias é o uso da triangulação. Na Figura 8.18 esboçamos o esquema básico do uso da triangulação, para determinação da altura (h) do monte. Ele requer a determinação de um ângulo (θ), entre as direções da base e do cume do monte, e da distância (d) entre o observador e o monte; θ e d podem ser medidos. O ângulo θ é medido com um instrumento denominado teodolito. Figura 8.18: Determinação da altura do monte por triangulação: tgθ = h/d ou h = d tgθ. Algumas vezes utilizamos a semelhança entre triângulos. Um dos registros mais antigos de uso desse método indireto é aquele atribuído a Tales de Mileto ( a.c.), o qual teria determinado a altura da pirâmide de Gizé a partir da determinação da dimensão da sombra projetada no solo. Tomou o cuidado de efetuar tal medida no exato momento em que o tamanho de sua sombra projetada no solo era igual à sua altura. Nesse momento, o tamanho da sombra da pirâmide era igual à altura da pirâmide. 8 Trigonometria no triângulo retângulo

18 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Na Figura 8.19 está representada a configuração de uma estrela, vista da Terra em duas posições diametralmente opostas no seu movimento de translação e o Sol. A paralaxe estelar é o desvio aparente da estrela em relação às estrelas de fundo. O ângulo de paralaxe é p. As posições aparentes da estrela podem ser registradas em imagens da região do céu, obtidas em épocas diferentes. As paralaxes são diminutas. Ou seja, são medidas em segundos de arco. Por exemplo, a estrela mais próxima do Sol, a Próxima Centauro (e de grande paralaxe, portanto) tem paralaxe de meros 0,77 segundo de arco ( décimos-milésimo de grau). Estrelas mais distantes têm paralaxes menores ainda.tendo em vista a dificuldade experimental de distinguir pontos muito próximos, esse método é bastante limitado. Figura 8.19: Paralaxe estelar. O método da paralaxe trigonométrica introduziu na Astronomia uma nova unidade de comprimento: o parsec. Um parsec é equivalente a 3,6 anos-luz ou unidades astronômicas, ou ainda 31 trilhões de quilômetros. Nesta unidade, as distâncias a estrelas mais brilhantes visualmente ficam a distâncias entre 1,3 pc (a-centauri) e 800 pc, excluindo-se evidentemente o Sol. D(parsec) = 1 / p(segundo de arco) Experimente escrever essas distâncias em km, você vai ter que escrever muitos dígitos! Um parsec = 0665 U.A. Uma unidade astronômica, por sua vez, é equivalente a 1, km. Exemplo 3 1. Na Figura 8.0 está representado um morro entre dois pontos A e B. Um teodolito colocado no ponto C consegue mirar tanto A quanto B, informando que o ângulo ACB = 135. Sabendo que CA = 100 m e que CB = 75 m, pede-se determinar a distância entre A e B. Figura 8.0: Encontrar a distância entre A e B.

19 180 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Resolução: Pela Lei dos Cossenos, temos: Como cos 135 = cos 45 = então (AB) = (AC) + (BC) AC.BC.cos 135 (AB) 631,6 de onde AB 161,96 m.. Na Figura 8.1, estão representados os pontos A e B situados em margens opostas de um rio. Para calcular a distância AB, o topógrafo considerou um ponto C de onde fosse possível mirar os pontos A e B. Em seguida, com uma trena, mediu BC, encontrando 300 m, e, com o teodolito, mediu os ângulos ACB e ABC, encontrando 85 e 75, respectivamente. Quanto mede AB aproximadamente? Resolução: Em primeiro lugar, sabendo que a soma dos ângulos de um triângulo é 180 o, determinamos o ângulo A= BAC = 0. Pela Lei dos Senos, temos: 300 sen0 = AB sen85 Figura 8.1: Encontrar a distância entre A e B. de onde temos 300.sen85 AB = sen 0 ou seja, usando uma calculadora, obtemos AB 874 Glossário Acutângulo: Todos os ângulos são agudos. Obtusângulo: Há no triângulo um ângulo obtuso. Parsec: Distância produzida por uma paralaxe anual média de um segundo de arco. 8 Trigonometria no triângulo retângulo