Aluno: Thiago Carvalho Rodriguez Orientadora: Deane de Mesquita Roehl Co-orientador: Eulher Chaves Carvalho

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1 Departameto e Egeharia Civil ESTUDO PARAMÉTRICO DAS PROPRIEDADES DE RESISTÊNCIA À FRATURA DA ROCHA NO PROCESSO DE FRATURAMENTO HIDRÁULICO DE POÇOS VERTICAIS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Aluo: Thiago Carvalho Roriguez Orietaora: Deae e Mesquita Roehl Co-orietaor: Eulher Chaves Carvalho Itroução A técica e fraturameto hiráulico tem sio empregaa a estimulação e reservatórios, tato para maximizar a proução e óleo e/ou gás, quato para esteer a via útil o mesmo [3]. Nesse processo, um fluio e fraturameto é bombeao sob altas pressões a uma etermiaa profuiae o poço, iuzio à formação e uma fratura o meio rochoso poroso e aumetao a permeabiliae o mesmo. Num projeto e fraturameto hiráulico, a previsão as imesões fiais a fratura bem como as pressões e quebra, e fuo e poço e e propagação são iispesáveis para a aálise a viabiliae o processo. A boa precisão esses resultaos epee, além o métoo escolhio para aálise, o cohecimeto as tesões i-situ a formação geológica, as proprieaes as rochas e o fluio e fraturameto [3]. Com relação à caracterização as rochas, as proprieaes e resistêcia à fratura são particularmete e ifícil estimativa, evio à escassez e amostras itactas e camaas geológicas em graes profuiaes e à própria variabiliae o material geológico. Quato aos métoos e aálise, iversas aborages empíricas, aalíticas e semiaalíticas poem ser empregaas em casos que o problema poe ser simplificao para um úmero reuzio e camaas sob coições e cotoro e carregameto específicos [3]. Para simulações mais complexas são empregaos métoos uméricos, como o Métoo os Elemetos Fiitos [,4]. Esse trabalho ivestiga a ifluêcia os parâmetros e resistêcia à fratura o material rochoso a simulação e fraturameto hiráulico em poços verticais. Através e simulações acoplaas biimesioais pelo Métoo os Elemetos Fiitos, foi realizao um estuo paramétrico para avaliar a ifluêcia a tesão e ruptura à tração e a teaciae a rocha a região e iteresse o processo e fraturameto hiráulico. Para caa simulação, são apresetaos resultaos e espessura e altura a fratura iuzia, pressão e quebra, pressão e fuo e poço e pressão e propagação. Toavia, este trabalho tem como pricipal objetivo estuar a ifluêcia as proprieaes e resistêcia à fratura, ou seja, tesão máxima e tração ( máx ) e teaciae (K IC ), o fraturameto hiráulico e poços verticais, utilizao o métoo os elemetos fiitos. Fraturameto hiráulico em um poço Cosieremos um poço vertical ão revestio (ou um poço aberto) sob a ação e tesões horizotais i-situ h1 e h coforme mostrao a Figura 1. Assumimos que a rocha é um meio elástico e tem uma tesão e ruptura à tração max, eomiaa resistêcia à tração. A pressão e quebra (P b ) ecessária para itrouzir uma fratura a paree e um poço poe ser calculaa com base a Teoria a Elasticiae [8], obteo-se:

2 Departameto e Egeharia Civil P 3 + (1) = b h h1 max Oe: h1 = tesão i-situ horizotal máxima; h = tesão i-situ horizotal míima; max = tesão e ruptura a rocha à tração. A fratura iuzia hiraulicamete é uma fratura vertical, e o plao e fratura é perpeicular à míima tesão horizotal i-situ h coforme mostrao. Note que a equação acima iepee as imesões o poço e os móulos elásticos o meio rochoso. A equação acima mostra que a pressão e quebra tem que pricipalmete superar a tesão compressiva que atua a paree o poço, prouzia pelas tesões i-situ [1]. Figura (1) Seção horizotal e poço vertical sob ação e tesões i-situ e pressões. A fratura hiráulica iuzia o poço se propaga pelo reservatório equato o bombeio for matio. Um típico registro e pressão e fuo (ou seja, a pressão meia o iterior o poço, próximo à etraa a fratura) é mostrao a Figura. Verifica-se que a pressão aplicaa o poço primeiramete supera a pressão o reservatório (ou pressão e poros), e etão ultrapassa a tesão compressiva alojaa a paree o poço, causao tração a superfície. Quao esta tesão superficial supera a resistêcia à tração a rocha, uma fratura é iiciaa. Esta fratura se propaga hiraulicamete pelo reservatório coforme o bombeio é matio, e, ao mesmo tempo, parte o fluio e fraturameto é perio para o meio rochoso circuate por filtração. É importate observar que a abertura a fratura é matia pela ifereça etre a pressão liquia (pressão o fluio meos a pressão o reservatório) e a tesão horizotal míima efetiva, equato que a taxa e filtração pela superfície a fratura é causaa somete pela pressão liquia. Aia com referecia a Figura, a máxima pressão atigia o iício o tratameto é a pressão iicial e quebra P b. A pressão cai, fato esse em sempre registrao o campo, quao a fratura se iicia a paree o poço. A porção quase costate a curva e pressão é a pressão e propagação P prog. Esta pressão causa a propagação a fratura hiráulica pelo reservatório. Quao o bombeio é iterrompio, a pressão cai subitamete para um valor iferior, e cotiua a escer vagarosamete evio à filtração até atigir o valor a pressão o reservatório, coforme mostrao a figura abaixo [1].

3 Departameto e Egeharia Civil Figura () Gráfico represetativo a poropressão Como um poço é geralmete fraturao a graes profuiaes, oe a tesão míima i-situ está o plao horizotal, a fratura resultate é vertical, cujo plao é perpeicular a esta tesão míima. Há ois fatores que cotrolam o crescimeto vertical e uma fratura hiráulica: (1) o cotraste etre as proprieaes o material, e () o cotraste a istribuição vertical as tesões i-situ. Seguo Warpiski e coautores [5, 6, 7] o cotraste etre as tesões i-situ é o fator preomiate que ifluêcia o crescimeto em altura e fraturas hiráulicas, e que o cotraste etre as proprieaes, a ão ser que muito grae (cico vezes ou mais), ão é um fator omiate a coteção a fratura. Na literatura ecotramos iversos moelos aalíticos para moelagem e fraturameto. Etre eles existem ois moelos básicos e altura costate: o moelo e Khristiaovic-Geertsma-e Klekr, KGD [9], e o e Perkis-Ker-Norgre, PKN [1]. Além a hipótese e altura costate, o moelo e Khristiaovic-Geertsma-e Klekr (KGD) assume que: (1) a fratura está submetia à coição e eformação plaa o plao horizotal; e () a extremiae a fratura é potiagua coforme formulação proposta por Bareblatt [11]. Está hipótese remove a sigulariae que ocorre a tesão a extremiae a fratura seguo a Teoria a Elasticiae. Etretato, o moelo e Perkis-Ker-Norgre, PKN, assume além a hipótese e altura costate, que: (1) a fratura está submetia à coição e eformação plaa o plao vertical e sua seção trasversal é elíptica; e () a resistêcia à fratura ão tem ifluêcia em sua geometria, ou seja, assume-se que o K IC o meio rochoso é ulo. Toavia, quao a istribuição vertical a tesão míima i-situ é uiforme, a fratura hiráulica eve tomar forma circular. Geertsma e e Klerk [9] mostram que as equações que goveram as fraturas e altura costate poem ser facilmete covertias para tratar as fraturas circulares [1]. Detre os metóos e aálise, iversas aborages empíricas, aalíticas e semiaalíticas poem ser empregaas. Tratao-se e um moelo mais complexo, escolhemos como metóo e aálise o metóo os Elemetos Fiitos, evio à variabiliae as proprieaes, as tesões iiciais, além a forma a fratura e o umero e camaas. Moelo D e Elemetos Fiitos Para poços verticais, a fratura iuzia hiraulicamete é uma fratura o plao vertical, perpeicular à míima tesão i-situ compressiva. Para um estuo iicial, cosierou-se um moelo biimesioal e uma seção vertical passao pelo poço a ireção a tesão horizotal míima, como exemplificao a Figura 1 [].

4 Departameto e Egeharia Civil O moelo é estuao em estao plao e eformações e composto por quatro camaas geológicas, seo uas camaas capeaoras e siltito e uas camaas e reservatório e areito, cujas proprieaes estão exemplificaas a Tabela 1. A simulação reprouz a ijeção e água a camaa e reservatório C_, empregao o métoo os elemetos fiitos. Figura (3) Represetação esquematica a seção aalisaa. (Toas uiaes em metros). Tabela 1 Proprieaes fisicas as camaas. Camaa Classificação E ν c φ K γ K (GPa) (MPa) (º) (kn/m³) (m/s) C_1 Siltito C_ Areito E-7 C_3 Siltito C_4 Areito E-7 O programa Abaqus [1] se mostrou uma ferrameta versátil e extrema importâcia a simulação o moelo, evio à faciliae e implemetações e sub-rotias, a iscretização o moelo através o métoo os elemetos fiitos, além a faciliae e obteção os parâmetros estuaos, seo empregao esse trabalho para realização as aálises acoplaas em tesões efetivas. As camaas geológicas foram iscretizaas por elemetos quarilaterais lieares, cosierao um comportameto elasto-plástico e Mohr-Coulomb. A fratura foi moelaa com elemetos coesivos lieares, cosierao a lei e ao biliear irreversível, a qual será mais etalhaa a seção subsequete. O fluxo tagecial a fratura é goverao pela equação e Reyols e o fluxo ormal é ao em fução o coeficiete e filtração a rocha [1,]. A tesão i-situ iicial foi aplicaa com valor costate por camaa, estas pressurizaas hiraulicamete. Na iscretização foram empregaos elemetos coesivos com comprimeto e. m e E-5 m e espessura. A camaa e reservatório C_ foi submetia a um fluxo costate e água. A fratura ecotra-se iicialmete selaa, sem coução e fluxo tagecial, com exceção o trecho e ijeção e fluxo. Quao o elemeto coesivo atige um valor e abertura limite (espessura a fratura), os fluxos tagecial e ormal são iiciaos, propagao a fratura a ireção vertical. À meia que a tesão ormal em caa elemeto coesivo atige a tesão máxima e tração a rocha ( máx ), iicia-se a reução a resistêcia à tração a fratura até sua aulação. Ao fim esta etapa, a eergia e eformação a fratura se iguala à eergia e fraturameto o material, esta calculaa em fução a teaciae (K IC ).

5 Departameto e Egeharia Civil Moelo e Dao No Abaqus, o elemeto coesivo é usao para simular o fraturameto a rocha. A resposta costitutiva este elemeto é escrita em termos a lei tesão trativa - abertura (tractioseparatio law) (Figura 4). Esta lei efie tato o critério e abertura quato o critério e propagação a fratura. Figura 4 Moelo e ao biliear irreversível. Na Figura 4, o eixo as abscissas ( δ ) refere-se ao eslocameto efetivo máximo etre o topo e a base o elemeto coesivo e o eixo as oreaas ( ) refere-se à máxima tesão omial o mesmo, seo que, δ = δ + δ () s, oe e s = max,. (3) s s epeem o tipo a rocha e represetam, respectivamete, as tesões ormal e e cisalhameto suportaas pelo material; e cisalhameto atuates as correspoetes ireções; s represetam as tesões ormais e e δ e δ s represetam, respectivamete, os eslocametos relativos ormal e tagecial os ós o elemeto. Estas graezas também são iicaas a Figura 5. A resposta iicial o elemeto coesivo, liear como se observa a Figura 4, é goveraa por sua rigiez iicial K. A abertura limite δ alcaçaa este regime, marca o iício o ao o elemeto, o qual está associao à máxima tesão e tração Logo, suportaa pela rocha. K =, (4) δ ou aia, ( δ δ ) δ K = ( δ δ ). c c (5)

6 Departameto e Egeharia Civil Após o iício o ao, a resistêcia à tração a rocha ecai liearmete com a abertura a fratura, até atigir o valor críticoδ c, a partir o qual a resistêcia a rocha à tração é ula. Figura 5 Elemeto coesivo biimesioal com resposta tractio-separatio. O critério e abertura o elemeto é goverao pela eergia e fraturameto a rocha que é igual à área sob a curva e ao a rocha, ou seja, G IC, G IC ( 1 ) ( ) KIC ν δc δ = =. (6) E oe, E é o móulo e Youg, ν o coeficiete e Poisso e K IC a teaciae a rocha. Cohecias as proprieaes mecâicas a rocha, obtêm-se a Equação 6, o valor a abertura crítica, isto é, GIC δc = + δ, (7) e substituio a Equação 6 a Equação 5 chega-se a uma equação que relacioa ambos os critérios. Assim, ( ) δ δ δ GIC K = c, δ G K, c IC = δ ( δ δc ) ( δ δ ) 1 GIC K =, c IC =, G K β K β =. (8) G IC Com base a equação geral o moelo e ao, Equação 9, realizamos algumas substituições para obtermos a rigiez iicial (K ) e a abertura a fratura (δ ) em fução os parâmetros e estuo, tesão máxima e tração ( = máx ) e teaciae (K IC ). Seo assim

7 Departameto e Egeharia Civil substituio-se a Equação 6 a Equação 8, temos que: β E K =. K ( 1 υ) (9) IC Toavia, substituio a Equação 8 a Equação, temos que: ( ) K δ = IC 1 υ. β E (1) Da Equação 8 euz-se que pequeos valore e β resultam em elemetos coesivos e baixa rigiez iicial, próprios para represetar o comportameto e rochas úcteis. Em cotrapartia, valores graes e β resultam em elemetos com elevaa rigiez iicial, próprios para represetar o comportameto e rochas frágeis. Equato o processo e fraturameto hiráulico é iuzio, forma-se a pota a fratura uma região e plastificação cujas imesões epeem muito a uctiliae a rocha. Fluxo através a falha No Abaqus, o fluxo tagecial ( q t ) e ormal ( q ), ilustraos a Figura 6, poem ser efiios separaamete o moelo e fluxo. Tomao iicialmete o fluxo tagecial, ele poe ser efiio como, kt p q t =, (11) oe, k t é a permeabiliae tagecial ou a resistêcia ao fluxo tagecial o fluío, p é o graiete e poro pressão ao logo o elemeto coesivo e é a abertura o elemeto coesivo. A permeabiliae tagecial, por sua vez, poe ser obtia por meio a equação e Reyol, ou seja, 3 kt =, (1) 1 µ seo, µ a viscosiae iâmica o fluío. Já a abertura o elemeto coesivo obeece à seguite relação, ( corr orig ) iic, = t t + g (13) a qual, t corr, t orig e g iic são, respectivamete, a espessura correte, a espessura origial e a abertura iicial o elemeto coesivo. Uma vez que t orig = g iic, a Equação 13 reuz-se a = t corr. (14) O fluxo ormal é efiio através o coeficiete e filtração o material (leakoff) ( c ), isto é, q = c( p p ), (15) i s oe, p i e p s são, respectivamete, a poro pressão meia o iterior e as faces o elemeto coesivo.

8 Departameto e Egeharia Civil O coeficiete e filtração está associao à permeabiliae o material ou à resistêcia ao fluxo ormal o fluío e regula a quatiae e fluxo que passa pelas parees o elemeto coesivo. Em outras palavras, o coeficiete e filtração simula a formação o reboco as parees o elemeto coesivo, logo, quato meor o coeficiete e filtração meor será o fluxo que passa através as parees o elemeto coesivo. Figura 6 Fluxo tagecial e ormal através o elemeto coesivo. É extremamete importate garatir a correspoêcia etre o coeficiete e filtração ( c ) e a permeabiliae ( K ) os elemetos cotíuos vizihos aos elemetos coesivos. Caso cotrário, problemas e coicioameto poem ocorrer as matrizes os elemetos coesivos, as quais são atimétricas, e levar a resultaos irreais. Na tabela (), mostra-se a correspoêcia ireta etre os parâmetros apresetaos as Equações 11 a 15. Tabela - Relação etre os parâmetros que efiem o fluxo. c Coeficiete e filtração maior q Fluxo ormal maior Abertura a falha meor k Permeabiliae tagecial meor t q Fluxo tagecial meor t h Altura a falha meor Cabe ressaltar aia que, quao o elemeto coesivo está fechao, a cotiuiae a poropressão é forçaa a partir a poro pressão meia os elemetos cotíuos vizihos a ele. Resultaos e iscussão A fim e estuar a ifluêcia a resistêcia à traçao a rocha, máx, e a teaciae, K IC, o fraturameto hiráulico o reservatório e iteresse, couziu-se uma aálise paramétrica. Os valores e máx foram aotaos como porcetages a coesão o material rochoso, variao e 5% a %. Aotou-se para K IC valores.5 kpa(m) 1/ e 1. kpa(m) 1/. Assim seo foram realizaas seis aálises, seo estas: - máx = 9 kpa (5% a coesão) e K IC =.5 kpa(m) 1/ ; - máx = 9 kpa (5% a coesão) e K IC = 1. kpa(m) 1/ ; - máx = 18 kpa (1% a coesão) e K IC =.5 kpa(m) 1/ ; - máx = 18 kpa (1% a coesão) e K IC = 1. kpa(m) 1/ ;

9 Departameto e Egeharia Civil - máx = 36 kpa (% a coesão) e K IC =.5 kpa(m) 1/ ; - máx = 36 kpa (% a coesão) e K IC = 1. kpa(m) 1/. A partir o moelo e ao, aotao = máx, foi possível verificar a teoria a ifluêcia os parâmetros e resistêcia à fratura as características geométricas a fratura. Teo em vista a Equação 8, é possível afirmar que a rigiez iicial o material rochoso (K) é iversamete proporcioal ao quarao a teaciae (K IC ), equato a abertura a fratura (δ ), vie Equação 9, é iretamete proporcioal ao quarao a teaciae. Portato, quao matemos máx costate e elevamos o valor e K IC, temos que a rigiez imiui e a abertura aumeta, a qual é possível ietificar através os gráficos e poropressão a seguir (Figuras 7, 8, 9). Visto que o caso a teaciae mais elevaa temos uma poropressão e quebra mais elevaa, porém requereo mais tempo para ser atigia, efiio assim uma abertura maior para uma pequea rigiez. 1 8 U (kpa) 6 4 = 9 / K IC =.5 = 9 / K IC = Time (s) Figura (7) Gráfico e poropressão com máx igual a 9 kpa. 5 4 U (kpa) 3 = 18 / K IC =.5 = 18 / K IC = Time (s) Figura (8) Gráfico e poropressão com máx igual a 18 kpa.

10 Departameto e Egeharia Civil 16 1 = 36 / K IC =.5 = 36 / K IC = 1. U (kpa) Time (s) Figura (9) Gráfico e poropressão com máx igual a 36 kpa. Toavia quao matemos a teaciae costate, e elevamos a tesão máxima, observamos um aumeto a rigiez iicial e uma imiuição a abertura a fratura, teo em vista as Equações 8 e 9 respectivamete, o qual também poe ser comprovao a partir os gráficos e poropressão (Figuras 1 e 11). Seo assim teremos uma poropressão e quebra mais baixa um meor itervalo e tempo. 1 8 U (kpa) 6 4 = 9 / K IC = 1. = 18 / K IC = 1. = 36 / K IC = Time (s) Figura (1) Gráfico e poropressão com K IC igual a 1. kpa(m) 1/.

11 Departameto e Egeharia Civil U (kpa) 4 = 9 / K IC =.5 = 18 / K IC =.5 = 36 / K IC = Time (s) Figura (11) Gráfico e poropressão com K IC igual a.5 kpa(m) 1/. Com base os resultaos as aálises paramétricas, poe-se afirmar que para uma máxima tesão e tração costate, quato maior a teaciae, maior a poropressão e quebra. Etretato, quao matem-se a teaciae costate e eleva-se a máxima tesão e tração, observamos uma imiuição a poropressão e quebra. A tabela (3), geraa a partir os gráficos e poropressão (Figs. 1, 11), reforça esses cometários. Tabela (3) Poropressão e quebra PORPRESSÃO DE QUEBRA máx = 9 kpa / K IC =.5 kpa(m) 1/ máx = 9 kpa / K IC = 1. kpa(m) 1/ máx = 18 kpa / K IC =.5 kpa(m) 1/ máx = 18 kpa / K IC = 1. kpa(m) 1/ máx = 36 kpa / K IC =.5 kpa(m) 1/ máx = 36 kpa / K IC = 1. kpa(m) 1/ 4337 kpa 8587 kpa 1969 kpa 4183 kpa 16 kpa 1969 kpa Verifica-se aia que os parâmetros e resistêcia estuaos, ão iterferem a poropressão e propagação, visto que o gráfico a Figura 1, ambas as curvas teem a um mesmo valor costate, apesar e obtermos, a partir a tabela, uma variação e 3 MPa, o que para graes profuiaes é um valor esprezível.

12 Departameto e Egeharia Civil 1 8 U (kpa) 6 4 = 9 / K IC =.5 = 9 / K IC = 1. = 18 / K IC =.5 = 18 / K IC = 1. = 36 / K IC =.5 = 36 / K IC = Time (s) Figura (1) Gráfico e poropressão. Tabela (4) Poropressão e propagação PORPRESSÃO DE PROPAGAÇÃO máx = 9 kpa / K IC =.5 kpa(m) 1/ 913 kpa máx = 9 kpa / K IC = 1. kpa(m) 1/ 7467 kpa máx = 18 kpa / K IC =.5 kpa(m) 1/ 693 kpa máx = 18 kpa / K IC = 1. kpa(m) 1/ 9186 kpa máx = 36 kpa / K IC =.5 kpa(m) 1/ 714 kpa máx = 36 kpa / K IC = 1. kpa(m) 1/ 681 kpa Poemos verificar através os gráficos e altura e abertura (Figs. 13 e 14) a ifluêcia os parâmetros e rigiez a geometria a fratura. É possível afirmar que para uma tesão máxima e tração costate, quato maior a teaciae, mais a fratura se propaga lateralmete, cosequetemete maior será a abertura a mesma, e meor a altura a fratura. Este feômeo é mais eviete em casos evolveo rochas mais úcteis, o osso moelo com tesão máxima e tração equivalete a 9 kpa. Já para os emais casos oe ecotramos rochas mais frágeis este fator é meos perceptível. Poe-se cocluir que a abertura a fratura esta iversamete ligaa a altura, quato maior a abertura meor a altura, mais a fratura se propaga lateralmete. Toavia, para teaciae costate, observa-se que quato maior a tesão máxima e tração meor a abertura e maior a altura, o que está e acoro coma teoria.

13 Departameto e Egeharia Civil = 9 / K IC =.5 = 9 / K IC = 1. = 18 / K IC =.5 = 18 / K IC = 1. = 36 / K IC =.5 = 36 / K IC = 1. δ (m) Time (S) Figura (13) Variação a abertura a fratura o tempo. 3 = 9 / K IC =.5 = 9 / K IC = 1. = 18 / K IC =.5 = 18 / K IC = 1. = 36 / K IC =.5 = 36 / K IC = 1. H (m) Time (s) Figura (14) Variação a altura a fratura o tempo Legea máx = 9 / K IC =.5 máx = 9 / K IC = 1. máx = 18 / K IC =.5 máx = 18 / K IC = 1. máx = 36 / K IC =.5 máx = 36 / K IC = y (m) C_1 C_ x (m) Figura (15) Geometria a fratura o tempo equivalete à 45s.

14 Departameto e Egeharia Civil Coclusão A simulação reprouz a ijeção e água em uma as camaas e reservatório empregao o métoo os elemetos fiitos. O moelo foi estuao em estao plao e eformações, e é composto por quatro camaas geológicas, seo uas camaas capeaoras e siltito e uas camaas e reservatório e areito. O estuo paramétrico permitiu um maior eteimeto a ifluêcia as proprieaes e resistêcia à fratura ( máx e K IC ) as caracteristicas geométricas a fratura e as pressões e fuo e poço, e quebra e e propagação. Portato, a partir o moelo e ao, matia a tesão máxima e tração ( máx ) costate, quao elevamos a teaciae (K IC ), observamos que a rigiez iicial (K ) imiui equato a abertura (δ ) aumeta, porém, quato maior a abertura (δ ) meor a altura (H). Os resultaos mostraram que o tempo, quato maior a tesão máxima e tração ( máx ), a pota a fratura tee a ser circular, cotuo a ifluêcia a teaciae (K IC ) ão é sigificativa este comportameto, quao comparao com a tesão máxima e tração. O programa Abaqus mostrou-se uma ferrameta versátil para moelagem e fraturameto hiráulico em poços verticais, foreceo resultaos satisfatórios. O moelo biimesioal teve um papel importate como passo icial para a compreesão a simulação este tipo e problema. Uma melhor moelagem o problema poe ser obtia com o emprego e moelos triimesioais em elemetos fiitos e será ivestigaa em etapa posterior o estuo. Referêcias 1 - ABAQUS Software, versio 6.7. [S.I.]: DS Simulia, 7. Programa e ocumetação. - CARVALHO, E. C. et al. Fiite Elemet Moelig of Hyraulic Fracturig i Vertical Wells. Mecâica Computacioal, v. XXIX, p , ECONOMIDES, J. M., NOLTE, G. K., Reservoir simulatio. 3. e. Egla, Jue 9,. 856p. 4 - ZHANG, G. M. et al.. Three imesioal fiite elemet simulatio a parametric stuy for horizotal well hyraulic fracture. Joural of Petroleum Sciece a Egieerig, v. 7, p , 1. 5 WARPINSKI, N. R., SCHMIDT, R. A. e NORTHROP, D. A. (198), I-situ Stress: The Preomiat Ifluece o Hyraulic Fracture Cotaimet, SPE/DOE 893, 198 SPE/DOE Symposium o Ucovetioal Gas Recovery, Pittsburgh, PA, maio. 6 - WARPINSKI, N. R., CLARCK, J. A., SCHMIDT, R. A. e HUDDLE, C. W. (198), Laboratory Ivestigatio o the Effect of I-situ Stress o Hyraulic Fracture Cotaimet, Society of Petroleum Egieers Joural, Jue, pp TEUFEL, L. W. e CLARCK, J. A. (1981). Hyraulic Fracture Propagatio i Layere Rock Experimetal Stuies of Fracture Cotaimet, SPE/DOE 9878, 1981 SPE/DOE Low Permeability Reservoir Symposium i Dever, CO, abril. 8 TIMOSHENKO, S. e GOODIER, N. J. (1951) Theory of Elasticity, º e. McGraw Hill, New York.

15 Departameto e Egeharia Civil 9 GEERTSMA, J. e KLERK, F. (1969), A Rapi Metho of Preictig With a Extet of Hyraulically Iuce Fracture, Joural of Petroleum Techology, vol. 1, o.1, p NORDGREN, R. P. (197), Propagatio of Vertical Hyraulic Fracture, Society of Petroleum Egieers Joural, vol. 1, p BARENBLATT, G. I. (196), The Mathematical Theory of Equilibrium Cracks i Brittle Materials, Avace i Applie Mechaics, vol. 7, e. DRYDEN, H. L. e VON KARMAN, T., Acaemic Press, New York. 1 YEW, C. H., Mechaics of hyraulic fracturig. Housto, Texas, p.