MODELAÇÃO DA RIGIDEZ DINÂMICA DE MATERIAIS RESILIENTES VERSUS RESULTADOS EXPERIMENTAIS

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1 Acústica 8 - e Outubro, Coimbra, Portugal Uiverae e Coimbra MODELAÇÃO DA RIGIDEZ DIÂMICA DE MATERIAIS RESILIETES VERSUS RESULTADOS EXPERIMETAIS Julieta Atóio 1, Atóio Taeu 1, Aa ossa 1 CICC, Departameto e Egeharia Civil, Uiverae e Coimbra {julieta,taeu@ec.uc.pt} Istituto e Ivestigação e Desevolvimeto Tecológico em Ciêcias a Costrução - ITeCos aossa@itecos.uc.pt Resumo este trabalho pretee-se mular umericamete o esaio laboratorial realiao seguo a orma ISO 95-1 para a etermiação a rigie iâmica e materiais usaos sob pavimetos lutuates. O métoo utiliao usa uções e Gree para elemetos costituíos por camaas sólias e luias com a carga aplicaa uma camaa sólia. A solução é baseaa o cohecimeto e poteciais e eslocameto para as camaas sólias e poteciais e pressão para as camaas luias, seo calculaa como um itegral correspoete à sobrepoção e oas plaas. Pretee-se esta orma mular o comportameto iâmico o provete e esaio quao sujeito a uma carga e impacto, calculao o eslocameto este, o omíio a requêcia. Como a avaliação experimetal a rigie iâmica se baseia um moelo mpliicao, o valor a rigie iâmica ão poe ser usao irectamete o moelo umérico. Ajustam-se, esta orma, as proprieaes a camaa reliete, e moo a que sejam obtias requêcias e ressoâcia semelhates e orma experimetal e umérica. As proprieaes os materiais asm eiias, poem posteriormete ser iserias em moelos, baseaos uma técica umérica semelhate à aqui apresetaa, para a mulação o isolameto a sos e percussão em pavimetos. Palavras-chave: Fuções e Gree, rigie iâmica. Abstract I this paper a moel is establishe to mulate the experimetal setup use i the experimetal test o amic stiess o reliet materials. The moel uses Gree uctios or laere meia with soli a lui laers, whe the loa is applie i the soli. This techique uses pressure potetials i the lui a isplacemet potetials i the soli. The solutio is obtaie as a superpotio o plae waves. The moel mulates the amic behavior o the test specime a computes the isplacemet i the requec omai prouce b a impact loa. As the experimetal evaluatio o the amic stiess is base i a mpliie moel, its value ca ot be use irectl i the umerical moel. The properties o the reliet laer are ajuste so as to obtai a resoace requec close to the experimetal oe. The mai goal o this work is to obtai properties o reliet materials to be iclue i moels use to mulate impact sou isulatio. Kewors: Gree uctios, amic stiess.

2 Julieta Atóio, Atóio Taeu, Aa ossa 1 Itroução Quao se cocebem moelos para a mulação e eómeos ícos, os resultaos epeem ão só o rigor com que o moelo represeta a realiae, mas também os aos que são iserios o moelo. Existem materiais mais cláscos cujas proprieaes costam a literatura, mas para outros materiais essas proprieaes são escohecias ou iíceis e etermiar. A mulação a propagação o som em eiícios tem o objecto e estuo e vários autores ao logo os tempos. A propagação o som através e pavimetos, em particular, tem o estuaa com recurso a trabalhos experimetais e uméricos [1-3]. Quao os pavimetos têm uma camaa lutuate é ecessário cohecer as proprieaes o suporte, as proprieaes a camaa lutuate e as proprieaes a camaa reliete que separa os ois. Os materiais usaos como camaa reliete são muito variaos (espumas, membraas elásticas, cortiça, ibras aturais, etc.) e em sempre os ivestigaores têm as suas proprieaes ispoíveis. O objectivo o trabalho é, a partir os resultaos experimetais, obter aos para icluir em moelos e mulação e trasmissão e sos e percussão em pavimetos. este trabalho, em cocreto, a mulação o esaio vai permitir aerir os aos itrouios e ajustá-los e orma a obter com o moelo um resultao próximo o obtio o esaio experimetal. Determiou-se o valor experimetal a rigie iâmica e algus materiais e acoro com a metoologia a orma ISO 95-1 [4]. O moelo e mulação baseia-se o cohecimeto e uções e Gree para stemas multicamaa. Estas uções e Gree baseiam-se o cohecimeto e poteciais e pressão para camaas luias e poteciais e eslocameto para as camaas sólias. Estes poteciais são escritos como uma sobrepoção e oas plaas. O problema triimeoal é moelao como um somatório e problemas biimeoais para oas cilíricas com ieretes úmeros e oa. Esaio laboratorial Os esaios laboratoriais para a etermiação experimetal a rigie iâmica, e materiais aplicaos sob pavimetos lutuates, são eectuaos e acoro com a orma ISO 95-1 [4]. Estes materiais são aplicaos o pavimetos pois permitem ateuar a propagação e sos e percussão. O tipo e esaio proposto por esta orma baseia-se um moelo mpliicao para o comportameto o pavimeto lutuate. Assume-se que um pavimeto lutuate se comporta como uma massa e o material e separação (camaa reliete) actua como uma mola. O provete a esaiar é costituío por uma amostra (x mm ) o material sobre a qual se coloca uma chapa e aço, com x mm, e uma massa e cerca e 8 kg. O esaio coste em etermiar a requêcia e ressoâcia esse stema, colocao sobre uma base e grae iércia, quao submetio a uma carga e impacto vertical. A orma ISO 95-1 assume que o provete se comporta como um stema massa-mola seo a requêcia e ressoâcia expressa a seguite orma com: r 1 s ' t = (1) π m ' s ' t rigie iâmica aparete por uiae e área a amostra (M/m 3 ); m massa total por uiae e área usaa urate o teste (kg/m ). ' t t A rigie iâmica aparete, por uiae e área e amostra, será:

3 Acústica 8, - e Outubro, Coimbra, Portugal s' = m' ( π ) = 4 π m' () t t r t r a realiae, este moelo ão cosegue reprouir, em muitos casos, o comportameto real os materiais uma ve que eles ão se comportam como uma mola pereita, especialmete quao excitaos para requêcias altas. este setio, vários autores já coeraram que o campo e aplicação esta orma se everá limitar à comparação e materiais e ão à etermiação e um valor exacto para as proprieaes iâmicas os materiais [5]. Por coseguite, o valor etermiao a partir o esaio poe ser ierete o valor real. este trabalho pretee-se moelar o esaio e rigie iâmica obteo a mesma requêcia e ressoâcia que oi obtia em laboratório. Uma ve que a rigie iâmica obtia em laboratório resulta e um cálculo, assumio um moelo mpliicao, a itroução o moelo, o valor obtio experimetalmete, poe couir à obteção a ressoâcia para uma requêcia ierete a experimetal. Asm, o valor a rigie iâmica obtia em laboratório é ajustaa e itrouia o moelo e orma a mular um comportameto próximo o real obteo-se uma requêcia e ressoâcia próxima a experimetal. 3 Moelo Aalítico Desevolveu-se um moelo que mula um stema multicamaa e imesões iiitas que pretee represetar e orma aproximaa o esaio experimetal. O moelo assume a existêcia os seguites compoetes: meio luio semi-iiito, uas camaas sólias (sólio 1 e sólio ) com espessura h 1 e h respectivamete e um meio sólio semi-iiito (sólio 3) (ver Figura 1). a b c h1 h h3= Sólio 1 ρ Sólio ρ Fluio ρ α Sólio 3 ρ α Figura 1 Geometria o problema. α α β β β x Os ois estratos sólios represetam a placa e carga (aço) e o material a ser esaiao respectivamete. O meio sólio semi-iiito represeta a base e grae iércia oe o provete asseta. O meio luio, permite uma velociae as oas e pressão e α = λ ρ seo λ a costate e Lamé o luio ρ a massa volúmica. As camaas sólias permitem uma velociae as oas logituiais (e pressão P) e ( ) α = λ µ ρ ( i = 1,,3 ) e uma velociae as oas e corte (S) e β = µ ρ, seo λ e µ as costats e Lamé para o sólio i e ρ a massa volúmica o sólio i. 3

4 Julieta Atóio, Atóio Taeu, Aa ossa O moelo é ormulao o omíio a requêcia e baseia-se uma técica já usaa ateriormete pelos autores que usa poteciais e eslocameto o sólio e poteciais e pressão o luio [6]. Coerao que este moelo se matém costate a geometria seguo a irecção, a resolução e um problema a três imesões, quao se aplica uma carga potual, poe ser mpliicaa aplicao uma trasormaa espacial e Fourier ao logo a irecção, às equações e Helmholt, para uma carga potual. Obtém-se uma sequêcia e equações e Helmholt, biimeoais em ução o úmero e oa axial ( k ), à qual se aplica uma trasormaa iversa e Fourier a irecção para obter a solução 3D. o etato, por sua ve, caa solução biimeoal poe ser escrita como uma sobrepoção e oas plaas homogéeas e ão homogéeas. Asm, poe obter-se caa uma essas soluções como um somatório e soluções para ieretes úmeros e oa ao logo a irecção x. Os eslocametos e tesões para caa úmero e oa ( k ), poem ser escritos em ução e poteciais e eslocameto e pressão expressos como um itegral correspoete à sobrepoção e oas plaas, com ieretes úmeros e oa, k, ao logo a irecção x, e acoro com o métoo usao por Lamb [7] para o caso biimeoal, e Boucho [8] e Kim et al. [9] a avaliação o campo triimeoal. Os itegrais cotíuos poem ser iscretiaos coerao a existêcia e um úmero iiito e otes virtuais colocaas ao logo a irecção x, igualmete espaçaas e L x. A istâcia L x eve ser suicietemete grae para evitar a cotribuição as cargas virtuais para a resposta. A etermiação a amplitue estes poteciais permite etermiar uções e Gree (soluções uametais) para o meio estratiicao. um meio estratiicao estes poteciais, ou termos e superície, represetam as relexões as várias roteiras. Os poteciais estabelecios para caa estrato são combiaos e orma a impôr as coições roteira ecessárias a iterace os vários meios. As coições impostas em caa roteira são: cotiuiae e eslocametos e tesões a irecção ormal à superície e cotacto e tesões tageciais ulas essa superície, a roteira a; cotiuiae e eslocametos e tesões as irecções x,, a roteira b; tesões tageciais ulas e cotiuiae e eslocametos e tesões a irecção, as roteiras c e. Apresetam-se, a seguir, os poteciais, para caa uma as superícies e cotacto e as expressões para obter eslocametos e tesões a partir os mesmos. Coere-se a carga liear, harmóica usoial ao logo a irecção, aplicaa em ( x, ) a irecção. Os termos a superície geraos as superícies e cotacto etre os vários estratos poem ser expressos através os poteciais seguites: Meio sólio 1 (superície e cotacto a) ( ) = a = Ea 1 EbA E = E = a c x = Ea 1k C E = γ = a Meio luio (superície e cotacto a) k (3) = a = Ea 1 E cb E = γ 4

5 Acústica 8, - e Outubro, Coimbra, Portugal Meio sólio 1 (superície e cotacto b) α E D E ( quao < ) (4) = a i luio = L x = ωλ ν ( ) = b1 b1 = Ea 1 EbE E = E = b1 b1 c x = Ea 1k G E = γ = b1 Meio sólio (superície e cotacto b) k (5) = b1 b1 = Ea 1 E cf E = γ ( ) = b b = Ea EbH E = E = b b c x = Eak J E = γ = b Meio sólio (superície e cotacto c) k (6) = b b = Ea E ci E = γ ( ) = c c = Ea EbK E = E = c c c x = Eak M E = γ = c 5

6 Julieta Atóio, Atóio Taeu, Aa ossa Meio sólio 3 (superície e cotacto ) k (7) = c c = Ea E cl E = γ ( ) = = Ea3 Eb E = E = c x = Ea3k P E = γ = k (8) = = Ea3 E co E = γ Oe γ = k k k com ( ) ( ) π Im γ ; k = ; k = ω β ; L x k p ν = k k com 1 Imν ; k p = ω α ; ω é a requêcia ; i = 1 e k o úmero e oa em ; E = ai ρωl, i = 1,,3, E E b b c ( x x ) i k i =, E b = e ν i, E c = e γ, E s b i ( h1 ) Ec = e γ s c i ( h1 h), Eb e ν ν = kpi k k com ( ) E e s i ( h1 ) = e ν, i ( h1 h) = e γ ; =, i e ν =, E c c b1 i h1 Eb = e ν, s i ( h1 h) e γ Eb =, E b1 c x i h1 e γ =, i ( h1 h) = e ν, Im ν ; k pi = ω α. Os coeicietes A, C, D, E, F, G, H I, J, K, L, M,, O, P são os coeicietes a serem etermiaos através a impoção as coições roteira, e orma a que o campo prouio s multaeamete pelos termos a ote e os termos a superície prouam 1 σ = σ =, σ = σ =, σ = σ e u u u s = u em = ; e σ s = σ, σ 1 x x x s = σ, σ 1 = σ, u 1 B, x x x = ux, u u σ σ =, u = em = h1 ; σ x =, σ = (roteira c), σ =, σ = (roteira ), = e u = em = h1 h. Da impoção as easseis coições roteira estabelecias para caa valor e, resulta um stema e easseis equações a easseis icógitas. O stema ial e equações tem a seguite orma aij i= 1,16; j = 1,16 ci i= 1,16 = bi i= 1,16. Através a resolução este stema calculam-se as amplitues os vários poteciais. Asm os eslocametos e as pressões associaos aos termos a superície poem ser obtios usao as equações que relacioam os poteciais com eslocametos e pressões. Os eslocametos são obtios a seguite orma: G x = x 6

7 Acústica 8, - e Outubro, Coimbra, Portugal x x G = G x = (9) As tesões por sua ve são escritas como G σ x = µ x G x α G α G α G σ = µ 1 1 β β β x x G σ = µ G (1) As uções e Gree o sólio 1 são obtias aicioao os termos a ote (correspoete a meio iiito campo iciete) aos termos a superície origiaos as uas superícies roteira a camaa. Este proceimeto cou às seguites expressões para os eslocametos o sólio = = ( i i ) ( i i ) ull b b x = x a1 b c a b c = = G G E AkE BkE E E EkE FkE E = ull ik ik G = G Ea 1 iν A Eb B C Ec E = γ γ ik ik E E E F G E E = b b a1 iν b c = γ γ = = ( i i ) ( i i ) (11) ull b b = a1 b c a b c = = G G E AkE CkE E E EkE GkE E seo os termos G ull (, i j = x,, ) correspoetes aos eslocametos em meio iiito [1], ij G (, i j = x,, ) represeta o eslocameto, o sólio 1, a irecção i, provocao por uma carga ij aplicaa a irecção j. A obteção a solução triimeoal passa pela itegração estas respostas para os vários valores e k e e k. 7

8 Julieta Atóio, Atóio Taeu, Aa ossa 4 Aplicações 4.1 Resultaos experimetais Foram realiaos algus esaios para a etermiação a rigie iâmica aparete e algus materiais e acoro com a orma ISO Apresetam-se os resultaos e esaio para aglomerao egro e cortiça (AC), ibra e coco com espessura e 13.9 mm (FC-A), ibra e coco com 6. mm e espessura (FC-B) e um material multicamaa costituío por uma camaa e ibra e coco etre uas placas e aglomerao e cortiça atural (AC-FC-AC). a Tabela 1 apresetam-se os valores a espessura, a rigie iâmica aparete e a requêcia e ressoâcia obtios para caa material. Tabela 1 Proprieaes os materiais esaiaos. Material Rigie iâmica Frequêcia e Espessura (mm) aparete (M/m 3 ) ressoâcia (H) AC FC-A FC-B AC-FC-AC Resultaos aalíticos O exemplo umérico coera a existêcia e um luio semi-iiito (ar), uma camaa sólia (aço) com espessura h 1 =.5m, uma camaa sólia com a espessura h o material a esaiar e um meio sólio semi-iiito. Uma carga potual a irecção é aplicaa em x =.m e =.1m. O eslocameto o sólio 1 é registao um receptor localiao em x =. e =.1. Os cálculos são eectuaos o omíio a requêcia ese.5h a 5H com um icremeto e requêcia e.5h. O meio luio, ar, permite uma velociae as oas e pressão e 34 m/s e tem uma massa 3 volúmica e 1. kg/m. Tabela Proprieaes itrouias o moelo. Velociae as oas e Velociae as oas e Massa volúmica Material pressão ( α ) corte ( β ) 3 ( kg/m ) ( m/s ) ( m/s ) Aço Base e esaio Aglomerao egro e cortiça Fibra e coco A Fibra e coco B Cortiça-coco-cortiça

9 Acústica 8, - e Outubro, Coimbra, Portugal As proprieaes obtias experimetalmete, para os materiais esaiaos, tiveram e ser ajustaas para usar o moelo umérico, e moo a se obter uma requêcia e ressoâcia igual à obtia em laboratório. As proprieaes que se usaram o moelo para os materiais esaiaos, para a chapa e aço e a base e esaio, costam a Tabela. A utiliação estas proprieaes permitiu obter valores, para a requêcia e ressoâcia, próximos os valores meios experimetalmete (ver Figura ). 7x x1-6 1.x1-6 Amplitue (m) 5x1-7 3x1-7 Amplitue (m).75x1-6.5x1-6.5x1-6 1x Frequêcia (H) a) b) 1.5x Frequêcia (H) 1.x1-6 1.x1-6.75x1-6 Amplitue (m).75x1-6.5x1-6 Amplitue (m).5x1-6.5x1-6.5x Frequêcia (H) c) ) Frequêcia (H) Figura Deslocameto, o omíio a requêcia, a irecção, gerao por uma carga aplicaa a irecção, quao o material reliete é: a) aglomerao egro e cortiça; b) ibra e coco com espessura e 13.9 mm; c) ibra e coco com espessura e 6. mm; ) multi-camaa costituía por placas e aglomerao e cortiça atural com uma placa e ibra e coco itercalaa. 5 Coclusões este trabalho, esevolveu-se um moelo que permite mular a propagação triimeoal e oas um stema semelhate ao usao a etermiação a rigie iâmica e materiais. Este moelo permitiu corrigir o valor experimetal obtio para a rigie iâmica, e orma a mular um comportameto os materiais mais próximo o real. Estas proprieaes poerão ser usaas em moelos e mulação a propagação e sos e percussão em pavimetos lutuates. 9

10 Julieta Atóio, Atóio Taeu, Aa ossa Reerêcias [1] Kim, M.J.; Kim, H.S.; Soh, J.Y. Preictio a evaluatio o impact sou trasmiso i apartmet builig structures b statistical eerg aals (SEA). Applie Acoustics Vol. 6, 1 pp [] Joas Bruskog, Per Hammer. Moels to preict impact sou trasmiso o lightweight loors. A Litterature surve. Builig Acoustics, Vol. 7(),, pp [3] Hui, C. a g, C. ew loatig loor eg with optimum isolator locatio. Joural o Sou a Vibratio, Vol. 33, 7, pp [4] ISO 95-1 (1989). Acoustics. Determiatio o amic stiess. Part 1: Materials use uer loatig loors i welligs. [5] Stewart, M. A.; Mackeie, R. K. A compariso o the preicte amic stiess o reliet Laers with calculate values obtaie rom the measure respose. Builig Acoustics, Vol. 7(4),, pp [6] Taeu, A.; Atóio, J..5D Gree s uctios or elastoamic problems i laere acoustic a elastic ormatios. Joural o Computer Moelig i Egieerig a Scieces, Vol., 1, pp [7] Lamb, H. O the propagatio o tremors at the surace o a elastic soli. Phil. Tras. Ro. Soc. Loo, A3, 194, pp.1-4. [8] Boucho, M. Discrete wave umber represetatio o elastic wave iels i three-space imeos. Joural o Geophcal Research, Vol. 84, 1979, pp [9] Kim, J.; Papageorgiou, A.S. Discrete waveumber bouar elemet metho or 3-D scatterig problems. Joural o Egieerig Mechaics, ASCE, Vol. 119, 1993, pp [1] Taeu, A.J.B.; Kausel, E. Gree s uctios or two-a-a-hal imeoal elastoamic problems. Joural o Egieerig Mechaics, ASCE, Vol. 16,, pp