Aula de Probabilidade

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1 Aula de Probabilidade Experimento Aleatório: É todo experimento que, quando repetido várias vezes e sob as mesmas condições, não apresenta os mesmos resultados. O lançamento de um dado e de uma moeda são considerados exemplos de experimentos aleatórios, no caso dos dados podemos ter seis resultados diferentes {1, 2, 3, 4, 5, 6} e no lançamento da moeda, dois {cara, coroa}. Do mesmo modo, se considerarmos uma urna com 50 bolas numeradas de 1 a 50, ao retirarmos uma bola não saberemos dizer qual o número sorteado. Essas situações envolvem resultados impossíveis de prever. Página 1 de 30

2 Espaço Amostral: Relacionado ao espaço amostral e geralmente representado pela letra E, é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Como já citado anteriormente, temos que o número possível de elementos no lançamento de um dado é o seu espaço amostral, isto é, {1, 2, 3, 4, 5, 6} No caso da moeda, o espaço amostral são os dois possíveis resultados {cara e coroa} Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral. Geralmente é representado pelas primeiras letras do alfabeto, como o A, por exemplo. São os resultados que se espera obter. Assim, por exemplo, no lançamento de um dado de 6 faces, é esperado os números pares. Assim o evento A = {{2}, {4}, {6}}. Se forem os números maiores que 4, o evento B = {{5}, {6}}. As cartas também são ótimos exemplos utilizados nos estudos probabilísticos. Temos que o espaço amostral das cartas é constituído de 52 cartas, onde podemos ter vários eventos, dependendo da característica escolhida, entre seus 4 naipes [espadas( ), paus( ), copas( ) e ouro( )] além de 13 cartas de valores numéricos diferentes [A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (valete), Q (dama) e K (rei)]. Ela também tem metade de suas cartas vermelhas [copas( ) e ouro( )] e a outra metade preta [espadas( ), paus( )]. Página 2 de 30

3 n(e) é o número de elementos do espaço amostral E. n(a) é o número de elementos do evento A. Assim, no lançamento de um dado honesto e comum, o número ou a quantidade de elementos do seu espaço amostral, onde E = {1,2,3,4,5,6}, é n(e) = 6. Se o evento forem os números pares, onde A = {2,4,6}, então n(a) = 3 ou se o evento forem os números maiores que 4, onde B = {5,6}, n(b) = 2. Probabilidade É a chance de ocorrer um evento A, dentro de um espaço amostral E. Representado por P(A) a razão entre o n(a) e o n(e). Assim, a probabilidade de em um dado honesto comum sair um número par é calculado assim: A probabilidade de sair um número maior que 4 é calculado assim: Observação: Seja A um evento e E um espaço amostral finito e não vazio de um experimento aleatório, temos: Se A é um evento impossível, logo P(A) = 0. Se A é um evento certo de ocorrer, logo P(A) = 1. Página 3 de 30

4 A Exercícios parte 1 básica: A1) No lançamento de um dado honesto, calcule a probabilidade da face superior apresentar: a) O número 3. b) Um número menor que 7. c) Um número menor que 1. d) Um divisor do total da soma dos pontos do dado. e) Um número primo. A2) No lançamento simultâneo de uma moeda e de um dado, determinar: a) O espaço amostral. b) O número de elementos do espaço amostral. c) O número de elementos do evento A: coroa na moeda e face par no dado. d) A probabilidade de ocorrência do evento A. e) A probabilidade de ocorrência do evento B: face 3 no dado. f) A probabilidade de ocorrência do evento C: coroa na moeda. A3) No lançamento de dois dados simultaneamente e observados os resultados das faces superiores, determinar: a) A probabilidade da soma ser 5. b) A probabilidade da soma ser menor que 5. c) A probabilidade do produto ser ímpar. d) O produto formar uma raiz quadrada exata. A4) Em um jogo de cartas de baralho, ao extrair uma carta aleatoriamente, calcule a probabilidade de sair: a) Um rei de ouros. b) Um rei. c) Uma carta de ouros. A5) Uma equipe de doze pessoas é formada por nove homens e três mulheres. Dessas pessoas, duas serão sorteadas para compor uma comissão. Calcule a probabilidade da comissão ser formada por: a) Duas mulheres. b) Dois homens. c) Um homem e uma mulher. A6) Uma equipe de doze pessoas é formada por nove homens e três mulheres. Dessas pessoas, quatro serão sorteadas para compor uma comissão. Calcule a probabilidade da comissão ser formada por: a) Quatro mulheres. b) Um homem e três mulheres. c) Dois homens e duas mulheres. d) Três homens e uma mulher. e) Quatro homens. f) Ao menos uma mulher. g) Ao menos um homem. A7) Em uma urna, há 5 bolas brancas, 3 bolas pretas e 7 bolas vermelhas. Se uma bola for retirada ao acaso, calcule a probabilidade de ela ser: a) Branca. b) Preta. c) Branca ou preta. d) Vermelha e branca. A8) Ao lançar uma moeda três vezes seguidas, calcule a probabilidade de sair: a) Coroa nos três lançamentos. b) Coroa em dois lançamentos. c) Coroa em um lançamento. d) Coroa em ao menos um lançamento. Página 4 de 30

5 Operações entre eventos: Interpretação: A probabilidade de ocorrer o evento A e o evento B simultaneamente, onde não podem repetir os elementos que fazem parte de A e B simultaneamente. Exemplo: Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 50. Calcular a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja par ou múltiplo de 5 A: número par n(a) = 25 B: número múltiplo de 5 n(b) = 10 A B: par e múltiplo de 5 n(a B)= 5 Assim P (A B) = 25/ /50 5/50 = 30/50 ou 0,6 ou 60%. B Exercícios parte 2 Operações entre eventos: B1) Em uma reunião há 16 homens e 20 mulheres, sendo que apenas metade dos homens e metade das mulheres usam óculos. Escolhendo uma destas pessoas ao acaso, calcular a probabilidade de ela ser homem ou usar óculos. B2) Em um jogo de cartas de baralho, ao extrair uma carta aleatoriamente, calcule a probabilidade de sair: a) Uma carta de paus ou uma dama. b) Vermelha ou um rei. B3) Uma urna tem 30 cartões, numerados de 1 a 30. Se retirarmos ao acaso um desses cartões, calcule a probabilidade de ser: a) Um múltiplo de 2 e de 3? b) Um múltiplo de 2 ou de 3? Probabilidade condicional: Em um problema a expressão e significa multiplicar ou e a expressão ou significa somar ou, respeitando a condição do item anterior. Exemplo: Retiramos duas cartas de um baralho de 52 cartas, com reposição. Calcular a probabilidade de a primeira ser uma dama e a segunda ser um 10. A: primeira carta ser uma dama n(a) = 4 B: segunda carta ser um 10 n(b) = 4 Página 5 de 30

6 C Exercícios parte 3 Probabilidade condicional: C1) Retiramos duas cartas de um baralho de 52 cartas, com reposição. Calcular: a) A probabilidade de a primeira ser de paus e a segunda ser um valete. b) A probabilidade de sair uma carta de paus e um valete. C2) Um grupo de 1000 pessoas apresenta, conforme sexo e qualificação profissional, a seguinte composição: Especializados Não especializados Homens Mulheres Escolhendo uma pessoa deste grupo ao acaso, calcule a probabilidade ser: a) Homem. b) Mulher não especializada. c) Não especializada. d) Homem especializado. e) Mulher entre os especializados. C3) Uma caixa contém 6 canetas boas e 4 defeituosas. Quatro canetas são retiradas ao acaso, com reposição. Calcule a probabilidade de: a) Todas serem boas. b) Todas serem defeituosas. c) Duas boas e duas defeituosas. C4) Uma caixa contém 6 canetas boas e 4 defeituosas. Quatro canetas são retiradas ao acaso, sem reposição. Calcule a probabilidade de: a) Todas serem boas. b) Todas serem defeituosas. c) Duas boas e duas defeituosas. Página 6 de 30

7 Probabilidade binomial: Usado quando um experimento aleatório é repetido n vezes, em condições idênticas, com todas as repetições independentes entre si, a probabilidade do evento E ocorrer k vezes. n = total de repetições do evento k = quantidade de resultados desejados n k = quantidade de resultados não desejados p = probabilidade de sair cada evento desejado 1 p = probabilidade de sair cada evento não desejado P = probabilidade de ocorrer o experimento Exemplo: Em um jogo de arco e flecha, a probabilidade um competidor acertar o alvo é de 60%. Cada competidor deve lançar 10 flechas. Calcule a probabilidade de: a) O competidor acertar 7 flechas. b) O competidor acertar somente 1 flecha. c) O competidor acertar todas as flechas. d) O competidor não acertar nenhuma flecha. e) O competidor acertar ao menos uma flecha. D Exercícios parte 4 Probabilidade binomial: D1. Uma moeda é lançada 6 vezes. Calcule: a) A probabilidade de observarmos exatamente duas caras. b) A probabilidade de observarmos ao menos duas caras. D2. Em uma prova com 20 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas sendo apenas uma correta, calcule a probabilidade do aluno acertar metade das questões da prova. D3. Uma moeda é lançada 10 vezes. Calcule a probabilidade de observarmos pelo menos 8 caras. D4. Uma moeda é lançada 9 vezes. Calcule a probabilidade de observarmos no máximo 3 caras. Página 7 de 30

8 D5. Um casal planeja ter 5 filhos. Calcule a probabilidade de o casal ter: a) Todos do sexo masculino. b) Exatamente 3 do sexo masculino. c) No máximo um filho do sexo masculino. d) O quinto filho do sexo masculino, sabendo que os quatro anteriores eram do sexo feminino. E Exercícios parte 5 Vestibulares nível fácil: E1. (Fuvest 2015) De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as 23 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é: 1 a) b) c) d) e) 8117 E2. (Unesp 2015) Uma loja de departamentos fez uma pesquisa de opinião com consumidores, para monitorar a qualidade de atendimento de seus serviços. Um dos consumidores que opinaram foi sorteado para receber um prêmio pela participação na pesquisa. A tabela mostra os resultados percentuais registrados na pesquisa, de acordo com as diferentes categorias tabuladas. categorias percentuais ótimo 25 regular 43 péssimo 17 não 15 opinaram Se cada consumidor votou uma única vez, a probabilidade de o consumidor sorteado estar entre os que opinaram e ter votado na categoria péssimo é, aproximadamente, a) 20%. b) 30%. c) 26%. d) 29%. e) 23%. E3. (Fuvest 2014) O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é a) 1 3 b) 5 12 c) d) 1 2 e) Página 8 de 30

9 E4. (Enem 2014) Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste: 1. Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 2. Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 3. Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 4. Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. Um índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, definida como a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO entre os pacientes que tiverem a doença. O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos. Resultado Doença A do Teste Presente Ausente Positivo Negativo 5 85 BENSEÑOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prática. São Paulo: Sarvier, 2011 (adaptado). Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de a) 47,5% b) 85,0% c) 86,3% d) 94,4% e) 95,0% E5. (Fgv 2014) Dois eventos A e B de um espaço amostral são independentes. A probabilidade do evento A é P(A) 0,4 P A B 0,8. e a probabilidade da união de A com B é Pode-se concluir que a probabilidade do evento B é: a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/2 E6. (Fgv 2013) O quadrado ABCD está inscrito em uma circunferência de raio r. Marcando-se ao acaso um ponto na região interior dessa circunferência, a probabilidade de que esse ponto esteja na região interior do quadrado ABCD é igual a a) 2 π b) 2 π c) 3 3 4π d) 1 π e) 1 2π Página 9 de 30

10 E7. (Ibmecrj 2013) Uma prova de Matemática contém oito questões, das quais quatro são consideradas difíceis. Cada questão tem quatro opções de resposta, das quais somente uma é correta. Se uma pessoa marcar aleatoriamente uma opção em cada uma das questões difíceis, é correto afirmar que a) a probabilidade de errar todas as questões difíceis é maior do que a probabilidade de acertar pelo menos uma questão difícil. b) a probabilidade de errar todas as questões difíceis é maior que 0,5. c) a probabilidade de errar todas as questões difíceis está entre 0,4 e 0,5. d) a probabilidade de errar todas as questões difíceis está entre 0,3 e 0,4. e) a probabilidade de errar todas as questões difíceis é menor do que 0,3. E8. (Fgv 2013) Tânia e Geraldo têm, cada um, uma urna contendo cinco bolas. Cada urna contém uma bola de cada uma das seguintes cores: azul, verde, preta, branca e roxa. As bolas são distinguíveis umas das outras apenas por sua cor. Tânia transfere, ao acaso, uma bola da sua urna para a de Geraldo. Em seguida, Geraldo transfere, ao acaso, uma bola da sua urna para a de Tânia. Ao final das transferências, a probabilidade de que as duas urnas tenham sua configuração inicial é a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) E9. (Enem 2013) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de Com isso, obteve este gráfico: A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012? a) b) 242 c) 5 22 d) 6 25 e) Página 10 de 30

11 E10. (Enem 2012) José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é a) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas. b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo. c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo. d) José, já que ha 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo. e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas. E11. (Fgv 2011) Em um grupo de 300 pessoas sabe-se que: _ 50% aplicam dinheiro em caderneta de poupança. _ 30% aplicam dinheiro em fundos de investimento. _ 15% aplicam dinheiro em caderneta de poupança e fundos de investimento simultaneamente. Sorteando uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que ela não aplique em caderneta de poupança nem em fundos de investimento é: a) 0,05 b) 0,20 c) 0,35 d) 0,50 e) 0,65 E12. (Enem 2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das ilhas de calor da região, que deveriam ser inferiores a 31 C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico: Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é a) 1 5 b) 1 4 c) 2 5 d) 3 5 e) Página 11 de 30

12 E13. (G1 - ifsp 2011) O gráfico representa o número de alunos de uma escola distribuídos por idade. Sabe-se que os alunos com exatamente 15 anos correspondem à quinta parte do grupo de idade a que pertence. Se um aluno dessa escola é escolhido ao acaso, a probabilidade de esse aluno ter exatamente 15 anos é a) 2. 5 b) c) 2. 9 d) e) E14. (Enem 2007) Uma das principais causas da degradação de peixes frescos é a contaminação por bactérias. O gráfico apresenta resultados de um estudo acerca da temperatura de peixes frescos vendidos em cinco peixarias. O ideal é que esses peixes sejam vendidos com temperaturas entre 2 C e 4 C. Selecionando-se aleatoriamente uma das cinco peixarias pesquisadas, a probabilidade de ela vender peixes frescos na condição ideal é igual a a) 1 2. b) 1 3. c) 1 4. d) 1 5. e) Página 12 de 30

13 E15. (Enem 2006) A tabela a seguir indica a posição relativa de quatro times de futebol na classificação geral de um torneio, em dois anos consecutivos. O símbolo significa que o time indicado na linha ficou, no ano de 2004, à frente do indicado na coluna. O símbolo * significa que o time indicado na linha ficou, no ano de 2005, à frente do indicado na coluna. A probabilidade de que um desses quatro times, escolhido ao acaso, tenha obtido a mesma classificação no torneio, em 2004 e 2005, é igual a a) 0,00. b) 0,25. c) 0,50. d) 0,75. e) 1,00. F Exercícios parte 6 Vestibulares nível intermediário: F1. (Unesp 2015) Um dado viciado, que será lançado uma única vez, possui seis faces, numeradas de 1 a 6. A tabela a seguir fornece a probabilidade de ocorrência de cada face. número na face probabilidade de ocorrência da face Sendo X o evento sair um número ímpar e Y um evento cuja probabilidade de ocorrência seja 90%, calcule a probabilidade de ocorrência de X e escreva uma possível descrição do evento Y. F2. (G1 - ifsp 2014) O sangue humano é classificado em quatro tipos: A, B, AB e O. Além disso, também pode ser classificado pelo fator Rh em: Rh+ ou Rh. As pessoas do tipo O com Rh são consideradas doadoras universais e as do tipo AB com Rh+ são receptoras universais. Feita uma pesquisa sobre o tipo sanguíneo com 200 funcionários de uma clínica de estética, o resultado foi exposto na tabela a seguir. A B AB O Rh Rh Um desses 200 funcionários será sorteado para um tratamento de pele gratuito. A probabilidade de que o sorteado seja doador universal é a) 7,5%. b) 10%. c) 15%. d) 17,5%. e) 20%. Página 13 de 30

14 F3. (Enem 2014) O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20. A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, e) 0, F4. (Unicamp 2014) Um caixa eletrônico de certo banco dispõe apenas de cédulas de 20 e 50 reais. No caso de um saque de 400 reais, a probabilidade do número de cédulas entregues ser ímpar é igual a a) 1. 4 b) 2. 5 c) 2. 3 d) 3. 5 F5. (Unicamp 2014) Uma loteria sorteia três números distintos entre doze números possíveis. a) Para uma aposta em três números, qual é a probabilidade de acerto? b) Se a aposta em três números custa R$ 2,00, quanto deveria custar uma aposta em cinco números? F6. (Mackenzie 2014) Em uma secretaria, dois digitadores atendem 3 departamentos. Se em cada dia útil um serviço de digitação é solicitado por departamento a um digitador escolhido ao acaso, a probabilidade de que, em um dia útil, nenhum digitador fique ocioso, é a) 1 2 b) 3 4 c) 7 8 d) 2 3 e) 5 8 F7. (Fgv 2014) a) Lançam-se ao ar 3 dados equilibrados, ou seja, as probabilidades de ocorrer cada uma das seis faces são iguais. Qual é a probabilidade de que apareça soma 9? Justifique a resposta. b) Um dado é construído de tal modo que a probabilidade de observar cada face é proporcional ao número que ela mostra. Se lançarmos o dado, qual é a probabilidade de obter um número primo? F8. (Unesp 2014) Em um condomínio residencial, há 120 casas e 230 terrenos sem edificações. Em um determinado mês, entre as casas, 20% dos proprietários associados a cada casa estão com as taxas de condomínio atrasadas, enquanto que, entre os proprietários associados a cada terreno, esse percentual é de 10%. De posse de todos os boletos individuais de cobrança das taxas em atraso do mês, o administrador do empreendimento escolhe um boleto ao acaso. A probabilidade de que o boleto escolhido seja de um proprietário de terreno sem edificação é de a) b) c) d) e) Página 14 de 30

15 F9. (Unicamp 2013) O diagrama abaixo indica a distribuição dos alunos matriculados em três cursos de uma escola. O valor da mensalidade de cada curso é de R$ 600,00, mas a escola oferece descontos aos alunos que fazem mais de um curso. Os descontos, aplicados sobre o valor total da mensalidade, são de 20% para quem faz dois cursos e de 30% para os matriculados em três cursos. a) Por estratégia de marketing, suponha que a escola decida divulgar os percentuais de desconto, calculados sobre a mensalidade dos cursos adicionais e não sobre o total da mensalidade. Calcule o percentual de desconto que incide sobre a mensalidade do segundo curso para aqueles que fazem dois cursos e o percentual de desconto sobre o terceiro curso para aqueles que fazem três cursos. b) Com base nas informações do diagrama, encontre o número de alunos matriculados em pelo menos dois cursos. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar matriculado em apenas um curso? F10. (Fgv 2013) Quatro pessoas devem escolher ao acaso, cada uma, um único número entre os quatro seguintes: 1, 2, 3 e 4. Nenhuma fica sabendo da escolha da outra. A probabilidade de que escolham quatro números iguais é 1 a) b) 128 c) 1 64 d) 1 32 e) 1 16 F11. (Enem 2013) Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? a) 1 2 b) 5 8 c) 1 4 d) 5 6 e) Página 15 de 30

16 F12. (Unifesp 2013) Considere a distribuição de genótipos AA, aa, Aa em uma população de 500 animais jovens, todos com x anos de idade. Sorteando ao acaso um indivíduo dessa população, a probabilidade de que ele seja de genótipo AA é de 32%, e de que seja de genótipo Aa é de 46%. Quando os membros dessa população envelhecem, ao atingirem y anos de idade (y>x), o gene a provoca a morte instantânea e, como A é dominante sobre a, os indivíduos AA e Aa permanecem sadios, enquanto que os indivíduos aa morrem. a) Quantos indivíduos de genótipo aa teríamos que acrescentar à população dos 500 animais de x anos de idade para que o sorteio de um indivíduo nesse novo grupo pudesse ser feito com probabilidade de 50% de que o indivíduo sorteado tivesse o gene A em seu genótipo? b) Sorteando-se ao acaso um indivíduo da população original dos 500 animais quando a idade de seus membros é de y anos, logo após a morte dos indivíduos de genótipo aa, qual é a probabilidade de que o indivíduo sorteado tenha um gene a em seu genótipo? F13. (G1 - ifsp 2013) Uma academia de ginástica realizou uma pesquisa sobre o índice de massa corporal (IMC) de seus alunos, obtendo-se o seguinte resultado: Categoria Número de alunos abaixo do peso 50 peso ideal 110 sobrepeso 60 obeso 30 Escolhendo-se um aluno, ao acaso, a probabilidade de que este esteja com peso ideal é a) 42%. b) 44%. c) 46%. d) 48%. e) 50%. F14. (Enem 2013) Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a produção de certo tipo de parafuso. Em setembro, a máquina I produziu 54 do total de parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos produzidos por essa máquina, 1000 eram defeituosos. Por sua vez, 38 dos parafusos produzidos no 1000 mesmo mês pela máquina II eram defeituosos. O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso. 2 0 P Excelente P Bom 4 6 P Regular 6 8 P Ruim 8 P Péssimo O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como a) excelente. b) bom. c) regular. d) ruim. e) péssimo. Página 16 de 30

17 G Exercícios parte 7 Vestibulares nível difícil: G1. (Unesp 2015) Renato e Alice fazem parte de um grupo de 8 pessoas que serão colocadas, ao acaso, em fila. Calcule a probabilidade de haver exatamente 4 pessoas entre Renato e Alice na fila que será formada. Generalize uma fórmula para o cálculo da probabilidade do problema descrito acima com o mesmo grupo de "8 pessoas, trocando "4 pessoas por "m pessoas, em que 1 m 6. A probabilidade deverá ser dada em função de m. G2. (Fgv 2013) Um jogo de fichas funciona de acordo com as seguintes regras: 1. Em cada jogada, o jogador com maior número de fichas dará uma de suas fichas para cada um dos demais jogadores, e uma de suas fichas para a banca. 2. Em caso de empate entre dois ou mais jogadores com o maior número de fichas, sorteia-se, aleatoriamente, um jogador dentre os que estão empatados para fazer a jogada de descarte de fichas, conforme descrito em Vence o jogador que descartar primeiro todas as fichas. a) Álvaro, Breno e Catarina disputam esse jogo começando com 15, 14 e 13 fichas cada um, respectivamente. Quem vencerá o jogo, e em quantas rodadas? b) Em uma nova rodada do jogo, Álvaro começa com x fichas, Breno começa com 4 fichas, e Catarina também começa com 4 fichas. Sendo x um inteiro maior que zero e menor que 9, determine quais são as probabilidades de vitória de cada um dos três jogadores em todas as possibilidades de x. G3. (Fgv 2012) Um sistema de controle de qualidade consiste em três inspetores A, B e C que trabalham em série e de forma independente, isto é, o produto é analisado pelos três inspetores trabalhando de forma independente. O produto é considerado defeituoso quando um defeito é detectado, ao menos, por um inspetor. Quando o produto é defeituoso, a probabilidade de o defeito ser detectado por cada inspetor é 0,8. A probabilidade de uma unidade defeituosa ser detectada é: a) 0,990 b) 0,992 c) 0,994 d) 0,996 e) 0,998 G4. (Enem 2012) Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada uma. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna. Cor Urna 1 Urna 2 Amarela 4 0 Azul 3 1 Branca 2 2 Verde 1 3 Vermelha 0 4 Uma jogada consiste em: 1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; 2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 4º) se a cor da última bolsa retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? a) Azul b) Amarela c) Branca d) Verde e) Vermelha Página 17 de 30

18 G5. (Fuvest 2012) Considere todos os pares ordenados de números naturais (a,b), em que 11 a 22 e 43 b 51. Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a,b) de tal forma que a fração a b seja irredutível e com denominador par? a) 7 27 b) c) 6 27 d) e) 5 27 G6. (Fgv 2012) Uma caixa contém 5 bolas brancas e 2 pretas, num total de 7 bolas idênticas, exceto pelas cores. Retira-se aleatoriamente dessa caixa, e sem reposição, uma bola por vez até que todas as bolas brancas, ou todas as bolas pretas, tenham sido retiradas, o que acontecer primeiro. A probabilidade de que a última bola retirada da caixa seja preta é a) 4 7 b) 5 7 c) 4 5 d) 6 7 e) 9 10 G7. (Fuvest 2011) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? a) 4 27 b) c) 7 27 d) e) G8. (Unesp 2010) Um jovem, à procura de emprego, foi selecionado por duas indústrias que estavam localizadas de lados opostos em relação à sua residência. Como não havia vantagens financeiras nem trabalhistas entre as ofertas, decidiu optar pelo emprego cuja probabilidade de pegar o primeiro trem que passasse ao chegar à estação fosse maior, fosse esse para direita ou para esquerda. Na estação ferroviária, foi informado de que os trens para direita passavam nos horários 0h10, 0h40, 1h10, 1h40, 2h10,..., 23h40, enquanto que os trens para esquerda passavam nos horários 0h00, 0h30, 1h00, 1h30, 2h00,..., 23h30, diariamente, de domingo a domingo. Que emprego o jovem escolheu, o da indústria localizada à direita ou à esquerda de sua residência? Justifique matematicamente sua resposta. Página 18 de 30

19 G9. (Enem 2009) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente? a) 3 doses. b) 4 doses. c) 6 doses. d) 8 doses. e) 10 doses. A Respostas parte 1 básica: A1) a) 1/6 b) 1 c) 0 d) 1/3 e) 1/2 A2) a) E = {(c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5), (c,6), (k,1), (k,2), (k,3), (k,4), (k,5), (k,6)} b) n(e) = 12 c) n(a) = 3 d) 1/4 e) 1/6 f) 1/2 A3) a) 1/9 b) 1/6 c) 1/4 d) 8/36 = 2/9 A4) a) 1/52 b) 1/13 c) 1/4 A5) a) 1/22 b) 6/11 c) 9/22 A6) a) 0 b) 1/55 c) 12/55 d) 28/55 e)14/55 f) 41/55 g) 1 A7) a) 1/3 b) 1/5 c) 8/15 d) 0 A8) a) 1/8 b) 3/8 c) 3/8 e) 7/8 B Respostas parte 2 Operações entre eventos: B1) A: ser homem n(a) = 16 B: usar óculos n(b) = 18 A B: ser homem e usar óculos n(a B)= 8 Assim P (A B) = 16/ /36 8/36 = 26/36 = 13/18. B2) a) 16/52 = 4/13 b) 28/52 = 7/13 B3) a) 1/6 b) 2/3 Página 19 de 30

20 C Respostas parte 3 Probabilidade condicional: C1) a) 1/52 b) 1/26 C2) a) 60% b) 26% c) 65% d) 21% e) 40% C3) a) 81/625 b) 16/625 c) 216/625 C4) a) 1/14 b) 1/210 c) 3/7 D Respostas parte 4 Probabilidade binomial: D1) a) 0,234 b) 63/64 D2) D3) 7/128 D4) 130/512 = 0,254 D5) a) 1/32 b) 5/16 c) 3/16 d) 1/2 E Respostas e resoluções parte 5 Vestibulares: E1: [C] 5 5! Luís pode receber 3 cartas de ouros de 10 maneiras e 5 cartas quaisquer de 3 3! 2! 23 23! modos. Portanto, segue que a probabilidade pedida é igual a. 3 3! 20! 1771 E2: [A] A probabilidade pedida é dada por % 20%. 85 E3: [C] Existem resultados possíveis, e os casos favoráveis são (2, 2), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) e (6, 6). Portanto, a probabilidade pedida é E4: [E] 95 A sensibilidade é dada por 100% 95% Página 20 de 30

21 E5: [D] Desde que A e B são independentes, tem-se P(A B) P(A) P(B). Portanto, do Teorema da Soma, vem P(A B) P(A) P(B) P(A B) 0,8 0,4 P(B) 0,4 P(B) E6: [A] 0,4 P(B) 0,6 2 P(B). 3 A área do quadrado ABCD é dada por 2 2 r 2 2r. Por outro lado, a área do círculo é igual a Portanto, a probabilidade pedida é 2r πr π 2 π r. E7: [D] A probabilidade de errar todas as questões difíceis é dada por , E8: [B] Sem perda de generalidade, suponhamos que a bola branca seja retirada da urna de Tânia e depositada na urna de Geraldo. Logo, a configuração inicial será restaurada se, e só se, uma das duas bolas brancas da urna de Geraldo for transferida para a urna de Tânia. Portanto, como temos 2 casos favoráveis dentre 6 possíveis, segue-se que a probabilidade pedida é 2, 6 ou seja, 1. 3 E9: [A] Nos três meses considerados o número de compradores do produto A foi , e o número de compradores do produto B, Logo, como no mês de fevereiro 30 pessoas compraram o produto A, e 20 pessoas compraram o produto B, segue-se que a probabilidade pedida é igual a E10: [D] Resultados que darão a vitória a José: {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}. Resultados que darão a vitória a Paulo: {(1.3), (2,2), (3,1)}. Resultados que darão a vitória a Antônio: {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}. Resposta: José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo. Página 21 de 30

22 E11: [C] Sejam os eventos: A: pessoas que aplicam dinheiro em caderneta de poupança. B: pessoas que aplicam dinheiro em fundos de investimento. A probabilidade de que uma pessoa sorteada aplique em caderneta de poupança ou em fundos de investimento é dada por: P(A B) P(A) P(B) P(A B) 50% 30% 15% 65% 0,65. Portanto, a probabilidade pedida é: P(A B) 1 P(A B) 1 0,65 0,35. E12: [E] O espaço amostral da escolha de Rafael terá 4 elementos e sua escolha, de acordo com as condições do problema, poderá ser Rural, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. Logo, a probabilidade será: P = 3 4. E13: [E] De acordo com o gráfico, o número total de alunos dessa escola é: O número de alunos com exatamente 15 anos é Portanto, a probabilidade pedida é dada por: E14: [D] De acordo com o gráfico, a única peixaria que vende peixes frescos na condição ideal é a V. Portanto, a probabilidade pedida é 1. 5 E15: [A] De acordo com as informações do enunciado, podemos construir a seguinte tabela: Posição º B C 2º D B 3º C A 4º A D Portanto, como nenhum dos times obteve a mesma classificação no torneio em 2004 e 2005, segue que a probabilidade pedida vale zero (evento impossível). Página 22 de 30

23 F Respostas e resoluções parte 6 Vestibulares nível intermediário: F1: A probabilidade de sair um número ímpar será dada por: P(x) 55% Poderemos admitir o evento Y como sendo Sair um número menor ou igual a quatro, pois neste caso, a probabilidade de ocorrência do evento Y seria dada por: P(y) = % F2: [C] % F3: [B] Para que o teste termine na quinta pergunta, o candidato deverá errar exatamente uma pergunta dentre as quatro primeiras e errar a quinta. Por conseguinte, o resultado é 4 (0,8) 3 0,2 0,2 4 0,512 0,04 0, F4: [B] Sejam x, y e n, respectivamente, o número de cédulas de 20 reais, o número de cédulas de 50 reais e o número total de cédulas, isto é, n x y. Logo, para um saque de 400 reais, temos: 20x 50y 400 n x y 0 x 20 0 y 8 5n 40 3x 0 x 20 0 y 8. Como 40 3x é um múltiplo de 5, por inspeção, encontramos 2 Ω {(x, y) ; (0, 8), (5, 6), (10, 4), (15, 2), (20, 0)}. Portanto, como os únicos casos favoráveis são (5, 6) e (15, 2), segue-se que a probabilidade pedida é igual a 2. 5 F5: a) Podemos sortear três números distintos entre doze possíveis de 12 12! ! 9! 1 Portanto, a probabilidade pedida é. 220 maneiras. 5 5! b) Uma aposta em cinco números corresponde a 10 apostas de três números. Em 3 3! 2! consequência, uma aposta em cinco números deveria custar 2 10 R$ 20,00. Página 23 de 30

24 F6: [B] Cada departamento pode solicitar um digitador de 2 maneiras distintas. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, os três departamentos podem solicitar um digitador de modos em um dia útil. Por outro lado, um dos digitadores ficará ocioso, em um dia útil, desde que o outro digitador seja solicitado por todos os departamentos, e isso pode ocorrer de 2 maneiras. Em consequência, a 2 3 probabilidade pedida é dada por F7: a) Seja (a, b, c), com 1 a 6, 1 b 6 e 1 c 6 a terna ordenada que representa um resultado do lançamento dos três dados. O número de ternas que apresentam soma igual a 9 corresponde ao número de soluções inteiras e positivas da equação a b c 9, ou seja, 6 8 8! CR ! 2! Contudo, desse resultado devemos descontar as ternas (1,1, 7), (1, 7,1) e (7,1,1) e, portanto, existem ternas favoráveis. Finalmente, sendo o número de ternas possíveis, tem-se que a probabilidade pedida é igual a b) Sabendo que P(1) k, P(2) 2k, P(3) 3k, P(4) 4k, P(5) 5k e P(6) 6k, com k sendo a constante de proporcionalidade, obtemos 2k 3k 5k 10 P(primo). 21k 21 F8: [E] P: probabilidade pedida. 20% de 120 = 24 10% de 230 = Logo, P F9: a) Para as pessoas que fazem dois cursos, o desconto total seria de: , Em relação ao valor do segundo curso, a porcentagem seria 240 0,4 40%. 600 Para as pessoas que fazem três cursos, o desconto total seria de: , Em relação ao valor do terceiro curso, a porcentagem seria de: 540 0,9 90% Página 24 de 30

25 b) Alunos matriculados em pelo menos dois cursos: = 16. Total de alunos: = 39. Alunos que se matricularam em apenas um curso: = 23. Logo, a probabilidade pedida será dada por: P = 23/39. F10: [C] Os casos favoráveis são exatamente quatro: 1111, 2222, 3333 e Por outro lado, existem casos possíveis. Desse modo, a probabilidade pedida é igual a F11: [A] Sejam U, I e E, respectivamente, o conjunto universo, o conjunto dos alunos que falam inglês e o conjunto dos alunos que falam espanhol. Queremos calcular P(E I ). Sabendo que n(u) 1200, n(i) 600, n(e) 500 e n(i E) 300, temos n(i E) n(u) n(i E) Além disso, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, obtemos n(i E) n(i) n(e) n(i E) n(i E) Portanto, n(e I ) P(E I ) n( I ) n(e I) n(e I) n(i E) n(i E) 200. F12: a) O número de indivíduos com genótipo aa na população de 500 animais é dado por (1 0,32 0,46) 500 0, Logo, se n é o número de indivíduos de genótipo aa que devemos acrescentar à população de 500 animais, de modo que a probabilidade de sortear um indivíduo com esse mesmo genótipo seja de 50%, então n n 220 n 500 n n 280. b) Após y anos, estarão vivos apenas indivíduos da população original. Desse modo, como restarão apenas 0, indivíduos com o gene a, segue que a probabilidade pedida é igual a Página 25 de 30

26 F13: [B] Total de alunos: A probabilidade de que este esteja com peso ideal é 110 P 44%. 250 F14: [B] A probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso é dada por P P(A e defeituoso) P(B e defeituoso) , ,098 4 Daí, como, segue-se que o desempenho conjunto dessas máquinas pode ser classificado como Bom. G Respostas e resoluções parte 7 Vestibulares nível difícil: G1: Existem 2 maneiras de posicionar Renato e Alice. Podemos dispor m pessoas entre os dois de 6! A6, m maneiras. Além disso, considerando agora as 8 (m 2) 6 m pessoas restantes, temos (6 m)! P P (7 m)! possibilidades. Por outro lado, podemos organizar o grupo em fila de P8 8! (6 m) 1 7 m modos, sem qualquer restrição. Desse modo, a probabilidade pedida é dada por 6! 2 (7 m)! (6 m)! 7 m. 8! 28 Em particular, se m 4, temos G2: a) Considere a tabela abaixo. Jogada Antônio Breno Catarina Banca As jogadas de número 3k 2, com k 1 e k, de Antônio, Breno e Catarina constituem progressões aritméticas de razão igual a 1. Vencerá o jogo quem tiver exatamente 3 fichas na última jogada, e os outros dois jogadores tiverem menos do que 3 fichas. Logo, é fácil ver que Antônio será o vencedor. Para determinarmos a jogada em que Antônio vence, basta calcularmos o valor de k para o qual a quantidade de fichas de Antônio se torna igual a 3, ou seja, 3 15 (k 1) ( 1) k 13. Portanto, Antônio vencerá na jogada de número Página 26 de 30

27 b) Para x 1, consideremos o caso em que Breno vence o sorteio na 1ª jogada. Jogada Antônio Breno Catarina Banca Antônio vence na 3ª jogada, com probabilidade de 100%, independentemente de quem vencer o sorteio na 1ª jogada. Breno e Catarina, portanto, tem probabilidade de vitória igual a 0%. Para x 2, consideremos o caso em que Breno vence o sorteio na 1ª jogada. Jogada Antônio Breno Catarina Banca Breno e Catarina ficam empatados na 4ª jogada e vencem com probabilidade de 50%, independentemente de quem vencer o sorteio na 1ª jogada. Logo, Antônio tem probabilidade de vitória igual a 0%. Para x 3, consideremos o caso em que Breno vence o sorteio na 1ª jogada. Jogada Antônio Breno Catarina Banca Breno e Catarina ficam empatados na 4ª jogada e vencem com probabilidade de 50%, independentemente de quem vencer o sorteio na 1ª jogada. Logo, Antônio tem probabilidade de vitória igual a 0%. Para x 4, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 1 e 2, teremos todos empatados na 4ª jogada. Portanto, Cada um vence com probabilidade de, aproximadamente, 33,33%. Jogada Antônio Breno Catarina Banca Para x 5, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 2 e 5, Antônio vencerá com probabilidade de 100%. Portanto, a probabilidade de Breno e de Catarina vencerem é 0%. Jogada Antônio Breno Catarina Banca Página 27 de 30

28 Para x 6, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 2 e 5, Breno e Catarina terminarão empatados na 8ª jogada. Logo cada um vence com probabilidade de, aproximadamente, 33,33%. Jogada Antônio Breno Catarina Banca Para x 7, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 2 e 5, Breno e Catarina terminarão empatados na 8ª jogada. Logo cada um vence com probabilidade de 50%. Portanto, a probabilidade de Antônio vencer é 0%. Jogada Antônio Breno Catarina Banca Finalmente, para x 8, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 2, 3, 5 e 6, os três terminarão empatados na 8ª jogada. Assim, cada um vence com probabilidade de, aproximadamente, 33,33%. Jogada Antônio Breno Catarina Banca G3: [B] Probabilidade de uma unidade defeituosa não apresentar defeito: 1 0,8 = 0,2. Probabilidade de uma unidade defeituosa não ser detectada por nenhum inspetor. 0,2 0,2 0,2 = 0,008. Probabilidade de uma unidade defeituosa ser detectada por pelo menos um inspetor. 1 0,008 = 0, Página 28 de 30

29 G4: [E] As cores que podem ficar com o maior número de bolas, após o procedimento de retirada e depósito, são a verde (3 ou 4) e a vermelha (4). Portanto, como a probabilidade de retirar uma bola verde da urna 2 é , e a probabilidade de retirar uma bola vermelha da urna 2 é , segue que o jogador deve escolher a cor vermelha. G5: [E] Temos 12 possíveis valores para a e 9 possíveis valores para b. Número de frações possíveis = 12.9 = 108. O denominador deverá ser par, então o numerador deverá ser ímpar para que a fração seja irredutível. Temos, então, as seguintes possibilidades. Valores para a = 11, 13, 15, 17, 19 e 21 e valores para b = 44, 46, 48, 50, num total de 6.4 = 24 frações Das quais deverão ser retiradas as seguintes frações redutíveis:,, e, ficamos com possibilidades num total de 108 frações. Calculando a probabilidade, temos: 20 5 P G6: [B] Sejam B o evento extração de bola branca e P o evento extração de bola preta. O evento última bola retirada é branca é igual a: {BBBBB, PBBBBB, BPBBBB, BBPBBB, BBBPBB, BBBBPB}. Logo, a probabilidade de que a última bola retirada seja branca é igual a Portanto, como o evento complementar do evento última bola retirada é branca é última bola retirada 2 5 é preta, segue que a probabilidade pedida é Página 29 de 30

30 G7: [C] Números de 3 algarismos com: a e b consecutivos = 30 b e c consecutivos = = 30 a e b consecutivos e b e c consecutivos = = 4 P = P = G8: A cada hora x, x, o jovem pegará o trem para direita se chegar na estação nos intervalos ]x, x 10] ou ]x 30, x 40]. Assim, a probabilidade de pegar os trens para direita, em uma hora, é: (x 10 x) [(x 40) (x 30)] Por outro lado, se o jovem não chegar em um dos intervalos mencionados, pegará os trens para esquerda com probabilidade: Desse modo, como, o jovem escolheu o emprego da indústria localizada à esquerda de sua 3 3 residência. G9: [B] 3 doses (1-0,9 3 ).100% = 27% 4 doses (1-0,9 4 ).100% = 34% 5 doses (1-0,9 5 ).100% = 41% Resposta 4 doses. Página 30 de 30