AULA 13 Probabilidades

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1 AULA Probabilidades Espaço amostral e evento: Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis é chamado espaço amostral (Ω) Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento Vamos analisar a seguir alguns exemplos de fenômenos aleatórios Ex: Lançamento de um dado e registro do resultado Conjunto de todos os resultados possíveis: Ω={,,,,,} Um subconjunto dele é {,, }, que pode ser identificado por ocorrer número ímpar no lançamento de um dado A = {,, } No lançamento de um dado, defina o espaço amostral e os eventos: Ω = { } A: ocorrência de número par; A = { } B: ocorrência de um número menor que ; B = { } C: ocorrência de múltiplo de ; C = { } D: ocorrência de um número menor que ; D = { } E: ocorrência de um número maior que zero e menor que E = { } No lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, defina o espaço amostral e os eventos: Ω = { } A: ocorrência de exatamente uma cara; A = { } B: ocorrência de coroa em ambas; B = { } C: ocorrência de pelo menos uma cara C = { } Eventos certo, impossível e mutuamente exclusivos No experimento aleatório lançar um dado e registrar o resultado, temos: Espaço amostral Ω = {,,,,, } Evento A: ocorrência de um número menor que A = {,,,,, } Portanto, A = Ω Evento B: ocorrência de número maior que não existe número maior que Portanto, B = Dizemos que: Quando um evento coincide com o espaço amostral, ele é chamado de evento certo, como o evento A Quando um evento é vazio, ele é chamado evento impossível, como o evento B União de Eventos, Intersecção de eventos e Complementar de um Evento Consideremos, no exemplo do lançamento de um dado, os eventos: C: ocorrência de número par C = {,, } D: ocorrência de múltiplo de D = {, } E: ocorrência de número par ou número múltiplo de E = C D = {,, } {, } = {,,, } (união de eventos) F: ocorrência de número par e múltiplo de F = C D = {,, } {, } = {} (intersecção de eventos) H: ocorrência de número ímpar, dado por C H = C (complementar de C em relação a Ω) [ou seja, o que falta em C para completar Ω] Portanto, H = (,, ) Os eventos C e H são chamados eventos complementares, pois observe que C H = Quando a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são chamados eventos mutuamente exclusivos Cálculo de probabilidades Quando num dado fenômeno (ou experimento) aleatório, com espaço amostral finito, consideramos que todo evento elementar tem a mesma chance de ocorrer (o espaço é equiprovável), a probabilidade de ocorrer um evento A, indicada por P(A), é um número que mede essa chance e é dado por: ou P ( A) P ( A) número de elementos de A número de elementos de n( A) n( ) número de resultados favoráveis número total de resultados possíveis (FEI-SP-G:D) No lançamento de três moedas normais, a probabilidade de se obter caras e coroa é: b) c) e) (CESGRANRIO-G:B) Dois dados perfeitos são lançados ao acaso A probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja é: b) c) e) 0 0 (FUVEST-SP-G:C) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 0, a probabilidade de que ele seja primo é: b) c) e) (UPE-G:A) Numa sala há 0 homens e 0 mulheres, metade dos homens e metade das mulheres tem olhos azuis Uma pessoa entre eles é escolhida aleatoriamente Podemos afirmar que a probabilidade de essa pessoa escolhida ser homem ou ter olhos azuis é: b) c) e) 0, Não existe triunfo sem perda, não há vitória sem sofrimento, não há liberdade sem sacrifício Filme O Senhor dos Anéis Página

2 (UFPE-G:E) Um saco contém bolas verdes e oito bolas amarelas Quantas bolas azuis devem ser colocadas no saco, de modo que a probabilidade de retirarmos do mesmo, aleatoriamente, uma bola azul, seja /? b) 0 c) 0 0 e) 0 (UPE-SSA G:C) Em um jogo, dois apostadores decidiram jogar uma moeda honesta vezes seguidas Se houver maior número de caras nesses lançamentos, vencerá o primeiro jogador e, caso contrário, vencerá o segundo jogador Sabendo que, em um dos lançamentos, houve cara, as chances do segundo jogador ter vencido são de: b) c) e) 9 (G:C) A prefeitura de Rio Claro, município de São Paulo, com o intuito de analisar a realidade da renda dos jovens de a anos, resolve lançar uma pesquisa, onde um dos itens girava em torno da faixa salarial O gráfico abaixo nos apresenta os resultados obtidos nessa pesquisa A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 0? b) c) e) 0 0 (ENEM-G:A) Numa escola com 00 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol Nessa pesquisa constatou-se que 00 alunos falam inglês, 00 falam espanhol e 00 não falam qualquer um desses idiomas Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? b) c) e) Escolhendo um jovem, ao acaso, dentre os que têm renda, qual a probabilidade de ser um jovem cuja faixa salarial gire em torno de salários mínimos? 0, b) 0,0 c) 0,9 0, e) 0, 0 (ENEM-G:A) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 0 Com isso, obteve este gráfico: (ENEM) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de, e, hoje, é de,0 Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que,0 a probabilidade de ela calçar,0 é: b) e) c) Não existe triunfo sem perda, não há vitória sem sofrimento, não há liberdade sem sacrifício Filme O Senhor dos Anéis Página

3 (ENEM) A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada Assim, há uma probabilidade de 0% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E, e de 0%, quando se passa por E Essas probabilidades são independentes umas das outras (ENEM) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano A principal recomendação médica foi com as temperaturas das ilhas de calor da região, que deveriam ser inferiores a ºC Tais temperaturas são apresentadas no gráfico: Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível O melhor trajeto para Paula é EE b) EE c) EE EE e) EE Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é: b) c) (ENEM) Em um concurso de televisão apresentam-se ao participante, três fichas voltadas para baixo, estando representada em cada uma delas as letras T, V e E As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$ 00,00 A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a: 0 b) e) Uma unidade de saúde, que funciona em três turnos, apresenta em sua equipe a seguinte distribuição dos médicos por turno: c) e) Para os plantões no final de semana, são formadas, aleatoriamente, equipes com dois desses médicos A probabilidade de que a equipe do plantão de final de semana seja formada por dois médicos do turno da manhã será de aproximadamente,0% b),% c),0% % e) % Não existe triunfo sem perda, não há vitória sem sofrimento, não há liberdade sem sacrifício Filme O Senhor dos Anéis Página

4 (ENEM) O gráfico mostra a velocidade de conexão à internet utilizada em domicílios no Brasil Esses dados são resultado da mais recente pesquisa, de 009, realizada pelo Comitê Gestor da Internet (CGI) (ENEM) Os estilos musicais preferidos pelos jovens brasileiros são o samba, o rock e a MPB O quadro a seguir registra o resultado de uma pesquisa relativa à preferência musical de um grupo de 000 alunos de uma escola Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual a chance de haver banda larga de conexão de pelo menos Mbps neste domicílio? 0, b) 0, c) 0,0 0, e) 0, Alguns alunos disseram não ter preferência por nenhum desses três estilos Se for selecionado ao acaso um estudante no grupo pesquisado, qual é a probabilidade de ele preferir somente MPB? % b) % c) % % e) 0% (ENEM) Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação contra a gripe suma (HIN) Segundo um médico infectologista do Instituto Emilio Ribas, de São Paulo, a imunização deve mudar, no país, a história da epidemia Com a vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento da doença, que já matou mil no mundo A tabela apresenta dados específicos de um único posto de vacinação Incluídas todas as mulheres vacinadas, considerando ao acaso uma delas, a probabilidade de ela estar infectada é de 0,9 b) 0,0 c) 0, 0,0 e) 0,0 Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é: % b) 9% c) % % e) % (UFPE-CTG) Em um grupo de cinco torcedores, três torcem pelo time A, e dois torcem pelo time B Escolhendo aleatoriamente três torcedores do grupo, qual a probabilidade percentual de serem selecionados os dois torcedores do time B? Não existe triunfo sem perda, não há vitória sem sofrimento, não há liberdade sem sacrifício Filme O Senhor dos Anéis Página

5 A senha do cartão de crédito de Paulo é composta por quatro algarismos Quando foi utilizá-lo em uma compra não conseguia lembrar dela, mas sabia que nela havia os números,, e 9, não necessariamente nessa ordem Ele então escreveu todas as possibilidades de senha em um papel para escolher aleatoriamente (e não repetir a já escolhida anteriormente) qual seria a correta e sabia que poderia errar apenas duas vezes, pois, na terceira tentativa errada, o seu cartão ficaria bloqueado Dessa maneira, a probabilidade de o cartão de crédito de Paulo não ser bloqueado na efetivação dessa compra é: b) c) 9 e) Não existe triunfo sem perda, não há vitória sem sofrimento, não há liberdade sem sacrifício Filme O Senhor dos Anéis Página

6 0% % b) 0% e) % c) % b) c) 0 0 e) 0 Os alunos de uma classe de um colégio foram interrogados sobre qual sua área de conhecimento preferido A classe possui alunos alunos responderam que preferem a área de biológicas e responderam que preferem a área de humanas Sorteado, ao acaso, um dos alunos da classe, a probabilidade de ele ter preferido a área de exatas ou a de biológicas é de: 0% % b) % e) 0% c) % Uma pessoa lança três dados não viciados Veja alguns dos resultados obtidos (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) A probabilidade de os três números obtidos formarem uma progressão aritmética de razão é igual a: b) 9 c) e) Um casal estima que suas chances de sair de casa em determinado sábado são 0% se chover no dia e 0% se não chover O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) prevê que a probabilidade de chover no sábado em questão é de 0% Considerando essas condições, a probabilidade de esse casal sair de casa nesse sábado é: GABARITO - D - D - B - E - D - D - C - D 9 - D D - E - E - C - E - D - B - C 9 - C 0 - E Não existe triunfo sem perda, não há vitória sem sofrimento, não há liberdade sem sacrifício Filme O Senhor dos Anéis Página

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