5. (Unicamp) Uma loteria sorteia três números distintos entre doze números possíveis. a) Quantas unidades da Federação tem cada região?

Transcrição

1 . (Fuvest) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto. Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos? d) e) (Fuvest) Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro. Quantas unidades da Federação tem cada região? Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões são consideradas iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos. Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas, ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que P / 0. Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil 988, cada unidade da Federação é representada por três senadores. 3. (Unicamp) Um caixa eletrônico de certo banco dispõe apenas de cédulas de 0 e 0 reais. No caso de um saque de 400 reais, a probabilidade do número de cédulas entregues ser ímpar é igual a (Fuvest) O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é d) e) (Unicamp) Uma loteria sorteia três números distintos entre doze números possíveis. Para uma aposta em três números, qual é a probabilidade de acerto? Se a aposta em três números custa R$,00, quanto deveria custar uma aposta em cinco números? 6. (Unesp) Em um condomínio residencial, há 0 casas e 30 terrenos sem edificações. Em um determinado mês, entre as casas, 0% dos proprietários associados a cada casa estão com as taxas de condomínio atrasadas, enquanto que, entre os proprietários associados a cada terreno, esse percentual é de 0%. De posse de todos os boletos individuais de cobrança das taxas em atraso do mês, o administrador do empreendimento escolhe um boleto ao acaso. A probabilidade de que o boleto escolhido seja de um proprietário de terreno sem edificação é de d) 3 30 e) 3 47 d) (Unifesp) Considere a distribuição de genótipos AA, aa, Aa em uma população de 00 animais jovens, todos com x anos de idade. Sorteando ao acaso um indivíduo dessa população, a probabilidade de que ele

2 seja de genótipo AA é de 3%, e de que seja de genótipo Aa é de 46%. Quando os membros dessa população envelhecem, ao atingirem y anos de idade (y>x), o gene a provoca a morte instantânea e, como A é dominante sobre a, os indivíduos AA e Aa permanecem sadios, enquanto que os indivíduos aa morrem. Quantos indivíduos de genótipo aa teríamos que acrescentar à população dos 00 animais de x anos de idade para que o sorteio de um indivíduo nesse novo grupo pudesse ser feito com probabilidade de 0% de que o indivíduo sorteado tivesse o gene A em seu genótipo? Sorteando-se ao acaso um indivíduo da população original dos 00 animais quando a idade de seus membros é de y anos, logo após a morte dos indivíduos de genótipo aa, qual é a probabilidade de que o indivíduo sorteado tenha um gene a em seu genótipo? 8. (Unicamp) O diagrama abaixo indica a distribuição dos alunos matriculados em três cursos de uma escola. O valor da mensalidade de cada curso é de R$ 600,00, mas a escola oferece descontos aos alunos que fazem mais de um curso. Os descontos, aplicados sobre o valor total da mensalidade, são de 0% para quem faz dois cursos e de 30% para os matriculados em três cursos. que a fração a b par? d) e) seja irredutível e com denominador 0. (Unifesp) O quadro mostra o resultado de uma pesquisa realizada com 00 nadadores de competição da cidade de São Paulo, visando apontar o percentual desses nadadores que já tiveram lesões (dores) em certas articulações do corpo, decorrentes da prática de natação, nos últimos três anos. Articulação Percentual de nadadores ombro 80% coluna 0% joelho % pescoço 0% Por estratégia de marketing, suponha que a escola decida divulgar os percentuais de desconto, calculados sobre a mensalidade dos cursos adicionais e não sobre o total da mensalidade. Calcule o percentual de desconto que incide sobre a mensalidade do segundo curso para aqueles que fazem dois cursos e o percentual de desconto sobre o terceiro curso para aqueles que fazem três cursos. Com base nas informações do diagrama, encontre o número de alunos matriculados em pelo menos dois cursos. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar matriculado em apenas um curso? Com base no quadro, determine: quantos nadadores do grupo pesquisado tiveram lesões (dores) no joelho ou no pescoço, considerando que % dos nadadores tiveram lesões nas duas articulações, joelho e pescoço. qual é a probabilidade de um nadador do grupo pesquisado, escolhido ao acaso, não ter tido lesões (dores) no ombro ou na coluna, considerando as manifestações de dores como eventos independentes.. (Unicamp) O mostrador de determinado relógio digital indica horas e minutos, como ilustra a figura ao lado, na qual o dígito da unidade dos minutos está destacado. O dígito em destaque pode representar qualquer um dos dez algarismos, bastando para isso que se ative ou desative as sete partes que o compõem, como se mostra abaixo. 9. (Fuvest) Considere todos os pares ordenados de números naturais (a,, em que a e 43 b. Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a, de tal forma

3 Atribuindo as letras a, b, c, d, e, f, g aos trechos do dígito destacado do relógio, como se indica abaixo, pinte no gráfico de barras abaixo a porcentagem de tempo em que cada um dos trechos fica aceso. Observe que as porcentagens referentes aos trechos f e g já estão pintadas. 3. (Unicamp) Um grupo de pessoas resolveu encomendar cachorros-quentes para o lanche. Entretanto, a lanchonete enviou apenas sachês de mostarda e 7 de catchup, o que não é suficiente para que cada membro do grupo receba um sachê de cada molho. Desta forma, podemos considerar que há três subgrupos: um formado pelas pessoas que ganharão apenas um sachê de mostarda, outro por aquelas que ganharão apenas um sachê de catchup, e o terceiro pelas que receberão um sachê de cada molho. Sabendo que, para que cada pessoa ganhe ao menos um sachê, 4 delas devem receber apenas um dos molhos, determine o número de pessoas do grupo. Felizmente, somente 9 pessoas desse grupo quiseram usar os molhos. Assim, os sachês serão distribuídos aleatoriamente entre essas pessoas, de modo que cada uma receba ao menos um sachê. Nesse caso, determine a probabilidade de que uma pessoa receba um sachê de cada molho. Supondo, agora, que o dígito em destaque possua dois trechos defeituosos, que não acendem, calcule a probabilidade do algarismo 3 ser representado corretamente.. (Unesp) O mercado automobilístico brasileiro possui várias marcas de automóveis disponíveis aos consumidores. Para cinco dessas marcas (A, B, C, D e E), a matriz fornece a probabilidade de um proprietário de um carro de marca da linha i trocar para o carro de marca da coluna j, quando da compra de um carro novo. Os termos da diagonal principal dessa matriz fornecem as probabilidades de um proprietário permanecer com a mesma marca de carro na compra de um novo. A B C D E A 0,6 0, 0, 0, 0,0 B 0,3 0, 0,0 0, 0, C 0, 0, 0,4 0, 0, D 0,3 0, 0, 0,3 0,0 E 0, 0,3 0, 0, 0, A probabilidade de um proprietário de um carro da marca B comprar um novo carro da marca C, após duas compras, é: 0,. 0,4. 0,0. d) 0,09. e) 0, (Fuvest) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b,. Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? d) e) (Fuvest) Seja n um numero inteiro, n 0. Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio. Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio. Considere, agora, um número natural k tal que 0 k n. Supondo que cada uma das distribuições do item tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k. Observação: Nos itens e, consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.

4 6. (Unifesp) Um jovem possui dois despertadores. Um deles funciona em 80% das vezes em que é colocado para despertar e o outro em 70% das vezes. Tendo um compromisso para daqui a alguns dias e preocupado com a hora, o jovem pretende colocar os dois relógios para despertar. Qual é a probabilidade de que os dois relógios venham a despertar na hora programada? Qual é a probabilidade de que nenhum dos dois relógios desperte na hora programada? 7. (Unesp) Duas máquinas A e B produzem juntas 000 peças em um dia. A máquina A produz 000 peças, das quais % são defeituosas. A máquina B produz as restantes peças, das quais 3% são defeituosas. Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constatou-se que ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que essa peça escolhida tenha sido produzida pela máquina A? 8. (Fuvest) Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 0 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da Espanha, garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas. De quantas maneiras é possível escolher 0 garrafas desse lote? De quantas maneiras é possível escolher 0 garrafas do lote, sendo garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França? Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 0 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países? 9. (Unifesp) O recipiente da figura I é constituído de 0 compartimentos idênticos, adaptados em linha. O recipiente da figura II é constituído de 00 compartimentos do mesmo tipo, porém adaptados de modo a formar 0 linhas e 0 colunas. Imagine que vão ser depositadas, ao acaso, 4 bolas idênticas no recipiente da figura I e 0 bolas idênticas no recipiente da figura II. bolas fiquem sem compartimentos vazios entre elas. A probabilidade de que no segundo recipiente as 0 bolas fiquem alinhadas. 0. (Fuvest) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de: /9 /3 4/9 d) /9 e) /3 Com a informação de que em cada compartimento cabe apenas uma bola, determine: A probabilidade de que no primeiro recipiente as 4

5 Gabarito: Resposta da questão : [C] Resposta de Biologia: São artrópodes da classe inseto: besouro, barata, formiga, abelha e gafanhoto. Portanto, animais. São artrópodes não insetos: aranha, escorpião, carrapato e ácaro (aracnídeos); lagosta, camarão e caranguejo (crustáceos). pois P , , 9 79 e são menores do que. Resposta de Matemática: Escolhendo dois animais aleatoriamente, temos o espaço amostral do experimento:! C, 66!.0! Escolhendo artrópode que não seja inseto, temos 7! C7,!.! Portanto, a probabilidade pedida será: P = 7 P. 66 Resposta da questão : A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste a Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a Sul 3. 9, Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as 9 9! mais populosas, há 36 modos de 7!! escolher duas unidades da região Nordeste e 4 4! 6 modos de escolher duas unidades!! da região Sudeste. Além disso, existem 7 maneiras de escolher uma unidade da região Norte, 4 modos de escolher uma unidade da região Centro-Oeste e maneiras de escolher uma unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da Federação é representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 3 7 N Como existem 3 8 senadores, podemos escolher 7 senadores quaisquer de 8 8! 7 74! 7! maneiras. Logo, Resposta da questão 3: [B] Sejam x, y e n, respectivamente, o número de cédulas de 0 reais, o número de cédulas de 0 reais e o número total de cédulas, isto é, n x y. Logo, para um saque de 400 0x 0y 400 n x y 0 x 0 0 y 8 n 40 3x 0 x 0 0 y 8 reais, temos: Como 40 3x é um múltiplo de, por inspeção, encontramos Ω {(x, y) ; (0, 8), (, 6), (0, 4), (, ), (0, 0)}. Portanto, como os únicos casos favoráveis são (, 6) e (, ), segue-se que a probabilidade pedida é igual a. Resposta da questão 4: [C] Existem resultados possíveis, e os casos favoráveis são (, ), (, 6), (3, 3), (3, ), (3, 6), (4, 4), (4, ), (4, 6), (, 3), (, 4), (, ), (, 6), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, ) e (6, 6). Portanto, a probabilidade pedida é Resposta da questão : Podemos sortear três números distintos entre! doze possíveis de 0 maneiras. 3 3! 9! Portanto, a probabilidade pedida é. 0.

6 Uma aposta em cinco números corresponde a Em relação ao valor do terceiro curso, a! 0 apostas de três números. Em porcentagem seria de: 40 0,9 90%. 3 3!! 600 consequência, uma aposta em cinco números deveria custar 0 R$ 0,00. Alunos matriculados em pelo menos dois cursos: = 6. Resposta da questão 6: [E] P: probabilidade pedida. 0% de 0 = 4 0% de 30 = Logo, P Resposta da questão 7: O número de indivíduos com genótipo aa população de 00 animais é dado por ( 0,3 0,46) 00 0, na Total de alunos: = 39. Alunos que se matricularam em apenas um curso: = 3. Logo, a probabilidade pedida será dada por: P = 3/39. Resposta da questão 9: [E] Temos possíveis valores para a e 9 possíveis valores para b. Número de frações possíveis =.9 = 08. O denominador deverá ser par, então o numerador deverá ser ímpar para que a fração seja irredutível. Temos, então, as seguintes possibilidades. Logo, se n é o número de indivíduos de genótipo que devemos acrescentar à população de 00 animais, de modo que a probabilidade de sortear um indivíduo com esse mesmo genótipo seja de então aa 0%, n 0 n 0 n 00 n 00 n 80. Após y anos, estarão vivos apenas indivíduos da população original. Desse modo, como restarão apenas 0, indivíduos com o gene a, segue que a probabilidade pedida é igual a Resposta da questão 8: Para as pessoas que fazem dois cursos, o desconto total seria de: , Em relação ao valor do segundo curso, a porcentagem seria 40 0,4 40%. 600 Para as pessoas que fazem três cursos, o desconto total seria de: , Valores para a =, 3,, 7, 9 e e valores para b = 44, 46, 48, 0, num total de 6.4 = 4 frações. Das quais deverão ser retiradas as seguintes frações redutíveis:,, e, ficamos com possibilidades num total de 08 frações. Calculando a probabilidade, temos: 0 P 08 Resposta da questão 0: A porcentagem de nadadores que tiveram lesões no joelho ou no pescoço é dada por % 0% % 40%. Portanto, 0, nadadores tiveram lesões no joelho ou no pescoço. Sejam os eventos O: nadador teve dor no ombro e C: nadador teve dor na coluna. Se o resultado desejado é a probabilidade de que um nadador do grupo pesquisado, escolhido ao acaso, não tenha tido lesões nem no ombro e nem na coluna, então P(O C) P(O C) P(O) P(C) ( 0,8)( 0,) 0, 0, 0%. Por outro lado, se o resultado pedido for a probabilidade de que um nadador do grupo pesquisado, escolhido ao acaso, não tenha tido lesões em pelo menos uma das articulações, então

7 P(O C) P(O) P(C) P(O C) 0, 0, 0, 0,6 60%. Resposta da questão : Logo, a probabilidade de que uma pessoa receba um sachê de cada molho é 3. 9 Resposta da questão 4: [C] Números de 3 algarismos com: a e b consecutivos..6 = 30 b e c consecutivos = 6.. = 30 a e b consecutivos e b e c consecutivos = 4.. = 4 P = P = Resposta da questão : Colocando o sinal * entre duas bolas faremos a distribuição. Para conseguir o número três, os trechos defeituosos devem ser a a e b. Escolhendo, ao acaso, dois trechos defeituosos, temos: 7! C7,.!.! Logo, a probabilidade será P. Resposta da questão : [D] A probabilidade pedida é dada por a a a a a a a a a a ,3 0, 0, 0 0 0,4 0, 0, 0, 0, 0,09. Resposta da questão 3: Se existem 7 3 sachês para serem distribuídos e 4 pessoas recebem exatamente um sachê, então os sachês restantes serão entregues para 8 9 pessoas, pois cada uma das pessoas restantes do grupo receberá sachês. Assim, o grupo possui pessoas. Temos, então, uma permutação de n + elementos com repetição de n. n (n )! Pn n n! n bolas e dois sinais. P n, n (n )! (n ).(n ) = n!.! vamos admitir que Pedro já tem k bolas e repartir n- k bolas para os três. Assim Pedro terá no mínimo k bolas. P nk, nk n k! n k n k n k!.! Logo a probabilidade será: P = n k. n k ) n k n k (n ).(n ) n. n Se cada uma das 9 pessoas receber um sachê, restarão sachês para serem distribuídos. Respostas: n +

8 n n n k n k n n Resposta da questão 6: % % Resposta da questão 7: Peças defeituosas produzidas pela máquina A: % de 000 = 40 peças Peças defeituosas produzidas pela máquina B: 3% de 3000 = 90 peças Total de peças com defeito = 30 peças. Probabilidade da peça defeituosa ser produzida pela máquina A. P = Resposta da questão 8: Resposta da questão 9: 30 90! 0! 00! Resposta da questão 0: [A]