Exemplo 2: Considere um dado viciado em que as probabilidades P({1}) = P({3}) = P({5}) = k e P({2}) = P({4}) = P({6}) = 2k.

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1 Probabilidades Aulas 53 e 5 prof. Aguiar - 03 Aula 53 Probabilidades Exemplo : Considere um dado honesto: Os eventos elementares são {}, {}, {3}, {}, {5} e {6} A probabilidade de sair qualquer evento elementar é sempre a mesma e igual a. 6 A soma das probabilidades de todos eventos elementares é sempre igual a. Nesse caso a probabilidade de se obter número par é 3 P(obter ou ou 6) = + + = casos favoráveis 6 casos possíveis Exemplo : Considere um dado viciado em que as probabilidades P({}) = P({3}) = P({5}) = k e P({}) = P({}) = P({6}) = k. A soma das probabilidades de todos eventos elementares é sempre igual a. Assim: P({}) + P({3}) + P({5}) + P({}) + P({}) + P({6}) = 3k + 6k = k = k = A probabilidade de sair é P({}) = A probabilidade de sair é P({}) = A probabilidade de sair número par é: P({}) + P({}) + P({6}) = + + = 6 = 3 Extra : Em uma reunião estão presentes 6 homens e mulheres. Sorteando-se ao acaso 3 pessoas, qual é a probabilidade de se obter homens e mulher? 08 n(e) = C = 0 0,3 3

2 65 n(a) = C C = = 60 6,, Assim, a probabilidade pedida é: Resposta: 60 P(A) = 0 Extra : Considere todos os anagramas formados com as letras da palavra FAVOR. Selecionando ao acaso um desses anagramas, qual é a probabilidade de ele começar por vogal? n(e) = 5! = 0 Seja o evento A começar por vogal: Temos possibilidades para a primeira casa (a ou o) e depois! para as outras casas que restam. A probabilidade é: Resposta: 5 n(a) =! = 8 8 P(A) = 0 5 Extra 3: No lançamento de dois dados não viciados, qual é a probabilidade de se obter produto dos pontos ímpar? n(e) = 6 6 = 36 O produto dos pontos será ímpar se os dois pontos forem ímpares. Assim: A = {(, ), (, 3), (, 5), (3, ),(3, 3), (3, 5), (5, ), (5, 3), (5, 5)} n(a) = Assim: Resposta: P(A) = 36

3 Extra : (PUC PR) Sérgio tem em seu bolso quatro chaves de mesmo formato e tamanho, apenas com os segredos diferentes. As chaves estão soltas e não é possível identificá-las pelo tato. Sérgio precisa abrir três fechaduras até chegar à sua sala. Faz, então, uma aposta com seu sócio Mariano: - Aleatoriamente, vou tirar do meu bolso três chaves, uma a uma e, nesta mesma sequência, abrirei as três portas. Mariano respondeu: - Duvido! Se as três portas se abrirem com as chaves escolhidas, na mesma sequência, eu lhe pagarei um belo almoço! A probabilidade de que Sérgio ganhe a aposta é igual a: 3 a) b) c) d) e) 6 Ele tem possibilidades para a escolha da ª chave, 3 para a escolha da ª e para a escolha da 3ª. Assim: n(e) = 3 = Apenas uma sequência de escolhas é correta. Logo, n(a) = P(A) = Resposta: D Extra 5: (FGV-SP) Uma urna contém quatro bolas de mesmo tamanho e peso, numeradas com os valores,, 6 e 8. Uma bola é sorteada da urna, tem seu número anotado e é reposta na urna; em seguida, outra bola é sorteada. A probabilidade de que a média aritmética dos dois números sorteados seja menor que 5 é: a) 0,35 b) 0,355 c) 0,365 d) 0,35 e) 0,385 O número de elementos do espaço amostral é n(e) = = 6. Para a média aritmética dos dois números ser menor que 5, a soma deles deve ser menor que 0. A = {(,), (,), (,6), (,), (,), (6,)} n(a) = 6 P(A) = 6 0,35 6 Resposta: D

4 Extra 6: (PUC MG) Em uma urna há 0 fichas numeradas de a 0. Retiram se duas fichas ao acaso (sem reposição). A probabilidade de que a soma dos pontos seja igual a 0 é: a) b) c) d) e) Podemos escolher fichas, sem importar a ordem, de C 0, maneiras. 0 n(e) = 5 5 A: soma dos pontos igual a 0 = { {,}, {,8}, {3,}, {,6}} n(a) = Resposta: E P(A) = 5 Extra : (FGV-SP) Quatro pessoas devem escolher ao acaso, cada uma, um único número entre os quatro seguintes:,, 3 e. Nenhuma fica sabendo da escolha da outra. A probabilidade de que escolham quatro números iguais é A) /56 B) /8 C) /6 D) /3 E) /6 As quatro pessoas podem escolher os números de = maneiras (quatro possibilidades por pessoa). Entre essas, há apenas maneiras de escolher o mesmo número. Logo, a probabilidade P pedida é: Resposta: C P = 3 6

5 Aula 5 Adição de Probabilidades Extra : (FGV-SP) Em um grupo de 300 pessoas, sabe-se que: 50% aplicam dinheiro em caderneta de poupança; 30% aplicam dinheiro em fundos de investimento; 5% aplicam dinheiro em caderneta de poupança e fundos de investimento, simultaneamente. Sorteando-se uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que ela não aplique em caderneta de poupança nem em fundos de investimento é: a) 0,05 b) 0,0 c) 0,35 d) 0,50 e) 0, ,50 = 50, 300 0,30 = 0 e 300 0,5 =5 Do enunciado, podemos montar o diagrama: Chamando o evento não aplicar em caderneta de poupança e nem em fundos de investimento de X, temos: Resposta: C P(X) = , (ENEM) Use o t exto a seguir para responder os extras e 3. A vida na rua como ela é O Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à Fome (MDS) realizou, em parceria com a ONU, uma pesquisa nacional sobre a população que vive na rua, tendo sido ouvidos 3 pessoas em cidades brasileiras. Nesse levantamento, constatou-se que a maioria dessa população sabe ler e escrever (%), que apenas 5,% vivem de esmolas e que, entre os moradores de rua que ingressaram no ensino superior, 0,% se diplomou. Outros dados da pesquisa são apresentados nos quadros a seguir.

6 Extra : No universo pesquisado, considere que P seja o conjunto das pessoas que vivem na rua por motivos de alcoolismo/drogas e Q seja o conjunto daquelas cujo motivo para viverem na rua é a decepção amorosa. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa no grupo pesquisado e supondo-se que seja igual a 0% a probabilidade de que essa pessoa faça parte do conjunto P ou do conjunto Q, então a probabilidade de que ela faça parte do conjunto intersecção de P e Q é igual a: a) % b) 6% c) 0% d) 36% e) 5% Do enunciado, P(P) = 36%, P(Q) = 6% e P(P Q) = 0% Assim: Resposta: A P(P Q) = P(P) + P(Q) P(P Q) 0% = 36% + 6% P(P Q) P(P Q) = % Extra 3: As informações apresentadas no texto são suficientes para se concluir que a) as pessoas que vivem na rua e sobrevivem de esmolas são aquelas que nunca estudaram. b) as pessoas que vivem na rua e cursaram o ensino fundamental, completo ou incompleto, são aquelas que sabem ler e escrever. c) existem pessoas que declararam mais de um motivo para estarem vivendo na rua. d) mais da metade das pessoas que vivem na rua e que ingressaram no ensino superior se diplomou.

7 e) as pessoas que declararam o desemprego como motivo para viver na rua também declararam a decepção amorosa. A soma das probabilidades de motivos por que uma pessoa vive na rua resulta em mais de 00% ( = 3). Sendo assim, existem pessoas que declararam mais de um motivo. Resposta: C Extra : Sejam A e B dois eventos do mesmo espaço amostral E. Sabendo que P(A) = 5, P(B) = e A B = E, o valor de P(A B) é: a) 3 b) c) d) e) Se A B = E, então P(A B) =. Assim: Resposta: B P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 5 + P(A B) P(A B) = Extra 5: (FGV-SP) Uma pesquisa de mercado sobre determinado eletrodoméstico mostrou que 3% dos entrevistados preferem a marca X, 0% preferem a marca Y, 30% preferem a marca Z, 5% preferem X e Y, 8% preferem Y e Z, 3% preferem X e Z e % prefere as três marcas. Considerando que há os que não preferem nenhuma das três marcas, a porcentagem dos que não preferem nem X nem Y é: A) 0% B) 3% C) 30% D) % E) 8% Do enunciado, podemos montar o diagrama: O número de elementos que não pertencem ao conjunto X nem ao conjunto Y é dado 0 8 por 8%. 00 Resposta: E