Hydrology, environment and water resources 2016 / Statistical analysis. Rodrigo Proença de Oliveira

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1 Hydrology, eviromet ad water resources 06 / 07 Statistical aalysis Rodrigo Proeça de Oliveira

2 Why do we eed statistical aalysis? IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, The temporal ad spatial variability of hydrological variables is quite sigificative. / A variabilidade espacial e temporal das variáveis hidrológicas (sobretudo precipitação e variáveis depedetes como o escoameto ou a recarga de aquíferos) é muito sigificativa. There are questios we caot aswer directly: Há pergutas que gostaríamos saber a resposta mas que ão é possível respoder diretamete: What will be the precipitatio over the Tagus basi ext year? / Qual será precipitação aual o próximo ao hidrológico sobre a bacia hidrográfica do rio Tejo? What will be the precipitatio over the Tagus basi ext moth? / Qual será precipitação o próximo mês sobre a bacia hidrográfica do rio Tejo? What will be the maximum precipitatio i 3 hours i Tracão? / Qual será a precipitação máxima em 3 horas sobre a bacia hidrográfica do rio Tracão? / What will be the peak discharge? / Qual será o caudal máximo istatâeo o rio Tracão juto a Loures? Needed for water maagemet (drought maagemet). / Se soubéssemos a resposta poderíamos preparar (ou ão) para uma evetual seca Needed for flood maagemet. / Se soubéssemos a resposta poderíamos preparar (ou ão) para uma cheia.

3 Why do we eed Statistical aalysis? IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, The world would be easier (less fu?) if it would be determiistic: A vida seria fácil se o mudo fosse determiístico: Tomorrow s precipitatio will be exactly 0 mm. Amahã chove 0 mm. Ufortuately, it is ot. We do ot kow the future, but we try to frame it. Ifelizmete ão é. Na prática ão sabemos o futuro, mas procuramos equadrá-lo. Tomorrow the precipitatio will be close to 0 mm / Amahã a precipitação será próxima dos 0 mm. Tomorrow the precipitatio will most probably be betwee 0 ad 30 mm / Amahã a precipitação situar-se-á muito provavelmete etre os 0 mm e os 30 mm. There is a 99% chace that the precipitatio will be be betwee 0 ad 30 mm ad 80% chage that the precipitatio will be betwee 5 ad 5 mm /Amahã existe uma probabilidade de 99% da precipitação estar o itervalos etre os 0 mm e os 30 mm e de 80% de estar etre os 5 mm e os 5 mm.

4 Statistical aalysis IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Objective / Objectivo: To be able to quatify the most probable values of a give variable / Coseguir quatificar os valores mais prováveis de variáveis que codicioam as ossas decisões. To be able to quatify extreme (but possible) values of a give variable / Quatificar os valores extremos mas possíveis de variáveis Method / Método: To use the a sample of hystorical values / Utilizar o registo histórico da variável em aálise (amostra) para quatificar os seus possíveis valores futuros. Assumptios / Premissas: Sample represetativeess: The observed values are good represetatives of the past / Represetatividade da amostra: Os valores observados (icluídos a amostra) são represetativos do passado (A amostra deve ser loga para poder ter registos dos mais variáveis acotecimetos). Statioarity: The caracteristics of the proccess that geerate the radom variable are maitaied / Estacioaridade do processo: As características do processo de geração da variável (que ão cohecemos) ão se alteraram, isto é a variabilidade do passado é idêtica à do futuro.

5 Radom variable IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Radom variable / Variável aleatória: A radom variable is a variable whose value is subject to variatios due to chace. Uma gradeza variável o tempo e espaço, cuja variação ão coseguimos quatificar completamete, em fução de outras variáveis e dos processos que lhe dão origem. Commo examples /Exemplos mais comus: Aual precipitatio / Precipitação aual; Aual maximum daily precipitatio / Precipitação diária máxima aual; Aual maximum hourly precipitatio / Precipitação horária máxima aual; Aual flow / Escoameto aual; Aual maximum discarge /Caudal máximo aual; Note: we may kow that aual flow volume is the result of aual precipitatio, but due to lack of data o precipitatio ad because precipitatio does ot fully explai flow volume, we may decide to aalyse flow volume as a radom variable. Nota: podemos saber que o escoameto aual é o resultado da precipitação aual, mas a precipitação ão explica toda a variação do escoameto; por essa razão ou por falta de dados de precipitação podemos optar por aalisar o escoameto aual como uma variável aleatória.

6 IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, 06 Populatio ad sample Populatio: The set of values that a give radom variable has assumed i the past. / População: Cojuto de todos os valores que a variável aleatória assumiu o passado (cojuto ifiito). Sample: The set of past values of a give variable that are available (i record) / Amostra: Cojuto de valores observados da variável aleatória. Passado Futuro Variável aleatória Amostra Sample Observed values from the radom variable Foram observados valores da variável aleatória We do ot wat to predict the future; Just estimate a probable rage of values.

7 Statistical descriptio of a sample Average / Média: Variace / Variâcia: Stadard deviatio /Desvio Padrão: Coeficiet of variatio / Coeficiete de variação: Skewess / Coeficiete de assimetria: Kurtosis / Kurtosis: IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, 06 7 P P i i P P S i i P P P S S i i P P P S CV p P 3 3 P i i P S P P G S P P K i P i P 0--06

8 Examples Average / Média = 0,0 Std deviatio / Desvio padrão = 4,3 Skewess / Coef. de assimetria = 0,0 Average / Média = 0,0 Std deviatio / Desvio padrão = 0,9 Skewess /Coef.de assimetria = 0,0 The red sample values show a higher variability over ad below the average. Average / Média = 0,0 Std deviatio / Desvio padrão = 4,3 Skewess / Coef.de assimetria = 0,0 Average / Média = 0,0 Std deviatio / Desvio padrão = 4,3 Skewess / Coef. de assimetria = 0,8 The gree sample values show a higher umber values below the average (but closer to the average) ad fewer values above the average (but sigificatly above the average). IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira,

9 Example IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Time series Histogram Average / Média = 0,0 Std Deviatio / Desvio padrão = 4,3 Skewess / Coeficiete de assimetria = 0,0 Larger variability Average / Média = 0,0 Std Deviatio / Desvio padrão = 0,9 Skewess / Coeficiete de assimetria = 0,0

10 Example IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Oly gree sample values o this rage Time series Average / Média = 0,0 Std Deviatio / Desvio padrão = 4,3 Histogram Skewess / Coeficiete de assimetria = 0,0 No gree sample values o this rage Average / Média = 0,0 Std Deviatio / Desvio padrão = 4,3 Skewess / Coeficiete de assimetria = 0,8

11 Basic sample descriptors IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, P P Average: A locatio parameter / Média: Idica a localização ou cetralidade dos valores; Stadard deviatio: A scale parameter / Desvio padrão: Idica a dispersão em toro dos valores cetrais; Skewess: A shape parameter / Assimetria: Idica a assimetria dos valores. S P G P < 0 S P G P > 0

12 Useful Excel Fuctios IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Fuctio / fução Eglish Português Average Média Variace Variâcia Desvio Padrão Stadard deviatio Skewess Coeficiete de assimetria Kurtosis Kurtosis AVERAGE? VAR? STDEV? SKEW? KURT?

13 Probability fuctio IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, A fuctio that defies the relatioship betwee the value of radom variable ad its probability of occurrece/ Fução que defiem a relação etre os valores da variável aleatória e a sua probabilidade de ocorrêcia; Estimated from a sample, i.e. from the frequecy of values i the sample / Estimadas a partir dos valores da amostra e da sua frequêcia de ocorrêcia; Radom variable / variável aleatória; x Value assumed by a radom variable / valor assumido pela variável aleatória um dado istate; F(x) Cumulative probability fuctio / Fução de probablidade acumulada; F(x) = p = Prob ( x) = Prob of beig less tha x / Prob. de a variável ser igual ou iferior a um valor x f(x) Probability desity fuctio / Fução de desidade de probabilidade: df( x) f ( x) dx F - (p) Iverse cumulative probability fuctio / Iversa da fução de probabilidade acumulada:

14 Probability fuctios Cumulative probability fuctio Fução de probabilidade acumulada x >> F(x) - Cumulative probability (betwee 0 e ) F() Iverse cumulative probability fuctio Iversa da fução de probabilidade acumulada F(x) >> x F - (p) Iverse cumulative probability fuctio Iversa da fução de probabilidade acumulada Cumulative probability fuctio Fução de probabilidade acumulada F() = Prob (<=x) 0 IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira,

15 How to describe a pdf? f() f(x) vs Radom variable / Variável aleatória; F() F(x) vs f(x) Probability distributio fuctio / Fução de distribuição de probabilidade (fdp); 0 vs F(x) F(x) Cumulative probability fuctio / Fução de distribuição acumulada - Probabilidade de ão excedêcia; 0 F() Z Iverse stadard ormal variable / Normal reduzida; vs Z Z IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira,

16 Probability fuctios IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, We usually use a geeric probabilty fuctio that we adapt (select its parameter values) to each applicatio / Por regra utilizamos fuções de probabilidade que resultam da parametrização de leis mais gerais / Example / Exemplo: Gauss law (ormal) / Lei de Gauss ou fução de distribuição ormal The fuctio describes the geeric characteristics of the distributio (like its domai, its simmetry ad its shape e.g. bell shape) / As características da f() fução são defiidas pela equação da lei geral (domíio ifiito, simetria, forma em sio ); Two parameters specify the locatio of the cetral values (m) ad the dispersio aroud that cetre(s) / Dois parâmetros defiem a localização dos valores cetrais (m) a sua dispersão em toro desse cetro (s).

17 How to describe a probability distributio fuctio IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Sample i chroological order Time, Value t, v t, v t 3, v 3 t 4, v 4 t 5, v 5..,.. t i, v i..,....,.. t -, v - t, v Time series ( vs time) Not very helpful for statistical aalysis Sample from smallest to largest Probability F(x) vs Time, Value, v (), p, v (), p F() 3, v (3), p 3 4, v (4), p 4 5, v (5), p 5..,.. i, v (i), p i..,....,.. -, v (-), p -, v (), p 0 vs Probability represeted by Z (iverse stadard ormal).

18 Probability distributio fuctios IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Sample xxxxxx xxxxxx xxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx Average=8 S x =6 G x (Skewess) =,3 f(x) vs vs Z F(x) vs

19 Probability distributio fuctio fit IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Populatio: The radom variable follows a ukow distributio with ukow parameters / População descohecida: A variável segue uma fução de distribuição descohecida com parâmetros descohecidos. Variável aleatória Variável aleatória Estimativa dos parametros da fução de distribuição da população a partir dos valores da amosta We estimate the distributio fuctio from the sample values Sample:Kow values Amostra: Valores cohecidos /

20 How to select a probability fuctio? IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, How to select a probability fuctio? / Como se selecioa uma fução de distribuição? Verifyig which fuctio better describles the sample variability. / Verificado qual a fução que melhor se ajusta aos valores observados (amostra), isto é que melhor descreve a variabilidade dos valores da amostra. The fuctio adherece to the sample depeds o the values assumed by fuctio parameters / Esse ajustameto depede dos valores atribuídos aos parâmetros da fução de distribuição. How to estimate the parameters of the probability distributio fuctio? / Como se determiam os parâmetros de uma fução de distribuição? Selectig the values that lead to the best adherece/adjustemet to the sample depeds / Escolhedo os parâmetros da fução que determiam o melhor ajustameto aos valores da amostra: Methods / Metodologias: Momets / Método dos mometos Liear momets / Métodos do mometos lieares Maximum likelihood / Método da máxima verosimilhaça

21 Statistical aalysis i hydrology: Usual applicatio of differet probability fuctios IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Dist fuctio Fuc. distrib. Normal Usual applicatio Aplicações mais usuais Aual precipitatio, Aual flow volume Precipitação aual, escoameto aual Recommeded by Recomedado por Log-ormal (Galto) Aual precipitatio,maximum daily precipitatio, Aual flow volume Precipitação aual, precipitação diária máxima, escoameto aual Log-ormal- 3 param Gumbel (GEV tipo I) Goodrich (GEV tipo III) Geer.de extremos (GEV) Pearso III Log Pearso III Aual precipitatio, Maximum daily precipitatio, Aual flow volume Precipitação aual, precipitação diária máxima, escoameto aual Daily precipitatio, Maximum daily precipitatio, Daily flow volume Precipitação diária, precipitação diária máxima aual, escoameto diário Miimum daily flow Escoameto diário míimo Maximum daily flow, Maximum discharge Escoameto diário máximo aual, caudal máximo Maximum daily precipitatio, Precipitação diária máxima Maximum daily flow, Maximum discharge Escoameto diário máximo aual, caudal máximo UK_Flood Studies Report, NERC (975) PT: AGH (990) UK_Flood Studies Report, NERC (975) USA: Guidelies for Determiig Flood Flow Frequecy, WRC (977) UK_Flood Studies Report, NERC (975)

22 Commo distributio fuctio used i hydrology IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Distributio fuctio Fução de distribuição Domai Domíio # params Params Skwew C.Assim. Normal μ, σ 0 Log-ormal (Galto) > 0 μ, σ + Log-ormal de 3 parâmetros 3 μ, σ, ε + Gumbel (GEV tipo I) α, u.396 Goodrich (GEV tipo III) 3 α, k, ε - Geer.de extremos (GEV) 0 3 α, k, ε Pearso III (Gamma) α, β, ε Log Pearso III 0 e 0 e 3 α, β, ε 0 0

23 pdf fit verificatio IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, P, (mm) Z F(x) T (aos) T F(x) Z x x 0 x x 0 x x 00 x x 00 x x 000 x x

24 Ajustameto de fuções de distribuição de probabilidades IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira,

25 IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Probability factor, K How to compute the radom variable value for a give probability p? Use the iverse cumulative probability fuctio x p = F p But first you eed to estimate the distributio parameter values ad the apply the iverse cumulative probability fuctio (usually a complex fuctio). Use the probability factor x p = ത + K p S K is a the probability factor, which is depedete o the probability expressed as p, z p or T Each probability distributio has its ow expressio to compute the probability factor It s easier ad more practical!! Slightly less acurate, but usually this does ot matter. Ufortuately, ot all probability distributios have explicit expressios to compute the probability factor.

26 Probability factor, K IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Normal Log-ormal x p = ത + K p S x p = e ത +K p S T w l K p = z p Use Excel fuctio NORMSINV to get z or a table from ay book o statistics. Or use the expressio below w w T K p w w w w Gumbel Pearso III x p = ത + K p S x p = ത + K p S K p = 6 π l l p Log-Pearso III K p = G + z p G 6 x p = e ത +K p S Aprox: de Wilso-Hilferty; valid for 0.0<p<0.99 ad < γ <. G 36 3 G Aprox. de Kite (977); valid for 0 < γ < 5 ad z > 0. k = G 6 K p = z p + z p k + 3 z p 3 6z k z p k 3 + z p k k5 GEV: Não existe fórmula de fator de probabilidade; aplicar método dos mometos

27 Methods to estimate the probability distributio fuctio parameters IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Momets: Populatio momets are assumed equal to the sample momets / Método dos mometos: Assume a igualdade etre os mometos da amostra e da população. Order Ordem Two types of momets Momets Mometos Liear momets Mometos lieares ª Média L ª Variâcia L 3ª Assimetria L3 4ª Kurtosis L4 ˆm i i i ˆ s S S i Maximum likelihood: Maximizes the probability of ocurrece of the sample / Método da máxima verosimilhaça: Maximiza a probabilidade de ocorrêcia da amostra.

28 Computatio of values assumig differet pdfs IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, i L( i ) Sample values sorted chroologically Valores da amostra e do seu logaritmo ordeados croologicamete F(x) Probability of o-exceedace accordig to a empirical formula Probabilidade de ão excedêcia de acordo com uma fórmula empírica i Sorted sample values from mi to max Valores da precipitação aual ordeados crescete Z Stadard ormal z p F N Re d Fx p Fx F p x p F F(x) Z (mm) Ao P (mm) = L P Ordem P (mm) i/(+) Norm.Red. Normal LNorm Gumbel Pearso III x y x() /(+) z x x x x x y x() /(+) z x x x x 3 x3 y3 3 x(3) 3/(+) z3 x x x x.... x y x() /(+) z x x x x Radom variable values for differet probabilities assumig differet prob. distributios Valores de precipitação para diferetes probabilidade e diferetes fuções

29 Probability distributio fuctios IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, F(x) Z (mm) Ao P (mm) = L P Ordem P (mm) i/(+) Norm.Red. Normal LNorm Gumbel Pearso III x y x() /(+) z x x x x x y x() /(+) z x x x x 3 x3 y3 3 x(3) 3/(+) z3 x x x x.... x y x() /(+) z x x x x axis Eixo axis / Eixo

30 Retur period IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, No excedace probability / Prob. de ão excedêcia aual: Prob(<=x) = F(x) = p Excedace probability / Prob. de excedêcia aual: q = Prob(>x) = - F(x) = - p Retur period, T: Average umber of years betwee evets / Período de retoro, T / Período médio em aos etre evetos q = - F(x) T (aos) 0,5 T F( x) p q 0, This meas: A 00 year evet occurs o average every 00 years. Ou seja, um eveto com um período de retoro ocorre em média 00 vezes um itervalo de 000 aos. It does ot mea that it regularly occurrs every 00 years / Não quer dizer que ocorra regularmete de 00 em 00 aos.

31 Retur period IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Is a 00 year evet a rare evet? What is the probability of a 00 year evet occurrig i a period of 00 years? Cosidere um eveto com um periodo de retoro de 00 aos. Será que é um eveto raro? Qual é a probabilidade de ocorrêcia deste eveto um itervalo de 00 aos? Probability of occurrig i a give year: Probabilidade do eveto ocorrer um dado ao: q 0,0 T Probability of ot occurrig i a give year: Probabilidade do eveto ão ocorrer um dado ao: p q 0,99 Probability of ot occurrig i a 00 years period: Probabilidade do eveto ão ocorrer em 00 aos: p ,99 0,366 Probability of occurrig i a 00 years period: Probabilidade do eveto ocorrer em 00 aos p 00 0,366 0,634

32 Recomeded retur periods IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Recommedd retur period as a fuctio of the type of works (ad risk) (Toii, 966) Período de retoro do caudal a cosiderar o dimesioameto de obras hidráulicas Type of ifra-structure Retur period (years) Urba draiage works / Dreagem de zoas urbaas 0 a 0 Agricultural draiage works / Obras de exugo 0 a 50 Flood cotrol works alog rivers / Obras logitudiais de defesa cotra cheias em rios, cosoate a importâcia das zoas e dos cetros urbaos existetes 0 ou 50 a 00 Coastal defese works / Obras de defesa do mar 50 a 00 Cocrete dam spillways i isolated areas / Descarregadores de cheias de barrages de betão, de modesta dimesão, em zoas pouco habitadas Cocrete dam spillways i populated areas/ Descarregadores de cheias de barrages de betão, de grade dimesão, em zoas muito habitadas Earth dam spillways i isolated areas / Descarregadores de cheias de barrages de aterro, de modesta dimesão, em zoas pouco habitadas Earth dam spillways i populated areas / Descarregadores de cheias de barrages de aterro, de grade dimesão, em zoas muito habitadas 00 a a a a 0000

33 Normal IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, f ( x) s exp Domai / Domíio: Parameters / Parâmetros: Locatio / Localização: Scale / Escala: Shape (Skewess )/ Forma (Coeficiete de assimetria): 0 Estimators / Estimadores: ˆm s m s i Iverse fuctio / Fução iversa: x Probability factor / Factor de probabilidade: z p m i i ˆ s S S K N = Z p (iverse stadard ormal / iversa da ormal reduzida) i m s p Iversa ormal reduzida z p

34 ~ Normal; = l() ~log ormal Domai / Domíio: Parameters / Parâmetros: Locatio / Localização: Scale / Escala: Shape (Skewess )/ Forma (Coeficiete de assimetria): Estimators / Estimadores: Iverse fuctio / Fução iversa: Probability factor / Factor de probabilidade: K N = Z p (iverse stadard ormal / iversa da ormal reduzida) Log-ormal IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, i i ˆm exp s m s ˆ S S i i s exp s m m l exp ) ( x x f s m s p p z S exp da duzi Normal Iversa p z p Re m s m s 0--06

35 ~ Normal; = l(-) ~log ormal Domai / Domíio: Parameters / Parâmetros: Locatio / Localização: Scale / Escala: Shape (Skewess )/ Forma (Coeficiete de assimetria): Estimators / Estimadores: Iverse fuctio / Fução iversa: Probability factor / Factor de probabilidade: K N = Z p (iverse stadard ormal / iversa da ormal reduzida) Log-ormal de 3 parâmetros IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, i i ˆm ˆ S S i i s l exp ) ( x x f s m s p p z S u x exp duzida Normal Iversa p z p Re ) ( m s m s m mediaa mediaa x x x x x x u ˆ ) ( () ) ( () s

36 Gumbel IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, f ( x) exp x Domai / Domíio: Parameters / Parâmetros: exp exp x Locatio / Localização: u Scale / Escala: Shape (Skewess )/ Forma (Coeficiete de assimetria): Estimators / Estimadores:,396 ˆ u 0,577 ˆ ˆ Iverse fuctio / Fução iversa: x p u ˆ l l p 6 Sx Probability factor / Factor de probabilidade: K p 6 0,577 l l F( x) K p T ll T

37 Domai / Domíio: Parameters / Parâmetros: Locatio / Localização: Scale / Escala: Shape / Forma: Skewess coeficiet / Coef. assimetria: Estimators / Estimadores: Iverse fuctio / Fução iversa: Goodrich (EV tipo III) IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, ˆ ˆ ˆ ˆ u x x F exp ) ( ˆ l ˆ p u x p 0, ; x x x f k exp ) ( N ~ goalseek ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S A (x) Gamma fuctio (it is ot the Gamma probability distributio fuctio) Chage N to set the skewess coefficiet equal to the sample skewess coefficiet 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 ˆ 3 Ca 0--06

38 GEV - Geeralizada de extremos F( x) exp Domai / Domíio: Parameters / Parâmetros: Locatio / Localização: Scale / Escala: Shape / Forma: Estimators (by liear momets) / Estimadores (por mometos lieares): ˆ r r r j ε Ƹ = ത + j r r Iverse fuctio / Fução iversa: x < < k = 0 x ε + k α > 0 k 0 j 0 c 3 α k Γ + k 0 l l 3 IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, x p (x) Gamma fuctio (it is ot the Gamma probability distributio fuctio) ˆ u ˆ ˆ k c.9554c l p ˆ

39 Pearso III Domai / Domíio: 0 0 f ( x) x x exp Parameters / Parâmetros: Locatio / Localização: Scale / Escala: Shape (Skewess )/ Forma (Coeficiete de assimetria): Estimators / Estimadores: Iverse fuctio / Fução iversa: ˆ ˆ ( ˆ, p) ( ˆ, p) x p ˆ G ˆ S ˆ ˆ u S ˆ 0 0 ˆ ˆ Iversa da fdp Gama padroizada Probability factor / Factor de probabilidade: Aprox: de Wilso-Hilferty; valid for 0.0<p<0.99 ad < γ <. K p = γ + z p γ 6 γ 36 Aprox. de Kite (977); valid for < γ < 5 ad z > 0. k = γ 6 K p = z p + z p k + 3 z 3 p 6z k z p k 3 + z p k k5 IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, γ

40 Pearso III IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Whe the skewess coefficiet is close to zero, the PearsoIII fuctio approximates the ormal distributio. I such cases, there may be problems i calculatig the quatile if they are calculated by the equatios derived for the Pearso III distributios. It is recommeded to resort to the probability factor or the expressios of the ormal distributios / Quado o coeficiete de assimetria é próximo de zero, a fução de PearsoIII aproxima-se da ormal. Nesses casos, pode haver problemas o cálculo dos quatis se estes forem calculados pelas expressões da PearsoIII, sedo ecessário recorrer ao factor de probabilidade ou às expressões da ormal. Whe the sample skewess coefficiet is egative, use the Wilso- Hilferty approximatio. Alteratively, use the Kite approximatio to the egatives of the origial sample. I this case, the calculatio of the probability quatile value p = F () should be replaced by -p / Quado o coeficiete de assimetria da amostra é egativo utilise a aproximação de Wilso-Hilferty. Em alterativa use a aproximação de Kite aos egativos da amostra. Nesse caso, o cálculo do quatil o valor de probabilidade p=f(), deverá ser substituído por -p.

41 ~Pearso 3; = l() ~Log-Pearso 3 Domai / Domíio: Parameters / Parâmetros: Locatio / Localização: Scale / Escala: Shape (Skewess )/ Forma (Coeficiete de assimetria): Skewess / Coeficiete de assimetria: Estimators / Estimadores: Iverse fuctio / Fução iversa: Log-Pearso III IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, 06 4 x x x f l exp l ) ( e e 0 0 )), ˆ ( ˆ exp( ˆ p x p S ˆ ˆ S u ˆ ˆ ˆ ˆ E E s m m α β ε α = G

42 Gamma fuctio ad Gamma probability distributio fuctio IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Fução Expressão Fução Excel Fução Gama x 0 e u u x du EP(GAMMALN(x)) Fução de distribuição da probabilidade Gama f ( x,, ) x e x GAMMADIST(x,,,0) Fução de distribuição da probabilidade acumulada Gama GAMMADIST(x,,,) Iversa da fução de distribuição da probabilidade acumulada Gama GAMMAINV(p,,) Distribuição de probabilidade Gama reduzida (padroizada) (cum = 0 des.; cum = acum.). f ( x, ) x e x GAMMADIST(x,,,cum)

43 Relatioships betwee probability distributio fuctios IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Geeric fuctio Fução geral Log-ormal 3 param Coditio Codição Specific fuctio Fução particular Log-ormal GEV 0 Gumbel (EV tipo I) Pearso3 0; 0 Gama Pearso3 Goodrich 0 ; 0; Ca 0 0 Normal Weibul Relatioship / Relação Log-Normal = l() Normal Log-Pearso3 = l() Pearso3 Weibull =-l() Gumbel EV-tipo III com k>0 Weibull

44 Exercise IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Ao hidrológico ALENQUER (9C/0U) Precipitação aual (mm) 980/ / / / / / / / / / / / / / / /96 996/ / / / / / Cosider the aual precipitatio record ad assume it follows a Gauss distributio / Cosidere o registo de precipitação aual do posto de Alequer. Assumido que a precipitação aual segue uma distribuição de probabilidade de Gauss. What is the probability of ocurrrig a aual value less tha 450 mm? Qual é a probabilidade de ocorrer um valor de precipitação aual iferior a 450 mm? What is the precipitatio value that correspods to a probability of % of ocurrrig larger values? Qual o valor da precipitação aual que correspode a uma probabilidade de ocorrerem valores de precipitação aual superiores igual %. F(x) 0,5 0,9 0,99 0,995 0,999 Z 0,00,8,33,56 3,09 Average / Média = 7,0 mm Std deviatio / Desvio padrão = 7,8 mm Skewess / Coef. assimetria = 0,4 S 450 7,0,5 7,8 Z >> Prob = 0% Prob (Z>z) = 0,0 >> F(z) = 0,99 >> z=,33 Z S 7,0 7,8,33 >> = 9,5 mm

45 Exercise IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, The average aual flow geerated i a watershed is 00 mm. Assumig 0,7 that the coeficiet of variatio ca be estimated by CV H,74 H, determie the aual flow which has a 90% chage of ot beig exceeded. Assume the aual flow follows a ormal distributio. Also determie the aual flow which has a 90% chage of beig exceeded. Para determiada bacia hidrográfica estimou-se um escoameto médio aual de 00 mm. Assumido que o coeficiete de variação do escoameto aual pode ser 0,7 estimado CV H,74 H, determie o valor de escoameto aual que tem a probabilidade de 90% de ão ser excedido, de acordo com a lei ormal. Determie também o valor do escoameto aual que, segudo tal lei, tem a probabilidade de 90 % de ser excedido. Normal: F(x) 0,5 0,9 0,99 0,995 0,999 K N 0,00,8,33,56 3,09

46 Exercise IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Cosider the followig plot of aual maximum daily precipitatio values / Na figura represeta-se em papel de probabilidade ormal uma série de máximos auais da precipitação diária. What is the sample average ad the sample stadard deviatio? Estime a média e o desvio-padrão da série amostral? Is the sample skewess positive or egative? A série amostral tem um coeficiete de assimetria positivo ou egativo? Provide a estimate of the aual maximum daily precipitatio for a retur period of 00 years, usig the Gumbel distributios / Estime a precipitação máxima diária com um período de retoro de 00 aos pela lei de Gumbel. Precipitação (mm) z (-) K G 6 T 0,577 l l T

47 Exercise IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Compute the aual maximum discharge for a retur period of 500 years, for a watershed where the average ad the coeficiet of variatio of the aual maxima discharge sample is 000 m 3 /s ad 0,70. Assume a Gumbel probability fuctio. Estime o caudal máximo aual com um período de retoro de 500 aos para a secção trasversal de um curso de água ode a média e o coeficiete de variação dos caudais máximos auais são, respectivamete, 38,9 m 3 /s e,5. O factor de probabilidade da lei de Gumbel é defiido por: K 6 0,577 l l F( x) Media 38.9 p T 500 DesvPadrão 44.7 z.878 Coef.Var..5 KG p 35.3 m3/s

48 Exercise IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Compute the aual maximum discharge for a retur period of 0 years, for a watershed where the aual maxima flow record has the followig statistics. Assume a Pearso3 probability fuctio. Uma determiada amostra de valores de caudal máximo aual apreseta as estatísticas apresetadas o quadro. Assumido a fdp de Pearso III, estime o valor de caudal máximo aual associado a um período de retoro de 0 aos. Média (m3/s) D.Padrao (m3/s) Coef. Assim Q 38,9 44,7 3, Prob. acumulada 0,5 0,9 0,99 0,995 Normal reduzida z 0,00,8,33,56 Media 38.9 p 0.95 T 0 DesvPadrão 44.7 z.645 Coef.Var..5 k CoefAssim. 3. KP p 7.6 m3/s

49 Exercise IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Compute the aual maximum discharge for a retur period of 0 years, for a watershed where the aual maxima flow record has the followig statistics. Assume a LogPearso3 probability fuctio. Uma determiada amostra de valores de caudal máximo aual apreseta as estatísticas apresetadas o quadro. Assumido a fdp de LogPearso III, estime o valor de caudal máximo aual associado a um período de retoro de 0 aos. Média (m3/s) D.Padrao (m3/s) Coef. Assim Q ,47 Prob. acumulada 0,5 0,9 0,99 0,995 Normal reduzida z 0,00,8,33,56 L Q 5.98,78-0,53

50 Qmax (m3/s) Exercise IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Use the data from the previous exercise to compute the flood maximum discharge assumig the Gumbel, Pearso 3 ad log-pearso 3 probability fuctios. Use os dados do exercício aterior para comparar os valor de caudal máximo de cheia assumido as fdp de Gumbel, Pearso 3 e log-pearso 3. T P q Qp_Gumb Qp_P3 z KP3 Wp p Qp_LP Gumbel P3 LP Z

51 Exercise IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, A small tow suffers floods wheever the discharge of a earby river exceeds 400 m 3 /s. The table presets some statistics of the flow record of that river. Assumig a log-ormal distributio, estimate the retur period of the floods. Cosidere um aglomerado populacioal localizado juto a um curso de água que provoca iudações sempre que o seu caudal excede 400 m 3 /s. O registo de uma estação hidrométrica próxima permitiu estimar os valores apresetados o quadro e cocluir que a distribuição dos valores do caudal máximo aual pode ser represetada por uma fução de distribuição log-ormal. Estime o período de retoro de ocorrêcia das iudações. Variável Média Desv. padrão Coef. assimetria Caudal máximo aual, Q, (m3/s) L Q 3,5 3 -

52 Exercise IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, The series of Naiperia logarithms of the aual maximum peak discharge of a give river cross sectio has a average of 6,46, a stadard deviatio of 0,9 ad skewess of 0,0. Usig the log-pearso III distributio, estimate the discharge associated with a probability of 0,99 of ot beig exceeded. Em determiada secção de um curso de água, a série de logaritmos eperiaos dos caudais máximos auais em m3/s, apreseta uma média de 6,46, um desvio padrão de 0,9 e um coeficiete de assimetria de 0,0. Estime pela lei Log-Pearso III o caudal que tem uma probabilidade de 0,99 de ão ser excedido. T (aos) Normal reduzida, z,8,33,56 3,09

53 Exercise IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, The aual flow volume of a watershed with 438 km is 750 mm. Assumig that this variable ca be described by a ormal distributio with CV =,74H -0,4 (H i mm) estimate the aual flow i m 3 for a 00 aos retur period. O escoameto aual médio de uma bacia hidrográfica com 438 km é 750 mm. Assumido que esta variável pode ser descrita por uma distribuição Normal e que o coeficiete de variação pode ser estimado por CV =,74H -0,4 (H em mm) estime o escoameto aual em m 3 para um período de retoro de 00 aos. F(x) 0,5 0,9 0,99 0,995 0,999 K N 0,00,8,33,56 3,09

54 Exercise IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, Cosider a small tow located ear a stream where the distributio of the aual maximum peak discharge ca be described by the Gumbel law, with average 70 m 3 /s ad stadard deviatio 40 m 3 /s. Kowig that floods ocurr wheever the discharge exceeds 50 m 3 /s, estimate the retur period of floods ad the probability of ocurrig oe or more floods i a period of 80 years. Cosidere um aglomerado populacioal localizado juto a um curso de água em que o regime de caudal máximo aual pode ser descrito por uma fução de distribuição de probabilidade de Gumbel, com média 70 m 3 /s e o desvio padrão de 40 m 3 /s. Sabedo que ocorrem iudações sempre que o caudal do curso de água excede 50 m 3 /s, estime o período de retoro de ocorrêcia de iudações e a probabilidade de ocorrêcia de uma ou mais iudações um período de 80 aos hidrológicos.

55 Exercise IST: Hydrology, eviromet ad water resources 06/7 Rodrigo Proeça de Oliveira, The spillway of a dam is desiged for a peak discharge of 80 m 3 s -. The series of the aual maximum peak discharge at the dam site has a average of 500 m 3 s - ad a stadard deviatio of 50 m 3 s -. Assumig the Gumbel distributio, please estimate: The probabilidade of the desig flow beig exceded i a give year. The probabilidade of the desig flow beig exceded at least oce i 40 years. Em determiada obra dimesioaram-se os órgãos de descarga para um caudal máximo aual de 80 m 3 s -. Na secção ode a obra foi implatada a série dos caudais máximos auais apreseta uma média e um desvio-padrão de 500 m 3 s - e 50 m 3 s -, respectivamete. Nessas codições e admitido a aplicabilidade da lei de Gumbel, determie: A probabilidade do caudal de dimesioameto ão ser excedido um determiado ao; A probabilidade do caudal de dimesioameto ser excedido em pelo meos um dos quareta aos que se sigam à coclusão da obra.