ANEXO 3 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL (NOR)

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1 ANEXO UNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL (NOR) A.1 dp e/ou d 1 1 f ( ) ep, (A.1) A. Estimativa dos Parâmetros A.. Método da Máima Verosimelhança (MV) 1 N N i i 1 (A.8) s 1 N 1 N i i 1 (A.9) embora, em rigor, o estimador s corresponda à epressão dada pela Eq. (A.9), com N em vez de N-1. A. Obtenção dos Quantis Os quantis são dados por: ˆ s z (A.10) em que z tem a função de distribuição normal padronizada. O quantil da normal padronizada, z (tabelado), pode ser obtido em EXCEL com a função NORMSINV(). A.4 Obtenção do Valor da unção de Distribuição O valor da função de distribuição, (), pode ser obtido considerando que ( ) ( z), com a normal padronizada z epressa por: z (A.14) s e em que (z), a função de distribuição normal padronizada (tabelada) (função NORMSDIST(z), em EXCEL)

2 ANEXO 4 UNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL A PARÂMETROS (LN) A4.1 dp e/ou d Se u ln-ξ é NOR então é LN. 1 1 ln( ) f ( ) ep, (A4.1) ( ) A4. Estimativa dos Parâmetros A4.. Método dos Quantis com o Método da Máima Verosimelhança (QMV) Os parâmetros são estimados por (Stedinger, 1980): N ˆ ( ) (1) md, para (N) ( 1) md 0 (A4.8) ( N ) (1) md em que (N) e (1) representam os valores máimo e mínimo da amostra, respectivamente, e md o valor mediano. ln( ˆ) (A4.1) s N i 1 ln i N ˆ (A4.1) A4.4 Obtenção dos Quantis Os quantis são dados por: ˆ ˆ ep s z (A4.6) em que z é calculado como indicado para a fd normal (função NORMSINV(), em EXCEL). A4.5 Obtenção do Valor da unção de Distribuição O valor da função de distribuição, (), é obtido considerando que ( ) ( z), com a normal padronizada z epressa por: ln ˆ z s e (z) calculado como para a função de distribuição normal (função NORMSDIST(z), em EXCEL). (A4.7)

3 ANEXO 5 UNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL A PARÂMETROS (LN) A5.1 dp e/ou d Esta função constitui um caso particular da LN, com =0, isto é: 1 1 ln f ( ) ep, 0 (A5.1) pelo que, se u ln é NOR então é LN. A5. Estimativa dos Parâmetros A5.. Método da Máima Verosimelhança (MV) Os parâmetro são estimados por (Stedinger, 1980): ln (A5.6) s N i 1 ln i N (A5.7) A5.4 Obtenção dos Quantis Os quantis são dados pela Eq. (A4.6), com ˆ 0, e em que z é calculado como indicado para a fd normal (função NORMSINV(), em EXCEL), isto é: ˆ ep s z (A5.8) A5.5 Obtenção do Valor da unção de Distribuição O valor da função de distribuição, (), é obtido considerando que ( ) ( z), com a normal padronizada z epressa pela Eq. (A4.7), com ˆ 0, e (z) calculado como para a função de distribuição normal (função NORMSDIST(z), em EXCEL).

4 4 ANEXO 6 UNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO PEARSON TIPO (PR) A6.1 dp e/ou d f ( ) 1 1 ( ) ep, 0 (A6.1) em que u representa a função gama (função EXP(GAMMALN(u)), em EXCEL). A variável padronizada é definida por: (A6.) sendo uma variável aleatória com fd gama, com parâmetro de forma. As respectivas fdp e fd são dadas por: 1 e f ( ) (A6.) ( ) () (), 1 (), α 0, α 0, ξ ξ (A6.4) A6. Estimativa dos Parâmetros A6.. Método dos Momentos (MM) Os parâmetros são estimados por (Bobée e Robitaille, 1977): 4 ˆ (A6.1) ˆ c s ˆ sign ˆ c (A6.14) ˆ em que sign() representa o sinal do respectivo argumento. ˆ ˆ ˆ (A6.15) ˆ c ˆ sb ˆ N N N N sb (A6.16) M ˆ sb (A6.17) M em que M i representa o momento centrado da amostra, de ordem i.

5 5 A6.4 Obtenção dos Quantis ou Os quantis podem ser obtidos através das epressões equivalentes: ˆ ˆ ˆ ˆ (A6.6) ˆ ˆ ˆ K (A6.7) em que K, designado de factor de frequência, é uma v.a. com fd Pearson, com K 0, K 1 e coeficiente de assimetria ˆ (estimando os parâmetros com o método dos momentos: ˆ ˆ c ). À medida que o coeficiente de assimetria tende para zero, o parâmetro de forma tende para infinito, e a fd de Pearson converge para a fd Normal. Os valores ˆ e ˆ apenas correspondem à média e desvio padrão amostrais se o método de estimativa de parâmetros tiver sido o método dos momentos. A Eq. (A6.6) é utilizada para valores de caso contrário. ˆ não muito próimos de zero e a Eq. (A6.7) no Se ˆ 0.1, calcula-se ( ) ( ), 1 ( ), se se 0 0 (A6.9) seguido de 1 ( ) (função GAMMAINV((); ; 1), em EXCEL). inalmente, o quantil pretendido obtém-se por aplicação da Eq. (A6.6). Se ˆ 0.1, o processo acima descrito não pode ser utilizado, pois a função GAMMAINV perde rigor para valores daquele coeficiente perto do zero e não tem solução quando este é nulo. Neste caso, a aproimação para o factor de frequência apresentada por Wilson-Hilfert (Henriques, 1990), fornece bons resultados para aquele intervalo de variação do coeficiente de assimetria (Chowdhur e Stedinger, 1991): ˆ ˆ K 1 ˆ z (A6.0) em que z é valor da normal padronizada correspondente à probabilidade pretendida, obtida como eplicado para a função de distribuição normal (função NORMSINV(), em EXCEL). No entanto, como a Eq. (A6.0) é indeterminada para ˆ P 0, é preferível utilizá-la epandindo a potência do membro direito, o que conduz a (Chowdhur e Stedinger, 1991): ˆ 1 ˆ z z 6z z ˆ ˆ 1 ˆ 1 z K z (A6.0b) inalmente, o quantil pretendido é estimado por aplicação da Eq. (A6.7). A6.5 Obtenção do Valor da unção de Distribuição Se ˆ 0.1, obtém-se por aplicação da Eq. (A6.), com as estimativas ˆ e ˆ. Seguidamente, em EXCEL, o valor de () é obtido através da função GAMMADIST( ; ; 1; TRUE). inalmente, o valor de () é obtido por aplicação da Eq. (A6.4).

6 6 Se ˆ 0.1, obtém-se o valor de K a partir da epressão: K ˆ ˆ (A6.) Em seguida a Eq. (A6.0) é resolvida em ordem a z, o que conduz a: ˆ P 6 ˆ z K 1 1 (A6.5) 6 ˆ Como a Eq. (A6.5) é indeterminada para ˆ P 0, é preferível utilizá-la epandindo a potência do membro direito, o que conduz a: z ˆ 6 K 18 18ˆ K 6ˆ K (A6.5b) inalmente, ( ) ( z), com (z) calculado como para a função de distribuição normal (função NORMSDIST(z), em EXCEL).

7 7 ANEXO 7 UNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO GAMA A PARÂMETROS (GAM) A7.1 dp e/ou d Esta função constitui um caso particular da PR, com 0, isto é: f ( ) 1 ( ) 1 ep, 0 (A7.1) Sendo a variável padronizada definida por: (A7.) e as respectivas fdp e fd dadas por: e 1 e f ( ) ( ) (A7.) ( ) ( ), 0, 0 1 ( ), 0, 0 (A7.4) No entanto, para as séries a considerar, esta função só tem interesse quando 0, já que não há caudais negativos. A7. Estimativa dos Parâmetros A7.. Método da Máima Verosimelhança (MV) Os parâmetros são estimados por (Kite, 1980): C ln ln (A7.1) para 0 C (erro inferior a %): ˆ C C (A7.14) C para C 17 (erro inferior a %): e, finalmente: ˆ C C (A7.15) C C C ˆ ˆ (A7.16)

8 8 A7.4 Obtenção dos Quantis Os quantis podem ser obtidos através das epressões equivalentes, correspondentes às Eqs. (A6.6), com ˆ 0, e (A6.7), isto é: ou ˆ ˆ ˆ (A7.17) ˆ GAM μˆ σˆ K γ (A7.18) Primeiro, GAM é estimado com (Henriques, 1990): GAM sign ˆ ˆ (A7.18b) Se GAM 0. 1, calcula-se () com a Eq. (A6.9), 1 ( ) com a função GAMMAINV((); ; 1) do EXCEL e o quantil pretendido com a Eq. (A7.17). Se 0 GAM 0. 1, calcula-se primeiro o valor do factor de frequência, com a Eq. (A6.0b). Estima-se: e ˆ ˆ ˆ (A7.18c) ˆ ˆ ˆ (A7.18d) e, de seguida, estima-se o quantil pretendido por aplicação da Eq. (A7.18). A7.5 Obtenção do Valor da unção de Distribuição O valor do coeficiente de assimetria é obtido por aplicação da Eq. (A7.18b). Se GAM 0. 1, obtém-se por aplicação da Eq. (A7.), com o valor estimado ˆ, e o valor de () é obtido através da função GAMMADIST(; ; 1; true) do EXCEL. inalmente, o valor de () é obtido por aplicação da Eq. (A7.4). Se 0 0. P 1, então obtém-se o valor de K a partir das Eqs. (A6.), (A7.18c) e (A.7.18d), z a partir da Eq. (A6.5b) e, finalmente, ( ) ( z), com (z) calculado como para a função de distribuição normal (função NORMSDIST(z), em EXCEL).

9 9 ANEXO 8 UNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO LOG-PEARSON TIPO (L) A8.1 dp e/ou d Se u ln é PR então é L. f ( ) 1 ln ( ) 1 ln ep (A8.1) em que, e são os parâmetros de localização, escala e forma, respectivamente, da variável transformada u, ou seja, é um parâmetro de escala e e são parâmetros de forma no espaço da variável. Se CV CV, então 0, 0 ep( ), u <0 e eistem todos os momentos; se 0 a fd é a Log-Normal; se CV CV, então >0, ep( ), u pode ser positivo ou negativo e só há momentos de ordem inferior a 1/. Podemos definir a variável padronizada: ln (A8.) e as respectivas fdp e fd: 1 e f ( ) (A8.) ( ) () (), 1 (), α 0 α 0 (A8.4) A8. Estimativa dos Parâmetros A8..1 Método dos Momentos, no Espaço Real (MM) A relação entre os primeiros momentos em relação à origem e é dada por (Arora e Singh, 1989): ' ln ln ln 1 ' ln ln ln 1 B α ln1 α α ln1 α (A8.5) donde se pode deduzir: 1 0 B B B (A8.6)

10 10 O valor de B é estimado por substituição dos momentos em relação à origem, pelos respectivos momentos amostrais,, ' M e μ, ' μ e ' μ, ' M, no membro esquerdo da Eq. (A8.5). A estimativa de (resolução da Eq. A8.5) efectua-se numericamente de diferentes formas, consoante o valor obtido para B ( Bˆ ), não se considerando valores de Bˆ a que já correspodem valores de α ˆ 4000, nem de B ˆ 6 a que já correspondem valores de αˆ 0.. Para.0784 B ˆ. 944 ( ˆ 0 ) o valor de ˆ tem de se obter por interpolação linear a partir dos valores apresentados no Quadro A8.1 (Arora e Singh, 1989); Quadro A8.1 Valores de e B para utilizar no método directo dos momentos aplicado à L para.944 ˆ. 065 B B ˆ 0.0 ˆ 1 Bˆ 5Bˆ 14 B ln(1 ) ln(1 ) / ln(1 ) ln(1 onte: Arora e Singh (1989) ) vem (Bobée e Robitaille, 1975, em Henriques, 1990): (A8.7) para.065 B ˆ 6 vem (Kite, 1988): ˆ 1 A (A8.8) com:

11 11 A C, para.065 Bˆ.5 A C C C, (A8.9) para.5 Bˆ 6 1 C (A8.10) B ˆ inalmente, uma vez obtido ˆ, os restantes parâmetros são estimados com: ˆ ln M ln(1 ˆ ) ' ln ln(1 ˆ ) (A8.11) ˆ ln ˆ ln(1 ˆ ) (A8.1) A8.4 Obtenção dos Quantis ou Os logarítmos dos quantis podem ser obtidos através das epressões equivalentes: ˆ ln ˆ ˆ ˆ (A8.) u u u ln ˆ ˆ ˆ K (A8.) Primeiro, u é estimado com: ˆ u signˆ (A8.4) ˆ Se 0. 1, calcula-se: u ( ) ( ), 1 ( ), se se 0 0 (A8.5) sendo 1 ( ) obtido a partir da função GAMMAINV((); ; 1) do EXCEL. inalmente, o quantil pretendido é: ˆ ˆ ep ˆ ˆ (A8.6) Se u 0. 1, o factor de frequência é calculado com a Eq. (A6.0b), com ˆ u no lugar de ˆ. Estima-se (Arora e Singh, 1989): e ˆ u ˆ ˆ ˆ (A8.6b) ˆ u ˆ ˆ (A8.6c) e, de seguida, estima-se o quantil pretendido por aplicação sucessiva das Eqs. (A8.) e (A8.6). A8.5 Obtenção do Valor da unção de Distribuição O valor do coeficiente de assimetria dos logaritmos de é obtido por aplicação da Eq. (A8.4).

12 1 Se 0. 1, obtém-se por aplicação da Eq. (A8.), utilizando as estimativas ˆ e ˆ. O valor u de () é obtido através da função GAMMADIST(; ; 1; true) do EXCEL. inalmente, o valor de () é obtido por aplicação da Eq. (A8.4). Se 0. 1, então obtém-se o valor de K a partir da epressão: u K ln ˆ ˆ u u (A8.7) em que o valor médio e desvio padrão dos logaritmos de é dado pelas Eqs. (A8.6b) e (A8.6c). De seguida, z é obtido através da Eq. (A6.5b), com ˆ u no lugar de ˆ, e finalmente, ( ) ( z), com (z) calculado como para a função de distribuição normal (função NORMSDIST(z), em EXCEL).

13 1 ANEXO 9 UNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO GERAL DE EXTREMOS (GEV) A9.1 dp e/ou d 1 κ ξ ep 1 0 (A9.1) α em que, e são os parâmetros de localização, escala e forma, respectivamente. α Se 0 então ξ : esta função é utilizada em Hidrologia sobretudo na caracterização de caudais mínimos, sendo conhecida como a função de etremos tipo III (relacionada com a conhecida função de Weibull). α Se 0 então ξ : conhecida como função de etremos tipo II (ou réchet ou Log- Gumbel). A9. Estimativa dos Parâmetros A9..1 Método dos Momentos Lineares (Momentos-L) Os parâmetros são estimados por (Stedinger et al., 199): com: ˆ 7.859cˆ.9554cˆ (A9.) ln c ˆ (A9.) ˆ ln e em que ˆ representa a estimativa da ª razão entre momentos-l. Seguidamente: ˆ ˆ ˆ, (A9.4) ˆ 1 ˆ 1 em que ˆ é estimativa do º momento linear e EXP(GAMMALN(u)), em EXCEL). inalmente: u representa a função gama (função ˆ ˆ 1 ˆ 1 (A9.5) ˆ A9.4 Obtenção dos Quantis A resolução da Eq. (A9.1) em ordem a conduz a: ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ln (A9.6) ˆ Note-se que a Eq. (A9.6) pode ser escrita como: ˆ ˆ ˆ (A9.6b) em que é a variável padronizada GEV, dada por:

14 14 1 ˆ 1 ln (A9.6c) ˆ A9.5 Obtenção do Valor da unção de Distribuição O valor da função de distribuição é dado pela Eq. (A9.1).

15 15 ANEXO 10 UNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE EXTREMOS TIPO I (Gumbel) A10.1 dp e/ou d Esta função corresponde à que se obtém quando na GEV 0 : 1 f ( ) ep ep,, 0 (A10.1) ( ) ep ep (A10.) A variável padronizada é definida como: (A10.b) sendo as respectivas fdp e fd dadas por: e a, isto é: g G e e (A10.c) e e (A10.d) Dada uma probabilidade p G p, o valor p obtém-se por solução da Eq. (A10.c) em ordem p ln ln p (A10.e) Note-se que p G. p p A10. Estimativa dos Parâmetros A10..1 Método dos Momentos Lineares (Momentos-L) Os parâmetros são estimados por (Stedinger et al., 199): ˆ ˆ (A10.9) ln ˆ ˆ (A10.10) em que ˆ é estimativa do º momento linear A10.4 Obtenção dos Quantis Os quantis obtêm-se por: ˆ ˆ ˆ ln ln (A10.19)

16 16 A10.5 Obtenção do Valor da unção de Distribuição O valor da função de distribuição obtém-se por aplicação da Eq. (A10.). ATENÇÃO: Estas fórmulas são para máimos. No caso de mínimos podem ser utilizadas desde que se trabalhe com i.

17 17 REERÊNCIAS BIBLIOGRÁICAS Arora, K. e V.P. Singh (1989). A Comparative Evaluation of the Estimators of the Log Pearson Tpe (LP) Distributions, J. Hdrol., 105:19-7. Bobée, B. e R. Robitaille (1977). The Use of the Pearson Tpe and Log Pearson Tpe Distributions Revisited, Water Resour. Res.,1(): Chowdhur, J.U. e J.R. Stedinger (1991). Confidence Interval for Design loods with Estimated Skew Coefficient, J.Hdraul. Eng., 117(7): Haan, C.T. (1977). Statistical Methods in Hdrolog, Iowa State Universit Press, Ames, Iowa. Henriques, A.G. (1990). Modelos de Distribuição de requência de Caudais de Cheia, Dissertação apresentada ao Instituto Superior Técnico para a obtenção do grau de Doutor em Engenharia Civil. Kite, G.W. (1988). requenc and Risk Analsis in Hdrolog, Water Resources Publications, U.S.A. Stedinger, J.R. (1980). itting Log Normal Distributions to Hdrologic Data, Water Resour. Res., 16(): Stedinger, J.R., R.M. Vogel e E. oufoula-georgiou (199). requenc Analsis of Etreme Events, em: Handbook of Hdrolog, D.R. Maidment (Editor), McGraw-Hill, Inc.