HIDROLOGIA AULA 14 HIDROLOGIA ESTATÍSTICA. 5 semestre - Engenharia Civil. Profª. Priscila Pini

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1 HIDROLOGIA AULA 14 5 semestre - Engenharia Civil HIDROLOGIA ESTATÍSTICA Profª. Priscila Pini prof.priscila@feitep.edu.br

2 INTRODUÇÃO Chuva e vazão Grande variabilidade no tempo! Estatística em Hidrologia: Estimativa da probabilidade de ocorrência de eventos hidrológicos de uma determinada magnitude no futuro, com base na análise dos dados do passado. Técnicas de probabilidade e estatística Variáveis hidrológicas são consideradas ALEATÓRIAS, ou seja, não podem ser previstas com exatidão

3 Número de anos entre 1942 e 2001 HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS Gráfico que permite visualizar a frequência de ocorrência de determinado estudo. Histograma de frequência de chuvas anuais (Lamounier MG) 1 ano com chuva anual entre 600 e 700 mm 9 anos com chuva anual entre 1200 e 1300 mm Chuva anual (mm)

4 CURVA DE PERMANÊNCIA É equivalente a um histograma de frequências acumuladas relativas das vazões de um rio em um local O rio tem uma vazão aproximadamente constante ou extremamente variável entre períodos de cheia e estiagem? Qual a porcentagem do tempo em que o rio apresenta vazões em determinada faixa? A CURVA PERMITE RESPONDER ALGUMAS PERGUNTAS: Qual a porcentagem do tempo em que um rio tem vazão suficiente para atender determinada demanda?

5 CURVA DE PERMANÊNCIA Expressa a relação entre a vazão e a frequência (estimada empiricamente) com que essa vazão é superada ou igualada Pode ser elaborada a partir de dados diários ou mensais de vazão Pode ser elaborada a partir do HIDROGRAMA

6 CURVA DE PERMANÊNCIA Hidrograma de vazões diárias do rio Taquari (Muçum RS)

7 CURVA DE PERMANÊNCIA Curva de permanência com os mesmos dados do Hidrograma (Muçum RS) A vazão de 1000 m³/s é igualada ou superada em menos de 10% do tempo Em 20% do tempo a vazão 500 m³/s é igualada ou superada

8 CURVA DE PERMANÊNCIA Para destacar mais a faixa de vazões mais baixas, a curva de permanência é apresentada com eixo vertical logarítmico Em 50% do tempo a vazão 200 m³/s é igualada ou superada

9 CURVA DE PERMANÊNCIA Alguns pontos de destaque da curva: A vazão que é superada em 50% do tempo, corresponde à mediana das vazões diárias: Q 50 A vazão que é superada em 90% do tempo, tem sido utilizada como referência para legislação na área de Meio Ambiente e Recursos Hídricos em muitos Estados: Q 90 A vazão que é superada em 95% do tempo é, por vezes, utilizada para definir a capacidade de produzir energia de forma confiável em uma usina hidrelétrica construída ou projetada no local: Q 90

10 CURVA DE PERMANÊNCIA Legislação do Paraná: MANUAL DE OUTORGA INST. ÁGUAS

11 CURVA DE PERMANÊNCIA EXEMPLO 1: Um empreendedor solicita outorga de 25 m³/s no rio Taquari, em um local que possui a curva de permanência a seguir. Considerando que a legislação permite outorgar apenas 20% da Q 90 a cada solicitante, é possível atender à solicitação? Q 90 = 57 m³/s 20% de Q 90 = 0,2 x 57 = 11,4 m³/s 25 >11,4 m³/s Não é possível atender à solicitação!

12 Estatísticas descritivas Para analisar a vazão de um rio ou a precipitação em um local, é necessário analisar alguns valores estatísticos que resumem o comportamento hidrológico do rio ou da bacia: MÉDIA n x = i=1 n x i Média de todas as séries de vazões ou precipitações registradas DESVIO PADRÃO Medida de dispersão dos valores de uma amostra em torno da média. s = i=1 n (x i x)² n 1

13 Estatísticas descritivas PROBABILIDADE E TEMPO DE RETORNO TR = 1 P TR: Tempo de retorno de uma dada vazão (anos) P: Probabilidade de excedência TR é o intervalo médio de tempo que decorre entre duas ocorrências subsequentes de uma vazão maior ou igual a Q Ex: A vazão máxima de 10 anos de TR é excedida em média 1 vez a cada dez anos, ou seja, P = 1/10 = 0,1 = 10%

14 Chuvas anuais e distribuição normal A chuva total anual em determinado posto fluviométrico pode ser considerada uma variável aleatória, com distribuição aproximadamente normal Um gráfico da função densidade de probabilidade e da distribuição normal tem uma forma de sino e é simétrico em relação à media, que é o valor central

15 Chuvas anuais e distribuição normal Para o caso mais simples, onde a média da população é zero e o desvio padrão é igual a 1, segue o gráfico da distribuição normal: A área total sob a curva é igual a 1 A área hachurada representa a probabilidade de ocorrer um valor maior do que z A área hachurada representa a probabilidade de ocorrer um valor menor do que z

16 Chuvas anuais e distribuição normal Para o caso mais simples, onde a média da população é zero e o desvio padrão é igual a 1, segue o gráfico da distribuição normal: -z Probabilidade de ocorrer um valor menor do que - z é igual à probabilidade de ocorrer um valor maior do que z

17 Chuvas anuais e distribuição normal A área sob a curva é encontrada em tabelas que relacionam o valor de z calculado com a probabilidade de ocorrer um valor maior ou menor do que z A forma de sino indica que existe uma probabilidade maior de ocorrerem valores próximos à média, do que valores extremos Para isso, uma variável aleatória x pode ser transformada em uma variável aleatória z com média zero e desvio padrão 1, pela equação: z = x s x x: variável aleatória x: média s: desvio padrão Esta transformação pode ser utilizada para estimar a probabilidade associada a um determinado evento hidrológico, em que a variável segue uma distribuição normal

18 Chuvas anuais e distribuição normal Tabela A: Probabilidade de ocorrer um valor maior do que z, considerando uma distribuição normal com x = 0 e s = 1 z Probabilidade z Probabilidade z Probabilidade 0,0 0,5 1,1 0,1357 2,2 0,0139 0,1 0,4602 1,2 0,1151 2,3 0,0107 0,2 0,4207 1,3 0,0968 2,4 0,0082 0,3 0,3821 1,4 0,0808 2,5 0,0062 0,4 0,3446 1,5 0,0668 2,6 0,0047 0,5 0,3085 1,6 0,0548 2,7 0,0035 0,6 0,2743 1,7 0,0446 2,8 0,0026 0,7 0,242 1,8 0,0359 2,9 0,0019 0,8 0,2119 1,9 0,0287 3,0 0,0013 0,9 0,1841 2,0 0,0228 1,0 0,1587 2,1 0,0179

19 Chuvas anuais e distribuição normal Tabela B: Probabilidade de ocorrer um valor maior do que z, considerando uma distribuição normal com x = 0 e s = 1 z Probabilidade TR 0,000 0,5 2 0,842 0,2 5 1,282 0,1 10 1,751 0, ,054 0, ,326 0, ,878 0, ,090 0, ,719 0,

20 Chuvas anuais e distribuição normal EXEMPLO 2: As chuvas anuais no posto pluviométrico localizado em Lamounier, MG, seguem, aproximadamente, uma distribuição normal, com média igual a 1433 mm e desvio padrão igual a 299 mm. Qual a probabilidade de ocorrer um ano com chuva total superior a 2000 mm? z = x s x z = z = 1,8963 De acordo com a Tabela A, a probabilidade de ocorrência de um valor maior do que z = 1,9 é de aproximadamente 0,0287 = 2,87% O tempo de retorno é de: TR = 1 P TR = 1 0,0287 TR = 34,84 35 anos Em média, 1 ano a cada 35 anos apresenta chuva total superior a 2000 mm nesse local

21 Chuvas anuais e distribuição normal EXEMPLO 3: Considerando os dados do exercício anterior, qual a probabilidade de ocorrer um ano com chuva total inferior a 550 mm? z = x s x z = z = 2,9532 A distribuição normal é simétrica, ou seja, a probabilidade de ocorrer um valor superior a z é igual a probabilidade de ocorrer um valor inferior a z. Probabilidade de ocorrer valor menor que z = - 2,95 é igual à probabilidade de ocorrer valor maior que z = 2,95 De acordo com Tabela A, a probabilidade de ocorrência de um valor maior do que z = 2,95 está entre 0,0019 e 0,0013 A probabilidade de ocorrência de um ano com chuva inferior a 550 mm é de, aproximadamente, 0,16% O tempo de retorno é de, aproximadamente, 625 anos

22 Análise de frequências empíricas de vazões máximas Conhecendo-se as vazões máximas de cada ano, em um determinado local, é possível realizar análises estatísticas relacionando vazão e probabilidade. Estimativas de probabilidade são atribuídas a cada um dos valores observados, depois que os valores são organizados em ordem decrescente Tabela 1: Vazões máximas do rio Cuiabá, em Cuiabá, entre 1984 e 1991 Ano Q máx (m³/s) , , , , , , , ,0 Ano Q máx (m³/s) Ordem , , , , , , , ,0 8

23 Análise de frequências empíricas de vazões máximas A probabilidade pode ser estimada a partir do valor correspondente de m e do tamanho da amostra (N). Existem várias equações para estimar a probabilidade empírica de excedência, onde m é a ordem e N é o tamanho da amostra: Equação de Weibull (EUA): P = m N + 1 Equação de Hazen (França): m 0,5 P = N Ano Q máx (m³/s) Ordem (m) , , , , , , , ,0 8

24 Análise de frequências empíricas de vazões máximas Utilizando a fórmula de Weibull, as probabilidades são apresentadas a seguir, com os tempos de retorno. Tabela 2: Vazões máximas e probabilidade de ocorrência (rio Cuiabá, entre 1984 e 1991) Ano Q máx (m³/s) Ordem (m) Probabilidade TR (anos) ,0 1 0,11 9, ,0 2 0,22 4, ,0 3 0,33 3, ,8 4 0,44 2, ,0 5 0,56 1, ,0 6 0,67 1, ,0 7 0,78 1, ,0 8 0,89 1,1

25 Análise de frequências empíricas de vazões máximas com base em distribuições teóricas Permite a extrapolação da análise de eventos extremos para tempos de retorno maiores Distribuição log-normal Uma vazão máxima pode ser estimada pela equação: log(x) = log(x) + z s log x log (x): logaritmo da vazão máxima log(x) : média dos logaritmos das vazões máximas anuais s log x : desvio padrão dos logaritmos das vazões máximas anuais z: fator de frequência (obtido das tabelas A e B)

26 Análise de frequências empíricas de vazões máximas com base em distribuições teóricas EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo. Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100 anos de tempo de retorno. Ano Máxima Ano Máxima falha falha falha Falhas são períodos em que não houve observação e são desconsideradas. Amostra com 16 3 = 13 valores

27 Análise de frequências empíricas de vazões máximas com base em distribuições teóricas EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo. Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100 anos de tempo de retorno. log(x) = log(x) + z s log x log (x): logaritmo da vazão máxima log(x) : média dos logaritmos das vazões máximas anuais s log x : desvio padrão dos logaritmos das vazões máximas anuais z: fator de frequência (obtido das tabelas A e B)

28 Análise de frequências empíricas de vazões máximas com base em distribuições teóricas EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo. Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100 anos de tempo de retorno. Ano Máxima Log Ano Máxima Log , , , , , , , , , falha , falha , falha , , log(x) = 2,94 s log x =0,137

29 Análise de frequências empíricas de vazões máximas com base em distribuições teóricas EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo. Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100 anos de tempo de retorno. log(x) = 2,94 s log x =0,137 Na Tabela B: TR = 100 anos, Prob. = 0,01, z = 2,326 log(x) = log(x) + z s log x log(x) = 2,94 + 2,326 0,137 = 3,2587 x = 10 3, m 3 /s