APLICAÇÃO CONVENCIONAL DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PARA VAZÕES MÍNIMAS

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1 APLICAÇÃO CONVENCIONAL DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PARA VAZÕES MÍNIMAS Adelita Ramaiana Bennemann Granemann 1* ; Ana Paula Muhlenhoff 1 ; Pedro S. Jayo 1 ; Caroline Kozak 1 & Miriam Rita Moro Mine Resumo Apresenta-se neste artigo uma aplicação convencional da distribuição de probabilidades lognormal de dois parâmetros e da distribuição de Weibull, para determinar as vazões mínimas médias móveis de sete dias de duração e dez anos de período de retorno. O estudo de caso foi feito para duas estações localizadas na bacia hidrográfica do rio Iguaçu. As vazões são importantes para definir vazões ecológicas à jusante de barragens e para outorga de uso dos recursos hídricos. A adequação do ajuste foi verificada com os testes de aderência Qui-quadrado e Kolmogorov- Smirnov. O número de aceitações da hipótese nula foi maior para a distribuição de Weibull. No entanto, os valores dos quantis parecem fisicamente mais razoáveis quando fornecidos pela distribuição Lognormal. Pretende-se aprofundar o estudo comparando os resultados da aplicação convencional em um projeto mais ambicioso, quando o foco está na relevância de certas distribuições com a teoria dos extremos e a formação dos processos físicos de geração das vazões mínimas. Palavras-Chave eventos extremos mínimos, análise de frequência, vazões médias diárias CONVENTIONAL APPLICATION OF PROBABILIT DISTRIBUTIONS TO MINIMUM FLOW Abstract This paper sumaries a conventional application of two-parameter lognormal and Weibull probabilities distributions to determine the minimum flows moving averages seven-day and ten-year return period. The case study was done for two stations located in the basin of the Iguaçu River. These flows are important to define instream flows downstream of dams and to grant use of water resources. The adequacy of the fit of these distributions was checked using the chi-square and Kolmogorov-Smirnov tests. The number of acceptances of the null hypothesis was higher for the Weibull distribution. However, the values of quartiles seem physically reasonable when supplied by the lognormal distribution. The aim is to compare the results of conventional application in a more ambitious project, when the focus is on the relevance of certain distributions with the theory of extremes and the formation of the physical processes of generation of minimum flows. Keywords minimum extreme events, frequency analysis, mean daily streamflow 1 Estudante PPGERHA/UFPR adelitab@gmail.com Professora Titular da UFPR mrmine.dhs@ufpr.br XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 1

2 INTRODUÇÃO A motivação para escrever este artigo surgiu do fato que se percebe na literatura hidrológica especializada a existência de extensivas aplicações de distribuições de probabilidades para predizer cheias. Ao contrário, o número de estudos de frequência de vazões baixas é bastante limitado, apesar da teoria de probabilidades oferecer uma vasta gama de distribuições teóricas de probabilidades para aplicações na análise de frequência hidrológica de vazões baixas. Como não se conhece a verdadeira distribuição de probabilidades das vazões médias diárias, o hidrólogo se depara com a pergunta: Que critério deve ser usado para a seleção da distribuição mais adequada? Um procedimento padrão é selecionar a função de distribuição que melhor se ajuste ao conjunto de dados observados de acordo com alguns testes estatísticos de aderência, sem qualquer outro tipo de consideração. Este procedimento, chamado aqui de convencional constitui uma primeira fase de um projeto mais elaborado, e que é objetivo deste artigo. Sabe-se que há muito mais para ser investigado quando o foco está na relevância de certas distribuições com a teoria dos extremos e a formação dos processos físicos de geração das vazões mínimas. Pode-se compreender, com um estudo mais aprofundado, todo o espectro do problema do comportamento da cauda da distribuição de todas as vazões médias diárias de certo local, via a teoria assintótica dos valores extremos para distribuições aproximadas, permitindo ainda a interpretação física dos parâmetros. Isto abre uma vasta linha de pesquisa para análise conjunta e consistente da física do problema com sua natureza estocástica, ou seja, o comportamento das vazões mínimas diárias. Os resultados dessas análises mais aprofundadas serão publicados futuramente, assim que concluídas. Neste artigo são apresentados os resultados das distribuições recomendadas na literatura para vazões mínimas, aplicadas a séries observadas em estações fluviométricas da bacia hidrográfica do rio Iguaçu, adotando-se como critério para a melhor distribuição postulada, aquela que foi aprovada em testes de aderência como Kolmogorov-Smirnov e Qui-quadrado. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE POSTULADAS O estudo foi realizado para vazões mínimas médias diárias anuais (médias móveis de sete dias de duração). Foram ajustadas as distribuições: i) Log-normal de dois parâmetros (LN); ii) distribuição de Weibull (W). Para obter as funções densidade de probabilidade (FDA) e funções de distribuição acumulada (FDA), bem como os primeiros três momentos dessas distribuições, o leitor interessado pode consultar Stedinger et al. (199) e Naghettini e Pinto (007). A distribuição Log-normal é recomendada na literatura para vazões máximas anuais devido a sua assimetria sempre positiva, mas também para vazões mínimas anuais, tendo em vista ser limitada inferiormente para variáveis aleatórias positivas, caso das vazões médias diárias mínimas anuais. A FDP da distribuição log-normal de dois parâmetros é dada pela equação (1) (Gottschalk et al. 013), onde X é a variável aleatória de vazão mínima média diária anual (média móvel de sete dias de duração) e o seu logaritmo neperiano. Os primeiros dois momentos dos logaritmos das vazões são representados respectivamente por e, ditos parâmetros naturais da distribuição. XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos

3 f X ( x) x 1 1 ln x exp para x 0 (1) A distribuição de Weibull é apresentada na equação () pela sua FDA, onde Weibull (Gottschalk et al. 013) incluiu um parâmetro de limite inferior u e um parâmetro de escala além do parâmetro de forma k. A variável aleatória X representa a vazão mínima média diária anual (média móvel de sete dias de duração). 1 k x u FX ( x) 1 exp u x ; x 0; k 0 () Na equação (1) acima, a abscissa de x cresce de seu mínimo u a infinito. No caso de vazões médias diárias o parâmetro u é feito igual a zero. APLICAÇÃO O estudo de caso foi realizado para a bacia hidrográfica do rio Iguaçu, afluente do rio Paraná, sendo o maior rio do Estado do Paraná. Este é formado pelo encontro dos rios Iraí e Atuba na parte leste do município paranaense de Curitiba, junto à divisa deste com os municípios de Pinhais e São José dos Pinhais. O curso do rio segue o sentido geral de leste a oeste com algumas partes servindo de divisa natural entre Paraná e Santa Catarina, bem como em certo trecho do seu baixo curso faz a fronteira entre o Brasil e Argentina (província de Misiones). Segundo a Secretaria Estadual do Meio Ambiente do Paraná, o rio tem 1.30 km de extensão e área de drenagem de km em Salto Cataratas. Desagua no rio Paraná, no município que recebeu o nome de Foz do Iguaçu. Neste município, próximo a sua foz, surgem às cataratas do Iguaçu, que são as maiores quedas (ou saltos), em volume de água, do planeta. A Figura 1 apresenta a bacia hidrográfica do Alto rio Iguaçu, com a localização das duas estações fluviométricas usadas neste artigo: Porto Amazonas (PA) e São Mateus do Sul (SM). As principais características dessas estações são apresentadas na Tabela 1. XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 3

4 Figura 1 Bacia hidrográfica do rio Iguaçu e estações fluviométricas utilizadas no estudo Tabela 1 Características das estações fluviométricas utilizadas no estudo de caso Código Nome Latitude (S) Longitude (S) Área (km ) Porto Amazonas 5:3:53 49:53: , São Mateus do Sul 5:5:33 50:3: ,00 RESULTADOS A Tabela apresenta os parâmetros das distribuições Lognormal e de Weibull. Os parâmetros naturais da distribuição Lognormal foram determinados pelo método dos momentos e da máxima verossimilhança. O primeiro (média) e segundo (desvio padrão) momentos naturais foram estimados pelas equações (3) abaixo. Os estimadores de máxima verossimilhança foram obtidos dos estimadores amostrais dos parâmetros, substituindo-se n-1 por n no denominador da variância do logaritmo de X. Estes estimadores são mais fáceis de calcular e mais eficientes que os estimadores pelo método dos momentos, constituindo-se em estimativas eficientes de máxima verossimilhança da distribuição Lognormal (Stedinger et al.,199). Observa-se da Tabela que os valores da média são muito semelhantes pelo método dos momentos e da máxima verossimilhança tanto para a estação de Porto Amazonas (PA) como em São Mateus do Sul (SM). As médias são 14,8 m 3 /s e 14,03 m 3 /s para PA, respectivamente, pelo método dos momentos e da máxima verossimilhança. Para a estação de São Mateus do Sul (SM) os resultados foram exatamente os mesmos, isto é,,74 m 3 /s, quando estimados pelos dois métodos. XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 4

5 Houve uma diferença de 9,0 % no desvio padrão de Porto Amazonas e os desvios padrões de São Mateus do Sul foram praticamente os mesmos quando se comparam os dois métodos. Tendo em vista estas pequenas diferenças e a maior eficiência do Método da Máxima Verossimilhança, optou-se por dar continuidade ao trabalho usando apenas os parâmetros estimados por este último método. 1 1 X ln 1 e ln X (3) x Tabela Parâmetros das Distribuições LN e Weibull Estação Distribuição Lognormal Distribuição de Weibull Momentos Máxima Verossimilhança Momentos k PA,659 0,336,641 0,43 0,315 16,89 SM 3,14 0,347 3,14 0,346 0,38 7,01 Os parâmetros da distribuição de Weibull, mostrados na Tabela acima, foram estimados, por facilidade de cálculos, pelo método dos momentos. Os parâmetros α e k são respectivamente os parâmetros de escala e forma da distribuição. Conforme já dito anteriormente, o parâmetro u da equação () foi feito igual a zero, uma vez que se está trabalhando com vazões médias diárias. A Tabela 3 apresenta os quantis para período de retorno de 10 anos, para as três distribuições de probabilidades: Empírica, Lognormal e Weibull. Para PA observa-se que os quantis foram maiores que o valor amostral em 47,7% e 53,% respectivamente para as distribuições Lognormal e Weibull. Para SM o valor obtido pela distribuição Lognormal com relação ao quantil amostral foi de 9,6% maior e pela distribuição de Weibull foi menor em apenas,86%. Estes resultados estão dentro do esperado, uma vez que as amostras tanto de PA como SM não são suficientemente grandes para que o valor amostral tenda ao valor teórico. Por outro lado, considerando-se as diferenças entre as áreas de drenagem de PA e SM, da ordem de 67%, observase da Tabela 3 que os quantis fornecidos pela distribuição Lognormal parecem fisicamente mais coerentes. Tabela 3 Vazões mínimas anuais em m 3 /s para período de retorno de 10 anos Estação Distribuição Empírica Distribuição Lognormal Distribuição de Weibull PA 8,44 1,47 1,93 SM 13,8 14,55 1,90 As Figuras e 3 apresentam a FDP das duas distribuições ajustadas às estações de PA e SM respectivamente. As Figuras 4 e 5 apresentam a FDA juntamente com o valor amostral para período de retorno 10 anos e média móvel de sete dias. XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 5

6 F X (x) 0,08 0,06 0,07 0,06 0,05 0,05 0,04 f X(x) 0,04 f X(x) 0,03 0,03 0,0 0,0 0,01 0,01 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 0,00 5,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00 Vazão (m³/s) 0,00 0,00 10,00 0,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 Vazão (m³/s) Weibull Lognormal Figura FDP para Porto Amazonas Weibull Lognormal Figura 3 - FDP para São Mateus do Sul 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 8,44; 0,1 0,0 0,0 10,0 0,0 30,0 40,0 50,0 Vazão (m³/s) Weibull Amostral Lognormal Figura 4 FDA para Porto Amazonas F X(x) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 13,8; 0,1 0,0 0,0 10,0 0,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 Vazão (m³/s) Weibull Amostral Lognormal Figura 5 - FDA para São Mateus do Sul Os testes de aderência usados, neste artigo, para determinar se as distribuições postuladas para vazões mínimas médias móveis de sete dias são adequadas foram: i) teste do qui-quadrado ( ); ii) Teste de Kolmogorov-Smirnov (K-S). O objetivo do teste do qui-quadrado ( ) é verificar se a frequência absoluta observada de uma variável é significativamente diferente da distribuição de frequência absoluta esperada. No caso de variáveis aleatórias contínuas (vazões médias diárias) as partições do espaço amostral são feitas por meio da divisão em classes, com o cálculo das frequências observadas e esperadas, dentro dos limites dos intervalos de classe. Intuitivamente, deseja-se encontrar um valor para D1 que seja pequeno, e, portanto, o teste consiste em rejeitar a hipótese se D1 for grande (Pinto et al. 1976). Para determinar o que se entende por grande é necessário especificar o nível de significância do teste de modo a definir a região crítica por: D, onde k é o número de 1 1 ; k 1 possíveis valores da variável aleatória, vazões mínimas médias móveis de sete dias. No caso da distribuição formulada não ser completamente especificada, quando há parâmetros a estimar, o número de graus de liberdade deve ser alterado para (k-1-r) onde r é o número de parâmetros estimados. Os parâmetros devem ser estimados pelo método da máxima verossimilhança (MV), sendo os cálculos efetuados com base em dados agrupados. Neste artigo, XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 6

7 somente os parâmetros da distribuição Lognormal foram estimados pelo método MV. Os parâmetros da distribuição de Weibull foram estimados pelo método dos momentos. O K-S é um teste menos geral que o do (Pinto et al. 1976), uma vez que é aplicável somente para testar a adequação do ajuste de distribuições contínuas, caso deste artigo, mas que sejam completamente especificadas, isto é, quando não há parâmetros a estimar. Para atender este requisito a amostra de dados foi dividida, usando-se parte para estimar parâmetros das distribuições e outra parte para testar a adequação do ajuste. O teste consiste em determinar a estatística D calc. pela equação (4) onde Fˆ X ( x) é a FDA amostral e F X (x) a FDA postulada. A Tabela 4 apresenta os resultados dos testes de adequação de ajuste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) e do. D max F ( x) Fˆ ( ) (4) calc X X x Intuitivamente deseja-se encontrar D calc. pequeno quando comparado a D tab dado um nível de significância do teste, aqui usado 5% (Pinto et al., 1976 p. 67). Da tabela 4 observase que a adequação da distribuição Lognormal, segundo o teste de K-S só foi aceita para a estação PA e recusada para a estação SM. Os valores de D cal. e D tab foram os mesmos para SM, e preferiu-se rejeitar a hipótese de adequação do ajuste, conforme literatura. Para a distribuição de Weibull o teste K-S mostrou que o ajuste das duas distribuições é adequado. Os resultados da Tabela 4 levam os autores a recomendarem a distribuição de Weibull para estudos convencionais de análise de frequência de vazões mínimas, no entanto, os resultados da Tabela 3 tornam esta recomendação questionável com relação ao processo físico de formação das vazões mínimas. Pretende-se estudar melhor estas questões contemplando a distribuição de probabilidades da cauda das vazões médias diárias, olhando o estudo de forma mais aprofundada, através da análise de extremos mínimos (distribuições assintóticas de probabilidades e outros métodos). Tabela 4 Adequação do ajuste das Distribuições Lognormal e Weibull Estação Teste do qui-quadrado ( ) Teste de Kolmogorov-Smirnov (KS) Distribuição Lognormal D1calc. D1tab. Hipótese Ho Dcalc. Dtab. Hipótese Ho PA 1,11 3,84 Aceita-se 0,1 0,3 Aceita-se SM 6,44 7,81 Aceita-se 0,9 0,9 Rejeita-se Distribuição de Weibull PA 1,10 3,84 Aceita-se 0,1 0,3 Aceita-se SM 6,1 7,81 Aceita-se 0,3 0,9 Aceita-se CONCLUSÃO A aplicação convencional de distribuições de probabilidades a vazões mínimas não permite escolher a melhor distribuição postulada como verdadeira. Os testes de aderência não se apresentam conclusivos e podem apresentar resultados discrepantes com o processo físico de formação das vazões mínimas. Estudos mais aprofundados, considerando a teoria dos extremos devem ser empreendidos. XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 7

8 REFERÊNCIAS GOTTSCHALK, L.; U, K.; LEBLOIS, E.; XIONG, L. (013) Statistics of Low flow: Theoretical derivation of the distribution of minimum streamflow series. Journal of Hydrology 401, pp NAGHETTINI, M.; PINTO, E.J.A. (007) Hidrologia Estatística. CPRM, 561 p. PINTO, N.L.S; HOLTZ, A.C.T.; MARTINS, J.A.; GOMIDE, F.L.S. (197) Hidrologia Básica. Editora Edgard Blücher Ltda., São Paulo,78 p. STEDINGER, J. R.; VOGEL, R. M.; FOUFOULA-GEORGIOU, E. (199). Frequency analysis of extreme events. In Handbook of Hydrology. Org. por Maidment, D.R., McGraw-Hill, New ork, pp XXI Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 8