TEORIA DE VALORES EXTREMOS APLICADA NA ANÁLISE DE TEMPERATURA MÁXIMA EM URUGUAIANA, RS.

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1 TEORIA DE VALORES EXTREMOS APLICADA NA ANÁLISE DE TEMPERATURA MÁXIMA EM URUGUAIANA, RS. 1. INTRODUÇÃO Nosso planeta seguiu uma evolução desde sua origem, passando por transformações significativas em sua atmosfera, por diversos motivos. O ser humano está influenciando algumas componentes críticas do funcionamento básico do sistema terrestre, entre elas o clima e a composição atmosférica. O desenvolvimento da agricultura e o início da revolução industrial levaram a um explosivo crescimento populacional, que fez pressões importantes sobre os recursos naturais do planeta (ARTAXO, 2014). No cenário climatológico da agricultura, um fator que influencia diretamente sob o desenvolvimento de animais e plantas é a temperatura relativa do ar, que é muito influenciada pela ação humana. Em seus níveis mais elevados, é um dos elementos climáticos de maior importância para o crescimento, o desenvolvimento e a produtividade de muitas culturas, como o arroz, a soja e o milho (WALTER et al., 2014). Para obter melhor rendimento no plantio destas culturas, são feitos estudos e previsões para que o plantio ocorra com sucesso (AGEITEC, 2017). Para isso, devese ter bastante precisão na coleta de dados e nos cálculos a se fazer a respeito. A Teoria de valores extremos (TVE) desempenha um papel fundamental em estudos relacionados a medições físicas, em que é aplicada com a finalidade de descrever o comportamento de eventos raros e tem sido aplicada com sucesso no tratamento estatístico de dados meteorológicos, tais como precipitações máximas, temperaturas máximas, ventos máximos, entre outros (BEIJO e AVELAR, 2010). Tendo em vista a importância do conhecimento das possíveis temperaturas máximas, este trabalho teve como objetivo a aplicação da Teoria dos valores extremos (TVE) a fim de fornecer informações mais precisas, de acordo com o interesse pratico, sobre a ocorrência de temperaturas máximas no município de Uruguaiana RS, visto que informações do tipo são de grande importância para o planejamento e desenvolvimento de importantes culturas. 2. METODOLOGIA Os dados de temperatura máxima foram obtidos no período de 1950 a 2016, de todos os meses dos respectivos anos em estudo, fornecidos pelo Banco de Dados Meteorológicos para Ensino e Pesquisa (BDMEP) e separados em séries de máximas mensais. Segundo Coles (2001), a TVE assegura a existência de uma distribuição assintótica não degenerada F(x), para uma transformação linear de M n, isto é, sequências numéricas apropriadas a n > 0 e b n. Em 1955, Jenkison propôs que os três tipos de distribuição de valores extremos (Gumbel, Fréchet e Weibull) poderiam ser representados em uma forma paramétrica única, denominada Distribuição Generalizada de Valores Extremos (GVE) que possui distribuição de função acumulada definida por (1)

2 em que os parâmetros satisfazem - < μ <, σ > 0 e - < ξ <. O modelo consiste de três parâmetros: um parâmetro de locação, μ; um parâmetro de escala, σ; e um parâmetro de forma, ξ. As famílias de distribuição Gumbel, Fréchet e Weibull de valores extremos correspondem, aos casos, ξ=0, ξ>0, ξ<0 respectivamente. Para o caso particular em que ξ=0 a função de distribuição acumulada Gumbel é definida da seguinte forma definida em - < x <, em que μ é o parâmetro de locação e σ o parâmetro de escala, com e σ>0. Os parâmetros dos modelos (2) e (3) são desconhecidos e precisam ser estimados. Para isso foi utilizado o método da máxima verossimilhança, que consiste em adotar como estimador a estatística que maximiza a probabilidade de a amostra ter ocorrido, sob a hipótese de que X 1, X 2,,X n são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). Esse pressuposto foi avaliado pelo teste de Ljung-Box. De acordo com Coles (2001), o parâmetro ξ pode ser testado se é estatisticamente nulo ou não. Para tal, foi utilizado o teste de razão de verossimilhanças (TRV), que consiste em comparar os máximos do logaritmo da função de verossimilhança das distribuições GVE (2) e Gumbel (3), e, por meio da distribuição qui-quadrado. A estatística do teste é dada por (4) em que e são vetores de estimativas de máxima verossimilhança das distribuições GVE e Gumbel, respectivamente. Dessa forma, rejeita-se a hipóteses nula de que ξ=0 se for superior ao quantil da distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Para testar a suposição de que os máximos mensais de temperatura seguem uma distribuição GVE ou Gumbel, foi utilizado o teste de Kolmogorov-Smirnov, cuja estatística de teste (D) é definida por (5) com F(X (i) ) sendo a distribuição teórica da distribuição GVE ou Gumbel com suas estimativas obtidas e a distribuição acumulada empírica. De acordo com Lowery e Nash (1970), a estimativa da temperatura máxima provável ( ) para um determinado tempo de retorno T pode ser determinada pela seguinte expressão, para a distribuição Gumbel:, (6) similarmente obtém-se o nível de retorno para a distribuição GVE. Para realização das análises, testes de hipóteses e cálculo dos níveis de retorno, foi utilizado o software R, conforme R Core Team (2017), juntamente com os pacotes evd e extremes. 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO Com o objetivo de verificar a independência dos dados, utilizou-se o teste Ljung-Box, ao nível de 5% de significância. A Tabela 1 resume estas informações, em que o valor-p é maior que o nível de significância (p>0,05), o que nos leva a concluir a não rejeição da hipótese de independência. (2) (3)

3 Pode-se analisar por meio da Tabela 1 a estimativa do parâmetro de forma. Desta forma, pode-se observar que o parâmetro de forma é estatisticamente diferente de zero na maioria dos meses analisados, pelo teste de razão de verossimilhanças, indicando que a distribuição GVE é adequada. Em quatro meses, ocorreu o fato de que a distribuição Gumbel é mais adequada (TABELA 1). Tabela 1: Resultados das estimativas dos parâmetros das distribuições GVE e Gumbel, bem como os testes (p-valor) de Kolmogorov-Smirnov (KS), razão de verossimilhanças (TRV) e Ljung-Box (LB) para os dados de temperatura máxima no município de Uruguaiana. Estimativas Erro Padrão Meses Distribuição KS TRV LB Janeiro GVE 37,06 1, < Fevereiro GVE 35,93 1, < Março Gumbel 34,43 1, Abril GVE 32,01 1, < Maio GVE 28,65 2, Junho GVE 26,73 1, < Julho GVE 27,46 2, < Agosto Gumbel 28,91 2, Setembro GVE 30,99 2, < Outubro Gumbel 32,66 1, Novembro Gumbel 34,20 1, Dezembro GVE 36,12 1, < Apresenta-se na Tabela 2 os níveis de retorno de ocorrência das temperaturas máximas, a partir de diversos períodos de retorno Tabela 2: Níveis de retorno de temperatura máxima, em ºC, de 2, 5, 10, 30, 50 e 100 anos para o município de Uruguaiana-RS. Mês Distribuição 2 anos 5 anos 10 anos 30 anos 50 anos 100 anos Janeiro GVE 37,57 39,14 40,19 41,77 42,49 43,46 Fevereiro GVE 36,59 38,65 40,01 42,08 43,02 44,29 Março Gumbel 35,02 36,85 38,07 39,90 40,74 41,87 Abril GVE 32,73 34,98 36,47 38,72 39,75 41,13 Maio GVE 29,45 31,93 33,57 36,05 37,19 38,72 Junho GVE 27,40 29,47 30,84 32,91 33,86 35,13 Julho GVE 28,24 30,67 32,27 34,69 35,80 37,29 Agosto Gumbel 29,76 32,40 34,15 36,79 37,99 39,61 Setembro GVE 31,96 34,98 36,98 40,00 41,38 43,25

4 Outubro Gumbel 33,19 34,84 35,94 37,59 38,34 39,36 Novembro Gumbel 34,83 36,80 38,10 40,07 40,97 42,18 Dezembro GVE 36,79 38,88 40,27 42,36 43,32 44,61 Espera-se que num período de 30 anos ocorra uma temperatura máxima de 41,77ºC no mês de janeiro (TABELA 2). Estes ajustes podem ser utilizados com bastante confiabilidade para extrapolação em períodos mais longos, desde que não ocorram futuras variações climáticas significativas na região (SANSIGOLO, 2008). A figura 1 apresenta os gráficos de quantil-quantil para o diagnóstico da distribuição GVE e Gumbel, que compara os quantis da distribuição teórica com os quantis da distribuição ajustada. O ajuste ocorre se o par ordenado formado por esses quantis estiverem em sua grande maioria contidos nas bandas de confiança construídas por simulação de Monte Carlo com 95% de confiança. Dessa forma, os gráficos corroboram o ajuste das distribuições na Tabela 2. De acordo com Sansigolo (2006), tem-se uma maior precisão no ajuste da distribuição GVE quando se utiliza uma serie histórica igual ou superior a 30 anos.

5 Figura 1: Gráfico quantil-quantil para cada mês com a respectiva distribuição de probabilidade de acordo com a Tabela 2, com dados de temperatura máxima no período de 1950 a 2016 em Uruguaiana-RS. 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS A distribuição generalizada de valores extremos é adequada para estudar o comportamento da temperatura máxima nos meses de janeiro, fevereiro, abril, maio, junho, julho, setembro e dezembro, e para os meses de março, agosto, outubro e novembro, a distribuição Gumbel é adequada, no município de Uruguaiana-RS. Os gráficos quantil-quantil comprovam esse fato. A partir dessas distribuições pode-se determinar o nível de retorno, a partir de um determinado tempo de retorno. Observa-se que nos meses de maio a agosto ocorreram as menores temperaturas previstas para todos os níveis de retorno, e nos meses de dezembro a fevereiro ocorreram as maiores temperaturas previstas para todos os níveis de retorno calculados. 5. REFERÊNCIAS AGEITEC, Agência Embrapa de Informação Tecnológica. Arroz, Clima [internet]. Brasília, DF: EMBRAPA Parque Estação Biológica. [acesso em 19 de setembro de 2017]. Disponível em: o07qw4xe1eq4gwu.html#rs ARTAXO, P. Uma nova era geológica em nosso planeta: o Antropoceno? Revista USP, São Paulo, n.103, p.13-24, BEIJO, L. A.; AVELAR, F. G. Distri UFOP, v. 1, COLES, S. An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Berlin: Springer, JENKINSON, A.F. The frequency distribution of the annual maximum (or minimum) val- ues meteorological elements. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, v. 81, p , LOWERY, M. D.; NASH, J. E. A comparison of methods of fitting the double exponential distribution. Journal of Hydrology, Amsterdam, v. 10, n. 3, p , Feb R DEVELOPMENT CORE TEAM (2017). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing. Vienna, Austria. ISBN , [acesso em 07 de set 2017]. Disponível em: Brasileira de Meteorologia, v. 23, n. 3, p , 2008., temperatu-, SP ( ). Revista

6 WALTER, L. C.; STRECK, N. A.; ROSA, H. T.; FERRAZ, S. E. T.; CERA, J. C. Mudanças climáticas e seus efeitos no rendimento de arroz irrigado no Rio Grande do Sul. Pesq. agropec. Bras., Brasília, v. 49, n. 12, p , 2014.