XXIII CONGRESSO DE PÓS-GRADUAÇÃO DA UFLA 27 a 31 de outubro de 2014

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1 NÍVEIS DE RETORNO MÁXIMOS DE PRECIPITAÇÃO PARA PIRACICABA-SP VIA DISTRIBUIÇÕES DE VALORES EXTREMOS. CARLOS JOSÉ DOS REIS 1, ROSSICLEY RANGEL DE PAIVA 2, LUIZ ALBERTO BEIJO 3, GILBERTO RODRIGUES LISKA 4, GUIDO GUSTAVO HUMADA GONZALEZ 5 RESUMO: Diversas atividades humanas são afetadas por precipitações extremas, que podem sobretudo ocasionar perdas de vidas humanas e prejuízos econômicos. Dessa forma, estimar precipitações máximas por métodos estatísticos é de grande importância no planejamento de diversas atividades. Diante disso, o presente trabalho foi realizado com o objetivo de estudar o ajuste das distribuição Exponencial às séries mensais de precipitações máximas de Piracicaba-SP nos meses de outubro a março e calcular os níveis de retorno esperados dessa variável climática para os tempos de retorno de 2, 5, 10, 30, 50 e 100 anos nesses meses. A série histórica de precipitações máximas foi obtida junto a estação convencional do posto agrometeorológico da Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz (ESALQ/USP). Os dados utilizados compreendem o período de 1917 a O teste de Ljung-Box foi usado para verificar a independência dos dados. A adequabilidade do ajuste dos dados à distribuição Exponencial foi verificada utilizando-se o teste de Kolmogorov-Smirnov. O nível de significância de 5% foi adotado em todos os testes. Verificou-se que a distribuição Exponencial justou-se aos dados em todos os períodos mensais estudados. Os maiores níveis de retorno de precipitação máxima para Piracicaba- SP foram observados nos meses de janeiro e dezembro. Palavras-chave: Teoria de Valores Extremos, Precipitação Máxima, Distribuição Exponencial. INTRODUÇÃO A ocorrência de eventos climáticos extremos severos tem chamado a atenção da sociedade e da comunidade científica, principalmente pelo seu poder de destruição, acarretando perdas de vidas humanas e animais e, de ordem econômica. Como eventos climáticos extremos é possível citar fenômenos naturais tais como chuvas intensas, secas prolongadas, vendavais, furacões, marés meteorológicas e temperaturas mínimas ou máximas. O interesse na análise em um dos referidos eventos centra-se tanto na intensidade de sua manifestação quanto na sua duração prolongada. Por apresentarem baixa frequência relativa e elevado impacto, a previsão desses eventos torna-se difícil por parte dos especialistas que os estudam (IDALINO, OLIVEIRA e LUCIO, 2009). Uma variável climática em que surge grande interesse na análise de seu comportamento é a precipitação pluviométrica, uma vez que diversas atividades econômicas e processos ambientais são altamente dependentes dessa variável. Elevados regimes de precipitação podem ocasionar graves efeitos, como enchentes, deslizamentos de terras, atrasos nas colheitas, entre outros. Entretanto, o déficit de precipitação em larga escala, muitas vezes, causam efeitos adversos sobre atividades como agricultura, silvicultura, produção hidrelétrica, ecossistemas alagados (manguezais) e vida selvagem (MARENGO et al., 2010). Uma forma de minimizar os efeitos adversos de precipitações extremas sob algumas atividades humanas é analisar o comportamento dessa variável climática com base nos seus registros históricos. Para isso, pode-se empregar uma importante teoria da estatística matemática, a Teoria de Valores Extremos (TVE). A TVE é um ramo probabilista de suporte teórico à Estatística na análise de eventos em que os dados são inexistentes ou se existem são escassos, os chamados acontecimentos raros ou extremos. A 1 Mestrando, UFLA/DEX, carlosjreis17@yahoo.com.br 2 Professor, CEFET/Nepomuceno-MG, rossirangel@bol.com.br 3 Professor, UNIFAL/ICEX, luiz.beijo@unifal-mg.edu.br 4 Doutorando, UFLA/DEX, gilbertoliska@hotmail.com 5 Doutorando, UFLA/DEX, gustavohumad@hotmail.com

2 TVE possibilita a descrição e a quantificação do comportamento desses acontecimentos, procurando estimar uma possível distribuição limite para os máximos (ou mínimos) da amostra composta por variáveis aleatórias (v.a. s) independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). As distribuições de valores extremos originam-se de duas metodologias da TVE. Na primeira metodologia a série de dados é dividida em vários blocos, e de cada bloco é selecionado apenas uma observação mínima ou máxima que será utilizada na série de dados. Fisher e Tippett (1928) verificaram que a distribuição assintótica dos valores máximos convergia para uma de três formas assintóticas de valores extremos, conhecidas atualmente como Gumbel ou Tipo I, Fréchet ou Tipo II e Weibull ou Tipo III. Essas três distribuições são casos particulares de uma distribuição conhecida como distribuição Generalizada de Valores Extremos (GVE), proposta posteriormente por Von Mises (1954) e Jenkinson (1955). Na segunda metodologia são selecionados os valores que excedem um determinado nível extremo, chamado de threshold. Esta metodologia é conhecida como POT, do inglês Peaks Over Threshold. As observações que excedem um dado threshold u são chamadas de excedências. Estas excedências têm um papel importante na TVE e, como tal, o seu comportamento assintótico é de grande interesse. Pickands (1975) demonstrou que a distribuição assintótica dos valores de uma variável aleatória que excedem um limiar pode ser aproximada por meio da distribuição Generalizada de Pareto (GP). Essa distribuição pode ser interpretada como uma família de distribuições que, dependendo do valor do parâmetro de forma, inclui como casos particulares as distribuições Exponencial, Weibull ou Pareto. Conforme Coles (2001), a distribuição GP possui função de distribuição que pode ser representada matematicamente por: ( F (y ξ, η) = ξỹ ) 1 ξ η (1) definida em {y : y > 0 e (1 + ξy/ η) > 0}, em que η = η + ξ (u ω). A função de distribuição em (1) fornece a probabilidade do valor x ultrapassar um valor limiar u no máximo um montante y, onde y = x - u. A distribuição Exponencial corresponde ao caso em que ξ 0 na parametrização. Diante da necessidade do conhecimento das precipitações máximas para, por exemplo, o planejamento de ações em atividades como a agricultura na região de Piracicaba-SP, objetivou-se neste trabalho: i) verificar o ajuste das séries mensais dos meses de setembro a fevereiro de precipitação máxima de Piracicaba-SP à distribuição Exponencial; ii) calcular as precipitações máximas esperadas para os tempos de retorno de 2, 5, 10, 30, 50 e 100 nesses meses. MATERIAL E MÉTODOS As séries históricas de precipitação pluviométrica (mm) dos meses de outubro a março foram obtidas à partir dos registros históricos da Estação Convencional do Posto Agrometeorológico da Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz (ESALQ/USP, 2014). A série compreende o período de 1917 a 2013, totalizando 97 anos de observações. O clima de Piracicaba, conforme a classificação de Köppen, é do tipo Cwa: tropical de altitude, com chuvas de verão e seca no inverno, sendo os meses de junho, julho e agosto mais secos. A temperatura média do mês mais quente é superior a 22 o C e a do mês mais frio não é inferior a 16 o C (GHIBERTO; MORAES, 2011). A partir das séries originais foram estimados limiares suficientemente altos e de cada série original foi obtida uma sub-série mensal, com os máximos acima dos limiares estimados. Para seleção do limiar foi utilizado o método proposto por Davison (1990), que consiste na escolha de um limiar por meio da análise do gráfico das médias dos excessos das precipitações máximas esperadas. A independência das observações em cada mês foi avaliada utilizando-se o teste proposto por Ljung e Box (1978). Em seguida, pode-se proceder ao ajustamento de uma distribuição GP para modelar às séries mensais de precipitação máxima, sendo as estimativas dos seus parâmetros obtidas pelo método da Máxima Verossimilhança. O teste de Kolmogorov-Smirnov foi empregado para avaliar a aderência dos dados à distribuição Exponencial. Em ambos testes adotou-se o nível de 5% de significância.

3 Conhecidas as estimativas dos parâmetros, de acordo com Coles (2001), os níveis de retorno de precipitação em um tempo médio T (em anos) podem ser calculados pela Exponencial por: ( ) 1 ˆq E (T ) = ˆω ˆη ln (2) T Todas as análises estatísticas foram realizadas no software R Development Core Team (2013). O pacote POT foi utilizado para o estudo da série de dados, por possuir funções específicas na análise de valores extremos definidos acima de um limiar. RESULTADOS E DISCUSSÃO Pela análise dos resultados do teste de Ljung-Box (TABELA 1) pode-se verificar que as observações das séries mensais estudadas, obtidas utilizando-se a metodologia POT, são independentes (p-valor > 0,05). Sartori et al. (2010) não obtiveram resultados semelhantes no município de Botucatu-SP. Ao analisar séries históricas da Fazenda Lageado da UNESP de Botucatu-SP ( ), referentes à precipitação pluviométrica, umidade relativa do ar e temperatura do ar, os autores verificaram que as três variáveis climáticas apresentaram forte dependência temporal. Dessa forma, a distribuição Exponencial pode ser ajustada aos dados. Os resultados do teste de Kolmogorov-Smirnov (TABELA 1) indicam que todas as séries mensais de precipitação máxima de Piracicaba-SP ajustaram-se à distribuição Exponencial (p-valor > 0,05). Com base na revisão de literatura pode-se verificar uma certa carência de estudos de valores extremos em Piracicaba-SP utilizando-se a Metodologia POT e as distribuições que originam-se dessa metodologia. No município de Piracicaba- SP, por exemplo, a maioria dos estudos observados utilizam as distribuições de valores extremos que originam-se do método dos Blocos Máximos (BAUTISTA, ZOCCHI E ANGELOCCI (2004), SANSI- GOLO (2008)). Tabela 1: Estimativas dos parâmetros da distribuição Exponencial e resultados dos testes de Ljung-Box (LB)(p-valor) e Kolmogorov-Smirnov (KS)(p-valor) para as séries de precipitação máxima de Piracicaba-SP. Mês Limiar (ˆω) n ˆη LB KS TRV Janeiro ,2 0,7085 0,8885 0,8380 Fevereiro ,2 0,1445 0,7799 0,5261 Março ,2 0,1430 0,2177 0,5723 Outubro ,8 0,3117 0,4566 0,1261 Novembro ,6 0,3485 0, Dezembro ,4 0,7875 0,4221 0,3307 TRV: Teste da Razão de Verossimilhança Como a distribuição Exponencial é caso especial da distribuição GP (modelos aninhados) verificou-se também o ajuste dessa distribuição comparando-a com o modelo mais completo, utilizandose o Teste da Razão de Verossimilhança (TRV). Com base nos resultados apresentados na Tabela 1 (p-valor > 0,05) aceitou-se a hipótese H 0 de que o modelo mais simples fornece melhor ajuste aos dados, ou seja, a distribuição Exponencial mostrou-se mais adequada que a distribuição GP para modelar às séries históricas estudadas. As precipitações máximas esperadas para os tempos de retorno de 2, 5, 10, 30, 50 e 100 anos, obtidas via distribuição Exponencial estão apresentadas na Tabela 2. Uma interpretação prática dos resultados pode ser feita do seguinte modo: escolhendo o mês de janeiro e o tempo de retorno de 10 anos, conforme o resultado obtido utilizando-se a distribuição Exponencial, espera-se que em um tempo médio de 10 anos, que em pelo menos um dia desse mês ocorra uma precipitação máxima superior ou igual a 90,08mm. Pode-se verificar também (TABELA 2) que os maiores níveis de retorno são observados nos meses de janeiro e dezembro, sendo que as maiores estimativas ocorrem predominantemente no últimos

4 Tabela 2: Níveis de retorno de precipitação máxima (mm) em Piracicaba-SP para os tempos de retorno de 2, 5, 10, 30, 50 e 100 anos nos meses de outubro a março, obtidas via distribuição Exponencial. Mês Tempos de retorno Janeiro 70,45 81,63 90,08 103,48 109,71 118,16 Fevereiro 56,23 71,08 82,31 100,12 108,39 119,63 Março 64,21 76,38 85,58 100,17 106,96 116,16 Outubro 47,47 57,36 64,83 76,68 82,18 89,66 Novembro 65,15 78,56 88,70 104,79 112,26 122,41 Dezembro 66,69 80,81 91,50 108,44 116,32 127,00 CONCLUSÃO As observações das séries históricas de precipitações máximas dos meses de outubro a março de Piracicaba-SP são independentes. Em todos os períodos mensais verificou-se o ajuste das séries à distribuições Exponencial. Os maiores níveis de retorno de precipitação estimados foram estimados para os meses de janeiro e dezembro. AGRADECIMENTOS À CAPES e ao CNPq pela concessão de bolsas de estudo. Referências BAUTISTA, E.A.L.; ZOCCHI, S.S.; ANGELOCCI, L.R. A distribuição Generalizada de Valores Extremos aplicada ao ajuste dos dados de velocidade máxima do vento em Piracicaba, São Paulo, Brasil. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22, n. 1, p , Sprin- COLES, S. G., An introduction to statistical modeling of extreme values. London: ger. 226 p mês. Ao empregar a distribuição Gumbel na modelagem das precipitações diárias máximas de Piracicaba- SP no período de 1917 à 2004, Sansigolo (2008) verificou que para um tempo de retorno de 50 anos, espera-se a ocorrência de uma precipitação diária máxima (em mm) igual ou superior a 119±9, o que corrobora com os resultados fornecidos pela distribuição Exponencial, principalmente no mês de dezembro. DAVISON, A. C.; SMITH, R. L., Models for exceedances over high thresholds. Journal of the Royal Statistical Society, v. B52, p , ESALQ/USP, Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Universidade de São Paulo. Base de Dados Meteorológicos. Disponível em: < Acesso em: 8 set FISHER, R. A.; TIPPETT, L. H. C. Limiting forms of the frequency distribution of largest or smallest member of a sample. Proceedings of the Cambridge Philosophy Society, Cambridge, v. 24, p , GHIBERTO, P. J.; MORAES, S. O. Comparação de métodos de determinação da Condutividade hidráulica em um latossolo Vermelho-amarelo. R. Bras. Ci. Solo, Viçosa, v. 35, p ,

5 2011. IDALINO, R. C. L.; OLIVEIRA, P. S.; LUCIO, P. S. Modelagem de extremos meteorológicos via GEV e GPD - Uma análise comparativa de Algumas capitais brasileiras. R. bras. Estat., Rio de Janeiro, v. 70, n. 233, p , JENKINSON, A. F. The frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of meteorological elements. Q. J. Meteorol. Soc., Brackneel, v. 81, p , LJUNG, G. M.; BOX, G. E. P. On a measure of lack of fit in time series models. Biometrika, v.65, p , MARENGO, J. A. Mudanças climáticas, condições meteorológicas extremas e eventos climáticos no Brasil. In: MARENGO, J. A.; SCHAEFFER, P.; PINTO, H. S.; ZEE, D. M. W.; LUCENA, A. F. P.; SZKLO, A. Mudanças climáticas e eventos extremos no Brasil. Rio de Janeiro: Fundação Brasileira para o Desenvolvimento Sustentável (FBDS) e Lloyd s, p Disponível em: < Acesso em: 20 ago PICKANDS, J. Statistical inference using extreme order statistics. The Annals of Statistics, Hayward, v. 3, n. 1, p , R DEVELOPMENT CORE TEAM, An Introduction to R: Version: 2.15 (2013). In: < Acesso em 20 jun de SANSIGOLO, C. A. Distribuições de extremos de precipitação diária, temperatura máxima e mínima e velocidade do vento em Piracicaba, SP ( ). Revista Brasileira de Meteorologia, São José dos Campos, v. 23, n. 3, p , SARTORI, A. A. C.; SILVA, A. F.; RAMOS, C. M. C.; ZIMBACK, C. R. L. Variabilidade temporal e mapeamento dos dados climáticos de Botucatu-SP. Irriga, Botucatu, v. 15, n. 2, p , VON MISES, R. La distribution de la plus grande de n valeurs. Rev. Math. Union Interbalkanique, v. 1, p , 1936.