REGULADORES E OBSERVADORES FUZZY TAKAGI-SUGENO PARA VARIAR O ÂNGULO DA ARTICULAÇÃO DO JOELHO DE UM PACIENTE PARAPLÉGICO

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1 REGULADORES E OBSERVADORES FUZZY TAKAGI-SUGENO PARA VARIAR O ÂNGULO DA ARTICULAÇÃO DO OELHO DE UM PACIENTE PARAPLÉGICO Rubrli Gaino, Marclo Carvalho Minhoto Tixira, Aparcido Augusto d Carvalho, Edvaldo Assunção, Tony Inácio da Silva UNESP - Univrsidad Estadual Paulista Dpartamnto d Engnharia Elétrica, Campus d Ilha Soltira Avnida Brasil, 5, Ilha Soltira, SP, Brasil UEL-Univrsidad Estadual d Londrina Dpartamnto d Engnharia Elétrica, Campus Univrsitário s: rgaino@aluno.fis.unsp.br, marclo@d.fis.unsp.br, aac@d.fis.unsp.br, dvaldo@d.fis.unsp.br, tysilva@gmail.com Abstract This papr shows, through thorical studis and simulations, that using th dscription of th plant by Takagi-Sugno fuzzy modls, it is possibl to dsign a nonlinar rgulator with obsrvr to control of th lg position of a paraplgic patint. Th control systm was dsignd to chang th angl of th joint kn of 3 o and o. This study gnralizs prvious rsults obtaind by th authors, whr th stat vctor of th plant was considrd availabl. Kywords Takagi-Sugno Fuzzy Modls, Rgulators, Rhabilitation Enginring. Rsumo É dmonstrado, por studos tóricos simulaçõs, qu é possívl projtar um rgulador com obsrvador não-linar, para controlar a posição da prna do paraplégico, considrando a planta dscrita por modlos fuzzy Takagi-Sugno. No caso, o sistma d control foi concbido para variar o ângulo da articulação d 3 o o. Est studo gnraliza rsultados prévios, utilizando ralimntação das variávis d stado da planta. Palavras-chav Modlos Fuzzy Takagi-Sugno, Rguladors, Engnharia d Rabilitação. Introdução O uso da ltrostimulação para controlar o movimnto d pacints paraplégicos, é um assunto antigo rlvant m ngnharia d rabilitação. Por xmplo, modlos proposto por (Hill, 938), o intrss m su mprgo, para rstauração das funçõs motoras, são cada vz mais difundidos na ára médica. Em (Tixira t al., b) (Tixira t al., a) foram ralizados pla primira vz studos simulaçõs da posição da prna d um paraplégico, com ltrostimulação utilizando modlos fuzzy Takagi-Sugno (Tanaka t al., 998) (Tixira and Zak, 999). Foi adotado o modlo matmático da prna proposto por (Frrarin and Pdotti, ), qu rlaciona o torqu do músculo com a largura d pulso. Nst artigo são aprsntados studos adicionais aos dsnvolvidos m (Tixira t al., b) (Tixira t al., a). Com intnção d flxibilizar os rsultados obtidos antriormnt, projtou-s o rgulador considrando a vlocidad da rsposta, rstrição no sinal d ntrada saída, no ponto d opração d 3 o, com todas as variávis d stados disponívis. Em sistmas dinâmicos, na prática os stados nm smpr stão disponívis. S a planta do sistma for obsrvávl (Ogata, ) é possívl stimar as variávis d stados do sistma. Considrando a anális d forma análoga ao caso dos rguladors, usa-s o projto com LMI s para obtnção da li d control do obsrvador. O projto do rgulador com obsrvador foi ralizado no ponto d opração d o. Modlo da unção do olho O modlo matmático do mmbro infrior mprgado nst trabalho foi proposto por (Frrarin and Pdotti, ). Est modlo rlaciona a largura do pulso aplicado com o torqu grado m torno da articulação do jolho. Na modlagm (Frrarin and Pdotti, ) considraram o mmbro infrior como uma cadia cinmática abrta composta d dois sgmntos rígidos: a coxa, o complxo canla-pé, conform mostra a Figura. Os movimntos da junção do tornozlo não foram considrados, rduzindo o númro dos graus d librdad. A coxa foi considrada stacionária (isto é, fixa m uma msa suport) assim somnt a dinâmica d canla-pé foi considrada no modlo. Somnt os movimntos do jolho, d flxãoxtnsão, foram considrados. Os comportamntos passivos do complxo do músculo-tndão da junção do jolho foram modlados pla rigidz M s uma componnt d amortcimnto M d, qu dpndm rspctivamnt do ângulo do jolho da vlocidad angular. E também os componnts inrcial M i gravitacional M g foram considrados juntos com o torqu ativo do jolho Ma, rsultado da stimulação rctus fmoris. O quilíbrio dinâmico dsts componnts m torno da junção do jolho é rprsntado pla sguint quação: M i = M g + M s + M d + M a. () Para simulação foram adotados os dados

2 Estimulação Elétrica. θ θv M a mg Figura : Complxo Canla Tornozlo d (Frrarin and Pdotti, ), qu sugrm métodos para obtnção xprimntal dos parâmtros d intrss, mostrados na Tabla. Tabla : Parâmtros do Sistma..3 [Kgm ] m.37 [Kg] l 3.8 [cm] B.7 [N ms/rad] λ.8 [N m/rad] E. [/rad] ω.98 [rad] τ.95 [s] G 5 [N m/s] Em (Tixira t al., b) (Tixira t al., a), dmonstra-s qu a quação d stados não-linar qu rprsnta o movimnto da articulação do jolho ao stímulo létrico aplicado no músculo rctus fmoris é a sguint: ẋ ẋ ẋ 3 = f B τ l x x x 3 + G τ P N. () sndo qu x = θ v = θ v θ v, x = ẋ, x 3 = M a M a, o ponto d opração (θ v, θv, M a ) = (θ v,, M a ), m qu f é uma não linaridad do sistma P N é a nova ntrada do sistma, P N = P M a G. (3) f = x [ mglsn(x + θ v ) λ E(x+θv+ π ) ( θ v + θ v + π ω) + M a], () M a = mglsn(θ v ) + λ E(θv+ π ) ( θ v + π ω ). (5) Obsrva-s qu m (), quando for atribuído o valor zro à variávl x, ocorr um problma na dtrminação d f. Em (Tixira t al., b) (Tixira t al., a) é aprsntada uma solução para st problma. 3 Rprsntação Utilizando Modlos Fuzzy Takagi-Sugno É possívl rprsntar crtas classs d sistmas não-linars com modlos fuzzy TS utilizando-s o método dscrito m (Taniguchi t al., ). Nst método d construção, os modlos locais são obtidos m função da rgião d opração. O sistma fuzzy rsultant é tido como a média pondrada dos modlos locais, é dado por, (Tanaka t al., 998). r i= wi (x(t))(a i x(t) + B i u(t)) r, i= wi (x(t)) =A(α)x(t) + B(α)u(t), y(t) =C(t), () sndo qu, α i (x(t)) α i (x(t)) = α i (x(t)) =, i =,,...,r. i= w i (x(t)) r i= wi (x(t)), α = [α,...,α r ] T. Dinâmica Não-Linar da Prna do Paraplégico Utilizando a Modlagm Fuzzy Takagi-Sugno (7) Em (Tixira t al., b) (Tixira t al., a) foi aprsntada uma modlagm fuzzy Takagi-Sugno, qu rprsnta xatamnt o sistma (), considrando os pontos d opração m θ v m 3 o o rspctivamnt basando-s m (Taniguchi t al., ): α (x(t)) = f a a a. (8) α (x(t)) = f a a a. (9) Os modlos locais d () foram os sguints, A = A = a B τ a B τ,, ()

3 B = B = [ G/τ], a =.33 a = 9. para 3 o a =. a = 3.5 para o. Finalmnt, dfinindo-s u = P N ntão () pod sr rprsntado xatamnt por, i= ( ) α i (x (t)) A i x(t) + B i u(t). () 5 Rguladors com Modlos Fuzzy Takagi-Sugno D forma análoga à ftuada na obtnção d (), o rgulador fuzzy é dado por r i= u(t) = wi (x(t))f i x(t) r, i= wi (x(t)) = α i (x(t))f i x(t), () i= = F(α)x(t). O objtivo do projto do rgulador fuzzy é dtrminar os ganhos d ralimntação locais F i nas parts consqünts. Substituindo a quação () na quação () tm-s: ẋ(t)= i= j= α i (x(t))α j (x(t))(a i B i F j )x(t). 5. Anális da Estabilidad Da quação (3), dfin-s, (3) G ij = A i B i F j. () Então, d (3) tm-s qu, i= j= α i (x(t))α j (x(t))g ij x(t), (5) αi (x(t))g ii x(t) i= + { } Gij + G ji α i (x(t))α j (x(t)) x(t), i<j sndo qu por dfinição, 3 a ij = a + a 3 + a 3. i<j () Lma O ponto d quilíbrio x = do sistma fuzzy contínuo dscrito por () é globalmnt assintoticamnt stávl s xist uma matriz simétrica positiva dfinida comum P tal qu A T i P + PA i <, (7) para i =,,...,r; isto é, para todos os subsistmas. Nosso maior intrss com rlação ao Lma é aplicá-lo no sistma ralimntado (), para projtar um rgulador qu stabiliz o sistma. Considr candidata a função d Lyapunov, V (x(t)) = x(t) T Px(t), P = P T >. Então d (), V (x(t)) = x(t) { T r i= α i (x(t))( G T ii P + PG ) ii + [( ) r i<j α G i(x(t))α j (x(t)) T ij +GT ji P )]} +P x(t). ( Gij+G ji (8) Assim, vrificando a quação (8), como α i (x(t)) para i =,,...,r α (x(t))+...+ α r (x(t)) =, as três condiçõs a sguir garantm a stabilidad assintótica global do sistma () ralimntado com a li d control ():. P >, P = P T ;. G T ii P+PG ii < para todo i =,,...,r; ( ) ) 3. P+P para i < j. G T ij +GT ji ( Gij+G ji 5. Projto d Rguladors Fuzzy com LMIs Problmas como as análiss d stabilidad o projto d control podm sr rduzidos a problmas dscritos por LMIs (Linar Matrix Inqualitis). Numricamnt, as soluçõs d LMIs, quando xistm, podm sr obtidas muito ficintmnt por mio d algumas frramntas podrosas, disponívis na litratura d programação matmática (Boyd t al., 99). Dsta forma, a solução ncontrada para tais problmas dscritos por LMIs é quivalnt a ncontrar soluçõs para o problma original. As técnicas d projto usando LMIs também prmitm a spcificação da rsposta transitória através da taxa d dcaimnto a spcificação d rstriçõs nos sinais d control nas saídas. Substituindo () na sgunda condição dfinindo X = P M i = F i X, tm-s qu, XA T i + M T i B T i A i X + B i M i >, (9) i =,,...,r. Analogamnt substituindo (), na trcira condição tm-s, XA T i + M T j B T i XA T j + M T i B T j A i X + B i M j A j X + B j M i, () i =,,...,r, j =,3,...,r j > i. S (9) () são factívis X = X T >, os ganhos do controlador são, F i = M i X, i =,,...,r.

4 5.. Estabilidad Para a modlagm Takagi-Sugno da planta com θ v = 3, dada m (8)-(), as LMIs (9) () são factívis para X = X T > os ganhos do controlador são dados por, F = M X = 3 [..3. ], F = M X = 3 [..3. ] Estabilidad Taxa d Dcaimnto, β = As msmas condiçõs para a stabilidad, mas agora impondo uma taxa d dcaimnto β =. Podmos obsrvar com isso qu a vlocidad da rsposta transitória s torna mais rápida. Os ganhos do rgulador, calculados das partir soluçõs d () (), com X = X T > os modlos locais () dados por, F = M X = 3 [..3.3 ],.8. Estabilidad.5 Estabilidad F = M X = 3 [.8.8. ] Tmpo(s) Estabilidad Tmpo(s) x Entrada do sistma.8.. Estabilidad.5.5 Estabilidad 3 5 Tmpo(s) Tmpo(s) Figura : Rsposta do controlador considrando somnt a stabilidad Tmpo(s) Estabilidad 3 5 Tmpo(s) Tmpo(s) x Entrada do sistma 3 5 Tmpo(s) Na Figura, x a (t) = θ v, x b (t) = θ v, x c (t) = M a, u n (t)=p. 5.3 Taxa d Dcaimnto É important considrar não apnas a stabilidad, mas também outros índics d dsmpnho do sistma controlado, tais como a vlocidad d rsposta, rstriçõs da ntrada da saída. A vlocidad d rsposta stá rlacionada com a taxa d dcaimnto (β). Considr uma função candidata a função d Lyapunov do tipo V (x(t)) = x(t) T Px(t), ( com V (x(t)) < ) para todo x. A taxa d dcaimnto β, β > é obtida s a condição V (x(t)) βv (x(t)) for satisfita para toda a trajtória x(t) do sistma (Tanaka t al., 998). Analogamnt ao cálculo das LMIs (9) (), considrando apnas a stabilidad do sistma, obtém-s condiçõs suficints para uma taxa d dcaimnto maior ou igual a β: XA T i + M T i B T i A i X + B i M i βx >, () i =,,...,r. XA T i + M T j B T i XA T j + M T i B T j A i X + B i M j A j X + B j M i βx, () i =,,...,r, j =,3,...,r j > i. S () () são factívis X = X T >, os ganhos do controlador são, F i = M i X, i =,,...,r. Figura 3: Rsposta do controlador com β =. O sistma da Figura com β =, aprsntou um tmpo d stablcimnto d aproximadamnt 3 sgundos, nquanto na Figura 3, com β = a taxa d stablcimnto foi rduzuda para sgundos. 5. Rstrição da Entrada Considr qu a condição inicial x() é conhcida. A rstrição u(t) µ é imposta para todo tmpo t s as LMIs [ ] x() T (3) x() X [ X M T i M i µ I form satisfitas. 5.5 Rstrição da Saída ] () Assuma qu a condição inicial x() é conhcida dfina y(t) = Cx(t). A rstrição y(t) λ é imposta para todo tmpo t s as LMIs [ ] x() T (5) x() X [ X XC T form satisfitas. CX λ I ] ()

5 5.5. Estabilidad, Taxa d Dcaimnto β =, Condiçõs Iniciais [ π/; ; M a ], Rstrição no Sinal d Entrada, µ =. Dpois d ralizar vários tsts, uma possívl solução para o control da posição da prna do paraplégico, atndndo os rquisitos d stabilidad, taxa d dcaimnto rstrição no sinal d ntrada é dada por β = µ =.. Os ganhos do rgulador para a solução factívl das LMIs ()-() com X = X T >, foram as sguints, F = M X = 3 [ ], F = M X = 3 [..9.9 ] Estabilidad 3 5 Tmpo(s) Estabilidad 3 5 Tmpo(s).5 Estabilidad Tmpo(s) x Entrada do sistma Tmpo(s) Figura : Rsposta do controlador com β = µ =.. Com β = µ =., consguimos diminuir a amplitud da li d control, como uma consquência da rstrição no sinal d ntrada, o tmpo d stablicimnto passou a sr aproximadamnt,5 sgundos. No ntando st fato não compromt a rsposta do sistma. Obsrvadors Fuzzy Takagi-Sugno Em sistmas dinâmico, na prática os stados não stão disponívis. Para sistmas linars, um obsrvador é viávl s o sistma for obsrvávl, (Ogata, ). Nsta sção aprsnta o concito d obsrvadors fuzzy. Em todo projto d obsrvadors fuzzy, um rquisito a sr cumprido é qu x(t) ˆx(t), t, (7) sndo ˆx(t) dnota o vtor d stado stimado plo obsrvador fuzzy. Isto garant qu o rro m rgim prmannt ntr x(t) ˆx(t) é. O obsrvador fuzzy possui as lis do obsrvador d stado linar nas suas parts consqunts. O obsrvador fuzzy para o sistma contínuo () é o sguint: ˆ α i (x(t))(a iˆx(t) + B i u(t) i= +H i {y(t) ŷ(t)}), (8) ŷ(t)=cˆx(t). (9) Dfinindo-s = x ˆx, ntão d () tm-s qu ė= i= j= α i (x(t))α j (x(t)) {A i H i C}(t). (3). Projto do Rgulador com Obsrvador d Estados Utilizando Modlos Fuzzy Takagi- Sugno Foi dmonstrado m (Ma t al., 998) qu o projto dos ganhos do obsrvador H i do rgulador F i, para i =,,...,r pod sr fito sparadamnt. Est rsultado é uma gnralização do Principio da Sparação, bm conhcido na toria d sistmas linars, facilita o projto d rguladors com obsrvadors. Tndo m vista st fato, os projtos dos ganhos H i F i podm sr xcutados sparadamnt a partir d (3) (3). Com a li d control u(t) = F(α)ˆx(t), o sistma controlado é dado por: [ ] ẋ(t) = α ė(t) i (z(t))α j (z(t)) i= j= [ Ai B i F j B i F j A i H i C j ][ x(t) (t) ] (3). Projto Obsrvadors Fuzzy Takagi-Sugno basados m LMIs A sguir as aprsntados as condiçõs suficints para garantir a stabilidad com taxa d dcaimnto do obsrvador. Considr a função d Lyapunov V (x(t)) = x(t) T Px(t) P = P T >. Então V <, para x, s: PA i + A T i P M i C C T M T i + βp <, (3) sndo qu M i = PH i, para i < j, i =,,...,r A T i P CT M T i + A T j P CT M T j + PA i M i C + PA j M j C + βp. (33).. Considração para a Estabilidad Taxa d Dcaimnto Em (Ogata, ) sugr-s qu o tmpo d stablcimnto do obsrvador dva sr aproximadamnt cinco vzs mais rápido qu o tmpo d

6 stablcimnnto do rgulador. Considra-s as taxas d dcaimnto, do rgulador do obsrvador rspctivamnt iguais a β =. β =.5. Com rstrição no sinal d ntrada µ =.5. A sguir, mostra-s os rsultados considrando a stabilidad com taxa d dcaimnto. Os ganhos do rgulador obsrvador para posicionar a articulação da prna rpctivamnt no ponto d, são dados por, F = M X = 3 [..7. ], F = M X = 3 [.7.8. ]. H =P M = H =P M = A sguir mostra-s os rsultados stimados para a dinâmica do pacint paraplégico. O ponto d opração dsjado é o (Tixira t al., a). Considrando a quação (3), o vtor d stado inicial é dfinido, [θ v ; θv ; M ao ; (); (); 3 ()] = [ pi/3; ; 8.7;.3; ;.]..5.5 Estabilidad 3 Tmpo(s) Estabilidad 8 3 Tmpo(s) 3, Estabilidad. 3 Tmpo(s).5 x Entrada do sistma Tmpo(s) Figura 5: Rgulador com Obsrvador. Ests rsultados considram o rgulador obsrvador d stados para o ponto d, ond x a (t) = θ v, x b (t) = θ v, x c (t) = M a u n = P. 7 Conclusõs Foi aprsntado o projto simulaçõs d um rgulador com obsrvador para o control nãolinar da posição da prna d um pacint paraplégico, dscrito por modlos fuzzy Takagi- Sugno. Os bons rsultados obtidos dmonstram a viabilidad do método. O msmo studo foi fito m (Tixira t al., b) (Tixira t al., a), sm rstriçõs físicas do rgulador considrando o vtor d stados disponívl. O procdimnto proposto é rigoroso, basado m LMIs utiliza funçõs d Lyapunov na anális da stabilidad. Agradcimntos Os autors agradcm o apoio financiro rcbido da FAPESP do CNPq. Rfrências Boyd, S., Ghaoui, L., Fron, E. and Balakrishan (99). Linar Matrix Inqualitis in Systms and Control Thory, SIAM Studis in Apllid Mathmatics, USA. Frrarin, M. and Pdotti, A. (). Th Rlationship Btwn Elctrical Stimulus and oint Torqu: A Dynamic Modl, IEEE Transactions on Rhabilitation Enginring 8(3): Hill, A. V. (938). Th hat of shortning and th dynamic constant of muscl, Procdings of th Royal Socity B(): Ma, X.., Sun, Z. Q. and H, Y. Y. (998). Analysis and Dsign of Fuzzy Controllr and Fuzzy Obsrvr, IEEE Transactions on Fuzzy Systms (): 5. Ogata, K. (). Engnharia d Control Modrno, Prntic Hall, Brasil. Tanaka, K., Ikda, T. and Wang, O. H. (998). Fuzzy Rgulators and Fuzzy Obsrvrs: Rlaxd Stability Conditions and LMI-Basd Dsigns, IEEE Transactions on Fuzzy Systms (): 5 5. Taniguchi, T., Tanaka, K., Ohatak, H. and Wang, H. O. (). Modl Construction, Rul Rduction, and Robust Compnsation for Gnralizd Form of Takagi-Sugno Fuzzy Systms, IEEE Transactions on Fuzzy Systms 9(): Tixira, M. C. M., Dacto, G. S., Gaino, R., Assunção, E., Carvalho, A. A. and Farias, U. C. (a). Dsign of a Fuzzy Takagi-Sugno Controllr to Vary th oint Kn Angl of Paraplgic Patints., Lcturs Nots in Computr Scinc Springr Brlin/Hidlbrg 3(3): 8. Tixira, M. C. M., Dacto, G. S., Gaino, R., Assunção, E., Carvalho, A. A. and Farias, U. C. (b). Projto d um Controlador Fuzzy Takagi-Sugno para Variar o Ângulo da Articulação do olho, XVI Congrsso Brasiliro d Automática (XVI): Tixira, M. C. M. and Zak, S. H. (999). Stabilizing Controllr Dsign for Uncrtain Non- Linar Systms Using Fuzzy Modls, IEEE Transactions on Fuzzy Systms 7(): 33.