POSTIL Mtemátic plicd Universidde Tecnológic Federl do Prná UTFPR Césr Glvão
Índices SISTEMTIZÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS...-. CONJUNTOS NUMÉRICOS...-.. Conjunto dos números nturis...-.. Conjunto dos números inteiros...-.. Conjunto dos números rcionis...-..4 Conjunto dos números irrcionis...-..5 Conjunto dos números reis...-4. OPERÇÕES COM CONJUNTOS...-4.. Noções primitivs...-4.. Iguldde de conjuntos...-5.. Subconjuntos...-5..4 União de conjuntos...-5..5 Intersecção de conjuntos...-6..6 Diferenç de conjuntos...-6. INTERVLOS...-7.. Operções com intervlos...-8 FUNÇÕES... -0. CONCEITO MTEMÁTICO DE FUNÇÃO...-0. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO...-. NOTÇÃO DE FUNÇÃO...-.4 DOMÍNIO, CONTRDOMÍNIO E IMGEM DE UM FUNÇÃO...-.5 FUNÇÃO COMPOST...-4.6 FUNÇÃO INVERS...-6.6. Determinção d função invers... -6 FUNÇÃO POLINOMIL... -8. FUNÇÃO POLINOMIL DO O GRU...-8.. Função liner... -8.. Gráfico de um função polinomil do o gru... -8.. Determinção de um função prtir do gráfico... -9..4 Crescimento e decrescimento de um função polinomil do o gru... -0..5 Estudo do sinl d função polinomil do o gru... -. INEQUÇÕES DO O GRU...-.. Resolução de inequções do o gru... -.. Sistems de inequções do o gru... -.. Inequção-produto e inequção-quociente... -4. FUNÇÃO POLINOMIL DO O GRU...-6.. Gráfico de um função qudrátic... -6.. Concvidde... -6.. Zeros de um função qudrátic... -7..4 Vértice d prábol... -7..5 Gráfico de um prábol... -8..6 Estudo do sinl d função qudrátic... -8.4 INEQUÇÕES DO O GRU...-9.4. Resolução de inequções do o gru... -9.4. Sistems de inequções do o gru... -0.4. Inequção-produto e inequção-quociente... - 4 FUNÇÃO EXPONENCIL... 4-4 4. REVISÃO DE POTENCIÇÃO...4-4 4.. Potêncis com epoente nturl... 4-4 4.. Potêncis com epoente inteiro... 4-4 4.. Potêncis com epoente rcionl... 4-4 4..4 Potêncis com epoente rel... 4-4 4. EQUÇÕES EXPONENCIIS...4-5 4.. Resolução de equções eponenciis... 4-6 4.. Resolução de equções eponenciis com o uso de rtifícios... 4-7 4. FUNÇÃO EXPONENCIL...4-7 ii
iii 4.. Gráfico d função eponencil no plno crtesino... 4-8 4.. Crcterístics d função eponencil... 4-9 4.4 INEQUÇÕES EXPONENCIIS...4-9 4.4. Resolução de inequções eponenciis... 4-9 5 FUNÇÃO LOGRÍTMIC... 5-4 5. DEFINIÇÃO DE LOGRITMO...5-4 5. CONSEQÜÊNCIS D DEFINIÇÃO...5-4 5. PROPRIEDDES DOS LOGRITMOS...5-4 5.4 COLOGRITMO...5-4 5.5 MUDNÇ DE SE...5-4 5.6 FUNÇÃO LOGRÍTMIC...5-44 5.6. Gráfico d função logrítmic no plno crtesino... 5-44 5.7 INEQUÇÕES LOGRÍTMICS...5-45 6 TRIGONOMETRI... 6-47 6. TRIÂNGULO RETÂNGULO...6-47 6. RELÇÕES MÉTRICS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO...6-47 6. RZÕES TRIGONOMÉTRICS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO...6-49 6.4 CONSEQÜÊNCIS DS DEFINIÇÕES...6-50 6.4. Ângulos complementres... 6-5 6.4. Divisão... 6-5 6.4. plicndo o teorem de Pitágors... 6-5 6.5 ÂNGULOS NOTÁVEIS...6-5 6.6 CIRCUNFERÊNCI TRIGONOMÉTRIC OU CICLO TRIGONOMÉTRICO...6-54 6.6. rco de circunferênci... 6-54 6.6. Medids de rcos... 6-54 6.6. Ciclo trigonométrico... 6-56 6.6.4 rcos côngruos... 6-57 6.7 SENO E COSSENO DE UM RCO...6-59 6.7. Conseqüêncis... 6-59 6.7. Função seno e função cosseno... 6-59 6.7. Gráfico ds funções seno e cosseno... 6-60 6.8 TNGENTE DE UM RCO...6-6 6.8. Conseqüêncis... 6-6 6.8. Função tngente... 6-6 6.8. Gráfico d função tngente... 6-6 6.9 COTNGENTE DE UM RCO...6-6 6.9. Conseqüêncis... 6-64 6.9. Função cotngente... 6-64 6.9. Gráfico d função cotngente... 6-64 6.0 SECNTE E COSSECNTE DE UM RCO...6-64 6.0. Função secnte e cossecnte... 6-65 6.0. Gráfico d função secnte... 6-65 6.0. Gráfico d função cossecnte... 6-66 6. RELÇÕES TRIGONOMÉTRICS...6-67 6.. Usndo o teorem de Pitágors... 6-67 6.. Usndo semelhnç entre triângulos... 6-68 6. IDENTIDDES TRIGONOMÉTRICS...6-69 6.. Processo pr demonstrr identiddes... 6-69 7 MTRIZES... 7-7 7. CONCEITO DE MTRIZ...7-7 7.. lgums mtrizes especiis... 7-7 7. MTRIZ QUDRD...7-7 7.. Mtriz identidde... 7-7 7.. Mtriz digonl... 7-74 7.. Mtriz opost... 7-74 7. IGULDDE DE MTRIZES...7-74 7.. Mtriz trnspost... 7-75 7.4 OPERÇÕES COM MTRIZES...7-75 7.4. dição de mtrizes... 7-75 7.4. Subtrção de mtrizes... 7-75
iv 7.4. Produto de um número rel por um mtriz... 7-76 7.4.4 Produto de mtrizes... 7-77 7.4.5 Mtriz invers... 7-78 8 DETERMINNTES... 8-80 8. DETERMINNTE DE ORDEM...8-80 8. DETERMINNTE DE ORDEM...8-80 8. DETERMINNTE DE ORDEM...8-8 8.. Regr de Srrus... 8-8 8.4 DETERMINNTE DE ORDEM MIOR QUE...8-8 8.4. Menor complementr... 8-8 8.4. Coftor ou complemento lgébrico... 8-8 8.4. Conclusões... 8-8 8.4.4 Teorem de Lplce... 8-84 8.4.5 Teorem de inet... 8-86 8.4.6 Determinnte d mtriz invers... 8-86 9 SISTEMS LINERES... 9-88 9. EQUÇÃO LINER...9-88 9.. Solução de um equção liner... 9-88 9. SISTEM LINER...9-89 9.. Sistems lineres equivlentes... 9-90 9. CLSSIFICÇÃO DE UM SISTEM LINER...9-9 9.4 MTRIZES SSOCIDS UM SISTEM LINER...9-9 9.4. Form mtricil do sistem liner... 9-9 9.5 REGR DE CRMER...9-9 9.6 RESOLUÇÃO DE UM SISTEM LINER POR ESCLONMENTO...9-94 0 GEOMETRI...0-99 0. POLÍGONOS...0-99 0.. Polígonos regulres...0-99 0.. Áre do triângulo...0-99 0.. Áre do prlelogrmo...0-0 0..4 Áre dos prlelogrmos notáveis...0-0 0..5 Áre do trpézio...0-04 0..6 Áre e comprimento de um círculo...0-06 0..7 Áre d coro circulr...0-06 0..8 Áre do setor circulr...0-07 0..9 Áre do segmento circulr...0-07 0. GEOMETRI ESPCIL... 0-09 0.. Poliedros...0-09 0.. Poliedros regulres...0-0.. Prisms...0-4 0..4 Pirâmides...0-0..5 Tronco de pirâmide...0-0..6 Cilindros...0-8 0..7 Cones...0-0..8 Tronco de cone...0-0..9 Esfers...0-7 GEOMETRI NLÍTIC: PONTO E RETS...-4. SEGMENTO DE RET... -4. SEGMENTO ORIENTDO... -4.. Eio...-4. MEDID LGÉRIC DE UM SEGMENTO ORIENTDO... -4.. bsciss de um ponto...-44.. Ponto médio...-45.4 SISTEM DE COORDENDS CRTESINS... -45.4. Distânci entre dois pontos...-47.4. Áre de um triângulo...-47.4. Condição de linhmento de três pontos...-49.5 ESTUDO D RET... -50.5. Equção gerl d ret...-50
v.5. Rets prticulres...-5.5. Posições reltivs entre dus rets...-5.5.4 Coeficiente ngulr ou declividde de um ret...-54.5.5 Equção reduzid d ret...-56.5.6 Equção d ret, ddos um ponto e direção...-57.5.7 Prlelismo entre rets...-57 GEOMETRI NLÍTIC: CIRCUNFERÊNCI...-58. EQUÇÃO D CIRCUNFERÊNCI... -58.. Equção reduzid d circunferênci...-58.. Equção gerl d circunferênci...-59
Índices de Figurs [FIG. ]: RET REL R...-4 [FIG. ]: DIGRM DOS CONJUNTOS E...-5 [FIG. ]: DIGRM DOS CONJUNTOS, E C (SUCONJUNTOS)...-6 [FIG. 4]: DIGRM DOS CONJUNTOS, E C (UNIÃO / INTERSECÇÃO / DIFERENÇ)....-7 [FIG. 5]: GRÁFICO DO INTERVLO ],]...-7 [FIG. 6]: REPRESENTÇÃO D RELÇÃO POR DIGRM...-0 [FIG. 7]: REPRESENTÇÃO D RELÇÃO POR SISTEM CRT ESINO...- [FIG. 8]: [FIG. 9]: FUNÇÃO COMPOST...-4 CONCVIDDE DE UM FUNÇÃO QUDRÁTIC....-6 [FIG. 0]: VÉRTICE DE PRÁOLS ( >0 PR S DUS)....-7 [FIG. ]: GRÁFICO D FUNÇÃO LOGRÍTMIC E EXPONENCIL ( >)...5-44 [FIG. ]: GRÁFICO D FUNÇÃO LOGRÍTMIC E EXPONENCIL (0< <)....5-45 [FIG. ]: [FIG. 4]: ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO...6-47 RZÕES TRIGONOMÉTRICS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO...6-49 [FIG. 5]: TRIÂNGULO C QUE DEFINE S RZÕES...6-49 [FIG. 6]: TRIÂNGULO C, CONSEQÜÊNCIS DS DEFINIÇÕES....6-5 [FIG. 7]: RCO DE CIRCUNFERÊNCI...6-54 [FIG. 8]: CIRCUNFERÊNCI DE RIO r....6-55 [FIG. 9]: QUDRNTES NO CICLO TRIGONOMÉTRICO...6-56 [FIG. 0]: MEDI DE RCOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO...6-56 [FIG. ]: RCO α PR O CONCEITO DE SENO E COSSENO...6-59 [FIG. ]: GRÁFICO D FUNÇÃO SENO...6-60 [FIG. ]: GRÁFICO D FUNÇÃO COSSENO...6-6 [FIG. 4]: RCO α PR O CONCEITO DE TNGENTE....6-6 [FIG. 5]: GRÁFICO D FUNÇÃO TNGENTE...6-6 [FIG. 6]: RCO α PR O CONCEITO DE COTNGENTE...6-6 [FIG. 7]: GRÁFICO D FUNÇÃO COTNGENTE...6-64 [FIG. 8]: RCO α PR O CONCEITO DE SECNTE E COSSECNTE...6-65 [FIG. 9]: GRÁFICO D FUNÇÃO SECNTE...6-65 [FIG. 0]: GRÁFICO D FUNÇÃO COSSECNTE...6-66 [FIG. ]: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICS NO CICLO...6-67 [FIG. ]: FUNÇÕES DPTDS NO CICLO...6-67 [FIG. ]: TRIÂNGULOS SEMELHNTES...6-67 [FIG. 4]: TEL DE NOTS...7-7 [FIG. 5]: DIGONIS DE UM MTRIZ...7-7 [FIG. 6]: DETERMINNTE PEL REGR DE SRRUS...8-8 [FIG. 7]: POLÍGONO CONVEXO E POLÍGONO CÔNCVO....0-99 [FIG. 8]: HEXÁGONO REGULR: 6 LDOS CONGRUENTES E 6 ÂNGULOS CONGRUENTES....0-99 [FIG. 9]: ÁRE DO TRI ÂNGULO... 0-00 [FIG. 40]: ÁRE DO TRIÂNGULO... 0-00 [FIG. 4]: ÁRE DO TRIÂNGULO... 0-0 [FIG. 4]: RIO D CIRCUNFERÊNCI INSCRIT... 0-0 [FIG. 4]: RIO D CIRCUNFERÊNCI CIRCUNSCRIT... 0-0 [FIG. 44]: ÁRE DO PRLELOGRMO... 0-0 [FIG. 45]: RETÂNGULO... 0-0 [FIG. 46]: LOSNGO.... 0-0 [FIG. 47]: QUDRDO... 0-04 [FIG. 48]: TRPÉZIO... 0-04 [FIG. 49]: CÍRCULO... 0-06 [FIG. 50]: CORO CIRCULR... 0-06 [FIG. 5]: SETOR CIRCULR... 0-07 [FIG. 5]: SEGMENTO CIRCULR... 0-07 [FIG. 5]: ÁRE DO SEGMENTO CIRCULR QUE NÃO CONTÉM O CENTRO... 0-08 [FIG. 54]: ÁRE DO SEGMENTO CIRCULR QUE CONTÉM O CENTRO... 0-08 [FIG. 55]: POLIEDRO... 0-09 [FIG. 56]: POLIEDROS CONVEXOS... 0-09 [FIG. 57]: POLIEDRO NÃO-CONVEXO... 0-09 [FIG. 58]: TEOREM DE EULER... 0-0 vi
vii [FIG. 59]: TETREDRO REGULR... 0- [FIG. 60]: HEXEDRO REGULR... 0- [FIG. 6]: OCTEDRO REGULR... 0- [FIG. 6]: DODECEDRO REGULR... 0- [FIG. 6]: ICOSEDRO REGULR... 0- [FIG. 64]: PRISMS.... 0-4 [FIG. 65]: PRISM RETO E PRISM OLÍQUO... 0-5 [FIG. 66]: PRISM RETO PENTGONL E PLNIFICÇÃO... 0-5 [FIG. 67]: VOLUME DE UM PRISM... 0-9 [FIG. 68]: PIRÂMIDE... 0- [FIG. 69]: PIRÂMIDE REGULR... 0- [FIG. 70]: PIRÂMIDE REGULR QUDRNGULR E SU PLNIFICÇÃO... 0- [FIG. 7]: VOLUME D PIRÂMIDE... 0- [FIG. 7]: SECÇÃO TRNSVERSL DE UM PIRÂMIDE... 0- [FIG. 7]: TRONCO DE PIRÂMIDE... 0-4 [FIG. 74]: VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE... 0-4 [FIG. 75]: CILINDROS.... 0-8 [FIG. 76]: CILINDRO CIRCULR RETO (DE REVOLUÇÃO)... 0-8 [FIG. 77]: CILINDRO EQÜILÁTERO... 0-9 [FIG. 78]: CILINDRO RETO E PLNIFICÇÃO... 0-9 [FIG. 79]: VOLUME DO CILINDRO... 0-0 [FIG. 80]: CONE... 0- [FIG. 8]: CONE REGULR... 0- [FIG. 8]: CONE REGULR... 0- [FIG. 8]: CONE REGULR E SU PLNIFICÇÃO... 0- [FIG. 84]: VOLUME DO CONE.... 0- [FIG. 85]: SECÇÃO TRNSVERSL DE UM CONE... 0- [FIG. 86]: TRONCO DE CONE... 0-4 [FIG. 87]: PLNIFICÇÃO DO TRONCO DE CONE... 0-4 [FIG. 88]: VOLUME DO TRONCO DE CONE... 0-5 [FIG. 89]: ESFER E SUPERFÍCIE ESFÉRIC.... 0-7 [FIG. 90]: PLNO TNGENTE UM ESFER... 0-7 [FIG. 9]: SECÇÃO ESFÉRIC... 0-8 [FIG. 9]: CORO CIRCULR... 0-8 [FIG. 9]: SÓLIDO REFERENTE À SECÇÃO ESFÉRIC... 0-9 [FIG. 94]: CUNH ESFÉRIC... 0-4 [FIG. 95]: SEGMENTO DE RET... -4 [FIG. 96]: MEDID DE UM SEGMENTO DE RET... -4 [FIG. 97]: EIXO OU RET ORIENTD... -4 [FIG. 98]: MEDID DO SEGMENTO ORIENTDO... -44 [FIG. 99]: PONTO MÉDIO... -45 [FIG. 00]: SISTEM DE COORDENDS CRTESINS.... -46 [FIG. 0]: DISTÂNCI ENTRE DOIS PONTOS... -47 [FIG. 0]: ÁRE DE UM TRIÂNGULO... -48 [FIG. 0]: EQUÇÃO GERL D RET... -50 [FIG. 04]: RET PRLEL O EIXO y.... -5 [FIG. 05]: RET PRLEL O EIXO... -5 [FIG. 06]: RET QUE PSS PEL ORIGEM (0,0)... -5 [FIG. 07]: EQUÇÃO SEGMENTRI... -5 [FIG. 08]: POSIÇÕES ENTRE DUS RETS... -5 [FIG. 09]: TNGENTE DE UM ÂNGULO, NO TRIÂNGULO RETÂNGULO... -54 [FIG. 0]: COEFICIENTE NGULR... -55 [FIG. ]: OTENÇÃO DO COEFICIENTE NGULR... -55 [FIG. ]: EQUÇÃO REDUZID D RET... -56 [FIG. ]: RETS PRLELS... -57 [FIG. 4]: CIRCUNFERÊNCI.... -58 [FIG. 5]: EQUÇÃO D CIRCUNFERÊNCI... -58
Sistemtizção dos conjuntos numéricos Sistemtizção dos conjuntos numéricos. Conjuntos numéricos O conceito de números é um dos mis fundmentis e primitivos n Mtemátic... Conjunto dos números nturis N ={0,,,, }; N ={,,, }... Conjunto dos números inteiros É mplição dos números nturis pr que subtrção fç sentido. Z ={,,,, 0,,,, }; Z ={,,,,,,, }; Z + ={0,,,, }, (inteiros não negtivos); Z ={,,,, 0}, Inteiros não positivos)... Conjunto dos números rcionis csos: É qulquer frção envolvendo números inteiros. Q ={ / = q p, p Z e q Z } Todo número rcionl pode ser representdo n form deciml e podemos ter dois () representção deciml finit: Eercício 4 - Eercício =............ 4 5 =............ 5 (b) representção deciml infinit periódic: Eercício =............
47 Eercício 4 90 Sistemtizção dos conjuntos numéricos - 47 =............ 90 Pr se obter representções decimis de um número rcionl q p, bst dividir p por q. s representções d form (b) são chmds dízims periódics. Reciprocmente, podemos representr um número deciml rcionl n form q p. Sej um número rcionl. Nos eercícios seguintes, determine n form q p. Eercício 5 =,5 Eercício 6 =............ =0,666 Eercício 7 =............ =0,5 Eercício 8 =............ =0,444
Sistemtizção dos conjuntos numéricos - =............ Eercício 9 =,777 Eercício 0 =............ =0,00777 =............ Eercício =0, 555 =..............4 Conjunto dos números irrcionis I ={ / é um número deciml ilimitdo não periódico} Nos eercícios bio, lguns eemplos de números irrcionis: Eercício =............ Eercício π π=............
Sistemtizção dos conjuntos numéricos -4 Eercício 4 e e =..............5 Conjunto dos números reis R = Q I Eiste um correspondênci biunívoc entre todos os números reis e os pontos de um ret. [Fig. ]: Ret rel R. -4 - Eercício 5 Mostre que Q. - - - 0 e π 4. Operções com conjuntos.. Noções primitivs Conjunto, elemento, pertinênci entre elementos e conjunto. Eercício 6 Considerndo-se os conjuntos ={,b,c }, ={m,n } e C = (C é o conjunto vzio), verifique pertinênci ou não dos elementos bio os conjuntos.... ; n... ; h... C ; m... ; c... C ; b... ; c....
.. Iguldde de conjuntos Sistemtizção dos conjuntos numéricos Definição Dois conjuntos e são considerdos iguis se, e somente se, todo elemento de pertencer e vice-vers. =, ( ). Eercício 7 Considerndo-se os conjuntos ={,b,c }, ={m,n }, C =, D ={b,c, }, E ={} e F ={n,m,n }, verifique iguldde ou não dos conjuntos bio. D... ;... F ; D... ;... F ; C... E... Subconjuntos Definição Um conjunto é subconjunto de outro conjunto qundo qulquer elemento de tmbém pertence. Consideremos os conjuntos e, representdos tmbém por digrm: ={,,7} ={,,,5,6,7,8} -5 6 8 7 5 [Fig. ]: Digrm dos conjuntos e. Note que qulquer elemento de tmbém pertence. Nesse cso, dizemos que é subconjunto de. Indic-se: ; lê-se: está contido em. Podemos dizer tmbém que contém. Indic-se: ; lê-se: contém. OS. : Se e, então =. OS. : Os símbolos, e são utilizdos pr relcionr conjuntos. OS. : Pr todo conjunto, tem-se. OS. 4: Pr todo conjunto, tem-se, onde represent o conjunto vzio...4 União de conjuntos
Sistemtizção dos conjuntos numéricos -6 Definição união de dois conjuntos e é o conjunto formdo por todos os elementos que pertencem ou. Designmos união de e por: ; lê-se: união. = { / ou }...5 Intersecção de conjuntos Definição 4 intersecção de dois conjuntos, e, é o conjunto formdo pelos elementos que são comuns e, isto é, pelos elementos que pertencem e tmbém pertencem. Designmos intersecção de e por: ; lê-se: inter. = { / e }...6 Diferenç de conjuntos Definição 5 diferenç de dois conjuntos e é o conjunto dos elementos que pertencem, ms que não pertencem. Designmos diferenç de e por: ; lê-se: menos. = { / e }. Eercício 8 No digrm seguinte,, e C são três conjuntos não vzios. ssocie V ou F cd um ds seguintes sentençs, conforme el sej verddeir ou fls: C [Fig. ]: Digrm dos conjuntos, e C (subconjuntos). ) (... ) b) C (... ) c) (... ) d) C (... ) e) (... ) f) C (... ) g) (... ) Eercício 9 Considere o seguinte digrm:
Sistemtizção dos conjuntos numéricos -7 4 9 5 C 7 8 6 [Fig. 4]: Digrm dos conjuntos, e C (união / intersecção / diferenç). ) = {........................ } b) C = {........................ } c) C = {........................ } d) C = {........................ } e) = {........................ } f) C = {........................ } g) C = {........................ } h) C = {........................ } i) = {........................ } j) C = {........................ } k) C = {........................ } l) ( ) C = {...................... Intervlos... } O conjunto dos números nturis, dos números inteiros, dos números rcionis e dos números irrcionis são subconjuntos dos números reis R. Eistem, ind, outros subconjuntos de R que são determindos por desigulddes. Esses subconjuntos são chmdos de intervlos. Conjunto dos números reis miores que e menores ou iguis : -4 - - - 0 [Fig. 5]: Gráfico do intervlo ]-,]. Este intervlo contém todos os números reis compreendidos entre os etremos e, incluso. bol vzi indic que o etremo não pertence o intervlo e bol indic que o etremo pertence o intervlo. Este é um intervlo semi-berto à esquerd. 4
Sistemtizção dos conjuntos numéricos Representção: { R / < } ou ],]. OS. 5: Sendo um número rel, pode-se considerr intervlos como o que segue: - { R / < <+ } ou ],+ [.. Operções com intervlos Serão considerds operções do tipo: união ( ), intersecção ( ) e subtrção ( ). Eercício 0 Se ={ R / < <5} e ={ R / <8}, determine. -8-9 -8-7 -6-5 -4 - - - 0 4 5 6 7 8 9 =......................... Eercício Se ={ R / 0} e ={ R / <}, determine. -9-8 -7-6 -5-4 - - - 0 4 5 6 7 8 9 =......................... Eercício Se ={ R / } e ={ R / < 4}, determine. -9-8 -7-6 -5-4 - - - 0 4 5 6 7 8 9 =......................... Eercício Se ={ R / < 4} e ={ R / < <7}, determine. -9-8 -7-6 -5-4 - - - 0 4 5 6 7 8 9 =.........................
Sistemtizção dos conjuntos numéricos Eercício 4 Ddos =[,7], =[,5] e E =[,9[, clcule: ) ; b) ; c) E ; d) E. -9-9 -8-7 -6-5 -4 - - - 0 4 5 6 7 8 9 E E E ) =............ ; b) =............ ; c) E =............ ; d) E =......... Eercício 5.... Ddos =[,6[, =] 4,] e E =],4[, clcule: ) ( E ) ; b) E ( ). E ( E) E E ( ) ) ( E ) =......... -9-8 -7-6 -5-4 - - - 0 4 5 6 7 8 9... ; b) E ( )=.............
Funções. Conceito mtemático de função Definição 6 independente. Funções -0 Domínio d função é o conjunto de todos os vlores ddos pr vriável Definição 7 Imgem d função é o conjunto de todos os vlores correspondentes d vriável dependente. Como, em gerl, trblhmos com funções numérics, o domínio e imgem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mis rigor o que é um função mtemátic utilizndo lingugem d teori dos conjuntos. Pr isso, temos que definir ntes o que é um produto crtesino e um relção entre dois conjuntos. Definição 8 Produto crtesino: Ddos dois conjuntos não vzios e, denomin-se produto crtesino (indic-se: ) de por o conjunto formdo pelos pres ordendos nos quis o primeiro elemento pertence e o segundo pertence. (Eq.) ={(, y )/ e y }. Definição 9 Relção: Ddos dois conjuntos e, dá-se o nome de relção r de em qulquer subconjunto de. (Eq.) r é relção de em r. Eercício 6 Sejm os conjuntos ={0,,,}, ={0,,4,6,8,0} e relção r de em, tl que y =, e y. Escrever os elementos dess relção r. Como : =0..................... =..................... =..................... =..................... Então, {........................ ;... ;... ;............................... }. 0 [Fig. 6]: Representção d relção por digrm. r 0 4 6 8 0
y 0 9 8 7 6 5 4 [Fig. 7]: Representção d relção por sistem crtesino. 0 Funções OS. 6: Podemos observr que, num relção r de em, o conjunto r é formdo pelos pres (, y ) em que o elemento é ssocido o elemento y medinte um lei de ssocição (no cso, y = ).. Definição de função Definição 0 Sejm e dois conjuntos não vzios e f um relção de em. Ess relção f é um função de em qundo cd elemento do conjunto está ssocido um e pens um elemento y do conjunto. Nos eercícios seguir, verifique se s relções representm função de em. Juntifique su respost e presente o digrm d relção. Eercício 7 Ddos os conjuntos ={0,5,5} e ={0,5,0,5,0,5}, sej relção de em epress pel fórmul y = +5, com e y. 0 5 5 =0........................ ; =5........................ ; =5......................... 0 5 0 5 0 5 Todos os elementos de......................... cd elemento de..................................... Neste cso, relção de em epress pel fórmul y = +5............. Eercício 8 Ddos os conjuntos ={,0,,5} e ={0,,5,0,0}, sej relção de em epress pel fórmul y =, com e y. -
- 0 5 =0..................... =..................... =5........................ ;... ;.... 0 5 0 0 Funções - Neste cso, relção de em..................................... Eercício 9 Ddos os conjuntos ={,,,} e ={,,6,9}, sej relção de em epress pel fórmul y =, com e y. - - 6 9 =..................... =..................... =........................ ; =............................ ;... ; Neste cso, relção de em..................................... Eercício 0 Ddos os conjuntos ={6,8} e ={,,}, sej relção de em 4 epress pel fórmul y =, com e y. 6 8 - =6..................... =8................................................ ;............................
Funções - Neste cso, relção de em...................... Notção de função................ Qundo temos um função de em, podemos representá-l d seguinte form: f : (lê-se: função de em ) y (lê-se: cd vlor de ssoci-se um só vlor y ) etc. letr f, em gerl, dá o nome às funções, ms podemos ter tmbém função g, h, Num função g : R R, dd pel fórmul y = 8, podemos tmbém escrever g ( )= 8. Neste cso, g ( ) signific o vlor de y qundo =, ou g ( )= 6..4 Domínio, contrdomínio e imgem de um função Um função f com domínio e imgens em será denotd por: f : (função que ssoci vlores do conjunto vlores do conjunto ) y = f ( ) ( cd elemento corresponde um único y ) O conjunto é denomindo domínio d função, que indicremos por D. O domínio d função tmbém chmdo cmpo de definição ou cmpo de eistênci d função, serve pr definir em que conjunto estmos trblhndo, isto é, os vlores possíveis pr vriável. O conjunto é denomindo contrdomínio d função, que indicremos por CD. É no contrdomínio que estão os elementos que podem corresponder os elementos do domínio. Cd elemento do domínio tem um correspondente y no contrdomínio. esse vlor de y dmos o nome de imgem de pel função f. O conjunto de todos os vlores de y que são imgens de vlores de form o conjunto imgem d função, que indicremos por Im. Note que o conjunto imgem d função é um subconjunto do contrdomínio d mesm. f : y = f ( ) D =, CD=, Im ={ y CD/ y é correspondente de lgum vlor de }. Eercício Ddos os conjuntos ={,,0,} e ={,0,,,,4}, determinr o conjunto imgem d função f : definid por f ( )= +.
- - 0-0 4 Funções -4 Im ={........................ } Eercício Dd função f : R R definid por f ( )= +b, com,b R, clculr e b, sbendo que f ()=4 e f ( )=. =... e b =... f ( )=..........5 Função compost.... Tome s funções f :, definid por f ( )=, e g : C, definid por g ( )=. Note que o contrdomínio d função f é o mesmo domínio d função g. f : : cd ssoci-se um único y, tl que y =. g : C : cd y ssoci-se um único z C, tl que z = y. Neste cso, podemos considerr um terceir função, h : C, que fz composição entre s funções f e g : C g f y z [Fig. 8]: Função compost h : C : cd ssoci-se um único z C, tl que z = y = ( ) =4. Ess função h de em C, dd por h ( )=4, é denomind função compost de g e f. h
Funções -5 De um modo gerl, pr indicr como o elemento z C é determindo de modo único pelo elemento, escrevemos: z = g ( y )= g ( f ( )) Notção: função compost de g e f será indicd por g o f (lê-se: g círculo f ) (Eq.) ( g o f )( )= g ( f ( )) Eercício g ( )=. Determine: ) f ( g ( )). Sejm s funções reis f e g definids respectivmente por f ( )= + e f ( g ( ))=......... b) g ( f ( ))..... g ( f ( ))=............. c) Os vlores de pr que se tenh f ( g ( ))= g ( f ( )). =............. Eercício 4 Sendo f ( )= e f ( g ( ))=6 +8, determine g ( ). g ( )=.............
.6 Função invers Funções Definição Função bijetor: função f é denomind IJETOR, se stisfz s dus condições bio:. O contrdomínio de f coincide com su imgem, ou sej, todo elemento do contrdomínio é correspondente de lgum elemento do domínio.. Cd elemento do contrdomínio de f é imgem de um único elemento do domínio. -6 Definição Diz-se que um função f possui invers f se for bijetor..6. Determinção d função invers Cso função sej bijetor, possuindo portnto invers, é possível determinr su invers. Pr isso trocmos vriável por y n lei que define função e em seguid isolmos o y, obtendo lei que define função invers. Eercício 5 É preciso pens tomr certo cuiddo com o domínio d nov função obtid. Obter lei d função invers f d função f dd por y = +. Logo: f ( )=............ e f ( )=............ Eercício 6 Construir os gráficos ds funções f e sistem de coordends. f do eercício nterior, num mesmo f ( ) f ( ) Note que os gráficos ds funções f e f são simétricos em relção à ret que contém s bissetrizes do o e o qudrntes. 4 y - - - 0 4 -
Eercício 7 D = R. Determinr função invers g d função g ( )= Funções -7 + 5, cujo domínio é Logo, g :......... função invers procurd................ dd por y =............ é
Função Polinomil Função Polinomil Definição Função polinomil com um vriável ou simplesmente função polinomil é quel cuj formulção mtemátic é epress por um polinômio.. Função polinomil do o gru função polinomil do o gru é que tem su representção mtemátic por um polinômio de gru. Representção d função polinomil do o gru: f ( )= +b, com,b R ( 0). e b são os coeficientes e vriável independente. Eercício 8-8 Em um função polinomil do o gru, y = f ( ), sbe-se que f ()=4 e f ( )=0. Escrev função f e clcule f. função é f ( )=............ e f =.... Função liner.... Sej função polinomil do o gru f ( )= +b. No cso de b =0, temos f ( )=, e el recebe o nome especil de função liner. OS. 7: Se, em um função liner tivermos =, teremos f ( )= ou y =, que se dá o nome de função identidde... Gráfico de um função polinomil do o gru Pr construir o gráfico de um função polinomil do o gru, tribuímos vlores do domínio à vriável e clculmos s respectivs imgens.
Função Polinomil Eercício 9 Construir o gráfico d função rel f dd por y =. -9 y Pr ordendo (, ) (, ) 0 (, ) (, ) (, ) (, ) 5 4 y - - - 0 4 - - -4-5 Definição 4 O gráfico d função liner y = ( 0) é sempre um ret que pss pel origem do sistem crtesino. Definição 5 O gráfico d função polinomil do o gru y = +b ( 0) intercept o eio ds ordends no ponto (0, b )... Determinção de um função prtir do gráfico Nos eercícios bio, determine lei de formção d função f ( )= +b. Eercício 40 Determine lei de formção d função f, cujo gráfico crtesino é: 5 4 y - - - 0 4 - - -4-5 Sbendo-se que y = +b, do gráfico, temos que:
Função Polinomil -0 Logo: função é f ( )=............. Eercício 4 Determine lei de formção d função f, cujo gráfico crtesino é: 5 4 y - - - 0 4 - - -4-5 Sbendo-se que y = +b, do gráfico, temos que: Logo: função é f ( )=...............4 Crescimento e decrescimento de um função polinomil do o gru Sej f função polinomil do o gru definid por f ( )= +b. Podemos determinr que: i) função f é crescente se o coeficiente >0; ii) função f é decrescente se o coeficiente <0. Construir os gráficos ds funções f e g do o gru seguir: i) f ( )= + ii) g ( )= + Eercício 4
y 5 4 5 4 y Função Polinomil - - - - 0 4 - - -4-5 - - - 0 4 - - -4-5 i) umentndo os vlores tribuídos, umentm tmbém os vlores correspondentes d imgem f ( ). ii) umentndo os vlores tribuídos, diminuem os vlores correspondentes d imgem g ( )...5 Estudo do sinl d função polinomil do o gru Definição 6 Estudr o sinl de um função f signific determinr pr que vlores de temos f ( )>0, f ( )<0 ou f ( )=0...5. Zero de um função polinomil do o gru Definição 7 Denomin-se zero ou riz d função f ( )= +b o vlor de que nul função, isto é, torn f ( )=0. Definição 8 Geometricmente, o zero d função polinomil do o gru f ( )= +b, 0, é bsciss do ponto em que ret cort o eio. Eercício 4 Dd lei de formção d função y = 4, construir o gráfico e determinr os vlores reis de pr os quis: ) y =0; b) y >0 e c) y <0. 5 4 y -5-4 - - - - 0 4 - - -4-5 5 Podemos notr que função é decrescente, pois <0. O zero d função é: 4=0 =4 = 4 =. Logo, ret intercept o eio no ponto de bsciss =. solução do problem é:
) f ( )=0 {... }; b) f ( )>0 {... }; c) f ( )<0 {... }. Função Polinomil -..5. Qudro de sinis d função polinomil do o gru Eercício 44 Preencher o qudro bio: f ( )= +b, 0 Zero d função: +b =0 =............ >0 <0 b b f( )<0 b f( )>0 f( )>0 b f( )<0 f ( )= 0 f ( )> 0 f ( )< 0.................................... f ( )= 0 f ( )> 0 f ( )< 0..................................... Inequções do o gru Definição 9 Denomin-se inequção do o gru n vriável tod desiguldde que pode ser reduzid um ds forms: +b 0; +b >0; +b 0; +b <0. com, b R e 0. Eercício 45 Verificr se 4( ) ( +) é um inequção do o gru.
Função Polinomil - Logo,...... Resolução de inequções do o gru Definição 0 Pr se resolver um inequção do o gru, são utilizds s proprieddes ds desigulddes, presentndo-se o conjunto verdde d inequção (conjunto solução S). Eercício 46 Resolver inequção seguinte: 4( ) ( +). Represente solução n ret rel. S={... } Eercício 47 solução n ret rel. Resolver inequção seguinte: 4 ( ) + > +. Represente 4 6 S={... }.. Sistems de inequções do o gru Definição O conjunto solução S de um sistem de inequções é determindo pel intersecção dos conjuntos soluções de cd inequção do sistem.
Função Polinomil -4 Eercício 48 Resolver inequção <. presente o conjunto solução S e represente n ret rel. N verdde, resolver ess inequção simultâne é equivlente resolver o sistem: (i) (ii) (i) (ii) S={... }.. Inequção-produto e inequção-quociente Um inequção do o gru do tipo + 8 0 pode ser epress por um produto de inequções do o gru, ftorndo o o membro d desiguldde: + 8 0 ( ) ( +4) 0. Definição RESOLUÇÃO: Pr resolver um inequção-produto ou um inequçãoquociente, fzemos o estudo dos sinis ds funções polinomiis do o gru envolvids. seguir, determinmos o sinl do produto ou quociente desss funções, lembrndo s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis. Eercício 49 Resolver inequção ( + ) ( +) 0. ( + ) ( +) 0... f() = f() = 0 = 0 g() = g() = 0 = 0 h() = h() = 0 = 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h ( ) S={... } Eercício 50 Resolver inequção + 0. f() = f() = 0 = 0 g() = g() = 0 = 0
Função Polinomil -5 f( ) g( ) f ( ) g ( ) S={... } Eercício 5 Resolver inequção 9 0. 9 0... f() = f() = 0 = 0 g() = g() = 0 = 0 h() = h() = 0 = 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h ( ) S={... } Eercício 5 Determine o domínio d função y = +. 5...... f() = f() = 0 = 0 g() = g() = 0 = 0 h() = h() = 0 = 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h ( ) D={... }
. Função polinomil do o gru Função Polinomil Definição função f : R R dd por f ( )= +b +c, com, b e c reis e 0, denomin-se função polinomil do o gru ou função qudrátic. Os números representdos por, b e c são os coeficientes d função. Note que se =0 temos um função do o gru ou um função constnte. Eercício 5 Considere função f do o gru, em que f (0)=5, f ()= e f ( )=. Escrev lei de formção dess função e clcule f (5). Tome f ( )= +b +c, com 0. f (0) = 5 f () = f ( ) = -6 lei de formção d função será f ( )=.... f (5)=...... Gráfico de um função qudrátic O gráfico de um função polinomil do o gru ou qudrátic é um curv bert chmd prábol. Pr evitr determinção de um número muito grnde de pontos e obter um bo representção gráfic, vmos destcr três importntes crcterístics do gráfico d função qudrátic: (i) Concvidde.. Concvidde (ii) Posição em relção o eio (iii) Loclizção do seu vértice concvidde de um prábol que represent um função qudrátic f ( )= +b +c do o gru depende do sinl do coeficiente : >0: concvidde pr CIM <0: concvidde pr IXO [Fig. 9]: Concvidde de um função qudrátic.
.. Zeros de um função qudrátic Função Polinomil Definição 4 Os zeros ou rízes d função qudrátic f ( )= +b +c são s rízer d equção do o gru +b +c =0, ou sej: b ± Rízes: = b 4c. Considerndo = b 4 c, pode-se ocorrer três situções: b + i) >0 s dus rízes são reis e diferentes: = b =. e b ii) =0 s dus rízes são reis e iguis (riz dupl): = =. iii) <0 não há rízes reis. OS. 8: Em um equção do o gru +b +c =0, som ds rízes é S e o b c produto é P tl que: S= + = e P= =. Definição 5 Geometricmente, os zeros ou rízes de um função polinomil do o gru são s bsciss dos pontos em que prábol intercept o eio...4 Vértice d prábol Considere s prábols bio e observe o vértice V ( V, y V ) em cd um: y Eio de simetri y V(, ) V y V -7 V(, ) V [Fig. 0]: Vértice de prábols (D>0 pr s dus). y V Um form de se obter o vértice V ( V, y V ) é: V = +, já que o vértice encontr-se no eio de simetri d prábol; y V = V +b V +c, já que o V foi obtido cim. Outr form de se obter o vértice V ( V, y V ) é plicndo s fórmuls: V = b y =. 4 e V
..5 Gráfico de um prábol Função Polinomil Com o conhecimento ds principis crcterístics de um prábol, podemos esboçr com mis fcilidde o gráfico de um função qudrátic. Eercício 54 Construir o gráfico d função y = +, determinndo su imgem. -8... concvidde voltd pr.... Zeros d função: Ponto onde prábol cort o eio y : Vértice d prábol: V = (...,... ) V (...,... ) y V = Imgem: Im ={ y R ;... } -5-4 - y 5 4 - - - 0 4 - - -4-5 5 Eercício 55 Construir o gráfico d função y = +4 5, determinndo su imgem.... concvidde voltd pr.... Zeros d função: Ponto onde prábol cort o eio y : Vértice d prábol: V = y V = (...,... ) V (...,... ) Imgem: Im ={ y R ;... } -5-4 - y 5 4 - - - 0 4 - - -4-5 5..6 Estudo do sinl d função qudrátic Os vlores reis de que tornm função qudrátic positiv, negtiv ou nul, podem ser ddos considerndo-se os csos, relciondos n tbel bio. f ( )= +b +c com (, b e c R e 0) >0 <0 f ( )>0 pr < ou > f ( )<0 pr < ou > f ( )<0 pr < < f ( )>0 pr < <
Função Polinomil f ( )=0 pr = ou = f ( )=0 pr = ou = -9 f ( )>0 pr f ( )<0 pr f ( )<0 / rel f ( )>0 / rel f ( )=0 pr = = f ( )=0 pr = = f ( )>0 rel f ( )<0 / rel f ( )=0 / rel f ( )<0 rel f ( )>0 / rel f ( )=0 / rel.4 Inequções do o gru Definição 6 Denomin-se inequção do o gru n vriável tod desiguldde que pode ser reduzid um ds forms: +b +c 0; +b +c >0; +b +c 0; +b +c <0. com, b, c R e 0..4. Resolução de inequções do o gru Definição 7 Pr se resolver um inequção do o gru, são utilizds s proprieddes ds desigulddes, presentndo-se o conjunto verdde d inequção (conjunto solução S). Eercício 56 Resolver inequção +>0. Estudr vrição do sinl d função f ( )= +.... Concvidde pr.... +=0...... = S=....
Eercício 57 Resolver inequção 0 +5 0. Estudr vrição do sinl d função f ( )= 0 +5.... Concvidde pr.... 0 +5=0...... = Função Polinomil -0 S=.... Eercício 58 Resolver inequção +5 6>0. Estudr vrição do sinl d função f ( )= +5 6.... Concvidde pr.... +5 6=0...... = S=.....4. Sistems de inequções do o gru Definição 8 O conjunto solução S de um sistem de inequções é determindo pel intersecção dos conjuntos soluções de cd inequção do sistem. Eercício 59 Resolver o sistem de inequções + 8 + 5 < 0-6. (i) +8 6. (ii) +5<0. Resolução de (i):... Concvidde pr............. = S(i)=... Ret rel: Resolução de (ii): S(ii)=... Ret rel: Intersecção entre (i) e (ii) (i) (ii): (i) (ii) (i) (ii) S....
Eercício 60 Resolver inequção 4< 4 +. (i) 4< 4. (ii) 4 +. Resolução de (i):... Concvidde pr............. = Função Polinomil - S(i)=... Ret rel: Resolução de (ii):... Concvidde pr............. = S(ii)=... Ret rel: Intersecção entre (i) e (ii) (i) (ii): (i) (ii) (i) (ii) S.....4. Inequção-produto e inequção-quociente Definição 9 RESOLUÇÃO: Pr resolver um inequção-produto ou um inequçãoquociente, fzemos o estudo dos sinis ds funções polinomiis envolvids. seguir, determinmos o sinl do produto ou quociente desss funções, lembrndo s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis. Eercício 6 Resolver inequção ( ) ( +4)>0. f() = 0 = e g() = +4 0 = e f() g()
Função Polinomil - f ( ) g( ) f ( ) g ( ) S=.... Eercício 6 Resolver inequção 5 + 6 0. 6 f() = 5 +6 0 = e g() = 6 0 = e f() g() f ( ) g( ) f ( ) g ( ) S=.... Eercício 6 Determine o domínio d função f ( )= 0 6. 0 f só represent um número rel se... 6 f() = 0 0 = e g() = 6 0 g() = 0 f() g()
f ( ) Função Polinomil - g( ) f ( ) g ( ) D =....
4 Função Eponencil 4. Revisão de potencição 4.. Potêncis com epoente nturl (Eq.4) (Eq.5) (Eq.6) Função Eponencil Sendo um número rel e n um número nturl, com n, definimos: n = 4 4 K. nftores Pr n = e n =0 são definidos: =. 0 = ( 0). 4.. Potêncis com epoente inteiro Se é um número rel não-nulo ( 0) e n um número inteiro e positivo, definimos: 4-4 (Eq.7) n = n. 4.. Potêncis com epoente rcionl definimos: Se é um número rel positivo e n m um número rcionl, com n inteiro positivo, (Eq.8) m n = n m. 4..4 Potêncis com epoente rel Podemos considerr que s potêncis com epoente rel têm significdo no conjunto dos números reis. Temos, por eemplo: 4..4. Proprieddes 0 =5,954555947008097798887598. Pr s potêncis com epoente rel são válids s seguintes proprieddes opertóris: m n m n = +. m n : = m n m n m n ( ) =. n ( b) = n n b. ( 0). b n n = b n (b 0).
Eercício 64 Dê o resultdo mis simples de ( 5 5 ): 5. Usndo s proprieddes, temos: 6 0 Função Eponencil 4-5 5 5 ): 5 =.... ( 6 0 Eercício 65 Clcule o vlor d epressão + 6 0. Eercício 66 + + 5 + 6 0 =.... Simplifique 4 Eercício 67 Clcule 8. + 5 +. =.... Eercício 68 Determine o vlor de 0 7 0 8, : 8,. 0 7 0 8, : 8, =.... Eercício 69 Qul o vlor de 5 ( 0 ) : ( 0, )? 5 ( 0 ) :( 0, ) =.... 4. Equções eponenciis Definição 0 epoente. =6. Eemplo: + + =9. =7. 0 5 =0. Chm-se equção eponencil tod equção que contém incógnit no
4.. Resolução de equções eponenciis Função Eponencil Pr resolver um equção eponencil, devemos trnsformá-l de modo obter potêncis de mesm bse no primeiro e no segundo membros d equção utilizndo s definições e proprieddes d potencição. lém disso, usremos o seguinte fto: Definição Eercício 70 Se >0, e é incógnit, solução d equção Resolver equção 4 =5. p = é = p. 4-6 Usndo s proprieddes ds potêncis, vmos trnsformr o o e o membros d equção em potêncis de mesm bse: S=.... Eercício 7 Um empres produziu, num certo no, 8000 uniddes de determindo produto. Projetndo um umento nul de produção de 50%, pergunt-se: ) Qul produção P dess empres t nos depois? b) pós quntos nos produção nul d empres será de 40500 uniddes? 50 ) Obs: 50%= =0,5 00 b) Fzendo P=40500, n fórmul nterior, obtemos equção: Desse modo, produção nul d empres será de 40500 uniddes pós... nos. Eercício 7 reis. Determine o conjunto solução d equção 8 + = no universo dos números
Função Eponencil 4-7 S=.... 4.. Resolução de equções eponenciis com o uso de rtifícios Pr se resolver determinds equções eponenciis, são necessáris lgums trnsformções e rtifícios. Eercício 7 Resolver equção 4 5 +4=0. Usndo s proprieddes d potencição, vmos fzer um trnsformção n equção dd: S=.... Eercício 74 Determine o conjunto solução d equção Preprndo equção, temos: 5 5 =4. S=.... 4. Função eponencil Definição função f : R R dd por f ( )= (com >0 e ) é denomind função eponencil de bse.
Função Eponencil 4.. Gráfico d função eponencil no plno crtesino 4-8 Dd função f : R R, definid por f ( )= (com >0 e ), temos dois csos pr trçr seu gráfico: (i) > e (ii) 0< <. (i) >. Eercício 75 Trçr o gráfico de f ( )=. f ( )= y 0-4 - 8 7 6 5 4 - - 0 4 Qunto mior o epoente, mior é potênci f ( )= é crescente. OS. 9: (ii) 0< <. Eercício 76 Trçr o gráfico de f ( )=., ou sej, se > função f ( )= 0-4 - 8 7 6 5 4 y - - 0 4 OS. 0: Qunto mior o epoente, menor é potênci função f ( )= é decrescente. Com bse no gráfico, podem-se tirr lgums considerções:, ou sej, se 0< <
4.. Crcterístics d função eponencil Sej f : R R, definid por f ( )= (com >0 e ). Função Eponencil 4-9 Domínio d função f são todos os números reis D = R. Imgem d função f são os números reis positivos Im = R +. curv d função pss pelo ponto (0,). função é crescente pr bse >. função é decrescente pr bse 0< <. 4.4 Inequções eponenciis Definição São inequções eponenciis quels que precem incógnits no epoente. 4.4. Resolução de inequções eponenciis Pr resolver inequções eponenciis, devemos observr dois pssos importntes: ) Redução dos dois membros d inequção potêncis de mesm bse; ) Verificr bse d eponencil, > ou 0< <, plicndo s proprieddes bio. Cso (i): > Cso (ii): 0< < m > n m >n s desigulddes têm mesmo sentido Eercício 77 Resolv inequção >. m > n m <n s desigulddes têm sentidos diferentes S=.... Eercício 78 Resolv inequção + ( ). S=....
Eercício 79 Resolv inequção + < 7. Função Eponencil 4-40 S=....
5 Função Logrítmic 5. Definição de logritmo Função Logrítmic Definição 4 Ddos dois números reis positivos, e b, com, eiste um único número rel de modo que =b. Este número é chmdo de logritmo de b n bse e indicse log b. (Eq.9) Podemos então, escrever: =b = log b ( >0 e b >0). N iguldde = log é bse do logritmo; b, temos: b é o logritmndo ou ntilogritmo; é o logritmo. Clculr o vlor de nos eercícios seguintes: Eercício 80 log =. =.... Eercício 8 log 46=. =.... Eercício 8 =.... log =. Eercício 8 log 8=. =.... Eercício 84 log 5 =. =.... OS. : bse é 0. 8 5-4 log b signific log b. Qundo não se indic bse, fic subentendido que 5. Conseqüêncis d definição 0 Tome >0, b >0 e m um número rel qulquer. D definição de logritmos, podese verificr que:
) O logritmo de em qulquer bse é igul zero. log =0, pois 0 =. ) O logritmo d própri bse é igul. log =, pois =. ) O logritmo de um potênci d bse é igul o epoente. m log =m, pois m = m. Função Logrítmic 4) O logritmo de b n bse é o epoente o qul devemos elevr pr obter b. 5-4 b log =b, pois =b = log b. 5. Proprieddes dos logritmos ) Logritmo de produto log ( y) = log + log y ( >0, >0 e y >0). ) Logritmo de quociente log = log log y ( >0, >0 e y >0). y ) Logritmo de potênci m log =m log ( >0, >0 e m R ). 5.4 Cologritmo Cologritmo de um número positivo b num bse ( >0) é o logritmo do inverso desse número b n bse. (Eq.0) Eercício 85 e b. ) log 5 colog b= log colog b= log b ( >0 e b >0). b Sbendo que log = e log 5=b, clcule os logritmos bio, em função de b) log 675 c) log
5.5 Mudnç de bse Função Logrítmic s proprieddes logrítmics são válids pr logritmos num mesm bse, por isso, em muitos csos, é conveniente fzer conversão de logritmos de bses diferentes pr um únic bse. log seguir, será presentd fórmul de mudnç de bse. Sej: b = =b. plicndo o logritmo n bse c em mbos os membros, obtemos: log log c = log c b log c = log c b = log Então: (Eq.) log log b = log c c b ( >0, c >0 e b >0). Eercício 86 Sendo log =0, e log =0,4, clcule log 6. c c b, ms = log b. 5-4 Eercício 87 Resolv equção log + log 4 + log 6 =7. condição de eistênci é >0. Logo, o conjunto solução é: S={... }. Eercício 88 Resolv equção log ( +)+ log ( )=5. Condições de eistênci são: +>0 e >0 > e >. Então: >.
Função Logrítmic 5-44 Logo, o conjunto solução é: S={... }. 5.6 Função logrítmic função eponencil g : R R + definid por g ( )= (com >0) é bijetor. Nesse cso, podemos determinr su função invers. É função logrítmic definid bio. + Definição 5 função f : R R definid por f ( )= log (com >0) é chmd função logrítmic de bse. 5.6. Gráfico d função logrítmic no plno crtesino Como os gráficos de funções inverss são simétricos em relção à bissetriz dos qudrntes ímpres, o gráfico d função logrítmic é de imedit construção, um vez que já vimos o gráfico d função eponencil. e + Sej f : R R, tl que y = log e f : R R +, tl que y = f serão plotdos no mesmo plno crtesino ortogonl.. Os gráficos de f (i) >. 8 7 6 5 4 y y= y= log y= -4 - - - 0 4 [Fig. ]: Gráfico d função logrítmic e eponencil ( >). (ii) 0< <.
y= 8 7 6 5 4 y Função Logrítmic y= 5-45 -4 - - - 0 4 y= log [Fig. ]: Gráfico d função logrítmic e eponencil (0< <). 5.7 Inequções logrítmics Chmmos de inequção logrítmic tod inequção que envolve logritmos com incógnit precendo no logritmndo, n bse ou em mbos. Eercício 89 Resolv inequção Condição de eistênci: log ( ) log 4. (i) (ii) (i) (ii) S={... }. Eercício 90 Resolv inequção log 4 ( ) log 4 ( +0). solução d inequção deve stisfzer s três condições:
(i) Função Logrítmic 5-46 (ii) (iii) (i) (ii) (iii) S={... }. Eercício 9 Suponh que o preço de um crro sofr um desvlorizção de 0% o no. Depois de qunto tempo, proimdmente, seu preço cirá pr cerc d metde do preço de um crro novo? (Use log0=0,) p = p 0 ( 0,) t O preço do crro cirá pr metde do preço do crro novo depois de... nos.
6 Trigonometri Trigonometri Trigonometri é o rmo d Mtemátic que tem por objetivo resolução complet dos triângulos, ou sej, determinção d medid de seus ldos e seus ângulos internos, enriquecendo o estudo d Geometri Pln. Seu significdo originl: (tri) três, (gonos) ângulo, (metri) medid. 6. Triângulo retângulo Triângulo retângulo é quele que possui um ângulo interno reto. O ldo oposto o ângulo reto é chmdo de hipotenus e os outros dois ldos são chmdos de ctetos. 6-47 c h b m H [Fig. ]: Elementos do triângulo retângulo N figur, temos que: = C é hipotenus; b = C e c = são os ctetos; h = H é ltur reltiv à hipotenus; n C m = H é projeção ortogonl do cteto sobre hipotenus; n =CH é projeção ortogonl do cteto C sobre hipotenus; Â, ˆ e Ĉ são os ângulos internos. 6. Relções métrics no triângulo retângulo Com bse n figur nterior, s seguintes relções métrics são válids: = b + c (Teorem de Pitágors) o qudrdo d hipotenus é som dos qudrdos dos ctetos; h =m n o qudrdo d ltur é o produto ds projeções dos ctetos; c =m e hipotenus; b =n o qudrdo do cteto é o produto de su projeção pel b c = h o produto dos ctetos é o produto d hipotenus pel ltur. Eercício 9 Observndo figur, clcule, h, m e n.
Trigonometri 6-48 c =0 b=5 h m H n C Logo, =..., h =..., m =... e n =.... Eercício 9 Num triângulo retângulo os ldos têm medids, e +. Determine esss medids. Num triângulo qulquer, medid do mior ldo é sempre menor que som ds medids dos outros dois, portnto, devemos ter +< + pr que eist o triângulo. Logo: C plicndo o teorem de Pitágors o C, temos: Então, =.... s medids dos ldos são...,... e... uniddes de comprimento.
Trigonometri 6. Rzões trigonométrics no triângulo retângulo Consideremos o ângulo de medid α d figur seguinte, de vértice e ldos e C. C C C C C 4 6-49 b α [Fig. 4]: Rzões trigonométrics no triângulo retângulo. c 4 Os triângulos C, C, C, C, 4 C 4, são todos semelhntes. Logo, eistem rzões entre estes triângulos. Iremos nomer ests rzões por: k, k e k. Desenvolvendo s rzões, temos: C k = = C C C C = C C = C 4C = C 4 4 = k = = = = = 4 C C C C C 4 = C k = = C C = C = 4C = 4 4 = s rzões k, k e k dependem somente d medid do ângulo considerdo. Dí, pode-se simplificr figur nterior pens um triângulo C seguinte. C b [Fig. 5]: Triângulo C que define s rzões. α Ests rzões podem ser escrits, considerndo-se como bse o ângulo α, trvés d hipotenus, o cteto oposto b e o cteto djcente c : C b Cteto oposto (Eq.) senα= k = = = C Hipotenus c Cteto oposto senα= Hipotenus
c (Eq.) cosα= k = = = C Cteto djcente Hipotenus C b Cteto oposto (Eq.4) tn α= k = = = c Cteto djcente Cteto djcente cosα= Hipotenus Cteto oposto tn α= Cteto djcente Trigonometri 6-50 Eercício 94 Determine sen ˆ, cos ˆ e tn ˆ no triângulo retângulo C. C =5 b= c =4 sen ˆ =.... cos ˆ =.... tn ˆ =.... Eercício 95 Um groto está empinndo pip, e o fio form com horizontl um ângulo de 0 o. Clcule que ltur do solo se chrá pip qundo estiver n verticl que pss por um árvore situd 00 metros do groto. Sbe-se que tn 0 o =0,57. fio h 0 o 00 metros h =... metros. 6.4 Conseqüêncis ds definições Ddo o triângulo retângulo bio, podemos chegr lgums conclusões, com bse ns definições dds.
C Trigonometri 6-5 β b α c [Fig. 6]: Triângulo C, conseqüêncis ds definições. 6.4. Ângulos complementres α+β=90 o O seno de um ângulo gudo é igul o co-seno de seu complemento. (Eq.5) senα= b e cosβ= b senα=cosβ. (Eq.6) senβ= c e cosα= c senβ=cosα. tngente de um ângulo gudo é igul o inverso d tngente de seu complemento. b c (Eq.7) tn α= e tn β= tn α= c b tnβ 6.4. Divisão sen α = b b sen α = =tn α tn α=. cosα c c cosα 6.4. plicndo o teorem de Pitágors (Eq.8) sen b α= e cos c α= sen α+cos b c α= +. sen α+cos b + c α= plicndo o teorem de Pitágors no triângulo C, temos que sen α+cos b + c α= sen α+cos α= sen α+cos α=. Então: sen α+cos α=. = b + c. Logo: Eercício 96 Sendo sen0 o =, clculr cos0 o, tn 0 o, sen60 o, cos60 o e tn 60 o.
Trigonometri 6-5 Eercício 97 Sendo sen45 o =, clculr cos45 o e tn 45 o. 6.5 Ângulos notáveis Os vlores d tbel seguinte precem com freqüênci, por isso os ângulos nel contidos são chmdos notáveis. 0 o 0 o 45 o 60 o 90 o sen 0 cos 0 tn 0 /
Trigonometri 6-5 Eercício 98 (PUC-RS) De um ponto, no solo, vism-se bse e o topo C de um bstão colocdo verticlmente no lto de um colin, sob ângulos de 0 o e 45 o, respectivmente. Se o bstão mede 4 metros de comprimento, ltur d colin, em metros, é igul : C 4m 0 o 45 o h ltur d colin é de... metros. Eercício 99 (UFOP-MG) Um homem desej determinr lrgur de um rio. Então, de um ponto d mrgem, mede o ângulo de elevção do topo de um poste situdo n mrgem opost, obtendo o. fstndo-se 5 metros, ele obtém o novo ângulo de 9 o. Clcule lrgur do rio. Tome como bse os ddos seguintes: tn 9 o =0,58 e tn o =0,94. 9 o o y Rio 5 m
Trigonometri 6-54 lrgur do rio é de... metros. 6.6 Circunferênci trigonométric ou ciclo trigonométrico 6.6. rco de circunferênci Considerndo dois pontos e de um circunferênci: O O [Fig. 7]: rco de circunferênci. Chmmos de rco qulquer um ds prtes dess circunferênci, compreendid entre os pontos e, o qul indicremos por ou. Os pontos e são s etremiddes do rco e pertencem ele. volt. Qundo, dizemos que um ds prtes é o rco nulo e outr é o rco de um 6.6. Medids de rcos Definição 6 Gru: um gru ( o ) é o rco unitário que corresponde 60 d circunferênci. Definição 7 Rdino: um rdino ( rd) é o rco que tem o mesmo comprimento do rio d circunferênci que o contém. Conseqüentemente, rdino ( rd) é o rco unitário que corresponde circunferênci. N circunferênci bio, o rio r tem o mesmo comprimento do rco. O r r π d
[Fig. 8]: Circunferênci de rio r. Trigonometri 6-55 m( )=m( O)= rd. Por outro ldo, medid do comprimento d circunferênci se clcul trvés d fórmul: C =π r. Ms, pelo fto de termos considerdo o rio r e o rco com mesm medid ( rd), então: (Eq.9) C =π rd; C π = rd; 4 C π = rd. 8 4 C =π rd. Dí pode-se tirr medids prciis d circunferênci em rdinos. Relções entre grus e rdinos: rco gru Rdino 60 o π rd 80 o π rd 90 o π rd 45 o π rd 4 Eercício 00 Converter em rdinos medid do rco de 0 o. Como sbemos que 80 o =π rd, podemos fzer um regr de três simples diretmente proporcionl:
Trigonometri 6-56 Logo, 0 o correspondem... rd, ou 0 o =... rd. π Eercício 0 Converter em grus medid do rco de rd. De form semelhnte o eercício nterior, us-se relção π rd=80 o. Substitui-se no rco ddo e efetum-se s operções: Logo, π rd correspondem..., ou 6.6. Ciclo trigonométrico Considere figur bio: II qudrnte y π rd =.... I qudrnte O r = III qudrnte IV qudrnte [Fig. 9]: Qudrntes no ciclo trigonométrico. O centro d circunferênci coincide com origem de um sistem de coordends crtesins; O rio d circunferênci corresponde um unidde de medid dos eios perpendiculres. Definição 8 Ciclo trigonométrico é um circunferênci à qul se ssoci um sistem de coordends ortogonis com origem no centro, tendo como rio unidde de medid dos eios. medid de um rco num ciclo trigonométrico é feit trvés ds seguintes convenções: y nti-horário O r = (,0) horário [Fig. 0]: Medi de rcos no ciclo trigonométrico. Os rcos trigonométricos têm: Origem no ponto (,0);