de uma volta completa da circunferência. Conseqüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 360 o - Figura 7.1(a).

Transcrição

1 Cpítulo 7 Trigonometri 71 Introdução O número π Dd um circunferênci de rio r, diâmetro d = r, o número π é denido como rzão do comprimento C d circunfeênci pelo seu diâmetro d, isto é, π = C d = C r O comprimento de um circunferênci Pel denição do número π n equção 71) oservmos que o comprimento d circunferênci é ddo por Medid de ângulos Existem uniddes usuis 1 pr medid de ângulos 71) C = π d = π r 7) Gru: 1 gru, denotdo 1 o, é um ângulo correspondente 1 60 de um volt complet d circunferênci Conseqüentemente, volt complet n circunferênci compreende um ângulo de 60 o - Figur 71) Rdino: 1 rdino, denotdo 1 rd, é um ângulo correspondente um rco de mesmo comprimento do rio d circunferênci - Figur 71) 90 o 180 o 0 o ou 60o 1 rd r s = r 70 o ) A denição de gru ) A denição de rdino Figur 71: Medids de ângulo 1Um outr medid, menos usul, pr ângulos é o grdo 1 grdo corresponde 1 de um volt complet d circunferênci 00

2 O comprimentro de um rco Em um circunferênci de rio r, sej θ um ângulo qulquer, medido em rdinos, e s o rco correspondente - Figur 7) O vlor s do comprimento do rco é otido por um regr de simples 1 rd r = θ rd s s = r θ Conversão gru-rdino Determinmos o vlor do ângulo, em rdinos, pr um volt complet n circunferênci por um regr de simples 1 rd = x rd x = π r π r Isto é, um volt complet n circunferênci corresponde um ângulo de medid π rdinos - Figur 7) θ rd r s = r θ 180o = π rd 90 o = π rd θ 0 o = 0 rd ou 60 o = π rd ) O comprimento de um rco 70 o = π rd ) Conversão gru-rdino Figur 7: Comprimento de rco e conversão gru-rdino Ddo um ângulo θ em grus, su medid x em rdinos é otid por um regr de simples π rd 180 o = x rd θ o x = θ 180 π rd Exemplo 71 Determine medid do ângulo 155 o em rdinos π rd 180 o = x rd 155 o x = π = 1 5 π rd Exemplo 7 Determine medid do ângulo π rd em grus π rd 180 o = π rd x x = π 180 π = 15o Clssicção de triângulos Triângulo é um polígono com ângulos internos, logo ldos Podemos clssicá-los de dus mneirs: qunto os tmnhos dos ldos: equilátero - ldos de mesmo comprimento, isóceles - ldos de mesmo comprimento, escleno - ldos de comprimentos diferentes; qunto às medids dos ângulos: 5

3 cutângulo - ângulos gudos menores que 90 o grus), retângulo - 1 ângulo reto 90 o grus), otusângulo - 1 ângulo otuso mior que 90 o grus) 7 Triângulo retângulo 71 Teorem de Pitágors Em um triângulo retângulo, Figur 7), os ldos que formm o ângulo reto são denomindos ctetos e o ldo oposto o ângulo reto é chmdo hipotenus Os comprimentos d hipotenus e dos ctetos estão relciondos pelo Teorem de Pitágors = + c 7) c c ) Um triângulo retângulo c c c ) O Teorem de Pitágors Figur 7: Triângulo retângulo e o Teorem de Pitágors Um prov stnte simples do Teorem de Pitágors pode ser otid trvés d Figur 7): áre do qudrdo externo é igul à som d áre do qudrdo interno mis áre dos triângulos retângulos, isto é: + c = + c) + c = + c + c = + c 7 Rzões trigonométrics no triângulo retângulo Pr cd ângulo gudo de um triângulo retângulo dene-se 6 rzões trigonométrics conhecids como seno, cosseno, tngente, cotngente, secnte e cossecnte) d seguinte mneir seno = cosseno = cteto oposto hipotenus cteto djcente hipotenus tngente = cotngente = cteto oposto cteto djcente cteto djcente cteto oposto secnte = cossecnte = cteto hipotenus djcente cteto hipotenus oposto A Figur 7 ilustr s 6 rzões trigonométrics pr os ângulos α e β de um triângulo retângulo Rzões trigonométrics de lguns ângulos notáveis N Figur 75) trçmos digonl de um qudrdo de ldo e então determinmos s rzões trigonométrics pr o ângulo de 5 o otido: cos5 o ) = = 1 =, sen5 o ) = = 1 = 6, tg5 o ) = = 1

4 seno: senα) = c senβ) = β c α cosseno: tngente: cotngente: secnte: cossecnte: cosα) = tgα) = c ctgα) = c secα) = cscα) = c cosβ) = c tgβ) = c ctgβ) = c secβ) = c cscβ) = Figur 7: As rzões trigonométrics N Figur 75) trçmos ltur de um triângulo equilátero de ldo e então determinmos s rzões trigonométrics pr os ângulos de 0 o e 60 o otidos: cos0 o ) = / =, sen0 o ) = / = 1, tg0 o ) = / / = 1 = cos60 o ) = / = 1 A tel 71 resume estes resutdos, sen60 o ) = / = ângulo 0 o 5 o 60 o 1 sen cos 1 tg 1, tg60 o ) = / / Tel 71: Vlores de seno, cosseno e tngente dos ângulos 0 o, 5 o e 60 o = 5 o ) Ângulo de 5 o 60 o 0 o / / c ) Ângulos de 0 o e 60 o Figur 75: Ângulos notáveis 7

5 7 Algums identiddes trigonométrics N Figur 7 temos que = cosα) e c = senα); otemos então s seguintes identiddes: tgα) = c = senα) cosα) tgα) = senα) cosα) 7) cotgα) = c = cosα) senα) secα) = = cscα) = c = Usndo o Teorem de Pitágors otemos cotgα) = cosα) senα) cosα) secα) = 1 cosα) senα) cscα) = 1 senα) + c = cos α) + sen α) = [ cos α) + sen α) ] = 7) 7c) 7d) donde cos α) + sen α) = 1 7e) A identidde 7e) é chmd de identidde fundmentl: o qudrdo do cosseno mis o qudrdo do seno de qulquer ângulo é sempre igul um A prtir d identidde fundmentl otemos outrs dus importntes identiddes: cos α) + sen α) cos α) cos α) + sen α) sen α) = = 1 cos α) 1 + sen α) cos α) = 1 cos α) 1 + tg α) = sec α) 1 sen α) cos α) sen α) + 1 = 1 sen α) cotg α) + 1 = csc α) 7f) 7g) Exemplo 7 Pr um ddo ângulo θ se-se que cosθ) = 1 5 Determine s outrs rzões trigonométrics pr θ D identidde fundmentl otemos Logo: ) 1 + sen θ) = 1 sen θ) = pel identidde 7): tgθ) = 6/5 1/5 = = 6; pel identidde 7): cotgθ) = 1/5 6/5 = 1 5 pel identidde 7c): secθ) = 1 1/5 = 5; 5 = ; senθ) = 5 = 6 5 pel identidde 7d): cscθ) = 1 6/5 = Triângulos quisquer 71 A Lei dos Cossenos Vimos que pr triângulos retângulos s medids dos ldos estão relciondos pelo Teorem de Pitágors Pr triângulos quisquer os comprimentos dos ldos estão relciondos pel Lei dos Cossenos Figur 76) A demostrção d Lei dos Cossenos pr o ângulo α pode ser otid prtir d Figur 77 No triângulo retângulo d esquerd temos cosγ) = x x = cosγ) 8 75)

6 β c γ α Pr o ângulo α: Pr o ângulo β: Pr o ângulo γ: Figur 76: A Lei dos Cossenos = + c c cosα) = + c c cosβ) c = + cosγ) No triângulo retângulo d direit temos Sustituindo 75) e 75) em 75c) otemos = x + H H = x c = H + x) = H + x + x 75) 75c) que é Lei dos Cossenos pr o ângulo γ c = x + cosγ) + x c = + cosγ) c H γ x Figur 77: A demostrção d Lei dos Cossenos pr o ângulo γ 7 A Lei dos Senos Outr relção entre os comprimentos dos ldos e os ângulos de um triângulo qulquer é Lei dos Senos Figur 78), cuj demonstrção c crgo do leitor Prolem Teórico 71) β c γ α senβ) Figur 78: A Lei dos Senos = senα) = senγ) c 75 Círculo Trigonométrico e Funções Circulres Círculo trigonométrico é o circulo de rio unitário e centro n origem do sistem crtesino - Figur 79) No triângulo OP Q d Figur 79) lemrndo que OP = 1 ) oservmos que cosθ) = OQ/OP = x/1 = x e senθ) = P Q/OP = OR/OP = y/1 = y, Um termo mis proprido seri circunferênci trigonométric, ms o termo círculo trigonométrico é trdicionlmente utilizdo n litertur e vmos mntê-lo 9

7 y 1, 0) x R P x, y) θ O Q ) O circulo trigonométrico ) Seno e cosseno Figur 79: O seno e o cosseno no círculo trigonométrico de modo que s coordends crtesins do ponto P são dds por P = x, y) = ) cosθ), senθ) Rciocinndo no sentido inverso, sej P x, y) um ponto qulquer sore o círculo unitário e θ o ângulo correspondente, medido no sentido nti-horário prtir do semi-eixo positivo ds scisss Denimos o cosseno deste ângulo como o vlor d sciss de P e seu seno como o vlor d ordend de P Est denição do seno e cosseno no círculo trigonométrico nos permite clculr os vlores ds rzões trigonométrics pr ângulos ddos por qulquer número rel, e não pens pr ângulos gudos como no cso de triângulos retângulos A Figur 710 ilustr este rciocínio pr ângulos no segundo, terceiro e qurto qudrntes P x, y) Q O R θ P x, y) Q θ O R θ O R Q P x, y) ) Ângulo no o qudrnte ) Ângulo no o qudrnte c) Ângulo no o qudrnte Figur 710: cosθ) = OQ = x e senθ) = OR = y Sinl do seno e cosseno se 0 < θ < π então senθ) > 0 e cosθ) > 0 - Figur 79); se π < θ < π então senθ) > 0 e cosθ) < 0 - Figur 710); se π < θ < π então senθ) < 0 e cosθ) < 0 - Figur 710); se π < θ < π então senθ) < 0 e cosθ) > 0 - Figur 710c) 0

8 751 As funções circulres A função seno Sej x um ângulo vriável no círculo trigonométrico A cd vlor de x ssocimos um único vlor pr seu seno, denotdo senx) Denimos então função fx) = senx), cujo gráco, chmdo senóide, é mostrdo n Figur 711 A Figur 711 exie dus proprieddes importntes d função senx): é periódic de período T = π; isto signic que sus imgens se repetem de π em π rdinos, isto é, x R temos que senx) = senx + π); é limitd entre 1 e 1, isto é, x R temos que 1 senx) 1 senx) 1 x -1 π π π π 0 π π π π Figur 711: Senóide senx) A função cosseno De modo nálogo o seno, sej x um ângulo vriável no círculo trigonométrico A cd vlor de x ssocimos um único vlor pr seu cosseno, denotdo cosx) Denimos então função fx) = cosx), cujo gráco é mostrdo n Figur 71 A Figur 71 exie dus proprieddes importntes d função cosx): é periódic de período T = π; isto signic que sus imgens se repetem de π em π rdinos, isto é, x R temos que cosx) = cosx + π); é limitd entre 1 e 1, isto é, x R temos que 1 cosx) 1 cosx) 1 x -1 π π π π 0 π π π π Figur 71: Senóide cosx) 1

9 76 Mis identiddes trigonométrics Simetris As identiddes de simetri estelecem o efeito d sustituição de α por α Pel Figur 71 temos R α O Q α senα) = sen α) cosα) = cos α) tgα) = tg α) S Figur 71: Simetris do seno, cosseno e tngente senα) = QR = QS = sen α) senα) = sen α) 76) cosα) = OQ = cos α) cosα) = cos α) 76) Ests identiddes tmém podem ser fcilmente oservds ns Figurs 711 e 71 respectivmente Finlmente tgα) = senα) cosα) = sen α) = tg α) tgα) = tg α) 76c) cos α) Deslocmentos trnslções) horizontis α R α + π R S P O α π Q S P O α Q ) Ângulos α e α π ) Ângulos α e α + π Figur 71: Ângulos deslocdos trnslddos) As identiddes de trnslção estelecem o efeito d sustituição de α por α π e de α por α + π Pel congruênci dos triângulos d Figur 71) oservmos que ) OR = OQ senα) = cos, 76d) e α π OP = OS cosα) = sen α π ) 76e)

10 De modo nálogo, pel Figur 71) oservmos que OQ = OR cosα) = sen α + π ) 76f) e OS = OP senα) = cos α π ) 76g) Cosseno d diferenç Inicimos deduzindo fórmul do cosseno d diferenç Clculndo o qudrdo d distânci entre os pontos P e Q d Figur 715 temos: P Q = [ cosα) cosβ) ] + [ senα) senβ) ] = cos α) cosα)cosβ) + cos β) + sen α) senα)senβ) + sen β) = cos α) + sen α) + cos β) + sen β) cosα)cosβ) senα)senβ) = cosα)cosβ) senα)senβ) = [ cosα)cosβ) + senα)senβ) ] Q = cosα), senα) α β P = cosβ), senβ) O α β Figur 715: O cosseno d diferenç: cosα β) Aplicndo Lei dos Cossenos no triângulo OP Q d Figur 715 temos: P Q = OP + OQ OP OQ cosα β) = cosα β) = cosα β) Igulndo os resultdos otidos pr P Q otemos o cosseno d diferenç cosα β) = cosα)cosβ) + senα)senβ) Cosseno d som O cosseno d som pode gor ser otido usndo um rtifício lgérico engenhoso - sustituímos som por um diferenç e plicmos o cosseno d diferenç cosα + β) = cos [ α β) ] = cosα)cos β) + senα)sen β) e então plicmos s identiddes 76) e 76) pr otermos o cosseno d som cosα + β) = cosα)cosβ) senα)senβ)

11 Seno d diferenç Pr otermos o seno d diferenç, inicilmente usmos identidde 76d) pr escrever senα β) = cos α β π ) [ = cos α e seguir plicmos o cosseno d diferenç no memro direito Ms, pelo cosseno d som e pel identidde 76f) Assim o seno d diferenç é ddo por β + π senα β) = cosα)cos β + π ) + senα)sen )] β + π cos β + π ) ) ) π π = cosβ)cos senβ)sen = senβ) sen β + π ) = cosβ) senα β) = senα)cosβ) cosα)senβ) Seno d som O seno d som pode ser otido pelo mesmo rtifício plicdo n dedução do cosseno d som - sustituímos som por um diferenç e plicmos o seno d diferenç senα + β) = sen [ α β) ] = senα)cos β) cosα)sen β) e então plicmos s identiddes 76) e 76) pr otermos o seno d som Sumário ds fórmuls d som e diferenç Sumrizmos qui os resultdos otidos: senα + β) = senα)cosβ) + cosα)senβ) cosα β) = cosα)cosβ) + senα)senβ) cosα + β) = cosα)cosβ) senα)senβ) senα β) = senα)cosβ) cosα)senβ) senα + β) = senα)cosβ) + cosα)senβ) 77 Redução o Primeiro Qudrnte Os eixos coordendos dividem o plno crtesino em qudrntes: 1 o qudrnte: 0 < θ < π ; qudrnte: o π π < θ < o π qudrnte: < θ < π; o π qudrnte: ) ; < θ < π 76h) 76i) 76j) 76k) Ddo um ângulo θ, reduzi-lo o primeiro qudrnte consiste em determinr um ângulo no primeiro qudrnte que possu s mesms rzões trigonométrics de θ, menos de um sinl Devemos considerr csos

12 θ P R π θ O Q θ P R O S Q θ π R O Q S θ π θ ) Do o o 1 o qudrnte ) Do o o 1 o qudrnte c) Do o o 1 o qudrnte Figur 716: Redução o primeiro qudrnte Redução do segundo o primeiro qudrnte N Figur 716) oservmos que se π < θ < π então su redução o primeiro qudrnte é π θ Temos que senθ) = OR = senπ θ) cosθ) = OP = OQ = cosπ θ) Conseqüentemente tgθ) = tgπ θ) ctgθ) = cotgπ θ) secθ) = secπ θ) cscθ) = cscπ θ) Exemplo 7 O ângulo 5π 6 está no segundo qudrnte, pois π < 5π 6 < π Assim su redução o primeiro qudrnte é π 5π 6 = π 6 Logo ) ) 5π π sen = sen = e ) ) 5π π cos = cos = 6 6 Redução do terceiro o primeiro qudrnte N Figur 716) oservmos que se π < θ < π então su redução o primeiro qudrnte é θ π Temos que senθ) = OS = OR = senθ π) cosθ) = OP = OQ = cosθ π) Conseqüentemente tgθ) = tgθ π) ctgθ) = cotgθ π) secθ) = secθ π) cscθ) = cscθ π) Exemplo 75 O ângulo 5π está no terceiro qudrnte, pois π < 5π < π Assim su redução o primeiro qudrnte é 5π π = π Logo ) ) 5π π sen = sen = e ) ) 5π π cos = cos = 5

13 Redução do qurto o primeiro qudrnte N Figur 716c) oservmos que se π < θ < π então su redução o primeiro qudrnte é π θ Temos que senθ) = OS = OR = senπ θ) cosθ) = OQ = cosπ θ) Conseqüentemente tgθ) = tgπ θ) ctgθ) = cotgπ θ) Exemplo 76 O ângulo 5π está no qurto qudrnte, pois π < 5π qudrnte é π 5π = π Logo ) ) 5π π sen = sen = e secθ) = secπ θ) cscθ) = cscπ θ) < π Assim su redução o primeiro ) ) 5π π cos = cos = 1 78 Equções trigonométrics Um equção trigonométric é quel que envolve s funções trigonométrics - seno, cosseno, tngente, cotngente, secnte, cossecnte - e sus respectivs inverss Resolver um equção trigonométric signic encontrr os vlores do ângulo que veric Pr este propósito Tel 7, que nos dá os vlores do seno, cosseno e tngente dos ângulos notáveis do 1 o qudrnte, será de grnde uxílio θ senθ) cosθ) tgθ) π 6 π π π Tel 7: Seno, cosseno e tngente dos ângulos notáveis do 1 o qudrnte 1 A Tel 7 nos fornece os vlores de seno, cosseno e tngente pens pr os ângulos notáveis do 1 o qudrnte A Figur 717 mostr os ângulos nos segundo, terceiro e qurto qudrntes redutíveis os notáveis do primeiro qudrnte Exemplo 77 Resolver equção senx) = 0 Solução: pel Tel 7 temos que x = 0 Oservndo Figur 717 temos que x = π tmém é um solução d equção dd Além disto, qulquer rco côngruo estes tmém são soluções, de modo que solução gerl é d form x = kπ, k Z Exemplo 78 Resolver equção senx) = cosx) Solução: pel Tel 7 temos que x = π Oservndo Figur 717 temos que x = 5π simétrico de π em relção à origem) tmém é um solução d equção dd Além disto, qulquer rco côngruo estes tmém são soluções, de modo que solução gerl pode ser dd como x = π + kπ, k Z 6

14 π π π π π 5π 6 π 6 π 0 7π 6 5π π π 5π 7π 11π 6 Figur 717: Ângulos redutíveis os notáveis Exemplo 79 Resolver equção cosx) 1 = 0 Solução: temos que cosx) = 1, e pel Tel 7 temos que x = π Oservndo Figur 717 oservmos que x = 5π = π simétrico de π em relção o eixo horizontl) tmém é um solução d equção dd Além disto, qulquer rco côngruo estes tmém são soluções, de modo que solução gerl pode ser dd como x = kπ ± π, k Z 79 Prolems Propostos Prolem 71 [Mck-SP] A medid de um ângulo é 5 o Determine su medid em rdinos Prolem 7 [Fuvest-SP] Qul o vlor do ângulo gudo formdo pelos ponteiros de um relógio à 1 hor e 1 minutos Prolem 7 [UF-PA] Quntos rdinos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos? Prolem 7 A ltur de um triângulo equilátero mede cm Determine seu perímetro e su áre Prolem 75 A digonl de um qudrdo mede 6 cm Determine seu perímetro e su áre Prolem 76 [PUC-SP] Se ltur de um trpézio isóceles medir 8 dm e sus ses medirem, respectivmente, 7 dm e 15 dm, determine medid de sus digonis Prolem 77 No triângulo ddo determine s medids x e y = 5 c = 1 x y = 6 Prolem 78 No triângulo ddo se-se que c = 5, y = e ldo de comprimento é perpendiculr o ldo de comprimento c Determine e x 7

15 c x Prolem 79 Em um triângulo retângulo um dos ctetos mede 5 e su projeção sore hipotenus mede Determine: ) o comprimento do outro cteto; ) o comprimento d hipotenus; y c) seu perímetro; d) su áre Prolem 710 Em um triângulo hipotenus mede 10 e rzão entre os comprimentos dos ctetos é Determine os comprimentos ds projeções dos ctetos sore hipotenus Prolem 711 [PUC-SP] O perímetro de um losângo mede 0 cm e um de su digonis mede 8 cm Qunto mede outr digonl? Prolem 71 Num triângulo retângulo ltur reltiv à hipotenus mede 1 cm e projeção de um dos ctetos sore hipotenus mede 16 cm Determine o comprimento dos ctetos deste triângulo Prolem 71 Determine o perímetro e áre do triângulo ddo 5 ọ Prolem 71 Os ldos de um triângulo medem =, = e c = 1 + Determine s medids de seus ângulos Prolem 715 Um triângulo tem seus vértices nos pontos A, B e C Se-se que AC = e BC = ) Sendo-se que AB = 7 e α é o ângulo oposto o ldo BC, determine cosα); ) É possível que o ângulo oposto o ldo AC sej de 60 o? Explique Prolem 716 Um terreno têm form de um prlelogrmo cujos ldos medem 0 m e um dos ângulo internos mede 10 o Seu proprietário irá cercá-lo e tmém dividi-lo o meio com um cerc com os de rme Determine quntidde de rme ser utilizd Prolem 717 [ITA-SP] Os ldos de um triângulo medem, e c centímetros Qul o vlor do ângulo interno deste triângulo, oposto o ldo que mede centímetros, se forem stisfeits s seguintes relções: = 7c e = 8c Prolem 718 [ITA-SP] Num losângo ABCD som ds medids dos ângulos otusos é o triplo d som ds medids dos ângulos gudos Se su digonl menor mede d, determine su rest Prolem 719 [Universidde Gm Filho - RJ] Clculr os vlores de k que vericm simultnemente s igulddes: senθ) = k 1 e cosθ) = k Prolem 70 Pr cd rzão trigonométric dd utilize s identiddes d Seção 7 pr determinr s outrs cinco 8

16 ) senα) = 5 ) cosβ) = 1 7 c) tgγ) = d) cotgδ) = e) cosɛ) = 5 f) tgθ) = 1 g) cscφ) = h) secσ) = Prolem 71 Um pesso n mrgem de um rio vê, so um ângulo de 60 o, o topo de um torre n mrgem opost Qundo el se fst 0 m perpendiculrmente à mrgem do rio, esse ângulo é de 0 o ) Qul lrgur do rio? Prolem 7 Verique vercidde ds igulddes seguir senα) ) 1+cosα) + 1+cosα) senα) = cscα) ) sen β) cos β) tg β) = c) tgγ) 1+tg γ) = senγ)cosγ) d) secθ)+senθ) cscθ)+cosθ) = tgθ) e) sec φ)csc φ) = tg φ) + cotg φ) + f) [ tgσ) senσ) ] + [ 1 cosσ) ] = [ secσ) 1 ] Prolem 7 Explique por quê s igulddes dds são inválids ) Qul ltur d torre? ) senα) = ) cosα) = 5 c) secα) = 1 d) cscα) = Prolem 7 Dois ângulos α e β são ditos complementres se α+β = π Use Figur 7 pr se convencer dos seguintes ftos: ) o seno de um ângulo é igul o cosseno de seu complementr; ) o cosseno de um ângulo é igul o seno de seu complementr; c) tngente de um ângulo é igul à cotngente de seu complementr; d) cotngente de um ângulo é igul à tngente de seu complementr; e) secnte de um ângulo é igul à cossecnte de seu complementr; f) cossecnte de um ângulo é igul à secnte de seu complementr Prolem 75 Os ldos de um prlelogrmo medem e e sus digonis x e y Mostre que x + y = + ) Prolem 76 [Cescem-SP] Em quis qudrntes estão os ângulos α, β e γ tis que: senα) < 0 e cosα) < 0; cosβ) < 0 e tgβ) < 0; senγ) > 0 e cotgγ) > 0, respectivmente Prolem 77 [FECAP-SP] Determine o vlor d expressão: senπ/) + cosπ/) + cosπ/ + π/) Prolem 78 [Snt Cs-SP] Sej função f, de R em R denid por fx) = 1 + senx) Determine o intervlo do conjunto imgem dess função Prolem 79 [UFP-RS] Qul o intervlo do conjunto imgem d função f, R em R denid por fx) = senx) Prolem 70 [FC Chgs-BA] Pr quis vlores de s sentençs senx) = e cosx) = 1 são verddeirs pr todo x rel 9

17 Prolem 71 [Univ Gm Filho-RJ] Clculr os vlores de k que vericm simultnememnte s igulddes: senx) = k 1 e cosx) = k Prolem 7 [UF São Crlos-SP] Clcule o vlor d expressão: sen x) cos x) tg x) Prolem 7 [FGV-RJ] Determine funçõ trigonométric equivlente secx)+senx) cossecx)+cosx) senx) Prolem 7 [PUC-RS] Determine iguldde d expressão: 1+cosx) + 1+cosx senx) Prolem 75 [FEP-PA] No círculo trigonométrico um ângulo é tl que seu seno vle 5 e encontr-se no segundo qudrnte Clcule o vlor d tngente deste ângulo Prolem 76 [Edson Queiroz-CE] Sendo que secx) = e tgx) < 0, clcule senx) Prolem 77 [ITA-SP] Clcule o vlor d expressão y = tnx) 1 tn x) qundo cosx) = 7 e tnx) < 0 Prolem 78 [PUC-RS] Sendo tgx) = 7 7 e π < x < π, clcule senx) Prolem 79 [PUC-SP] Quis os vlores de x stisfzem equção cosx π 5 ) = 0 Prolem 70 [Cesce-SP] Determine som ds rízes d equção 1 cos x) = 0 compreendids entre 0 e π Prolem 71 [AMAN-RJ] Determine os vlores de x que stisfzem equção cosx) = 1 Prolem 7 [FC Chgs-BA] Determine o número de soluções d equção cosx) =, 1 no intervlo [ π, π] Prolem 7 [Mck-SP] Determine os vlores de x pr que senx) = senx + π), no intervlo 0 x π Prolem 7 [Osec-SP] Determine o conjunto solução d equção cosx) = cos π x), sendo 0 < x < π Prolem 75 [UF Uerlândi-MG] Determine o conjunto solução d equção tgx + 1) cotgx) 1 = 0 no intervlo [0, π] Prolem 76 [Fc Bels Artes-SP] Determine os vlores de x n equção tgx) + cotgx) = Prolem 77 [Mck-SP] Determine os vlores de x n equção sen x) = 1+cosx), no intervlo [0, π] Prolem 78 [Metodist-SB do Cmpo-SP] Determine os vlores de x n equção sec x) + tg x) = no intervlo[0, π] Prolem 79 [Cesgrnrio-RJ] Determine s rizes d equção cos x) sen π x) = 1 no intervlo [0, π] Prolem 750 [Cesgrnrio-RJ] Determine som ds qutro rizes d equção sen x) + sen x) = 0, no intervlo [0, π] 1 Prolem 751 [CESESP-PE] Determine o conjunto solução d equção 1+senx) senx) = 1 cos x) Prolem 75 [Mck-SP] Determine expressão gerl dos rcos x pr os quis [ cosx) + secx) ] = 5 Prolem 75 [FGV-RJ] Determine solução d equção: [ 1 cosx) ] = sen x) Prolem 75 [FGV-SP] Determine som ds rízes d equção no intervlo [0, π] sen x) sen x)cosx) + senx)cos x) cos x) = 0 0

18 Prolem 755 [Mck-SP] Sendo senx) = 1 1 e seny) = 5, 0 < x, y < π, determine senx y) Prolem 756 [FEI-SP] Se cosx) = 5, clcule senx π ) Prolem 757 [F S Juds-SP] Se senx) = e x um rco do segundo qudrnte, então clcule senx π )cosx π ) tgx) Prolem 758 [UC-MG] Prove que 1+tg x) é idêntic senx) Prolem 759 [UF-GO] Se senx) = 6, clcule cosx) Prolem 760 [F S Juds-SP] Se senx) = e x um rco do primeiro qudrnte, então clcule senx) Prolem 761 [UCP-PR] Sendo que cos6 o ) = 1+ 5, clcule cos7 o ) Prolem 76 [AMAN-RJ] Determine os vlores de x que stisfzem inequção: cos5x) 1 Prolem 76 [FGV-SP] Determine solução d inequção cos x) > cosx) no intervlo [0, π] 1 Prolem 76 [UF São Crlos-SP] Determine o conjunto solução d inequção 0 x π Prolem 765 [Mck-SP] Determine solução d inequção cosx) senx) cosx)+senx), pr 0 < x < π Prolem 766 [PUC-SP] Determine solução d inequção cossecx) 1 secx) > 0, pr senx) cosx)+cosx 1) > 0, no conjunto 0 x π Prolem 767 [ITA-SP] Ddo o polinômio P denido por Px) = senθ) tgθ)x + sec θ)x, determine os vlores de θ no intervlo [0, π] tis que P dmit somente rízes reis Prolem 768 Use s identiddes 76i) e 76k) pr deduzir tngente d som tgα + β) = tgα) + tgβ) 1 tgα)tgβ) Prolem 769 Use s identiddes 76h) e 76j) pr deduzir tngente d diferenç tgα β) = tgα) tgβ) 1 + tgα)tgβ) Prolem 770 Fórmuls do ângulo duplo) ) Use identidde 76i) pr mostrr o cosseno do ângulo duplo sugestão: fç α = α + α) cosα) = cos α) sen α) ) Use identidde 76k) pr mostrr o seno do ângulo duplo senα) = cosα)senα) Prolem 771 Fórmuls do ângulo metde) Use identidde fundmentl e o cosseno do ângulo duplo pr deduzir o cosseno e o seno do ângulo metde cos α) = 1 sen α) = 1 [ ] 1 + cosα) [ ] 1 cosα) Prolem Teórico 71 Demonstre Lei dos Senos Figur 78) 710 Resposts dos Prolems Propostos - Cpítulo 7 1

19 71 págin 7) 5π 7 págin 7) 6 o 7 págin 7) 5π 7 págin 7) perímetro = cm e áre = cm 75 págin 7) perímetro = 1 cm e áre = 7 cm 75 págin 7) 505 dm 77 págin 7) x = e y = 78 págin 7) = 0 e x = págin 8) ) 15 ) 5 ; ; 710 págin 8) 18 5 e págin 8) 6 cm 71 págin 8) 15 cm e 0 cm c) 15; d) págin 8) perímetro = 6 + e áre = 9 71 págin 8) 0 o, 5 o e 105 o 715 págin 8) ) cosα) = 1; ) Não, pois terímos um ângulo cujo seno é mior que págin 8) 600 m de rme 717 págin 8) 60 o 718 págin 8) d 719 págin 8) k = 70 págin 8) ) cosα) = 5, tgα) =, cotgα) =, secα) = 5, cscα) = 5 ) senβ) =, tgβ) =, cotgβ) =, 7 1 secβ) = 7, senβ) = 7 1 c) cosγ) = 17, senγ) = 16 17, cotgγ) = , secγ) = 17, cscγ) = d) cosδ) = 10, senδ) = 10, tgδ) = , secα) = 10, cscα) = 10 e) senɛ) = 5, tgɛ) =, cotgɛ) =, secɛ) = 5, cscɛ) = 5 f) cosθ) = 5, senθ) = 5, cotgθ) =, 5 5 secθ) = 5, cscθ) = 5 g) cosφ) =, senφ) = 1, tgφ) =, cotgφ) =, secφ) = h) cosσ) = 1, senσ) =, tgσ) =, cotgσ) =, cscσ) = 71 págin 9) ) 0 m 76 págin 9) o, o e 1 o 77 págin 9) 78 págin 9) [, 5] 79 págin 9) [ 5, 1] 70 págin 9) = 1 71 págin 0) k = 7 págin 0) 7 págin 0) tgx) 7 págin 0) cossecx) 75 págin 0) / 76 págin 0) 77 págin 0) págin 0) 79 págin 0) 7π 0 + k π 70 págin 0) π ) 0 m 71 págin 0) kπ + π 7 págin 0) : π, π, π, π 7 págin 0) 0, π, π 7 págin 0) π 6, 7π 6 75 págin 0) π e π 76 págin 0) π + kπ 77 págin 0) 78 págin 0) π 6, 5π 6, 7π 6, 11π 6 79 págin 0) π 6, 5π págin 0) 7π 751 págin 0) Não existe 75 págin 0) kπ ± π 75 págin 0) x = k60 o 75 págin 0) π 755 págin 1) págin 1) págin 1) 0, págin 1) págin 1) págin 1) págin 1) kπ + pi x kπ + π págin 1) 0 x < π ou π < x π 76 págin 1) S = voltr nest 765 págin 1) S = 0 < x < π 766 págin 1) π < x < 5π 767 págin 1) π θ < π ou π < θ π