CCI-22. Eliminação de Gauss, Gauss-Jordan, Decomposição LU, Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel

CCI- ) Rízes de Sistems Lineres Eliminção de Guss, Guss-Jordn, Decomposição LU, Guss-Jcobi, Guss-Seidel

CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Resíduos e Condicionmento de Sistems Decomposição LU Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

Métodos de resolução Pr resolução de um sistem liner de equções, há dois grupos de métodos: Métodos diretos: solução é obtid trvés d plicção de um número finito de operções ritmétics Regr de Crmer Eliminção de Guss e de Guss-Jordn Decomposição LU Métodos itertivos: solução é obtid trvés de um sequênci de proimções sucessivs, té se lcnçr um respost que stisfç precisão eigid Guss-Jcobi Guss-Seidel

Sistems de Equções Lineres Form gerl: onde: ij são os coeficientes i são s incógnits b i são os termos independentes i n é ordem do sistem Form mtricil: A b onde: A M n M n L L O L n n M nn M n b b b M b n

Eemplo Eemplo Form gerl: 5 + + Form mtricil: 5. 5 5 5

Cálculo ds forçs em um treliç Um eemplo: 8 6 8 F, F e F são dds 6 5 5 7 9 7 9 5 6 7 Condições de equilíbrio: F f cos5 + f + f5 cos5 F F y f f + f f + f 5 f 5 F F F N junção : N junção : Gerrá um sistem de ordem 7 F F y f F + f 6 + f Idem pr demis junções

Regr de Crmer A plicção d regr de Crmer, em um sistem de ordem n, eige o cálculo de quntos determinntes? n pr os numerdores e pr o denomindor

Tempo de processmento Sej m o tempo gsto pr relizr um multiplicção Sej det n o número de multiplicções presentes no cálculo do determinnte de um mtriz de ordem n Podemos clculr o tempo T gsto pens com multiplicções, no cso de 7 equções: T m.8.det 7 T m.8.(7 + 7.det 6 ) T m.8.(7 + 7.(6 + 6.det 5 )) T m.8.(7 + 7.(6 + 6.(5 + 5.det ))) T m.8.(7 + 7.(6 + 6.(5 + 5.( +.(... ( +.()...))))) Lembrndo:

Tempo de processmento T m.8.(7 + 7.(6 + 6.(5 + 5.(...( +.()...))))) T m.(... 5..... 7. 8 + +.. 5..... 7. 8 + +. 5..... 7. 8 + + 5..... 7. 8 + : : + 6. 7. 8 + + 7. 8 ) T m.8!.( + (!) + (!) +... + (6!)) T m. 9,6. 5

Tempo de processmento Quntidde de multiplicções: 9,6. 5 Utilizndo um supercomputdor tul: multiplicções por segundo Tempo gsto: 9,6. s di Se o sistem fosse de ordem, eigiri cerc de 8 nos de processmento nesse mesmo computdor! Um lgoritmo bem mis eficiente é o Método d Eliminção de Guss, que gst tempo O(n )

Método d Eliminção de Guss Objetivo: Trnsformção do sistem liner ser resolvido em um sistem liner tringulr Operções válids: Troc d ordem ds linhs Troc d ordem ds coluns (com eceção dos termos independentes) Multiplicção de um equção por um número rel não nulo Substituição de um equção por um combinção liner entre el mesm e outr equção

Sistems lineres tringulres Sistems lineres tringulres Tringulr inferior: Tringulr superior: nn n n n A K M O M M M K K K nn n n n K

Resolução de um sistem tringulr Resolução de um sistem tringulr Eemplo: Pssos d resolução: 5 5 + + 5 ) ( 5 + + + +

Pssos Considere mtriz umentd [Ab]: Linh L Linh L Linh L n Psso : nulr os coeficientes de ns linhs L L n Substituir linh L pel combinção liner: L onde m m L, Se, trocr L com L k, onde k Se L k não eistir, então o sistem não tem solução Continur nlogmente pr linhs L j, < j n Psso i, < i < n: nulr os coeficientes de i ns linhs L i+ L n Conhecido como pivô

Eemplo Eemplo [ ] 5 Ab [ ] [ ] m L, m L L [ ] [ ] [ ] 7 L 5 L m L, m L L [ ] [ ] [ ] 6 6 5 L L [ ] 6 6 7 5 Ab

Eemplo Eemplo m, L m L L [ ] [ ] [ ] 5 5 7 6 6 L L [ ] 5 5 7 5 Ab + + 5 6 5 7 7 5 5

Algoritmo Sistem liner A b de ordem n: EliminçãodeGuss { pr k té n- pr ik+ té n { m ik kk kk ik pr jk+ té n ij ij m. kj b i b i m.b k } Eliminção } n b n nn pr kn- té { s pr jk+ té n s s + kj. j k (b k s) kk } Compleidde de tempo: O(n ) Sistem tringulr

Eemplo [Ab] 7 5 57 8 Nos cálculos seguir, considerremos F(,,-5,5): L L L L L m L [ 7 ] (7) [ 5 57] [ ] L m L [ 8] ( ) [ 5 57] [ 86 ] 5 57 [Ab] 86

Eemplo L [ 6 68] Apens lgrismos são representdos [Ab] 5 6 57 68-68(-6), [- (-),], [57-5, -,],5 No entnto, solução et é:

Pivotementos prcil e completo Pivôs pequenos germ multiplicdores grndes, que umentm os erros de rredondmento... Um simples lterção n Eliminção de Guss é escolher como pivô o elemento de mior módulo : em cd colun (pivotemento prcil) (tempo totl d Eliminção de Guss será O(n )) dentre todos os elementos possíveis no processo (pivotemento completo): eige um mior esforço computcionl (tempo totl d Eliminção de Guss será O(n )) Voltemos resolver o eemplo nterior com precisão de css decimis, ms com pivotemento prcil: 7 5 57 8 7 5 57 8

Eemplo com pivotemento prcil L L L [ m,7 87,6 L 5, [ 5, 6,5 5,] 5 7,7 5, 87,6 6,5 7,7 5, 5 5] (,787,6) [ 87,6 6,5 7] 7 5,5, 87,6 6,5 7 5, 5, [-7-6,5 ](-87,6),999 [ (-),999]7,

Método de Guss-Jordn Consiste em efetur operções sobre s equções do sistem com finlidde de trnsformá-lo em um sistem digonl equivlente, isto é, são nulos todos os coeficientes ik, qundo i k ik A M M M K K L O K K nn

Eemplo Eemplo [ ] 5 5 Ab 5 5 Pivotemento [ ] 6 6 L,,, [ ] [ ] [ ] 8 L 5 5 L m L L,,, ) ( [ ] 8 6 6 5 Ab,,,,,,

Eemplo (Guss-Jordn) L m L [,, 8, ] (,, 6) [, 6,, 6] [, 69 9, ] L L, [ Ab] 5, 6,, 69, 6 9, L L L m L [, 6,, 6] (,, 69) [, 69 9, ] [, 6, ]

Eemplo (Guss-Jordn) L [ 5 ] (, 6) [, 6, ] [ 5 57] L, L L [ Ab] [ 5 57, ] (, 69) [, 69 9, ] [ 5, 78] 5 A solução é:, 78 6 -,556,, -,85, 69 9,,78

Outr plicção Um vrição do método de Guss-Jordn pode ser utilizd pr se encontrr invers de um mtriz A qudrd de ordem n Bst trnsformr mtriz A n correspondente mtriz identidde, plicndo esss mesms operções em um mtriz identidde de ordem n Guss-Jordn [A I] [I A - ]

Refinmento por resíduos Se () for encontrdo como solução do sistem A b, então o erro dess solução é () Multiplicndo esse erro por A: A( - () ) b A () r () resíduo O resíduo pode ser utilizdo pr se encontrr um solução melhord () : () () + δ (), onde δ () é um vetor de correção A () b A( () + δ () ) b Aδ () b - A () r () δ () é encontrdo resolvendo-se o sistem Aδ r () Esses cálculos permitem um processo de refinmento d solução do sistem A b

Eemplo Considere o sistem bio, que será resolvido em um máquin que trblh com pens dois dígitos decimis significtivos : + Atrvés d Eliminção de Guss, podemos encontrr solução bio: Cálculo do resíduo: r () b A,,9,,5 ( ) () Não está bom...

Eemplo Cálculo do vetor de correção δ () : Vetor de correção: δ (),58 Arredondmento qui Solução melhord: () () + δ (),, Novo resíduo: r () b A (),, Portnto, () é solução et

Melhor proimção Ddo um sistem A b, sejm y e z dus proimções d solução et. Como sber qul dels é melhor? A estrtégi mis lógic prece ser comprr os respectivos resíduos: o menor seri d melhor solução Infelizmente, isso nem sempre é verdde... Eemplo n mesm máquin de dígitos decimis:, + 6, +,, 8, + 6, +,, 5 5, +, + 5,, 6 5 y z, r y,, 8, r z, 5, Conclusão: nem sempre proimção de menor resíduo é mis et Se busc por resíduos menores não grnte melhores soluções, como sber se o processo de refinmento por resíduos funcion?

Condicionmento de sistems Um sistem liner é dito ml condiciondo se pequens lterções nos ddos de entrd (A ou b) ocsionm grndes erros no resultdo finl Eemplo em outr máquin de dígitos decimis: Solução:, e y-,998 Suponh que os vlores desse sistem sejm obtidos eperimentlmente, e por isso os termos independentes possm vrir de ±,: Vlor perturbdo,96 +,8y,,8 +,y,6 Solução:, e y, Erro n entrd: (,9-,,9 ),8% Erro no resultdo: ( -,998-, -,998 ) % Qundo há ml condicionmento, lt precisão nos cálculos não signific quse nd, pois os resultdos obtidos não são confiáveis...

Interpretção geométric Considere os seguintes sistems: () (b) () (c) Solução: e y Solução:,8 e y, y () (b) (c)

Um métric de condicionmento Em máquins com grnde precisão, gerlmente não fz sentido refinr os resultdos... No entnto, empiricmente, os refinmentos judm identificr o condicionmento de um sistem liner: Se s correções δ (), δ (),..., δ (n) forem grndes, então o sistem será ml condiciondo Em sistems bem condiciondos, bstm dois refinmentos: δ (),..., δ (n) serão próimos do épsilon d máquin Importnte: nesse processo de verificção, o vetor b não pode ser nulo Cso contrário, mesmo em um sistem ml condiciondo, solução et será nul, com correções tmbém nuls...

Eemplo Considere o sistem bio em F(,5,-98,): Primeiro refinmento em F(,,-98,): r () b A (),67,688,8,7,75577,5577,6789,6788,76696 Resíduos pequenos δ Resolução de Aδ r () : ( ), 8, 5, 57765 Correções reltivmente pequens Solução melhord () () + δ () : 85, ( ) 77 9,,

Outr métric de condicionmento Mostrremos gor outr mneir de identificr o ml condicionmento de um sistem liner não singulr A b Vmos supor que os ddos estão sujeitos certs perturbções, e nlisremos seus efeitos n solução Inicilmente, sej b + b um perturbção no vetor de termos independentes Desse modo, solução tmbém será perturbd, ou sej, teremos A( + ) b + b Desejmos encontrr um relção entre e b, pois, conhecendo o tmnho d perturbção b, poderemos estimr, e verificr então se o sistem é ou não ml condiciondo Pr isso, teremos que rever o conceito de norms

Norms de vetores Ddo um vetor do espço vetoril E, chm-se norm de (denotd por ) qulquer função definid em E com vlores em R que stisfz s seguintes condições: se e somente se for o vetor nulo λ λ., pr todo esclr λ +y + y, onde y є E Eemplos de norms de vetores em E R n : má i i Σ i i E (Σ i i )

Norms de mtrizes Dd um mtriz A do espço vetoril E de mtrizes qudrds de ordem n, chm-se norm de A (denotd por A ) qulquer função definid em E com vlores em R que stisfz s seguintes condições: A A se e somente se A for mtriz nul λa λ. A, pr todo esclr λ A+B A + B, onde B є E Eemplos de norms de mtrizes, onde A ( ij ): Norm linh: A má i Σ j ij Norm colun: A má j Σ i ij Norm euclidin: A E (Σ i,j ij )

Usndo norms Desenvolvendo equção A( + ) b + b : A + A b + b Como A b, então A b Desde que A é não singulr, então A - b Se um norm de mtriz e um norm de vetor estão relcionds de tl modo que stisfç desiguldde A A., pr qulquer vetor de ordem n, então dizemos que s dus norms são consistentes Usndo norms consistentes: A -. b De A b, tmbém temos b A. Multiplicndo s inequções membro membro:. b A. A -. b.

Número de condição. b A. A -. b. A. A -. b b cond(a). b b Observções: Número de condição de A: cond(a) A. A - A.A - I b b é um medid do erro reltivo em b O erro em dependerá de cond(a), que é mior ou igul Se cond(a) for grnde, então pequens perturbções reltivs em b produzirão grndes perturbções reltivs em, e o sistem A b será ml condiciondo Gerlmente, sistems com cond(a) são considerdos ml condiciondos

Outro cso possível Consideremos gor outro cso possível: o vetor b é conhecido etmente, ms ocorre um perturbção n mtriz A. Teremos, portnto, (A + A)( + ) b Desenvolvendo: ( + ) (A + A) - b Equção (*) Como A - b, temos: (A + A) - b - A - b [(A + A) - - A - ]b [B - A - ]b, onde A + A B B - A - (A - A)B - A - (BB - ) A - (A B)B - (B - - A - )b [A - (A B)B - ]b [A - (A (A + A))(A + A) - ]b -A - A(A + A) - b Utilizndo equção (*): -A - A( + ) Aplicndo norms consistentes em mbos os membros: A -. A. ( + ) ( + ) cond(a). A A : semelhnte o nterior

Eemplo Anlisr o sistem liner bio:,969,6,868,,86, Atrvés de Guss-Jordn, podemos clculr A - : A 8,,6,868,969 Usndo norm linh, que é consistente: A,67 A -,5. 8 cond(a) A. A -,. 8 Conclusão: sistem ml condiciondo

Alguns comentários Um sistem é ml condiciondo se for ecessivmente sensível perturbções em seus ddos de entrd A solução de um sistem ml condiciondo, mesmo clculd com grnde precisão, pode ser pouco et Gerlmente, ess situção pode ser detectd qundo: no processo de refinmento, s correções permnecem grndes o número de condição d mtriz A for muito mior que unidde Importnte: Resíduos pequenos não grntem qulidde de um solução A precisão d máquin influi no condicionmento do sistem Há sistems lineres em que o processo de refinmento converge pr um solução, ms mtriz A tem um número de condição grnde (por eemplo, d ordem de ou ). Nestes csos, o sistem está próimo de ser ml condiciondo, ou sej, solução encontrd pode não ser confiável...

Outr form de ver Eliminção de Guss Outr form de ver Eliminção de Guss...... Consideremos o sistem de equções A b: Após primeir fse d Eliminção de Guss: m m M onde A M A ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,. Após segund fse d Eliminção de Guss: m M onde A M A ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,.

Outr form de ver... Resumindo: A A () A () M ().A () M ().A A () M ().A () M ().M ().A A (M ().M () ) -.A () A (M () ) -.(M () ) -.A () É fácil comprovr que: () () ( M ) ( M ) m m m Portnto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A m L. U ( ) m m

Decomposição LU A comprovção nterior pode ser generlizd pr mtrizes de ordem n, em um Teorem m n m n m n K Dd um mtriz qudrd de ordem n, sej A k mtriz constituíd ds primeirs k linhs e coluns de A. Suponh que det(a k ), k n. Então: Eiste um únic mtriz tringulr inferior L(m ij ), com m ii, i n. Os demis são os multiplicdores d Eliminção de Guss Eiste um únic mtriz tringulr superior U(u ij ), tis que L.U A det(a) u.u.....u nn K u nn

Decomposição LU Resolução do Sistem Portnto, ddos o sistem liner A b e decomposição (ou ftorção) LU d mtriz A, temos: A b (L.U) b Chmndo U y, o sistem originl pss ser Ly b, ou sej, surgem dois sistems tringulres Por outro ldo, é fácil verificr que y L -.b é o vetor b cumulndo s operções d Eliminção de Guss Por eemplo, no cso de um sistem com equções: Como L (M () ) -.(M () ) -, então L - M ().M () Portnto, y M ().M ().b Vntgem d decomposição A L.U: um vez clculds s mtrizes L e U (em tempo cúbico), resolvemos mis rpidmente (em tempo qudrático) outros sistems com mesm mtriz A. Isso é útil, por eemplo, no refinmento por resíduos

Eemplo Eemplo + + + + + + multiplicdores A L U Tempo cúbico

Eemplo Eemplo + + + + + L U A b LU b y y y y y y + + + 5 y 5 5 + + + Ly b U y Tempo qudrático

Outr plicção - Invers A decomposição LU tmbém é útil no cálculo d mtriz invers Resolver o sistem AX B, onde A, X e B são mtrizes de ordem n, é o mesmo que resolver n sistems A b, onde e b são vetores de tmnho n A invers A - d mtriz A pode ser encontrd trvés d resolução do sistem AX I, onde I é mtriz identidde Nesse cso, bst relizr um únic vez decomposição LU d mtriz A, e depois utilizá-l n resolução de n sistems

Decomposição LU com pivotemento Decomposição LU com pivotemento É possível incorporr s estrtégis de pivotemento prcil ou completo à decomposição LU Um mtriz qudrd P de ordem n é um mtriz de permutção se for obtid d correspondente mtriz identidde trvés de permutções em sus linhs ou coluns As eventuis permutções de linhs ou coluns n mtriz A (k), obtid em um psso intermediário d Eliminção de Guss, podem ser relizds trvés d multiplicção por um mtriz de permutção Eemplo: 5 6 9 5 5 6 9 5 PA k.. ) ( 5 6 9 5 A k) (

Eemplo com pivotemento prcil Eemplo com pivotemento prcil 9 + + + A ) ( A ) ( P ) (.A P A () () '() P ) ( A P A. ) ( ) ( ) '(

Eemplo com pivotemento prcil Eemplo com pivotemento prcil 8 5 A ) ( L U L 8 5 U L.U A P.A, onde P P ().P () : PA A.. ' A b PA Pb LU Pb

Eemplo com pivotemento prcil Eemplo com pivotemento prcil 9 + + + L 8 5 U A b LU Pb 5 y 9 y y y.. 5. 58 Ly Pb U y

Algoritmo Decomposição LU com pivotemento prcil em um sistem de ordem n Síd: mtriz D L+U-I e mtriz de permutção P LUPivotPrcil { D A mtriz de ordem n P I identidde de ordem n pr j té n- { q j m d jj pr kj+ té n { se d kj > m então { m d kj q k } Escolh do pivô \\ continu...

Algoritmo (continução) continução LUPivotPrcil { } se q j então { pr k té n { t d jk d jk d qk d qk t } trocr linhs q e j em P!! se d jj então prr (A é singulr) senão { r djj pr ij+ té n { } } } return D, P m d ij.r d ij m pr kj+ té n d ik d ik m.d jk Troc ds linhs q e j ( q é linh do novo pivot) Eliminção Compleidde de tempo: O(n )

MtLb No MtLb 7.8 (9), os números reis são rmzendos em 6 bits (precisão dupl d IEEE), ou sej, possuem 6 dígitos decimis A\b Vetor colun com solução do sistem liner A b inv(a) Invers d mtriz A [L,U] lu(a) Mtrizes L e U recebem decomposição LU d mtriz A, usndo pivotemento prcil, onde L cumul permutção [L,U,P] lu(a) Idem, retornndo tmbém mtriz de permutção P tl que P.A L.U linsolve(a,b) Vetor colun com solução de A b, usndo LU com pivotemento prcil cond(a,) Número de condição d mtriz A ( : norm colun ; Inf: norm linh)

Mtrizes Especiis Há mtrizes especiis que tem métodos de resolução mis eficientes que LU, dois eemplos são: Mtrizes de Bnd Algoritmo de Thoms Mtrizes Simétrics Vejmos um método especil pr Mtrizes Simétrics: Ftorção de Cholesky

Ftorção de Cholesky A ftorção de Cholesky é plicável pens um tipo prticulr de mtriz, mtriz simétric e definid positiv Um mtriz é dit simétric, se pr todo i e j Um mtriz é dit definid positiv, isto é se os determinntes ds submtrizes principis forem todos positivos. Formlmente: sej A k mtriz constituíd ds primeirs k linhs e coluns de A. Se det(a k ) >, k n. então A é definid positiv Se plicável, ftorção de Cholesky é muito mis eficiente que ftorção LU

Ftorção de Cholesky Se A é simétric e definid positiv, el pode ser ftord em um produto d mtriz g e su trnspost, tl que: Observe que det(a) poderi ser fcilmente clculdo pelo produtório de g ii

Ftorção de Cholesky Aplicndo o produto, obtem-se:

Ftorção de Cholesky

Eemplo Logo, conclui-se que pode-se decompor A

Eemplo

Eemplo Como resolver o sistem Ab usndo ftorção de Cholesky? Temos: A G.G t Ab G.G t b Gy b e G t y

Pr pensr em cs Dd um mtriz A com determinnte não zero ms que sej não simétric e definid positiv Seri possível chr um sistem equivlente Seri possível chr um sistem equivlente Ab, onde mtriz de coeficientes fosse simétric e definid positiv?

Métodos itertivos Como foi inicilmente comentdo, os métodos itertivos pr resolução de sistems lineres consistem em encontrr um sequênci de proimções sucessivs Dd um estimtiv inicil (), clcul-se sequênci (), (), ()..., té que determindo critério de prd sej stisfeito O sistem A b é trnsformdo em (k) C (k-) + g, k>, onde C é um mtriz e g um vetor Possíveis critérios de prd: máimo erro bsoluto ou reltivo número de iterções Principis métodos: Guss-Jcobi e Guss-Seidel

Método de Guss-Jcobi Considere o sistem liner em su form inicil: + +... + n n nn n b n Isolndo i-ésim incógnit n i-ésim equção: (b - -... - n n ) (b - -... - n n )... n (b n - n -... - n,n- n- ) nn

Método de Guss-Jcobi iterção clculd iterção nterior Dess form, sej (k) C (k-) + g, onde k>: C n M nn M n nn O L n M g b b b n M nn Eemplos de critérios de prd: Erro bsoluto: d (k) má i n i (k) i (k-) < ε Erro reltivo: d r (k) d (k) (má i n i (k) ) < ε

Eemplo + + 5 + + 7 + 8 + 6 C 5 5 5 g 7 85 6 ε,5 ),7,6,6 ( g escolh rbitrári ( ) C ( ) + g, 96 86,, 9 () (),6 () (),6 d r (),(má i () ),88 > ε () (),

Eemplo Eemplo 5 5 5 C 6 5 8 7 g 9 86 96,,, ) ( 978, + 966 98 978 g C,,, ) ( ) ( d r (),,98,66 > ε d r (),,9888,6 < ε + 998 9888 999 g C,,, ) ( ) (

Critério ds linhs Em um método itertivo, convergênci pr solução et não é grntid: é preciso que o sistem stisfç lguns requisitos Há um condição suficiente pr convergênci do Método de Guss-Jcobi, conhecido como o critério ds linhs : n j j i ij < ii, pr i,,...,n

Eemplos Considere o eemplo nterior: + + 5 + + 7 + 8 + 6 + < + < 5 + < Grnti de convergênci Considere o eemplo bio: + < Não há grnti de convergênci No entnto, o método de Guss-Jcobi converge neste sistem pr solução et. Verifique! Isso mostr que o critério ds linhs é suficiente, ms não necessário

Demonstrção Sejm: * [,,..., n ] T : solução et de A b (k) [ (k), (k),..., (k) n] T : k-ésim proimção de * e (k) (k) *: erro n k-ésim proimção Queremos grntir que lim k e (k) i, i n Sbemos que: * (b - ( * + * +... + n * n )) (k) (b - ( (k-) + (k-) +... + n (k-) n) Clculndo e (k) (k) *, temos: e (k) -( e (k-) + e (k-) +... + n e (k-) n) Anlogmente: e (k) -( e (k-) + e (k-) +... + n e (k-) n) e (k) n -( n e (k-) + n e (k-) +... + n(n-) e (k-) n-) nn

Demonstrção (continução) Sejm: E (k) má i n { e (k) i } α i ( i +... + i(i-) + i(i+) +... + in ) ii, i n Qundo o critério ds linhs é stisfeito, α i < Qundo k, (k) * é equivlente E (k) Demonstrremos que E (k) α.e (k-), onde α má i n {α i } Pr i n: e (k) i -( i e (k-) +... + i(i-) e (k-) i- + i(i+) e (k-) i+ +... + in e (k-) n) ii e (k) i ( i. e (k-) +... + i(i-). e (k-) i- + i(i+). e (k-) i+ +... + in. e (k-) n ) ii e (k) i ( i +... + i(i-) + i(i+) +... + in ).E (k-) ii e (k) i α i.e (k-) Portnto, E (k) α.e (k-) Consequentemente, E (k) E (k-) α Como α<, então E (k) qundo k : há convergênci!

Mis um eemplo Considere o sistem seguir: 5 + 6 + + + 8 + 6 + > 5+ > 6 < 8 Não há grnti de convergênci No entnto, um permutção entre s dus primeirs linhs grnte convergênci: 5 6 + + + < 5 + + 8 + 6 + < 6 < 8 Grnti de convergênci Qundo o critério ds linhs não for stisfeito, convém tentr um permutção de linhs eou coluns

Método de Guss-Seidel Anlogmente o Método de Guss-Jcobi, clcul-se (k) C (k-) + g: C M n nn M n nn O L M g b b M b n nn (k) No entnto, utiliz-se no cálculo de : vlores d iterção nterior: (k) i+,..., vlores clculdos n mesm iterção: i (k) n (k) (k),..., i

Eemplo Eemplo ) ( ε,5 6 6 5 5 + + + + + +,, Processo itertivo: (k) (k) (k) ) (k (k) (k) ) (k ) (k (k),5,5,5,75,5,,,5,5,5,75 C,5 g

Eemplo (k) (k) (k),5 Primeir iterção:,5, (k) (k),75 (k),5, (k) (k),5 (k) ( ) ( ) ( ) 5,, 75., 75, 5., 5., 75, 875 ( ), 75, 875 () () () (),75 d r () (má i () ) > ε () (),875

Eemplo (k) (k) (k) Segund iterção:,,5,5 (k) (k),75 (k),5, (k) (k),5 (k) ( ) ( ) ( ),., 75,.(, 875), 5 5,, 75., 5 5,.(, 875), 5., 5, 5., 95, 9875, 95, 5 ( ) 95,, 9875 () (),5 () (), d r (),(má i () ),95 > ε () (),5

Eemplo (k) (k) (k),5 Terceir iterção:,5, (k) (k),75 (k),5, (k) (k),5 (k) ( ) ( ) ( ),., 95,.(, 9875), 75 5,, 75., 75 5,.(, 9875), 5., 75, 5., 99, 999, 99, 75 ( ), 99, 999 () (),75 () (), d r (),(má i () ),9 < ε () (),8

Critério de Sssenfeld Sejm os seguintes vlores: β i ii β n j j i n β + ij j j j i+ ij, pr < i n β má {β j }, j n Se β <, então o Método de Guss-Seidel ger um sequênci convergente, qulquer que sej () Qunto menor for β, mis rápid será convergênci

Eemplo +, 6, +,,, 6 + +,, 7, 8,, +, +, 8 +,, +, β ( +, +,),7 β (,6.,7 +,6 +,), β (,.,7 +,., +,),58 β (,.,7 +,., +,8.,58),76 β,7 <

Demonstrção Sejm: * [,,..., n ] T : solução et de A b (k) [ (k), (k),..., (k) n] T : k-ésim proimção de * e (k) (k) *: erro n k-ésim proimção Queremos grntir que lim k e (k) i, i n No método de Guss-Seidel, podemos consttr que: e (k) -( e (k-) + e (k-) +... + n e (k-) n) e (k) -( e (k) + e (k-) +... + n e (k-) n) e (k) n -( n e (k) + n e (k) +... + n(n-) e (k) n-) nn Sejm: E (k) má i n { e (k) i } β ( + +... + n ) β i (β. i +... + β i-. i(i-) + i(i+) +... + in ) ii, <i n

Demonstrção (continução) Qundo k, (k) * é equivlente E (k) Demonstrremos por indução no índice i ( i n) que E (k) β.e (k-), onde β má i n {β i } Bse (i): e (k) (. e (k-) +. e (k-) +... + n. e (k-) n ) e (k) [( + +... + n ) ].má i n { e (k-) i } e (k) β.e (k-) β.e (k-) Hipótese (<i n): e (k) i- β i-.e (k-) β.e (k-) Psso (<i n): e (k) i ( i. e (k) +... + i(i-). e (k) i- + i(i+). e (k-) i+ +... + in. e (k-) n ) ii e (k) i ( i.β +... + i(i-).β i- + i(i+) +... + in ).E (k-) ii e (k) i β i.e (k-) β.e (k-) Portnto, E (k) E (k-) β Como β<, então E (k) qundo k : há convergênci!

Eemplos Considere o sistem bio, nteriormente visto: + β β β (. ) Não há grnti de convergênci No entnto, o Método de Guss-Seidel converge neste sistem pr solução et. Verifique! Isso mostr que o critério de Sssenfeld, como o critério ds linhs, é suficiente, ms não necessário Considere outro sistem: 6 + 8 β β ( 6., ) β, <,, Neste cso, o critério de Sssenfeld grnte convergênci, ms o critério ds linhs, não...

Relção entre os critérios Se um sistem stisfz o critério ds linhs, então tmbém stisfrá o critério de Sssenfeld Demonstrção: Sej α má i n {α i } <, onde α i ( i +... + i(i-) + i(i+) +... + in ) ii Vmos provr por indução em i que β i α i <, i n Bse (i): β ( + +... + n ) α < Hipótese (<i n): β i- α i- < Psso (<i n): β i (β. i +... + β i-. i(i-) + i(i+) +... + in ) ii β i ( i +... + i(i-) + i(i+) +... + in ) ii α i < Portnto, α < β < A volt nem sempre é verddeir...

Considerções finis Tnto o critério ds linhs como o critério de Sssenfeld são condições suficientes pr convergênci, ms não necessáris Em sistems esprsos (com grnde número de coeficientes nulos), o Método d Eliminção de Guss não é proprido, pois não preserv est vntjos qulidde. Nesses csos, convém utilizr métodos itertivos Os métodos itertivos são menos suscetíveis o cúmulo de erros de rredondmento

Métodos diretos versus itertivos Convergênci Diretos: não fz sentido considerr ess questão, pois clculm solução et Itertivos: ocorre sob determinds condições Esprsidde d mtriz de coeficientes Diretos: lterm estrutur d mtriz Itertivos: utilizm sempre mtriz inicil Erros de rredondmento Diretos: ocorrem cd etp e cumulm-se Itertivos: somente os erros d últim etp fetm solução