MESTRADO EM CONTROLADORIA E CONTABILIDADE Turm de Belo Horizonte MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À CONTABILIDADE Professor: L João Corrr Alun: Náli de Arújo Sntos ÁLGEBRA MATRICIAL Ojetivos do Aprendizdo Após terminr leitur deste cpítulo, o luno deverá ser cpz de: Definir mtriz e indicr os tipos prticulres de mtrizes 2 Indicr s circunstâncis em que são úteis s álgers mtriciis 3 Solucionr prolems que envolvm cálculos mtriciis 4 Indicr os métodos pr oter determinnte de mtriz 5 Clculr mtriz invers 6 Clculr mtrizes utilizndo Excel Sumário Introdução 2 Definição de Mtriz 3 Mtrizes Especiis 4 Adição e Sutrção de Mtrizes 5 Multiplicção de Mtrizes 7 Determinnte de Mtriz 8 Mtriz Invers 9 Cálculo de mtriz no Excel (cso prático) Conclusão Prolems Propostos 2 Glossário 3 Biliogrfi - Introdução Algums nálises econômics supõem-se que estejm relcionds por conjuntos de equções lineres A solução deste prolem será utilizção d álger mtricil, já que em muitos csos solução lgéric convencionl seri extremmente difícil Este cpitulo pretende trlhr com s possiiliddes de utilizção d álger mtricil n solução de prolems do di di e de sistems lineres
2 2 - Definição de Mtriz Mtriz definiu-se como sendo um tel retngulr de números, n qul cd elemento d linh i e colun j são representção destes números reis Chm-se mtriz tipo m x n (lê-se m por n ) tod tel de números dispostos em m linhs e n coluns, ests são representds entre prênteses ( ), entre colchete [ ] ou entre rrs dupls, como exemplo genérico ixo: A m x n = 2 2 22 m2 n 2n mn A m x n = 2 2 22 m2 n 2n mn Por convenção ij o elemento posiciondo n linh i e colun j de um mtriz A Exemplo: N mtriz A2x2 = 5 3 6 4, temos que: O número 5 está posiciondo n linh e colun ; indic-se esse elemento por = 5; O 3 está posiciondo n linh e colun 2; indic-se esse elemento por 2 = 3; Anlogmente temos 2 = 6 e 22 = 4 Um mtriz que tem um únic colun, ou sej, mtriz m x, é chmd vetor-colun, e é representd ssim: u u2 U = um Anlogmente, um mtriz que tem um únic linh, ou sej, mtriz x n, é chmd de vetor-linh, e é ssim representd: V = (v, v2,, vn) 3 - Mtrizes Especiis Mtriz qudrd é quel cujo número de linhs é igul o número de coluns 3 4 6 Exemplo: A3 x 3 = - 4 é um mtriz qudrd de ordem 3 2 3
3 Num mtriz qudrd A de ordem n, os elementos ij tis que i = j formm digonl principl d mtriz, e os elementos ij tis que i + j = n + formm digonl secundári Assim: 2 3 A = 2 22 23 3 32 33 Digonl secundári Digonl principl Note: que n digonl principl os elementos ij possuem i = j:, 22 e 33 e n digonl secundári os elementos ij são tis que i + j = 3 + : 3, 22 e 3 Mtriz digonl é um mtriz qudrd, cujos elementos que não pertencem à su digonl principl são todos nulos, ssim: A = nn Aij = pr i j Aij pr lgum i = j, pelo menos Exemplo: 2 4 e 7 2 Mtriz identidde é um mtriz digonl, cujos elementos que compõe su digonl principl são todos iguis um; e é quel que se indic por In, conhecid como mtriz identidde de ordem n:, se i = j In = (ij) n x n tl que ij =, se i j Oserve definição e verifique, que: mtriz identidde de ordem é I = (); mtriz identidde de ordem mior que terá todos os elementos d digonl principl iguis e os demis elementos iguis zero Assim: I2 = I3 =
4 Mtriz nul é um mtriz cujos elementos são todos iguis zero; e é quel que se indic por m x n = é mtriz: m x n = (ij)m x n tl que ij = ), i, j, i m Exemplos: 3 x 3 = 2 x 2 = Mtrizes trnsposts é mtriz A = (ij)m x n, que se indic por A t, mtriz: A t = (ji)n x m tl que ji = ij, i, j, i m e j n Assim, cd colun i de t é, ordendmente, igul à linh i de A Exemplo: 2 3 A3 x 2 = 6 A t 2 6 8 2 x 3 = 8 6 3 6 Oserve que o vetor-linh n-dimensionl de um trnspost é um vetor-colun n- dimensionl e, ssim, trnspost de um vetor-colun n-dimensionl é um vetor-linh n-dimensionl 4 Adição e Sutrção de Mtrizes As operções de dição e sutrção de mtrizes só serão possíveis qundo els forem d mesm ordem A dição ou sutrção de dus mtrizes m x n resultrá em outr mtriz m x n, cujos elementos são o resultdo d som ou d diferenç dos elementos correspondentes ds mtrizes; ssim, se: A mn n A = B = B C onde n mn n mn C = n mn c c c c n mn ou sej, (ij) (ij) = (cij), onde cij = ij ij pr todo i e j
5 Exemplos: O contdor precis informr o fturmento d empres nos três últimos dis, dos dois principis produtos, sendo que empres é formd pels lojs A e B, e que pelo levntmento feito: 3 A 6 5 7 3 4 e 4 B 7 8 6 4 5 mtriz A2 x 3 represent o vlor ds vends, de cd produto, nos 3 dis d Loj A mtriz B2 x 3 represent o vlor ds vends, de cd produto, nos 3 dis d Loj B Assim: 3 4 C 6 7 5 8 7 6 3 4 7 4 5 3 3 3 7 9 mtriz C é denomind de mtriz som de A e B, é mtriz C que inform o fturmento de cd produto, ns dus lojs, nos três dis solicitdos o contdor Utilizndo os ddos do exemplo nterior, o contdor tmém pode informr o desempenho d Loj A em relção à Loj B Neste cso sutrímos cd elemento de A o seu correspondente em B, Otendo: 3-7 D 6-7 5-8 7-6 3-4 4-5 3 mtriz D é denomind de mtriz diferenç de A e B Cd elemento d mtriz D inform o que Loj A vendeu mis ou menos no di, de cd modelo, do que Loj B Assim podemos dizer que o elemento = - inform que Loj A vendeu um unidde de (milhr, milhão) menos do produto, no primeiro di, do que Loj B 5 Multiplicção de Mtrizes Multiplicção de um mtriz por um esclr por definição um número rel é um esclr qundo ocorre em operções envolvendo mtrizes Assim, qundo um mtriz é multiplicd por um esclr, todos os elementos d mtriz são multiplicdos pelo esclr (número) n Exemplo: A e K é um esclr qulquer (constnte) mn então K x A k k n m xn KA m x n K( ij) m x n (kij) m x n k k mn 3 3 * 2 9 2 6 3 6
6 Multiplicção de linh por colun ocorre qundo dus mtrizes possm ser multiplicds e pr isso é preciso que o número de coluns de um ds mtrizes sej igul o número de linhs d outr mtriz Assim, só existirá o produto de A x B somente se o número de coluns de A for igul o número de linhs de B Neste cso, diz-se que s mtrizes A e B estão disposts pr multiplicção e o produto mtricil tem o mesmo número de linhs que A e o mesmo número de coluns que B Dest form, um mtriz m x n pode ser multiplicd por um mtriz n x p, A m x n C (c i k ) n mn m x p x n j n B j j j otendo ssim um mtriz m x p Então: Isto é, Exemplo: n x p j mj j j n n n 2 22 p np jjm mjjn 2 3 5 3 2 x 2 x B 2 x Oserve que o número de coluns d mtriz A é 5 3 4 igul o número de linhs d mtriz B A 3 Podemos gor definir o produto de mtrizes, multiplicndo cd elemento d linh d mtriz A o seu correspondente n colun d mtriz B, que somdos drá um elemento d mtriz C ssim: 2 * 3*3 * 5*3 2 *5 3* 4 *5 5* 4 2 *3 3* *3 5* C 6 22 25 9 8 C i k n j ij j k mtriz C tl que C = AB possui o mesmo número de linhs de A e o mesmo número de coluns de B, isto é: Am x k x B k x n = C m x n A 2 x 2 x B 2 x 3 = C 2 x 3
7 Exercício Resolvido: A empres possui loj A e B, e vende nests três tipos de produtos o, 2 e 3 Sendo que s lojs venderm mesm quntidde de cd produto, porém com preço de vend diferente Com os ddos coletdos construiremos três mtrizes A, B e C pr ser o fturmento totl de cd loj Ddos: Cd elemento ij d mtriz A indic quntidde de uniddes vendids, A = ( 2 3) Cd elemento ij d mtriz B represent o preço de vend prticdo em cd unidde do produto vendido ns lojs, 58 62 B 53 59 55 6 Cd elemento c ij d mtriz C, que será o mtriz produto de A por B, ness ordem, represent o fturmento totl d loj A e B, C = (*58 + 2*53 + 3*55 *62 + 2*59 + 3*6) C = (329 363) Oserve que todos os ddos numéricos desse fto podem ser presentdos por: 58 55 62 6 2 3 x 53 59 329 363 6 Determinnte de Mtriz Determinnte, no cso de um mtriz, é um número (esclr) conseguido dos elementos de um mtriz medinte operções especificds, que é próprio d mtriz Só existem 2 determinntes pr mtrizes qudrds Assim, o determinnte de A 2 x 2 = é 2 22 ddo por: det A = A = x 22-2 x 2 3-3 - Exemplo: A então A 3* 2 - (-3) 9 3 2 3 2 Por definição, o determinnte de mtriz 3 x 3 A = 2 3 2 22 32 3 23 33 é ddo por,
8 A = 22 33 + 2 23 3 + 3 32 2-3 32 2 3 22 3 23 32 33 2 2 ou ind utilizndo seguinte regr: os termos produtos positivos são formdos com elementos ligdos por linhs cheis e os termos produtos negtivos são formdos com os elementos ligdos por linhs pontilhds, conforme figur ixo: 2 3 2 22 32 3 23 33 Ess regr não é vlid pr mtrizes de ordem superior outr regr de cálculo de determinntes é conhecid como Srrus em que: Repetem-se s dus primeirs coluns à direit do determinnte, e em seguid multiplic-se os elementos d digonl principl e os elementos de cd prlel est, conservndo o sinl de cd produto otido; e tmém se multiplic os elementos d digonl secundári e os elementos de cd prlel ess digonl, invertendo o sinl de cd produto otido, ssim: Digonl Secundári -gec -id -hf c d e f d e g h i g h Digonl ei fg Principl cdh e dicionm-se os resultdos otidos como vimos n figur inicil; = ei + fg + cdh gec hf id Pr clculr os determinntes de mtrizes miores que ordem 3, utiliz-se do procedimento conhecido como expnsão por coftores Chm-se de coftor ou o menor sinlizdo do elemento ij d mtriz A Coftor é definido por: A ij = (-) i + j det B em que B é mtriz que se otém eliminndo-se linh i e colun j d mtriz A Exemplos: ) o coftor do elemento d mtriz A = 2 5 4 3 5 4 2 é A (-) (-) (5*3) 5 3 6 3
9 ) O coftor do elemento 2 d mtriz 2 2 3 A 3 5 4 é A2 (-) (-) (*3) - 3 3 6 3 d g Oserve definição de expnsão por coftor plicd o cálculo de um determinnte de ordem 3: c e f x A x A A 2 c x 3 h i Como: e f 2 A (-) x x (ei - hf) ei h i d f 3 A2 (-) x x (di - gf) gf g i d e 4 A3 (-) x x (dh - ge) g h - hf - di dh - ge temos que: c d e f x (ei hf) g h i x (gf - di) c x (dh - ge) ei - hf gf - di - cdh - cge 7 Mtrizes e Sistems Lineres O conjunto de equções lineres simultânes, ns mesms incógnits x, y e z, por exemplo, é chmdo de sistem liner Um sistem liner pode ser expresso em um notção mtricil Fl-se que dois vetores ou dus mtrizes são iguis pens se cd componente de um deles (ou de ums dels) for igul o componente correspondente do outro (ou d outr) Permitindo ssim que os sistems lineres sejm representdos em notção mtricil Exemplo: Sendo que um litro de álcool cust 6 centvos e que um litro de gsolin cust 8 centvos Em um mistur de um litro de álcool e gsolin cust 75 centvos Qunto de álcool contém em um litro dess mistur?
Temos dus incógnits X e Y, que representm s frções de álcool e de gsolin que compõem um litro d mistur Assim, temos: X + Y = 6X + 8Y = 75 6 X * 8 Y 75 Multiplic-se: X 6X Y 8Y 75 Antes é preciso clculr o determinnte do sistem liner pr ser se ele é: Um (SPD) sistem possível e determindo que dmite um únic solução Qundo o determinnte clculdo dos coeficientes do sistem é D, esse resultdo indic que o sistem é possível Um (SPI) sistem possível e indeterminndo que dmite mis de um solução Qundo o determinnte clculdo dos coeficientes do sistem é D =, esse resultdo indic que o sistem tem dus lterntivs; ou o sistem é possível e indetermindo ou é impossível E, um (SI) sistem impossível que não dmite solução lgum o seu determinnte será igul zero Então: D = *8 6* = d = 2 Como D, concluímos que o sistem é possível e determindo 8 Mtriz Invers A mtriz invers é utilizd n resolução de sistems lineres e em outrs plicções, e é definid por: AB = BA = I n isto é, um mtriz qudrd A n x n existi outr B n x n, tl que o seu produto sej mtriz identidde de tmnho n Exemplo: As mtrizes 3 A 5 2 e 2 B - - 5 3 são inverss entre si, pois: 3 A x B 5 2 x 2 - - 5 3 2 I e B x A - - 5 3 x 3 5 2 2 I2 Logo, B = A - ou ind A = B -
Um mtriz qudrd A n x n é inversiv somente se det A Mtrizes inverss têm determinntes inversos, ou sej, se um mtriz A tem determinnte igul 3, invers de A tem determinnte igul 3 - det A Exercício Resolvido: det A Verificr se mtriz 2 A 3 5 9 é inversiv: A mtriz A é inversiv somente se det A Clculndo det A, temos: 2 5 2 *9-3*5 3 como det A, temos que A é inversiv 3 9 Cálculo d mtriz invers utiliz se o seguinte teorem pr fcilitr o cálculo d invers de um mtriz: Se A e B são mtrizes qudrds de mesm ordem n e AB = In, então A e B são inversivs e B = A - ou ind, A = B - Assim; demonstr-se primeirmente: det A e det B em seguid, B = A -, ou, ind, A = B - Primeiro psso: AB = In det(ab) = det In, pelo teorem de Binet e pelo fto de det In =, temos det A det B = Logo, det A e det B Portnto A e B são inversivs Segundo psso: temos por hipótese que AB = In Multiplicndo mos os memros dess iguldde por A - ( esquerd de cd memro), temos que: A - (AB) = A - * In (A - * A) B = A - * In In * B = A - * In B = A - concluímos então A e B são mtrizes inverss entre si Exercício Resolvido: Determinr se existe invers d mtriz A, resolução clculndo det A, 3 2 temos * 2-3* 2 como det A, temos que existe A - A mtriz A - tem o 3 2 mesm ordem de A, isto é, A - = c d
2 Assim: c d x 3 2 3 c 3d 2 2d + 3 = (I) 2 = = (II) c + 3d = (III) 2d = d = (IV) 2 Sustituindo (II) em I, temos + 3* = = = 3 Sustituindo (IV) em III, temos: c + 3 * = c = 2 2 Logo, A - - 3 2 2 9 Cso Prático de Álger Mtricil usndo o Excel Atulmente temos recursos computcionis que fcilitrm o cálculo de mtriz Nest fse, será visto técnic dotd pr lguns cálculos de mtrizes utilizndo ferrment d Plnilh de Cálculo Excel, versão 7, cujos pssos e procedimentos serão menciondos e explicdos em cd etp d elorção dos cálculos do cso prático O nosso prolem é locção(distriuição) de custos pelo método recíproco, sendo que este método é utilizdo pr locr os deprtmentos de produção, de um empres, os custos dos deprtmentos de serviços, usndo técnic d álger mtricil e os recursos computcionis do Excel No cso, ser resolvido, empres tem no seu processo produtivo 4 deprtmentos, sendo 2 de serviços e 2 de produção A tel ixo inform os percentuis de distriuição de custos entre os deprtmentos, que form otidos em função ds ses de rteio estelecids, como tmém os deprtmentos de serviços, Administrção e Vend, e os de produção, Montgem e Acmento: PARA DE Administrção Vends Administrção % Vends 2% Montgem 4% 4% Acmento 4% 5%
3 Os Custos diretos dos deprtmentos ntes d locção: Administrção R$ 5, Vends R$ 57, Montgem R$ 23, Acmento R$ 53, TOTAL= R$ 545, º PASSO: Mont-se no Excel um mtriz qudrátic (mesmo número de linhs e coluns), com se no qudro de percentuis de distriuição de custo, onde não há percentul pré-fixdo terão o vlor zero, porque os deprtmentos de produção não distriuem custos MATRIZ INICIAL QUADRÁTICA Administrção Vends Montgem Acmento Administrção, Vends,2 Montgem,4,4 Acmento,4,5 2º PASSO: Mont-se ixo d mtriz qudrd um mtriz identidde (os elementos d digonl principl é o número e os demis iguis o número ), com o mesmo número de linhs e coluns d mtriz formd nteriormente MATRIZ IDENTIDADE Administrção Vends Montgem Acmento Administrção Vends Montgem Acmento 3º PASSO: Cri-se um nov mtriz que é mtriz diferenç entre mtriz identidde e mtriz qudrd originl Pr isso, insir fórmul de sutrção em um célul ixo que estej vzi, utilizndo s regrs de dição e sutrção de mtrizes, proposts neste trlho A formul inserid n célul ficri ssim; = B A, no Excel fic, = B27 B8 A letr B inform colun d plnilh e o número à linh Ns céluls restntes utilize os recursos de copir e colr, o resultdo será o seguinte: NOVA MATRIZ (MATRIZ DIFERENÇA) Administrção Vends Montgem Acmento Administrção -, Vends -,2 Montgem -,4 -,4 Acmento -,4 -,5 Este psso é necessário, porque é dess mtriz que derivrão os demis cálculo 4º PASSO: Bsedo n nov mtriz clcul-se su mtriz invers Mrque com o cursor áre que será impress mtriz invers, e clicndo no uxilir de função f(x), escolh ctegori d função Mtemátic e Trigonométric, e clique no nome d função Mtriz
4 inverso Será solicitd mtriz que é mtriz diferenç, selecione-, e confirme com um OK; e n seqüênci, perte tecl F2, e logo pós pressione s tecls Control Shift Enter simultnemente, ssim n áre seleciond previmente precerá mtriz invers clculd MATRIZ INVERSA Administrção Vends Montgem Acmento Administrção,24863,24 Vends,248633,248 Montgem,48979598,44898 Acmento,52482,552 5º PASSO: Cri-se um nov mtriz contendo os vlores serem locdos e está será multiplicd pel mtriz invers clculd nteriormente Primeirmente, selecione áre pr nov mtriz produto d multiplicção, em seguid proced como no cálculo d mtriz invers escolhendo função Mtriz Mult, neste cso áre d mtriz invers já clculd será seleciond como Mtriz ; e pr Mtriz 2 informe mtriz onde const os vlores serem locdos, como ntes confirme com tecl OK, perte F2 e em seguid Control Shift Enter simultnemente Utilizndo o cálculo mtricil:,2486 3,248633,48979598,52482,24,248,44898,552 5 57 x 23 53 295,92 7959,8 372,4 23797,96 QUADRO COMPARATIVO: Administrção 5 R$ 295,92 Vends 57 R$ 7959,8 Montgem 23 R$ 372,4 Acmento 53 R$ 23797,96 Oserve som dos deprtmentos de produção: (372,4 + 23797,96) = 545, Otêm-se os vlores de todos os deprtmentos, ms somndo os de produção verificse que o vlor otido é de R$ 545,, o mesmo vlor totl dos custos serem locdos ddos nteriormente Percee-se que, trvés d plicção d álger mtricil e dos recursos computcionis, foi possível rter o totl dos custos fixos entre os deprtmentos de produção No cso estuddo form poucos deprtmentos, ms estrutur de um empres possui muito mis deprtmentos, que os recursos computcionis poderá gilizr o processo de clcul ds mtrizes
5 Conclusão Emor não sej o único instrumento pr resolver prolems, pode-se concluir que álger mtricil é um ferrmentl importnte n resolução de sistems lineres e cálculos que envolvm grnde quntidde de ddos Prolems Propostos (resposts estão no rquivo do excel) - Um empres produz cinco produtos, numerdos de 5 Esses produtos exigem certo tempo de processmento em cd um dos três deprtmentos A, B e C item lev um hor no depto A, dus hors em B e um hor em C item 2 lev dus hors no depto A e C e um hor no B item 3 lev dus hors em cd deprtmento item 4 gst,5 hor em A, três em B e dus hors em C O item 5 gst um hor em A, qutro hors em B e três hors em C Os custos de processmento nos deprtmentos A, B e C são respectivmente $ 8,, $ 7,5 e $ 9, Utilize métodos mtriciis pr encontrr: ) O custo de cd item ) As necessiddes dos deprtmentos se demnd diári é de 5 pr o item, pr o item 2, 5 pr o item 3, 5 pr o item 4 e pr o item 5 c) O custo totl diário 2 - A empres tem no seu processo produtivo 4 deprtmentos, sendo 2 de serviços e 2 de produção O nosso prolem é locção(distriuição) de custos pelo método recíproco, sendo que este método é utilizdo pr locr os deprtmentos de produção, de um empres, os custos dos deprtmentos de serviços, usndo técnic d álger mtricil: A tel ixo inform os percentuis de distriuição de custos entre os deprtmentos, que form otidos em função ds ses de rteio estelecids, como tmém os deprtmentos de serviços, Administrção e Vend, e os de produção, Montgem e Acmento: PARA DE Administrção Vends Administrção 2% Vends 3% Montgem 3% 3% Acmento 4% 5% Os Custos diretos dos deprtmentos ntes d locção: Administrção R$ 25, Vends R$ 67, Montgem R$ 33, Acmento R$ 253, TOTAL= R$ 855,
6 2 Glossário Deprtmento de produção são os que tum sore os produtos e tem seus custos propridos diretmente estes Deprtmento de serviços são os que não tum diretmente no processo produtivo, este prest serviços os deptº de produção e seus custos não são propridos diretmente os produtos, ms são trnsferidos pr os deptº de produção que se eneficim deles Equção liner é um equção de º gru que possui um ou mis incógnits Sistem liner é o conjunto de equções lineres simultânes ns mesms incógnits Mtriz som é mtriz resultdo d som de dus mtrizes d mesm ordem Mtriz diferenç é mtriz resultdo d sutrção de dus mtrizes d mesm ordem Mtriz produto é mtriz resultdo d multiplicção de dus mtrizes de linh por colun Esclr é um número rel que se envolve ns operções com mtrizes Determinnte em mtriz é um esclr otido dos elementos dest, medinte operções especifics 3 Biliogrfi - WEBER, J E, Mtemátic pr Economi e Administrção 2º ed Ano 986, Ed Hrr, São Pulo - SHAMBLIN, JE, STEVENS, GT, Pesquis Opercionl: um Aordgem Básic Pág 44 66 - BRANDT, V A, Álger Mtricil Aplicd à Contilidde de CustosRevist Ciênci Empres UNIPAR, v, n: jn/jun, 2 - PAIVA, M, Mtemátic º ed Ano 999, Ed Modern, São Pulo