2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs. Definição 2.4. Define-se L 1 (µ) o conjunto de tods s funções complexs mensuráveis f : C tis que f <. Observção 2.27. Segue d Proposição 2.7 que f : [0, [ é um função mensurável. Logo, fz sentido f. Um função f L 1 (µ) diz-se um função integrável em no sentido de Lebesgue, reltivmente à medid µ. Neste cso, tomndo f = u + iv, onde u, v : R são funções mensuráveis, define-se o integrl de Lebesgue d função complex f em, reltivo à medid µ como sendo o número f dµ = u + dµ u dµ + i v + dµ i v dµ onde u +, v + e u, v são prte positiv e negtiv de u, v respectivmente. Note-se que f é integrável em sse u± dµ e v± dµ são finitos. Teorem 2.28 (Proprieddes). Sejm f, g L 1 (µ) e α, β C. ntão 1. αf + βg L 1 (µ). 2. (αf + βg) dµ = α f dµ + β g dµ. 3. f dµ f dµ. Demonstrção. Deix-se como exercício. Observção 2.29. L 1 (µ) é um espço liner. xemplo 2.30. Tome-se o espço de medid (R, B(R), µ) onde µ é medid de contgem. Considere-se o Borelino = { 2, 1, 1, 2} e g : R R função mensurável g(x) = x. ntão, pel definição de integrl de Lebesgue g dµ = g + dµ g dµ = χ g + dµ χ g dµ. 27
Note-se que χ g + é um função simples, de fcto χ g + = g + ( 2)χ { 2} + g + ( 1)χ { 1} + g + (1)χ {1} + g + (2)χ {2}. Logo, χ g + dµ = g + (1)µ({1}) + g + (2)µ({2}) = 1 1 + 2 1 = 3. De mneir nálog tem-se χ g dµ = 3. Logo, g dµ = 0. Como já menciondo nteriormente, do ponto de vist d teori d medid e integrção, os conjuntos de medid nul são desprezáveis. De fcto, se f = g excepto num conjunto de medid nul N então f dµ = g dµ. Portnto, diz-se que um função f stisfz propriedde (P) quse certmente (q.c.) em se f stisfizer ess propriedde pr todos os pontos em à excepção de um conjunto de medid nul. Teorem 2.31. Sej (, F, µ) um espço de medid. ntão 1. Se f : [0, ] é mensurável e f dµ = 0 pr lgum F então f = 0 q.c. em. 2. Se f L 1 (µ) e f dµ = 0 pr todo F então f = 0 q.c. em. Demonstrção. 1. Tome-se o conjunto mensurável n = {x : f(x) 1/n}. ntão 0 = f dµ n f dµ n 1/n dµ = µ( n )/n. Logo µ( n ) = 0. Um vez que µ( n n) = 0, segue que f > 0 pr um conjunto de medid nul, ou sej, f = 0 q.c. 2. Deix-se como exercício. 2.5 Integrl de Lebesgue-Stieltjes Num secção nterior, construirim-se medids de Lebesgue-Stieltjes em R, isto é, dd um função de distribuição F existe um espço de medid completo (R, M F, m F ) onde m F é designd por medid de Lebesgue-Stieltjes. Tome-se um função g : R R mensurável reltivmente à σ-álgebr M F. Ao integrl de g reltivmente à medid m F design-se por integrl de Lebesgue-Stieltjes e é usul escrever-se g dm F = g df. 28
2.6 Teorem d convergênci domind No contexto ds funções mensuráveis não negtivs o teorem d convergênci monóton grnte que pr um sucessão de funções que convergem monotonmente pr um função então o integrl d função limite é igul o limite dos integris ds respectivs funções. Nest secção enuncimos um teorem semelhnte o d convergênci monóton. O teorem que se segue, estbelece um conjunto de condições suficientes pr se proceder à troc de limites com integrl qundo s funções integrr tomm vlores complexos. Teorem 2.32 (d convergênci domind). Sej f n : C um sucessão de funções mensuráveis e g : [0, ) um função integrável, isto é g L 1 (µ), tl que pr todo n 1 se tem f n g. Se f = lim n f n então f L 1 (µ) e lim f n dµ = f dµ. Demonstrção. Tomndo prte rel e imginári, pode-se supor que f n e f são funções reis. Logo g f n g. Como f = lim n f n temos que f é mensurável e g f g. Aplicndo o lem de Ftou à sucessão f n + g 0 obtém-se f + g dµ lim inf f n + g dµ. Segue do fcto de g ser integrável que f dµ lim inf f n dµ. Aplicndo mis um vez o lem de Ftou, ms gor à sucessão g f n 0, obtém-se g f dµ lim inf g f n dµ, ou escrito de form equivlente lim sup f n dµ f dµ. xercício 34. Considere-se o espço mensurável (, P()). Sej A = {x 1, x 2, x 3,...} um subconjunto numerável de e µ : P() [0, ] seguinte função µ() = x i α i, onde α i, i = 1, 2,... são números reis não negtivos. Mostre que 29
1. µ é um medid, designd por medid discret. 2. µ = i=1 α iδ xi onde δ xi é medid de Dirc. 3. Dd um função mensurável f : [0, ], f dµ = f(x i )α i. x i 2.7 Relção com integrl de Riemnn Nest secção relcionmos o integrl de Riemnn com o recém definido integrl de Lebesgue. Relembremos o conceito de integrl de Riemnn. Sej f : [, b] R um função rel limitd onde < b. Um prtição do intervlo [, b] é um conjunto finito P = { 0, 1,..., n } onde = 0 < 1 <... < n = b. Dd um prtição P pode-se definir s soms inferior e superior de Riemnn d função f reltivs à prtição P, Σ(f, P ) = n m i ( i i 1 ) e Σ(f, P ) = i=1 n M i ( i i 1 ), onde m i = inf {f(x) : i 1 < x < i } e M i = sup {f(x) : i 1 < x < i }. Um vez que f é limitd estes números existem. Por fim define-se b b i=1 f = inf { Σ(f, P ) : P é um prtição de [, b] }, f = sup {Σ(f, P ) : P é um prtição de [, b]}. Finlmente, diz-se que f é integrável à Riemnn sse b f = b e é comum denotr-se este número por b f(x) dx. O seguinte teorem permite relcionr o integrl de Riemnn com o integrl de Lebesgue. Teorem 2.33. Sej f : [, b] R um função limitd. Se f for integrável à Riemnn então f é integrável reltivmente à medid de Lebesgue e os integris coincidem, b f(x) dx = f dm. [,b] f 30
Demonstrção. Ver demonstrção em [1]. xemplo 2.34. 1. Se f : [, b] R é contínu então é integrável à Riemnn. Pr lém disso, se tiver um primitiv, isto é, existir um função F : [, b] R tl que F = f então F (b) F () = b f(x) dx. 2. Há funções simples que não são integráveis à Riemnn, como é o cso d função crcterístic χ Q : [0, 1] R. De fcto, Σ(χ Q, P ) = 0 e Σ(χ Q, P ) = 1 pr tod prtição P. Logo 1 0 χ Qq 1 0 χ Q. xemplo 2.35. Considere-se medid de Borel m no espço mensurável ([0, 1], B([0, 1]) e seguinte sucessão de funções reis f n (x) = n sin x 1 + n 2 x 1/2 n = 1, 2,... pr x [0, 1]. É clro que lim n f n = 0. Pr concluir que lim n [0,1] f n dm = 0 bst, usndo o teorem d convergênci domind, encontrr um função integrável g 0 tl que f n g. Mjorndo f n obtém-se n sin x 1 + n 2 x 1/2 n 1 + n 2 x 1/2 1 nx 1/2 1 x 1/2. 1 Por outro ldo, é integrável à Riemnn no intervlo [0, 1]. Logo x 1/2 f n é mjord por um função integrável (no sentido de Lebesgue). Segue do teorem d convergênci domind que lim n [0,1] f n dm = 0. xercício 35. Use o teorem d convergênci domind pr clculr x lim 1 + nx 3 dx. 1 2.8 Continuidde bsolut e Teorem de Rdon- Nikodym Sej (, F, µ) um espço de medid e f : [0, ] um função mensurável. Como foi visto, função ν : F [0, ] definid por ν() = f dµ, é um medid no espço mensurável (, F). A medid ν tem seguinte propriedde: se µ() = 0 então ν() = 0. st propriedde é de fundmentl importânci pr teori de probbiliddes como veremos dinte. 31
Definição 2.5. Sej (, F) um espço mensurável e µ, λ dus medids definids neste espço. Diz-se que λ é bsolutmente contínu reltivmente µ e escreve-se λ µ sse pr todo F tl que µ() = 0 então λ() = 0. A definição nterior diz que λ µ sse todos os conjuntos de medid nul de µ forem tmbém conjuntos de medid nul pr λ. No entnto, λ pode ter mis conjuntos de medid nul que µ. Acbámos de ver que tods medids ν construíds trvés do integrl f dµ são bsolutmente contínus reltivmente µ. A questão que se coloc é: será que tods medids bsolutmente contínus reltivmente µ podem ser obtids dess mneir? A respost est questão é dd pelo teorem de Rdon-Nikodym. Teorem 2.36 (de Rdon-Nikodym). Sejm λ e µ dus medids finits definids em (, F) tl que λ µ. ntão existe um únic função h L 1 (µ) tl que λ() = h dµ, F. Demonstrção. A demonstrção pode ser encontrd em [1]. A função h design-se por derivd no sentido de Rdon- Nikodym de λ e escreve-se formlmente h = dλ dµ. Observção 2.37. A unicidde de h no teorem de Rdon-Nikodym deve ser entendid no seguinte sentido: se f é outr função em L 1 (µ) tl que λ() = f dµ então f = h q.c. Observção 2.38. O teorem de Rdon-Nikodym é válido pr o cso mis gerl de λ e µ serem dus medids σ-finits, como é o cso d medid de Lebesgue. Um medid µ de (, F) diz-se σ-finit sse existirem conjuntos mensuráveis A n F, n = 1, 2,... tl que n=1 A n = e µ(a n ) < pr todo n = 1, 2,.... Definição 2.6. Sej (, F, µ) um espço de medid e A F. Diz-se que µ está concentrd em A sse µ() = µ( A), F. Definição 2.7. Dus medids µ e λ definids em (, F) dizem-se mutumente singulres e escreve-se µ λ sse existem dois conjuntos disjuntos A, B F tl que µ está concentrd em A e λ está concentrd em B. 32