1 O Conjunto dos Números Reais

O Conjunto dos Números Reis O primeiro conjunto numérico que considermos é o Conjunto dos Números Nturis. Este conjunto está relciondo com operção de contgem: N = {0,,, 3,...}. Admitiremos conhecids s operções usuis dição e multiplicção em N bem como os conceitos de números pres, ímpres e primos. O processo de medição de grndezs físics nos conduzirá o conjunto de números reis. Problem: Medir um segmento AB. Fixmos um segmento pdrão u e vmos chmr su medid de. Ddo um segmento AB, se u couber um número exto de vezes em AB, digmos n vezes, então dizemos que medid de AB será n. Clrmente isto nem sempre ocorre. Definição: Dizemos que um segmento AB e o segmento pdrão u são COMENSURÁVEIS se existir lgum segmento w que cib n vezes em u e m vezes em AB. Voltndo o nosso problem de medição, se o segmento AB e o segmento pdrão u forem comensuráveis, conforme definição cim, diremos que medid de AB será m n. A medid do segmento w será então n. Isto nos motiv definirmos um conjunto numérico que inclu tods ests possíveis medids. Chmremos este conjunto de Conjunto de Números Rcionis Positivos: Q + = { m n m, n N, n 0}. Alguns rcionis representm s mesms medids. Por exemplo 4 e. De fto, se existe um semento w que cbe vezes no segmento unitário então metde deste segmento cbe vezes nele e 4 vezes no segmento unitário. Vmos então dizer que = m 4. De um modo gerl dizemos que n = m n se m n = n m. Continundo com o problem d medição nos deprmos com um grnde problem. Nem sempre dois segmentos são comensuráveis. De fto, consideremos por exemplo hipotenus de um triângulo retângulo de ctetos iguis. Suponhmos que est hipotenus sej comensurável com o segmento unitário pdrão u. Então existirim nturis n e m tis que medid d hipotenus seri igul m n. Vmos supor que m e n sejm primos entre si, isto é, é impossível simplificrmos mis est expressão. De cordo com o teorem de Pitágors terímos que + = m n. Assim n = m e portnto m seri um número pr e portnto m tmbém o seri. Logo existiri lgum k N tl que m = k. Assim 4k = n e portnto

n = k o que implicri que n tmbém seri pr. Note que isto é um bsurdo. Este bsurdo surgiu do fto de termos suposto que medid d hipotenus fosse um número rcionl. No entnto est hipotenus existe e é muito bem determind em cim d ret. Amplimos o conceito de número de tl form que todos os segmentos possum um medid ssocid. Introduzimos os chmdos Números Irrcionis, de tl modo que, fixndo um unidde de comprimento pdrão, qulquer segmento de ret tem um medid numéric.. A Ret Rel Fixmos um ret e um ponto chmmos de origem 0. Escolhemos um outro ponto A, direit d origem. Fixmos 0A como unidde de comprimento. Fcilmente mrcmos sobre ret os números nturis. N semi-ret d esquerd mrcmos segmentos, com extremidde n origem, com s mesms medids dos segmentos que definem os nturis e ssocimos às sus extremiddes esquerds números com um sinl. Formmos então o chmdo Conjunto dos Números Inteiros: Z = {...,,, 0,,,...}. Em seguid mrcmos todos os segmentos, com extremidde n origem, comensuráveis com o segmento o segmento pdrão 0A. Os que ficrem à direit serão ssocidos os rcionis positivos e os que ficrem à esquerd gnhrão um sinl. Definimos então o Conjunto dos Números Rcionis: Q == { m m Z, n N, n 0}. n Como vimos cim est construção não ocup todo o espço existente n ret. Se prrmos por qui noss ret ficrá com vários burcos. A cd um destes burcos ssocimos um número, que chmremos de irrcionl. Finlmente definimos o Conjunto dos Números Reis: R = {x x Q ou x éirrcionl}. Existe um correspondênci biunívoc entre os números reis e os pontos d ret. Mis precismente, cd número rel está ssocido um e somente um ponto d ret e cd ponto d ret está ssocido um e somente um número rel. No que segue, não distinguiremos pontos d ret e números reis. É clro que N Z Q R. Dizemos que x R é positivo, e denotmos x > 0, se x estiver no ldo direito d ret; dizemos que x é negtivo, e denotremos x < 0, se x estiver no ldo esquerdo d ret. As notções e indicm, respectivmente mior ou igul e menor ou igul. Vmos introduzir s operções dição e multiplicção em R. Definição:

) Sejm x R e x 0. Definimos x + x como o número rel ssocido pont finl do segmento, orientdo pr direit, com extremidde inicil em x, e com medid igul medid do segmento ssocido x. b)sejm x R e x 0. Mrcmos n ret o seguinte ponto: com extremidde inicil em x e orientdo pr o ldo esquerdo, com medid igul do segmento ssocido x. O número rel ssocido pont finl deste segmento será chmdo de x + x. Definição: ) Se x > 0 e y > 0 definimos o produto xy d seguinte form: Trçmos um ret l formndo um ângulo inferior 90 o com ret rel e pssndo pel origem. N ret rel mrcmos unidde e o número y. N ret l mrcmos o x. Considermos ret que pss por e por x e chmmos de s. D geometri sbemos que existe um únic ret t prlel s e que pss y. Finlmente mrcmos em l o ponto P, itersecção dest com t. Com pont sec do compsso em 0 e bertur igul 0P mrcmos n ret rel o ponto Q. O número rel ssocido este ponto será chmdo de xy. b) Nos demis csos é só mudr o sinl xy convenientemente: x y xy + + + + Observção: Se fixrmos noss tenção pr os números rcionis veremos que s definições cim coincidem com s trdicionis: b + c d b. c d d + bc = bd = c bd. O conjunto R munido ds operções definids cim form o que chmmos de CORPO. Mis precismente, stisfz s seguintes proprieddes: ) Associtividde d Adição e d Multiplicção: (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R (xy)z = x(yz), x, y, z R ) Comuttividde d Adição e d Multiplicção: x + y = y + x, x, y R xy = yx, x, y R 3) Existênci de Elemento Neutro pr Adição e pr Multiplicção: x + 0 = x, x R x. = x, x R 3

4) Existênci de Oposto pr Adição: x R, ( x) R tl que x + ( x) = 0. 5) Existênci de Inverso pr Multiplicção: x R\{0}, y R tl que xy =. 6) Distributividde d Multiplicção em Relção à Adição: x(y + z) = xy + xz, x, y, z R. Definição: Dizemos que x < y se y x > 0. Dentro dos reis destcmos o conjunto dos reis positivos: R + = {x R x > 0}. Observe que s seguintes condições são stisfeits: ) A som e o produto de elementos positivos são positivos. Ou sej x, y R + x + y R + e x.y R +. b) Ddo x R ou x = 0 ou x R + ou x R +. As dus proprieddes cim crcterizm o que chmmos de CORPO OR- DENADO. Como em qulquer outro corpo ordendo, relção de ordem < goz ds seguintes proprieddes: ) Trnsitiv: (x, y, z R, x < y, y < z) x < z. ) (Tricotomi) Quisquer que sejm x e y R : x < y ou y < x ou x = y. 3) Comptibilidde d Ordem com Adição: (x, y, z R, x < y) x + z < y + z. 4) Comptibilidde d Ordem com Multiplicção: (x, y, z R, x < y, 0 < z) xz < yz. Observção: Note que s proprieddes de corpo e s proprieddes de corpo ordendo tmbém são stisfeirs pr Q. Vmos gor destcr um propriedde que é stisfeit por R ms não por Q. 4

Definição:Ddo um subconjunto A R dizemos que A é limitdo se existe K > 0 tl que x A K < x < K. Definição:Dizemos que s R é o supremo de A se s for menor ds cots superiores de A : x s, x A; x c, x A s c. Definição:Dizemos que i R é o ínfimo de A se i for mior ds cots inferiores de A : x i, x A; x c, x A i c. O conjunto R stisfz propriedde: Axiom do Supremo: Todo conjunto limitdo e não vzio de números reis possui um supremo e um ínfimo rel. Observemos que est propriedde não é stisfeit por Q. Considere o conjunto A = {x Q 0 < x < }. O supremo de A é que como vimos ntes não é um número rcionl. A propriedde cim nos diz que o conjunto dos números reis é um CORPO ORDENADO COMPLETO. Teorem dos Intervlos Encixntes: Sej [ 0, b 0 ], [, b ],..., [ n, b n ],... um sequênci de intervlos stisfzendo: ) [ 0, b 0 ] [, b ]... [ n, b n ]... b) Pr todo r > 0 existe um nturl n tl que b n n < r. Então, existe um único rel c tl que pr todo nturl n n c b n. Demonstrção: Temos que A = { 0,,...} é não vzio e limitdo superiormente. Sej então c = sup A. É clro que n c b n. Suponhmos que exist d, diferente de c stisfzendo n d b n. 5

Neste cso terímos c d < b n n, n. Como distânci b n n proxim-se de zero, terímos que c = d. Pr completrmos est seção vmos provr : Teorem ) Entre dois números reis distintos sempre existe um número irrcionl; b) Entre dois números reis distintos sempre existe um número rcionl. Demonstrção: Provemos primeir firmção. Sejm x e y dois números reis distintos. Sem perd de generlidde suponhmos x < y. Assim y x > 0. Observe que é possível encontrrmos números nturis n, m tis que n (y x) > m (y x) > (este fto é conhecido como Princípio de Arquimedes). Dest form temos que x < x + n < y x < x + n < y e ssim se x for irrcionl, ssim será x + n e se x for rcionl então x + n será irrcionl. De qul quer form conseguimos encontrr um irrcionl entre x e y. Provemos segund firmção. Sejm x e y dois números reis distintos. Inicilmente observemos que se x < 0 < y então nd temos pr provr pois 0 é rcionl. Suponhmos 0 < x < y. Assim y x > 0. Novmente plicndo o princípio de Arquimedes encontrmos um nturl n tl que Sej j tl que Notemos que j + n n(y x) > nx > j n x < j + n = j n + < x + (y x) = y n Logo bst tomrmos j+ n. Se x < y < 0 então 0 < y < x e pelo primeiro cso encontrmos um rcionl entre y e x. O simétrico deste rcionl será o rcionl procurdo. 6

Exercícios: As proprieddes que destcmos cim são suficientes pr deduzirmos um série de outrs, conforme os exercícios bixo. ) Prove que quisquer que sejm os reis x, y, z x + z = y + z x = y. ) Prove que quisquer que sejm os reis x, y, z, w { 0 x y xz yw. 0 z w 3) Prove que quisquer que sejm os reis x, y, z, w tem-se: )x < y x + z < y + z. b)z > 0 z > 0. c)z > 0 z < 0. d)z > 0, x < y xz < yz. e)z < 0, x < y xz > yz. { 0 x < y f) xz < yw 0 z < w g)0 < x < y 0 < y < x h)x < y ou x = y ou y < x. i)xy = 0 x = 0 ou y = 0. 4) Suponh x 0 e y 0. Prove que: )x < y x < y. b)x y x y c)x < y x < y.. Sequêncis de Números Reis Nest seção estudremos funções reis de um vriável rel cujo domínio é um subconjunto do conjunto dos números nturis. Tis funções recebem o nome de sequêncis. Não dremos um trtmento nlítico completo o ssunto, pens iremos introduzir o conceito e provremos s principis proprieddes. Definição: Um sequênci de números reis é um função f : A N R 7

Notção: Denotmos ( n ) onde f(n) = n. Em gerl presentremos sequênci pel lei de definição e considerremos o domínio como o mior subconjunto de N onde tem sentido lei de definição. Exemplos: ) ( n ) dd por n = n é sequênci formd pelos números,, 3,... ) ( n ) dd por n = é sequênci constnte,,,... 3) ( n ) dd por n = ( ) n é sequênci,,,,... Definição: Diz-se que um sequênci ( n ) converge pr um número L ou tem limite L se, ddo qulquer número ε > 0, é sempre possível encontrr um número nturl N tl que Denotmos n > N n L < ε. lim n = L ou n L. n + Intuitivmente dizer que ( n ) converge pr L signific dizer que os termos d sequênci proximm-se de L qundo n cresce. Exemplo: A sequênci ( n ) dd por n = n converge pr 0. De fto, ddo ε > 0, tommos N o primeiro número nturl mior que ε e temos que n > N n > ε n < ε. Definição: Qundo um sequênci não converge diz-se que el diverge ou que é divergente. Exemplos: ) A sequênci ( n ) dd por n = ( ) n é divergente. De fto, seus termos oscilm entre e. ) A sequênci ( n ) dd por n = n é divergente. De fto, seus termos crescem indefinidmente. Definição: Um sequênci ( n ) é dit limitd se existir um número rel K > 0 tl que n K, n. Exemplos: ) As sequêncis dds por n = n, n = cos n são exemplos de sequêncis limitds. ) A sequênci ( n ) dd por n = n não é limitd. Observção: Ser limitd não é o mesmo que ter limite. Se um sequênci for convergente então el será limitd ms nem tod sequênci limitd é convergente. De fto, considere por exemplo sequênci ( n ) dd por n = ( ) n. 8

Definição: ) Se < < 3 <... então ( n ) é dit MONÓTONA CRESCENTE. ) Se 3... então ( n ) é dit MONÓTONA NÃO DECRES- CENTE. 3) Se > > 3 >... então ( n ) é dit MONÓTONA DECRESCENTE. 4) Se 3... então ( n ) é dit MONÓTONA NÃO CRES- CENTE. Teorem: Tod sequênci monóton limitd é convergente. Demonstrção:Vmos provr que tod sequênci não decrescente e limitd converge pr seu extremo superior e deixremos os demis csos como exercício. Sej K > 0 tl que 3... K Assim temos que o conjunto { n n N} é limitdo superiormente.pel propriedde do supremo temos que existe L R tl que L = sup{ n n N}. Afirmmos que L = lim n. n + De fto, ddo ε > 0 temos que L ε não é um cot superior de { n n N} e ssim exite N > 0 tl que N > L ε e portnto n > N L ε < N n < L < L + ε n L < ε. Um importnte plicção: O número e Vmos provr que: ) A sequênci dd por n = ( + ) n n é crescente e limitd e portnto convergente. ) Sendo ( n ) convergente, escrevemos e = lim n n 9

e provmos que < e < 3. ) Inicilmente mostremos que sequênci é crescente. Vmos provr que, pr todo n temos Temos ( ) n+ + n+ ( ) + n = n = = ( ( n+ n >. ) n+ ( ) n+ n+ n+ n+ n+ ( n+ ) n = ( n+ ) n+ n n n n+ ) n+ n+ n n+ n+ n = n n+ n+ ( (n+) (n+) ) n+ n n+ = = ( n +n (n+) ) n+ Aplicndo desiguldde de Bernoulli em temos ( ) + (n + ) (n+) > n = n+ n n+ n+ = ( (n+) ) n+ n n+ =. Logo sequênci é crescente. Provemos gor que sequênci é limitd. Temos ( + ) n = + n. n(n ) +. n (n )... (n (k )) +... + n n n k! = + + ( n = ) +... + k! ( n )( n ( )... k n )... + n! ( n )( n )... ( n n Por indução é fácil provr que Assim n!, n N. n ( + ) n + + n +... + n = + ( n ) < 3. n k +... + n n = ) + Concluímos que < ( + n) n < 3. 0

) Como (( + n) n ) é convergente escrevemos ( e = lim + n. n n) Limites de Funções Reis Definids em Intervlos. Introdução Neste cpítulo introduziremos o conceito de limite. Restringiremos nosso estudo pr s funções reis definids em intervlos. Deixremos pr o curso de Análise Mtemátic o estudo de limites qundo s funções estão definids em um subconjunto qulquer d ret. Tods s funções que considerremos neste cpítulo são do tipo f : I R onde I é um união de intervlos. Definição: Dizemos que f : I R está definid em um vizinhnç de p, exceto possivelmente em p, se existir lgum r > 0 tl que e (p r, p) I (p, p + r) I. Exemplos: ) Um função definid em um intervlo berto f : (, b) R está definid em um vizinhnç de p, qulquer que sej p (, b). ) Um função definid em um intervlo fechdo f : [, b] R está definid em um vizinhnç de p, qulquer que sej p (, b). Note que f não está definid em um vizinhnç de e nem em um vizinhnç de b. O mesmo permnece válido pr qulquer outr combinção de ( ou [.(verifique isso). 3) Consideremos f : R\{} R dd por f(x) = x x. Observe que f está definid em um vizinhnç de, exceto no ponto.. Definição de Limite Definição: Sej f : I R um função definid em um vizinhnç de p, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f(x) o x tender p é igul L R se pr qulquer ε > 0 existir δ > 0 tl que pr 0 < x p < δ tem-se f(x) L < ε. Denotmos lim f(x) = L. x p

Intuitivmente definição cim está nos dizendo que medid que x proxim-se de p temos que f(x) proxim-se de L : ε > 0, δ > 0, 0 < x p < δ f(x) L < ε Exemplos: ) Sej k R um constnte e p R. Provemos que lim x p k = k. De fto, ddo ε > 0 existe δ = tl que 0 < x p < k k = 0 < ε. ) Provemos que lim x 3 (x 4) =. De fto, ddo ε > 0 existe δ = ε 0 < x 3 < ε x 6 < ε (x 4) < ε. tl que 3) Observe que o vlor que função ssume no ponto { p não influenci seu x + 4, se x limite o x tender p. Sej f : R R dd por f(x) =. 7, se x = Temos que lim f(x) = 3. De fto, ddo ε > 0 existe δ = ε tl que x 6 x 0 < x < ε x + 4 3 < ε f(x) 3 < ε. 4) Sej f : R\{ 4} R dd por f(x) = 6 x. Temos que pr x 4, x+4 = 4 x e ssim lim f(x) = x 4 tommos δ = ε e temos lim x 4 x+4 (4 x) = 8. De fto, ddo ε > 0 0 < x ( 4) < ε 0 < x + 4 < ε 4 x 8 = x + 4 < ε. Podemos crcterizr o limite de funções reis utilizndo sequêncis de números reis. Teorem : Sejm f um função definid em um vizinhnç de p R exceto possivelmente em p e L R. Vle que lim f(x) = L se e somene se x p (x n ) tl que x n p, x n p, tem-se f (x n ) L. Demonstrção: Suponhmos que lim x p f(x) = L. Sej x n tl que x n p. Provemos que f (x n ) L. Sej ε > 0. Então existe δ > 0 tl que 0 < x p < δ f (x) L < ε. Como x n p, x n p temos que exite N nturl tl que n > N 0 < x n p < δ f (x n ) L < ε.

Reciprocmente, suponhmos que (x n ) tl que x n p, x n p, tem-se f (x n ) L. Provemos que lim x p f(x) = L. Se isto não fosse verdde existiri ε > 0 tl que pr qulquer δ > 0 existiri x tl que 0 < x p < δ e f (x) L > ε. Tomndo δ = n existiri x n tl que 0 < x n p < n e f (x n) L > ε. Ms dí terímos x n p, x n p e no entnto f (x n ) não estri convergindo pr L. Logo lim f(x) = L. x p.3 Unicidde, Conservção de Sinl e Limitção Começremos est seção provndo unicidde do limite. Teorem: Sej f um função definid em um vizinhnç de p R exceto possivelmente em p. Se existe L R tl que lim f(x) = L então L é único. x p Demonstrção:Suponhmos que lim x p f(x) = M.Vmos provr que L = M. Suponhmos que L M. Sem perd de generlidde podemos supor L < M. Tomemos ε = M L. Assim existe δ > 0 tl que 0 < x p < δ f(x) L < M L Por outro ldo existe δ > 0 tl que 0 < x p < δ f(x) M < M L Tomndo δ = min{δ, δ } temos que e isto é um bsurdo. Logo L = M. 0 < x p < δ M + L f(x) < M + L. f(x) > M + L. < f(x) < M + L A seguir provremos que existênci de lim x p f(x) implicrá n limitção d função em um vizinhnç do ponto p. 3

Teorem: Sej f um função definid em um vizinhnç de p R exceto possivelmente em p. Se existe L R tl que lim f(x) = L então existem δ > 0 x p e M > 0 tis que 0 < x p < δ f(x) < M. Demonstrção: Tomndo ε = n definição de limite temos que δ > 0, 0 < x p < δ f(x) L < D desiguldde tringulr temos e portnto f(x) L f(x) L f(x) + L. Logo bst tomrmos M = + L e δ como cim. Vmos provr gor o teorem d conservção do sinl. Em sum o teorem irá nos dizer que o limite tem que ter o mesmo sinl d função em um vizinhnç do ponto ou ser nulo. Teorem: Sejm f um função definid em um vizinhnç de p R, exceto possivelmente em p, e L R tis que lim f(x) = L. x p ) Se L > 0 então existe δ > 0 tl que 0 < x p < δ f(x) > 0. b) Se L < 0 então existe δ > 0 tl que 0 < x p < δ f(x) < 0. Demonstrção: Vmos provr ) e deixremos como exercício prov de b). Tommos ε = L e temos que existe δ > 0 tl que Segue que f(x) > L > 0. 0 < x p < δ f(x) L < L. 4

.4 Cálculo de Limites Nest seção demonstrremos lgums proprieddes opercionis que fcilitrão o cálculo de limites. Teorem: Sejm f e g funções definids em um vizinhnç de um ponto p R, exceto possivelmente em p;l, M R tis que lim f(x) = L e x p lim g(x) = M e k um constnte rel. x p Então: ) Existe lim (f(x) + g(x)) e lim (f(x) + g(x)) = L + M. x p x p b) Existe lim (f(x) g(x)) e lim (f(x) g(x)) = L M. x p x p c) Existe lim (f(x).g(x)) e lim (f(x).g(x)) = L.M. x p x p lim kf(x) = kl. x p d) Existe lim x p kf(x) e e) Se M 0, existe lim x p f(x) g(x) e lim f(x) x p g(x) = L M. Demonstrção: ) Sej ε > 0. De cordo com noss hipótese temos que existem δ > 0 e δ > 0 tis que Tomndo δ = min{δ, δ } temos que 0 < x p < δ f(x) L < ε, 0 < x p < δ g(x) M < ε. 0 < x p < δ f(x) + g(x) (L + M) < < f(x) L + g(x) M < ε + ε = ε. b) Deixmos como exercício. d) Se k = 0 então é trivil. Suponhmos k 0. Sej ε > 0. D noss hipótese temos que existem δ > 0 tl que Assim temos δ = δ > 0 tl que 0 < x p < δ f(x) L < ε k. 0 < x p < δ kf(x) kl = k f(x) L < k 5 ε k = ε.

c) Inicilmente observemos que f(x).g(x) = 4 [(f(x)+g(x)) (f(x) g(x)) ]. Provemos que, dd um função h definid em um vizinhnç de p, exceto possivelmente em p, e stisfzendo lim h(x) = N temos lim h(x) = N. De x p x p fto, de cordo com o teorem d limitção, temos Além disso, ddo ε > 0, temos δ > 0, K > 0 tis que 0 < x p < δ h(x) < K. δ > 0 tl que 0 < x p < δ h(x) N < Tommos δ stisfzendo δ = min{δ, δ } temos ε K + N. 0 < x p < δ h(x) N = h(x) N h(x) + N < < ε ε ( h(x) + N ) < (K + N ) K + N K + N = ε. Dest form lim (f(x).g(x)) = lim x p x p 4 [(f(x) + g(x)) (f(x) g(x)) ] = Pel propriedde d) temos e pel propriedde b) = 4 lim x p [(f(x) + g(x)) (f(x) g(x)) ] = = 4 lim x p (f(x) + g(x)) 4 lim x p (f(x) g(x)) = e plicndo o que cbmos de provr = 4 ( lim x p (f(x) + g(x))) 4 ( lim x p (f(x) g(x))) = e voltndo plicr ) e b) finlmente temos = 4 [(L + M) (L M) ] = LM. e) Pr provrmos e) é suficiente provrmos que lim f(x) g(x) = f(x). g(x) e sbemos operr o produto por d). Sej ε > 0. Como lim g(x) = M 0 temos que x p δ > 0 tl que 0 < x p < δ g(x) M < M 6 x p g(x) = M g(x) > M. De fto

Por outro ldo δ > 0 tl que 0 < x p < δ g(x) M < M ε Tomndo δ = min{δ, δ } temos 0 < x p < δ g(x) M < = g(x) M g(x) M M g(x) M < M M ε = ε O Teorem do Confronto ( Teorem do Snduíche ): Sejm f, g, h funções definids em um vizinhnç de p, exceto possivelmente em p, stisfzendo: ) f(x) g(x) h(x), pr todo x nest vizinhnç, b) Existem os limites lim f(x), lim h(x) e x p x p c) lim f(x) = lim h(x) = L. x p x p Então existe lim g(x) e lim g(x) = L. x p x p < e Demonstrção: Sej ε > 0. Por c) temos: δ > 0 tl que 0 < x p < δ f(x) L < ε δ > 0 tl que Tommos δ = min{δ, δ } e temos 0 < x p < δ h(x) L < ε 0 < x p < δ L ε < f(x) g(x) h(x) < L + ε g(x) L < ε Exercício: Prove que lim f(x) = 0 lim f(x) = 0. x p x p Exemplo: lim x 0 x cos x = 0. De fto, vmos mostrr que lim x 0 x cos x = 0. Temos que 0 x cos x x e pelo teorem do confronto segue o resultdo. 7

.5 Limites Lteris Nest seção iremos estudr limites qundo x proxim-se de um ponto p ssumindo somente vlores miores (ou menores) que p. Definição: )Dizemos que f : I R está definid em um vizinhnç à direit de p, exceto possivelmente em p, se existir lgum r > 0 tl que (p, p + r) I. b)dizemos que f : I R está definid em um vizinhnç à esquerd de p, exceto possivelmente em p, se existir lgum r > 0 tl que (p r, p) I. Exemplos: ) Um função definid em um intervlo berto f : (, b) R está definid em um vizinhnç à direit de p e em um vizinhnç à esquerd de p, qulquer que sej p (, b). ) Um função definid em um intervlo fechdo f : [, b] R está definid em um vizinhnç à direit de p, qulquer que sej p [, b) e está definid em um vizinhnç à esquerd de p, qulquer que sej p (, b]. Note que f não está definid em um vizinhnç à esquerd de e nem em um vizinhnç à direit de b. O mesmo permnece válido pr qulquer outr combinção de ( ou [.(verifique isso). 3) É imedito verificrmos que um função f está definid em um vizinhnç de p se e somente se está definid em um vizinhnç à esquerd de p e em um vizinhnç à direit de p. Definição: ) Sej f : I R um função definid em um vizinhnç à direit de p, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f(x) o x tender p pel direit é igul L R se pr qulquer ε > 0 existir δ > 0 tl que pr x (p, p + δ) tem-se f(x) L < ε. Denotmos lim f(x) = L. x p + b) Sej f : I R um função definid em um vizinhnç à esquerd de p, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f(x) o x tender p pel esquerd é igul L R se pr qulquer ε > 0 existir δ > 0 tl que pr x (p δ, p) tem-se f(x) L < ε. Denotmos lim x p f(x) = L. Observção: Tods s proprieddes provds ns seções nteriores com relção unicidde, conservção de sinl e limitção permnecem válids pr limites lteris, com s devids lterções.tmbém permnecem válids s proprieddes opercionis provds n seção nterior. 8

Teorem: Sej f : I R um função definid em um vizinhnç de um ponto p exceto possivelmente em p. Vle que lim f(x) lim f(x), lim f(x) e x p x p + x p Deixmos prov do resultdo cim como exercício..6 Limites no Infinito lim f(x) = lim f(x). x p x p + Nest seção iremos estudr o comportmento de lgums funções qundo vriável ssume vlores rbitrrimente grndes. Definição: ) Dizemos que um função f : I R está definid em um vizinhnç de + se existir R tl que (, + ) I. b) Dizemos que um função f : I R está definid em um vizinhnç de se existir R tl que (, ) I. Exemplos: ) Qulquer função f : R R está definid em vizinhnçs de + e de. b) Qulquer função f : [b, + ) R ou f : (b, + ) R está definid em um vizinhnç de + ms não está definid em um vizinhnç de. c) Qulquer função f : (, b] R ou f : (, b) R está definid em um vizinhnç de ms não está definid em um vizinhnç de +. Definição: ) Sej f : I R um função definid em um vizinhnç de +. Dizemos que o limite de f(x) o x tender + é L R e denotmos lim f(x) = L x + se pr todo ε > 0 existir x 0 > 0 tl que x > x 0 f(x) L < ε. b) Sej f : I R um função definid em um vizinhnç de. Dizemos que o limite de f(x) o x tender é L R e denotmos lim f(x) = L x se pr todo ε > 0 existir x 0 < 0 tl que x < x 0 f(x) L < ε. Exemplo: Vmos provr que lim x + x = 0. De fto, ddo ε > 0 tommos x 0 = ε e temos x > x 0 x > ε 0 < x < ε x < ε. 9

Exercício: Sejm f : I R um função definid em um vizinhnç de + e L R tl que lim f(x) = L. Prove que existem x 0 > 0 e M > 0 tis x + que x > x 0 f(x) < M. A seguir estbelecemos lgums proprieddes opercionis dos limites no infinito. Teorem: Sejm f e g funções definids em um vizinhnç de + ; L, M R tis que lim f(x) = L e lim g(x) = M e k um constnte rel. x + x + Então: ) Existe lim (f(x) + g(x)) e lim x + (f(x) g(x)) e lim b) Existe lim x + c) Existe lim (f(x).g(x)) e x + d) Existe lim kf(x) e lim x + e) Se M 0, existe lim x + (f(x) + g(x)) = L + M. x + (f(x) g(x)) = L M. x + lim x + x + f(x) g(x) e (f(x).g(x)) = L.M. kf(x) = kl. lim f(x) x + g(x) = L M. Demonstrção: ) Sej ε > 0. De cordo com noss hipótese temos que existem x > 0 e x > 0 tis que x > x f(x) L < ε Tomndo x 0 = mx{x, x } temos que x > x g(x) M < ε x > x 0 f(x) + g(x) (L + M) < < f(x) L + g(x) M < ε + ε = ε. b) Deixmos como exercício. d) Se k = 0 então é trivil. Suponhmos k 0. Sej ε > 0. D noss hipótese temos que existem x 0 > 0 tl que Assim temos x > x 0 f(x) L < ε k. x > x 0 kf(x) kl = k f(x) L < k ε k = ε. c) Inicilmente observemos que f(x).g(x) = 4 [(f(x)+g(x)) (f(x) g(x)) ]. 0

Provemos que, dd um função h definid em um vizinhnç de +, e stisfzendo lim h(x) = N temos lim x + x + h(x) = N. De fto, pelo exercício cim, Além disso, ddo ε > 0, temos x > 0, K > 0 tis que x > x h(x) < K x > 0 tl que x > x h(x) N < Tommos x 0 stisfzendo x 0 = mx{x, x } temos Dest form ε K + N x > x 0 h(x) N = h(x) N h(x) + N < < ε ε ( h(x) + N ) < (K + N ) K + N K + N = ε. lim (f(x).g(x)) = lim x + x + 4 [(f(x) + g(x)) (f(x) g(x)) ] = Pel propriedde d) temos = 4 e pel propriedde b) = 4 lim [(f(x) + x + g(x)) (f(x) g(x)) ] = lim (f(x) + x + g(x)) 4 lim (f(x) x + g(x)) = e plicndo o que cbmos de provr = 4 ( lim x + (f(x) + g(x))) 4 ( lim x + (f(x) g(x))) = e voltndo plicr ) e b) finlmente temos = 4 [(L + M) (L M) ] = LM e) Pr provrmos e) é suficiente provrmos que lim f(x) g(x) = f(x). g(x) Sej ε > 0. Como lim x + e sbemos operr o produto por d). g(x) = M 0 temos que x > 0 tl que x > x g(x) M < M x + g(x) > M g(x) = M. De fto

Por outro ldo x > 0 tl que x > x g(x) M < M ε Tomndo x 0 = mx{x, x } temos x > x 0 g(x) M < = g(x) M g(x) M M g(x) M < M M ε = ε Observe que o resultdo cim continu válido se considerrmos x. <.7 Limites Infinitos Nest seção estudremos os limites infinitos. Neste cso os vlores de f(x) é que ssumem vlores rbitrrimente grndes medid que x proxim-se de lgum ponto p ou de ±. Definição: ) Sej f : I R um função definid em um vizinhnç à direit de p R. Dizemos que o limite de f(x) o x tender à p pel direit é igul + e denotmos lim f(x) = + x p + se pr todo M > 0 existir um δ > 0 tl que x (p, p + δ) f(x) > M. b) Sej f : I R um função definid em um vizinhnç à direit de p R. Dizemos que o limite de f(x) o x tender à p pel direit é igul e denotmos lim f(x) = x p + se pr todo M > 0 existir um δ > 0 tl que x (p, p + δ) f(x) < M. c) Sej f : I R um função definid em um vizinhnç à esquerd de p R. Dizemos que o limite de f(x) o x tender à p pel esquerd é igul + e denotmos lim x p f(x) = + se pr todo M > 0 existir um δ > 0 tl que x (p δ, p) f(x) > M.

d) Sej f : I R um função definid em um vizinhnç à esquerd de p R. Dizemos que o limite de f(x) o x tender à p pel esquerd é igul e denotmos lim x p f(x) = se pr todo M > 0 existir um δ > 0 tl que x (p δ, p) f(x) < M. e) Sej f : I R um função definid em um vizinhnç de +. Dizemos que o limite de f(x) o x tender à + é igul + e denotmos lim f(x) = + x + se pr todo M > 0 existir um N > 0 tl que x > N f(x) > M. f) Sej f : I R um função definid em um vizinhnç de +. Dizemos que o limite de f(x) o x tender à + é igul e denotmos lim f(x) = x + se pr todo M > 0 existir um N > 0 tl que x > N f(x) < M. g) Sej f : I R um função definid em um vizinhnç de. Dizemos que o limite de f(x) o x tender à é igul + e denotmos lim f(x) = + x se pr todo M > 0 existir um N > 0 tl que x < N f(x) > M. h) Sej f : I R um função definid em um vizinhnç de. Dizemos que o limite de f(x) o x tender à é igul e denotmos lim f(x) = x se pr todo M > 0 existir um N > 0 tl que Exemplos: ) Provemos que lim x 0 + x = +. x < N f(x) < M. 3

De fto, ddo M > 0 existe δ = M x (0, tl que M ) x > M. ) Provemos que lim x x =. De fto, ddo M > 0 tommos δ = min{ M, } e temos x ( δ, ) x ( δ, 0) x < δ < M. A seguir presentmos ritmétic do infinito isto é, estbelecemos s relções entre os limites infinitos e s operções. Deixmos prov do teorem como exercício. Teorem: Sejm f, g : I R definids num vizinhnç de p R, exceto possivelmente em p. Vlem s seguintes tbels: TABELA I lim x p lim g(x) x p lim (f (x) + g(x) x p + + + + indeterminção α R + + α R TABELA II lim x p lim g(x) x p lim f (x).g(x) x p + + + + + 0 + indeterminção 0 indeterminção α > 0 + + α > 0 α < 0 + TABELA III f(x) g(x) lim x p x p x p α R + 0 α R 0 + + indeterminção + indeterminção α > 0 0 + + α > 0 0 α < 0 0 + α < 0 0 + 4

Observção: Indeterminção signific que nd se pode firmr sobre o limite em questão. Depende de f e g em cd cso prticulr. O teorem continu válido pr vizinhnç à direit de p x p + vizinhnç à esquerd de p x p vizinhnç de + x + vizinhnç de x.8 Limite de Funções Composts Pr encerrrmos este cpítulo veremos como procedermos o clculo de limite de composts de funções. Teorem: Sejm f : I R e g : I R funções definids em um vizinhnç de p R e R, respectivmente, stisfzendo: ) f(i ) I ; b) lim f(x) = ; x p c) lim g(u) = L; u d) Existe r > 0 tl que f(x) pr 0 < x p < r. Então lim g(f(x)) = lim g(u) = L. x p u Demonstrção: Sej ε > 0. Como lim u g(u) = L temos que existe δ > 0 tl que 0 < u < δ g(u) L < ε. Além disso, como lim x p f(x) = existe δ > 0 tl que Tomndo δ = min{δ, r} temos 0 < x p < δ f(x) < δ. 0 < x p < δ 0 < f(x) < δ g(f(x)) L < ε. O teorem cim permnece válido pr limites lteris, com s devids dptções. Fç isso como exercício. Exemplo: Observe importânci d hipótese d). Consideremos o seguinte exemplo: f(x) =, x R { u +, u g(u) = 3, u = 5

Temos lim x = lim u = e no entnto lim g(f(x)) = 3 lim g(u). x u Teorem: Sejm f : I R e g : I R funções definids em um vizinhnç do + e em um vizinhnç de R (exceto possivelmente em ), respectivmente, e L R stisfzendo: ) f(i ) I ; b) lim x + f(x) = ; c) Existe N > 0 tl que pr x > N tem-se f(x). d) lim g(u) = L. u Então lim x + g(f(x)) = lim u g(u) = L. Demonstrção: Sej ε > 0. Como lim u g(u) = L temos que existe δ > 0 tl que 0 < u < δ g(u) L < ε. Como lim f(x) = existe N > 0 tl que x + Tomndo N = mx{n, N } temos x > N f(x) < δ. x > N 0 < f(x) < δ g(f(x)) L < ε. O teorem permnece válido considerrmos x. 3 Continuidde de Funções Reis de Vriável Rel 3. Definição de Continuidde Neste cpítulo introduziremos o conceito de continuidde. Restringiremos nosso estudo pr s funções reis definids em intervlos. Deixremos pr o curso de Análise Mtemátic o estudo d continuidde qundo s funções estão definids em um subconjunto qulquer d ret. Tods s funções que considerremos neste cpítulo são do tipo f : I R onde I é um união de intervlos. 6

Definição: ) Um função f : I R é dit contínu em p I se pr todo ε > 0 existir δ > 0 tl que x I (p δ, p + δ) f(x) f(p) < ε. b) Um função f : I R é dit contínu se o for em todos os pontos de seu domínio. c) Um função f : I R é dit descontínu em p I se f não é contínu em p. Observções: A verificção d continuidde de funções definids em intervlos (, b) ou [, b] é um pouco mis simples: ) De cordo com definição cim, temos que f : (, b) R é contínu se existir lim f(x), pr todo p (, b) e ind lim f(x) = f(p). Em prticulr, x p x p usndo crcterizção de limites por sequêncis terímos que f é contínu em p se e somente se (x n ) tl que x n p tem-se f (x n ) f (p). ) De cordo com definição cim, temos que f : [, b] R é contínu se: ) Existe lim f(x), pr todo p (, b) e lim f(x) = f(p); x p x p b) Existe lim f(x) e lim f(x) = f(); x + x + c) Existe lim f(x) e lim f(x) = f(b). x b x b 3. Operções com Funções e Continuidde Os resultdos que obteremos nest seção são demonstrdos d mesm form que os nálogos pr limites. Teorem: Sejm f : I R, g : I R funções contínus em p I e k R um constnte. Então: ) f + g é contínu em p. b) f g é contínu em p. c) f.g é contínu em p. d) Se g(p) 0 então f g é contínu em p. e) kf é contínu em p. Um consequênci imedit do resultdo cim é: Corolário: ) Tod função polinomil é contínu. b) Tod função rcionl é contínu. Demonstrção: 7

) De fto, se f é polinomil então existe um polinômio p(x) = 0 + x +... + n x n tl que f(x) = p(x), pr todo x R. Como s funções dds por x m, m N, são contínus, segue do teorem cim que s funções dds por j x j, j {0,,..., n}, tmbém o são. Como som de funções contínus é contínu, segue que tod função polinomil é contínu. b) De fto, se f é um função rcionl, então existem polinômios p, q tis que f(x) = p(x) q(x). Como o quociente de funções contínus é contínu, desde que o polinômio do denomindor não se nule, segue que tod função rcionl é contínu pois o é em todos os pontos de seu domínio. Teorem: Sejm f : I R e g : I R stisfzendo que f(i ) I, f é contínu em p I e que g é contínu em f(p). Então g f é contínu em p. Demonstrção: Sej ε > 0. Como g é contínu em f(p) temos que existe δ > 0 tl que u I (f(p) δ, f(p) + δ ) g(u) g(f(p)) < ε. Como f é contínu em p temos que existe δ > 0 tl que x I (p δ, p + δ) f(x) I, f(x) f(p) < δ f(x) I (f(p) δ, f(p) + δ ) g(f(x)) g(f(p)) < ε. 3.3 Algums Proprieddes ds Funções Contínus Nest seção provremos lguns resultdos sobre conservção de sinl e sobre continuidde de funções monótons. Teorem: Sej f : I R um função contínu em p I. Se f(p) > 0 então existe δ > 0 tl que x I (p δ, p + δ) f(x) > 0. Demonstrção: Como f(p) > 0, tommos ε = f(p) e temos que existe δ > 0 tl que x I (p δ, p + δ) f(x) f(p) < f(p) f(x) > f(p) > 0. 8

Teorem: Sej f : I R um função contínu em p I. Se f(p) < 0 então existe δ > 0 tl que x I (p δ, p + δ) f(x) < 0. Demonstrção: Como f(p) < 0, tommos ε = f(p) e temos que existe δ > 0 tl que x I (p δ, p+δ) f(x) f(p) < f(p) f(x) < f(p) f(p) = f(p) < 0. Teorem: Se f : I R for crescente (ou decrescente) e lém disso tnto imgem qunto o domínio de f forem intervlos então f é contínu. Demonstrção: Sem perd de generlidde vmos supor que f é crescente. Ddo p I, provemos continuidde de f em p. Sej ε > 0. Suponhmos tmbém que f(p) não sej extremidde do intervlo que é imgem. Como f(i) é um intervlo então existem x, x I tis que f(x ) = f(p) ε e f(x ) = f(p) + ε. Assim bst tomrmos δ = min{p x, x p} e temos x p < δ f(p) ε = f(x ) < f(x) < f(x ) = f(p) + ε. Deixmos como exercício o cso gerl. Corolário: As funções trigonométrics inverss são contínus. Demonstrção: É imedito pelo teorem cim, visto que loclmente tods s trigonométrics inverss são crescentes ou decrescentes e seus domínios e imgens são intervlos. 3.4 O Teorem do Vlor Intermediário Nest seção estudremos o principl teorem reltivo continuidde. O seu enuncido é bstnte simples ms s consequêncis são extremmente importntes. Imgine um função que sej contínu em um intervlo [, b]. Suponhmos que d está entre f() e f(b). Como função é contínu o seu gráfico pode ser desenhdo sem que soltemos o lápis. De fto, continuidde impede que o gráfico presente sltos. Dest form não tem como sirmos de (, f()) e chegrmos em (b, f(b)) sem que no cminho pssemos por um ponto que tenh ordend d. Logo concluímos que deve existir lgum ponto c em [, b] tl que f(c) = d. Est é conclusão do Teorem do Vlor Intermediário. Vmos enuncir este teorem. Teorem do Vlor Intermediário: Sejm f : [, b] R contínu e d entre f() e f(b). Então existe c [, b] tl que f(c) = d. 9

Demonstrção : Dividiremos prov em dois csos. o Cso: Suponhmos que f() < 0 e que f(b) > 0 e mostremos que existe c [, b] tl que f(c) = 0. Fçmos 0 = e b 0 = b. Consideremos c 0 o ponto médio de [ 0, b 0 ]. Clculmos f(c 0 ). Se f(c 0 ) < 0 então definimos = c 0 e b = b 0 ( se f(c 0 ) = 0 não temos mis o que provr e se f(c 0 ) > 0 então definimos = 0 e b = c 0 ). Em seguid considermos c o ponto médio de [, b ] e repetimos o processo cim. Prosseguindo com este rciocínio, construiremos um sequênci de intervlos encixntes [ 0, b 0 ] [, b ]... [ n, b n ]... tis que f( n ) < 0 e f(b n ) > 0. Além disso b n n proxim-se de zero qundo n cresce indefinidmente. O Teorem dos Intervlos Encixntes nos que diz que existe um único c R tl que, pr todo n, n c b n. A continuidde d f nos grnte que f(c) = 0 pois se fosse diferente de zero o teorem d conservção do sinl implicri que f( n ) e f(b n ) terim o mesmo sinl pr n suficientemente grnde, já que distânci de n b n tende zero. D mesm form, se f() > 0 e f(b) < 0 existe c [, b] tl que f(c) = 0. Logo, se f for contínu em [, b] e se f() e f(b) tiverem sinis contrários, então existirá pelo menos um c em [, b] tl que f(c) = 0. o Cso: Cso Gerl. Sem perd de generlidde, suponhmos que f() < d < f(b). Consideremos função g(x) = f(x) d. Obvimente g é contínu e g() < 0, g(b) > 0. Pelo o cso existe c [, b] tl que g(c) = 0. Logo f(c) = d. Exemplos: ) Prove que x 3 4x + 8 = 0 tem pelo menos um riz rel. Considere f : [ 3, 0] R dd por f(x) = x 3 4x + 8. Como f é polinomil segue que f é contínu. Além disso, f( 3) = 7 < 0, f(0) = 8 > 0. Logo pelo Teorem do Vlor Intermediário, c [ 3, 0] tl que f(c) = 0. Logo o polinômio cim dmite um riz rel. ) Todo polinômio de gru ímpr dmite um riz rel. De fto, sej p(x) = n x n + n x n +... + x + 0 com n ímpr. Suponhmos, sem perd de generlidde, que n > 0. Provemos inicilmente que p(x) = + e lim p(x) =. lim x + x 30

Temos lim p(x) = lim ( nx n + n x n +... + x + 0 ) = x ± x ± = lim nx n ( + n x ± n x +... + n x n + 0 n x n ) = = ±. Logo existem e b tis que p() < 0, p(b) > 0. Aplicndo o TVI em [, b] segue o resultdo. 3.5 O Teorem de Weierstrss Nest seção demonstrremos outr importnte propriedde ds funções contínus. Provremos que se um função for contínu em um intervlo fechdo [, b] então el ssumirá um vlor máximo e um vlor mínimo. Teorem d Limitção: Se f : [, b] R é contínu então existe M > 0 tl que f(x) < M, x [, b]. Demonstrção: Suponhmos que não exist um M > 0 stisfzendo o que é desejdo. Chmmos =, b = b. Deve então existir x [, b ] tl que f(x ) >. Sej c o ponto médio de [, b ]. Como f não é limitd em [, b ] então f não será limitd em [, c ] ou em [c, b ]. Sem perd de generlidde, suponhmos que f não é limitd em [c, b ]. Chmmos = c, b = b. Como f não é limitd em em [, b ] existe x [, b ] tl que f(x ) >. Prosseguindo com este rciocínio construímos um sequênci [, b ]... [ n, b n ]... stisfzendo que distânci b n n está se proximndo de zero qundo n cresce e que, pr todo nturl n, existe x n [ n, b n ] com f(x n ) > n. Pelo T. I. Encixntes, existe c, o único rel tl que c [ n, b n ], pr todo n N. É clro que x n está convergindo pr c e que f(x n ) está divergindo pr o infinito. Pel continuidde de f terímos que lim f(x) = +. Observemos x c que isto é um bsurdo. Logo existe M > 0 tl que f(x) < M, x [, b]. 3

Teorem de Weierstrss: Se f : [, b] R é contínu existem x e x em [, b] tis que f(x ) f(x) f(x ), pr qulquer x [, b]. Demonstrção : Sendo f contínu em [, b], pelo teorem nterior f será limitd em [, b]. Assim o conjunto A = {f(x) x [, b]} dmite supremo e ínfimo. Sejm M = sup A, m = inf A. Está clro que m f(x) M. Rest-nos provr que existem x e x tis que f(x ) = m e f(x ) = M. Observe que se f(x) < M pr todo x então função dd por g(x) =, x [, b] M f(x) seri contínu ms não seri limitd. Logo existe x tl que f(x ) = M. Anlogmente provmos existênci de x. 3.6 Potêncis Irrcionis N seção.3 lembrmos lgums proprieddes ds potêncis rcionis. Ddo m n Q, > 0 definimos b = m n m b n =. O objetivo dest seção é definirmos x, x R. O que signific 3? Sbemos que os rcionis não ocupm todo o espço d ret ms mesmo ssim eles estão presentes em qulquer intervlo, por menor que sej. Assim em qulquer intervlo contendo existem rcionis e nestes sbemos clculr s potêncis. Seri nturl então definirmos 3 como o limite de 3 r, r Q, o r tender. A dúvid que sobr é se esse limite relmente existe. O teorem que iremos enuncir seguir nos grntirá que existe um únic função contínu em R tl que f(r) = 3 r, pr qulquer r Q. Em outrs plvrs, existe um únic mneir de completrmos o pontilhdo do gráfico cim e obtermos um função contínu. Assim iremos definir 3 = f( ) = lim x f(x). Teorem: Ddo > 0, temos que existe um únic função contínu definid em R tl que f(r) = r, r Q. Pr provrmos o teorem cim precisremos de 3 resultdos preliminres. 3

Lem : Sej > um rel ddo. Então pr todo ε > 0, existe um nturl n tl que < ε n Demonstrção: Pel desiguldde de Bernoulli Bst tomrmos n > ε. ( + ε) n + nε. Lem : Sejm > e x dois reis ddos. rcionis r e s, com r < x < s tis que Pr todo ε > 0 existem s s < ε. Demonstrção: Tommos t > x, rcionl; ssim, pr qulquer rcionl r < x, tem-se r < t.pelo lem, existe n nturl tl que t ( n ) < ε. Se escolhermos rcionis r e s com r < x < s e stisfzendo s r < n teremos s r = r ( s r ) < t ( n ) < ε. Lem 3: Sej > um rel ddo. Então, pr todo x rel ddo, existe um único rel γ tl que r < γ < s pr quisquer que sejm os rcionis r e s, com r < x < s. Demonstrção: Como o conjunto { r r rcionl, r < x} é não vzio e limitdo superiormente por todo s, s rcionl, tl conjunto dmite um supremo que indicmos por γ. Segue que r < γ < s. Flt provrmos que tl γ é único. De fto, se γ for tl que r < γ < s quisquer que sejm os rcionis r e s, com r < x < s terímos e pelo lem terímos que γ γ < s r γ γ < ε, ε > 0 33

e dí γ = γ. Prov do Teorem: Inicilmente vmos supor >. Com relção o lem nterior, se x for rcionl então γ = x. O único γ será indicdo por f (x). Fic construíd, ssim, um função f definid em R, e tl que f (r) = r pr todo rcionl r. Antes de provrmos continuidde de f provemos que f é crescente. Sejm x < x. Temos < f (x ) < s e r r < f (x ) < s quisquer que sejm os rcionis r, s, r e s tis que r < x < s e r < x < s. Assim, sendo s um rcionl com x < s < x temos f (x ) < s < f (x ) o que prov que f é crescente. Vmos provr continuidde de f. Sej p R. Pelo lem ddo ε > 0 existem rcionis r e s com r < p < s tis que Pr todo x (r, s) temos s r < ε. f (x) f (p) < s r < ε o que prov continuidde d f em p. Segue que f é contínu em R. Finlmente se 0 < < bst considerrmos função dd por ( ) x f(x) =. A função f : R R dd por f(x) = x, > 0, é chmd de FUNÇÃO EXPONENCIAL. 4 Derivds de Funções Reis de Vriável Rel 4. Introdução e Definição de Derivd Definição: Sej f : I R, um função definid em I R um união de intervlos bertos. ) Dizemos que f é derivável em p I se existe o limite lim h 0 f(p + h) f(p). h 34

Neste cso chmmos tl limite de derivd d f em p e denotmos: f f(p + h) f(p) (p) = lim. h 0 h b) Dizemos que f é derivável em I se o for em todos os pontos de I. Observções: ) Dizer que existe derivd de um função f em um ponto p signific geometricmente que seu gráfico present um ret tngente no ponto (p, f(p)). Isto signific que o gráfico não pode presentr um quin neste ponto. ) Observe que f f(p + h) f(p) f(x) f(p) (p) = lim = lim. h 0 h x p x p De fto bst considerrmos mudnç de vriável x = p + h. Assim pr o cálculo d derivd podemos escolher um dos limites cim. Definição: Ddo um função derivável f : I R definimos função derivd f : I R por f f(x + h) f(x) (x) = lim. h 0 h Teorem: Sej f : I R, um função definid em I R um união de intervlos bertos. Se f é derivável em p I então f é contínu em p. e Demonstrção: Bst provrmos que De fto, temos lim f(x) = f(p). x p lim f(x) = f(p) lim (f(x) f(p)) = 0 x p x p [ ] (f(x) f(p)) lim (f(x) f(p)) = lim. (x p) = x p x p (x p) = f (p).0 = 0. Observção: Ser derivável é condição suficiente pr ser contínu e ser contínu é condição necessári pr ser derivável isto é derivável contínu. A recíproc é fls, isto é, ser derivável não é necessário pr ser contínu e ser contínu não é suficiente pr ser derivável isto é contínu derivável. De fto, considere por exemplo função f : R R dd por f (x) = x. Temos que f é contínu em x = 0 ms não é derivável em x = 0. 35

4. Regrs de Derivção Nest seção clculremos derivd d som, d diferenç, do produto e do quociente de funções. Em seguid estudremos derivd d compost de dus funções. Teorem : Sejm I R, um união de intervlos bertos, f, g : I R funções deriváveis em p I e k R um constnte rel. Temos: ) (f ± g) é derivável em p e (f ± g) (p) = f (p) ± g (p). b) (kf) é derivável em p e (kf) (p) = kf (p). c) (fg) é derivável em p e (fg) (p) = f(p)g (p) + f (p) g (p). d) Se g (p) 0 então ( f g ) é derivável em p e Demonstrção: ) A prov se reduz o cálculo do limite ( f g (f ± g) (p) = (f ± g) (p + h) (f ± g) (p) lim = h 0 h = f (p + h) ± g (p + h) f (p) g (p) lim h 0 = lim h 0 h [( f (p + h) f (p) = f (p) ± g (p). b) Deixmos como exercício. c) A prov se reduz o cálculo do limite h ) ± (f.g) (p) = (f.g) (p + h) (f.g) (p) lim = h 0 h = f (p + h).g (p + h) f (p).g (p) lim = h 0 h ) (p) = g(p)f (p) f(p)g (p) g(p). = ( )] g (p + h) g (p) = h f (p + h).g (p + h) f (p) g (p + h) + f (p) g (p + h) f (p).g (p) = lim = h 0 h [ ( ) ( )] f (p + h) f (p) g (p + h) g (p) = lim g (p + h) + f (p) = h 0 h h Como g é derivável em p então g é contínu em p e portnto Assim temos d) Vmos inicilmente provr que lim g (p + h) = g (p). h 0 = f(p)g (p) + f (p) g (p). ( ) (p) = g (p) g g (p). 36

De fto, clculemos o limite ( ) (p) = lim g h 0 = lim h 0 ( = lim h 0 [ = lim h 0 g = g (p) g (p). ) (p + h) h g(p+h) g(p) h g(p) g(p+h) g(p+h)g(p) = ( = h g (p + h) g (p) g ) (p) = ] g (p + h) g (p) = h Pr obtermos o cso gerl bst plicrmos c) e o que provmos cim. Teorem (REGRA DA CADEIA):Sejm f : I R e g : J R stisfzendo que f (I) J. Se f é derivável em p e g é derivável em f(p) então g f : I R é derivável em p e (g f) (p) = g (f (p)).f (p). Demonstrção: Clculemos o limite (g f) (g f) (p + h) (g f) (p) (p) = lim = h 0 h g (f (p + h)) g (f (p)) = lim = h 0 h Pr simplificrmos nosso cálculo vmos supor que existe δ > 0 tl que Assim temos 0 < h < δ f (p + h) f (p). k = f (p + h) f (p) g(f (p) + k) g (f (p)) f (p + h) f (p) = lim. = h 0 k h = g (f (p)).f (p). 4.3 Derivd d Função Invers Nest seção prenderemos como derivr invers de um dd função. Teorem: Sej f : I R um função inversível, com função invers f : f (I) R. Se f for derivável em q = f (p), com f (q) 0 e se f 37

for contínu em p, então f será derivável em p e ( f ) (p) = f (q). Demonstrção: Temos f (x) f (p) x p = = f(f (x)) f(f (p)) f (x) f (p) f (x) f (p) f (f (x)) f (f (p)) =, pr x p. Fzendo u = f (x), pel continuidde de f em p temos que u q pr x p e f (x) f (p) lim = lim = x p x p u q f(u) f(q) f (q). 5 O Teorem do Vlor Médio e Aplicções Estudremos um dos principis teorems do Cálculo: O Teorem do Vlor Médio. A prtir deste teorem poderemos fzer um nálise detlhd do gráfico de funções reis de vriável rel. Pr provrmos este teorem precismos inicilmente estudr máximos e mínimos. u q 5. Máximos e Mínimos: O Teorem de Fermt Lembremos que o Teorem de Weierstrss grnte que se f : I R for contínu, e I for um intervlo fechdo [, b] então existem x e x em [, b] tis que f (x ) f (x) f (x ), x [, b]. f (x ) é chmdo de mínimo e f (x ) de máximo de f. Nest seção estudremos máximos e mínimos de funções f : I R onde I é um intervlo qulquer d ret. Utilizremos derivd pr tl estudo. Proposição: Sejm f : I R e c I um ponto onde f é derivável. ) Se f (c) > 0 então existe δ > 0 tl que pr tem-se c δ < x < c < x < c + δ f (x ) < f (c) < f (x ). b) Se f (c) < 0 então existe δ > 0 tl que pr c δ < x < c < x < c + δ 38

tem-se f (x ) > f (c) > f (x ). Demonstrção: Vmos provr ) e deixremos b) como exercício. Se f (c) > 0 então temos Logo existe δ > 0 tl que c < x < c + δ f (x) f (c) lim > 0. x c x c f (x) f (c) x c D mesm form, existe δ > 0 tl que c δ < x < c Tomndo δ = min{δ, δ } temos f (x) f (c) x c > 0 f (c) < f (x). > 0 f (x) < f (c). c δ < x < c < x < c + δ c δ < x < c e c < x < c + δ f (x ) < f (c) < f (x ). Definição: Sej f : I R. ) Dizemos que c I é um ponto de máximo de f e f (c) é um vlor máximo de f se f (x) f (c), x I. b) Dizemos que c I é um ponto de mínimo de f e f (c) é um vlor mínimo de f se f (x) f (c), x I. c) Dizemos que c I é um ponto de máximo locl de f se existir δ > 0 tl que x c < δ f (x) f (c). d) Dizemos que c I é um ponto de mínimo locl de f se existir δ > 0 tl que x c < δ f (c) f (x). Teorem de Fermt: Sej f : I R um função derivável em c I, um ponto interior de I. Se c é ponto de máximo ou mínimo locl de f então f (c) = 0. Demonstrção: Suponhmos que f (c) 0. Sem perd de generlidde podemos supor f (c) > 0 e que c é ponto de máximo locl. 39

Pel proposição nterior, existe δ > 0 tl que pr tem-se c δ < x < c < x < c + δ f (x ) < f (c) < f (x ). Como c é ponto de máximo locl, existe δ > 0 tl que x c < δ f (x) f (c). Tomndo δ = min{δ, δ } e x stifzendo c < x < c + δ segue que e portnto c < x < c + δ e x c < δ f (c) < f (x ) e f (x ) f (c). Est contrdição implic que f (c) = 0. Observções: ) Observe que o teorem de Fermt dá um condição necessári os pontos de máximo e mínimo locis de f. A condição não é suficiente. Considere por exemplo f (x) = x 3. Temos que f (0) = 0 e no entnto 0 não é ponto de máximo locl nem de mínimo locl. ) Dd um função f : I R, podem ocorrer pontos de máximo e mínimo em pontos onde f não é derivável. Considere por exemplo f (x) = x. Observe que 0 é um ponto de mínimo locl e no entnto não existe f (0). Definição:c é um ponto crítico de f : I R se f (c) = 0 ou se não existe f (c). Teorem: Sej f : [, b] R contínu. Os vlores máximo e mínimo de f são ssumidos ou nos pontos críticos de f ou nos extremos do intervlo. Demonstrção: O Teorem de Weierstrss grnte existênci de x e x pontos de máximo e mínimo de f. Se x e x {, b} nd temos provr. Se um deles pertencer (, b) então em tl ponto f é ou não derivável. Se não for derivável então o ponto será crítico e se for derivável então o teorem de Fermt grnte que derivd em tl ponto se nulrá, ou sej o ponto será crítico. Teorem: Sejm f : I R derivável e, b I, < b. Se f ().f (b) < 0 então existe x 0 (, b) tl que f (x 0 ) = 0. Demonstrção: Pelo teorem de Weierstrss existem α, β [, b] tis que f (α) e f (β) são os vlores máximo e mínimo de f em [, b]. Se α = β então f é constnte em [, b] e o teorem é trivilmente stisfeito. Se α β então temos 3 possibiliddes: 40

) Se pelo menos um dos dois está em (, b) então o Teorem de Fermt plic-se tl ponto e o teorem está provdo. b) Se α = e β = b então f ( +) = f (x) f () lim 0 x + x f ( b ) = f (x) f (b) lim 0 x b x b e isto contrri hipótese que f ().f (b) < 0. c) Se α = b e β = então f ( +) = f (x) f () lim 0 x + x f ( b ) = f (x) f (b) lim 0 x b x b e isto contrri hipótese que f ().f (b) < 0. Teorem (Propriedde do Vlor Intermediário pr Derivds): Sejm f : I R derivável e < b I. Se k R stisfz f () < k < f (b) então existe x 0 (, b) tl que f (x 0 ) = k. Demonstrção: Bst plicr o teorem nterior pr F (x) = f (x) kx. Corolário: Sejm f : I R derivável e < b I. Se f (x) 0 em [, b] então f tem sinl constnte em [, b]. Demonstrção: Se existissem x e x tis que f (x ) < 0 e f (x ) > 0 então existiri x 0 tl que f (x 0 ) = 0. 5. Os Teorems de Rolle e do Vlor Médio Nest seção provremos o TVM (Teorem do Vlor Médio) prtir d prov de um cso prticulr (Teorem de Rolle). Teorem (Teorem de Rolle): Sej f : [, b] R contínu em [, b] e derivável em (, b). Se f () = f (b) então existe c (, b) tl que f (c) = 0. Demonstrção: Se f for constnte em [, b] então f (x) = 0, pr todo x (, b) e neste cso nd temos pr provr. Se f não for constnte então, pelo Teorem de Weierstss, existem x e x em [, b], x x, tis que x é ponto de máximo e x é ponto de mínimo. Como f () = f (b) então necessrimente um dos dois está em (, b). De fto, cso contrário f seri constnte. Sem perd de generlidde, suponhmos que x (, b). Como f é derivável em x segue, pel proposição nterior que f (x ) = 0 e portnto bst tomrmos c = x. 4