Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl - APES DETERMINANTES Prof Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I UNIDADE DETERMINANTES INTRODUÇÃO Existe um número ssocido à mtriz qudrd, obtido trvés de determinds operções, envolvendo todos os elementos d mtriz, que é chmdo de determinnte O desenvolvimento d teori dos determinntes permitiu o surgimento, quse que prlelo d teori dos sistems de equções lineres DEFINIÇÃO Dd um mtriz qudrd A de ordem n, podemos ssocir um número rel, conhecido como determinnte d mtriz A ( det A ), que pode ser obtido prtir de determinds operções lgébrics com os elementos d mesm d mtriz possui um único determinnte Obs: somente s mtrizes qudrds possuem determinnte DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM ( n = ) O determinnte d mtriz = o próprio elemento A é indicdo por det A e corresponde Ex: Se A = [ ], então det A = = DETERMINANTE DA MARIZ DE ORDEM ( n = ) O determinnte de um mtriz qudrd A de ordem é clculdo trvés do produto dos elementos d digonl principl menos o produto dos elementos d digonl secundári Sendo mtriz A, o determinnte d mtriz A é representdo por det A ( ) ( ) k R
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I Ex: Dd mtriz A então, det A 8 8 8 DETERMINANTE DA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM n onsideremos mtriz qudrd de ordem, A O determinnte d mtriz de ordem será: deta Podemos ind obter o determinnte de um form mis fcilitd pel Regr de Srrus, provvelmente escrit no no de 8, pelo mtemático Pierre Frédéric Srrus lculndo por Srrus mtriz de ordem se resolveri d seguinte form: Repetimos s dus primeirs coluns à direit d mtriz (ou s dus primeirs linhs bixo d mtriz) e efetumos s multiplicções ds digonis: Os produtos obtidos n digonl principl permnecem com o mesmo sinl e os produtos obtidos n direção d digonl secundári mudm de sinl
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I Em outrs plvrs, montmos um expressão com os produtos d digonl principl menos (-) os produtos d digonl secundári O determinnte é som dos vlores obtidos Ex: Sej mtriz seguinte form: A, o determinnte será clculdo d Aplicndo Regr de Srrus ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Dess form, montremos expressão: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 7 Ou ind, podemos repetir s dus primeirs linhs bixo d mtriz e efetur s multiplicções: ) ( D mesm form, montmos expressão: 6 7
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Fil de zeros, Fils iguis e Fils proporcionis det Se todos os elementos de um linh ou colun de um mtriz qudrd forem iguis zero, seu determinnte será nulo Ex: Sej A 9 e B 7, os determinntes de mbs s mtrizes serão nulos, pois, primeir colun de A é igul zero e terceir linh deb tmbém é igul zero Portnto, deta e detb Se os elementos correspondentes de dus linhs ou de dus coluns de um mtriz qudrd forem iguis, seu determinnte será nulo Ex: Sej A 7 e 8 8 B 7 6, os determinntes de mbs s mtrizes serão nulos, pois, segund e terceir colun de A são iguis e primeir e terceir linhs deb tmbém são iguis Portnto, det A e detb Se um mtriz qudrd possui dus linhs ou coluns proporcionis, ou sej, se um linh (ou colun) é igul à outr prlel multiplicd por qulquer número, seu determinnte será nulo Ex: Sej A 9 7, o determinnte de A será nulo, pois os elementos d segund linh representm o triplo dos elementos d primeir linh, logo existe um relção de proporcionlidde Portnto det A Multiplicção de um fil ou de um mtriz por um constnte Se todos os elementos de um linh ou de um colun de um mtriz qudrd forem multiplicdos por um constnte, então seu determinnte fic multiplicdo por
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I Ex Sendo A Multiplicndo primeir colun de A por k=, temos Então: det( A) det( B) ()() ()( ) B ()() ()( ), verificndo propriedde det( B) det(a) Se um mtriz qudrd é multiplicd por um constnte, seu determinnte ficrá multiplicdo por n onde n é ordem d mtriz Ex: Sej deta A e, 8 6 9 A, portnto det( A) 7 7, ou sej, Ordem dois det( A) deta n Desse modo, podemos dizer que é um mtriz qudrd de ordem n det n A det A n n, em que A 6
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I Determinnte d mtriz trnspost trnspost O determinnte de um mtriz qudrd é igul o determinnte de su Ex: Sej A e A t, o deta ( ) e t deta ( ), logo deta t deta Troc de fils prlels Se trocrmos de posição dus linhs ou coluns de um mtriz qudrd, o determinnte d nov mtriz é o oposto do determinnte d mtriz originl Ex: Sej A 6 e 7 8 9 B 8 7 6 9 A nov mtriz B foi obtid prtir d troc entre s posições d primeir e segund coluns de A E ssim: deta detb 8 96 7 8 96 8 7 8 96 8 96 8 Dess form, os sinis dos determinntes ficm opostos Teorem de Binet Segundo o Teorem de Binet, o determinnte de um produto de mtrizes qudrds é o produto dos seus determinntes Sendo A e B mtrizes qudrds: AB deta detb det 7
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I Ex: Sejm determinntes: det A detb A e B mtrizes qudrds, e seus O produto ds mtrizes A e B será: A B det( AB) det AdetB 6, e, segundo o Teorem de Binet: detadetb O que se verific clculndo pelo cálculo do determinnte d mtriz produto: det( AB) 6 6 Teorem de Jcobi Segundo o Teorem de Jcobi, o determinnte de um mtriz não é lterdo qundo multiplicmos um linh (ou colun) por um número, e sommos o resultdo com outr linh (ou colun) prlel Ex: Sejm A, o deta Multiplicndo primeir linh, por exemplo, por, e somndo os resultdos com segund linh teremos nov mtriz qudrd: B ( ) ( ) 7 O detb ( ) 7 6 ( 7) 6 7, logo deta detb 7 Determinnte d Invers Sej um mtriz qudrd A e su invers A, então: det A det A com det A 8
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I Ex: Sej A, deta será: det A logo, deta MENOR OMPLEMENTAR O menor complementr reltivo um elemento de um determind mtriz qudrd é o determinnte ssocido à mtriz que se obtém eliminndo linh e colun que contem o elemento seleciondo Por exemplo: Sej mtriz qudrd A podemos clculr o menor complementr, que chmremos de Mij, escolhendo, primeirmente, um elemento ij Prtindo do exemplo, escolheremos o elemento que corresponde o número Logo, o menor complementr referente o elementoserá Mij, ou sej, M, que encontrremos eliminndo linh e colun que contem o elemento, ficndo com: A Assim, o menor complementr será M E ssim por dinte: M, pois A 9
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I M, pois A M, pois A M, pois A M, pois A M, pois A M, pois A M, pois A 6 O-FATOR OU OMPLEMENTO ALGÉBRIO O co-ftor, que chmremos de ij, é o número rel obtido pel expressão: co-ftor Menor omplementr M ij j i ij
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I Nesse sentido, se considerrmos mtriz do exemplo nterior, A, podemos clculr o co-ftor referente o elemento, por exemplo, o qul possui o menor complementr Portnto, o co-ftor será: Ao clculr o determinnte: lculndo o determinnte M 7 TEOREMA DE LAPLAE O Teorem de Lplce é utilizdo pr simplificr o cálculo de determinntes de mtrizes qudrds: O determinnte de um mtriz qudrd de ordem é igul à som dos produtos dos elementos de um linh ou colun qulquer pelos respectivos co-ftores Ex: Sej A, empregndo o Teorem de Lplce escolhemos os elementos de um linh ou colun qulquer d mtriz Se escolhermos o elemento d primeir linh e primeir colun, por exemplo: det( A) Elemento d primeir linh o-ftor
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I i j Sbendo que M ij ij, temos: M e sbemos que M, então: 6 8, d mesm form, M e sbemos que M, então: e, tmbém, M e sbe-se que M, então: 8 Assim, o determinnte d mtriz, plicndo o teorem de Lplce os elementos d primeir linh será: det( A) 8 8 Determinnte d mtriz de ordem superior três ( n ) Pr clculrmos o determinnte de um mtriz de ordem n, plicremos o Teorem de Lplce tnts vezes qunts forem necessáris té chegrmos um determinnte de ordem pr que sej possível plicr Regr de Srrus, conforme o exemplo:
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I Ex: Sej A um mtriz de ordem Pr clculr seu determinnte, vmos primeirmente plicr Lplce Escolheremos primeir linh e, ssim, teremos Sbendo que M det( A) c ij i j ij, temos: M determinnte:, com M, então, plicremos Srrus no Aplicndo Regr de Srrus M, com M Aplicndo Regr de Srrus 9 6 6
Mtemátic Básic pr iêncis Sociis I M, com M Aplicndo Regr de Srrus M, com M Aplicndo Regr de Srrus 6 9 6 9 6 9 Portnto, o determinnte d mtriz A será: det( A) det A 6 6 6 Obs Sempre que possível devemos escolher fil (linh ou colun) com mior número de zeros, pois se o elemento for nulo o produto dele pelo seu co-ftor tmbém será nulo, não precisndo ser clculdo