Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b...

Cálculo Numérico Módulo V Resolução Numéric de Sistems Lineres Prte I Profs.: Bruno Correi d Nóbreg Queiroz José Eustáquio Rngel de Queiroz Mrcelo Alves de Brros

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b...

Sistems Lineres Eemplo 4 5 5 4 5 4 5, 4, 5, 4,, 5,, 4 e 5 coeficientes, e incógnits

4 Sistems Lineres Form Mtricil onde: 4 A b A b nn n n n n n A n b b b b n

5 Sistems Lineres 5 4 5 4 5 5 4 5 Eemplo Form Gerl Form Mtricil 5. 5 4 5 4 5 4

Sistems Lineres Clssificção I Impossível Não possui solução Eemplo 9 6

Sistems Lineres Clssificção II Possível Possui ou mis soluções Determindo Solução únic Eemplo 4 4 8 7

Sistems Lineres Clssificção III Possível Possui ou mis soluções Indetermindo Mis de um solução Eemplo 5 4 8 8

Sistems Lineres Clssificção IV Possível Possui ou mis soluções Homogêneo Vetor b ( sempre eiste solução) Eemplo 6 9

Sistems Lineres Sistems Tringulres: Possibilidde de resolução de form Retrotiv Inferior A n n n nn

Sistems Lineres Sistems Tringulres: Possibilidde de resolução de form Retrotiv Superior A n n n nn

Solução Retrotiv Eemplo 7: Ddo o sistem: 4 5 4 5 Primeiro psso pr su resolução: 4 4 4 4 4

Solução Retrotiv Eemplo 7: Segundo psso: Terceiro psso: 5 4 5 4 4 4

Solução Retrotiv Eemplo 7: Último psso: 4 5 4 ( ) 5 4 4

Métodos Numéricos Diretos Solução pode ser encontrd trvés de um número finito de pssos Método de Guss Método d Eliminção de Jordn Ftorção LU 5

Métodos Numéricos Itertivos Solução prtir de um seqüênci de proimções pr o vlor do vetor solução, té que sej obtido um vlor que stisfç à precisão pré estbelecid Método de Jcobi Método de Guss Siedel 6

Método de Guss Propósito Trnsformção do sistem liner ser resolvido em um sistem liner tringulr; Resolução do sistem liner tringulr de form retrotiv 7

Método de Guss Trnsformção do Sistem Liner Troc d ordem ds linhs; Multiplicção de um ds equções por um número rel não nulo; Substituição de um ds equções por um combinção liner del mesm com outr equção. 8

Método de Guss Pssos do Método de Guss Construção d mtriz umentd Ab [ Ab] n n n n n nn b b b n 9

Método de Guss Pssos do Método de Guss Psso : Eliminr os coeficientes de presentes ns linhs,,...,n sendo,... n sendo chmdo de pivô d colun Substituir linh, L, pel combinção liner L m L, onde : m

Método de Guss Pssos do Métdo de Guss Substituir linh, L, pel combinção liner: L L m L, onde : m

Método de Guss Pssos do Método de Guss Deve se continur substituição té linh n; Cso lgum elemento pp, chr outr linh k onde kp e trocr tis linhs. Cso linh k não eist, o sistem liner não possui solução.

Método de Guss Pssos do Método de Guss Eliminr os coeficientes de ns linhs, 4,..., n (fzer 4... n ); Eliminr os coeficientes de ns linhs 4, 5,..., n (fzer 4 5... n ) e ssim sucessivmente.

Método de Guss Eemplo 8: Resolver o sistem: 4 4 5 Mtriz umentd Ab [ Ab] 4 4 5 4

Método de Guss Eemplo 8: Fz se: L L m L, m Assim: L L [ 4 4 ] [ 5 ] [ 7 ] 5

Método de Guss Eemplo 8: Fz se: L L m L, m Assim: L L [ ] [ 5 ] [ 6 6 ] 6

Método de Guss Eemplo 8: Obtém se mtriz: [ Ab] 6 5 7 6 7

Método de Guss Eemplo 8: Substituindo linh por: L L m L, m Têm se: L L [ 6 7 ] [ 7 ] [ 5 5 ] 8

Método de Guss Eemplo 8: A mtriz [Ab] fic ssim com os seguintes vlores: [ Ab] 5 5 7 5 9

Método de Guss Eemplo 8: Us se solução retrotiv: 5 6 5 7 7 5 5

Método de Guss Eemplo 9: Resolver o sistem. 7 4 5 57 4 4 8 Representndo o sistem pel mtriz umentd: [ AB] 7 4 5 4 57 4 8

Método de Guss Eemplo 9: Escolhendo primeir linh como pivô, obtém se: L L L L L m L [ 7 4 ] (7 / ) [ 4 5 57 ] [ 4 4 ] L m L [ 4 8 ] ( / ) [ 4 5 57 ] [ 86 ]

Método de Guss Eemplo 9: Representndo o sistem pel mtriz umentd: [ AB] 4 86 5 4 57 4

Método de Guss Eemplo 9: L L Escolhendo gor segund linh como pivô, têm se: L m L [ 86 ] ( 86 / ) [ 4 4 ] [ 6 68 ] Obtêm se seguinte mtriz mplid: [ AB] 4 5 4 6 57 4 68 4

Método de Guss Eemplo 9: O que termin com tringulção: 4 5.4 6. 57 4.4 6.8 4 5

Método de Guss Eemplo 9: Com solução: 68/( 6). [ 4 ( 4).]/. [57 5. 4.]/ 4.5 Um pouco diferente d solução et: X,X e X 6

Método do Pivotemento Prcil Semelhnte o método de Guss; Minimiz mplificção de erros de rredondmento durnte s eliminções; Consiste em escolher o elemento de mior módulo em cd colun pr ser o pivô. 7

Método do Pivotemento Prcil Eemplo : Resolver o sistem com precisão de css decimis 7 4 5 4 57 4 8 8

Método do Pivotemento Prcil Eemplo : Mtriz umentd originl deve ser justd: 7 4 5 4 57 4 8 7 4 5 4 4 57 8 9

Método do Pivotemento Prcil Eemplo : Sistem inlterdo, elemento pivô 7. Encontrr s novs linhs: L L m L [ 4 5 57 ] ( / 7 ) [7 4 ] L [.7 5. 5 ] L L m L [ 4 8 ] ( / 7 ) [7 4 ] L [ 87.6 6.5 7 ] 4

Método do Pivotemento Prcil Eemplo : A mtriz mplid fic d form: 7.7 87.6 5. 6.5 4 5 7 7 87.6.7 6.5 5. 4 7 5 Usndo o elemento 87.6 como pivô, tem se: L L m L [.7 5. 5 ] (.7 / 87.6) [ 87.6 6.5 7 ] L [ 5.8 5.56 ] 4

Método do Pivotemento Prcil Eemplo : A mtriz mplid fic n form: 7 87.6 6.5 5.8 4 7 5.56 4

Método do Pivotemento Prcil Eemplo : A solução do sistem tringulr que resultou desss operções é: 5.8/5.56.99 [ 7 6.5,99]/( 87.6).997 [4 ( ),99.997]/7. Solução muito próim d et. 4

Método de Jordn Consiste em efetur operções sobre s equções do sistem, com finlidde de obter um sistem digonl equivlente; Um sistem digonl é quele em que os elementos ij d mtriz coeficiente [A] são iguis zero, pr i j, i, j,,...,n. 44

45 Método de Jordn Sistem digonl equivlente: nn n n n [ A]

46 Método de Jordn Eemplo : A prtir do sistem: Com mtriz umentd: 4 5 5 [ ] 4 5 5 4 5 5 Ab

Método de Jordn Eemplo : Substituindo linh por: L L L m L [ 4.6.4.8 ] [ 5 ] ( / 5) [ 5 ], m / 5. L L L Substituindo linh por : m L [ 4 ] ( / 5) [ 5 ] [..8.6 ], m / 5.4 47

Método de Jordn Eemplo : A mtriz mplid result em: [ Ab] 5 4.6..4.8.8.6 Substituindo linh por: L L L m L [.69.7 ] [..8.6 ] (. / 4.6) [ 4.6.4.8 ], m. / 4.6.478 48

Método de Jordn Eemplo : A mtriz mplid result em: [ Ab] 5 4.6.4.69.8.478 L L Substituindo linh por L m L [ 4.6.4.8 ] (.4 /.69 ) [.69.7 ] [ 4.6.4 ] 49

Método de Jordn Eemplo : Mtriz mplid result em: [ Ab] 5 4.6.69.4.478 Substituindo linh por L L [ 5 ] ( / 4.6) [ 4.6.4 ] [ 5.574 ], m / 4.6 5

Método de Jordn Eemplo : Substituindo linh por: L L [ 5.574 ] ( /.69 ) [.69.478 ] [ 5 4.77 ], m /.69 A mtriz mplid fic d seguinte form: [ Ab] 5 4.6.69 4.77.4.478 5

Método de Jordn Eemplo : E s soluções são:.78,.8,.85 5

Decomposição em LU O objetivo é ftorr mtriz dos coeficientes A em um produto de dus mtrizes L e U. Sej: [ LU] m m m n m m n m n m nn u u u u u u u u u u n n n nn 5

54 Decomposição em LU E mtriz coeficiente A: Têm se: nn n n n n n A [ ] nn n n n nn n n n nn n n n n n u u u u u u u u u u m m m m m m m [LU] A

Decomposição em LU Pr se obter os elementos d mtriz L e d mtriz U, deve se clculr os elementos ds linhs de U e os elementos d coluns de L como segue. 55

Decomposição em LU ª linh de U: Fze se o produto d ª linh de L por tods s coluns de U e igul com todos os elementos d ª linh de A, ssim: u u u u j n u u n un, j,,..., n. j n,,, 56

Decomposição em LU ª colun de L: Fz se o produto de tods s linhs de L, (d ª té nª), pel ª colun de U e igul com os elementos d ª colun de A, (bio d digonl principl), obtendo, m m m m l l u u u u l l m m m l, l,,..., n. u u u l,,, 57

Decomposição em LU ª linh de U: Fz se o produto d ª linh de L por tods s coluns de U, (d ª té nª), e igulndo com os elementos d ª linh de A, (d digonl principl em dinte), obtêm se, m m m u j u u u n j u u u m n u n j, u u j un,..., n. n m m m u u u n,,, 58

Decomposição em LU ª colun de L: Fz se o produto de tods s linhs de L (d ª té nª) pel ª colun de U e igul com os elementos d ª colun de A, (bio d digonl principl), obtendo, m m m m 4 l l u u u l m m m m u l 4 l u u u u l 4 m m m l, l,..., n. 4 l 4 m u m u m l u 4 u u u,,, 59

Decomposição em LU Temos seguinte fórmul gerl: u m lj lj lj ( lj l k m lk m lk u kj u, kj ) / u jj, l j, l > j. 6

Decomposição em LU Resumo de Pssos: Sej um sistem A b de ordem n, onde A stisfz s condições d ftorção LU. Então, o sistem A b pode ser escrito como: Lu b 6

Decomposição em LU Resumo dos Pssos: Fzendo U y, y equção cim reduz se Ly b. b Resolvendo o sistem tringulr inferior Ly b, b obtém se o vetor y. 6

Decomposição em LU Resumo dos Pssos: Substituição do vlor de y no sistem U y Obtenção de um sistem tringulr superior cuj solução é o vetor procurdo; Aplicção d ftorção LU n resolução de sistems lineres Necessidde de solução de dois sistems tringulres 6

Erros Avlição de Erros No sistem A b, onde: [ A] n n n n nn [ ] n [b] b b bn o erro d solução é. 64

Erros Avlição de Erros Procedimento de Determinção do Erro Determinr: A b 65

Erros Resíduo Procedimento de Determinção do Erro Fzer: Resíduo b b Resíduo b b A A A ( ) A erro 66

Erros Resíduo Verific se que: O resíduo não é o erro, pens um estimtiv do mesmo; Qunto menor for o resíduo, menor será o erro. 67

Erros Resíduo Eemplo : Refinr solução do sistem: 8,7 4,5 5,,, 9,, 4 6,4 8,8,5 45, 4 49,7 8,8,5,4 4 8,8 8,,,5 6, Cuj solução encontrd trvés pelo método de Guss, utilizndo solução retrotiv é: 4 ) ( [,97,98,97, ] 68

Erros Resíduo Eemplo : O resíduo clculdo é: r ( ) b A ( ),594 Vê se pelo resíduo que precisão lcnçd não foi stisftóri. O vetor () é chmdo de vetor solução.,4,4,594 69

Erros Resíduo Eemplo : Com o intuito de melhorr solução, consider se um novo vetor () chmdo de vetor solução melhordo. 7

Erros Resíduo Eemplo : De form que : () () δ (), onde δ () é o vetor de correção. Assim: A A( A Aδ Aδ () ( ) ( ) ( ) ( ) b δ Aδ b r ( ) ( ) ) b b ( ) A ( ) 7

Erros Resíduo Eemplo : Clculr o vetor de correção: 8,7 4,5 5,,, 8,8 8,8 8, 9,,5,5,, δ 45,δ,4 δ,5 δ 4,4,4,594,594 7

Erros Resíduo Eemplo : A solução é: δ ( ),95,95,94, 7

Erros Resíduo Eemplo : Dest form, solução melhord será: () ( ) δ ( ),,,9999, 74

Erros Resíduo Eemplo : Cujo novo resíduo é: r () b A (),9,,4, 75

Erros Resíduo Eemplo : Utilizndo o mesmo procedimento, têm se que: () () () δ Assim, o vetor correção, clculdo por δ () r (), é: () r δ (),,,7, A 76

Erros Resíduo Eemplo : Ach se ssim um solução melhord: (),,,, 77

Erros Resíduo Eemplo : Que possui resíduo: r () 78

Sistems Lineres Bibliogrfi Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. d R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computcionis. MAKRON Books, 996, ª ed. Asno, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Fundmentos e Aplicções.. Deprtmento de Mtemátic Aplicd IME/USP, 7. Snches, I. J. & Furln, D. C. Métodos Numéricos. DI/UFPR, 6. Pulino, C. D. & Sores, C. Erros e Propgção de Erros, Nots de ul,, SE/ DM/ IST [Online] http://www.mth.ist.utl.pt/stt/pe/qeb/semestre 4 5/PE_erros.pdf [Último cesso 7 de Junho de 7]. 79