ÍNICE MATEMÁTICA... PARA REFLETIR!... EXERCÍCIOS... EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES... OPERAÇÕES COM MATRIZES... PARA REFLETIR!...7 EXERCÍCIOS E APLICAÇÃO...8 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES...8...9 PARA REFLETIR!... EXERCÍCIOS E APLICAÇÃO... EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES......
Pré Vestibulr iferencil Mtemátic C Um tbel de números dispostos em linhs e coluns, como por eemplo: 7 é chmd mtriz. Se ess tbel é formd por m linhs e por n coluns, dizemos que mtriz é do tipo m por n, e indicmos m n. No eemplo, mtriz A tem linhs e coluns; então, A é do tipo : A ( ). e modo gerl, presentmos um mtriz cercndo s linhs e s coluns por prênteses como n mtriz A cim. Podemos tmbém utilizr colchetes ou dupls brrs. Eemplos B = /. é um mtriz (). C =. = [ ] Notção Gerl é um mtriz de ordem é um mtriz () Normlmente representmos s mtrizes por letrs miúsculs e seus elementos por letrs minúsculs, compnhds por dois índices que indicm, respectivmente, linh e colun que o elemento ocup. Um mtriz A do tipo m n é representd por: A= M m M m M m L L L L L n n ou, brevidmente, A = [ ij ] m, em que i e j representm, respectivmente, linh e colun que o elemento ocup. Por eemplo, n mtriz nterior, é o elemento d ª linh e d ª colun. Eemplo N mtriz: A = n M mn temos = = = = Tipos de mtrizes Algums mtrizes recebem nomes especiis, devido sus crcterístics. Mtriz linh : mtriz do tipo n, ou sej, com um únic linh. Por eemplo, mtriz A = 8, do tipo. [ ] Mtriz colun : mtriz do tipo m, ou sej, com um únic colun. Por eemplo, do tipo. Mtriz qudrd : mtriz do tipo n n, ou sej, com o mesmo número de linhs e coluns; dizemos que mtriz é de ordem n. Os elementos d form ii constituem digonl principl. Os elementos ij em que i = j = n + constituem digonl secundári. Por eemplo, mtriz 7 9 C = tipo, isto é, qudrd de ordem., é do Mtriz nul: mtriz em que todos os elementos são nulos; é representd por m n. Por eemplo, O = Mtriz digonl: mtriz qudrd em que todos os elementos que não estão n digonl principl são nulos. Por eemplo: B = Mtriz identidde: mtriz qudrd em que todos os elementos d digonl principl são iguis e os demis são nulos; é representd por I n, sendo n ordem d mtriz. Por eemplo:
Pré Vestibulr iferencil Mtemátic C I = Pr refletir! Qul relção entre um mtriz A e su opost? No que mtriz ntisimétric difere d mtriz simétric? Pr um mtriz identidde ij = se i = j ij = se i j Mtriz trnspost: d um mtriz A (m), mtriz que se obtém trocndo ordendmente s linhs pels coluns chm-se trnspost de A, e é indicd por A t (ou por A t ). Por eemplo t A = A = Mtriz simétric: mtriz qudrd de ordem n tl que A = A t. Por eemplo A = 8 é simétric pois temos ij = ji. Mtriz nti-simétric: Um mtriz qudrd A = A = [ ij ] é nti-simétric se A t = -A. Por eemplo A = Mtriz opost: mtriz - A obtid prtir de A trocndo-se o sinl de todos os elementos de A. Por eemplo, se A = então A = Iguldde de Mtrizes us mtrizes, A e B, do mesmo tipo m n, são iguis se, e somente se, todos os elementos que ocupm mesm posição são iguis. Por eemplo, se y 8 A = e B = z t A = B se, e somente se, = 8, y = -, z = e t =. Eercícios. Escrev mtriz A () = [ ij ], onde ij = i + j. etermine, em seguid, A t ( mtriz trnspost de A). ij = i se i = j ij = j se i i. Escrev mtriza ( ) = [ ij ] onde. (ACAFE) Sej A = B, onde A + log y = e y B = então os vlores de e y serão, respectivmente: ) e b) ± e ± c) e d) - e - e) ± e ± Eercícios Complementres A = y z. Sendo A = [ ij ] tl que ij = i + j, determinde, y e z tis que.. d mtriz A = [ ij ] tl que ij = i +j -, clcule +.. Clcule som dos elementos d ª colun d mtriz B = [b ij ], em que b ij = i + j - Operções com Mtrizes Adição ds s mtrizes A e B, mbs do mesmo tipo (m n), somr A com B é obter mtriz A + B, do tipo m n, onde cd elemento é som dos elementos de mesm posição de A e B. Por eemplo: Se então 8 7 A = e B = + 8 7 A + B = + + 8 A + B = 8 + +
Pré Vestibulr iferencil Proprieddes d Adição Sendo A, B e C mtrizes do mesmo tipo (m n), temos s seguintes proprieddes pr dição: ) comuttiv: A + B = B + A b) ssocitiv: (A + B ) + C = A + (B + C) c) elemento neutro: A + = + A = A, sendo mtriz nul m n d) elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = Subtrção Pr entendermos subtrção de mtrizes devemos sber o que é um mtriz opost. A opost de um mtriz M é mtriz - M, cujos elementos são os números opostos de mesm posição de M. Por eemplo: M = M 7 7 Com mtriz opost podemos definir diferenç de mtrizes: A B = A + (-B) ou sej, pr subtrir mtrizes, sommos primeir com opost d segund. Assim pr s mtrizes A e B cim, temos: A B = A + ( B) A B = Logo, A B = 8 + 8 7 Multiplicção por um Número Rel Multiplicr um número k por um mtriz A é obter mtriz KA, cujos elementos são os elementos de A multiplicdos, todos por k. A = A = 9 Proprieddes Sendo A e B mtrizes do mesmo tipo m n e e y números reis quisquer, vlem s seguintes proprieddes: X. (ya) = (y). A ) ssocitiv: Mtemátic C ) distributiv de um número rel em relção à dição de mtrizes:. (A + B) = á + B b) distributiv de um mtriz em relção à dição de dois números reis: ( +y). A = á + ya c) elemento neutro: A = A, pr = ou sej,. A = A Multiplicção de Mtrizes ds s mtrizes A = ( ik )m n e B=(b ik )m p, define-se como produto de A por B mtriz C = (c ij )m p tl que o elemento c ij é som dos produtos d i-ésim linh de A pelos elementos correspondentes d j-ésim colun de B. C = A. B c ij P = = k ( A B ) Observção Somente eiste o produto de um mtriz A por outr mtriz B se o número de coluns de A é igul o número de linhs de B. Se eistir o produto de A por B, o tipo d mtriz produto é ddo pelo número de linhs de A e pelo número de coluns de B. Pode eistir o produto de A por B, ms não eistir o produto de B por A. Proprieddes Verificds s condições de eitênci pr multiplicção de mtrizes, vlem s seguintes proprieddes: (. B). C = A. (B. C) ) ssocitiv: b) distributiv em relção à dição: A. (B + C) = A. B + A. C ou (A +C). C = A. C + B. C c) elemento neutro: A I n = I n A = A, sendo I n mtriz identidde de ordem n Gerlmente propriedde comuttiv não vle pr multiplicção de mtrizes ( A. B B. A). Não vle tmbém o nulmento do produto, ou sej: sendo m um mtriz nul, A. B = m não implic, necessrimente, que A = m n ou B = m. Inversão de Mtrizes d um mtriz A, qudrd, de ordem n, se eistir um mtriz A t, de mesm ordem, tl que A. A t = A t. A = I m, então A t é mtriz invers de A. Representmos mtriz invers por A -. Pr refletir! Sempre podemos multiplicr mtrizes de mesm ordem (iguis)? ik ik 7
Pré Vestibulr iferencil (ACAFE) Sejm s mtrizes A, B e C. A lterntiv em que epressão é possível de ser determind é: ) B. (A + C) b)(b. A) + C c)( C. B) + A d) (A. C) + B e) A. (B + C) Eercícios de Aplicção A = / A = /. Sendo, determine su invers, se eistir. / / A =. (ACAFE) d mtriz, sej A t su mtriz trnspost. O produto A. A t é mtriz: 8 ) b) c) d) e). (ACAFE) Considere s mtrizes A =, B = e C = y 9 + y é: que A. B = C, o vlor de ) b) c) 7 d) 9 e) 9. Sbendo Mtemátic C Eercícios Complementres. ds s mtrizes = = B, clcule X = A B t. A = ij. A mtriz ( ) que: i j se i > j A ij = i + j se i = j i + j se i < j eterminr mtriz invers de A.. d mtriz cosθ M = senθ senθ cosθ A e é definid, de tl form Clcule M. M t. 7. (ITA-SP) Considere P mtriz invers d mtriz / M = / 7 d digonl principl d mtriz P é: ) 9/ b) /9 c) d) /9 e) -/9. A som dos elementos 8. (UECE) O produto d invers d mtriz A = pel mtriz = ) b) c) d) I é igul : 8
Pré Vestibulr iferencil eterminnte é um número que se ssoci um mtriz qudrd. e modo gerl, um determinnte é indicdo escrevendo-se os elementos d mtriz entre brrs ou ntecedendo mtriz pelo símbolo det. Assim, indicdo por: = c b d A se, o determinnte de A é b det A = det = c d c O cálculo de um determinnte é efetudo trvés de regrs específics que estudremos mis dinte. É importnte ressltrmos lguns pontos:. Somente às mtrizes qudrds é que ssocimos determinntes.. O determinnte não represent o vlor de um mtriz. Lembre-se, mtriz é um tbel, e não há significdo flr em vlor de um tbel. eterminnte de ª Ordem d um mtriz qudrd de ª ordem M = [ ], o seu determinnte é o número rel : det M = = b d = Mtemátic C º psso: Repetimos s dus primeirs coluns o ldo d terceir º psso: evemos encontrr som do produto dos elementos d digonl principl com os dois produtos obtidos pel multiplicção dos elementos ds prlels ess digonl: º psso: Encontrmos som do produto dos elementos d digonl secundári com os dois produtos obtidos pel multiplicção dos elementos ds prlels ess digonl: Eemplo M = [] det M = ou = eterminnte de ª Ordem d mtriz M =, de ordem, por definição o determinnte ssocido M, determinnte de ª ordem, é ddo por: = eterminnte de ª Ordem Pr o cálculo de determinntes de ordem podemos utilizr um regr prátic, conhecid como Regr de Srrus, que só se plic determinntes de ordem. A seguir, eplicremos detlhdmente como utilizr Regr de Srrus pr clculr o determinnte Assim, subtrindo o segundo produto do primeiro, podemos escrever o determinnte como: = ( + + ) ( + + ) Menor Complementr Chmmos de menor complementr reltivo um elemento ij de um mtriz M, qudrd de ordem n >, o determinnte MG ij, de ordem n -, ssocido à mtriz obtid de M qundo suprimimos linh e colun que pssm por ij. Por eemplo, dd mtriz M = 9
Pré Vestibulr iferencil de ordem, pr determinr o menor complementr reltivo o elemento (MG ), eliminmos linh e colun : MC = = e modo nálogo, pr obtermos o menor complementr reltivo o elemento, eliminmos linh e colun : MC = = Pr um determinnte de ordem, o processo de obtenção do menor complementr é o mesmo utilizdo nteriormente, por eemplo, sendo M = de ordem, temos: MC = = Coftor Chm-se de coftor de um elemento ij de um mtriz qudrd o número A ij tl que A ij = (-) i+j. MC ij Eemplo Considerndo M = clculremos o coftor A. Temos que i = e j=, logo: A = (-) +. MC. evemos clculr MC. MC = = Assim A = (-). ( ). Teorem de Lplce O determinnte de um mtriz qudrd M = [ ij ] m (m ) pode ser obtido pel som dos produtos dos elementos de um fil qulquer (linh ou colun) d mtriz M pelos respectivos coftores. est form, fido j N, tl que j m, temos: det M m = i = ij A ij em que = m i Mtemátic C é o somtório de todos os termos de índice i, vrindo de té m, m N. Eemplo: Clcule o determinnte seguir utilizndo o Teorem de Lplce: = Aplicndo o Teorem de Lplce n colun, temos: = + + + ( ) + ( )( ) + ( ) = (+) (-) + (-) (-) 8 + = -8 +7 = 8 Observção Se clculrmos o determinnte utilizndo Regr de Srrus, obteremos o mesmo número rel. Proprieddes dos determinntes P) Qundo todos os elementos de um fil (linh ou colun) são nulos, o determinnte dess mtriz é nulo. P) Se dus fils de um mtriz são iguis, então seu determinnte é nulo. P) Se dus fils prlels de um mtriz são proporcionis, então seu determinnte é nulo. P) Se os elementos de um mtriz são combinções lineres dos elementos correspondentes de fils prlels, então seu determinnte é nulo. P) Teorem de Jcobi: o determinnte de um mtriz não se lter qundo sommos os elementos de um fil, um combinção liner dos elementos correspondentes de fils prlels. P) O determinnte de um mtriz e o de su trnspost são iguis. P7) Multiplicndo-se por um número rel todos os elementos de um fil em um mtriz, o determinnte dess mtriz fic multiplicdo por esse número. P8) Qundo trocmos s posições de dus fils prlels, o determinnte de um mtriz mud de sinl. P9) Qundo, em um mtriz, os elementos cim ou bio d digonl principl são todos nulos, o determinnte é igul o produto dos elementos dess digonl.
Pré Vestibulr iferencil P) Qundo, em um mtriz, os elementos cim ou bio d digonl secundári são todos nulos, o determinnte é igul o produto dos elementos dess digonl multiplicdos por ( ) n( n ). P) Pr A e B mtrizes qudrds de mesm ordem n, det(ab) = det A. det B. Como A. A -, det A - = / det A. P) Se k R, então det (k. A) = k n. det A. Pr refletir! Podemos ssocir um determinnte pens mtrizes qudrds? Eercícios de Aplicção. (ACAFE) O vlor do determinnte log 8 / log ) b) c) 7 d) 7/ d) /. (UESC) Sejm s mtrizes qudrds de ordem, A = ( ij ) com ij = i -j e B = (b ij ) com b ij = ij se i > j, e b ij = ij + se i j. é: Mtemátic C. (MACK) A e B são mtrizes qudrds de ordem e B = K.A. Sbe-se que det = A =, e det B = 9. Então: ) k = b) k = 9 c) k = / d) k = /. k =. (PUC) O coftor do elemento d mtriz A = é: ) b) c) - d) - e) 7. (UESC) Sej A um mtriz qudrd de ordem, presentd bio, cujo determinnte é igul,7. sen A = sen Considerndo π/< < π, determinr o vlor de tg. etermine: ) mtriz A b) mtriz B c) mtriz A X B d) o determinnte d mtriz A X B. (UESC) A prtir d mtriz A = [ ij ], onde se i j ij = { i+ j se i j, clculr o determinnte do produto d mtriz A pel su trnspost, ou sej: det (A A t ), onde A t é mtriz trnspost de A. Eercícios Complementres. (UNIFENAS) d mtriz A = o determinnte de su mtriz invers A - é: ) - b) - c) / d) e) -/
Pré Vestibulr iferencil. Introdução É todo conjunto m equções lineres e n incógnits, d form + + LL + n = b + + LL + n = b LLLLLLLLLLLLLL m + m + LL + mn = bm -,, n são incógnits - ij são os coeficientes - b i são os termos independentes Se b i = o sistem é homogêneo. Epressão mtricil de um sistem de equções lineres entre sus vrids plicções, s mtrizes são utilizds n resolução de um sistem de equções lineres. Sej o sistem liner : + + LL + n = b + + LL + n = b LLLLLLLLLLLLLL m + m + LL + mn = bm Utilizndo mtrizes, podemos representr este sistem d seguinte form : Mtemátic C Um sistem homogêneo nunc será impossível, pois dmitirá pelo menos solução trivil (,,..., ).. REGRA E CRAMER Qulquer sistem em que m = n e (determinnte d mtriz dos coeficientes ds incógnits) é possível e determindo. A solução é únic e dd por: n = ; = ; L ; n = Eemplo: Resolver o sistem + y z = 8 + y + z = y + z = = z 8 = = = 8 = = = y = y = 8 z = 9 z = = = = = 9 = =... n X b... n X b.... =......... Mtriz constituíd pelos. Mtriz colun constituíd. Mtriz colun do termos m Coeficientes m... ds nm pels Xincógnits n independentes b n incógnits Observe que se você efetur multiplicção ds mtrizes indicds irá obter o sistem ddo. Se mtriz constituíd pelos coeficientes ds incógnits for qudrd, o seus determinntes é dito determinnte do sistem. Clssificção Um sistem liner pode ser: Possível { etermindo (solução únic). Indetermindo (infinits soluções)}. Impossível Não dmite solução. Solução : S = {(; ; )}. Sistem Esclondo É todo sistem no qul: ) s incógnits ds equções lineres estão escrits num mesm ordem; b) em cd equção há pelo menos um coeficiente não nulo; c) o número de coeficientes nulos ument de equção pr equção. Eemplo: + y + z = + y + z = + y + z =. Esclonmento do Sistem: Pr esclonr um sistem seguem-se pssos:
Pré Vestibulr iferencil ) Coloc-se como primeir equção do sistem um equção com coeficiente d primeir incógnit igul. b) Elimin-se primeir incógnit de tods s equções, prtir d segund equção. c) ei-se de ldo primeir equção e repetem-se os pssos nteriores pr s demis equções. Eemplo: y + z = y z = + y + z = y + z = y z = y + z = y + z = y z = 8z = 8 S =,, {( )} Se durnte o esclonmento surgir um equção do tipo: + +... + n = b ) Se b = : eliminmos equção e continumos o esclonmento. b) Se b : conclui-se de imedito que o sistem é impossível. Clssificção do sistem pelo método do esclonmento. Sej um sistem esclondo de m equções e n incógnits. m = n: sistem possível determindo. Se durnte o esclonmento surgir um equção do tipo: I. + +... + n = b, com b, então o sistem é impossível. II. + +... + n = e não ocorrer o cso nterior, então o sistem é possível e indetermindo.. Sistems Lineres com Prâmetros São sistems condiciondos prâmetros inseridos em seus coeficientes. A discussão pode ser feit por esclonmento. Aplicção iscutir o sistem em função dos prâmetros e b. + y = b + y = Clculmos o determinnte () do sistem. = = Sistem possível determindo + y = b + y = + y = b = b Mtemátic C Se b =, então o sistem é possível indetermindo. Se b, então o sistem é impossível.. PARA RESOLVER. (PUC Pelots RS) O sistem liner y + z = + y z = y + z = ) Admite infinits soluções. b) Admite pens dus soluções. c) Não dmite solução. d) Admite solução únic. e) Admite pens solução trivil.. (Fuvest SP) é igul : ) b) c) d) e) + z = 7 y = 8 y + z =. (F. Objetivo AM) O sistem Então + y +z + y = + y = b ns incógnits e y tem infinits soluções. O vlor de. b é: ) b) c) 8 d) e). (UF RS) O sistem de equções + y z = y + z = + y z = só se, o vlor de é: tem solução se, e
Pré Vestibulr iferencil ) b) c) d) e) zero. (Mckenzie SP) A som dos vlores de m, pr que o sistem + y + z = m y + z = m + y + z = não dmit um únic solução, é: ) b) c) d) e). (Fuvest SP) Sbendo que, y e z são números reis e ( + y - z) + ( - y) + (z - ) =, então + y + z é igul : ) b) c) d) e) 7. 7. (Ffi MG) Se solução do sistem + y + z = y + z = + y 7z = 9 é {(, y, z)}, então o vlor de y + z é: ) primo; b) pr; c) negtivo; d) irrcionl. 8. (Unifesp SP) A solução do sistem de equções lineres ) = -, y = - e z = - b) = -, y = - e z = c) = -, y = e z = d) =, y = e z = - e) =, y = e z = 9. O sistem liner y z = z = y z = + y = y = y = ) possível e indetermindo; b) impossível; c) possível e determindo; d) homogêneo; e) n.d.. é: é: Mtemátic C. (FEI SP) Se s rets de equções: + y = y = y = em um mesmo ponto, então: ) = ou = / b) = - / ou = / c) = ou = - / d) = ou = e) = ou = são concorrentes