O que é um Ponto de Inflexão?

O que é um Ponto de Inflexão? Suzn Metello de Nápoles 1 Projecto Mtemátic em Acção (CMAF-UL) As orientções metodológics dos progrms do ensino secundário ctulmente em vigor, o pretenderem dr um ppel prepondernte à denomind investigção feit pelo luno com bse em situções muito prticulres e que conduzem em muitos csos flss conjecturs, não podem excluir, muito pelo contrário, obrigm que, em devido tempo, os conceitos e compreensão d form como eles se interligm sejm presentdos como definições e resultdos formuldos de form rigoros e inequívoc, ultrpssndo s noções intuitivs e su descrição em lingugem corrente. A formulção precis dos conceitos é essencil o desenvolvimento de um rciocínio mtemático, por mis elementr que ele sej. Usr simultnemente diferentes formulções de um mesmo conceito pode dr origem incoerêncis que nem sempre são evidentes. O conceito de ponto de inflexão constitui um exemplo d necessidde de clrificção d definição doptd. Sentido d concvidde Mtemticmente, designção inflexão está usulmente ssocid um mudnç do sentido d concvidde do gráfico de um função. Assim, primeir necessidde que surge pr formulr o conceito de ponto de inflexão do gráfico de um função é precisr o que se entende por sentido d concvidde do gráfico. A idei de sentido d concvidde do gráfico de um função é geometricmente intuitiv. Etimologicmente, plvr concvidde está ssocid cvidde, à form cvd ou escvd ou côncv de um objecto. A utilizção mtemátic do termo concvidde respeit o seu significdo etimológico. Qundo se firm, por exemplo, que concvidde do gráfico d prábol x 2 =y está voltd pr cim, está-se 2 2 dizer que o conjunto de pontos do plno ( xy, ) IR : y x é côncvo (não convexo), isto é que o conjunto 2 2 ( xy, ) IR : y x é convexo. 1 Os comentários e sugestões d Dr. Mnuel Ferreir, fruto do seu espírito de rigor lido à su experiênci como docente universitári e pré-universitári, form determinntes pr redcção deste rtigo. 32

Genericmente: Definição 1. O gráfico de um função f tem concvidde voltd pr cim num intervlo berto I de IR se o conjunto 2 Af = ( x, y) IR : x I, y f( x) é convexo, isto é, se ddos quisquer dois pontos em A f, o segmento de rect que os une está totlmente contido em A ƒ. O gráfico de um função f tem concvidde voltd pr bixo num intervlo berto I de IR se o gráfico de f tem concvidde voltd pr cim em I. Ms dizer que o conjunto A ƒ é convexo é equivlente firmr que pr quisquer pontos e b pertencentes I tis que < b, o gráfico de ƒ em [,b] está bixo do gráfico do segmento de extremos (,ƒ()) e (b,ƒ(b)), isto é, fb ( ) f ( ) fx ( ) rx ( ), x I, em que rx ( ) = f ( ) + ( x ) é equção d rect que pss pelos pontos (,ƒ()) e (b,ƒ(b)). b Com efeito: A ƒ Se A e B são quisquer dois pontos sobre o gráfico de f com bcisss e b e se A f é um conjunto convexo, o segmento com extremos A e B está contido em A f, e ssim qulquer ponto (x,ƒ(x)) com x [,b] está bixo do segmento de extremos A e B. A P Q B b Reciprocmente, tomem-se quisquer dois pontos P e Q em A f, com bcisss e b. Se todo o ponto (x,ƒ(x)) com x [,b] está bixo do segmento de extremos A e B, o segmento de extremos A e B está totlmente contido em A f, o mesmo se pssndo então com o segmento de extremos P e Q, já que este está cim do segmento de extremos A e B. Assim, definição 1 é equivlente : Definição 1. O gráfico de um função f tem concvidde voltd pr cim num intervlo berto I de IR se pr quisquer pontos e b pertencentes I tis que <b, o gráfico de ƒ em [,b] está bixo do segmento de rect de extremos (,ƒ()) e (b,ƒ(b)). No Ensino Secundário o estudo do sentido d concvidde do gráfico de um função fz-se pens pr funções diferenciáveis. Trt-se de um estudo intuitivo que ssoci form do gráfico à vrição do declive ds tngentes em pontos sucessivos do gráfico: se o declive ument qundo o ponto de tngênci se desloc d esquerd pr direit, 33

o gráfico tem concvidde voltd pr cim e se o declive diminui, o gráfico tem concvidde voltd pr bixo. Atendendo que o umento do declive está ssocido o crescimento d função derivd, tem-se: Definição 2. O gráfico de um função f, diferenciável num intervlo berto I de IR, tem concvidde voltd pr cim em I se ƒ é crescente em I. Se f é diferenciável num intervlo berto I de IR, s definições 1 e 2 são equivlentes. Com efeito: Suponh-se que A f é convexo em I e sejm, b I tis que <b. Considerem-se os pontos A(,ƒ()), B(b,ƒ(b)) e sej P o ponto sobre o segmento [AB] (de extremos A e B) com bciss x. Comprem-se os declives dos segmentos [AX], [AP], [PB] e [XB], em que X é o ponto do gráfico de ƒ com bciss x. A P X B Tem-se: declive de [AX] declive de [AP] = declive de [PB] declive de [XB], isto é, x b fx ( ) f ( ) fb ( ) f ( ) fx ( ) fb ( ) x b x b. Como f é diferenciável em e em b, pssndo o limite qundo x + e x b -, conclui-se que fb ( ) f ( ) f ( ) f ( b), b e ssim, ƒ () ƒ (b). Reciprocmente, suponh-se que f é crescente no intervlo berto I, tomem-se dois pontos, b I tis que <b e verifique-se que o gráfico de ƒ em [, b] se encontr bixo do segmento de extremos A(,ƒ()) e B(b,ƒ(b)), isto é, A ƒ é convexo (definição 1 ). Sej então r(x) = mx + p equção d rect AB e prove-se que, pr todo o x em [,b] se tem g(x)= r(x) - ƒ(x) 0. Como g é diferenciável em [,b] e g() = g(b) = 0, existe c ],b[ tl que g (c) = 0 (pelo teorem de Rolle). Como, por hipótese, ƒ é crescente e I e g (x) = m - ƒ (x), g é decrescente em I. Assim: x ] c[ g x g c = g, ( ) ( ) 0 é crescente em [,c] gx ( ) g ( ) = 0; x ] c b[ g x g c = g, ( ) ( ) 0 é decrescente em [c,b] gx ( ) gb ( ) = 0. Então g(x) 0, x [ b ], e A ƒ é convexo. 34

No cso d função f ser dus vezes diferenciável num intervlo berto I, result d definição 2 crcterizção ds concviddes d função à cust do sinl d segund derivd: Teorem 1 Sej f um função dus vezes diferenciável num intervlo berto I. O gráfico de f tem concvidde voltd pr cim em I se e só se f ( x) 0, x I. A demonstrção deste teorem result imeditmente d relção bem conhecid entre o crescimento de um função diferenciável num intervlo e o sinl d su derivd. Ponto de inflexão Tl como se disse nteriormente, designção de ponto de inflexão está usulmente ssocid um mudnç do sentido d concvidde (pr cim ou pr bixo) do gráfico de um função à esquerd e à direit desse ponto, isto é, um função f tem um inflexão pr x =, ou no ponto (,ƒ()), se no ponto (,ƒ()) se verific mudnç do sentido de concvidde do seu gráfico. Assim, função f representd no gráfico seguinte, tem um inflexão pr x = : ƒ() A designção de ponto de inflexão é gerlmente reservd pr pontos onde função é contínu. Mis precismente: Definição 3: Sej I intervlo berto, um ponto de I, e f um função contínu em I. A função tem um ponto de inflexão pr x =, ou no ponto (,ƒ()), se existe ε > 0 tl que o gráfico de ƒ tem concvidde voltd pr cim (pr bixo) em ] ε, [ e voltd pr bixo (pr cim) em ], + ε [. 35

Ns figurs seguintes ilustrm-se pontos de inflexão, de cordo com definição nterior: (,ƒ()) (,h()) (,g()) (1) (2) (3) Um grnde número de utores (ver, por exemplo, [1], [4], [5], [6]) definem ponto de inflexão pens pr funções com derivd (finit ou infinit) nesse ponto. Assim, não considerm que exist ponto de inflexão no cso (3). D observção dos exemplos (1) e (2) prece que existênci de inflexão está ssocid à posição reltiv entre tngente no ponto ( trcejdo n figur) e o gráfico d função, à su direit e à su esquerd. g () = + (,ƒ()) (,g()) (1) (2) Ponh-se então seguinte definição: Definição 4: Sej I um intervlo berto de IR, I, f: I IR um função com derivd no ponto. Designe-se por t tngente em (,ƒ()). (i) Se ƒ tem derivd finit em, o ponto (,ƒ()) é um ponto de inflexão se em ] ε, [ o gráfico de ƒ está cim (bixo) de t e em ], + ε [ o gráfico de ƒ está bixo (cim) de t. (ii) Se ƒ tem derivd infinit em, o ponto (,ƒ()) é um ponto de inflexão se em ] ε, [ o gráfico de ƒ está à direit (à esquerd) de t e em ], + ε [ o gráfico de ƒ está à esquerd (à direit) de t. Comprem-se s definições 3 e 4. A definição 3 prece contemplr mis csos de ponto de inflexão, como o ilustrdo em (3). Será que, no cso d função considerd ter derivd num ponto, é equivlente firmr que existe mudnç de sentido de concvidde do gráfico d função à esquerd e à direit de e que o gráfico d função trvess tngente em (,ƒ())? A respost é negtiv. Com efeito, considere-se função definid em IR por 36

( ) = fx x x x + 5 1 sin 2 se 0 0 se x = 0 Trt-se de um função dus vezes diferenciável em IR, tendo-se f ( x) = + 4 1 3 1 5x sin 2 x cos se x x 0 se x = 0 x 0 A equção d tngente o gráfico de ƒ no ponto (0,0) é t(x) = 0. Tem-se ƒ(x)> t(x) pr x > 0 e ƒ(x) < t(x) pr x < 0. Então, de cordo com definição 4, (0,0) é um ponto de inflexão. Um nálise precipitd ds crcterístics d função prtir de um seu gráfico, como o ilustrdo n figur seguinte pode levr concluir que tmbém existe um mudnç do sentido d concvidde em (0,0). Ms imgem seguinte, obtid pr x [ 0,01; 0,01], já lert pr possibilidde d não conservção do sentido d concvidde em nenhum intervlo ] ε, 0 [ ou ] 0, ε [ pr ε < 0,01: 37

Anlise-se segund derivd de ƒ: + 3 1 2 1 1 20x sin 2 8x cos x sin se x 0 x x x f ( x) = 0 se x = 0 Observe-se que f 1 2n < 1 0 e f > 0, com n IN, não se podendo portnto dizer que ƒ sej positiv ou π 3π + 2nπ 2 negtiv em lgum intervlo ] ε,0 [ ou ] 0, ε [ (pr ε<1/6), pelo que, de cordo com definição 3, não existe inflexão em (0,0). Represent-se no gráfico seguinte função ƒ no intervlo [-0,01;0,01], que evidenci o fcto de ƒ não ser positiv ou negtiv em nenhum intervlo ] ε,0 [ ou ] 0, ε [, pr ε<0,01: Observe-se que, no cso de função f ser diferenciável em, definição 3 implic definição 4. Com efeito suponhse que f tem um ponto de inflexão em (,ƒ()), de cordo com definição 3. Então existe ε > 0 tl que em ε, e em, + ε o sentido ds concviddes é diferente. Considere-se o cso em que em ε, concvidde está voltd pr bixo e em, + ε concvidde está voltd pr cim (sendo verificção nálog no cso do sentido ds concviddes ser oposto). (,ƒ()) 38

Se o gráfico de ƒ tem concvidde voltd pr cim em, + ε, conforme já se observou propósito d fb ( ) f ( ) equivlênci ds definições 1 e 2 de sentido d concvidde, se b ], + ε [, então f ( ) = fd ( ) e ssim b ] ε [ fb ( ) f ( ) + f ( )( b ), isto é o gráfico de ƒ está, em, +, cim d tngente em (,ƒ()). Anlogmente se verific que o gráfico de ƒ está, em ε,, bixo d tngente em (,ƒ()). Então, o ponto (,ƒ()) é um ponto de inflexão de cordo com definição 3. O resultdo seguinte dá um condição necessári pr existênci de ponto de inflexão, podendo inflexão ser entendid no sentido d definição 3 ou d definição 4: Teorem 2: Se função f definid num intervlo berto I de IR é dus vezes derivável num ponto I e ƒ tem um ponto de inflexão em (,ƒ()), no sentido d definição 3 ou d definição 4, então ƒ () = 0. Este resultdo é presentdo por vários utores como um plicção d fórmul de Tylor (vej-se, por exemplo, [1], [4], [6]). A condição express no teorem 2 não é suficiente pr existênci de ponto de inflexão. Com efeito, função f: IR IR definid por fx ( )= x 4 é tl que ƒ (0) = 0 e ƒ não tem um ponto de inflexão em (0,0). Conclusão Pr s definições 3 e 4 encontrm-se exemplos em que existe ponto de inflexão de cordo com um dels e não existe ponto de inflexão de cordo com outr. Ds definições dds nenhum é mis verddeir que outr. Els coincidem em lgums situções, ms são definições diferentes, pelo que nálise d existênci de inflexão, usndo um e outr, pode conduzir conclusões diferentes. É pois essencil clrificr qul definição doptd. Bibliogrfi [1] Cmpos Ferreir, J., Introdução à Análise Mtemátic, Fundção Clouste Gulbenkin, Lisbo (1993) [2] Choquet, G., Cours d Anlyse - tome II - Topologie, Msson et C ie, Pris (1969) [3] Dixmier, J., Cours de Mthémtique du premier cycle, Gutier-Villrs Éditeur, Pris (1972) [4] Figueir, M., Fundmentos de Análise Infinitesiml, Fculdde de Ciêncis d Universidde de Lisbo (1996) [5] Gonçlves, J. Vicente, Curso de Álgebr Superior, Lisbo (1953) [6] Guerreiro, J. Sntos, Curso de Análise Mtemátic, Escolr Editor (1989) [7] Sebstião e Silv, J. e Silv Pulo, J.D., Compêndio de Álgebr, Tomo 1, Brg (1970) [8] Smirnov, V.I., A course of Higher Mthemtics, vol. I, Pergmon Student Editons, Londres (1964) [9] Swokowski, E.W., Cálculo com Geometri Anlític, McGrw-Hill, São Pulo, (1983) 39