Instituto de Ciêncis Mtemátics de São Crlos - USP Deprtmento de Mtemátic Aplicd e Esttístic Prof: Murilo List de Exercícios: Integrção Numéric. Obtenh fórmul de integrção de Newton-Cotes do tipo fechdo, pr integrr f(x) com n = 3 (ess fórmul é conhecid como Simpson 3/8), ou sej sobre 4 pontos: x =, x = x + h, x = x + h, x 3 = x + 3h = b, h = (b )/3). Usndo fórmul obtid, clcule 3 xe x.. Clcule s integris seguir pel fórmul do trpézio e pels fórmul de Simpson /3 usndo 6 divisões do intervlo de integrção. I).5 x ln x, II) xe x.5 3. Ns integris do exercício nterior com qunts divisões do intervlo (N), podemos esperr obter erros menores que 5? 4. Considere função f(x) dd pel tbel: ) Clcule um proximção pr usndo fórmul de Simpson /3. x f(x) 5 5 35 f(x), b) Se os vlores tbeldos são de um polinômio de gru 3 o que pode ser firmdo sobre o erro cometido n proximção de I(f) pel fórmul /3 de Simpson? 5. De um velocímetro de um utomóvel form obtidos s seguintes leiturs de velocidde instntâne: t(min.) 5 5 5 3 35 4 v(km/h) 3 5 3 35 4 45 47 5 6 Clcule distânci em quilômetros, percorrid pelo utomóvel usndo regr de Simpson. 6. Aproxime pel regr de Simpson o comprimento de rco d curv: y = 4x 3x
de (, ) (, ). Obs: Lembre que o comprimento de rco de um curv (, f()) (b, f(b)) é dd por: b + (y (x)). 7. Escolh um regr de qudrtur sobre pontos igulmente espçdos de h e vlie com dus css decimis correts. xe x 8. Considere integrl:.8 (x cos(x)). ) Quntos intervlos serim necessários pr proximr I(f) usndo regr do trpézio, com erro inferior. b) Clcule I(f) com o h obtido no item )). 9. Pretende-se obter um fórmul de integrção I Q (f) = A f() + A [f(x ) + f( x )] de mneir que sej pelo menos de gru pr integrl f(x). ) Exprim A e A em função de x. b) Mostre que fórmul I Q é de pelo menos gru 3 e termine x de modo que I Q sej de gru 5. c) Determine x de mneir que tenhmos A = A.. Determine A, A, A de modo que fórmul de integrção h xf(x) A f(h/4) + A f(h/) + A f(3h/4) tenh gru de precisão r. Determine o gru de precisão d fórmul obtid.. Considere tbel: x.5..5..5 3. f(x).5.5.5 4.5 9. 7. Sbendo que fórmul de qudrtur: b f(x) = Af(w); w b, é ext pr polinômios de gru, cclule A e w e use-os pr proximr 3 f(x).
. Determine um fórmul de qudrtur de Guss pr proximr xf(x) que sej ext qundo f(x) é um polinômio de gru 3. Usndo fórmul obtid clcule (x 4 + x sin(x)) 3. Clcule, extmente, utilizndo fórmul de qudrtur de Guss dequdo, integrl: 4. Clcule extmente ( + x + ) x ( x 3 + 4x + e x utilizndo um fórmul de qudrtur de Guss. 5. Considere integrl.6 x x ) e x. Obtenh o vlor proximdo de I(f), com dígitos significtivos corretos: ) Usndo fórmul de Simpson /3. b) Usndo fórmul de qudrtur de Guss. Lembre-se que lim x x x =. 6. Considere integrl: sin ( x ) i) Clcule o número mínimo de intervlos, N, pr que vlor obtido pel fórmul de Simpson /3 compost forneç um erro menor que 3. ii) Com o N obtido, clcule um proximção pr I(f). x 7. Considere seguinte tbel de vlores de um função f : i..7. f(x i ) 6. 3.8 7. ) Utilizndo fórmul de Lgrnge (ou fórmul de Newton), determine o polinômio interpoldor de f nos pontos d tbel. b) Sbendo que f(x) é um polinômio de gru, determine o vlor exto de f(x) utilizndo fórmul de Simpson /3. Justifique su respost. 3
8. Pretende-se obter fórmul de qudrtur: I Q (f) = A f() + A f() pr proximr integrl e x f(x). i) Determine A e A de form que regr sej ext qundo f(x) é um polinômio de gru. ii) Usndo fórmul obtid, clcule um proximção pr e x x + 9. Pelo método dos coeficientes indetermindos, pretende-se obter um fórmul de qudrtur do tipo I Q (f) = A f( ) + A f() + A f() pr obter um proximção pr integrl.5.5 f(x). ) Obtenh os prâmetros A, A e A de modo que I Q (f) tenh gru de precisão r. b) Clcule o vlor proximdo d integrl, no cso de f ser função dd pel tbel bixo x i.. f(x i ). 3. 5.. c) Sej f um polinómio de gru 3. Prove que o vlor obtido pel fórmul encontrd n líne ) é o mesmo que se obtém pel fórmul de Simpson /3.. Pretende-se obter fórmul de qudrtur I Q (f) = A f() + A f(.5) + A f() pr proximr integrl f(x) ( + x ). () Determine A, A e A de form que I Q (f) tenh gru de precisão r. (b) Usndo fórmul obtid, clcule um proximção pr e x ( + x)( + x ) x [ quem não fez () use A = A = A =. ]. Clcule integrl bixo utilizndo fórmul de Guss-Chebyshev com N = 3 pontos. O resultdo é exto? Justifique su respost. x 6 4x 4 3x 3 x. Utilizndo um fórmul de qudrtur de Guss, clcule o vlor exto de e x ( + x + x 6 ). Justifique su respost. 3. Considere o problem: b d c f(x, y)dy. ) Verifique que plicção d fórmul do trpézio primeirmente n direção Oy e depois n direção Ox, fornece: I (b ) (d c) [f(, c) + f(b, c) + f(, d) + f(b, d)]. 4
b) Verifique que discretizndo [,b] e [c,d] respectivmente pelos pontos: x i = + ih; i m; h = b m y j = + jk; j n; k = d c n e então plicndo fórmul do trpézio compost ns direções Oy e Ox, obtemos: I hk 4 m n ij f(x i, y j ) i= j= onde = m = n = nn = i = in = ; i m j = mj = ; j n ij = 4, ; i m ; j n. c) Usndo fórmul obtid em.), com h =.5 e k =.5, vlie:.5 x + y 3 dy. 5